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J"

COURS

D'ANALYSE MATHÉMATIQUE.

33'207 PARIS. — IMPRIMERIE GAUTUIER-VILLARS, Quai des Grands-Auguntins, 55.

NALYSE MATHEMATIQUE

KrtouAiH) COURSAT.

Prnfosftetir à la Facïiïté tîcs Sciences de Paris*

TOKORIE IlES FONCTrOJiS ANALYTIQUES. ÏATlOirs ftlFFEnENTlELLE». — EQUATIONS AUX DKElVKKfl rAriTtRLLKS. KLKMKNTB DU CALCUL HES VAIIIATIONB-

^UBMC U:~ART

PRÉFACE.

Ce volume renferme Ici fin de nion Couri» de la FaciiUé des Sciences. La théorie des (oDClions aiiulj^lic|ties occupe presque la moitié du volume, et* fjui s'explique suffi sa m ni eut par le rôle pré- pondérant de ces fonctioufi dans l*Analjsc nioderae. Uaus celle exposilioM, je me suis placé presque constainmenl au point de vue de Cauchj, Sans nier Tinlérél des méthodes fondées uni(|uenient sur les propriétés des séries entières, il me semble que les deux tliéorles, bien loin de s'opposer, se complètent admiral>lemenl. Si l'emploi exclusif des séries entières peut séduire certains esprits syslémaliquei, je ne pense [>as ee[>endaut qu'aucun d'eux ait pu

I songer à bannir de renseignement les méthodes si simples et si

' fécondes de Caucby.

Quoiqtàe je n'aie pas voulu m'astreindre a ne pas dépasser les limites, toujours un peu étroites, d'un programme d^examen, ce volume e^t avant tout un livre d'enseignement. Dans aucune direction, je n'ai cherché à conduire le lecleur jus(|u\iux bornes

1 actuelles de la Science. .Fai seulement essayé de faire une place, à

ieôtéde théories depuis lt.*nt;lemps classiques, à quelques théories plus récentes. Mou but sera atteint si je puis inspirera quelques lecteurs le désir d'en apprendre davantage.

MM. Emile Cotlou cl Jeun Clairin m'ont conlinué leur précieux concours pour la correction des épreuves; M» Louis Dunojer,

I élève ù TEcole Normale, a bien voulu, lui aussi, prendre sa part

VI PREFACE.

de celte lâche ingrate. M. Gauthier-Villars, après avoir accueilli cet ouvrage avec empressement, n'a rien négligé pour assurer la perfection de Texécution typographique. C'est pour moi un agréable devoir de leur adresser à lous mes sincères remercie- ments.

ai mai igo5.

E. GouBS\T.

COURS

D'ANALYSE MATHÉMATIQUE.

El CHAPITRE XIII.

L - GÉNÉRALITÉS, - FONCTIONS MONOGÈNES.

239. Déâjiitîoiis. — On appelle quaniité imaginaire , ou quantité complexe,, toute expression de la forme a -h bi% a et b élaol deux nombres réels quelconques, et i un symbole parti- culier que Ton a été conduit à introduire en vue de donner à Palgèbre |»lus de gémira lité. Une quantité complexe n'est au fbnd qu'un âvslèrae de deux quantités réelles, rangées dans un certain ordre. Quoique des expressions telles que a -^ bi n'aient par elles-mêmes aucune sig:nilîration concrète, on convient de leur appliquer les règles ordinaires du caicul algébrique, eu conve- nant en oulr6 de remplacer partout le carré /* par — i,

X quantités ima^nnaires a — bi et a' *- ù' i sont dites tes, si Von a a^^a^ b*^^b. La somme de deux quantités imaginaires a -\- bi et c-i-di est un symbole de même forme 4- t{b -+- rf) ; de même la différence a -r- bi — {c-\- di) est cgaic à a — c-^ifb — d), Pour obtenir le produit de a -h 6i par c -"- di^ on etlectue ce produit par la règle habituelle de la mulltpiication algébrique, et Ion remplace i^ par — i, ce qui doone

{ a - bi){c -^ di) — ac — hd t- « ( ad -h bc ),

CHAPITRE XIII.

FONCTIONS D TNE YARIABLE COMPLEXE.

Le quotient de a -r ùi par c ^ di est un troisième symbole ima^ÎTiaire x-\-yi qui, tniiltiplié par c -+- di^ reproduit a -h bi. L'égalité

a -^ bi ^= {c -î- ijli){x -k- yi)

équivaut, d'après la règle de la mulliplieation, aux deux relatioDs

cw — dy = a, dx ->r cy = à,

d*où l'on lire

ac H" bd

y-

bd

hc — ad

Le quotient de a f- bi par c r di se représente par ïa notation habituelle des fractions algébriques, et l'on écrit

x-^yi =

bi

di'

pour calculer commodément x et y^ W suffit de multiplier les deux termes de cette fraction par c — di et de développer les produits indiqués.

Toutes les propriétés des opérations fondamentales de Falgébre

s*étendent aux opérations effectuées sur les symboles imaginaires; A, B, C, . . . désignant des symboles imaginaires, on a

AB^B.A, A.B.C ^ A.(B.C), A(B -r- C) = AB h- AC, ...,

et ainsi de suite* Les deux imaginaires a ^ bi et a — bi sont des imaginaires conjuguées. Les deux imaginaires a -r- bi et — a — 6i, dont la somme est nulle, sont opposées ou symé^ triques.

Étant donné dans un plan un système de deux axes rectangu- laires ayant la disposition habituelle, on représente la quantité imaginaire a -r bi par le point M du plan xOy^ dont les coor- données sont :r = a^ y^zb. On donne ainsi une significatian concrète à des expressions purement symboliques, et toute pro- position établie pour les quantités imaginaires correspond à un ihéorrme de géoméirie plime* Mais les plus grands avantages de cette représentation apparaîtront encore mieux dans la suite. Les quantités réelles correspondent à des points de Taxe Ox qai, pour cette raison, est appelé aussi axe réel. Deux imaginaires conju- guées a 4- bi et a — bi correspondent à deux points symélriqMe«i

1. — GÉ>iÉRALITÉS. — FONCTIONS lIONOGéPTES.

iporl à Ox; deux quantités opposées a -^ bi et — a — bi représentées par des poinls sjaiélriques relalivenienl au

poÎDt O.

BLa quanlîté a -\- bi qui correspond au poÎDl M de coordon- fiée^ (^a^ ù) s'appelle aussi quelquefois Vajflxe de ce point. Quand il ny aura aucune ambiguïté à craindre, nous désignerons par la même lettre une quantité imaginaire et le point qui la représente. JûigQons Torigine au point m de coordonnées (a, 6). La dis-

t tance Om s'appelle le modale de 6f -t- bi^ et Fangle dont il faut fâtre tourner une demi-droite couchée sur Ox pour Taïnener sur Om (cet angle étant compl*? comme en trigonoméhie de O^ vers Oy) est V argument de a -h bi. Soient p et ti> le module et Tarçtunent de a -H bi-^ entre les quantités réelles a, 6, p, ti>j on a

tieux relations ti ^ p coscij, b ^ p sintij, d'où l'on tire p = v^^i-— - '

6»,

/««-f-éTî

/a« -4- 6«

,c module, nombre essenlicllenient posilifj est déterminé sans ambiguïté, tandis que Targument, notant coimu que par ses l^es irigonomélrfques» n'est déterminé qu*a un multiple près de 2:t, ce qui était évident d'après la définition même. Toute quantité imaginaire admet donc une infinité d'arguments^ lormant uoe progression arithmétique de raison 2?:. l*our que deux quan- liés imaginaires soient égales, les modtdes doivent être égaux; faut de plus que les arguiuents difTérent d'un mulliple de 2ti ces conditions sont suffisantes . Le module d\ine quantité ima- aaîr€ ^ se représente par la même notation \z\ que la valeur bsolue d^une quantité réelle. Soient 5 = </ -f- bi^ z' ^ a' -^ b' i deux quantités imaginaires, el m, in* les points correspondants; la somme 34-3' est repré- léc par le point nf, sommet du parallélogramme construit nirr Om et Om\ Les trois côtés du triangle Omm^* {fin- ^^) sont «x respeclivemcnt aux modules des quantités Zy z'^ z H- z\ On coorlal que le module d'une somme de deux quantités est inférieur ùu au plus égal à la somme des modules des deux iermeSf ei supérieur ou au moins égal à leur différence. Deux quantités opposées ayant le même module, le théorème est vrai lus^i |M)or le module d'une d i d'ère n ce. Enfin on voit de la même

4 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS d'cNE VARIABLE COMPLEXE.

façon que le module de la somme d'un nombre quelconque de quanlilés imaginaires esl au plus égal à la somme des modules, Tégalilé ne pouvant avoir lieu que si tous les points qui repré-

Fig. 53.

sentent ces diverses quantités sont sur une demi-droite issue de l'origine.

Si parle point m on mène les deux droites mx\ my^ ^ parallèles à Ox et à Oyy les coordonnées du point m' dans ce système d'axes sont a'— a et b' — b {fig- 54). Le point m! représente donc

Fig. 54.

!f	/y/^	1 ^	f-'
	71..		jd'
0				.r

z! — z dans le nouveau système; le module de z' — z est égal à la longueur mm' et l'argument est égal à l'angle 0 que fait la direc- tion mm' avec mx'. Menons par O un segment 0/7i| égal et paral- lèle au segment mm'\ l'extrémité m^ de ce segment représente z' — z dans le système d'axes O^, Oy. Mais la figure 0mm' m^ est un parallélogramme; le point m^ est donc le point symétrique de m par rapport au milieu c du segment 0/n'.

Rappelons encore la formule qui donne le module et l'ar?*!

I

I

I

— GÉNËKALITÉS. — FONCTIONS MONOOÊNES. 5

ment du produit d^in nombre quelconque de facteurs. Soient Sk = pjt(C05 wjt -h t sin iûi) ik — if ^, . . .. n)

ces facteurs; la règle de multipticatioo, combinée avec les formules d^addiliou des lignes trigonomélriqnes, donne pour le produit

ee qui montre que le modale du produit est égal au produit des modules, et ^argument du produit égal à la somme des arguments. On en déduit sans peine la célijbre formule deMoivre

qui renferme, sous une forme extrêmement condensée, toutes les formules de multiplication des fonctions circulaires*

L^introdiiction des sjoiboles imaginaires a permis de donner à la théorie des équations algébriques une généralité et une svmé- Irie parfaites. C'est du reste à propos des équations du second degré que ces expressions se sont oflTertes pour la première fois. Leur importance n'esl pas moins grande en Anatvse, et nous allons d'abord expliquer d\ine façon précise ce qu'il faut entendre par ces mots : fonction d'une variable imaginaire,

260. Fonctions continues dWe variable complexe. — Une quantité complexe z=^ x -\-yi^ où x et y sont deux variables réelles indépendantes, est une variable complexe. Si Ton conserve an pioi de fonction son acception la plus générale, il parait naturel de dire que toute autre quantité imaginaire a, dont la valeur dépend de celle de z^ est une fonction de z. Un certain oombre de définitions s'étendent d^elles-mémes. Ainsi, on dira c|n*uac fonction u=f{s) c&i continue si le module de la diflTé- rence/(s -t- /*) —f(z) tend vers zéro lorsque le module de h tend ver* xéro, c'est-à-dire si à tout nombre positif c on peut faire oor- respondre un autre nombre positif t| tel que Ton ait

\f(s^h)-/(M)\<l,

IXNirTu que \h\ soit inférieur à t). Vnrt série

it lesdiiférents termes sont fonctions de la variable complexe 3,

Cl CMAPITHIÎ Xni. — FONCTIONS DUKE VARIABLK COMPLEXE,

est uniformément convergente dans une région A du plan si à tout nombre positif z on peut faire correspondre un nombre entier N tel que Ton ait

pour toutes les valeurs de z prises dans la région A, pourvu que/t soît^N» On démontre comme plus haut (l, n" 173) que la somme d'une série uniformément convergente dans une région A, et dont tous les termes sont des fonctions continues de z dans celle ré- gion, est elle-même une fonction continue de la variable z dans la môme région. Une série est encore uniformément convergente si, pour toutes les valeurs de :; considérées, le module d'un terme quelconque \Ufi\ est inférieur au terme correspoudant tv* d'une série convergente, dont tous les termes sont des nombres con- stants et positifs. La série est alors à la fois absolument et unifor* mémenl convergente.

Toute fonction continue de la variable complexe z est de la forme u^=^V{x^ j) ^ ^Q.{^j y\ P <5t Q étant des fonctions réelles continues des deux variablL^s réelles x^ y. Si l'on n'ajoutait pas d'autres conditions, l'étude des fonctions d'une variable com- plexe z reviendrait donc au fond à Télude d'un système de deux ibnctions de deux variables réelles; l'emploi du symbole i n'amè- nerait que des simplificatioos illusoires. Pour que Ja théorie des fonctions d'une variable complexe présente quelque analogie avec ta théorie des fonctions d'une variable réelle, nous cbercherons ïivec Caucliv à quelles coudîliuns doivent satisfaire les fonctions P et Q pour que l'expression P H- /Q possède la propriété fonda- mentale des fonctions d'une variable réelle auxquelles s'applique le calcul infinitésimaL

2tîl, Fonctions monogènes- — Si y{^) est une (onction de la

variable réelle x admettant une dérivée, le rapport ^^-^- -' — ^ —

tend vers/\j7) lorsque h tend vers zéro. Cherchons de même dans quels cas le quotient

tend vers une limite déterminée, lorsque le module de \z ter *

I

I

I* — GËNERALITES. — FONCTIONS MOXOGENES. 7

▼€rs zëro, c'esl'à-dire lorsque ùkX et à/ teodent séparémeol vers zéro. Il est facile de prévoir que cela n^aura pas lien si les fonc- tions Vi^JC^y) et Qf-a?!^) sont quelconques, car la limite du rap- port précédent dépend en général de la Hmîtc du rapport ^>

c'csl-â-dire de la façon dont le point qui représente la valeur de ^ -^ A se rapproclie du point qui représente ly valeur de z*

Laissons d'abord y constant et attribuons à x une valeur voi- siDe X -^ Ax, il vient

Aw _ Pta? -^ Ajt, jM — Pf r, Y\ . Q(:r — Aa?, ^) — Q(a?. ^r>,

pour que ce rapport ait une limite, il faut que les fondions P et Q tdcnettcnt des dérivées partielles par rapport a x^ et cette limite a pour expression

lim— - = 7-

Supposons ensuite x constant, et donnons à y la valeur j^ -f- Ak» fioos avons

et le rapport aura une limite égale à

oy ùy

poorvu que les fonctions l* el Q admettent des dérivées par- tielles par rapport à y. Pour que les limites du rapport — soient les mêmes dans les deux cas, il faut ([ue Ton ait

dx

àP Or

dx

Supposons que les fonctions P et Q vérifient ces conditions,

I ■ jy • / ■ Il ^f^ ^P ^Q àO . , -

€l Que les dérivées partielles -r-i -r-» -^* v^ soient des fonctions » » àx ùy i>x ùy

continues. Si nous attribuons uKiintenant à J? el à^des accrois-

scmeais quelconques Ajt, Ay, nous pouvons écrire, en désignant

0 CHAPITBE XI n, — FONCTIONS d'ONE VARIABLE COMPLEXE.

par 0 eX Q' des nombres positifs plus pelils que un, àP -Pix-*- Ar, j -^ Aj) — Pf^ H^ Ajp, y) -h P(^ -h àap, /) ^ P(jf, y)

et Ton a de même

fj c', Êj, e', élanl infiniment pelils en même temps que Ax el ày, La dîflTérence àti = AP -{- i àQ peul s'<5crire, en tenant comple des conditions (i),

7Ï et Tfi' étant infiniment jielits. TI vient donc

.àQ r, AjF H- Tj'A^^

àjc

A^

tày

si [tJ et |V| sont pins petits qu'un nombre a, le module du terme complémentaire est inférieur à 2a. Ce terme tend donc vers zéro lorsque A^c et Ay tendent vers zéro» et Ton a

,. Au àP ^s éx

Les conditions (i) sont donc nécessaires et suffisantes pour que le

rapport — ait une limite unique pour ctiac|ue valeur de Zy pourvu

que les dérivées partielles des fonctions P el Q soient continues, La fonction u est dite une fonction monogène ou analytique (*) de la variable z\ si on la représente par/(5), la dérivée /'(s) est égale à Tune quelconque des expressions suivantes qui sont équi- valentes :

-, dP ,dQ dQ .dP dp dp dQ dQ

( ' ) Le mot monogéne a été souvent cmplo>(> par Cauchy. On dît aussi quclf|uefoi» rynectique. Nous ciiiploicrons plulôt le mot analytique; on montrera plus loir que celle définitîoD csi bien d'accord avec celle qui a été donnée anléncurfinf (1, Q- igi).

1- — aÊXÊRAUTt:S. — I"ON<:TIONS MONOCÈNES, f|

II est ejâsentiel de remarquer qu'aucune des deux fonctions P(jp, y)^ Q(^> .y) "^ peut être prise arbitrairemenL En efîel, supposons que les fonctions P et Q admeltent des dérivées du second ordre; sî Fon difrëj-enlie la première des relations (i) par rapport à x^ la seconde par rapport à j^, il vieni, en ajoutant les denx relations obteoues,

ày^

cl l'on démontre de la même façon que i on a A^t^ _= n. Les deux fonctions P(jr,^), Q(^î/) sont donc deux solutions de l'équa- lion de Laplace.

Inversement, toute solution de réquation de Lapkce peut être prise pour l'une des Ibnctions P ou Q. Soit par exemple ^{x^y) ane solution de cette équation; les deux relations (i), où Q est considérée comme une fonction inconnue» sont coinpalîbles, et Texpressian

- C

f|ai est déterrainée à une constante près C, est une fonction mono- gène dont la partie réelle est P(jr, >').

LVltide des fonctions analytiques d*une variable complexe z revient donc au fond à 1 étude d'un sjslème de deux, fonç- ai lions P(x, y), Q(j:, j^) de deux variables réelles x et y^ sàtisfai- ' sanl aux relations ( i)^ et Ton pourrait développer toute la théorie ^^ »aos employer le symbole « {*). Nous continuerons ce|vendant à ^B OOttS servir du syinbùlisme de Cauchy, tout en faisant remarquer que la difTérencc des deux métbodes est au fond plus apparente que réelle* Toul théorème établi pour une fonction analvliquey"(s) te imduit immédiatement par \\\\ iliéorème équivalent relatif aux fooctioDS p et Q, et inversement.

E^^rnplts. — La foDction m = ar* — y^-^%ijry est une i'oiNiion ana- Ijtiqnr, car les relations (i) sont vérifiéesi et la dérivée esla^r -f- at^ = a^; f*lle fopeiîon u n'est autre que (;r -^ t^)'= 4*. Au rontrafre, Teiiprcs-

(^i en générât 4 ce pojtii de vue que se placent les géomètres iillemaDd& cjc é «v%iie ée. Rf émana.

lO CHAPJTRE XIII. — FONCTIOaVS b'ITNE VAfllABLK COMPLETE.

sion V = x^ iy n'est pas une fonclion analytique; on a, en effet,

à.s " 1t -^ i ^y ày

At' et il est clair que la limite du ra|jport — dépend de la lîmile du rap-

À^

port

ày

Quand on pose x ^ p cosia, y -^ p sinio, en appliquant les formiiles du changement de variables (I, n° TiH, p. 84)? l<îs relations (r) devienot^nt

(3)

àP

àQ dQ

âP

dui ^ ùo ém dp

( costii — / sin (i> ),

et la dérivée a pour expression

On vérifie oiscroent^ au moyen de ces formules, que la fonction

^m z= o'« ( C09 m tu -+- i sin m a* )

t

est une fonction analytique de ^s^ dont la dérivée est égale a

m p'"" ' { cos m i'ù -^ i sin wii»» ) ( cos iù — t si n ti> ) — m ^ ^" - ' .

262. Fonctions holomorphes. — Les gériéralilés qui préct»deiit sont t^ncore un peu vagues, car il n*a pas été question jusqu'ici des limites entre lesquelles on fait varier la variable z.

Une porlîon A du plan est dite connexe ou d'un seul tenant lorsque Ton peut joindre deux points quelconques pris dans celte portion par un ctiemin conlinu qui est situé lui-même tout entier dans cette portion du plan. Une portion connexe, et située tout entière à dislance finie, peut être limitée par une ou plusieurs courbes furniées, parmi lesquelles il y a toujours une courbe fermée qui la limite cxtérieuremenl. Une portion du plan sMlen- danl à rînGni peut se composer de Tensemble des points situés à Pextéricur d'une ou de plusieurs courbes fermées; elle peut aussi être limitée par des courbes ayant des branches infinie^* Quand il ii^jr aura pas d'ambiguïté à craindre, nous emploierons iodiflTérem- ment le mot aire ou région pour d«-'signer une portion connexe du plan.

I. — 6GNKIIAL1TÉS. — FONCTIONS MONaCKXES. If

ljncfoncUon/(5) delà variable complexe 5 est dite holomorphe dans une région conneie A du plan, st elle satisfait aux condilions suivantes :

1* A tout point :; de A correspond une valeur dëlerminée

2" /(^) est une fonction continue de z lori^que le point z se déplace dans A, c-est-à-dîre que le module de /( z -h h ) ~f{z) tend vers zéro avec le module de h ;

3" y(^'i admet en chaque point ^ de A une dérivée uniquey(5), c'est-à-dire qu'à tout point z correspond un nombre complexe f'(z) tel que le module de la dlITércoce

/(z -4^ h ) ~ f{Z)

—/'{^)

I

tend Tcrs zéro lorsque \h\ tend vers zéro. A tout nombre positif e, on peut alors faire correspondre un autre nombre positif t^ tel qtie Ton ait

ii\ |/(;î^/0-/(5)-/f/'(5)|<£|A|

jKiunru que \k\ soit inférieur à T|.

Nous ne ferons pour le moment aucune hypothèse relativement an valeurs défi s) le long du contour qui limite A. Quand nous dirons qu'une fonctioo /{s) est holomorphe à Tintérieur d'une aire A limitée par un contour fermé F et sur le contour lui- méme^ il faudra entendre par là que /"( «) est holomorphe dans ttoe région •V renfermant le contour F et la région A.

Une fonction analjttqoe f{z) n'est pas nécessairement holo- morphe dans tout son domaine d'existence ; elle admet en général def points singuliers, qui peuvent être d^espèces très variées. Il «eraii prématuré d'indiquer dès maintenant une classification de cet points sinj^uliers, dont la nature nous sera révélée précisément par IV'ludc qui va être laite.

983* Fonctions rationnelles. — Les règles qui donnent la dé- rivée d*u«e somme, d'un produit, d*un quotient, étant des consé- ^senccâ logiques de la dcfinitiou de la dérivée, sVtendent aux fonctions d'une variable com|)lexe. Il en est de même de la règle de A: A: iiî.kri .T'iine fonction de fonction. Soit u ==/(Z ) une fonction

Jî CHAPITRE XIII* — FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLETEE.

analeptique de la variable complexe Z; si Ton remplace Z par une aolre roDCLÎoo analytique f(^) J*une autre variable complexes, li est encore une fonction analytique de la variable z. On a, en effet,

lorsque jA:;| tend vers/.éro, ïI en est de même de |AZ| et chacun des rapports -^^ -— tend vers une limite déterminée. Le rapport tend donc lui-même vers une limite

A2

Noas avons déjà vérifié plus haut (n° 261) que la fonction

était une fonction analytique de z^ ayant pour dérivée ws"*^'. On peut le voir directemenl comme dans le cas d'une variable réelle. En effet, la formule du binoniCj qui repose un iq ut' ment sur les propriétés de la multiplication, s'étend évidemmcul aux quantités complexes. Nous pouvons donc écrire, m étant un nombre entier positif,

et par suite (4 H- AV"

~- mc'w-*-}-

, I m i m — \\ . ,

L i.a

lue le

il est clair que Je second membre a pour limite ms"'"* lorsqi^ module de h tend vers zéro*

Tout polynôme entier a coeflicients quelconques est donc aussi une fonction analytique, qui est holomorpbe dans tout le plan. Une fonction rationnelle» c*est-à-dire le quotient de deux polynômes entiers P(5), Q('S), que Ton peut supposer premiers entre euit, est aussi une fonction analytique, mais elle admet un cerLiàio nombre de points singulierSj les racines de l'équation Q(;5)^o. Elle est holomorpbe dans toute région du plan ne renfermant aucune de ces racines.

î. — GBNilALITÊS, — FONCTIONS MOTVnr.ÈNES. tS

26^. Étude de quelques fonctions irrationnelles > — Lorsque le point s décrit une courbe continue^ les coordonnées x ely^ ainsi que le module p, varient d'une manière continue, et il en est de même de Targument, pourvu que la courbe décrite ne passe pas par rorigine. Si le point z décrit une courbe fermée, x,^ et p re- viennent à leurs valeurs initiales, mais il n'en est pas toujours ainsi de r»rgument. Si rorigine est en dehors de Taire enveloppée par la courbe fermée ^/ig- "iS*), il est clair que raigumenl revient à valeur initiale; mais il n'en est plus de même si le point s (écrit une courbe telle que MoNPMu, ou M^npqMQ (fig* 55*)*

Fig. 55-.

'&

Dans le premier cas, l'argument reprend sa valeur initiale aug- mentée de a7î> et, dans le second cas, il rejirend sa valeur ioi- liale augmentée de \t.. Il est clair que Ton peut faire décrire à la variable z des courbes fermées telles que» si Ton suit la variation continue de Targument le long de Tune d'elles, la valeur finale diffère de la valeur initiale de AfiTz^ n élaol un nombre entier irbitriiire, positif ou négatif. D'une façon générale, lorsque 3 décrit tmc courbe fermée, Targuraenl de z — a reprend sa valeur inîliale pourvu que le point a soit en dehors de Taire enveloppée -pir celte courbe fermée, mais on peut toujours choisir la courbe décrite par s de façon que la valeur finale de Targumenl de :; — a soit égale à la valeur initiale augmentée de ^niz, r îâ posé, considérons Féquation

uu m est un nombre entier positif. A toute valeur de 3, sauf:: =^ o,

l4 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE.

celte relation fait correspondre m valeurs distinctes de u. Si nous posons en eflTet

z = p(co5(u -i- c siniu), u = r(coso -H isin^ ),

la relation (5) est équivalente aux deux suivantes : r*^ z^ ^^ /iio = Cl) -T- aAn;

on tire de la première r=p'", c'est-à-dire que r est égal à la racine m**"* arithmétique du nombre positif p. Nous avons

ensuite cp = et, pour obtenir toutes les valeurs distinctes

de u^ il suffit de donner au nombre entier arbitraire k les m valeurs entières consécutives o, 1,2, . . ., m — 1 ; nous obtenons ainsi les expressions des m racines de Péquation (5)

(6) aA. = p'" cos(^ ^ — j-h«sinr — \U (A: = o, 1,2, . . .,7w — 1); .

on représente encore par z"*^ l'une quelconque de ces racines.

Lorsque la variable z décrit une courbe continue, chacune de ces racines varie elle-même d'une manière continue. Si ;; décrit une

Kig	56-.
	-©^	\..
0	^	)

Fig.	56".
r	^^	\
1 0	^	J

courbe fermée laissant l'origine à l'extérieur, Targumenlcû revient à sa valeur initiale, et chacune des racines i/o^ '^ij •••) Um^s décrit également une courbe fermée ifig- oG**). Mais si le point 5 décrit la courbe MoNPMo {Jig- 55^), co se change en (o -;- 27:, la valeur finale de la racine w/est égale à la valeur initiale de m/^i, et les courbes décrites par les dilTérents points racines forment une seule courbe fermée {fig> 56^;.

I. — GÊNÉEULITES. — PONCTIONS MONOGÉNKS. |5

Ces m racmes £1^, i/|, . . ., Um-\ ^^ permutent donc circutaire- ment lorsque la variable z décrit dans le sens direct une courbe fermée sans point double renfermant Torigine. Il est clair que Ton peut faire décrire à w un chemin formé tel que Tune de^ racines partant de la valeur initiale 2/q, [>ar exemple, sa valeur lie aie soit égale à l'une quelconque des autres racines, A moins de rejeter la continiiilé^ on ne peut donc considérer les m racines de Téqua- tion (5) comme autant de fonctions distinctes de ^, mais nomme m branches distinctes d'une même fonclion. Le point -s = o, autour duquel se permulent ces m valeurs de w, est appelé point critique ou point de rami/ication.

Pour que les m valeurs de u puissent être considérées comme fonctions distinctes de z^ il faut interrompre la continuité de *ês racines le long d^une ligne indéfinie issue de Torigine, On petil se représenter d\ine façon concrète cette solution de conli- ooilé de la manière suivante. Imaginons que, dans le plan où l'on représeoie la valeur de ^, on trace une coupure indéfinie suivant une denii-droite issue de Torigine, par exemple suivant la deuu- droîle OL {/ig^ 07), et qu'où écarte légèrement les deux bords de

Fig. ^7.

bou|iuir, de façon que le cliemin suivi par la variable ne I poisse passer d^in bord à Tautre. Dans ces conditions, un chemin ifcmic qiJi'Iconquc ne peut entourer Torigine ; à chaque valeur de z [eorrcfpond une valeur bien déterminée des m racines W|, que Iruti abliendra en prenant pour rargumeot tu la valeur comprise Iteirc a cl a — 271. Mais il faut observer que les valeurs de W| en fdeiix points luflniment voisins m, m\ de part et d^autre de la cou- iMfef ne sont pas les mêmes. La valeur de 1/4 au point m' est égale

l6 CHAPITRE XIII. — KON'CTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE

27:

à la valeur de m au point w, muUipliée par (cos — ^ + /sîn — \

Chacune des racines de l'équation (5) est une fonction mono- gène. Soit I/o une des racines pour une valeur donnée ^o; à une valeur z voisine de :?« correspond une valeur u voisine de Uq, Au

lieu de chercher la limite du rapport -'-^11— ?, on peut chercher la

z — Zq

limite du rapport inverse

a — Mo

cette limite est égale à /;îwJ''*. On a donc, pour la dérivée de i/, l'expression

	11 \ u
//' -	— _ . — — —
	m M'"-* m z

que l'on peut encore écrire, en introduisant les exposants négatifs.

u' = .- 3"» ; m

mais, pour avoir sans ambiguïté lu valeur de la dérivée qui cor- respond à l'une des racines, il vaut mieux prendre l'expres- sion A l'intérieur d'une courbe fermée ne renfermant pas

m z *

l'origine, chacune des déterminations de \/ z est une fonction holo- morphe. L'équation u^^—.Aiz — a) admet de même m racines qui se permutent circulairement autour du point critique z = a. Considérons encore l'équation

{ 7 ) a* — *A {z — e^ )\ z — Ci ) . . . ( z — e„),

où ei, 62-, • ' ", (iit sont u quantités distinctes. Désignons par les mêmes lettres les points qui représentent ces n quantités. Posons

A = R(cosa-r-/ sina), z ~ f^-- ?*(coso>A-t- tsincu^fc), (A: =: i,a, . . . , n),

u = r(cosO -+- esinO);

tù/t représente Tangle que fait avec la direction Ox la direc- tion c/çZ du point c^ au point z. On tire de l'équation (7)

I* — GEMKRALITES, — FONCTIONS IfOXOGENCS.

celte ëquatîoii admet donc deux racines oppos<5es

Mi=(Rpipt--P«r

[cos('

-■)

^8;

lij = (RplPj . _ pn)

sjn f

[/a -1-11*1 -

« H- tiii -f-. . .-^ tu,

=)

')]

,.„.( )j

I

Lorsque la variable z décrit uoe courbe fermée C renferniant à rînl^rfeur/> des points <?|, 6*2, . . - , e/,, il j a/? des arguineiils «i>i, tûjy . . . t (^n C|ui augmenlent de :<&ti; l*arguaient de t£^ et celui de CI2 aogmcntent donc de pr.. Si p est pair, les deux racines repren- liciit leurs valeurs initiales, si p est iimpair, elles se permulenl- En particulier^ si le contour renferme un seul point e^ les deux racines se permutent, Les n points e/ sont des points de rainlûca- tjon. Pour t|ue les deux racinrs a^ et w^ restent des fonctions bien déterminées de :^, il suffira de tracer un syslème de coupures de façon quVne courbe fermée quelconque renferme toujours un nombre pair de points critiques. On pourra par exenqjle tracer uoe coupure indéllnie suivant une demi-droite issue de chacun des points e/, de façon que ces coupures ne se croise ut pas. Mais CD peut opérer de bien d ^autres façons. Si, par exemple, i! j a quatre points critiques e», e^, e%^ e^^ on pourra tracer une cou- pore suivant le segment de droite ^ie«i, et une seconde coupure suivant le serment e^e^^

965. FoncHonfi uniformes et multiformes. — Les exemples élémeolaires que nous venons de traiter mettent en évidence un bil Ire* important. La valeur d'unr fonction /(^) de la variable z nr ^ I -iH pas toujours uniquement de la valeur même de z; mais ri. aussi dépendre dans une certaine mesure de la loi de

soccesKioo des V£|leurs prises par la variable pour parvenir d^une ETur ÎDttiole h la valeur actuelle, en d'autres termes, du cliemîn

|Mir la variable.

Reprcnon»^ par exemple, la fonction u ^ y z. Si oous allons du point Mo au point M par les deux chemins MoNM et Mo? M [^g* iJ / eu prenant dans les deux cas la même valeur iniriafe C„ ît i

t8 CHAPITRE Xlli. — FONCrrONS D*UNE VARIAlîLE COMPLEXE.

pour «, nous D*obiieDdrons pas en M la même valeur, car les deux valeurs oblenues pour rargumenl de z différeront de 'àtz. On est donc cooduit à introduire une nouvelle dîsUnclion.

Uue l'oncUon analytïquey** :;) esl dite uni/orme on monodrome dans une région A lorsque tous les chemins situés dans A, qui vont d%in point z^^ à un autre poiul quelconque z. conduit^enl à la même valeur finale poury'(j^i. Lorsque la valeur (inale de/*(^) n'est pas la même pour tous les chemîus possibles, la fonction esl multiforme.

Une fonction holomorphe dans une région A est forcement uniforme duns celte réf^ioji. D'une façon générale, pour qu'une fonction /(s) soit uniforme dans une aire donnée, it faut et il suffit qu'un clieniïu fermé c|uelconque décril par la variable ramène la fonction à sa valeur initiale. Si, en eflet, en allant du point A au point B par les deux chemins AMB (fig* 58)

et AlNB, on arrive dans les deux cas au point B avec la même détermination pour f[^\r ^^ ^^^ clair que, en faisant décrire à la variable le contour fermé AMBNA, on reviendra au point A avec la valeur initiale de /*(-).

Réci[> roque ment, sujq>osous que, la variable z décrivant le contour AMBNA, on revienne au point de départ avec la valeur initiale u^^ et soit u^ la valeur de la fonction au pnint B, après que -3 a décrit le cliemin AMIi. Lorsque z décrit Tare BNA, la fonclion part de la valeur K| jjour arriver a la valeur it^\ donc inversement le chemin ANB conduira de la valeur ^^q à la^^leurM^ c'est-à-dire à la nif'^me valeur que le chemin AMB.

Il est à remarquer qu'une fonction peut ne pas être uniforme dans une aire, sans présenter de points critiques dans celle aîre* Considérons par exemple la porliou du plan comprise entre deux cercles concentriques C, C, ayant pour centre l'orrgiur.» Lri f mr^

JL lion w =r w"' ne piéscnte aucun point critique dans cette icijnju.

II. — sKHics entikuks \ ti:»mI'S imacin aires. it)

Iccpeodant, elle n*y est pas iiiiîrorme, car si Ton (ait décrire k la

I variable s un cercle concentrique, campris entre C et C\ la fonc-

I 1

llian 5*" est mullipliée par cos — H- i sin — •

IL — SERIES tLNTÏÊIlES V TIvlîMES IMVCIXAHiES, TRANSCENDANTES ÉLÉMENTAIIIES.

206. Cercle de conTergence. — Les raisonnements enjplojés [dans Pétode des séries entières (I, Chap. IX) s'étendenï d'eux- t inénies aux séries entières à ternies imaginaires; il suffit de rem- placer la valeur absolue par le module. Nous rappellerons suc- • ctQctement la suite des théorèmes et les résultats. Soit

m

a«-f- rtiî -+- cri5*-4-. . .H- a^^**^.

noe série entière où les coefOcients et la variable peuvent avoir des valeurs imaginaires quelconques. ConsidcTons en même temps la série des modules

fUo\

Ag-i- A, /' -t- Aj/*

.^ A«r^* h...

111 A,— ^a^^, r=^\z\; on a dcmontré (1, n"" 177) rexislencc d'un ^nombre positif R tel que la série (lo) est convergente pour toute paleor de r<cR, et divergente pour toute valeur de r>R. Ce rticimbre R est é§fal à Tinverse de hi plus grande des limites des I Icrrnes de la suite

A,, /Â7* V''A|,

V A/i,

rcomme cas particulier, il peut èltc nul ou itilini.

De CCS propriétés du nombre R il résulte immédiatement que lli nérir, (y) est absolument convergente loisquele module de z est I iorérieur è R. Elle ne peut être convergente pour une valeur 3^^ [de 5 de module supérieur à R, car k série des modules (lo") serait Icoaveri^cnle pour des valeurs de /■ supérieures à R(I, n** 177), Si^de Iror *rnrne ceulre. on décrit, dans If* plan de la variable z, un

[ccil.. _- - ' rajuu R i /ig. hg), la série entière (9 I est absolument [ronvtfriÇenie pour tout point intérieur au cercle C et divergente lool point extérieur I ce qui explique le nom de cercle de

ao CHAPITRE XIIL — FONCTIONS D*UNK VAHIABLE CO&IPLEKB.

convergence donné à ce cercle. En un point du cercle C lui-même, la série peut être convergente ou divergente, suivant les cas.

A l'inlérieur d%in cercle G concentrique au premier, et dont le ra^on W est inférieur à R^ la série (g) est uniformément con- vergente. Car pour tout point înléricur à C on a évidemment

et Ton peut choisir le nombre n assea grand pour que le second membre soit inférieur à tout nombre positif donné e, quel que soit p. On en conclut ijue la somme de la série (g) est une fonc- tion continue y(iî) de la variable z en tout point intérieur au cercle de convergence (I, n" 178).

En diO^ërenliant terme à terme la série (9) on nombre quelconque

Fig	.5».	^<^iX
0		Je

de fois, on obtient un nombre indélinl de séries entières /i(5) f^{z)^ ..*,/w{2\ . . , qui admeltenl le même cercle de conve gence que la première ( K n" 179)* Pour démontrer que fi(i) est 1 dérivée de f{s)j nous sommes obligés de modifier un peu rordf des raisonnements suivi dans le cas d^une variable réelle. Etaa donné un point z intérieur au cercle C, de ce point comc centre décrivons nn cercle c langent intérieurement au cercle et prenons un paint voisin z -^ h intérieur a c; si r et p sont I modules de z et de A, on a r4-p<cR {Jig' ^9). La somc /(z-hh) de la série est égale à la somme de la série à doul

entrée

1(11)

II. — SERIES EÎSTIËRRS A TEAUES IMAamAIRCS.

qnand on fait la somme par colonnes. Mais celte série est absolu- ment convergente, car si Ton remplace chaque terme par son mo- dule on a une série double à termes positifs dont la somme esl

Ai(r-j-p)-

Anir-py-

On peut donc faire la somme de la série double (i i) par lignes horizontales, et Ton a, par conséquent, pour tout point z -\- h inléneur au cercle €^ la relation

P(i5) f^z-^h)=f{i)-^hMs)

A»

AU)^.

A«

:/«(«)■

La série du second membre est certainement converg;ente dès que le module de A est inférieur à R — r, mais elle peut l^être dans une plus grande étendue. On tire de cette formule

h)—fii)

h

^Ji(^)^~M^)

f^n^v

■M^)'

le second membre est une fouclîon continue de h qui tend vers /t{s), lorsque, z restant fixe, le module de A lend vers zéro.i-^a

I fonction /(s) admet donc, en chaque point intérieur au cercle C, .tme dérivée unique qui est représentée par la série /< (5). Les /onctions /i.(^\ . , .;/ft(z), . . * représenleul de même les déri- -irée» successives de /(s), et la formule (1 'a) est identique i'* la for- pnole de Taylor» Toute série entière représente donc une fonc- tion holomorphe à l' intérieur €Îu cercle de convergence, La ^ftuîte des dérivées de cette fonction esl illimitée, et toutes ces I^Uérivées sont également des fonctions bolomorphcs dans le même I^Bcrde.

^M Si la série ( 9 > est convergente eu un point Z du cercle de con*

^Plrergcnce^ la somme y(Z) de la série est la limite vers laquelle teud

la somme /{z) lorsque le point z lend vers le point Z en restant

! rajron qui aboutit à ce point* On le démontre comme au

5 en posant ^ ^ ZO et faisant croître 6 de o à 1 » Le théorème

j» iintnriii'; \iii. — foxctionb d lng variaeilë couplexe*

est encore vnu lor?if|i(e z, tuul en restant à l'intëneiir du cercle, tend vers Z suivant ufte r ou rite qui n^e.si pas tangente en Z au cercle de convergence ( ' k

Lorst|iie le téymx R eîît infini, le cercle de convergence embrasse tout le plan, et la foncliany"(5) est holomorphe pour loule valeur de z. On dit que c*est une fonciion entière; l'étude de ces trans- cendâmes est un des objets les plus in» portants de TA naisse. Nous allons étudier dans les paragraphes suivants les transcen- dantes classiques élémenlaîres,

Î67, Série» de séries. — Etant donnée une série entière (9) à coeffi- cients quelconque?^, nous diron*» t»ncore qu'une autre f^crit* eniiêre Scx„5", dont tous les coefficientH sont réels ei po^iïifs^ esl majorante pour la première série, si Ton a, pour lonle valeur de n, |«j»|5«rt* Toiiies les conséquences déduites de IVniploi des fouclî*ïns majorantes (n"* i81-18i> s'appliquent sans modilkaUon au cas des variables imaginaires. Voici une autre application*

Soit

(|3)

/tt( 5 > -^/i ( • ) -h/î( -) "h . . .-T-/rtU) -f- . . ,

une série dont chnque terme est lui-même la somme d'une série entière convergente dans un cercle de rayon égal on supérieur à un nombre R > 0|

/i{z) = fï|0-T'*'/J'S-f-,..-h «/rt5« -r-

Imaginons chaque terme de la série (j 3) remplacé par son développement

suivant les puissances de z; nous obtenons une série à double eulrée dlonl

[ cbaque colonne est formée par le développement d'une fonction y/(5).

Lorsque cette série est absolument convergenie pour une valeur de z de

module p, c'est-a-dire lorsque la série double Xi^l^^^^lP" ^^^ conver-

i n

gcnlc, on peut faire la somme de la première série double par lignes borî- Eoniaies, [jour loule valeur de z dont le module ne dépasse pas p, et Jon obtient ïe développemeirt de la somme F(z) de la série (l3) suivant les puissances de z

F(5) -= It^-^

Kz--^...

«ifl

(rt = o, 1^ a,

G^est au fond le même raisonnement qui donne le développement de /( M -^ h ) suivant les puissances de /i.

Il* — SÉRIkS ENTIÉAES A TKDMES lAlAtîINAIllEg.

a3

Supposons par exemple que la sènc /i(z) ncimetle une fonction majo- rante de la forme — -» cl i|ue la série ZMi soit eUe-même convergente.

Dans la tuerie à double entrée, le nioctule du terme général sera plus petîi que Mi' — ^- Pourvu que Ton ait \£\ -Z '% celle série est absolumenl con- vcrgcnlc, car la série des modules e^t convergente, et sa somme est infé-

neure a

I

268. l*a fonction exponentielle. — Lu défi n il Ion arithmé- tique de la foncliori exponeiUii'lïe u*a évidcoimcnt aucun sens lorsque Teicposaiil est imaginaire. Pour généraliser la déOnllion, il faul donc parlir d'une propriété susceptible de s^étendre au cas d*UDe variable complexe» Nous partirons de la propriété exprimée par la relation fonctionnelle a^ x a^'-=^ a*^^'. Proposons-nous de délcrminer une sérîe entière /(s), convergente dans un cercle de rayon R, telle que Ton ait

*Mi

/(5-t-y)=/(^)/(V);

pourvu que les modules de js, 5', z -^ z^ soteal inférieurs à R, ce

♦ . R

qui aura lieu certainemenl si \z\ et \z'\ sont inférieurs à — • Si Ton

fail 5'= o dans la relation précédente, elle devient

/(5)^/(5)/(o); 00 doil donc avoiry*! o ; =^ i, et nous écrirons la série cberchée

/t-;^i-

a^

5«-

II

Remplaçons successivement dans celle série z par A/<, puis X'/y X et // étant deux constantes et l une variable auitiliaire, faîfionj le produit des deux séries; il vient

«t

2) CHAPITRE XIII. - FONCTIONS D'lNE VARIABLE COMPLEXE.

D'autre part, on a

I

L^ égalité fÇkt -h y^' t) =^ /{Kt)/(V t) doit avoir lieu pour toutes les valeurs de )., V, t, telles que |)x| < i, |X'| < i, |/| < — ; il faut donc que les deux séries soient identiques, c'est-à-dire que Ton ail

a,i(X -+-X')« = a„X«-f- - a„_ia,X«->X'

^_ ^^^_i}a„_,a,X'«-«X'«-i-...-+-a«X'^

ce qui entraîne les relations a„ = an-\ ^i , «/i = ^2«/i_2î • • ■ • q"C l'on peut réunir en une condition unique

(16) ap^q—apOq^

p e\ q étant deux nombres entiers positifs quelconques. Pour en trouver la solution générale, supposons 9 = 1, et faisons suc- cessivement /> :r^ i , /> == i>. , /? ::=r 3 , . . . ; il vicnt a^r=a\^ puis • a3=a2fl| = aj, ..., et enfin a„=fl". Les expressions ainsi obtenues satisfont bien à la condition (16), et la série cherchée est de la forme

f(z^ — IH 1 ■ — -- -4-. ..H — 1-. ..;

cette série est convergente dans tout le plan, et la relation

/(5-V)=/(^)/(y)

est vérifiée, quels que soient z et 5'.

La série précédente dépend d'une constante arbitraire a\ ; nous poserons, en supposant ai r— . i,

z -* 5"

(17) e-— I-^ -H r-...-î f-...,

I \,>. I . i . . . /i

de sorte que la solution générale du problème posé est e*»'.

La fonction entière e' coïncide avec la fonction exponentielle étudiée en Algèbre <?*, lorsque z a une valeur réelle x^ et l'on a toujours, quels que soient 5 et z\ g-+-'z=: e« x e*'. La dérivée de e- esl encore égale à la fonction elle-même. On a, d'après la forinulc d'addition.

II. ~ SÉRIES ENTIERES A TERMES IJUAGINMIRE!?. l5

pour pouvoir calculer e* lorsque z b une valeur imaginaire j- H-^>'k il sufLit de savoir calculer eT*, Or le développement de ey^ peiii s'écrire, en groupant ensemble les termes de même parité,

on recooDdît au second membre les développements de cosy et de siuy^ et Ton a, r étant rée!^

^L e^' — cosy -+- t si nj'.

RemptaçoDS e^' par cette expression dans la formule précédente, il vient

la /onction e^'^y^ a pour module e^ et pour argument y.

I Cette formule met en évidence une propriété importante de e'; quand ou cliange z en z -^ 2T^t\ x ne cliunge pas el y augmente de 2 7*^ ce qui ne change pas la valeur du second membre de la formule (18). On a dooce*+^^'= e*; la f onction exponentielle e* admet la période 'àtJ.

Proposoos-nous encore de résoudre l'équation e^ —^ A, où A est une quantité imaginaire 4}uel conque di (Té rente de zt^ro. Soient p et ù> le module et l'argument de A; on doit avoir

ce qui exige que Ton ait

«^■^ — pi y = iu -H aX^x.

On lire de la première relations r^ lo^-^p, le si«^ne lo^ di'îsignant toajotirs le logarithme népérien d^un nombre positif, louant à y^ il n*est déterminé qu'à un multiple de 2 7t prés. Si Ton avait A — o, Téqualion e^ =^ o conduirait à une impossibilité. Donc réqua- |liO#r e* ^= V, où A est différent de zéroj admet une infinité de rtitiines, comprises dans la formule logp -\- i(tù 4- 2^:t 1; r équa- tion «•^^ o n'admet aucune racine, réelle ou imaginaire.

Remarque. — On pourrait aussi définir e^ comme la limite du

palynome (*-+- — ) ' lorsque m croît indéfiniment. La méthode

employée en Algèbre pour démontrer que ce poljnome a pour lifBite la série (17) s'applique encore lorsipie z est imaginaire.

26 (JiAPniib: xtïi. - FONCTIONS d'une variable complexe*

269. Fonctions circulaires. — Pour définir sin r et cosz lorsque z

est imaginaire, nous éleadrons immédialement aux valeurs ima- ginaires tes séries entières éLablies dans le cas ûû la variable esl réelle, et nous poserons

(19)

<?•' — j —

celte égalité peut s*écrire, d'après les formules (19), (ao) e*'=^ cosz -4- tsîn;.

En changeant z en — 3, il vient encore g~zi = C0S5 — i'sins, et Ton tire inversement de ces deux relations

.(21)

fii^e-zi

Ce sont les formules Lien connues d'Euler qui ramènent les fonctions circulaires à la foncLiou expo oenli elle. Il lies inellent en évideDcc la périodicité de ces fonctions, car les seconds membres ne changent pas quand on change z en 5 H- 2 t:. Si on les ajoute après les avoir élevées au carré, il vient

Prenons encore la formule d^addition ^1*+*'^'-= e^*e*'\ ou

eos{; i- z') 4- i Hin(- -- z' ) = f C0S5 -h *8În3)(cOS5'-H tsîti^') = C05 5 cas 5* — siïiîsin^'— n sîn5 cos5 — sinz cosi r,

Ce sont là des transcendantes entières, auxquelles s'étendent toutes les propriétés des fonctions circulaires. Ainsi on voit, sur les formule» 119), que la dérivée de sin z esl coss, et que la dérivée de cos:j est — s\uz; ^'inz se change en — sin-S, tandis que cos^ ne change pas, quand on change z en — z.

Ces nouvelles transcendantes se raniénenL à la foncLiou expo- nentielle. Écrivons en eflet le dévelop[}ement de ^*S en réunissant ensemble les termes de même parité,

Il* — ^ïEmES EiVTlËRES A TËRAIES IJUAGf NOIRES

cliaDgeons dans cette forniiile z en — z^ z' en — z\ il vient

et Ton lire de ces deux formules

cc)9( 5 -4" 2* ^ = cos S cos S* — sin X si n s\

Les formules d'addition s'étendent donc au cas des arguments imaginaires^ ainsi que toutes leurs conséquences. Proposons-nous, par exemple, de calculer la partie réelle et le coefficient de i dans cos(>r^)'/) et sîn(j; -r-^*)* Nous a%'ons d*abord, d'après les formules d'Euler,

COSJ't

sin^i

ï7

= isinliypj^;

les formules dVddition donnent ensuite

oo%(x-^jrii ^ cosxcosj^i ^ sin*r sir» >/— cos-rcosbypj^ — t sinxsinbyp^, *iii{jr-r-j^i) = sin4:cos_^t -hcosjr siji j £ = <\n j^ voshypy -h icoix sinhyp/.

Les autres fonctions circulaires se ramènent aux précédentes. On a par exempte

cos^

I €'*-

ce qui peut encore s^écrîre

le second membre est une fonction rationnelle de e^*' ; la tangente •diDCI donc la période t..

ilO. Logarithmes. — Etant donnée une quantité imu^inaire J* diBerente de aséro, nous avons déjà vu ( n** 268 j quel ^équation e**^^ z admet une intlnîté de racines. Soit a = x -t- (r ; p et ù> désignant le module et Targument de 5, on tloit avoir

f,x ^ p y = to -^ 1 A ît. L*ane quelconque de ces racines est dite le logarithme de 5,

■28 CHAPITRE Xni. — FONCTIONS O'CNE VARIABLE COUPLE \K.

et on la représente par Log(5)- On peut donc écrire Log(5 \ = logp -i- i((a ^- i/ciz)f

le i>îgDe log étant réservé au logarithme népérien ordinaire d^iin nombre positif. Toute quantité réelle ou imaginaire^ différenle de 7,érOj admet donc une infinité de logarilhnies, formant une progression arithmétique de raison nni. En particulier si z est un nombre réel et positif x, on a w 3^ o, et en prenant A' ^ o, on retrouve le logarithme ordinaire; mais il y a en outre une infinité de valeurs imaginaires pour le logarithme, de la forme îoga; -h 2/rir/\ Si z est réel et négatif, on peut prendre to ^^ ti^ et toutes les déterminations du logarithme sont imaginaires.

Soit z* une autre quantité imaginaire de module p' et d'argu- ment to'. On a

Log(^') = logp'-^ i((jii'h- aA'-TT);

en ajoutant les rîeux logarithmes, il vient

Log^'-) -+- \jyg(s) ~ logpp' -+- if tt» -H ni'-^2(X--+- X'' lit].

Comme ^p' est égal au module de zz\ et to -h t*j' égal à son argument, on peut encore écrire cette formule

Log(^i — Log(^') = Log(^5'),

ce qui montre que, quand on ajoute à Tune quelconque des valeurs de Log(^) Fune quelconque des valeurs de Log(^^» la somme est une des délerminntions <le Log(^^').

Imaginons maintenant que la variuble :; décrive dans son plan une courbe continue quelconque, ne passant pas par l'origine; le long de cette courbe, ù et to varient d'une manière continue et i! en est de même des dilTé renies déterminations du logarithme. Mais il peut se présenter deux cas bien distincts lorsque la va- riable s décrit une courbe fermée. Quand z parlant d'un point «« revient à ce point après avoir df'crit une courbe fermée ne renfer- mant pas Torigine à son intérieur, Fargument w de « reprend sa valeur initiale Wq, et les dilTérentes délei mina lions du logarithme reviennent respectivement a leurs valeurs initiales. Si Ton repré- sentait chaque valeur du logarithme par un point, chacun de ces points décrirait une courbe fermée. Au contraire, si la variable z décrit une courbe fermée telle que la courbe MoNM P (yî:,*'* 55*)^

»

11. — aÉAIES ENTIÈRES A TEHM(i;â lAlAGlNAIRES. ay

l'argument de z augmente de 2tî, el chaque détermination du logarithme reprend sa valeur initiale augmentée de 2Tzi. D^une façon générale, lorsque z décrll une courbe fermée quelconque, la valeur linaledu logarithme est égale à la valeur iniliale augmentée de aArTîi, k désignant un nombre entier positif ou négatif que Ton obtiendra en mesurant l'angle dont a tourné le rayon vecteur joignant rprigine au points. Il est donc impossible de considérer les différentes déterminations de Log(^) comme autant de fonc- ItODS distinctes de ^, si Ton n*apporte aucune restriction à la variation de cette variable, puisqu'on peut passer de Tune à Tautre par continuité. Ce sont autant de branches d'une même fonction f qui se permutent autour du point critique ^ = o*

A rintérieur d'une aire limitée par une seule courbe fermée et ne renfermant pas rorij2;inej chacune des délcrminations de Log(5) CSl une fonction continue et uni (orme Je z. Pour prouver que Il une fonction holomorphe, il suflit de montrer qu'elle admet ~oe dérivée unique en chaque jioint. Soient z et z^ deux valeurs voisines de la variable et Log(:;), Log{z^) les valeurs voisines de la détermination choisie du logarithme; lorsque z^ tend vers :;, le module de Log{Zi) — Log(5) tend vers zéro. Posons Log(c) :^ w, hogi^s^) ^^ u^; nous avons

LQg(g,) — Log{s} Ui — u

*r

srsque ii| tend vers u, le quotient

tU-

II

a pour limite la

dérivée de e", c'est-à-dire e" ou z. Le logîiritlime a donc une

dérivée unique en chaque point qui est égale u ^^

D^une façon générale, Lûg(^ -- a) admet une iu liai te de Jcter- cntnalions qui se permutent autour du point critique z =^ a, et la

dérivée de cette fonction est égale à <

La fonction ;;"*, où m est un nombre queltonque^ réel ou com- plexe, se définit au mojen de Tégalité

à tooiiis que m ne soit un nombre réel et comuiensurable, cette ftiDClioD admet, comme le logarithme iui-iuéme, une infinité de

30 CHVPITHfe: XIII. — FONCTIONS o'iNE VARiAOLE COMl'I.EXE.

déterminalioïis, qui se permutenl quand la variable tourne autour

du point ^ ^ o. Il suffira de tracer une coupure indéfinie suivaor une demi-droîle issue de l'origine pour que chaque branche soil une foncLton holoniorphe dans tout le plan. La dérivée a pour expression

m

^mLoris) ^ /7ii'«"*

et il est clair que Ton doit prendre la même valeur pour l*arga- ment de z dans la fonclion et dans sa dérivée.

271. Fonctions inverses : arcsîn^, arclaiigs. — Les fonctions inverses de sin5, cos5, tan^^ se définissent d^une façon analogue. Ainsi on délinÎL la fonction a = arcsîn^ piir la relation

z ^ 6îti t( ;

pour résoudre celte équation par rapport k ;/, on l'écrit

« = : — : r- f

et Ton est conduit k une équation du second degré

(a'i) U* — 2i'^U — j = o

pour déterminer rinconnue auxiliaire U =: e*". On tire de cette

U = *5 -t /T

(%i) tt — arc Sinz — -. Log(£i ±: $/i — 5*),

L'équation ^ = sin« admet donc deux séries de racines, pro* venant d'une part des deux valeurs dn radical ^/i — 5-, d'autre part des déterminations en nombre infini du logaritbnic. Mais si Ton connaît l'une de ces délcrnona lions, on peut en déduire aisément toutes les autres. Soient U^=:p'e'***' et lj"=3 p^er^*** les deux rariucs de réquation (22); on a entre ces racines la rela- tion U'U"=^ — 1, el par suite p'p''^ 1 , to'-h <«»''=( 2 /i H- i )7z. On peut évidemment supposer w*':^ tc — tii', et Ton a

Log( U' I = — logp'-»- i(7T — tù-\- 'lA'ir).

Toutes les déterminations de arcsiiis sont donc comprises dans l'une des deux formules

arc sins = tAj'-+- nÂ^'n — ilogp\ arc 5lnz = ir h- ^Ar'ir — <

If|a^on peut encore écrire, en posant u' =^ ti>'^ ilogù\ (X) arc sio5 ^ w'-t- aA'^,

(BV arc sin5 = ( aX-*-^ t )7r — «\

tlogp',

I

Lorsque Ja variable z décrit une courbe coiMinue, les diverses déterminations du logarithme de la formule (aj) varient en géûëral d'une manière conlinue./Les seuls points critiques que l'on puisse avoir sont les points z ^^ zïz i ^ autour desquels les deux valeurs du radical y/i — z'^ se permutent ; il ne peut y avoir de valeur de z annulant is ± y^i — ^^, car, en élevant au carré les deux membres de Téquation iz^ ^\/^ — ^^r ^^ ^" ^''c i = o.

Imaginons que l'on trace deux coupures le long de Taxe réel, Tune allant de — oo au | oint — i , Tautre du point 4-1 à -|- QO. Si le chemin décrit par lu %^ariaLle est assujetti à ne pas francliir ces deux coupures, les diverses déterminations de arcsin^ sont des fonctions uniformes de z. En effet, lorscpie la variable ;: décrit un cbemin fermé ne franchissant aucune de ces coupures, les deux racines U', U" de T équation (2?,) décrivent aussi des courbes fermées. Aucune de ces courbes ne renferme Torigioe à i' inté- rieur î^j la courbe décrite par la racine U' par exemple comprenait i'ûrififine à Tiolérieur, cette courbe couperait au moins une fois Wxe Oy\ CD un point situé au-dessus de 0\r. Or à une valeur Ût V de la forme ia(Qi>-u), la relation (2a) fait correspondre

tme valeur "^ de s, réelle et "> i . La courbe décrite par le

point z devrait donc traverser la coupure qui va de -i- i à -i- ûo. Le* diverses délenniua lions de arc sin z sont en outre des fonc- lîooft bolomorpbes de z. En effet, soient u et ;/, deux valeurs voi- sin iës de arc sin^, correspondant à deux valeurs voisines :: et Zy de

la variable. Ou a

«i — u _ r* r — u

iSS^ne le module de w» — u tend vers zéro, le rapport précédent

Si

CHAPITRE XIIK

FONCTIONS D UNE VARIABLE COMt'I

a pour limite

Les deux valeurs de la

se cor-

respondenl aux deux séries de valeurs (A) et (B) de arcsin^.

Quaûd Oïl o*inipose aucune restriction â la variation de ^, on peut passer d'une valeur inilîale détermioëe de arcsin^ à une quelconque des délermi nations, en faisant décrire à la variable z une courbe fermée convenable. En effet, on voit d'abord que lorsque z décrit., autour du point ^ iz^ i , une courbe fermée laissant

le point 3 = — là rextérieur, les deux valeurs du radical \/i — «*

se permutent et Ton passe d'une détermination de la série (A) à une détermination de la série (B), Supposons ensuite que l'on fasse décrire à z une circonférence de rayon R supérieur à un, avant pour centre Tori^îne; les deux points U', U*' décrivent chacun une courbe fermée. Au point ;; — -h R, rë<|nation (22) fait correspondre deux valeurs de U, U^=^ la, U*':^ / jî, où a et ^ sont positifs j au point ^= — R^ la même équation fait corres- pondre les valeurs U'^ — îa', D" --^ —^P\ a' et [3' étant encore posilifs. Les courbes fermées décrites par chacun des deux points U', U*^ coupent donc Taxe Oy en deux points, Ton au-dessus, Fautre au-dessous du point O; chacun des logarithmes Log(U'), Lo^iU' ) aug^mente ou diininue de 2 7tt.

On dciinit de même la fonction arc tangxî au moyen de la rela- tion tangw ^^ ^, ou

on en tire

e'*"=:

et par suiie

1 <?»«•	— 1
/ tflW'	-t" ]	'
l-h iz 1 — is	i i	—	— > Z
- Vï	f\tr l	/ -	— Z

Cette expression met en évidence les deux points critiques loga- rithmiques it ide la fonction arc tan^^^. Quand la variable z tourne

autourd'un de ces points, Logf-: — -^j augmente ou diminue de 27;/,

et arc tang^ augmente ou diminue de t:.

272. AppMcatîon au caloal intégral. ~ Les dérivées des fonc- tions que nous venons de définir ont la même expression que

Il, — SERIES ENTIEEIL; A TERMES IMAGINAIRES»

lorsque la variable est rrelle, Inverseruenl, les règles qui donnriil lies fouctionts priniiLÎves s'élenJciit aussi aux fondions el»_^nien^

laires de \ariablcs complexes. Ainsi, en désignant par i f[z)dz

loiile fonclion de la variable complexe :; doiU la dérivée esiy(^).

on a

/

Xdz

{z^ay*

s

Xdz

m >i,

Ces deux formules jiermeltenl de trouver une fonclian primitive d'une fonction rationnelle queleonqne, à coeflicients réels ou ima- ginaires, pourvu qu*on eonuaîsse les racines du dénominatewr. Considérons en particulier une fonction rationnelle à coeffi- cienis réels d'nne variable réelle x\ Si le dénominateur a des raeîties imaginaires, elles sont conjuguées deux a deux, et avec le même degré de multipHcilé. Soient a -\- |3f cl a — [i/deux raciues conjuguées dordre // de multiplicité. Dans la décomjjosition en I fractions simples, si Ton opère pour les racines imaginaires cofiiiTïc pour les racines réelles, la racine a -+- |ï/ fournira une suite de fractions simples

|€l Ia racine a — ^i fouruiia une suite analogue dont les numéia- lears seront conjugués des précédents. Réunissons, dans la tVmc- lion primitive, les tenues qui proviennent ries ftiiclions eonju-

Iguées; nous durons, si /> > i .

^ I f M^,^Nf,i: M;,— N^f 1

M,

i^f,t)(T— %-h ^hp-^-^.

et: le ouméraleur est évidemment la somme de {leu\ pohnomes lïmagitiaires conjugués. St /> ^^^ i , ou a

M|-^Nt/

-.r/j-

= ( M,^ N,i) Log[(2P— zj -^ '^i\ ^ (Ml— N, 0 Log[(,r ^ «; ^ pt], r* , tT ^ 3

CHAE^ITRK \U\. — FONCTIONS II LVNE VAIUAHLK roMl^LKXC.

lieiii[)la<^oïis les lagîjiithmes parleur* cx|ircssioiis développées^ il reste au second membre

M I J cig [ ( j* — ï }* T- p * ] ^ * ^ I a rc t a n g

il s II ni t tic remplacer arc tîing— ^— pyr / ** — arc iBUg- — k — } pour

retrouver le rcsiiltaL oblenu direclerueoL sans riolroduclion de symboles imaginaires (I, n*' lOÎÎ)-

Considérons encore Tinlégrale indëiïnie

f

V^A;

•iBx^C

(jiii a deux formes essentiellemenl didereules i l^ rj** 105), suivant^ le signe de A. L*nilroducl!on d^ine variable complexe ramène les deux formules à une seule; en clFet, si, dans hi (ormule

/

clj;

Vl

^ Log(j7 ^ |/n-x*),

nous ehangeons x en /.r, il vient

et le second membre re présente précisé nient arc s!n.r.

L^inlroduclion de symboles imaginaires dans le calcul inlcgral \ permet donc de ramener Tune à l'autre des formules dont on ne pourrait saisir la parenté, si Ton ne sortait pas du domaine réel| Wiiei encore un exe m (de de sîmplifiealioii dû à Femplo! des ima- ginaires. On a, ft et /> étant réels,

^. i^ht V ffj. ^

g^a-hbih

a — (h

ht

«>-

- e^'^i^osbx -i- f siu 6^) ;

égalons les parties réelles et les coefficîenls de /, et nous avons du nii^me cotip deux intégrales déjà calculées (1, iV 119)

a'

6^

IT. — séntËS ENnéREs a TEnyEâ iuaginaiiies. 35

In ramftiK* de même les dcuv înlégrales

à riulégrale j x'^ e^'^'^^^-^ dx j que Ton calcule par tme suîle d'in' lég ration s par parties*

27S. Décomposition en éléments simples d'une fonction ration- nelle de nin^ et de e.o^z. — Klsirit donnée une fonelion ralionnelle de siri^ el de cos^, F(sni:;^ cos^}^ si Ton y remplace sïri^ et cosz par leurs expressions tirées des formules d*Euler, elle se change en tinc fonction rationnelle R(/) de t^e^^. Celte fonction K{/). décomposée en éléments simple';, se composera d'abord d'une partie entière, et d%iue suite de fractions provenant des racines du dénomifiatenr de H(')* Si ce dénominateur admet la racine £ r^ u, nous réunirons à la [*artie entière les fractions pruveiiauL Je celle racine, ce <|Hi chinn* ra on polynume on une fonction riiliojinrlle

H.(/)

^K„,r'

lesiposaiit m pouvant avoir des valeurs négatives.

Soit i :^3 a une racine dilTércote dezcro du dénomioaleur. Cette racine donnera une suite de fractions simples

/-"-r^

A,

Lîi racine n n 'étant |ias nulle, soit a une racine de rétjua- Vion e^' = « ; ; — — ; petit s^exprimer très simplement au mo\en

lie coi'

On a, en elFel,

eut = i --■ ~— = M H ] »

cl I on en tire înverâemeut

I i * / . --^\ — — = — = — I -t- 4 coi ;

la fraction rationnelle /(^) se cliange Jonc ciï un polynôme de

36 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS d'uNK VARIABLE COMPLEXE.

degré n en col^^ — >

AJh- A\cot^^^ -h A^cotM "~°^ W. ..H- A^cot^*^ ~ ' j .

Les puissances successives de la cotangenle jusqu^à la /i'^°»<^ peuvent à leur tour s'exprimer au moyen des dérivées successives jusqu'à la (/? — i^^n'c. ^^ eflTel, on a d'abord

dcoiz I

— -j — = r-j- = - I — col' -s,

ce qui permet d'exprimer cot^^ au moyen de —rr~^ ^^ ''o° ^^'

montre aisément de proche en proche que, si la loi est vraie jusqu'à col" 5, elle est encore vraie pour cof^* >s. Le polynôme

précédent de degré n en cot^^-;^ — se changera en une expression linéaire par rapport à cot et à ses dérivées,

;; — a d / z — a\ rf"-* / z — a^

Xo-t- «.1)1 cot h tl»j -j- ( cot ) H-. . .-}- cl./i ~i : ( cot ) •

2 az \ "i- / az"-* \ 'î I

Opérons de même avec toutes les racines 6, c, . . . , / du déno- minateur de R(i) différentes de zéro, et ajoutons les résultats obtenus après avoir remplacé t par e*' dans R, (^). La fonclion rationnelle considérée F(sini;, cos^) se composera de deux parties

(2.5) F(sin5, cos5) = 4>(3)4-^7c);

la fonction ^(^î), q"i est Tanalogue de la partie entière d'une fonclion rationnelle de la variable, esl de la forme

(26) <!>(;;)= C -h 2(a,„co5m^ -h p,„sinm5),

où m est un nombre enlier non nul. Quant à ^^(:î), qui est l'ana- logue de la partie fractionnaire d'une fonclion rationnelle, c'est une expression de la forme

(^7)

a ./- — «\ , d iz-%\ , flf«-i /z-^a\

î; — SÉRIES ENTfÈRES A TERMES IMAGrNAIRES. Sy

Bsl la fonclion cnt (- J (|yi j^uie ici le ruîe tl'élrmcnt siinpli»^

comme la fraction nnûr une lûnclion nilioiitielle. (*elle dé-

j — ti '

compositioti do F(siriw, cos:;) se prèle faciluincnt a l'inlégralioii ;

on a en ellet

fcolLZl dz = . Log [siu (^)] '

et \^% aulres termes s'înLr^^reiil îmaiétlialemi-iiL l*uiir t|ue la fonc- lîoD primitive soii pf'*riodiqiie il faut et il stinît que tous les coef- ricienls C, .L|, iU»i, . . », soient nuls.

Pralîrjtieinenl, il nV^t jjas loiijoiiis iit'eessaîre de passer par toutes ces I ra n s lor mations successives pour me tire la fimction F($in5. COS5) sous la forme lîiialc (aS). Soit a une valeur de z rendant la foncliou F îuiiiiie; on peut toujours, par une simple

divisiou, calculer les coenicienls de y- -j •— » dans la

^ — % ( ^ — 1 )î

partie infîDic pour :; == a (I, n*' 183). (Tautro part, on a

coi-

K

P(3 — a) étant une série entière ; eu égalant les coetlieieuts des

I puissances siiccesstveâ de — dans les deux membres «le la for-

[mute* (^j), OQ aura donc facilement *t|, -I-m, ...» -l^i.

Preooiï* par exemple la I onction — — ~ oui devient, en

LpusaDl c^* =:z t^ e*'=; a,

'\at

rt(/iH-i)_/(fi*-4-l)'

[le dénuriiinaleur admet les deux racines simples ^ :=:^ r/^ / r= - et

lie numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur, IOq oara dooc une décomposition de la forme

^= C -f- ^i> eut -

llli COL-

déterminer .1-^ multipllims les deux lucmlu-es [lar :; — jï,

[ef faUonfï erisuile z %\ \\ \un\ X.

Un trouve de

iméme i»l» =

asm s

Remplaçons .t et \\\i par ces valeurs et faisons

/

z =^ M, on iroLive C = o, el II rcsle la Ibrimilo

~ =^ : COt

col

Remarque. — Lors(|»e Ui fonction F(sinw, cosr) admel la période 71, on peut Texprliner ralîonnellement au moyen de e-*', et prciidrn poirr élrmenls simples col(:^ — at), col(3 — p), . . •*

27 i. Développement deLog{i n- :?), — Les Ira nsc en dan les qne nous avons deiinies sonl de denx sortes : les unes, comme e-, sin^. cos 3, sont holomorplies dans lonl le {diin, tandis ipie Log(^), arclatigs^ *,. présentent des points singuliers, et ne peuvent être représe niées par des développements en séries entières con- vergentes dans lonl le plan. IMais on a encore des développe* nients valables ponr certaines parties dn plan; nous allons le montrer pour la fonction logarithmique.

Une simjde division conduit à la formide élémentaire

^ -h :;- — 3"* . , ♦ 4- (— ï )" x« :

si Ton a I-:; I <; ï . le reste — tend vers z.éro lorsque n croît indé-

finimenl el, à l'intérieur* du cercle i\ de rayon 1 , on a

I -+- 5 Soît F(^) la série obtenue en inléj^ranl terme i\ Icrme

5V

cette série est convergente dans ce cercle, et représente une fonc-

— * Nous connaissons

lion holomorphe dont U dérivée F'( 5) = —

déjà une fonction dont la dérivée esl la même; e*cst Log(i -^ 3). La différence Lo^{i -\- z) — F(5)/ se réduit donc à une eoo- slante (♦); |)Our déterminer cette constante, it faut préciser ta

(*) Pour que lîi dérivée d'iifu- foiictunï atiajytîque \h Yj"soit nulle, il fayl

que l'un iiil ( n* ïiOt) ^ = o, , donc constante.

o, cl par suiU^ — = -— = o; \ et 1 sanx

11. — SÉBÎKS ENTIERES A TKR5JKS IMACI.XAIUKS. Ht)

délerminatioti choi!»îe du loiçaiitlune. Si nous prenons celle qui >*aiiniile pour z = o, on a, pour tout [ioînl inlérîenr à C,

;: s» z^ 5*

Joignons Ir poiîit A au poiril M qui représente z (fig* 60); le module de t^z esl représenlé par la long^neur /' ^ AM, et l'on

peiil prendre pour argnment l'an^rle a que fait AM avec AO, ang^le

qui reste compris entre — ^ et -H - lorsque le poiol M reste à

rûilërieur de C* La délerminalion du iogariUune qui s'annule pour r =^ o est égale à logA"+ i%^ et la fomiiile ('.^8) ne présente aucune atnbîguïté.

En changeant dans cette formule -^ en — 3, el relianehanl les deux fonnules, on a encore

Ï^^TOn remplace ensuite z par tz^ on retrouve le développement fde are tang^

I / I -f- 1 5 \ _ 5 z* 5*

dir 1,...-:^ .= _. ,og^— — -:^J - ^ _ — -1- — ^

lrie(iil$; rcalc con^crgcnti' en luut poiiH du cercli^ de convergence

40 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS D UNK VARIABLE COJIPLEXK.

sauf au point A. En eiïet, soit z = e*^ un point M' de ce cercle; les deux séries

COS2 9 cos3 0 cos40

cosO 1 h...,

•2 J 4

. „ sinsiO sin30 siniO

sin 0 i -^ h . . .

•2 3 4

sont l'une et l'autre convergentes sauf pour 0 = (aXr-f- i )i: (1, n" 166).

D'après le théorème d'Abel, la somme de la série au point M' est la limite

vers laquelle tend la somme de la série en un point M situé sur le

rayon OM'. Si Ton suppose 6 compris entre — t et -i- i:, l'angle a a pour

0 0

limite -> et le module AM a pour limite 'i cos-. Nous pouvons donc écrire

, , . . cos 2 6 cos 3 6 cos 40

lopr ( 2 cos - I = cosO —

log ( 2 cos - )

2 3 4

0 . . sin'20 sin30 , ^n ^ x

- = smO H ... ( — t:<0<t:).

'?. 2 i

Si, dans la dernière formule on remplace 9 par 0 — t:, on retrouve une formule déjà établie directement (I, n** 198).

275. Extension de la formule du binôme. — Dans un Mémoire fondamental pour la théorie des séries entières, Abel s'est pro- posé de déterminer la somme de la série convergente

/ , , m ni(ni — i)^ ^im,z) = i-^ - z-^ — ;;2-,-...

* i m(m — \)...(ni — p-r-i)

[ l .'1. ,. p

pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de m et de j, pourvu que l'on ait |3| << i • On pourrait y arriver au moyen d'une équa- tion difiérentielle, comme on l'a indiqué à propos des variables réelles (I, n° 179). La méthode suivante, qui offre une applica- tion des résultats du n" 268, se rapproche davantage de la marche suivie par Abel. Pour cela, nous supposerons z donné et |3| <^i, et nous étudierons les propriétés de '^(m, :;) considérée comme fonction de m. Si m est un nombre entier positif, celte fonction se réduit évidemment au polynôme (i -r- zY" . Si m et m' sont deux valeurs quelconques du paramètre m, on a toujours

(3(>) ?(7'iî -^j'f (''^'1 -=) ~ '^{ni- - m\ z).

En effet, effectuons le produit des deux séries 'f(w, z),

II. — SKHIES KXTIERES A TERMES IMVtiJNArriES. 4 F

}^m\ s) par la rt*gle ordinaire ; le coeÛicicnl, de zp d'Ans le prodiiil B^t égal à

ttD posant pour abréger

m(rn — i ) . , .f wi — X -v- 1 )

ifH =

:^ir~F

T^clatiou ronclionnetlo seni êtahlie si l'on monlre queFexpres' Isiaii (.^i)e$l idenlifuie au coeffictcnï. de zP dans 'z[tN t m\ r)j c'est-à-dire à (m -i-m')p. On pourrail veiifier directement l'iden- iité

î mais le calcul est inutile si Ton observe que In relation (3o) est

I cerUioement vérifiée toutes les fois que m et m' sont des nombres €atier5 positil's. Les deux membres de la i'orruule (-*?) soul des

ipolYaomes entiers en m et m'qui sonl é*^aux toutes les fois que m et m' sont des nombres entiers positifs: chmc îls sont identiques. D'autre part, '^(m, z) peut être dévelo|)pée en série enlirre ontonnce suivant les puissances croissantes de m. lin efVet, si

[tious effectuons tous les produits indiqués, 'f{m, z) peut tïLrc con- sidérée comme la somme d'une série double

©( W, 5 ï =r 1 -t- — - —

	-r-
m- ^j m' _j
•1 2
-?-■■	*
	nit*

U 2 . . . /I

Zf*-^.

tttand on fait la somme (nir colonnes. Celte série double est abso-

lurnent convergente. En efl'et, soient |cj = p et ]//j]=it; si Ton

^tnplace chaque terme par son module, la somme des termes de

DDitvelle série com[ïi'i^ dans la (p -f- ly"^*"*-' colonne est égale à

^ ir-h l),,J^-h p — \ )

?'%

i ,1, . . p 'e-ît le terme général d'une série coiiverij^ente. On [>eiit donc

i'i CtUPITRL' XIII, — rO>CTIOXS 0 INK VABIABLK COMPLEXE.

faire la somme de la série double (33) par lif^nes, et IVm obtient pour '^{m^ z) un développement en série entière

^(/îi, -3) = IH m H-

«î

l)*Hprès la relation (3o) cl les résii liais rtiililis |>In5 haut (n^ 268), celte série tloit être idenlitjue ii r"-'". Or le coefficienl de m

•■^Log(i-h 3);

on a donc

(34)

Ç)(fll, Z} = e'"'ôï(l+5)^

!a détermination du lo^^^arithme étant celle <]uî s'annide pour z ^o. On représente encore celte expression ]>ur (1 H- ^)'"î mais, pour savuH" sans ambij^uilé la valeur dont ï\ s'a-^^ît, il est commode de se reporter à l'expression e'"*-'^i '^='.

Soit m^^a-h'^i; r el a ayani la même signification qu'ati paragraphe précédent, on a

Ftiur tonnincr ro sujet, êludiuii^i encore ïa séné sur le cercle de eon- vct'gence. Soit Lî,| le module du terme {généra ï, pour un point z de ce cercle; le rapjïort de deux termes consécutifs de la série dcî» utoduks I wi — « -H î

est ejiïal à

v^d

1 c'est-a-dire, si /« = jjt. -+- v/, à

fO*

la function t&(«) restaiu finie lorsque ^ croît indéfiainient, D'aprê!? une ré^lo de conver|;ence cnnnue (1» n" 163). eeltc série ej^t conveif^enle lorsijui' ^ -I- I > I et diverj;er>re dans tous les aulies cas. La série (>9 } esf donc absolument convergente en tous les points tht ccrde de corne rire nrr lorsque ^i est positif. Si |A -+- 1 est négatif ou nul» le module du leiim- i;ru»*ral ne sa jamm^

en décroissant, puisque le raj^port ''^^ est constaaimeul supciîeur a

Un

l'unité. La série est divergente en tous les points dit cercle, lorsque l'on a jij — 1.

n reste à étudier le cas où l'on a — i <I |^5o. Considérons lu série dont

m. — NOTIONS s LU l.V Hi:iMU:si;NT\riUN (O-NFOUMK. H

teimie général csl UJ; ic rap|iorl âc deux termes consécutifs est égaï ^j

9\( fi)

(i— n — _ ^ ^^ ^i^iL^L

\ tt n* / H

l€l, si Ton choisit p a^sez j^rand poiir que Ton ail /î(|1 -^ i) > i, celte *^énr Ispra convergente- Il i^Vnsiiïi que IS^^ et par f^uhv le niodiile du terme I général U^ tendeni vers zéro. Cela éUinl. diin^ riilenliic

o( ;«. 5 )(i -

^) — o( /« -+- I, -5 ),

, prenons srulenienl don*^ les iîeu\ membres les lermes rie degré inférieur , i»u égal à «; il re*tc la relaiinn

Sn(t-T-s) = s;,-f-

m( m — I )* . J m

■•)

t ,'A. . . n

^/it-i^

t Sy el S^ désignant rc^^pectivemenl la somme des (n -h t) preuiiers terme? I de f (»i, -s) et de ç(m -+- j, z\. Si h partie réelle t\p m est comprise entre ' — t et il, Ià partie réelle de m -^ i est positive. Supposons \s\ = i; lorsque fie nombre n rroit iniléflnimeiiî, SI, tcntï ver*, une limite, et le terme eoin- fdénnentaîre icnd ver^ 7,éro; il en résulte que S„ tend aussi ver*, uit** limite* à moins que Ton n'ait i -î- -s = o. Donc, lorsque — ^i<fA = *i| /« Siérie est convergente en tous les points du cercle de com'erffencef sauf ' au point s = — t.

111. — iNOTtONS suit LA BEPHÉSENÏ ATIO\ CÛM-'OB.VIK.

3f76. Interprétation géométrique de la dérivée. — Soit // =: X-f- Y/

îine fcinclion iinalylii[ru^ J*^ la %'ariabl<* cuiiiplexe :;. holomorphe

îV rintérieur îWm ccmlour rfrrmé (1; uinis re|>résenl*Tons la valeur

Ide tt pur le poiiil Je cooi*do nuées X^ Y dans, un svj^léme d'axes

f rectangulaire s; pour la commi>diti* des énoncés qui vojil suivre^

itiuti^ supposerons les axes OX, i)\ respectiveiuenl pandlùles aux

laxes OX et oy et de même disposition que les preuiiers, dans le

Ifn^mt* plan ou dans un plan parallèle au f>lao J'oy. Lorsque le

Ipoînl z «lécril Taire A limitée par le eonïour C, le point u de

leoordonnées (X. Y) décrit dans son plan ujje aire A'; la rela-

ioa M^=/{s) déÉînit doue un certain niudr de eorrespondance

l'Ulrr les points de deux plans, ou de deux pointions de plan. Mais.

cmusc des relatiojis qui lient les dérivées des fonctions X, ^ , Il

*t évident que ce mode de correspondance doit posséder des

propriciés parlicaliéi*es; nous allons luoiitrer que /rs angles sont

ûonset^'és.

44 CHAPITRE XIII. — FONCTIONS d'lNE VARIABLE COMPLEXE.

Soient :; et Zi deux points voisins de Taire A, u et U\ les points correspondants de l'aire A'; d'après la définition même de la

dérivée, le quotient -^^ a pour limite la dérivée /'(:;) lorsque

le module de Zi — z tend vers zéro, de quelque façon que Zt — :; tende vers zéro. Supposons que le point :;, se rapproche du point z en décrivant une courbe C, dont la tangente au point z fait un angle a avec la parallèle à la direction ox] le point Ui décrira lui-même une courbe C passant par le point w. Ecartons le cas oii f^(z) serait nul, et soient p et to le module et l'argument

Fi g. Gi».

Fig. 61»».

y	\ D	je	-
	X		JC'
0			JD

Y	\	r
	w		X'
0	.		X

dey''(:;) ; soient de même /* et i\ les dislances zz^ et UU\^ a' l'angle que fait la direction zz^ avec la parallèle zx^ k or, ^ l'angle que fait la direction iiu^ avec la j)arallèle «X' à OX. Le module du

quotient ^ _ ^ est égal à —y et l'argument à jî'-

les deux relations

a'. On a donc

(35)

lim^l

Iiin( 3'— a') = to -h aA-TT.

Occupons-nous seulement de la seconde de ces relations; on peut y supposer /r = o, puisque cela revient à augmenter l'ar- gument (i) d'un multiple de i>.t:. Lorsque le pointai se rapproche du point z en décrivant la courbe C, a' tend vers la limite a, ji' tend donc vers une limite lï, et l'on a ^ = a |- w, ce qui exprime que/?o///- avoir la direction de la tangente à la courbe décrite par le point u^ il su/Jit de /aire tourner d'un angle constant co la direction de la tangente à la courbe décrite par z. On sup- pose bien entendu dans cet énoncé que Ton fait correspondre les directions des deux tangentes qui correspondent à un même sens de parcours des points :; et u.

lit. — NOTIONS SIR LA Rlil'RtiSKNTATlON CONFDhMK. i >

Suil U une autre courbe du [ilnn .my passanl pyr le [loiiii :;,

ti soil D' la courbe corresponilanle du jilaii XOV; les lelttesvet S

lesignaiit les nnj;;lrs qu«* foiU fes direclions coiTt^spuiulanlcs des

ingeiiteé à ces deux courbes avec zx' ou n\\ nous avons ii lu

fois

P = 2-H(U, §:^YH-<

Ici par siiîle 2 — ? = y — a. Les coarhes C et D' je coupent sous le même an^^le que les courbes C e/ D. Nous voyons de phi s i|iie le senà de rolatiun des angles est conservé. Il est h reniiiitjupr que la dt'^mon si ration ne s*;ipplîqne plus s\ f'{z) == o.

Si en particulier on consub'-iv* dans l'un dcî^ deux plans xov [ou XOY deux familles de courber ottliognnale^, tes courbes cor» [ifspondante'i dans l'antre plan furnierotU aussi deux familles [de courbes orllio^onales. Par exemple les deux familles de Icourbes \ — (1, \ ^^ C\ et les deux familles de courbes

l<î6t

mfM\f{z)= C, ary/ti) -= C

l'arme ut sur le plan coy des rc seaux arllic>jj;nnaTrx, car les courbes [correâpondanl*'s snr le plan \0\ sont iï\uH: part les deux s_)s* I ternes de parai t«*des aux axes de coordonnées ^ d'antre part les cer- [des ajâni pour ci/ntre l'orii^iiie et les droites issues de l'origine.

Extmpiet* — r Soil V=^^, at étant un iiôriilire n-el et p^isit if. Ivn |dé§îguacit par r el 0 les coonJcinnécs polaires de iy par r ei 0' les toor- |<lotitiee!i polaires île >5', Ja relation piL*iédente est équivalente aux Jeux ireblioci» r — r^, H' = a^J, On passe doue du poiiit z au jïohit c'^cn élevjuil Ile ra^^oti vecteur k la puissanee i el iniilh pliant Tan^le polaire jiar a. Les niigles 0OIII coriM^rves, sauf ceux qui onl leur sotiunet à ruri^ine^ i;|ui sont Itaii!^ muilipliéf par un facteur constani ol.

1* Cunsidcrons la Iransfonnatioii bilîiiè;nre

a z ~î- ù

" c, d s>»iit de> roustaïUes quelconques. Dans eertains ea^ pariieu^

»^ on viiU immédiatement connneni on passe du poinl s au point z\

«ons par e\cu»ple la iiansfoi mation z'^=^-^ù; soienl z = a^-hyiy

l'rnx' — yi.ù = at-^^tja relation précédente donner'^ j' -ha, j'=y-r-fj,

; qui inotilre qu'où pa^se du point z au point z' par une translation. Soît

'lie même ^^=a5; p et tu désignant le module et Targument de a, on

««t»r*=: p/*, *i'= ew -H 0. On passe donc du |>oint «au |)oinl^'en auj^men-

taitl Itt raj^oti vecteur dan* un rap]iort eonstant p, et faisant rourncr le

,\(ï ClIAriTRE \in. — POCTIONS lïLNE VARiAULI-: roMPLEXK.

nouveau ra^on vecletir d'un anj^le confiant ti>. Oti obthMii rlone la trans- formiilion defirae par lu formuïiî z'^aZj en cnmliinaut une transforma- tion par liomiitlictie avec une rotation. Considérons enlin la relaliuit

r, ô, r\ 0' ayant toujours la même sig^nificalion. on doit avoir rr'^t, 0-h6'=o, Le produit des ravoiis %ecieur« e*^! donc égal à runilé, lamlis que les angles polaires sont égaux et d<î si^^Jies contraires. Étant donné un cercle C de rentre A et de rayon H, nouis appellerons inversion par rapport à ce cercle lu transformation par rayons vecteurs réciproques de pôle A et de module H*, On obtient donc la transfornïatîon dêli nie par la fc»rmide z'z = i en eirectuant d'abord une inversion par rapport au cercle de rayon un décrit de l'origine comme centre^ puis en prenant le -Symé- trique du point obtenu [on' rapport à Ta^e ot.

La transformation la plus générale de la forme (37) peut être obtenue en combinant les transformations particulières que nous venons d'étudier. Si c = o, on peut remplu^^ei la transformation ( i7j par la suite des deu% transformations

a , f>

d'"

s ^ ,

si c n*esl pas nul, un peut écrire» en e lier tuant bi division,

a bç — ad

V c* « -1- vd

et ta 1 1 ansforn^alion peut être remplacée par la suite des liaosfortnatîôns

Zi,— (bc — ad)s^, z'^ z^-f~y

Toutes ces transforuiations particulières conservent ïes angles et le sens de rotation, et cliangcnt les cercles en cercles; il en est donc de même de lu transformation générale (ij), appelée pour cette raison transfortnotion circulaire. Les lignes droites doivent, dans cet énoncé, être con'*îdérécs comme des cercles tle rayon infini.

3" Soit

4' = ( 4; - e j )'«. t 3 >- *!, )"»i ...(z-€f, r,',

^1} *Jt "M C/i étrtnt des quantités quelconques, et les exposants wi,, m,, ,.., m,, étant des nombres réeîs, positifs ou négatifs. Soient \1, Ej, Ej, ,,., E^ les points qui représentent respectivement les quantités ^» i?j, tfj, - . ,, epi soient de |dus r,, rj, . , ., r^, les distances MEi, ME,. . . ., Mli^, et 0|, Oj, ..., Hp les angles que font les ilirectîoirs EiM, £,11!, .,., E^M avec ïes parallèles à Ox. I^e moilule et l'argument de ^' sont respective-

IIK — XUTIONS SLR LA ïlEPftÊ,SE.NTAT10N CoNFOttSIt:. \'

ti<înt i'^*rT**~>r1!r et «tiO, -«-. . .-^ m^O^, ; ics deux familles de courbe?^

r7' f^* . . . r*i;i' ^ C, wi, 0, -T- «f 1 ïij -T- . . . //J,i &,i = C

■orment donc un réseau orlhogonaL Lorsque les exposants wi|, /;*•, . . ., m^,

ont des nombres rai ion ne! s, toutes ces enurbes sont al*;éljnques. Si Tou

p«ir cvemple p = -a, mi= mt= i, une «les fiimilles se crmipose île cassi-

noîdc» k deux foyers, et la seconde faniiHc est ftirtnée |u'*r des ïiyperboles

équilatëres.

277. Recherche générale des transformatîong conformes. — LVxamen de la }»rr> position ructpruqire de celle qtii viejU d'être établie nous conduit à traiter un problème plus généraï. Ktîinl 1 données deux surfaces 2, H', faisons-les correspondre poitit j>iir (point d'une faeou fjuelconqne (en observant cependant r:ntaîn<^s conditions qui vont être préeisées)| et cberchoiis dans tpieU cas [les angles seront conservés dans cette transformation. Soient x, l j, z les roordonnées reclanf^ulaîres d'un point de S, j^', y\ z^ les > coordonnc^es rectangulaires d'un poitil de X'. Nous supposerons les six coordonnées x, jk, 3, x\ y^ z' exprimées en fonction de Jeux paramètres variables w, i-, de façon que les points corres- pondants des deux surfaces correspondent à un mr)me svslènie de valeurs des pu rame 1res t/, i-

(39)

nous admettrons de plus que les fondions y, *^, ... sont con- tioues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, ltirsc|ue les points (jr,^, z) el (j?', r\ z*) restent dans des régions

[déterminées des deux surfaces !t] et S'. Rappelons encore les nnia-

tiioos ^I, tr 131)

VH\

-->{%)'■

-■-^m-

~ f)u àç

°=K^:)'

'= S

— — G'== "yf — Y

</#* = Eiiu^-r-^Fdu di^^ G rf**«, da*^ = E' dW^ -+- 1 F' du f/^' 4- GV/r».

Soieal C et D deux courbes de la surface 2, passant par un [poinl m de celte surface, C et D' les courbes correspondantes Idc b «urface 2'^ passant |>ar le point m\ Le loni^ de la courbe C,

48 CHAPITRE xm. — fonctions d'lne variable complexe.

les 'paramètres //, \> sont fonctions d'une seule variable auxi- liaire C, et nous désignerons les différentielles par du et dv; de même le long de D, u et v sont fonctions d'une autre variable /' et nous désignerons les différentielles par ou et 8(^. D'une façon générale, nous distinguerons par les lettres d et o les différen- tielles relatives à un déplacement sur la courbe C et sur la

Fig. 62*.

Fig. 62»».

courbe D. Les paramètres directeurs de la tangente à la courbe C sont respectivement

dx = -r- du -{- --- dVy dy du dv ^ -^

-f- du-h -^ dç, dz = -r^ du h- -^ dv; ou âv Ou àv

les paramètres directeurs de la tangente à la courbe D sont de même

Ox ^ ôx ^

or =. -T- OW H Ot',

Ou (iv

dy

ày ,.,

0 K = -7^ oa -h -7- 0^', •^ du âv ,

^ dz ^ Oz ^

OZ = -T— ou -i — Of.

ou dv

Soit o) l'angle des tangentes aux deux courbes C et D; cosw est donné par la formule

dx ùx H- dy oy -h dz os

ydx'^ -\- dy^ -\- dz^ ^ox^ -h oj'* -j- 0^-

qui peut s'écrire, en tenant compte des notations (39), Eduou-^ F (du ov -^ dv ou) -^ G dv Zv

(4o) COS CO =

/E du"^ -\- 'i¥ du dv -^ G dv^ /E 8m» -h 2 F ou oi> -1- G ov^

On a de même, tu' étant l'angle des tangentes aux deux courbes C et D',

, M' du ou -+- V'(du io -r- d{> ou) -h G'dif ov

(4i) costo = —

s/li'du^-h X F' du dv -+- G'dv^' \fE'ou^-r-'i V'ou ov -+- G'oV

Pour que la transformation considérée ne change pas la valeur

— NOTIONS SL'rt L\ HKI»RliSE\TiTJON CONKOHHK-

Ides angleSj il l'andra que riui ail cosw'^^: cosei>, quels que soinii pu, rfi', 3m, 5%*; les deux ineuihres de régalilé

COi^tii' = rfïs*iu

KOril des foncUons rationnelles des deux rapnorts

r/i-

ih

a pitons ^-» -j- (iiit iJiji-

vent être ég:ales^ quelles que soienL les valeurs de ces deux rrî|î- porls. Il Aiirl |irMir t:ela que It^s coefr*c!enls correspondants des deux fractions soient proportionnels, c^esL-à-dire que Fou ait

r(4a)

G'

= X',

/. (Hant uiii* fonclîon quelconque des paramètres n^ i', et ces con- ditions sont évidemment sunisanles, car eosoj, par exemple, est une fonction homogène de degré zéro de E, F, G.

Lf»-s ï!ondilions (4a) peuvent être remplacées par un*r relation unique tis''^^=:K^ds'^y ou

Ut/

f/x' = A (/s ;

elle exprime que le rapport de Jeux arcs iujiniment petits corre>"

pondants tend vers une limite indépendante de du et de r/e,

liirsque ces deux ares diminuent lodçfiuiuient. (^ctte condition

rend le résultat presque inluiLil. En elTet, prenons sur la première

surf^ice un triangle infininieut petit aùc^ el soil a'f/c le triangle

f correspoûilant de la seconde surlace. Assimilons ces deux triangles

I , , . , .,* . I ti* h' a' f' L' c'

a des triangles reclilignes; puisque les rapports —j-y —7» ~r-

tendent vers la même limite />(//, t\), ces triangles sont smiUlahles ^ la limite el les angles corres[)ou(lîiuls sont égaux.

On voit que deux ligures iuliuîrueut petites des deux surfaces peuvent être considérées comme semblables, [ïuisijue li-s lou- I guetir^ des arcs sont proportionnelles et les angles égaux; c'est\ pour cela qn*on donne souvent le nom de representafion crm-j forme k toute correspondance qui conserve les angles. ^

Etant données deux surfaces î^, S', et une coirespondance déter- inrnée qui fait correspondre ces deu\ surfaces poîiit par point-^ ou peut toujours reeunuiiîlre si les condllious (fi) sont vérilices et, par suite, si Ton a une représentation conforme des deux sur- faces Tune sur rautre* Mais Ton peut avoir d*au très [iroblèmcs a G,, II. 4

50 CIIAE'ITBi: XIII. — FONCTIONS 1*1 NE VAHlABLi: CUMPLEVE,

résoudre; par exemple, les surfaces S et S' ëtanl données, un [unil se proposer de déterrnînrr loti Les les correspondances entre les points de ces deux stirCaces qui eonservcul les anodes. Supposons les coordonnées (x, )', z) d^iii point de S exprimées en fonction du deux paramètres («, t') et les coordonnées {x\y, z') d'un point de 2' exprimées en fonction de denx autres paramètres (w', r'); soient

ds^ = E du*- ^'AFdu (h -^ G ch^, ds'*- = EWw'^ -- 3 F'du'dv^ G'rfv'»,

les expressions des carrés des éléments linéaires. Le problème cpril s'agît de résoudre revienl à cehii-cl ; Tromper deux fonc- tions f/' = 7î,(«, r), ç^^T^^i^u^ v) (elles que l'on a ii identique- ment .

E'dT.\ H- 2 F'rfiîjrfTti-^ G'^/rî = 1*( E ^«t H- a F du dv -^ G rft * ),

1 <?'/ff/ii une fonction indéterminée des variables «, i\ Il résulte de la théorie générale des éf| nations didérenlfelles que ce pro* blènie admet toujours une inlinité de solutions; nous n'en traite* rons i[ue quelques cas particuliers.

278* Représentation conforme d'un plan sur un plan. — Toute correspondance entre les points de deux plans est déliuic par des formules telles que

(44) \^P(T,y), Y-Q{a^.j).

les deux plans étant ra]i portés à des coordonnées rectangulaires {x^y) et (X, Y). Diaprés ce qu'on vient de voir, pour que cette transformation conserve les angles, il faut et il su f lit ({ne Ton ait

d\^^d\^-= l^{dx^-hdy^),

X étant une fonction quelconque de ^, J'j iudépendanle des dilTé- rentielles. En développant les dilTérentielles dX, rfY, et identiiiant les deux mendires^ on trouve que les fonctions P(jr, j^)et Q(<ari^) doivent satisfaire aux deux relations

Les dérivées partielles — » ~ ne peuvent être nulles a la fois.

Ith

KOTÏO!»ÎS 5LR LA REPRESENTATION CONFOHÎÏE* 31

ir la première des relations ( 'i-^) donnerait aussi -^ =? -- = o*

Il les ionclions P et Q seraient conslanles. Par siiile, on petil 'écrire, d\i|)rrs la dernière relalioo,

OÙ _ _ àV

u élaiU une inconnue auxiliaire. En |Jorlant ces valeurs dans la Ipremière condllion (45), celle-ci devieni

<'-'[(f)'-^(f)']-

rçrfon en lire a ^ z± i . On do il donc avoir, soit

\^^ ^ ôx ùy iiy Ojc

soit

I :i ^,

Le premier syslèrae de conditions exprime que P + iQ esl une fonction analytique de x-k-ir^ quant au second système, on le ramène au premier en cliangeant Q en — Q, c*est-à-dire en pre- nant la symétrique de la figure transformée par rapport à OX. En définitive^ à tonte re[>j'i''senlarioii conforme à\\n |jlan sur un plan correspond une solutiou tlu système (4^) <il» p^f' suite, une l'onction analytique. Si Ton suppose les axes OX et OY respec* ilivement parallèles aux axes ox^ oy^ le sens de rotation des angles est conservé un non, suivant que les fondions P et Q véri- lient les équations (4<») ou (47)-

f79, Théofème de Riemami. — Étant i!fiiii>és dans le plan de h\

SAvii^hit* z une aiic .\ liriiilèo par un seuï contour (ou contour siifjjjle),

I ei dsins le plan fie Isi variable a un cercle C, Kîeinafiu a démontre ^^u'il

[e3kt«taii une fonction analytique u ^^/{z), holomtuplie dior^^ l'iiirc A, et

I telle qtt'A rhaquc point de l'aire A corresponde un point da rercle et

qy'în%er»enieiit à un point du cercle corresponde un (xiint et un seul

f cte AJ Lu fonction f(z) tlcpend encore <Je trois constanLe*^ arbiiriiiresi

I rrcllc4 dont un peut disposer »ie frtçon que le centre du eeicle corresponde

à un paint dctcriiiuié de l'aire A, tandis qu'un point arbitnirrenient choi&i

ir la ctrconféretice correspond ;i un point dcternunê du contour de A.

CHAPtTRIS \Ill. — FONCTIONS H UNE VARIARLK rOMPLIÎVK.

Nou5 nfi <lonneri>ns pas ici la d é ru on st ration dtî ce thi-uièine ii*>nt nttu*. înclifjucriiris seulement quelque."* e\cin|)leî4.

Rtrniarqiifiris «eu k me ni qtron jiciil rem()lacer le cerrle C par un (ii^mi- plan. En elIrU >iip]ï*isun*i (juo dans J*! plan des tt, la circonft'i enee C pa^se

tjnr r^rii^ine; la iiansfoininliori «;' =; — leiuidîite cette circonférence nar

une ilruile, et le cercle lut-mérne par la jinrtion du plan des u' située diin ci**té lie t'cUe ihoile, prolonj^ée indélînitneiit dan* les deux sen*!.

•^^tr^»/^(«.«.. — . ^^«.x .^ _ « . * étant réel et pusîtif: eon^idériins la portion A du jdan coin[)rise entre la direction o:ret nue de ' ' **- * *

f* ti I ■« ificiit*- nit^ I dti'i 1 I n r> l'I^ In I (

Erempies. — i" Soit u = «^. i étant réel et positif: eon^idérons la portion A du jdan coin[)rise entre la direction o:ret nue dctni-drotte indé- finie i«5ue de Tro î_;inc et faisant l'ani^le jt. avec ox(^ = "^)- Soient z = re''^ u = Be'*»*, toi doit avoii'

H = r^, tu = - ;

Jorsque fc point ^ décrit la portion A du plan» /' varie de o à h- x, et 0 ileo à a:: : R varie donc de o ii -h î« et tw de o à t:. Le point ii clécrit donc le demi-plan situi^' on-dessus de Taxe OX, et à un point de ce denii-jdan ne correspond qu'nn point de A, car on a invcr^enjcnt r = H*, •) = atcD.

rrcniois encore la purtion B du [dan ilcâ z limitée piir tleux arc^ de cercle qtii se coupent. Soient ^o, ^j les points d'inlersectinn ; fi Ton eireclue d'abord hi transformation

l'aire B est remplacée jjar une portion A do jdan ile> -' comprise entre deux rayons indéfinis issus <le Torigine, car le lonj; d'un arc de cercle

passant pai le* |>oînt'i -y, ^i^ raiguinent de —

conserve une valeur

constante. En apjdiqnani ensuite la transformation précédente h — < ^ >\ nous voyons *pic la fonction

"=(s-)'

permet irellectner la représentation confornu' de l'aire B sur nn demi-plan, en choisissant at convenableaienl.

2" Soit a = cosj. Faisons décrire à * la demi-Lande iiiilélinie H, oti AOBA' (yi^, 6i), définie par les inégalités o-x^tZj J^^«i ci chercljonî^ la région décrite par le point u = X -*- \ L Nous a\ons iri ( o* i(i9 )

(48)

X = cosx

ey-

Y = — ûnT

ey—e-y

LtosqiMJ j^ varie île o à -t Y est ciorsl.inimrut né^alif. et le point u reste dans le demi-plan sitoé au-dessous de Taxe X'OX. A tout point du

l;i région H corre^pontl dune un iminl «In «luini-pltin dç^ n, el lui^que le point z er^t sur fe conloiir ilt^ R, m\ a Y = t», rar Vnn dt^s (Jihix liic-

I teurb ^in^iT* nu — est nuL fnvcrsfmeni h luul poml Jn (leiiii-pJan

^tles u au-de^sou<i de U.V cnrrespund un point et un seul ijt.^ la ijuride H *lan* le plan des z. En elîeri isî 5' f ^i une racine de réquatioii « = cr>!>5, routes le* autres lacities 5«»nï c«.»mjins.es «bus b formule ^^-=b;\ Suji-

Kig. 63.

.y	» 1
A	j 1	A'
0		B	*p

C'

I posons le rnefricient de £ dans ^' prpsuîf. il m^ jit^ut y avr^îr i|u'un de ces poiou racines dans la ïjande B, car tuus les [>oînt<^ 'j^At: — -s' sont au- dessous de ox. It y a imijouis un dt^s poinU ■iAît-t--s' situé dans R; en effet, îl y a toujours un de ces points dunt l" abscisse est comprise entre o et 'Jt:. Celle abscisse ne peut être comprise entre 7: et s-rt, car la valeur Ir^MTespondanie «le Y serait positive. Ce point est donc situé dans R.

On %oil aisérneni, au moyen des formules (48), que lorsque le point z

décrk une poriiun de parallèle a ox dans b bande B» le point u décrit

ï ilcini'ellip^e. Lorsque le jioinl z décrit une parallèle â oy^ te puint u

[iJecrit une demi-branche d'hyperbole. Toutes ces coniques ont pour foyers

llrs points G, G* de Taxe OX. d'abscisses H- 1 et — k

V Soîl

K9> «= -wi — '

ciaill réel et positif, l'our tjuc |u[ snît inférieur à Tunilé, il faut et i\

bllCBlt comme le montre un calcul lacile, que Ton ail cos^- >o.Si j varie

— a à -^- a, nous voyons qu'à 1*1 liande indéliuie comprise entre les irii% droite» y =^ — ^% y = -^ *7, coricspond dans le plan des « le cercle G ie rayon un décrit de Toriiçine comme centre* Inversement à tout point le ec cercle correspond un seul point de lu bande indéfinie, car les valeurs

54 CHAPJTHK Xltl. — F0XCTI0X9 D'UNK VVHIVBLK COMPLEXE.

de z qui en ire?^ ponde ni à une valeur de tt forme iit une progresîîîon arilbinélique rie raison \aL 11 ne peuL donc y avoir plus d'une valeur de z dans la bande con<»idércc. D'ailleurs il y ïi toujours une de ce<i racines où le coefficieuL de i est compris entre — a et ia, ei ce coeffirient ne peut être compris entre a et 3«, car la valeur corre^îpon^ïante île \u\ serait supérieure à un.

280, Cartes géograpMq^ues^ — Faire la carie tl'inie sorlace, c'est faire corr€ s pondre les points de celte surface à ceux d'un plan de façon que les angles soient conservés. Supposons les coor- données d'un poînl de la surface considt^rée S exprimées en fonc- tion de deu\ paramt:lres viiriables (n^ i^), cl soit

ds^ = E du^ -4- a P rf« dif H- G dif*j

le carré de l'élément linéaire. Soient (a, p) les coordonnées rec- langulaires du point d'un plan P i\in correspond nu [ïoint (rt, v) de la surface. 11 s'a;^nl de trouver les deux fonctions

de lelle façon que l'on ait identiquement

E if «* Hh a F du dv ^ G rfi»* = l ( da^^-^ d^^ ),

1 étant une fonction *|uel conque de a, fi, ne renfermant pas les dilTérenlielles. Ce problème admet une in II ni Lé de sol niions qui peuvent toutes se déduire de l'une d'elles au moyen des transfor- mations con formes j 'l^j^ étudiées, d'un plan sur un plan. Sup- posons, en effet, que Ton ail à ta fois

ds*=l(da*^d^*'), ds*- Vidot'*-^ dp);

on aura aussi

de sorte que xH-^ï/, ou x — Ji/, sera une lonction anal\ tique de a'-i- p'i. La récifiroque est évidente.

Exemples : i"* Projection de Mercator, ~ On peut toujours faire la carte d'une surface de révolution de façon que les méri- diens et les parallèles correspondent à des parallèles auv axes de 1

ordonnées. Soient, en offel,

co

a* = p cosw,

p *ïîn w,

« ^J<9h

ut. — NOTIONS SliR IK REI'IIÉSENTATJON CONFORME* >5

le^ coordonnées d\m poinl d'une surface de révohilion auloiir de azi on a

ds*--

^fjiii petit s'écrire

iui^-

^?'].

^.çî= 5?(/fXî^r/Y*>

.en poîsanl

\ =

^ r^i-^fH-,

dp.

Dans le cas d^mc sphère de ra\oji R, nous pouvons écrire les coordonnées

R cosO,

d(\^

;r = H sinO cas©! ^ = R «inQ **inQ, ds^=^ R*(rfO*-t- *.îiiîO</îiVi — R^sins^ («f^ et nous poserons

>fi obtient ainsi la projection dite de A/ercator, dans laquelle

les méridiens sont reprcscnLés par des parallèles à Taxe OY, et

le« parallèles par des segmeut?^ île droites parallèles a OX. Pour

obtenir toute la surface de la sphère, il suffit de faire varier îp

* de o à 2 7: el 0 de o à tt; X varie de o à 27: et Y de — go à -h 00. La

I carte a donc T aspect d'une bîuidc indéllnic de largeur stTi. Les

I courbes situées sur la surface de la sphère rpii coupent tous les

méridiens sous un auf^Ie constant , ou loxodroinies, sont repré-

Mfp'.'w §iïr la carte par des lignes droites,

1^ Projection stéréoantphifpte . — On peut encore écrire le ^e«rré de rélément linéaire de la sphère

1/*» =

. /) / Rît/0* j.,^ n , A

\otx

ds^ = \ t^os^ - (ifp* -^ p* rJfo^ }j

56 CIIAHTHK XIN, — l'ONCTlUN» liL\E VAllJ\ilLK <:yStl*LlCXK.

en posant

p == H tau;;- ♦ tu ^ c.

Maïs f/p^-r c-VAt»''' représente le c«irr<'' de rélémenl linéaire tlu [ilmi en coordonnées polaires (p, t.j); il suffit donc pour avoir une refHi'senl;itii>a cnnlonne de la sphrre de fidre rarres|>on«Jie it un poinl [H^ '^) de la surface de la splière le poinl d^in plan de coor- données |>cdaîres (p, w). On voit ininiédiatenrenl, eu faisant la ligure, que p el (t> sont les coordonnées de la projection sléréojj;ra- phiqite sur le plan de i'é€[ualeur du poinl (H, ij;) de la sphère, le point de vue étant Tun des |>nles,

3" Carie du tore, — Con -si lierons ïe ture enj^cïKlrô pMr la rcxolulioti d*une circonférence de rayon R autour d'un axe situé dans son planf a une distance a clu centre ilu rercle (nous supposerons^ a > R). L*!i\c de rcvolulinn étant juis pour a\c des ^, cl le plan minllan du tore étant pri* pour plan <les Ty, nous pourrons i*crire les coordonnées d'un point tîc Vu surface

ar — (a -^ B eosOjcn?^^, >- = (a +- B cos^fi ) §in cp, -^HsînO, et il sutfua de la ire varier 0 cl '^ de — t: à -f- -. On driluit de i'e> formules

L ' ^^ ^ HcosQ)*J * pciur fiiirc la raitc fie la surface, nous po^^erons (i^fj/r n^ llii

ou

La surface toi aie du lore correspond ainfii point par jioint a celle d'uit

îi îî e rcclanf^le dont les dimensions des côtés «►ont -kt. et

\^o,
-'X-	r/0 ie — - -a ro
-^ecosô /ï — e*
	"i<'

v/i — e»

281. Courbes isothermes. — Suit V{t. y) une solution de réqnalion de La pi ace

les courbes représentées p.ir ré(|uation (>«) \}{x,y)^C,

III. — NOTIONS M K LA H Kl'

[où C e*t une cnn-iiantL' iuliili aire. foim+Mii uiu! fiinjille *le combes iso" ^ ihertftes. \ louli? >a|utHm Uix, ri cîe réquniîon de La|jlace, un penl en

îi**4icier une autre V(x, j*) telle que V -v- i\ soit nnt* fnriclinn anahncjue

ée ^ -^ ri: \ûs rehitîon^

fponirent que les «ieu\ faïnilles de tmrrlics i^^ntliermc^

isont orthogonales^ car les foeffieieTits angulaires îles iim^^'enti-s aii\ [courbe* C et C sont res]jet'lî\einenl

dV âV

à\ à\

dx * dy ÙT ' ày

I Donc le* trajectoires oriho^iuïales «l'une l'ami Ile «le eonibes isoUiermefi fornicnt une autre famille rîe courbes i*ini hennés. On oïiiiendrii lonn les systèmes conjii|;iiès de courbes isoibernies en eonsirléranl une fonction ttnjiUtique /(s), et en prenant le^ courbes pour lesquelles la partie réelle de y*.-)» ou le coefficient de /, conserve une valeur constante. Les courbe«k pour lesquelles le nmdnïe R, nu T^rf^ument Q de f(z\^ reste ^constants forment aussi 4eii\ système> conjugués isoibennes; cor la [)arlie [rcelle de la fonction analytique Lo^[y( j)] est égale à logR^ el le coefll- [rient de i à iï.

On obtient également de?» systèmes îsotbernïcs conjugués, en considérant fie* courbes décrites par le point de coonlonnées X, Y^ où /( - ) =^ X -+- *Y, [lorsqu'on attribue à x o\î 'a y une valeur constiMite. Il suflîl en eiïet de [regarder in%er?»enienl x -^ iy comme une fonction analytique de \ -^ /Y. Irius généraîcmenl, toute transformation entre les points de deuît plans rqui conserve les angles ebangc une famille de courions isothermes en une [fiouvelle famille de courbes isoiherntes. Soient

:t=p{x\y), y ^g(^\y)

le» formules défini'>«'8int une Iransbïrniatiyn qui conserve les angles, et îoîl ^*(x\ y') le résultat obtenu en tempbiçtint x et y par p(.t\ y' ) et qi J^ ^ y ) %\^%is \}ix,y). Tout revient » ilémonirer qioi ^{x\y'\ est une jlution de rérjuation de Laplaee, jiourvu qu'il en soit ainsi de \}{x^y). raient n^tilTre aucune difficulté (i»oi> GïiajK Jl; cvercice 9, f», 96]; mais théorème peut aussi s*étaldir sans aucun culcul. Ivn elfet, nous pouvons »uppti!»er que les fonctions /?fj^\ j-'*) et qix\y) vérifient les relation^

Ôp Ùq

Oq

•riSfie trinsformation par symétrie change évidcjnment une famille de orbe^ Uothermes en une nouvelle fumîlle de courbes isoi bennes, La

58 CHAPITRE XIII. — F0:«i:T10NS iVlNE VARIABLE COMPLEXE.

fonction x -^ ly — p-¥- tq est alor-s une fonclion analytique; de ^'= ar' h- iy\ et U H- 1 V devient également après la substitution une fonction ana- lytique ^{3r\y)^ i'^{x\y) de la même variable -3'(n''i63). Le«i deii\ familles de courbes

flonneni donc un nom eau réseau orlbo^^tnal fnrnïé fie Amxw faiiiillc? îso- ihernici* conju jouées.

Par exemple, des ceccles concentriques et ^es rayons issus du centre forment deux familles isothermes conjujîuéeF, mmme on fe voit inunédia- lement en considérant la fonction analytique Loj^-s» En elfectuant nne transformation par rayons veeteurf^ réci[»roques, on en conclut que des cercles [ia««.ant par denv points llxes forment éjïal entent un s>?*tème iso- therme, Le système conjiïgué est également eomposé de cercles.

De même des ellipses humofocalcs forment un système isotherme. N^uus avons vu plus haut en elFet que le point u = cosî décrit des ellipses liomo- focales lorsque l'on fait (îécrire au point - des parallèles à Taxe oxin" 279). Le système conjugué se compose des hyperboles boinofocaîes et ortho- gonnles.

Remarque. — Pour qu^tne famille de courbes représentée par une équation P(^,^) = C soit isotherme^ il n*est pas nécessaire que la fonc- tion Vix^y) soit sobition de l'équation de La place. Mn elîet, ces courbes sont aussi représentées par réquatiun '^[V{x^ y)] ^ C, quelle que suît la fonction <^, et il suffit que l'on puisse prendre pour celte fonction ^ une forme telle que U(jr, ^) = ç(P) vérifie l'équatîon de Laplace» Kn faisant le calcul, on trouve que l'on doit avoir

dp'^ L\^/ "^1^7 \^dP\àx* "*"iÔ^/**' il fiitidra donc que le rapport

m-

ne dépende que da P et. si cette contlition est satisfaîtCi on obtiendra \a ^ fonction cp par deux qua il ratures.

IV, - PRODl'lTS INFINIS.

282 . D éfini t i on s et g é né r alités . — 1^' i ii n l d o n f i v € 1 1 o e .s ti î l e î n d é- finie, à te roi es réels ou iina^inairesj

U0, a,, ttf, u„, ...

$S le prodiiîl P,^ tenti vers une liniik' P lorsque n augmente indé- finiment, on dit r|ne le proijuit iuiîiii

Kso n

( I -h W„ ) - ( t H- W„ ){ I -h Ui ) ( I + «î ) . . . (I H* W„ ) . * .

Pn =

I — >

€Sl convergent : le nombre P es^t par définition la valeur de ce

produit.

Il est clair que si Wtn dos faclt/urs i -j- '/,« est nul, tous les pro*

duîls P„, où /i^/??, sont nuls; on a donc P = o. Mais il peut aussi ^ arriver que le produit P„ tende vers zéro sans qiraucun des fac- H leurs I -h Un, soil niiL Tel est le cas du produit

qui tend évidemment vers zéro lorsque n croît indéfiniment. Les règles qui permettent de décider de la convergence d\in produit inlini the s*appli«]uanl pas toujours à ce cas singulier, nous réser- veroDîi le nom de produit convergent aux produits infinis pour lesquels l*„ tend vers uwg limite P tiifférente de zéro; lorsque P,, a zéro pour limite, nous dirons que le jïroduit est mtl, tandis qu'il sera appelé divergent , si l\ ne tend vers aucune limite.

Pour <|ti'un produit infini soit convergent, sans être nul,* il est nécessaire que «^ tende vers zéro. En elTet, si P,, tend vers onc limite P, la difFérenee V„— P,,_, = l\,_i u^^ doit tendre vers zéro; le facteur Pj|,i a\ant une liaiiic difFérente de zéro, il laitt donc que le fadeur w„ tende vers zéro. Le raisonnement ne s'applique plus si le produit est nul; on vérifie aisément sur re\em|de cité plus haut que Un ne tend pas vers zéro.

D'après une remarque antérieure (L n" 157), Pétudc de la con- vergence ou de la divergence d'un produit infini se ramène i'i r.;!!!/!^ it^x la niénie question pour une série. Posons

I

I

,= **o= <!*+- ««)*

P,— \\,— (I -^ Mo)«lr

6ii

^lUIMTRI^ XIII.

Ffixr.TioN!? li i:m: vahublk i nM('iJ:\i

et» d'une manière générale,

el considérons la sth-fe iiuxifîatre

(5H) l'u -+- *i H- . . * ^ r« -^ —

La soin me ^ft^^ t^i -+- i"i 4-* - . H- *•/! est évidemment égale ii l*,,, de sorte que celle série est ctm verge nie ou divergente en même lem|>* que le prodinl inlini n(i 4- "w); lorsque fa série est convergea le, Sîi su m me ^ est éj^^ide à la valeur I* du (irodiiil infini, y

â83. Produits absolumant convergents. — Supposons d'tdjurd qne Ions les nom lires n,t soient réels el posiliTs. Le jjnjduil V„ Vil en eroîssanl avec n el, pour démontrer la convergence, il suf- fira tle prouver cjue ce produit 1% reste inférieur à nu nombre lixe, quel que ^oil fi* On a, d'une jjarl,

!'«> I -^ w^^ //i — .. .-+- Un;

d'autre pari, on a, x étant positif, i -t- j' <i^^'i et par suite,

La première inégalité montre que, si le produit V„ U^nd vers une limite P; on a constamment ;/,jH- «, — «.. H- «/, < IV La série à termes positifs *

est donc convergente. Inversement, supposons cette série con- vergente et soit S sa somme; la seconde inégalité donne l\r<Cc*^. Le produit P„ lend donc vers une limite, el Ton en conclut que

le produit infini I I ( i 4- «/i), où ions ies nomi^n^s ti„ soni réels

et positifs, est convergent on divergent ^n tnetne temps que la série (5^).

Considérons maintenant un |irodnil irilini, ii tenues qnfU conques, réels ou imagiuaires,

(55 ) ( I -^ /!„ h; 1 -K «I ) . . . ( I -h M« ) , . .

et 5oit Ui^^ \tti\^ Si lu série

comme on Vu fait remarquer^ la timiLe du produil

lorsque n augmente !nil«nînîirienl. Dans ces condilions, le pro-

'i- ICI

Juîl I I (i 4- n») est dit cibsoiumeni convergent.

Les proiluUs infinis aljsoliiment convergents oflrenl nn inlcrtH parlieulier, eoiiinie les séries aljsoliinu'ol conver^^euLes, avec lesquelles ils ont de grandes analogies. Ainsi, dans tin produit injini ahsolunienl convergeni, on peut modifier Vordre des facteurs d* une façon cirhllraire sans changer le produit. Hou^ di'iricintreruns d'abord qnetanl donné nn produit lu lin i ahsolu- Dieol convergent, à lont nombre ]>osîlif £ on peut faire corres- pondre lin nombre entier n lel que la diflerencc entre ronflé et \c priHloit d'un 110 ni lire qneleonqne de fa c leurs

ait tin module inférieur à s, lorsque tons les indices a, [i, , , , ^\ ■Sfini supérieurs à /f. On a, en effets eojnme on le voit inimédia- Itemciit en supposant les deux |noduits développés,

et, par 5Uiie,

Kl-

«3e»H

^?h..(l

«X ) ^

■ I I < «î'^

^ih-

€U4lMTIïfc: Ttlll. — FONCTION» JJ*Li.\E VAUI\MLE ClOMULEXE.

mais, la série î:lU/éhi ni corivergenle, on peul prendre le nombre n assez grand pour que la somme Ua 4- Up 4- - - . -^ U>, soîl plus peliLe que log(i-|-£), lorsque tous les indices at, [i, .-•,>, sont supt'rieiirs à n. Le second membre de Tiné^alilé précédenle pet»l donc être rendu moindre f|ue loul nombre posilif £, en prenant le nombr»^ entier // assez grand.

Ceci prouve, observons-le en pjissanl, qu'un prof/ftif absoitt- ment convergeift ne p(ntl être nul à moina qttnn des facteurs du produit ne soit nuL Stjp posons en effet qu'aucun des fadeurs du produit ne soit nu); choisissons le nombre u assez grand pour que Ton ait, ipiel que soîl le noml)re posiliJ />,

a é\i%n\ un iit>mbre positif ittférieur \i \\m\U'j \\ est clair que le

-I- » ,

module du ju oduit inliiit I 1 (i 4- ^'//+v) ^<n'à supérieur a i— a et,

par conséquent, le produit l* qui esl égal au précédcnl multiplié par Ffl ne pourra être nuL f*ela posé, soient

( 59 ) (1 -h «0 ) (1 -^ «i ) . . * ( ï ^ W;j ) . ^ *

uii produit infini absolument convert^enL et

( 60 ) ( t -h Wç )( I ^ «'j ) . . , ( I -h £/'„, ) . . .

un autre produit ijifjui com|>osé des même* facteurs [jris dans un autre oi'dre. Ce second produit esl aussi iibsolument convergent, car la série SU^ est conq^osée des nié mes termes que la série 2U|. Appelons V et P les valeurs de ces àK'Aw produits (og) et (Oo). Soit Vff le jn^oduit ét^s n -\- \ premiers f'actetirs lIu produit (St)); tous ces facteurs se retrouvent dans le produit {60)^ et nous pouvons prendre un nombre m>n tel que le produit P^^, ren- fenne tous les facteurs de P^,. Nous avons alors

tous les ludices a, fi, .,-,). étant supérieurs à //, et, d'après ce que nous vei>ons de voir, on peut cboisir le nojnbre n assex grttnd

I

ausiii j>elil que suit le nooibre [>os!u(' t. Or, lorsque /f augmenle

iadéfiinmeot, il en csl de même de ///, el le rapport j^ a pour limite TT* Il Tant donc que ï'oii iVit ]^'-= P.

i8l. Produits uniformément cooTergents. — Considérons encore un produit infini (5i). où ^Oh '^n •* ♦» thn *-• sont de*» fonctions continues, réelles ou iuia^'^inaires, d'une on plusieurs \ariables x, y, /, -.., ce qui comprend évitlemnieut le cas ^ OÙ «0, «I, «2, ... seraient des fonctions d'une variable com- plexe z. Nous dirons que ce priKlniï est un {'/armement cofivcr- gent dans un certain domaine O, sj la série ^r,^ définie plus Iniul, dont la somme est égale au produit infini, est elle-même unifor- mément convergente dans ce domaine. Le produit l*est alors nue fonction continue des variables indépendantes.

Un produit infini est uniforméuieat conver^^enl, s'il en est ainsi de ta série

reprenons en eflet la série (5.^), nous avons

i'«_,^...-hP^^^,= Vn^p— \*n— t',J(f H- U«^i)*,.(l-r-Mfl^,;) — l];

00 a d'ailleurs les inégalités évidentes

Ut-

^}(i^ ««^î)..

H,,^n) - 1 1< eLW.>r..,-H, ,^.t,.,„,.

Maïs la série (fit), êlant uniformément convergente dans le I domaine D. représente une fnnction continue qui reste inférieure a une certaine limite M» et Ton [icnl choisir un nombre N assez [graud pour que la somme suivante, où /ijN,

[reste inférieure, quel que soit p, à un nombre positif a dans le Ifndine domaine. On aura donc» le nombre n ayant été choisi de

i\\ CHAPITRE XIM. — FDM:TI(>NS [j'iNE WKtlMLK COA|l*LE\K,

Ceci [rroiive bien que I» série ^v,i est nnUovmvuicnl convt i Lj^ente, iHiis*|u'oti neiil loii jours i^fïoisir a *!f* fijçoti i suti^sfaire à la conJi- liofi (,*^(e* — i) << £, aussi pelit que sorl s. Par exemple, le produit lufini

F. = .= .,-..)(.-f:)...(.-i!)...

représenle une i'oiiclioïi continue de la variable complexe z^ car

la série ^^"4" *^^^ unifoniiéuieul eoiivergenle a rinléi'ienr du ne

courbe fermée (|uelfor*([ue, (^e produit est nul pour ;; = u, dri, ±2, . * • el pour ces valLMirs seulement .

Ri' iit arque, — Toutes les propriétés précédentes s'étendent sans difficulté aux produits infinis n(i -h timit)^ ï^»*' cbatpie facteur est aflecté de deux indices distincts m^ /i, pouvant varier sépa- rément de o à H- X. liOrsque fa série double SU,«rt est conver- gente, le produit précédent a une valeur bien déterminée, qui ne dépend pas de la façon dont (hï fait rroîlre le moubie des facleiirs. De nièmi' quunt* sérii* double id>siduinent convt^rgenle peut être, irnne infinité de jnaniéres, ttansftprmée en une série ordinaire, un produit doiddenient infini, tel que le précédent, |ient élrc d*une infinité de manières traiisformé en iiji produit simplement infini ubstdumt'ul convergent Si tous les termes r/,i„i sojit des fonctituis cimtinues de certaines variables oc^ y% . . - , el si la séiie 2IU/«m esl uniformétnenl cun verge nie dans nu certain domaine D, le pro- duit infini IIi i ^ u,ft,i) esl lui-même uniformément cou verge ni, et représente uj»e foncliiu» cou l inné de jr, y^ . . , dans le domaine 1).

58.1- produits infinis réels, — Heprenons un produit iiifiiiî »]r faneurs réi*k

pour cludit-r le ras où it y a uiu; irilinité de termes né^^iUirs dans la suite u^^, Ui^ «î, .,.. f.ors€|ue tous ces ir.niies sont^ à parlir d'iijj cortniii lunit;, compris entre — i et o, on est conduit ti «^ludicr un produit inliiii irl <]uc

tC'4 ) ( I — i'o ) ( i — r, u . .M — i'rt ). . .

IV. -= PliDOriTS INFIMS. "^^^■~ B5

loù Ço^ t'i, , v,ty ... sont iioskifs et inférieurs à i. Il est v\n]r que le

■ produit (i — *>0)..,(i — v„) va en décroissani lorsque n atignfiiînte, et que

' re produit resle positif: il lend donc vers \ine limite lorsque n croît îiîdé-

Imimeiitt mais celle limtlc peut ctre zéro ou un nombre positif. Si la

t«*i'Tie ZiU est convergente, le produit infini (62) est ab«ulumenl conver- j;«»nr: le produit (î — ^ i'o) . * . f i — v^,) a donc une lin:ite dilîctfntc d«* *,-ro (n^2«3).

Pour voir re «|ui nrrivt^ lorsque Iû série ^v,- est divergente, remarqiious que Ton a, quelle «juc soîl la valeur réelle de jr,

i-l-;r < e*,

rar la fonction e^ — ^ — 1 esi minimum pour x = o. Un pcul doue êcrirt!

i~Vo<e-% I — ii<t-^'s ...|

et pur suite

i I — v^n I — r, K . .( r - r„ ) < c-'>'.'^^*^."-*'«V

l*a comme l'a **- l'i -+-*.* -f- t'« ougmente indéfînhnenl avec /i, et par suite le produit in fini est nuL

Lorsque la suite «o, u^^ ..., Uft, ... renferme une infinîié de termes po&itifs et une infinité tic ternîtes né;jatifs, le |iroduit infini ne |*eul être ronvcrgcnt sans être nul que si le terme général itn tend vers xéro (n** 283). Supposons; qu*il en soit ainsi : comme on peut toujours négli|;jer un nombre liHÎ de fiicleitrs au débtit, nous adiiicltn»ii'? que tfnH les facteurs *oni posi- tifs. Le produit F%, contient alors un certain nojubrede facteurs supérieure à I et un certain nombre de faeieurî> inférieurs à 1 : le seul cas douteuv i^Èl évidemment celui où le produit des facteurs supérieure à 1 augmente itidéfiniMierit» landis que le jiroilnît des facteurs inférieurs â 1 tend vers léro, lorsque n augmente indéfmimejit. Le produit infini peut être con- vergent ou divergent suivant les cas; mais il vM facile de démontrer, eu r,iÎ5onnani comme [»our les séries semi-convergentes, (I, n" i6tî) que, dans un produit de celte espèce ^ on jieut toujours disposer les facteurs •tans un ordre tel que le pix^duii F*^, ait pour limite un nombre positif quelconque donne à l'avance.

Lorsque la série I^u^ est convergente, on a une réj^le précise. Le pro- duit r« iend ver$ une limite positive ou tend vers zéro, suivant que ta iérie Si*J e*î convergente ou dit^ergente.

Pour le ttemonlrer, remarquons que le rapport

lot; ( I H- j: ) — j-

a p*»or limite — » Inrsquc r teud vers zéro; nous pi>uvon< \\Qni: écrire

1.»-^ I

*--«),

tnïl.

m

CHAPITRE XIII. — FOMTKJNS DLNlt: VAHIVItlj: i:i*MPLEX.E.

la valeur iiiisuluc lîe a riant inféiieujc ii - pourvy nue la vali^ur absolue

de :e soit inférieure à une certaine limite, Putstjue «« It^iïil vers zéro quanJ n croll indcdliMmenl, et que l'on peut faire commencer le proiluii infitii à tel fadeur que l'on veut, il esici4iiir permis di; supposer que Wm a

l0g(l -+-«„) — Uq — —^ (i -+- fjy ), log(l -h Ml) = fl| (I H- Oi),

liHis les nombres 0,^, du ..., Ô,, ctaiiL compris cnlrc — et -+- - • On déduit de là

(t>i) logPrt= wu -f-«i -+-... -^w„'— - «J(r-T-lïg)-,..— ;- ff;(i a„);

lorsque le? fletix séries 21ï/,i et — mJ sont convergentes^ le second membre tend vers une limite finie quand n eroît indétininient, rar /iJ([-i-0^) est

compris entre — ^ et - «J» Le piuduîl 1\^ tend donc vers une lîjnite diiïcrenLL- dc y.én*. Au contraire^ lorsque lii ^éric Sf(* est diverj;;enlt% le recoud membre de la formule (61) croit indélinimeut en valeur absolue en restant négatif, et par suite ?« tend \ers zéro.

La même égalité (63) prouve que le jiroduil iullni est divergent ou nul lorsque Ja féerie Ew^ est diverj^ente et la série -wj convergente. Mais il est i\ remarquer que le produit infuii (leut être conver^^eut lorsque les deu\ séries ^ ti,t et S«J sont di verj»entes* Prenons |jar exemple Ug — «^ = at ^ o, cl, pour « > I,

[ t j 1

yn yn " n y n

la sérier «/,cst divergente, caria somme Sj^^est supérieure à - h- ^-4-.#.H — ; il en est de même, pour la même raison, de SfiJ. Cependant le produit infini

est convergent, car le piodutt de 'in facteuris est égal a

(-î)(-s)-(-^.>

\f. — PHOIHITS

tandis que le produit de 2/1— î facteurs est égal au produit |irt'cédein

tnullijilié par le facteur i —

Exemples : 1* La série

//i

qui a pour limite l'unité (').

I

r

'an

€si convergente ainsi que la *iêne obleuue en élevanl ses unincs au rai ré. I^ proiluil infini correspondant

I 3 3 5 A '1 * 4 i

Vin -ht

ftn

lônc convergent; an a vu déjà qtj'ïl étail égal à - ( 1, n" 116), Pniir le

IrAnsformer en un prodtiit absolument converge ut. il suflit de réunir dcu\ facleufs consécutifs, ce qui donne

'i-ui-v^y

' tenda

Soil u^-j- Ui-r- — f MrtHr.*. une série à termes réels iJans laquelle rai^pôrl de deux termes consécutifs est une fonction rationnelle de n nt vers l'unité lorsque n auf^mcnte intléfinimeni

En lai^ant décote le cas oii Tun des lermes de cette série serait nul ou lAiliii, on peut encore écrire

n/ ai— ^1 ç("^)\

étant une fonction raiîonuelïe de */ qui reste inférieure en valeur tiluc à un nombre fixe. Si Ton a «i — 61 > o, tous les termes de la série

iH)

2(

«1 ~ l^i

V« J

finmcnt par être poiiitifs^ et celte série est divergente; le terme gé- néral u^^i de la première série augmente donc indéfiniment en valeur «bsolue* Si «1 — bi = 0, la série (64) est absolun»ent convergente, et u„+i

(') Voir Caucuy^ Cours d'Analyse ou Œuvres comptétes, lomc 11!^ a* séric^ AOte L\; PAiiraaatti)! {Afathemaiische Annaierît tomes 22, 33 et 42).

68 CHAPITnE XI U. — FONCTIONS D'UXE VVBIABLE COMPLEXE.

rend %ers une limilc finie rlilTérenlc île zéro. EuIIiIt si ai — ^i<Io, tous les termes de la çérie (GJ) finîssenl |iar être ni^galif^^, el celte série est di^cr- genle; ^«+1 tend donc vers xcro lorsque n croît jndéfiiument. Ces rêçullals !ïonL dus à Gauss (voir 1, n" l(î3).

286. Développement en série entière d'un produit infini. — Soit

un produit infini, où chacune d<^s fondions rtf penl être tirve- lopf>ée en série enlicrc

«^ = ait, -4- rt/ 1 ^ -f- . , . -4- at„ -s" -h - . . i i ^ o, i . % , , ,), Supposons que la série (InuLle 7 ^l'^i>i|'" *oit convergente

i n

pour une vu leur [îosiltve de r clioisie convenablenieut; clyns ces conditions la série

est absolu ni eut el niiîrormétneiU converj^enle à l^iulérienr du cercle C de rayon /■, ayant pour cm Ire Torigine, Le produit F{ 5) est lui-même alisolunieiU et uniformément convergent et repré- sente-, par conséqui'iil j une fond ion continue de z dans ce cercle. Nous allons montrer rpie ce produit peut être développé en une série entière eoiiver|;ente. Posons^ comme plus haut,

Vn= (fH- ffn)(t -^ ni).. ,(1^ M,|_, )M«;

il suHU de démonlt^er rpte la somme de la série

qui est éj^ale au produit ijdini F(^), est développable en série entière. Or, si Von pose encore

il est cliiîr que le produit

r;, = { I -h «i ) ( f -f- «; ) . . . (iH- w;,..4 > «;,

est tine ffyjïction majorante jiour r,,, La série (66) pourra donc

élre ordonnée siiivanl les puissances de :; s'il en est de même de la série auxiliaire

Si l'on développe chaque lennc de celle tlerIlH'^rc en série

[entière, on a une série double dont efiaque coefficîenl esl )H>sitif,

'et il suffil pour notre olîjet de prouver <|ue celle série double esl

convergente quand on y rem[dace:; par r. Désignons par U^, el VJ^

[les valeurs des fonctions ul^ et v'„ pour ^ = r; nous avons

v;, = t.^u;)(i-f-uij...(i^u;._i)u;

[et par conséquent

tiu encore

Vi -h v; -h . . , -+- v; < ct«^^^.HHt:„.

I

Lorsque n augmente indéfiniment, la somme UJj -]- - - - H- L','^

lend vers une limite, puisque la série 7 U^^ est supposée convcr-

f;ente« La série double (67) est donc absolument convergente si Ton a |jj£r; la série double obtenue en développant cbaque terme i'n de la série (66) est donc a /oriiori absoimnent couver- geute à Tinté rieur du cercle C, el Ton [ïeul rordonner suivant les puissances entières de z.

Le coefficient bp de zP dans le développement de F(:;) est éj^al, d'après cela, a la limite pour ft iniini ilti coeflîcient bpfide s^ dans la somme *'oH- i-i H-. • .-H i'w, ou ce qui revii'ui au méuie, dans le développement du protluit

ce coeflicient s'obtiendra donc en étendant aux produits infinis la régie ordinaire qui donne le coeOicient d'une puissance de z [dans le produit d'un nombre fini de poljnomes. Par exemple, le produit infini

F(5) = (i-

5«){l-h^'')..^(H- 5'";..»

esl développable suivant les puissances de Zy pourvu c|ue Ton [aîl|x|<C t* Une puissance quelconque de z, soit z^j figurera dans

70 CHAÏ*ITIIE Xttl* — h^NCTlONS lï'riNK YAIUABLL IIDMl'LEXK.

ce développeinenl avec un coefficient égal a un, car LouL nombre entier N peut ôlre éeiil, triine f'aron et d'tioe seule, sous la forme il*une somme de piiissaiices de à. On a donc, si |5[<^i,

ce qu*on peut aussi démontrer 1res simplement au nioven de

l'idenlîlé

i — z'"

(69)

(I "H z){i -^ 5*)(i -h ^M- ■ ' f ï -+- ^*""*).

EXERCICES.

1. Déterminer la fonction anaKiiqne /'(i) = X -h i Y dont la partie r^Jelle X est cgalc à

même question en supposant que \ -h Y est éj^aîe a ïa fonction précé- ilentf.

!2. Soit 'f(/?*i /?) = o réi|tiation tanj^tîiitit Ile iTune t^mrlu* algéUrîque réelle, c'esl-à-dire la foniliiion pour que la droite y — mx -\- p ^oit tan- gente à celle courbe. Les lacine* de réqnatiojï ^(it — «5)^^o sonl le* animes des fovers réeln de eciie niurlie.

3. Si p et q sont deux nombres eniiers premiers entre eux, les dciiit expressions (y^)'' et }/ zP sont équivalentes. Qu'aii ive-t-il. toisqur /i et ^ ont un plus grand commun di\iseur t/ > 1?

i. Trouver le modiile el Targument de e'^>', en le considéraivt comme I -h * — ) ) lorsque le nombre entier m aug- mente indéfiniment.

5. Établir bvs formules suivantes, où m est un nombre entier positif,

ti'^' cos'" -s — 2 cos niz -^ 'i m cos ( m — i)z m ( /n — I )

Ka

- eo^ ( tfi — i ) :;

M m est impair

le d

emier ternie est un terme en tos4

m est pair, le

lerme qui termine le développement est indépendant de z el éjjal à

KXEACICES*

On a de même, si m est impair,

{ a I )"* fin '" 5 = !i t si n mz — %itns\n{m — i)z -h . - . , cL SI m esl pair»

(». Démon Ire r les furmuli^^

c*os a -ï- eosi ( a H- £/ ; -h . . . -i- co^ (an- /*« ) = — — ^ ^- cos (an J 1

sîao -î-sîn(a H- ^) -4-. . .H- sin(a -+- /16) =

'"r'^ W'

7. On demande lii va leur finale <le uicsiij- hii><|ue In varîable j décrit le segment tic droite allanl d*.* I^irigine au poinl 1 -^ / * hi valeur iuitîâle «le arc «in 5 riant o.

8. Démontrer la continuité dune série cnlière ay moyen de la for- mule fn" ii. p. 21)

JOn prend une fitnetiou majorante convenable jiour la série du second «itembre.]

ty. Calculer les intégrales

/ T'» e**^ <^o$ ù X €i.T y I .T^e**-^sinbx ctr,

cot ( jr — a) coL(>' — ù) . . . col{j? — ijdjr.

/■

10, htani lion née dan-^ le |dan Toy unr roui lie fi-r niée C, |>résentani fin nombre ♦juelronque i\c points doubles, ei décrite dans un sens con- venu, on îilîecle chaque réj^ion du |>bin déterminée par celte courbe d'un COefVicicnl numérique d'après la rèj^le du n** 90 (I). Soient H^ K* i\eu\ vé- ^on9 lîmîtropbc* si-parées par un nvr. ab du contour parcouru de *i *er§ 6, le coeflicicfU île l'aire ù ^aucbe e?l supérieur d'une unité au coef- licîeni de Taire à ilnnle et la réi^iou extérieure au omlour G a le en effi- cient n.

Sioil s^ un point ph& dans Tune de ces régions et N le eoefficienl cor-

7» ciiu^iim; xiii. — fonctioas i> lne variable ijosh'LFAE*

respondani, Dérnonlrcr f]ue ^Xtt représenle la variciuon de rargiimenl de z — ^ûj lorstîue le poiïil ^ tl«"( lil la couiLl^ G dnn^ le ^t^n^ con\enu,

11. Kn rtiiiliaiJt le tiévrlo]i|iemeiil de Lop f ^ ) sur le ceicle de con- vergence, démontrer rjtir l;i ^vhmiuc de, la «.érîc

sinQ fin 30 sin5f» sinfîrtH-ï)Cl

est égale h Tt ^t suîv4int qutî l'on a sin(ï Jo {Cf. I, n' 1Ï18).

l!2. Etudiée les Lf»uil)e«i décrites par îe point Z = ^', lorsque le point z fiécrit une li*;ne druile mu une cîrcujiftTence.

13. Lu relation 'iZ = j -^ — permet d'eiïcctuer lu représiMitait<^ri i-on-

forme d»; Taire eouipiise entre deux ollip<ïes honiofocfile^ sur une Cfni- roiine eirrulaire ctiuiprisc entre deux cercles coneeutrirjucs.

[On prendra par exemple ,3 — Z -h /Z*^c-, en convenant de tracer flans îe plan de<i Z une coupure rectïlignc ( — c, -f-c) el de elioisir poni le radicid urie valeur positive lorsque Z est rëel et plus grand que rj.

14. Toute iransforniation circulaire -3' =

peut s*ob tenir par la

Ci -h d eonibinaison d'un nombre />cï/r d'inversions, îiéciproque-

15. Toute Iran s for ma lion iléHnie pai^ la relation c'= ;i ofii 5^

désigne lu quantité conjuguée de ^, résulte d'uj* nonJire impair d*inver- sions. liée ip roque.

ILî. Transformations fuchsiennes.

Toute transformation cireu-

rs oij a, b^ c^ d sont des norabrea réels satisfaisant k \û

laire z ^ —

cz -i- d

relation ad — 6c = 1, fait correspondre à tout point z situé au-de^îiUî^

de o.r un point z' situé du même cAté.

Le"^ deux intégrales définies

/

\/dw^ -\- Uy"^

dT dv

f fdx d\

' JJ ~J^

sont des invar ta niXf relativement à toutes ces trauîïl'armations.

La transformation précédente admet deux points doubles qui corres- pondent aux racines a, ^ de l'équation cz-^hid — a)z — 6 = 0. Sî ot el ^

,1 ... . . ,., . , a^ -hù , ^

sont réels et distincts, on iieut écrire t équation ^ = -; sous la tornif

équivalente

K\Knt:ït:i';s.

/k élaot réel» et îa iransformaiîon e&l dite /lyperhoiù/ffc. Si x et ^ sont imagÎDaircs conjuguées^ on peut écrire iViiuoliuii

«i» clant réel (transformation elliptique). Si ^ = a. ou peut *îcrîre

3 el /'étant réels. La traiisfiirmation tM i\y\w\tii: parabo/ifjfte.

17, Soh z'^/iz) une transforniatiou furh^icnne. Posons

Z^^/iz), Z^=/iZi\ ..., i,,=/{j„_i).

Démontrer que tou^ Jes poînl^ z, Zi. z^, ... z,, sont sur une circonfé- rence. Le point Zn tend -il vers une |jo*ition limite lorsque n a ug meute itidéGniroent?

18. Etant donné un cltcIc C iIc centre 0 €t de rayon R, deux poinlsîVI, M' situés sur une demi-droite issue du ceutre 0 sont dits symétriques

rapport à ce cercle si Ion a OM x 0M'= R*.

i^cla po^, soient C, C dcu\ cercles dans un même plant et M un poini

Quelconque de ce plan. On jircnd le svmi'tiiqne M^ de M ]mv rîïjqojrl à C,

puis le symétrique iM', de Mj par iap|M*rt à C\ |»uis le sy m cl ri que IVltde iM'j

par rapport a C^ et ainsi de suite indênnimcnt. Ktadici' la di^iril>utLon dan^

le plan des point* Mi, M\^ M^, ^M',. ....

19* Quclk e^l la fonction analytique Z :=/{z) permcUanl tle passer'de la projection di^ Mcrrator à la pri>jcciion slcrêographique?

D*. Tt»ules les familles isothermes conqiosées île cercles sont formées ^cercles passant par doux points fixes^ distincts ou confondus, réels ou laiagîfiaires.

I LVquation d'une famille de cercles, dépendant d'un paramètre va- riable X, peut s'écrire» en po^^ani z = x -h iy, -;« = jt — /k,

zz^t -H a 5 -h 6 5o H- c = o, a, 6, c éiaal des fonctions du paramétre A. Pour que cette fa ni il le soit

7l CHAPITRE XIII. — FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE.

isotherme, il faudra que l'on ait = o. En faisant le calcul, on dô-

* dzdzo *

montre le théorème énoncé

]

21. Pour qu'un produit infini soit convergent sans être nul, il faut et il suffit qu'à tout nombre positif s on puisse faire correspondre un nombre entier n tel que l'on ait

|(l-h W;,-K,)(l-r- //.,^i)...(I-f- ll,n_y,) — I I < £,

quel que soit le nombre entier/?. 22'. Si \g\< I, on a Tidentitc

(i-+-y)(i-+-y*)...(i-h <7'')...=

[KtLER.]

[Pour le démontrer, on transforme le produit infini du premier membre en un produit infini à deux indices, en mettant sur une première ligne les facteurs i -H g', i -»- 7', i -+ çr*, . . . , i -+- r/'", . . . , sur une seconde ligne les facteurs n- y', 1 -+- 7*, . . . , 1 -h (y')*", . . . , et l'on applique la formule (68) du texte.]

23. Développer suivant les puissances de z les produits infinis

F(5) — (l-h TZ)(l-hX^z).,.(l-hX''z)...y

<P(z) = (i-^ xz){i-^.r^z) ...(i -t-.r*«+»5)

[On peut, par exemple, se si*rvir des relations V (xz)(i -h xz) = F(5), <l>{x^z)(\-hxz) =*(^).l

2i*. En supposant \x\ < i, démontrer la formule d'Euler

(I — x)(i —:r«)(i —ar5 )...(!— - a:").. .

3/l'— « ."î/l'-f-/!

= 1 X — X^- - X^ — X"^ -{-■ X^* — ,..-- X * X * H-....

[ Voir J. Bertrand, Calcul différentiel^ page 828.] 25*. La série à termes |)ositifs Wo-h «i-f-. . .-f- Un-^-.- est convergente nu divergente en même temps que la scno 1 h...-! h...

5y S\ s„

où S,i — //u-1- Wi-T-. . .-r- lf„.

[On peut écrire

Ûi-'Sht

et appliquer le théorème du n° 285].

IAbel.]

CHAPITRE XIV,

THÉORIE GÉNÊHALE ïîHS FONCTIONS ANALYTIQUES, D APRES CAUCHV.

I. ^ INTÉGRALES DÉPINIES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES.

287. DéânitioDS et généralités, — Les résullals exposes daiisk- C^|i;j|)itr€ précotleiil sont ititlcpendanls des tryvuux de Caiiclij, et pour la phiparl ardérieiirs à ces l rivaux. Nous tilloris niaiiileiianl reprendre rélnde <les fonctions aniilylifpïc> à lui point de \i\e 5ys- léinaliqiie^ et pcmrsiiivre les consr(pieiices lognjnes de hi iléfinflion même de ees ionelions. Nons rappellerons tpi'une fônrlioTi f{z) É'Sl holomorplie dans ,nne aire A : i** si à tout j>oint pris dans Taire A correspond une valeur déLerminée de /{z)'^ 2'* si celte > aleur varie d'une inanîùre coiitimie avec j; 3" si, ponrloiii points

pris dans A, le rapport

fjs^ h}—/{z) h

letid vers une linnle /"'(-) lorscpie le nnidtile île It Uud vers zéro.

La eonsîd<^ration des intégrales définies, (piand la variable passe par one siiile de valeurs imaginaires, esL due à Caiicliy ('); c'est Torigine de méthodes nouvelles el fécondes.

Soity(s) iine fonclinn eonlîuue de :;le lonj; d'un arc de courbe AMB(^/7^^ (yi), ruanjuons surccl are flecourl>e un certain nomlïre de points de division z», J,, Z2, * * * , ^//,u ^^ succédant dans Tordre des Hidiees croissants fpjand on pHrcourL Tare de A vers B, le^ points z^ et z^ coïncidanl avec les evtréniilés A e( U.

Considérons lu somme

^ = A -/)(«! - -5g) H-/( 5i )( ^t - ^i ) -^ ' ■ •

-^/(-*-l )(** — -Ar-l) ^ - ■ - H-/( -/«-l )( -' - -/*^l );

(*> Mémoire iut* Um intégrai es déjinîei priscâ entre des (imites imagi-

76 CHAPITRE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUES D^PDÈS CAL'CHY.

lorsque le nombre des points de divison 3|, ..., z„_i augmente indéfiniment de façon que les modules de toutes les dilTércnces ^1 — ^0» ^2 — ^lï •••9 deviennent plus petits que tout nombre

	Kig. Gi
y		B /*«-.
	M	4:
	x«
0		a>

positif choisi arbitrairement, la somme S tend vers une limite, qu'on appelle l'intégrale définie de /(z) le long de AMB, et qu'on représente par le svmbole

f f(z)dz.

Séparons en effet la partie réelle et le coeffîcient de i dans S;

soient

f{z) = X-4- Yi, Zk^ori.'^yki,

X et Y étant des fonctions continues le long de AMB. Nous pou- vons écrire la somme S, en réunissant les termes analogues,

S = Xo(^i — a-o) H-. . .-H Xa-.., {Xk—Xk-i ) -h. . .H- X,|_i(a7'— Xn-i )

-+-«'[Xo(7i-ro) -»-••.]

-i-i[Yo(a'i — aro)-i-...].

Lorsque le nombre des divisions augmente indéfiniment, la somme des termes d'une même ligne a pour limite une intégrale curviligne prise le long de AMB, et la limite de S est égale à la somme de quatre intégrales curvilignes (*)

Ç f(z)dz= f {\(ix-\dy)-^i f {Ydx-i-Xdr).

'-(AMH) «/(AMBj *^(A.\lBi

( ' ) Pour éviter des complicalions inutiles dans les démonstrations, nous suppo- serons que les coordonnées x, ^, d'un point de l'arc AMB sont des fonctions conlinuesx = ^{t),y =.^{t) d'un paramètre ^, qui ne présentent qu'un nombre

IT^TKGRALES ENTftE DES LIMITES 1MAG»NVIR

Il reisiille îiiirnt'iliatenîenl Je lu défi nil ion que Ton a

/-+-/= ...

Nous aurons souvent Lcsoîn par la suite de connaître une Jînyle 5U péri cure du module iftine intégrale définie. Soit M un nombre plus i;rand i|ue le module de J{^) le lonj; de Tare x\MB; sait P le pcrimî^lre de la ligne polygonale inscrite dont les sommets sont les poînt;^ r^, :îi, r^., • • . , ^«-u ^'» H esï clair que Ton a |S| <C M<P el, par suile, en faisant croître indclininn^nt le nombre îles [)oinls de division, on aura à l.i limite

•■(AMUf

L désignant la lon^^nenr de Tare AMB.

ti88. Changements de variables. — Considérons le cas, très Irc-quent dans les a|qdicalions, on les coordonnées ^, y d'nn point de Tare AB sont des fondions conl innés d'un paramétre variable iy x=:f(t)^ y^^^(t)y admettant des dérivées elles-mêmes conti- nues ^'(/), *Y(/), de ïelle [aeon i|ue, t variant de % à 9j., le point Çt^y) décrive le chemin d'intégration de A vers B. Soit V{l) et Q{t) les rûncilons de t obtenues en rem|daçant dans X et Y les variables x ci y par ^(i) et à{i) rejspccli veinent. D'après la formule établie pour les intégrales curvilignes (1, n** 93), nous avons

/.il». « ',.

-'URt

r^

I \ ity ^ Y ffj ~- I {V{t)^yU)^ Q ( t )'i'( i ) I dt.

•^-Alï

/ini de iiid&iiiiunis ou dr mitiirniniis entre A tt 0. On (leut alors dëcumpu^er le rlicmin d'Jolégration ca un nombre fiiii d'arcs, dont chacun est représcnlé par une ^uaUon telle que ^= Ff jtr)^ lu fonciiuu T élaiil continue entre tes limites rjOfTefpoftdantCf.» ou encore en un uuîiibre Uni d arrs dont ctiaciin est représenté p«r une èqutitîon telle que jt = G( k)» Il n'y u aucun tnconvcuîcnt à faire cette li^potbrM", CAtt dans luiiLcs le^ applicatiouSt le dioi:c du etieuiin d'intégration |iré^fite taujourâ un ccrlaîn df^ié d'arlntraiie. D'aillenr^, nous avons fait. tintiliritenienL la mcrne liypotloHe dans la ttoknic des iiitcgmlea curvilignes (f, M" tK'V%, 120), D'apr(is un lliroràrnc gém-rai ilc AL Jordan , l'arc de conrbe AMB MPra liMtjour^ rerliliabk, c'est-*! -dire que le pêrtmètrc de ta ligne polvgun^ile doni Ici» ««-'tiiitiet^ sont les points de division ^l,. ^,, . . .^ ^rt-,i ^ tendra verâ une limite I., 94n% qu'il »oîl oéccs*aire de ^u[)(iosci <|iie tri fonctiouf « (i), 'J/(/ ^ ont des dérivées.

78 CIIAPÏTIli: XIV, — FONCTIONS ANALYTIQUES O'APHÉS CXCCHV.

A jouions CCS deuK relalions^ après avoir niiilliplié le^ Jeii\ meiiiljres de la secotule par /; il vieoL

II) f f{z)dz^- f \\'ii)^iqit)\[^'{f)^i'yij)](lt.

C*e5t précisément le résiitlîtl i[mc Ton tihlicrit en a|ipliqiiaiTl à l'iit-

icgrale j f{z)dz\'é. ronnnle établie pour les intégrales définies dans

le cas de foneiiniTS et de v;jriîd)les réelles; |>our avoir la nouvelle inlé^^rale, il siiffil de remplacer^ dans f{z)dz^ z par ^{t) H~ i*l{t 1.

et dz |ïar ['^'(/) 4- ry(i)] rf^ Le calcul de j f{z)dz se trouve

ainsi ramené au calcul de deux intégrales déiiiiies ordinaires. Si le rlieiniti A. MB se compose de plusieurs se«;ments de courbes dis- tincie>, on ;iji|)bf|uera la forjnulç à cliacun de ces seg^nienls sépa- lémcnl.

(jOnsidérons par exemple 1 inlégrale délinic / — ^. On ne

peut intégrer le louj^ de l'axe réel^ puisque la fonction a inté- î^rer devient inlinie pour ^ = 0, mais on peut suivre un cbeiuin quelconque ne passant pas p;ir Turi^ine, Faisons décrire à z une tleini-circonfércnce de rayon un déciite \\r foiigine pour centre; il su Hit pour cela de poser z ^= e^' et de faire varier / de t «i o. Il vient

f

i H / fit :

2;

c^est prétiséuicnt le ré^uUat que Ton obtiendrait en ap[>liquant la formule fondamentale du calcul intégral à la fonctioti primi- tive — ^•

l^lys générakvment, soit z — ^(w) une fonction CLinlinue d'une nouvelle variable complexe «^J-hTj* telle que, lorsque a décrit dans soa plan un clicinîn CNE>, la variable z décrive l'aie AMB. An\ points de division de Taie A.Mlt correspondent sur Tare CN [) des poiols de division Ui^^ «j, "t< »*'» Wjt-tt Wjtt . . ., u\ Si ta funclion ^{u) admet une dé rivée f*(a) le long de t'arc CND, nous pou von «^ écrire 1

1/*— Uk-X «^ tendant vers xéro lorsque Uk se rapprocbc de w*_i en restant sur Va

I. — INTEUMALES UN TBi: DK6 LJVIITKJ^ m.U.IN-MBRS,

7\}

Icourbe GND. La somnif S con>îtl*}irc plus Iinut ^levieni, en rempla- çant 54 — - ^ji_i P'^< rcxpri-ssion luôe de lYgalité précrdenlc,

S ^ ^/(^A-t ) ?ï «A- i )( WA — «Jt-i I -^ ^ h/( Sk^i ) ( WA — «A- 1 )* I^ première partie du *^ec(♦nd tuenjbre a pour limite l'intégrale dcfmif

iQuaDt iiu leririe complémentaire^ son module eï-t plus (jeiit (jue r^ML\ ïr^ étant un nombre iH>siiif supérieur à lous les moduïes |ia.| et L' étant la I longueur de l'arc CND» Si Ton peut prendre les points de division assert ! raitiproclié» pour que lous les modules [îa| soient inférieur!» à un noujbre positif arbitraire, ve terme roniplénientaire Uni\ vers /.êro et l'on a la for- mule générnlc du cliangeiuent de vat iable

Celte formule est applieablc toutes les fois que <p(w) est une fonction botomorplie; on démontrera en etFel un peu plus loin que la liérhée d'une rooction holoinorpbe est aussi une fr»ïieii<»n bolomorphe (i)f vo/r ri- 2113 ►.

(*) Cette propriété étant admise, ou démunire sarn peine la proposition suî- %ânte :

Suit /{s) une fottciion holomorphe clans iitte région ^ nie Kdu plan. A tout fiombre ponîti/ s, on peut faire vorrespondre un attire nombre posiii/ r, iel */U€ l'an aii •

I h

'/'(^) <*.

j iortfue zei i -h h sont deux points de A dont ia distance \ h | est inférieure à r,. Sait en ciïel /( ^ ) = P (jt, >')-+' '*Q(J^* >^)> A = AxH- « ày* D'après le calcul I fait pla» litftft pour trouver les conditions d'existence d'une dérivée unique (n* *2Gl), [oQ peut éerire

/< g -4- A )-/(:;) ^,f.. [Pxf-^H-QAx.^v)-P;(jr,y)]A.r

{ Vy f j -hlj-, r H- fr A ri — Py ( ^> r )1 ^^' àx-i-iSy

dérifée» P^, Fy, Q!zf Q'y étant continues dans l'aire Ap nn peut trouver un [iiOHibrc f) tel que les module» des coefOcJcnii de Aj? cl de Ay soient inrérîeurs

là j* longue ^'Xs*^ ly- est < r,. L'inégalité écrite plus tiaut sera donc assurée 4

8o CïiAî'lTHK \IV, — PONCTIONS ANALYTIQUtîS D^Aï^aBS CArCIIY,

289. Pormules d© Weierstrass et de M. Barboux. — - Lu tli''mon- stralion de la formule de la moyenne (I, n" 74) repose sur iles iné- i^alilés, qui n*onL plus île sens préeis qiiâud il s'îigit de quaoLilés eomplexes. Ce[>L*nd;inL i\L W t iciàlrass el M* Darhoux ont ol)tenu flans celte voie des résultats intéressants, en considéraul ties înté- ;;rales prises le long d'un se*; ment de Taxe réel. Nous avon!^ vu plus haut que Ton pouvait ramener le cas d'un elieniin quelcouque à ce cas particulier, moyennant certaines hypatlièses d'un cjraclèrc 1res général sur le chemin d'intégration.

Soit 1 une intégrale délinîe de lu forme suivante :

/'(;), *s{i)y 'i(^) étant trois fonctions réelles de la variable réelle /, eonlinues dans Tintervalle (ut, p); d'après la déûnilion même de l'intégrale, on a évidemment

Su[vposons, pour fixer les îtlées, a<^p, ei admettons de plus ^ue/(^.) est positif cuire a et [3. L'intervalle (a^ p) étant subdi- visé en intervalles plus petits (a, £,), (/,, Z^)» • * m '^^ module de l'élément

de I est éf;al û /(a_i )| 'f (^-i ) -|- e"'i'(./A-i )|(/a ^ /A^i ) ; on a drmc MIS / /W)io(0-^rJ.(Ol<^^

OU, en appliquant la foimiile de la moyenne à cette nouvelle intégrale, et désit;nant par l une valeur réelle de /, comprise entre a et p,

^t Von H |/tj <r,. Cda tHanl, si la foiicli«in ^(«) est holonior|»lic, loiis >es mo- liulcâ |£4| scroijl |ihis pcUls qu'un iioriilire positif dounc t, puurvii que U dis- ^lancc de deux poinls dr division c«in*it'cutifs de l'iirc CND soiL infcriciirc ou tiuiidïre corie>|iï>otiyfil t,^ vi lu formule f î) ^cra i*tiiblir.

réGRALES KNTne ME^ limites IJUAUtXAJnSS

le rësullal peut encon

^écrire, eo posant F(/ i = ç(f ) -^i'^{t)

h)

étant un no0ibre complexe de mofiuie inférieur ou éf^itl à un: 'est la formule de M. Darboux,

Où du il à M. Weierstrass une expression plus précise, que *on peul rallacher à des considérations élémenlaîres de slalî(pie. Lorsque / varie de x à ^, le point de coordonnées .r = '^(^), ^=♦^(0 décrit uu certain arc de courbe L. Soient (jrfi, j',j) (jTi, yi), ..., ^f(-~tf Xft-i)^ —-1 Itî^ points de L qui corres- pondeut aux valeurs a, /(, . . , /^ ^ . , ., de /. Posons

L

I

h

^ ^ ^-fifk-i)/(Jk-i)ifk~'n-\i

Y -

d*aprc§ le ihëorrnie dc< nunnenls, X et \ sont les coordon- nées du centre de gravité d'un sy^tcnie de masses (dacées auv I points (xo.yùS (^n^**)? - • » i^k-ifyk^i)^ " -, rfe la li|;ne L, la masse ptacëeati point (jr;^_,, ^a., ) étant égale à/(^jt-i)(/A — h-i)- Il est clair que ce centre de ^^ravitc est a rinlérieur de tout con- lour fermé convexe C, cnvelojtpant !a lit;ne L, Lorsipie le nomlire des intervalles augmente indélînîjnent, le point (\, Y) n pour limite un point i w, * i de coordonnées

/ fi()o{i)dt

.{i '

/ /{t)dt

t)'l{i)tif

1 f(t)d(

qoî est lui-rnênie à Tintérienr de C* On ()eul réunir ces deux for- Ulules en une seule, en écrivant

I ^

,,[i

) I fituU^ L f ' /{ijdi.

X élant l'allixe d'uu [toi ut silné à /^ifit* rieur de lout contour IJIermé convexe enveloppant ht /ii^'ne !..

Il csl clair que, dans le cas général, le facteur Z de M. Weier-

8a

CHAPITRE XIV.

FONCTrONS ANALV noues U AtMIES CiMrCUT.

Strass peut varier dans un dumaine beaucoup plus resLrfint cim^ le facteur À F (^;) de M. Darboux.

îàDO. Intégrales le long d'un contour fermé. — Dan» les p ara- graphes précédents, il sttflllde sup[>oser que/(^)csl une fonction conliiiue de la variable complexe z le loug du clieniin d'inté- gration. Nous allons mîiinlejmnl supposer de plus que fiz) est une fond ton luKiljtiipjc, el nous avons d'abord à étudier l'in- fluente du clieniin .^uivi \\\\y la varialde, pour aller de A en B, sur la valeur de Ti ni effraie défînic.

Si fine /onction /(^) fjfi holomorphr à rititv rieur d'une courbe fermée, el sur la courue eile-mrme^ Cifiirgrale f /[z)dSf prise le long de cette courbe, est égale à zéro.

Pour démontrer ce tliéorrrue Jondauiental, dû à (^aucbY^ nous établirons d* abord cpicltpies ieuiniCïi :

i" Les intégrales f flz, i zclz^ prii^es le long d'une courLe

fermée quelconque, sont nulles. En ellet, d\i|irès la délmiliori

même. Tin tég raie / dz^ prise suivarjt un c lie m in quefcooquc entre

deux puinls j», z^, est égale à :;, — j^^, et cette intégrale est nulle, si le cbeuïiu e^t fermé, puisqu'on a alors Zi = z»* Ouant à riiitt-

grale / zdzj elle est égale a la soiunie de deux intégrales curvi- lignes

/ s dz = / (^ -+- iy ) { d.r -h idy} —- j ^ djr —y dy — t f V dx --t dy\

mais les deux intégrales curvilignes, prises le long d'une courbe fermée, soni toujours nulles, car on a sous le signe /des expres- sions P rf*i? 4- 0 dy. qui satisfont à la condition -- = -^^ < 1, n" 152». ^ ' ' * ôy dx

2° Si Ton décompose Taire limitée j>ar un eoulour quelconque C en parties ]dus petites par des courbes transversales menées d'une

façon arbitraire, la somme des intégrales 1 /{zjdz prises dans le

mérae sens le long du con Lotir de ebaeune de ces parties est égale

ËGH\LES E.VrBE DES

jmegralr j f{^z)ch prise le long du cnnlour LoIbI i\. Il esi clair

en elîV't que cbarjue portion des courbes auviliaires LracL'CS sé]>are

deux. jM^'gions cou ligues et doit être parcoiirne deux loiï^i dans des

[sens opposés. En ajoutant lyutivs les intégrales, il restera donc

seulement les intégrales prises le long des arcs du contour, doni

la somme est Tîntégrale / J{z)dz,

Cela pose, imaginons rjue Ton décompose Taire A, d\ine part en parties régulii^res qui seront des carrés ayant leurs côtés paral- lèles aux axes Ox, Oy^ d'autre part en parties irrégulières qui seront des portions de carrés dont une partie serait en dehors du

		Fig. 65.	c
/.	^""^		>>^
/		_
ir		~^A '
fZ
		1 — f_	\
\l		*^ ''	' l
<^		//
^\	4-	^^	-y

Hoiir C Ces carrés n*ont d'ailleurs pas nécessairement te même côté* Par exemple, on peut imaginer que Ton ait d'abord tracé drinc réseaux de parallèles à Oa' et à Oy, la distance de deux paral- lèles voisines étant coiislante et égale à /^ puis qu*ou déeoinpose quelques-uns des carrés ainsi obtenus en carrés plus petits par de tiùtifelles parallèles aux axes. Quel que soit le mode de subdi- vision adopté, su[)posoDs qu'il y ait N parties régulières et N' parties irrégu Itères; numérotons les parties régulières dans un

I ordre quelconque de i à N, et les parties irrégulièies de i à N", Soieui // le c6té du i'*""" carré, et /^ le ciHé du carré auquel appai- tient la k^*^* partie ii régulière, L la longueur du contour C et -.1. faire d^un polygonr qui reni'erme la courbe C à rintèrieur.

Suit aicrf le i^***** carré {fig* 65); Zi étant un point j>ri.s a Tin-

j icrieur ou sur les côtés de ce carré, et z un point quelconque sur

2: -«uni: n**r inu, imu— a me .*• !^e m :anrr ^Jit liii-m^ kr» lien: 'In. -!n u^uui

•*t. t*» ,f Tm»— nu'»* "i "in tr'ri.i-r. i i»^ ia i

'•».^ »îuvu .. ♦^.•» Il ^^xr'\ lui p^eaferme U k"^ '' partie irréipiii*rre.

l

}. — INTÉGRALBS ENTRE DES LIMITES IMAGIÎ^AIBES. 85

ajoutant tuiilesces inégalités, on voit que Ton aura a fortiori,

(9>

f f{z) dz < r, [4 v/a{ Iwr ^ ^^\) -^ ^ Hy\

\ élanl une limite supérieure des eûtes l\. Lorsque le nombre des carrés augmente indêfiiumenl, de faron que tous les côtés /| et l\ ien<lcnt vers zéro, la somme Sw/-^ -(^j^ iinil par élre inférieure à X, Dans le second memlire de riuét^alité (9) nous avons donc le pro- diiil d'un facteur qui ie>le iini par v\\\ fai:tcur T| qui peut être suj> posé plus petit que tout nornlirc positif donné* Ceci ne peut avoir lieu que si le premier membre est nul; on a donc

/-

'^(C)

f{z)ds =0,

Pour que la conclusion précédente soit légitime, il faut élre assuré que

Von peut prendre ]<*s «limeiïHirjiiîi, t!es carrés as^^e?, petites pour qu'en choî-

îis^sanl convciiatïlciijenl le^ points Zi ei z\^ les modules de toutes les quan-

lilcsi^, e'j^ soient moindres qu'un nombre positif donné à Tavance f\{^)»

^^ou1^ dirons pour abréger qu'une région limilée par une courbe fermée y,

Située dans la rég^ion du plan limitée par le contour G» satisfait à la con-

«iiiiou ïi) relativement au nombre t^ s'il est possible de trouver à l'iuté-

ueuT iJe la courbe y ou sur ectle courbe elie-nième un point z* tel que Ton

*it constamment

{^)

\f(z^-f{^^-^(z-^)f(^^\^\s-^z:\r,

lorsque z décrit la courbe y Tout revient à démontrer que l'on peut chùiiir les dimensions dt;s carrés assez petites pour que toutes les intrtict considérées^ régulières et irrégulières, satisfassent à la con- " ' ' to ni 3) re la t iv ernent a u no m b re r^ *

^oui établirons ce nouveau lenune par le procédé bien connu des subdi- vt^on«i successive^. Imaginons d'abord que Ton oit mené deux réseaux de f**r4ll^lcs aux axes QjCy Oj', la dislance de deux parallèles voisines étant •"^nsiHnte et égale à /. Parrui les parties obtenues, les unes peuvent satis- '^'^c à U condition (x), lamlis que les autres n'y satisfont pas. Sans rien f^tiaii^t^'f (mx parties qui satisfont à la condition (a), nous partapjerons les *utrfs en parties plus petites en joignant les milieux des côtés opposés '^'ïQï les carréâ qui forment ces parties iiu qui les renferment. Si, après Cette nouvelle opération, il reste des parties ne satisfaisant pas â la con^ ""ion j a }, nous recommencerons la même opération sur ces parties, et '•^f*! fie suite. En continuant de la sorte, il ne peut se présenter que deux

V) TranMaeHons of ihe American Mathemaiical Society. Vol. t, itiOo, p. i^.

«6

rAtMHTWE XIV.

lONCTIQNS ANAUTIOLES H VPWES «.AlCIIV.

ras; ou bien, on arrivera à n'avuir que des régions qui saLisfonl à ïkt con- dition (a), et alors le lemmf s<»ra démontré, ou bien, aii<.si loin que l'on aille dans la suile des û[iérarions, on trouvera toujours des partie*: qui ne satisfont pas à cette condition.

S'il en est ainsi, il faudra qu'en subdivisant indéfiniment par le procédé indiqué Tune de* parties régulière* ou irréi^uïiéres obreniies après la pre- niiëre division, on n'arrive jamai? h des rëf^ions saLisfaisanr toutes à la condition (st); «loit Aj cette partie. Après la seconde subdivision^ cette partie Ai en renferme une autre Ai, qui ne peut pas non plus être subdi- visée en régions satisfaisant toutes à la condition (ah Le raisfoinement pouvant se continuer indéfiniment^ nous aurions une suite de régious

A,. A,, A, A„, ...,

qui sont des carrés ou des portions de carrés, dont chacune est comprise dans la précédente, et dont les dimensions tendent vers zéro, b>r$que n auj^m^ute indérininieTit. Il ) a donc un point limite z^ .situé à rintérieur du Contour C ou sur ce contour lui-ménjc. Puisque, par bvpolbése, la fonction /{ :i ) ailmcl une dérivée y'( .3^1) pour z =^ Zq^ fin peut trouver un nombre :; tel que Vnn ait

pourvu que |^ — -,>| soit < p. Soit e le cercle de rayon 2 décrit du point «y comme centre* A partir d'une valeur de n asseï grande, Taire A^ sera inté- rieure au cercle c et Ton aura pour tous les points du contour de Taiie A,,

D^aîlleurs il est clair que le point Zt^ est à l'intérieur de A,, ou sur le con- tour; cette aire devrait donc satisfaire a la condition ( a ) relativement à t^. Nous sommes par conséquent conduits à une roui radiction en admettant que le îcuime n'est pas exact.

Le théorème sVHeiid iiussî aux cûiUr>iirï> forrïiéî^ de* plusîeui^s courbes fermée?; distinctes^ nioveniraiil 11 no coiivciilion cnnve- nal>le sur les sens de parcours, (^nnsidérnns, par e\cn>|de, une fonction y*(-:ï) holomorphe ù l'inlériein^ de Faire A liniilée par la conrbe fermée C et les deux courbes intérieures C\ (>", et sur ces courbes elles-mêmes (Jig' 66). Le contour toi «il F de IVire A est formé de ces trois courbes distinctes, et nous dîrous que ce con- tour est décrit dans le sens direct f|unud oti [îiisse a j^auchc l'aire A; les flèches in di<| lient stir bi li^^ure le sens du piii cours direel pour cliJicune des courbes. Alovenuaut cette cou vent ion, ou ;j toujours

/ /( z ) iiz = o»

I. — INTËGnALRS ENTIlt: UKS LIMITES iMAHrXAlRES. 87

rintégrale éUnt prise le ton^ du contotir lotal dans le sens direcL La démonstralion donné*? [lonr une îiire ii un senl conloiir s'ap- plniut* enrnrp ici; on peu! aii<;si ramener ce cas an nn^ci^flenl, en riieoant les transversales ah, cd, ol appliqnanl le théorème à la courbe fermée abmbandcpcfJqa (I, n'* IdH)*

Il est qaelf|uefo!s cHiiimode dans les îi|>pHcalions d'écrîre la for mule précédenle

f /iz)dz^ f f{s)d3^^ f f(z)ds,

les Iroîs intégrales élanl |>t"iî^e> alor:* dan^ le même sens, e'e^l- ii-dire que les deu\ dernières doivc^nl. être prises en sens inverse de celui indrc|né par les llèches.

Kevcooiis à la fjueslion proposée an début de ee paragraplie;

Fi g. 66.

^^

^^d

la réponse esl maîntenaul bien facile. Soîl/\:^) une fonction holo- fiiorplic dans y ne ré^non A, Au plan; étant donnés deux che- itns AMB, \iNB, ayant mêmes extréniité?>, et situés lout entiers ifts celle région, il** donneront la même valeur pour Tinlé-

^ale i f\5)d^^ pourvu que la lonction /'(^) sait holomorphe à

rint^eur de la courbe fermée formée par le chemin AMB, suivi du chemin BNA. (Nous supposerons pour li\er les idées, que celle courbe fi*rnn*e ne présente pas de pninï doidde.) En effet, la somme le* deux intégrales le long île AMB et le long ile BMA étaiit rjulb*, c'est que les deux intégrales le long de AMB et le long de ANB soDl égales. On peut encore énoncer le réïinltat comme il suit : iieujc c/tctnins AMB ei ANB, tryanl les mêmes exircmités don-

ifini la nt**me valeur pour r intégrale i f{z)dz^ si ton peut

88 CIMI'ITnE XIV. — FONCTIONS ANALYTIOt'KS t>*APfti:S CAICIIV.

passer de fan à i^ autre par une déformation continue sans

rencontrer aucun point on ia fonction cesse d'être holomorphc. Cet i^înoncH s'tippJîc|ue alors m^me que les deux chemîriîî auraienl un nombre i|iieli anqite de poinrs cominiins, outre les deux oxtn'- mites (1, n'* 132). On en eonchil que, lorsqii*une fonction /"( 5) est holoniorplie dans une aire limitée par une seule courbe

fermée, rinlégrale t fiz)dz^ pri$e le long^ d'un con lotir fermé

queleonque si lue dan si celte aire, est égale à zéro. Maïs il ne faudrait pas élendre celle conclusion au cas d'une aire liiTiilée par plusieurs courbes fermées distîncles. Considérons, [lar exemple, une fonction f{z) liolnniorfdie dans la couronne comprise entre deux cercles concentriques C, C\ Soit O' un cercle ayant le même

centre et compris entre Cet C; l'intégrale 1 f(z)dz^ prise le long

de C", n'est pas nulle en général. Le ihéorcme de Cauchv prouve seulement que la valeur de cette intégra te reste la même, quand on fait varier le ra^on du cercle (/ ( ^ ).

(*) Le théorème général de Cauchy est encore vrai, sans; qu*il soit nécessaire de supposer lV\îïitence de la fonction /(z) en detiors de l*aire A timitée par le contour C, ni IVxistencc d'une dérivée en cliaque point de G. Il suffit qae la fonclion /(z) soiL holoniorphc en lout point de Taire A^ et €ùntinue sur fe con- tour C^ c*est'à-diie que fa valeur /(Z) de la fonctîou en un point Z de C varie d^iine manière ionUnue avec la po^^ition du point Z sur ee contour, fL que la différence /(Z) —/{z)^ où z est un point intérieur, tende uniformément vers tàto en même lemps que fZ — 5[. Eu effet» supposons d'abord que loule denii- droite^ issue d'un point déterminé a de A, rencontre le contour C en un seul point* Lorsque le point z décrit C, le point aH-0(x — a) (où 0 esl un nombre réel compris entre o et i) décrit un conlour C* sîlué dans A. La diffcTence des deux intégrales, le long des contours C et C\ est égale iï

-'tc^ et l'on peut prendre la difTcrence j — 9 asses petite pour que [cl soit inférieur

À tout nombre positif donné, car on peul écrire la fonclion sous le signe l LMntcgrale le lactg de C étant nuUe^ on a donc aussi

L

fiz)dz^o.

m

Dans le cas d'un coutour C de formi* quelconque^ un remplacera ce contour par une suite de contours fermes remplissant la condition précédente) en menant des transversale^ convenablement disposées.

I. l\TÉGR\I.K!5 KNTRE DES JJMITIIîî ÏMAGIXAIRES. 8g

^91. Extension des formules du calcul îutégraL — Soity(3) une fonclion holomorpfie drms une aire A liniitëe pfir un civutour si m pie C. L' i n t égru le c f é fi n i €

«t»(Z)= f fiz)ds,

prise depuis on poiul fixe ^^ jusqu'à un point variable Z suivant

uncliemin siUié dans r^ire A, est, d'après ce que nous venons de

voir, une fonction bien Jélennint^e dtî la liinilc supérieure Z.

Moiia allons monirer que cette fonction *1>(Z) esl aussi une fane*

lion holornorphe de Z dont la dérivée eêi/{X), Soit eu effet Z -f- A

011 poiïil voisin ; notis avons ^z^A

et tious pouvons sup]ioser celte dernière ialéj^rale prii^e suivant le segment de droite qui joint les deux, points Z et Z ^ h. Si les deux

poinls sont Irès rapprocliês, /(w) diffère très peu de /(Z) le long de ce clieinin, et Tyii peut écrire

l|é(âDt moindre que tout nombre |>osllirdonné y^ pourvu que lh\ »oit assez pelÎL 11 vient alors en divisant par h

^fZ" h) --4»(Z)

-fil)

le module de la dernière intégrale esl inféiienr à vi |AL et p:ir suite

ie premier membre a |)our liuiiteyYZ) lorsque h tend vers zéro.

Si Ton coniiaîi déjà une fonction F(Z) ajanl pour dérivée /(Z),

fcs deux fonctions f^(Z) et F(Z) ne diffèrent que par une cori^

sUnte (n'* 274; note), et Ton voit que la formule fondamentale

[du calcul intégral s*étend au cas des variables îma*;înaires

(ic»)

/■>.

)ds^¥(so -F(5o).

^etle formule, élal>He en supposant que les deux fonctions /(^j,

'(5) sont liolûmorplies à Tintérieur de A, est applicable a des

irconstances plus g^énérales. Il peut se faire que la fonction F(5),

"00 les deux à la fois,/(:?) et F(::), admettent des déterminations

gô rin(>[TtiE \iv. — fo>ctioxs 4XAlythjues d'après ciuchy.

multiples; l'inlég^rale a un sens précis pourvu i|ue U'choîjïin flio- tt^gralion ne passe jmr aucun des points critiques de ces fonctions. Dans l^jp|»liritlion de hi formule, SI faudra choisir une détermina^ lion initiale F(^ti) de la fonction |iriruilive, cl suivre ta variation continue de cette fonction lorsf[ue la variable z décrit l-e chemin dMnlégraliorî ; de plus, %] /(^z) est elle-même une ronctioii multi- forme, parmi les déterminations de F(3), il faudra en cluiisir une dont la dérivée soÎL égale à la détermination prise pour /*(:;),

Toutes les fois que Ton peut enfermer le chemin d'intégration à l'inlérieur d\me aire à contour sijnfïlc, où les branches consi- dérées lies deux fonctions y(v), l* ( :^ ) sont lioloiucu phes, nous pouvons ciinsidé^rer la formule connue démontrée. Or, on peut toujourSj fjuel que soit le chemin d*iutégratiou, le décomposer en plusieurs arcs pour lescjucls la condition précédente soit remplie, et appliquer la formule (iu) à cliacun d'eux séparément. En ajou- tant les résultats^ on voit que la foiuiule <isl générale, pourvu qu*on rap[djque avec les précautions nécessaires.

Soîtj (mr exemple^ à calculer Tinlégrale définie / z^Ulz^ prise

r.

suivant un ehemiii queh'ouquc ne passant [>as par I orjgrne, m étant un notubre réel ou complexe difïereut de — i. \jnii fouc-

tion primitive est - — > et la (brmule générale (loj devient ici

5'« dz =

jî'«+i_jîyi+

pour lever taiuLiguïté que présente celle formule lorsque ttt n'est pas un nombre entier, écrivons- la

r-

;'" dz ^

^\m-k-hL91iiSi\ ^(ii»-l-t)Loii;»t

La valeur initiale Log(5„) étant choisie, la valeur de 5'" est fixée par là même tout le long du chemin d*intéj;ration, ainsi que la valeur iinale Log(vi ). La valeur de rinlégrale dépend a la fois de la valeur initiale choisie pour Log(-3o) et du chemin d'intégra- tion* De inéiue, la formule

s:

fis)

^-- h''iî[/(-lO-bOg[/t 4^0)1

l

ne présente aucune difficulté trirUerprélalHni, pourvu <|uo le long du chemin d'intégration la îoucùfyn /{z ) soit cnnllnuc ^^l ne s'iïn- nule pas. Le |Hinit u ^^f{z] Aviixl dans son plan *in are de courbe ne passant [>as par l'origine, et le second membre est égal a la variation, de ho^{u) le long de cet are de ronrbe.

Observons encore, sans qu'il soil uércssidre d^y insister, que la formule d'intégration par (>arties, étant une conséquence de la

formule (lo), sVHend par là niéine aux intégrales de fonctions

d'une variable complexe.

29î2, Autre démonstration des résultats précédents. - Les prn-

priélés des iotégrales j f[z)dz offrent une grande analogie avec les

propriétés des intégrales curvilignes, où la condition d'Jntégrabilité csl vérifiée (I, n" 152). Riemann a montré en elFet que le théo- rème de Cauchy se déduisait imun'diatement du théorème ana- logue relatif aux inLéjj;rales curvilignes. "Sml f{z } = X -r /Y une fonction hôlomorphe de z à Ti^itérieur d'une :ure A à cotJtonr **unplc; r intégrale |>rise le long iViiu contour fermé C sittié dans celle rtirc est la somme de deux intégrales curvilignes

f /(Zfdz^ f Xdx^Y ciy-^i f Y dx -r \ dy, fit d'il prés les relations qui lient les dérivées des forjciiuns \, Y,

dx

dY

rc* ticiiv intégrales curvilignes sont nulles (') (I, n'* 152). lien résulte que l'intégrale / f{z)iiz^ prise d'urj puint fi\e Z^^

jusqu'à un point varialjle z^ est une loncliou unilbrine ^{z) dans /aire A, Séparons la partie réelle et le coefficient de i dans cette

fonction,

^< ^ ; — V(x, y ) ^- f Q( r, y),

P<jf,jr;= / Xdj^-Ydy, Q(^,J^l=/ Ydx^\€ly\

(•) tl est  remarquer que la ilémonsiraltd ri de Rieiiiaun suppose ta continuité y , . . 6\ ù\ , , , , ^,

fis ùv •'

ga ciiAinTHE \\\\ — fonctions analytiques I> apkes cauciit*

les foncllnrià P vi Q ad met Le ni les dérivées partie II es

4/P ^, c^Q ., ôQ

Y,

X,

àiT * dy ' tir 0}'

qui satisfont aux conditions

£P _ dQ ^ _ _ ^

Par conséqueol, P -H iQ est une fonelîan liolomorphe de z dont la dérivée est X -i- /Y, c'esl-à-direy'{ 3),

Si la fonction /(z) est discontinue en un certain nombre de points dans A, i! en csl de même de l\ine au moins des fonc- tions X, Y, et les intégrales curvilignes P(j:, j'), Q(^, >"j admet- tent en général tics périodes provenant de lacets décrits autour des points de discontinuité (!, n" 153)* Il en sera donc de même de

Pintégrale / /(:;) fh* Nous reprendrons Tétude de ces périodes^

après avoir approfondi la nature des points sintj^uliers de f(z).

— l

nou« avons, en séparant ta partie rceJlc et îe coeffi citant de f.

X ^ '-Vof ^^'> "-'j.u.

3f cLr ■+- y dy

-t- 1

^ xdy — ydr

La partie réelle est cgale û '-log{jr'-hjK')j *\^^^ 'ju^ *^^it ^t- chtiiiin suî\i.

Quant au rot^fficienl de i, nous avons vu qu'il admet Ui période 7.T.; il est égal à Tanj^le clonL a tourné le rayon vecteur joignant Toriglne au point (:t,y), ÎNous reirouv(His hum les diverses délerminariuiis de Log(-2)»

IL

iNTEGK\LE UK CAtlCHY. - SERIES !>E TAYLOB ET DE LAURENT-

POI^TS SINGULIERS. - RÉSlDt S.

Noiis allons mainlenanl exposer une suite de résultats nouveaux et imporlantSj f|ue Caiichy a déduils de la considération des inté- grales définies prises enlre des H nulles imaginaires.

293. Formule fondamentale. — Soit /[z) une fonction liolo- morpbe dans une aire tinie A, limitée par un contour F^ formé par

11. — IXTKGHALE DK CALCJJV. • 9^

une OU plusieurs courbes fermées disiirnies, el coQlfnue sur ce [conlour lui-rnéirie» Si x est un [îoIiU ^ ' » de Taire A, la ronetinn

esl liolamorphc daoâ la même réj,non, sauf au poiul 5 =: JC.

Dii point X comme centre, rlécrivons un cercle v de rayon p^ silué tout entier dans Taire A; la fonction précédente est alors holoniorphe dans la région du plan limitée par le conloiir F et le

Fig. 67.

@^

Q

\\

<^crcleY, ^^ '**" P*-'^*^ '*^^ appliquer le llicort^^uie général (n" 290), Supposons, pour fixer le* idées, que le contour l'soit composé de ^«^"ux courbes fermées C, C {Jig' T>^); nous avons alors

*^(Ci ^—^ J<C1 -'-^ ..'y, ^ —

'^» h'fiis inlégrules étant prises dans le sens indiqiu^ par les tièclies, ce rpj on peut encore écrire

r f(z)dz ^ r /uuiz

pgrale / désignant l'intéf^ralc prise le long du contour total F

dans le sens direct. Si le rayon p du cercle y est très petit, la valeur de /{^) en un point de ce cercle dilTèrc 1res peu de /{^)y

vmé

Jy-

V\ Dattsce qui suit, nous aurons «ouvenlà caiisidL'rer&imultan^'nicnt plusieurs Utiaillités complexes. Nous les déaigacrons iiicliiréreitj tuent par ks lettres x, z, A moins que ccta ne soit indiqué, Va lettre x ne sera plus réservée poar ner uue variable réelle.

I

9< CIlVI'tTRi: Xt\. - FONCTIONS ANAUTIQI7ES I>'aI'RÈS CAUCflV.

|U| clanL Lrè.s peliL Rem plaçons /(;;) par telÎL' valeur* il vicol /( z ) fiz ^, r dz r B *iz

(it)

Lrt preniièrf iiUugraU- du second membre se calcule aisément;

H Fou pose 5 ^^ .r -h ^^/.^^S elle devient

Lu seconde îiîtégrîik' i — ^ - est donc indépendante du rayon p

de la L'irconfé renée y; d'au lie pari, si |R[ reste in ferle or à nn uoml^re positif 7k, le uioditle de celle inlégrale esl pïus pelit que

— 27cp = 27rT». Or, puisque Ui fonction y(:;) est continue pour

5 = j?, on peut choisir le ravon p assex petit pour que Tj soit aussi petit qu'on fe veuL C^elte intégrale est donc nulle, et, en divisant par atzi les deux membres de la formule (ii), il vient

{\i)

f(^)

C'est la formule fondamentale de Caueby. Elle ex|>rime b* videnr delà ronct!yoy"( c) eu un point quelconque :r intérieur au contoui au moyen des valeurs de la uième fonction tout le long de ce contour.

Soil X -r- àx un point voisin de x, que nous supposerons par exem|ile ît rinlérieur du cercle v de ravon p. >ious avons aussi

/iz^dz

Ax

et par suite, eu rclrriucliaot membre à jnembre, et divisant par Aj

- J? ) ( 5 — dF — XX)

Lorsque Xx Uuà vers zéro, la Ibnctioo sous le signe / a pou limite — ^ ''— . * i^our démontrer rit^oureusement due l'on a le 1 *iroit d'appliquer la i'ormule de difïereuliaïion habituelle^ ëct

UNTELÏULK iJE ^i.VlCIIÏ.

95

vons celle intégrale fisjdz

\.r fi z ) dz

X — tkX)

Soient M une liniile supt^rieiire <Je 1/(^)1 le long de F, L la lon- gueur de ce conloiir, et 5 une limite inférieure de la dislance d'un poinl quelconque du cercle v a un point quelconque de P, Le mo- dule de la dernière intégrale esit inférieur à '-^ |Aj?| et par consé-

queul tend vers zéro en même temps qur |Ax|. En passant à la liniile, on a donc

U3

'Ju démontre de la même façon que la formule habiuielle de

dillérenliation sous le signe / esl applicable à celle nouvelle inté-

griilc(')et à toutes celles qui sVn deduisenl, et Ton obtient suc- cessivement

cï, iune façon générale»

Nous vojons donc qtip si une loncliun f(z) est hokunorphe *i*û)i une certaine région du plan, la suite des dérivées successives '1^ cette fonclion eî*l illiaïilée, el toutes ces dérivées sont aussi des f<»octions bolomorpbes dans la même région. Il est à renjarquer i)ue nous sommes arrivés à ce résultai en supposant seulement laJslence de la première dérivée.

â94. Série de Taylor. Soil /[z) rt ne fonclion koiofnorf*h€ à {intérieur d'un cercle G de centre a ; fa valeur de cette fonc-

{*) La formule générale de Jiiréremialifin sous le signe / sefa établie pb oin (Ctiap. WIlj.

96 CHAPITRE XIV. ~ FONCTIONS ANALYTIQUES D*APRÉS CAUCHY.

lion en un point quelconque x pris dans ce cercle est égale à la somme de la série convergente

(/(^)=/(a)-f--^-p?/(a)

H ^/'(a)-r-...H L/U)(a).^....

\ i . 2 "^ 1 . 2 . . . /i "^

Nous pouvons supposer pour la démonstration que la fonction f{z) est holomorphe sur la circonférence C elle-même; en eflTet, X étant un point quelconque intérieur au cercle, on peut toujours trouver une circonférence C de centre a et de raj'on inférieur à celui de C, qui renferme le point x à l'intérieur, et Ton raisonnera sur ce cercle C comme nous allons le faire avec C. Cela posé, X étant un point à l'intérieur de C, nous avons d'après la for- mule fondamentale

écrivons sous la forme suivante

z — X

(19. bis) fix) =—. f ^— dz;

1

a — {x — a)

— a \ X — a \

ou, en effectuant la division jusqu'à un reste de degré n -î- i en X — a,

I I r — a ix — <i )'

z — x~ z — a~^{z — a)2 {z—af

(x — a)"- (x — a)'^-^^

{z— a)«-^» {z — x)(z — a)«-^i Remplaçons par cette expression dans la formule (12 bis),

z -~~ X

et faisons sortir du signe / les facteurs x — a, (x — a)-\ ..., indépendants de z, il vient

les coefficients Jo, Ji , • • • > ht et le reste R,, ayant pour valeurs

j ^ 1 r f{z)dz j ^ I r f(z>iHz

* -^r.ij z — a ' * iTÙJ^iz — a)

(16) <

^ fiz^dz I r (x—aY^^ f(z)tfz

0*

il r f(z)dz _ I r (or-^Y^\ f(z

X

II. — iNTt:t;iuLK i>K CVHJIÏ.

l»7

Lorsque le nombre n angrnenle indéRnimenî, le reslc H„ leiiJ rcrs jséro. Soient en effet M une limite supérieure du module de ^f{z) loul le long du cercle C^ R le ravon de ce cercle el r le mo- dule de x — cï* On al^ ^x! > R — r el par suite < ,,-'^ »

lorsque z décrît le cercle C; le module de R^ est donc inférieur h

vers zéro, lorsque n au^jmeute iudt'lintjnent. II s'enMiît ijuey(x) est égal à la somme de la série convergente

/(j?) = J^-h J,(jr — a)-4-...-*- Jrt(.r — a)" -h

Or^^i Ton faîl j? = ^/ dans les formules (12), {i3), (i î)j ^e con- tour F étant le cercle C, il \u'nt

J,-/(a>, Jr=/(rt'

J« =

f^^'Hn)

1.2.

la série obtenue est donc identique à la série (t5), c'est-à-dire à lasfrie de Taylor.

Le cercle G est un cercle de centre a à Tin teneur duquel ta foûclion est liolomorplie ; il est clijir que Ton obtiendra le plus grand cercle salisraisant à celle condilion en prenant pour rajon la distance du pointez au point singulier de /(;;) le jïIus rapprocb*:* de fï. Cesl aussi le cercle de convergence de la strie qui est au >ecotHi membre (' ).

t^l important théorème met en évidence ridentité des deux deOTnliotis que nous avons dojinécs pour les fotictions analytiques (D"* tlM el -01). En ellt:!, toute série enlicrc repiéscnte une lonc- t'oii holomorplie dans son cercle de convergence (n" 266), cl 'n?cr*einenl nous venons devoir que toute fonclioa holomorphe d^ns un cercle de rentre a peut être développée en série entière '»rti«»Diiée suivant les puissances de j? — a, et convergente dans ce ^trclt». Rem<irquons aussi qu'un certain nombre de résultats éta-

H* antérieurement deviennent presque intuitifs; par exemple, en

»pli»|iiunt le théorème aux fonctions Log(i -h z) et (i -j- j)"', qui *<*ol huIoinorpUes dans le cercle de rajon un ajanl pour centre

(') CdU dcrnicre conclusion ciîge, sur la nblure des pf>înls siognliers» quelques Hpitcttioas «|ui Âcrout duunccs daiià le CUupilre cgub^crc au proIongcuieoL uttii»

G . IL 7

98 CHAI*lTtlE XIV — FONCTIONS ANALYTIQUES 0* APRÈS CAlCHï.

l'origine^ on relroove les l'ortjjules des n"* 271 cl 27;)* Coïisidéronî» encore ïe quotient dt^ deux sërîes eolic^res '— — -» convergentes Tune

et Taiilie dans un cercle de linun 11; si la série îp(j7) n'est pas nulle pour j: = o, comme elle est continue, on penL décrire un eerclt:' de rajon r^Rj ^ rintérieur duquel elle ne s'annule pas. La fonc- tion — — ' est alors ho loin or p h e dans le cercle de rayon r et par

su île peut être développée en série entière dans le voisinage de Torigine (1, n* 183). On pourra vériller de même le théorème relatif a la siibslitution d'une série dans une autre série, elc^^

Remarque. — Soi 1^(5) une Ion cl ion holomorphe à Tîntérieur d'un cercle C de centre a et de rayon r^ et continue sur ce cercle lui-même. Le module |/{-)| de la fonction sur le cercle C est une fonction continue, dont nous désignerons la valeur maximum par 0]l(r). D'autre part le coefficient a^ de {^x — ^)" dans le

développement dc/(:r) est égal à — /^"^(rt), c'est-à-dire à

/( s ) dz

de sorte que *')n(/') est supérieur a tous les proiluils A^r'" (*). On pourra prendre 311 (r) à la place de M dans Texpression de la fonction majorante (L n'' 181).

293. Théorème de Llouville. — Si la fonction f{x) est holo- morphe pour toute valeur iiiiic de x, le développemenL par la for- mule de Taylor est valable > quel que soil a^ dans toute l'étendue du plan, et la fonction considérée est une fonction entière. Des

(*) Les mcgalités (17) sont intéressa ntea^ surtout parce qu'clïes éublisscni une relation entre l'ordlrc de grdndrur des cocOictenlsi d^unea^ric enli^^rc et l^ordre d© grandeur de ta fonttiiin ; Ù\L (r) n'est pas d'aillrurs en j^iéntral je plus petit nombre qui satisfait à ces inégalités^ comme nn le voit imni(^diatcmcni lorsi^ae tous les coefficients a^sont réels et posilifs, Ces inc^galilés (17) peuvent être ciablies sans recourir à llniégrale de Caucliy (Mbray, Leçons nouvefles sur t*anaty$e it^fini- lest mate, i. I, p, 99).

I

11. — IJiTKGKÀLE DE tALCilV. fjf)

expressions obtenues pour les coefficients on conclut ajscment la proposition suivante, tlne à Lioiiville :

Tonte fonction entière^ dont ta moclide reste inférieur à un nombre fi Jte M, se réduit à une consianle.

Supposon!^ en cfTet que Ton développe f{.r) suivant les puis- sances de X — «, et soîl. an le cùelïicienl de (r — f/)". Il est clair «jne OT^(r) est inférieur à M, quel que soit le rayon ;■, et par

suite l^rtl Cât <1 — • Mais le rayon r peut être pris aussi granti

i\\ùin le veut; on a (Jonc a,i= o, si /i 5 ï j et f{x) se réduit à une

coiutante /(«), Plus génûralemeol, soil/(x) une fonction entière telle que U-

module de * --- reste inférieur à un uonihre flie M, pour les valeurs

itsdç module supérieur à un nombre positif R; la fonction f{x) ^e réduit à un polynôme, de degré m au plus. Imaginons en effet t|ue Ton développe y(^) suivant les puissances de x, et »olt a^ le coefficieut de x". Si h* ruyon r du cercle C est supé- ricurà R, on a DJl{r)<Z M/*'", et par suite |flfrt| < Mr'^~''. SI n > m, t^wadonu aa^=^ o, puisque Mr"'~" peut élre rendu plus [)Otil que tout nombre donné, en cboisisstmt r assez grand,

29(j, Série de Laurent. — Le raisonnement par lequel Caucliv 'icmootrc la formule de Taylor est susceptible de généralisations ifleiidues. Ainsi, soit f{z) une fonction holoniurplic dans une "'ouronne circulaire comprise enire deux cercles concenlrîques C, C» ftjfant pour centre le point a; nous allons montrer que la ^leur f(^x) de la fonction en un point quelconque x pris dans ^Ue région est égale à la somme de deux séries convergentes, * Uni ordonnée suivan t les puissances positives de x — a, Vautre

^uimnt les puissances positiies de ( ' ).

Nous pouvons supposer^ comme tout à Theure, que la fonc- Mon/(5)est Koloniorpiie sur les cercles C, C eux-mêmes. Soient Rj R' les rayon.s de ces cercles et r le module de x -^ ai si O est

t ' I Comptes tendus de l 'Académie des Sciences, lome XVtl. — Voir Œuvres f/f r.^u,rhx ,'• •rie, tome VIH ; p. ii5.

lOO CHAPITRE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUES D'aPRÈS CAUCIIY.

le cercle inlérieur, on a R'<;/'<R- Du point x comme centre décrivons un petit cercle y, situé tout entier entre C et C. Nous

avons l'égalité

r f(z)dz ^ r /(z)dz _^ f /(

/(z)rfz

les intégrales étant prises dans un sens convenable; la dernière intégrale, prise le long de y, est égale à 2Tzi/(x), et nous pouvons encore écrire la relation précédente

les intégrales étant toujours prises dans le même sens.

Nous trouvons encore, en reprenant les raisonnements du n**29i, que Ton a

(»9) -^- / , ^ = Jo-h Ji(x -- a) -\- ,. .-^- 5 „{x ^ ay -h ... ,

les coeflîcients Jo, Ji, •••, J/i, •••, étant donnés par les for- mules (i6). Pour développer en série la seconde intégrale, obser- vons que Ton a

I I / i \ I z — a

X — a\ z — rt| X — a (x — a)*

(;; — a)«-» (z — ^ )«

(x — a)' {x — z){x — a)"

et que l'intégrale du terme complémentaire

l'Ljç.^ \x — a/ x — z

tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. En effet, si M' est le module maximum de/(3) le long de C, le module de celte inté- grale est inférieur à

M'R' /IV\«

I [W!\n JX ^, MMV /IV\

R' et le facteur — est inférieur à un. Nous avons donc aussi r

(20)

/{z)riz __ K, ^ K. K,

21:^"^/^ X — z X — a ' {X — a)' ' ' ' (x — a/*

JU — INTKGRALE DE CArCllY*

It'coerfîcîenl K„ ëlant é^al â Finté^ralc définie

IQl

, (M)

lUuniiinainleoant d'ajouLer les deux développements (19) et (20) pour avoir le dévc?lopperaenL dçj'(x).

D;ins tes formules (r6) cl (21) f|iîî donnent 1rs eoeffieicrjls J^^ ri K^. nn peut prendre les inlégrale:?i le lon^ d'nn eercle quel- conque r eoinpris etiLrc C et C, ajant pour ceiifre le [îoiru a^ car

les fondions sons le signe / suol liolouiorplies dans la counonic»

Si Ton convient de fuire varier riridice rt de — oo à -|- oo^ un j>eur jriors écrire le développemenl de /(jr)

U1)

/<>") = S-'"^-^-^)"'

CoefBcîenl J^ a>anl pour expression, cjacl que soit le

<al)

^remple. — Une mi^me fonction /(t) peut admettre des développe- •nfttis tout à fail difTcrcuts, suivant la rL'j;ion considérée. FVenons par ♦'ifiiijilc une fraction rfitioanellc /i^)f dont Je dénominateur n'a que des ricinçs stmpte^ <ïe moduli-s dîWérenïs; «oient a^ b, c, .*., / ces racines ''Wgée* par ordre de modules croissants. En faisant ab^traclion de la ("•nie entière, ffui n'iniervient piis it'i^ ou a

/(^) =

J--1

i*Hïç le cercle de rayon \a\^ .lyant ponr centre ï'oïiginc, chacune des ^nicttt^Q^ simples pcitt être développée suivant les puissances [iositi%'cs ''«r. fi le dévc!oppcnK*nl (]q /{x) esi identirjiie à celui que donne la for- mttée Maclauriu

p-(î*--7)-(è----;;)'- -{^- -7^)'--

tMrw ti couronne com|»rÎ5c entre les deux cercles de rayons |a| et |^|,lcs .•* - — — peuvent tHre développées suivani Ich

iufti

^ — ,

CHAPITRE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUES D APRES CAUCIIY.

puissances positives de x, mais — puissances positives de —9 et I on a

doit être développée suivant les

/(^)=_(B+...^.L^_(«^...H-5l)x-...-(^L_H....^Jl_)

a?" -

A

Aa

-I-...

Dans la couronne suivante, on aura un développement analogue, et ainsi de suite. Enfin, à l'extérieur du cercle de rayon |/|, on n'aura que des

puissances de —

/(^) =

. -♦- L A a -4- .

U

ka^-^-h,.

\Jn-X

X"'

297. Séries diverses. — Les démonstrations de la série de Taylor et de la série de Laurent reposent en définitive sur un développement particu- lier de la fraction simple » lorsque le point x reste ù l'intérieur ou

à l'extérieur d'un cercle fixe. M. Appell a montré qu'on pouvait encore {généraliser ces formules, en considérant une fonction /(ar) liolomorphe à

Fig. 68.

l'intérieur d'une aire A limitée par un nombre quelconque d'arcs de cercle ou de circonférences entières (*). Considérons par exemple une fonc- tion f{x) holomorphc dans le triangle curviHj;nc TQH (///r- 08) forme par les trois arcs de cercle 1*Q, OU, HP appartenant respectiveinoni aux trois circonférences G, G', C". iNous avons, a: désij;nant un point quelconque

(') Acta Mathematica, louic I, page i'|5.

INTEGIIALC DE CAICUY.

laa

À rintéricur de ce triangle curviligne,

»^>/'-^i = ^/"

/(s)di

f

fi J ) di

'^^'-V --^

— f

/i^)dz

Le ktriL' de l'arc PQ, on peut écrire, a étant le centre de C, t i 3P— n (jr —

^ — jp z — a

{z~a)^

mais quand z décrit l*arc PQ, Je module de -^— ^ est inférieur à un, cl* |»ar suite, le module de l'intégrale

tend irers léro lorsque n croît iudéllrihnL'rii. On a ilonc /iz)dz

.h.L

r^ J,,-^ ii(T — a)-f-...H- J,tO — rt l'^H-.

coefficients Je» Ji, -.- êtaiil des consianles dont il serait facile d'avoir Tciipression. Le long de Turc QR, on peut écrire de mènie, b étant le ^ itre de C\

1

1^6

>mme le module de

_1 /j — /yX**

( ^^^ y) ^^"^ ^^i*^ *'^''*^ lorsque n augmente indé-

t, po

f{z)tU _ K,

fîftinienl, oa en déduit^ pour la seconde intégrale, un iléveloppenient de Ui iatvae

K,

K„

s- — h {x — h)^ "* <j- — è)'» In irtiii\i* de nièmc, *:* étant l** t'<-nir«; du cercïe T/, r fizxiz _ L, . L,

' i Ji^)<l^ ^ \n _^ '1 aif'JjKPj ■= — *'' ~3: — e (ar — c)'

Rn ajuittanl les trois formules (a), (3), (^), nous ohlenon^i pour /(t) la «^otnme de troîd séries ordonnées respectivement suivant les puissances

|»o»iUvC9 de ^ ^ a, de j et de — — • Il est clair que l'on peut Irans-

Jbrinef cette somme en une série dont tous les termes sont de^ f*>nctiouf* JonticUcs de j?, par exenijde en réunissant les terme? de même degré

-, -• Le raisonnement qui précèdij s'applique quel que

en .r — n.

jr — b X — V soit le nombre des nrcs de cercle

toi

ciiiPiTiΠxrv.

FONCTIONS AN.VLYTIQl KS D APRES ClUCHÏ.

On peiJl remarquer sur l'e\f*mj»le précédiînl qui* Icî* irors «érîcs i%\ (p), (y) soni encore conver^:€ntcs Jorsque le [loiiit jr est à rinti-nrur du Irianglr P'Q'R', cl la somme ck" ces Irois st'ries e^t encore épale â l'inté-

) prise le lonjs^ ilu contour du irijnjL;le PQR diins le sens

ilirecl* Or, lorsque le [>oînt x e^l dans le iri.iiigle P'Q'R', la fnnthOn *

est bolomoi |jî*e à rintfrîeyr du tiiiiULrle VQl\ et> par su île, Thitégraîe pré- cédente est iiiille. Nous obtenons donc de ceUe façon une série de f rac- lions rationnelles qtii est couvergonle lor<iqu«: t est à l'intérieur de l'uH des de.u\ triangles PQR» P'Q'R', et dont la somme est é^ale à fi^} ou à zéro, sttivant que le point x est dans le triangle PQR ou dans le triant' le FQ'Il'.

En restant dan* le même oiilrc d'idées^ M. Painlevé a oblenu des réduit at> plus généraux ( * ), Gonâidéron?^, pour rester dans irn cas 1res simple, une i:ourbe fermée convexe F, admctlant une tangente qui se déplace d'une manière continue, et dont le rayon de e<»urbure redite inférieur à une cer- taine limite. On jieut alors, cumme il est bien aiîié de Je voir* faire corres- pondre à eliaqïii^ fïojiii M de P un cercle G tancent en ce point à Y et ren- fermant celle courbe tout entière à rintéricur, et cela de telle firçon que le centre de ce cercle se déplace d*une manière continue avec M. So\iJ'(s) une fonction bolomorpbe à Pintérieur du contour P et continue sur ce contour lui-même' dans la for:injle fomlanientale

/(')

/(^)rf^

if>Li X est un point intérieur à P, nous pouvons encore écrire I I or — a (x — «)«

: — a (4 — a)*

i.^

a j'^^^

I /x — a\»^^ ^ X \ i — ai

a désignant le centre du cercle G qui correspond au point z du contour;

a nVst plus constant, ronuiie dans les cas déjà examinés, mais c'est une

fonction continue de z^ lorsque le point M décrit la courbe F. Malgré cela,

"" et . r ■ - i * ^^ ' ,

— ï qiii est une tnuctmn continue de z, reste inlrrietir »i

le module de -

un nombre fixe p plus petit que un, puisqu'il ne peut atteindre la valeur un, l't, par suite, Pintégrale du terme complémentaire tend vers tcro lorsque /i iiugmente indifininnent. Nous avons donc encore

it il c?t clair qtie le lerme général de cette sèiie est un poHîioiiie

(*) Sur les lignes slnguliètes des fonctions analytiques {Annales de la Faculté de Toulouse, i888).

lî. — IXTKGR,VLE DE G\rcin\ io5

rntlçr P^i-rit «^l» fiogiê n nn plus. Ln fonciion /(-r) est donc dtwelop- p&bie en une série de po/ y nom es à /* intérieur du contour T.

Ln tliêorre des Iraosform niions r^niforiri'^s permet d oblcnir, pour le ilcvcloppcmenl âc^ fonctioris liolornoiplu??, des séries cFunc «ulrc espèce. Soli^is) une fonction holomorplie à Finti-rJeur d'uoe aîre A pouvani **élcndrc jti^quVi l'infini. Su|»|tosons que Ton ^aclie eflVi^iurf lu rrpicsi'n- lation conforme de l'aîrc A sur l'aije d'un errrie C, de leîle façon fju'à ufi point de l'aire A corre<poinle nn jioini rlu cercle cl un seul, et inver- sement; soîl M = ç(s) la fonction analytique qui fait correspondre à Tatre A un cercle C ayant pour centre le poinl m = o diins le plan des u. I..or«que la variuLde u décrit ce cercle, la valeur correspondanic de z est ijfic fonction holomor(>lie de u. \\ en est de même t\e /\ z) qui pciil par c<m§rquent ùlre dcveloppée en série convergente ordonnée suivant les pui%<siocc9 de «^ ou de of-), lorsque la variable z reste à l'inléneur de A.

Supposon^f par e\cmple, que Taire A soit la bande indéfinie comprise entre les deux parallèles y ^= dz a k Taxe réel* On a vu (n" 279) qu'en

ç, I

l^osaot Cl =

-î on fait correspondre à celte bande un cercle de

rayon un ayant pour centre le point « = 0. Toute foneli4>n ./"(«) boln- rnorphe dans la bande indéfinie considérée peut donc ctre développée ftaos celle bande en série convergente de la forme

/^') = Va„^^

■ vat

2^8. Série de fonctions holomorplies. — Ln sotïinie d'une série ii!iifcirmcmeiit convergente, duiit le;^ termes sont des fonctions luilomorplies de z, est imc loijction continue de ;;, mais on nv poorrait pas affirnier siuis antre preuve que cette ^^amnie c^t iinssi uoe fond ion holomorphe. Il faut encore démontrer cprdle adniet en cliaque point une dérivée unique; cVst ce qu'il est aisé de r«irc« su movcn de Tinté'^rale de (^auchv*

Observons d'ahord rpi^me série ufiiforinémeut eonvergcule, •lunl les termes sont des fouctious eoulinues il une viiiialtie com- plexe ^^ peut être intégrée leruie i\ tcinie connue dtins le ca^tl'uuc variable réelle. Soit

FC5)=^/,(5)^/H-)M-...H-/,(5)-

anc s^rie uniformément convergente le long d'une courbe AMB, les fonctions /i(^) étant des fondions continues de z- le lon^

106 CHAPITRE XIV. — FONCTIONS ANALYTIQUES d'aPRÈS CAUCHT.

de AMB. Choisissons un nombre entier N assez grand pour que l'on ait, pour toute valeur de /2 ^ N,

t étant un nombre positif pris arbitrairement. Le module de la différence

Dn= f F{z)dz- f /,{z)dz-..,- f fn-i(z)dz= f R«(^)r/^,

*^(AIIB) *^^AMB, ^ (AMB) ^MAMB)

est plus petit que cL, L étant lu longueur de AMB, pourvu que n soit^N. Le nombre e pouvant être pris aussi petit qu'on le veut, cette différence D;, tend vers zéro lorsque n augmente indéfini- ment, et Ton peut écrire

f F{x)dz= f Mz)dz-^ f f,(z)dz-^,..-^ f fn(z)dz^,..,

^'(AMB. «AaMB) * lAMK, * (AMB)

Cela posé, soit

(26) F(5)=/„(z)-f-/,(«)-h...-f-/i(-)-^.-.

une série, dont tous les termes sont des fonctions holomorplies dans une aire A, et qui est uniformément convergenle dans celte aire. Prenons un point quelconque x dans A, et entourons ce point d'une courbe fermée C, située tout entière dans celte aire. Nous avons, en appliquant la formule de Cauchv à chacune des fonctions /v( 5),

V =0

mais la série obtenue en divisanl chacun des termes de la série (26) par z — X est elle-même uniformément convergente le long

de C, car le module de reste inférieur à une certaine limite

' z T

lorsque z décrit la courbe C.

On peut donc appliquer à celle série le théorème général sur l'intégration des séries uniformément convergentes, ce qui nous donne la relation

' . / '-^ — d

V{X) = . ! dz — ; /

211/ •/„, Z — X 1T,lJ,„ Z —

V(z)dz

X

Le raisonnemenL empUiyu pltis liaiU(n" 293) s'applique \c\ sans

Fix-^ \r) — Fi:r)

Ajf

tend vers

inodificaûon, et prouve que ïe. i apport

une limile F'(jr) lorsque le module de \x tend vers zéro, Iiani< qtt! est représeiiU^e par la formule

(aS)

La fonction F(jp) est donc Lolomarplic, et Ton %'erraît de mêiiu' 4|ue la dérivée d'ordre /), Ff"^(j:), a pour expression

p(«»

(JT) =r — ^- / —

r(x; =

»La dérivée d'ordre /? est égale à la souinie de la série oliteuui' en dilTérentianl n fois terme à terme la séiîe |:>roposée, Déiuoi)^ ironi-le, par exemple, pour F'(.i'). La formule (28) peut s*écrir(*

^Feairia série obtenue en divisant cliaque terme de la série (26) " par (s — xy est uniformément convergente le long de G, Le Icrnie général de la série qui représente F'(x) n'est autre que ^■y^(x), de sorte que Von a Inen

F'i j- 1 =/; r jr » ^/; (^) -^. . .-.V;u-

Eo résumé, toute série uniformément convergente dans une région A du plan, et dont tous les termes sont des fonv fions tiolomorphes dans A, représente une fonction F(r) hoiomorphe dans la même région, La déris'ée /?'<^'"*^ de F(c) est égaie à la somme de la série obtenue en dijférentiant p fois cfiaque terme de la série qui représente F(5).

299» Pôles* Fonctions méromorplies. ■— Toute fonction liolo- niorplie daus un ccrele Je centre a est égale^ à rintérietir de ce cercle, a la somme d'une série entière

(it)i

/(«) = Ao-4-A,(;;— ffi

V,«(5-a)'^-H..,.

I(»8 LJnPÎTIlE XIV. — FONCTJDNS ANAUnQtES H'iPRë^ CACCHY.

Nous dirons, |>aiir abréger, que ïa foncrion rsî régttiière au