BOOK 5 10.08.P755 V.3 cl
POINCARE » OEUVRES DE HENRI
POINCARE

3 1153 a012bl3T 7

ŒUVRES

HENRI POINCARÉ

PARIS. — IMPRIMERIli GAUT H I ER-V ! LLA RS

Quai des Grands-Auguslins, 55.

84505- .■Î4

ŒUVRES

DE

HENRI POINCARÉ

PUBLIEES

SOUS LES AUSPICES DE L'ACADEMIE DES SCIENCES

PAR

LA SECTION DE GÉOMÉTRIE

TOME III

PUBLIE AVEC L\ COLLABORATION

IULES DRACH

MEMBRE Dl^ I. ACADI^MIE DBS SCIENCES

PARIS

GAUTHIER-VILLARS, ÉDITEUR

LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE
Quai des Grands-Augustiiis, 55

1934

Tous (.li'oils de Lraduclion, de reproduction cl d'adapUtion réservés pour tous pays.

sun

UN THÉORÈME DE M. FUCHS

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 09. p. ~3-~'i (iJ juillet i884).

M, Fiichs a présenté dtrnièrfmfnl à l'Académie de Berlin un travail où il
étudie les conditions pour que les intégrales d'une équation différentielle algé-
brique n'aient qu'un nombre fini de points singuliers qui soient les mêmes pour
toutes les intégrales. On coni(irend aisément quel intérêt il y a à rechercher s'il
existe de pareilles équations et à les former, si elles existent. En efiél. les pro-
cédés qui permettent d'intégrer les équations linéaires par le niojen des fonc-
tions fuchsiennes leur seraient ap|]licables, et l'on serait ainsi conduit à une
classe nouvelle d'équations différentielles intégrables à l'aide des nouvelles
transcendantes.

M. Fuchs donne, pour les équations du premier ordre, les conditions
nécessaires et suffisantes pour que le nombre des points singuliers des inté-
grales soit fini. Il commence ensuite une discussion à laquelle je voudrais
ajouter quelques remarques. Si l'on met l'équation sous la foinie

(■)

'^(^•^'*j = "-

et si l'on regarde un instant La variable indépendante ; comme une constante,
la relation algébrique entre )■ et -^ aura un certain genre que j'appelle p.

Dans le cas où j) = o, M. Fuchs montre que l'équation se ramène à celle
de Riccali, et [lar conséquent aux équations linéaires. Je n'ai rien à ajouter sur
ce cas.

Si l'on a jo = I , M. Fuchs montre que l'équation peut se ramener à la forme

dt
tl. I'. — III.

{■?■) ;jz. = A„+A,/H- AW^^- Asv'Ht/),

1 SIR TN THEORKME DE M. KUCHS.

OÙ les A sont des fonctions de ; et où R est un polynôme du quatrième degré
eu t dont les coefficients sont des fonctions de ; et qui satisfait à une relation

(3) V ^ -77*-^"-^ '^i' \,/-i--=i B„+ H,nR

ilz fit

|où B„ et B| sont des fonctions de r. |.

Il est possible de simplifier encore cette équation, l'osons, en efl'et,

/ = *; 7

a, p. y et 0 étant des fonctions de ;; les équations (3) et (3), où / sera remplacé
par H, conserveront la même forme; mais on aura pu choisir y., {j, / et o de telle
façon que le nouveau polynôme R,

C étant une fonction de r. Les équations (2) et (3) d<'vi('nnenl alors

fhi - ,H\

ilz '/:

ce quL monlre que C, et |>ar cmisiquent le uuiduli' des fonctions elliplii|i:es
dérivées du radical \ R', sont des constantes absolues indépendantes de :.
L'intéjjration de ces équations se ramène à île simples quiidratures.

On piut d'ailleurs jirriver au luèinr r<sultat et poursui\ri' la discussion pour
le cas dey) > I, par le moyen suivant.

Soient )„ et y\^ les valeurs d'uni' intéf;rali' )■ et de sa dérivée -._ pour r^r,, ;
soient )•, et c, les valeurs de cette même inlécrrale )■ et de sa dérivée pour
: = :,; il est aisi' de voir que ii l'I ) , smit des fonctions rationnellrs de 1 0
et )i|, et réci|H-oqiieni<;nt. Ainsi Irs deux surfaces de Riemann

(Si) ^'( = ">'-È) = "' ■

où :■(, et ;i sont reo^ardés comme des constanlrs, et où les \ariables sont v et

'/V

ont non si'Tileuirnt même genre, mais encore mêmes modules. Les modules rie
la siirj'aci- de Riemann irpirsciilée par l'èqualion (i) sonl donc constants
et indépendants de z.

Cela posé, ou bien la surface S, ne pourra dériver de la surface S„ par une
transformation biralionnelle que d'un nombre fini de manières; dans ce cas, ou

(

(lll

SIR IN IIIKCIIIKMK DR M. ITirilS. i

pimri'a déliTininer ces iransloriiialloas, et par conséquent Tint ■i;ralp générale
le l'équation (i) par des procédés purement al<;ébri(pies ; celle intégrale sera

ne algcbritiiie ; on bien les deux surlaces pourront dériver l'une de l'autre
par une inlinité de transformations birationnelles, ce qui signilie que l'une
d'elles, S|| par exemple, sera reproduite par une infinité de pareilles transfor-
mations. Mais cela ne peut janiiiis avoir lieu si /) > i . Dans le cas de p = i , on
retrouverait d'ailleLiis aiscmeni le résultai énoncé plus liaul.

En résume, on peut tirer du beau lliéorème de M. Fuchs les conséquences
suivantes, en lais-ant de côté le cas de p = o, complètement traité par le savant
géomètre de Berlin. *

Si les conditiiiiis énoncées pnv M. /'^iir/is sont remplies pour une équa-
tion du premier ardre, el si y> =: i , Vérjuaiion est intéf^rahle par qiiadra-
I lires. .S'/yj>-i, l'inlèn-rale est alffébrir/iie.

Il sérail inléressant de recliercher si, dans le cas des équations d'ordre
supérieur, on arrive à des théorèmes analogues, ou si, au contraux', on est
conduit à une classe essentiellement nouvelle d'équations intégrables par les
fonctions fuchsiennes.

SUR

UN THËORKME DE M. FUCHS

Acia mat/iematica. t. 7. p. i-'îa (iS8ô).

Les équations diirérentielles linéaires jouisscuL dune propriété remarquable :
les points singuliers sont les mêmes pour toutes les intégrales. C'est ainsi i|ue
pour les équations dont les coefficients sont des polvnomes entiers en .v, les
points singuliers sont les valeurs de x qui annulent le premier coeflicient. C'est
sur cette circonstance qu'est fondée la méthode dintégralion de ces écpiations
par les fonctions zétafuchsiennes.

Les équations non linéiiires ne jouissent pus. du moins en j:;énér;il. de In
même propriété. Ainsi l'équation très simple

i/.r -i- J' ily = 11

./• il.r

a jiour intégrale générale

y= V

c éliinl une constante d'intégration. Et les points singuliers a; = ± c dépendent
de cette constante et ne sont par ronséquent pas les mêmes pour toutes les
intégrales.

On est ainsi conduit à reehercix'r s'il existe, en dehors des ('quations
linéaires, d'autres classes d'équations dillérontielles dont toutes les intégrales
particulières aient les mêmes points singuliers. C'est ce problème que M. Fuchs
a très élégamment résolu dans un Mémoire intitulé : Ueber Diffcrcnlialglei-
chungen dercn Intt; g raie j'este l'erziveigimgspiinlitr besitzeti et inséré aux
Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin (séance du ^>G juin i884)-

,Ie rappelle succinctement les notations employées par le savant géomètre de
Berlin et les résultats qu'il a obtenus.

(') Impvinié le ii fcviirr i^^Si.

Sllll CN TIIKOREMIÎ DE M. |-l'f:llS. 5

M. FiKjhs considère une équation du |)retnier ordre

(A) FÙ-. ,1-. ,|-'V^ o,

où ; est la variable indépendante et l' la dérivéi' -fj-- el dont le premier membre

esl un polynôme entier en )• et en )', avant pour coefficients des fonctions
ijitcjiiinqiip.s de ;.

Si l'on considère un instant ; comme une constante, lèquation (A) devient
une relation algébrique entre ) el )'. On appelle ji le i;('nre de celte relation.

L'équation

esl celle que l'on obtient en éliminant ) ' entre l'équation (A) et la suivante

( P. i -T-. = O.

M. Fnclis arrive d'abord à un résultai général qu'il énonce ainsi :

« Die nothwendigen nnd liinreichenden Bedingungen dafiir, dass die Inle-
grale der(ileichung(A) feste, sich nichlmit den Ànderungen der Anfangswerlhe
stelig verseliiebende Verzvveigungspunkte besitzen, sind die folgenden.

» I. Die ( lleieliuni; ( A ) liai die Form

I F ) y'"' + 'i I .k'"'-' -:- '^zy'"'-' -h . . . + ■l',,, = o.

worin i];,, i^, . . . , ■h,,, ganze rationale Fnnclionen von )• mil von c abhangigen
Coefficienlen von der Beschaffenlieilbedenlen, dass tj/j Inichslens vom Grade 2/.
in Bezug anf >- isl.

» 2. Isl )■ = /y eine \\ urzel der Discriminanlengleicliung (C) fiir weklie die
ilurcli (F)defînirle algebraische Function y von )• sich verzweigl so ist r, ein
Intégral der Gleichung (F). In der )•' als algebraische F\inction von y dars-
tellenden Riemann'scben Fliiche hal )' in siimmlliclien iiber r = "'7 liegenden
Verzweigungsslelien dén Wcrlh 1' = Ç =; -p-

» o. Je y. Bliitterit, welche sicli in )- = r,, )'=?= 73 verzweigen, entspre-
clien mindeslens y. — 1 mil )• = rj zusamuienfallende Wurzeln der Gleichung

F(3..i% r^ = o

niit der Unbekannten

)•- »

6 SIR IN TIIBORÉME DIC M. FI CHS.

En d'autres termes, Féqualion (A) devra satisfaire aux conditions suivantes :

1° La fonction )•' définie par cellu équation ne pourra devenir infinie que
lorsque )■ sera lui-mènie infini, (lU pour certaines valeurs particulières de ;.
2° Si l'on Tiose )i = -> y', r= -—-, reiiuation (A) deviendra

) 'i ne devra pouvoir devenir infinie, si )■, e?t nul. que pour certaines valeurs
particulières de :.
3° Les équations

devront définir des intégrales singulrères de réqu:ition (A).
/i" Eu différentiant l'équition (A), on trouve

^ ^y ./F ,_ </F _

,(>' t'/z '" ily ■*' dz " "■

On devra avoir identiquenieiil

,IV . </l" .... dV

il y dz dy

P et Q étant des polynômes entiers en )• et en )', avant pour coefficients des
fonctions de :.

Il est aisé de com|)rendre l'importance de ces rt'-sidlats. Supposons en efFet
que F soil un polynôme entier, non seulement par l'apport à )' et à )', mais
encore [idr rap[)orl à ;. Alors, si les conditions précétlemment énoncées sont
remplies, lu nombre des |)oints singuliers est fini et ces points peuvent même
être regardés comme donnés, de sorte que la méthode d'intégration des équa-
tions linéaires par les fonctions fuchsiennes est applicable, au moins dans ses
traits essentiels. On pourràt donc ainsi concevoir l'espoir de découvrir une
classe nou\elle <réquations dillérenlielles intégrables par ces tianscendanics.
Dans le cas même où F n'est jjas un j)olynome entier p.ir rapport à c, le résidlal
reste fort important.

Mais pour en tirer tous les huils, d est indis])en>al)le de taire des conditions
précédemment énoncées une étude plus approfondie. Celte étude a été com-
mencée et poussée assez loin par AL Fuclis et je désii'erais ici la pousser plus
loin encore, afin d'arriver à des conclusions dè(inili\es (').

( ' ] Voii' au\ ^t^i^:.s.

Sin IN TlIKOnKMIC DK SI. IIf.llS. 7

I^e nombre que nous avons appelé |)las hiiut // jnue dans celle élude un rôle
capital.

1" Sup[)05anl d'abord p ^ o. M. Fuclis pose

<!►„, <I>| i-'t *I»j désignant des poljnouies entiers en /, dont les cocflicienls
dépendent de r. Il arrive ainsi à l'équation

où A,j, A|, Al sonl des tondions de ;. C'esl l'équalion de Uiccali tiu'il est aisé
de ramener, comme on sait, aux équations linéaires du second ordre. Ainsi
dans le cas de /> =^ o, on n'obtient pas déclasse réellement nouvelle d'équations
dili'érentielles satisfaisant aux. conditions énoncées.

Dans ce premier cas, je n'ai rien à ajouter aux résultats obtenus par
M. Fiichs.

2" Ce savant géomètre, examinant ensuite le cas de p = i , [lose

'l), -H »I'| V RT/^ _ *3-*- 'l'î \ R( /)

les <I», les 1-' et 11 étant des polynômes entiers en t avec des coeflîcieuls dépen-
dant de ;, et R en particulier étant du quatrième degré en /.
L'é(]uatiùn (A) est alors ramenée à la forme

(il 'j^ = .\o— \,i + \,r--^ '/■ v'RiT).

où les A et ). suai des fonctions de .:.

On déduit alors de l'énoncé de M. Fuchs, cité plus haut, la condition sui-
vante :

(•2) -p- -(- -7t{\,,^ V,/-f-.\W=i = (Bo-HB,/)H( l).

ilz tll

Bu et B( étant des fonctions de ;.

On peut pousser plus loin encoie l'élude de celte condition, à laquelle
s'arrête le célèbre analyste que nous citons.

Sit

('il R ( 0 =_( / — ï 'i( ' — ? 1 1 ' — ï H ' — S I,

» Slli rX TIIKOHEME HK M. I TnHS.

a, p, y et o (Hant des fonctions fie ;. Posons

, , , au -\- h

eu + c/

a, b, c, d étant des fonctions de ; que nous déterminerons plus complètement
dans la suite et auxquelles nous imposerons d'abord la condition

ad — fer = I .
Les équations ( i ), ( -j.) et (3) vont se transformer. En posant

ax'^b a'î' -\- h ay' -h h , ao -- l>

on aura

R ( / ) = (" — ^")("—';i')i" — Y){u — s') ^ B|

(c«-+- f/)»(ea'-+-rt')(c[i'-t-f/i(f-'-r f/-)(cS'-f-c/) u-h, + ,/ i» \1 '
M étant une loiution de ;,

{c!i — d)-_ cu^il

les A' et les B' étant des fonctions de ;. Il vient ensuite

'// _ du Co -t- (\» — C; u-

ilz dz{cu-^-d}- (eu ^- d y- '

d où, en posant

\:,-c„=a;,. aï — (:,= \;. \: — (;,= a^,

ou tirera

du ., —

— = A„-- A| ;(— \:^u-^ I. \ H|.

et l'on trouverait aisément

r/lt, d\\

Ainsi la forme des équations (1), (2) et (3) n'est pas changée par la transfor-
mation (4), ce qu'il était d'ailleurs facile de prévoir.
Nous déterminerons a, b, c, d en fonction de c par les conditions

(/:i — b = (c-\-d)^ — (a^f>) = id—c)-; — (b — a) = o

qu'il est toujours possible de remplir et qui entraînent

a'=o, ii'=i. 7' = — I.
D'où la conclusion suivante :

Sin UN THKOHKMR DE M. l'I CMS. Ç)

Il est loujouis |ieriiiis de supposer

0 élanl une fonction de :: qui définit le module des [fondions elliptiques engen-
drées par ^/R. C'est l'hypothèse <]ue nous ferons désormais.
L'équation (2) devient alors

Faisons successivement dans cette équation

/ = o. / = 1. / = — I.

elle deviendra

'/R . . .

— ^( Ao-^ A,; -H A,/= I = o (l = — I. o i).
(Il ^

Mais -7- ne saurait s'annuler pour une de ces trois valeurs de <, sans quoi

ut ^ '

0 serait égal à — i , à o ou à i , et le nombre p ne serait plus égal à 1 , mais à o.

On a donc

A„— A, I -^ \«t-= o (/ =—1. o. i),

d'où

A«=A,= A,= o.

L'équation (2) se réduit alors à

/(i — /-)-p =i'i!u— li.nR.

Si dans celte équation on fait ? ^^ ô, il reste

do

Tz = "■

Ainsi ô est une constante.

Si l'on regarde un instant ; comme une constante, l'équation (A) devient

une relation algébrique de genre p. Cette relation définit une certaine surface

de Riemann S qui dépend de .;. Ici p = 1 ; donc à chacune de ces surfaces de

Riemann correspond un système de fonctions elliptiques et le module de ces

fonctions pourra s'appeler le module de la surface S.

// résulte de ce qui précède (jur le module de la surface S est invariable.
Gela |)Osé, l'équation (i) devient

H. P. — m.

dt , ,rr
dz = '■ ^'*

Sun UN THKOREME DR M. Ft CIIS.

-4 = ; ,1-

R ne dé|jL'nd que de l et ), ne dépend que de ;; les variables sont dune
sqjarées.

Posons "i.^ -j-^1 IX étiinl une fonction de c. L'inversion de la relation

'" I

\R

donnera

■j étant l'algoritinne d'une lonclinn doublement périodique et c la constante
d'intégration.

Les points singuliers de la lonclion t seront ceux de la fonction ;j. ; ils seront
donc indépendants de la constante d'intégration et seront les mêmes pour toutes
les intégrales.

Ainsi dans le cas de /> ^^ 1 , comme dans celui di' [i = o, nous ne sommes pas
eoniluils à une classe réellement nouxelle d'équations dillerentielles.

3° Il reste à examiner le cas de p > 1 , laissé de côté par M. Fucbs.
Une petite dii^res^ion sui- les surfaces de Piieniann est ici nécessaire.
Soit

une relation alyéljrique de yenre y;, <lélinissaut une surlace de lilemann S^,

.Soit

./■|i j']. y\ I ^ o

une relation de nn'me genre délinissant une surface de Rienianu S,.

Les deux suifaces Su et S| seront dites l'cjuii a lentes si l'on peut passer de
l'une à l'autre par une Iransfoiination birationnelle, c'est-à-dire en établissant
entre les deux points analv tiques ( \\. )„), ( ii, y\ ) une relation lelle (|ue )i
et y\ puissent s'exprimer rationnellement en fonction de )„ et j^,; et récipro-
quement.

On sait (pi'ij y a certains invariants (jiii ne sont p.is altérés piir hs transfor-
mations birationnelles; ce sont les modules. Il y a ip — 3 modules ])iinr une
surface de Iliemann de genre yB>>i ei un module pour une surface de genre un.
lieux surfaces de Riemann équivalentes ont donc mêmes modules.

Reprenons maintenant réqualion (A) et considérons-la comme représentant

SUR UN TUKORKMK DE M. FUCHS. I'

une surfaci' de Riemann S variable avec :. Je dis que les modules de celle
surface S seront constants et indépendants de :.

En effet partons df la valeur initiale ;o de ;, à laquelle correspond une cer-
taine surface de Riemana So- Soient r„ et )|, les valeurs initiales d'une certaine
intégrale de l'équation (A) et de su dérivée; le point analytique ( jo, ,)'i, ) appar-
tiendra à la surface S„.

Allons ensuite du point r,, au point c■^ en sui^'a/il un ctieniiti déterminé. Lu
surface de Riemann. ([ue nous avons appelée S et qui pour ; -— ;„ se réduisait
à S„, variera avec ; et \w\\v z^=z^ se réduira à S,. Pour c ;= ;i, l'intégrale
considérée et sa dérivée se réduiront à Ki et r, elle poini analytique ()i ,)', )
appartiendra à la surface S,.

Faisons maintenant varier sur la surface S^ le point unalytique ( ) „, ) „) qui
définit les valeurs initiales correspondunl à l'intégiale envisagée, mais con-
servoyis des \aleurs invariables à ;„ et à ;, et ne faisons |)as varier non plus le
cliemin (iLii mène de ;„ à ;|. Dans ces conditions, les surfaces Su el S, ne
varieront pas, mais l'intégrale considérée variera et dépendra des valeurs ini-
tiales )•„ et rîi que l'on aura choisies. Pur conséquent Vi et y\ seiont des fonc-
tions de )■„ el de }'„.

Je dis que ce seront des fonrtinns uniformes et continues du point unalj-
ti([ue ( )o, l'i,). En effet si l'on se donne les valeurs initiales v,, et ) |,, l'intégrale
qui correspondra à ces valeurs inili les seru entièrement délerminée. Celte
intégrale considérée comme lonclion de c, peut jirendre pour c = ;, des
valeurs différentes. Mais parmi elles, il y en a une, qui est celle que nous avons
aijpelée )'i et qui est celle que l'on oblient en allant du poiiil ;„ au point z^ par
le chemin particulier que nous avons choisi. Celte valeur r, ainsi définie est
parfaitement déteiminée. C'est donc une fonclion uniforme du |Miint analy-
tique ( )-u, y\).

Culte fonction uniforme pourrait toutefois être discontinue. Voyons comment
cela pourrait arrivei', par un exemple sinqjle. Reprenons l'équation

; (/; -t- _;' ily = o

et son intégrale

\ f-— -•

Soient ;„= o, ;, = i el allons du poiiU >.> au point i par la droite cpii joint ces
deux points. 11 viendra

J»'o =

12 SI n IN TiiEoiiKMi; IIP; .m. ficus.

et

.1-, = ± ^V-— I =± \/vg— 1.

Ainsi Vi est exprimé en fonction de }'„. Il irste toutefois pour le délinir com-
plètement à décider >i l'on doit prendre le signe + ou le signe — . Supposons
d'abord que la p^irtic imaginaire de lo soif positive. Posons

■ij«= ('^ 7) <-o^z-^,-(/—j)-\nz.

t et o étant des quantités réelles et telles que

Cela est toujours possible et d'une seule manière, sauf une exception dont nous
parlerons plus loin. 11 viendra

* V>o— '=± |('"~ 7) "''■'r-^'i^l-^ jj ^'"yJ-

Cela posé, pour déterminer le signe qu il faut prendre, faisons \aiier :: de o à 1 ,
en suivant la droite qui joint ces deux points.
Nous écrivons'

v.J'fi= H' -(- — ] c ^'l -h il II — — j siii'i/

■l devra se réduire ù o et 11 i\ t pour ; = 1 . Il viendra

2 \'yé—5-=± ("— ^jcos'i-^ (■/»-!- ^j -m'A

et comme celte expression devra se réduire à 2 )„ pour ; = o, il taudia prendie
le signe + et il viendra

s Ml ; .

Cette expression n'est pas une fonction continue île lo- Soit en effet

/ = 1 — s.

£ étant infiniment petit. Les deux valeurs de 2 )„

(I -!- c H I coso -H (' ( I -;- : — )sinc = ac«so — iiif. imiIi

et

li-hî-^ 1 cos( — z,) -h i ( i -i- i I sln( — ç) = -2 cosi — iiif. pelil

suit IN THÉORÈME DK M. FUCUS. l3

sont infiniment voisines, tnnilis que los valeurs correspondantes de .ty,

-;-jr„.. + ^(,^. + -^)

siiiw = ■> (' siii 9 4- iiil'. |pclil

el

+- £ \ ro^i — - I -f- H i -t- ï - - ) >in(' — 3 1= — ^ ?. (' siuo + iiif. pol il

ne sont pas iaflninu'iit voisines coiiiinr elles deviaieni l'être si j-, élail fonction
continue de ) „.

A quoi tient ce l'ait? Supposons que jo soit réel et compris entre — ^ i et + i.
Alors il faudra prendre t = i. Et pour l'angle 9 nous aurons deux valeurs dis-
tinctes satisfaisant toutes deux à la condition

cosç = J'o-

D'ailleurs rien dans les hypothèses faites jusqu'ici ne nous permettra de décider
entre ces deux valeurs de 9 qui conduisent 'pour \-, à deux valeurs égales et de
signe contraire. Rendons-nous compte de la raison d'être de celte anomalie.
Supposons que nous ayons donné à >o une valeur réelle comprise entre — i
et -f- 1 . L'intégrale correspondante

y = V^ii — -=
présentera un point de ramification

= = ! J'o !

situé sur la droite qui joint le point :; = o au point .: = i , c'est-à-dire sur le
chemin même que nous sommes convenus de suivre pour aller du premier de
ces points au second. Quand la variable ::, en suivant ce chemin, aura franchi ce
point de ramilicatiou, rien dans les hypothèses faites ne nous permetira de
décider quel signe il faut attribuer au radical y/rj; — •:'•

.le suis entré dans d'assez longs détails sur ce cas simple et j'espère avoir fait
CDinprendre comment y, pourrait être une fonction discontinue de ) „.

Cela arriverail si l'un des points du chemin que nous suivons pour aller
de zo à :, était un point de ramification pour l'une des intégrales. Mais
rien de pareil n'est à craindre dans le cas (|ui nous occu[)e. Nous avons supposé
en effet que les points de ramification étaient les mêmes pour toutes les inté-
grales et par conséquent qu'il ne pouvait y avoir de points de ramification des
intégrales que pour certaines valeurs particulières de .:.

l4 SUR l'N THKOIIKME III', M. FI I IIS.

Or nous aurons toujours pu clioisir le chemin qui va de z-o à :, du lelle sorte
qu'il ne passe par aucune de ces valeurs particulières.

Donc )■, esl une fonction uniforuic et continue de )o et i,,.

11 est aisé de voir que leLte foiiclion na d'iiulies singularilés cpie des
pôles (' ).

Donc )'i esl une fonclion rationnelle de ;•„ et ) |,.

Pour la même raison, )', esl une fonction rationnelle de ) ,, et i „ ; et de
même )o pI Y,, sont (les fonctions rationnelles de Vi Pi,)',.

Donc on piMit passer de So à S, p.ir une irausforinalion IpiiMtionnelle.

Donc ces deux surfaces de Rieinimn <inl mêmes modules.

Donc Ir.'i modules t/c lii suvfuce S soûl indrpciuUints de z.

c. Q. r II.

C'est le résultai (pie nous avions (dilenii plus liant pour le cas de p = ] c\ (pii
esl étendu ainsi au cas général.

Pour pousser plus loin cette élude, il est nécessaire de dire (|uelques mots
des transformations l)iralionnelles des surfaces de Riemann en elles-mêmes.

Une surface de genre o peut se transformer en elle-même par une infinité de
tiansformalions hiialioniudles formnni un groupe ('Onlinii ,"t trois paramétres.
Soient en ellel
(5) /(./■. 1-1 - (>

une relation algébrique de genre o et S la surface de Riemann correspondante,

on peut poser

.r = z( !)■ y = ■]'( 'I. ■

o et <\i étant ralioniiels |el I s'exprimanl ralioniKdlement en x, ) |. Si ensuite on
prend

l

; / -h S.
X, (i, V et 0 elanl des conslanles (pielconqiies, puis

.r' et ) ' seront fonctions rationnelles de .f et r el réci|iroqtiemenl, on aura ainsi
une lri|ile infinité de transformations hiralionnelles de la surface S en elle-
même.

Les iransformations birationnelles d'une surface de genre i en elle-même

(' ) Vnir aux Notks.

SIR IN THKORKMI. DK M. IITH*. 15

formeiil encore un gToii|n' conlinu, mais ce groupe ne conlicnL plu^ qu'un seul
paramètre. Supposons en effet que la relation (5) et par conséquent la sur-
face S soit de genre i et non plus «le genre o. Nous poserons

9 el 'i> étant des fonctions douliliMiicnt périodiques avec les périodes m et w.
Soient

un autre système de valeurs satisfaisant à la relation (5) el supposons que x'
et y puissent s'exprimer rationnelleuient en .r et y, et réciproquement. On
verra :

i" Que t' est une fonction entière de /;
2° Que t est une fonction entière de t' ;
3" Que l'on a entre t et /' une iclation de la forme

7. / -^- } l' -t- ■; = o,

y., p et y étant des constantes;

4" Que lorsque / augmente d'une période, /' doit augmenter aussi d'une
période et réciproquement. Si p;ii- cxoinple / augmente de ',), (' devra augmenter
de niu-j- ri'W . m et /( étant des enliei's. Il vient donc

ao) -I- '^j{ 1)1 oj H- /( w' I = ()

et de même

ïo)' -+- 'it m'o> -J- rt'o)' ) = o,

3t 1 «i 1 (O -H « I t.j' ) + poj = o,

ai i)i\ O) + ri\ w' ) + [jO)'= o.

Les deux dernières équations sont des conséquences des deux premières pourvu
que l'on suppose mn' — m' /i = i . Celle condition est d'ailleurs nécessaire pour
que les quatre équations soient compatililes. Nous remplacerons donc nos
quatre équations par les trois suivantes :

I» li — //(';; = 1 .

Ces équations peuvent être satisfaites de trois manières :

1° En faisant

z = I . ^i = — I , m — n' = i , m' = n = o.

d'où

l6 SUR UN THÉOHÈME DK M. FICUS.

On esl ainsi conduit à une intinité de transformations de la surface S en elle-
même, dépendant d"un seul paramètre •/ et formant un groupe continu.

■j." Le rapport - esl donné par l'équation

y.

X- -+- p--¥- x'^j{'ii -r- II' ) = o.

De plus ce rapport ne doit pas être réel (>1 on laisse de cùlé le cas cpie nous
venons de traiter et celui que nous allons traiter plus loin), sans quoi le rap-
port —, serait lui-même réel. On devra donc avoir

(/« -T-«')î< 4,
d'où

m ■+- n' = ". I i)U — I .

11 est aisé de déduire de là que le rapport — doil avoir une des valeurs

ki-

(6)

II, /., y., "/,', [j.' <'tanl des ealicrs lels que

à;jl' — Â'a = 1 /,■ ^ (a, 3, 4- f^- 9 "i' '" ' i n\»A \>. i.

Ce cas ne pourra donc se présenter que |iour certaines \aleurs |)arlicLilières du
module de la surface S. Pour ces >aleurs, la surface S admettra, outre le groupe
continu trouvé plus haul, une autre transformation dont la puissance 3% 4"^
ou 6" se coiilondra avec la transformation identique, ainsi que les diverses
puissances de cette translormatiou et les combinaisons de ces puissances avec
les diverses transformations du groupe continu.

■5° Ou peul enlin satisfaire à nos trois équations en f.iisaul

/=—/■,
2 = 1, [j = I . /» = // = — I . III-— n ^= O.

On rsl ainsi conduit à une transformation T de la surface S en elle-même. Si
l'on appelle r une transformation quelconque du groupe continu trouvé plus
haut, toutes les transformations birationnelles de la surface S en elle-im'me
sont comprises dans l'une des formules

-. el -V.
11 n'y a d'exception que si le rapport —, prend l'une des valeurs (6). Les consi-

Sllt UN TllKOKKMK DIS M. Il l.fIS, 17

déralions qui précédent ne présentent aucune difficulté, jo les ai pourtant déve-
loppées avec détail parce que j'ai Tintention d'appliquer une méthode tout à
fait anidogue à la recherche des transformations des surfaces de genre p ^ \ .

Ces surfaces ne peuvenl être transformées en elfes-mêmes que d'un
nombre fini de manières.

Ce théorème était soupçonné depuis longtemps, mais la démonstration a
longtemps arrêté les géomètres. Elle a été trouvée il y a quelques années par
M. Klein.

Voici en effet ce que ce géomètre me (it l'honneur de m'écrire à la date
du :^ avril 1882 :

« Eine Reihe von Theoremen iiber algebraische Functionen beweist man
vermoge der neuen rj Function soforl (fonction intimement liée aux fonctions
fuchsiennes). Zum Beispiel den Satz, den ich in meiner Schrift iiber Riemann
nur erst als vvalirscheinlich bezeichnete, dass namllch eine Flàche p > 1
niemals unendlich viele discrète eindeutige Transformationen in sich besitzen
kann (vermoge deren sie in eine 00 Zahl àquivalenter Fundamentalpolygone
zerlegt erscheinen wiirde). »

11 est facile de reconstituer dans tous ses détails la démonstration de
M. Klein.

Reprenons en eilel la relation (5) et supposons que cette relation et par con-
séquent la surface S soient de genre/» > i . Nous poserons

cp(<) et '4'(0 étant des fonctions fuchsiennes dont le 'polygone générateur Rq
aura ^p côtés, les côtés opposés étant conjugués. Tous les sommets formeront
un seul cycle et la somme des angles sera égale à 27: [cf. Titèorie des groupes
fiichsiens {Acta mathematica, t. 1, p. 28 et 42); et Mémoire sur les fonc-
tions fuchsiennes {Acta mathematica, t. 1, p. 206 et suiv.)(')]. Cela est
toujours possible [cf. Mémoire sur les groupes des équations linéaires {Acta
mathematica, t. i, p. 272 et 276) {^)\.
Soient

(') Œuvres de H. Poinraré. l. 2, p. 129-100 (Exemples III, IV), p. i '19, puis p. 111 el sui-
vantes.
( = ) Œuvres fie H. Poincaré, t. 1, p. 363 et p. 368.

H. P. — m. 3

l8 SUR L'X THKOREMK DE M. FU(.HS.

et supposons que x' et )' soient fonctions rationnelles de x el de )•, et récipro-
quement. Qu'arrivera-t-il si l'on étudie t' comme fonction de <? En premier
lieu, tant que l reste intérieur au cercle fondamental, l' est une fonction holo-
morphe de t.

De plus l' reste intérieur au cercle fondamental.

Réciproquement, quand /' reste intérieur au cercle fondamental, t est fonc-
tion holoniorphe de l' et reste intérieur au cercle fondamental.

Ou en déduit aisément (cf. Mémoire sur les groupes des équations
linéaires, p. 281) (') que

I = 1>

la Mibstitulion

{--m

conservant le corcle fondamental.

Soit maintenant G le groupe des fonctions fuchsiennes 9(<) et '|(0- ^^- <^'*
(ju'il cs\ permutable à la substitution c. Soit en effet r une substitution quel-
conque du groupe G : je dis que c^'Tff fera aussi partie de ce groupe. En effet,
T faisant partie de (j, on aura

X = ?(/) = =(/.-). y = 'iù) = •]'('■-).
d'où

R[ç(/i, ■i>(0]= R[?(,/--N '^t '•-)]■

R étant l'algorilhme dune fonction rationnelle quelconque. Dautre part on a,
par hypothèse,

■'•■= ?('■'> = rîi[9<<): 'M/)]>

et de même

d'où

s( l.-.'i) = R,[ = (<.xl, -bi /.- 1].
■{/(?. T. 7) = R.[9(?.-|, 'li t.- I |,

c^/tt) = s, «II. 'lii t~i) = iji 11 )

ou en changeant / en /t '

çi /Ï-' •:!) = 91 / ). il «s-'tu) = i}( /).

Donc la substitution 0- ' ro^ fait partie du groupe G. c. q. f. u.

Les substitutions linéaires permutables au groujie G et conservant le cercle

(') Œuvres de H. Poincaié, 1. 2. p. 325 el 337.

o

SLR t'N THÉORÈME UE M. Ft'CHS. 19

fondamental formenl un groupe G'. Ce groupe G' contient évidemment le
groupe G; eu d'autres ternies G est un sous-groupe de G', et l'on voit aisément
qu'à toute substitution de G', n'appartenant pas à G, correspomlra une trans-
formation birationnelle de la surface S en elle-même.

Remarquons de plus que, d'après la définition même de G', G est un sous-
gniupe " distingué » [ou invariant] de G'.

Mais il y a deux espèce.-, de sous-groupes : les sous-groupes A' indice Jim
(qui sont tels qu'on obtient toutes les substitutions du groupe principal, en
prenant la résultante des diverses substitutions du sous-groupe et d'un nombre
fini d'autres substitutions) et les sous-groupes A' indice infini.

Je me propose de démontrer que G est un sous-groupe d'indice fini, et par
conséquent que la surface; S n'admet qu'un nombre fini de lransform;itions
birationuelles on ello-méme.

J'établirai d'abord que G' est un groupe fuchsien, c'est-à-dire un groupe
propremunl discontinu. En effet, s'il ne l'était pas, il serait ou bien continu
(c'est-à-dire qu'il conlicndiait des substitutions infinitésimales), ou bien
improprement discontinu [cf. Théorie des groupes kleinèens {Acla rnat/ie-
nialica, t. 'A, p. 07) (')]•

i" îl ne peut être continu, car s'il contenait une substitution infinitésimale a,
cette substitution serait pernuilable, non seulement au groupe G, mais à toutes
les siibslitutions de ce groupe.

Soient en effet

"i' "^ '-'-p

les substitutions fondamentales de G. D'après les liypothéses faites, les substi-
tutions

fffront également partie du groupe G. Mais ces sul)stitiitinns dilTérent infiniment
peu de

puisque a est inlinitésimale. Mais le groupe G étant discontinu ne devra con-
tenir aucune substitution infinitésimale, il ne pourra donc contenir deux subs-
titutions distinctes, mais différant infiniment peu l'une de l'autre. Donc on a

-:,■= 0— 'T/T (i = \, i. . . ., ip).
{') Œuvres de H. Poincaié. t. 2, p. 366.

•lO Mil UN TIIRORKME DK M. KUI'.MS.

Donc (7 est pei'imilable aux siibslluilious rondaineiitules de d; elle est donc per-
mutable à toutes les substilulions de ce groupe, qui n'en sont que des combi-
naisons.

Mais je dis qu'on ne saurait trouver de substitution linéaire permutable à
toutes les substitutions de G. En effet pour que deux substitutions linéaires i
et 1' soient permutables, il faut et il suffit, ou bien qu'elles aient mêmes points
doubles (les deux points doubles pouvant dans ceilains cas se confondre en un
seul), ou bieri qu'elles aient toutes deux pour multiplicateur — i et que les
quatre points doubles soient conjugués harmoniques.

Nous n'avons pas besoin de nous inquiéter de ce second cas de permulabilité.
En effet une substitution infinitésimale ne peut avoir pour multiplicateur — i .
Si donc le groupe G' contenait une substitution iufinitésimale a, toutes les subs-
titutions de G devraient avoir mêmes points doubles que cr; elles seraient donc
toutes permutables entre elles, ce (jul n'a pas lieu.

Donc (i' ne peut être continu.

2" (i' ne peut pas non plus être improprement discontinu, .l'ai démontré en
effet {Groupes hleinèens, p. 58) (') que tout groupe formé de substitutions
linéaires conservant le cercle fondamental, et ne contenant pas de substitution
infinitésimale, est proprement discontinu à l'intérieur du cercle fondamental.

Donc G' est un groupe fuchsien.

11 aura donc un polygone générateur R^j, ut 1 indice de G considéré comme
sous-groupe de G' sera égal à la S de Rq (polygone générateur de G) divisée
par la S de R„ | cf. Mémoire sur les groupes des équations linéaires {.Icta
nial/ienidlica, t. 4, p. 285) (-),)• Or la .S de R,, est finie, donc G est nu sons-
groupe d'indice fini. • c. q. f. d.

En général, le groupe (/ ne diffère pas du groupe G, de sorte que la sur-
face S n'admet aucune transformation birationnelle en elle-même. Elle ne peut
en avoir que dans des cas exceptionnels qui correspondent évidemment aux
différents cas de symétrie que peut présenter le polygone Rq.

Soient maintenant deux surfaces de Riemann So et S| é(piivalentes, et de
genre p.

Si l'on peut passer de l'une à l'autre par deux transformations birationnpUesT
et U, la transformation TU~' changera en elle-même la surface S».

(■) Œuvrer de II. Poimaié, l. 2, p. 265.
(-) Œinre.s de H. Poiiicari-, l. ■;!, p. 378.

SLR IN TIIKOUK.ME DE M. IICIIS. V. I

D'où les conclusions suivantes :

1° Si /) =: G, 'ni peut passer de So à S, pai- une triple infinité de transforma-
tions birationnelles.

i" Si/j = I, ou peut passer de S„ à S, par- une simple infinité de transforma-
tions birationnelles.

3" Si /) > I, il n'y a en général qu'une seule transformation biralionnelle qui
permette de passer de So à S,, et il n'y en a jamais ([u'un nombre fini.

Grâce à ces propositions, il est aisé de retrouver les résultats que nous avons
démontré plus haut pour les cas de ^ = o et de p = i, et de traiter complète-
ment le cas de /? ^ I .

I. Reprenons en eflTet l'équation

(A-) F(^, y\ 3) = o

et soit d'abord ^ = o. On pourra poser

tp et i|i étant des fonctions rationnelles de t dont les coefficients dépendent de ;.
Soient )-o=: ffl(/o)) J'u = '7'('û) les valeurs initiales d'une certaine intégrale et
(le sa dérivée pour ; = ;„. et

les valeurs de cette même intégrale et de sa dérivée [)our z ^^ z■^. On a vu rpie )i
et )■', doivent être fonctions rationnelles de )-„ et y\^ et réciproquement. On
aura donc

",''o-t- "

Les coefficients de cette substitution linéaire a, p, y, $ dépendent évidemment
de ^0 et de z,. Nous regarderons ;» comme une constante, et Zt sera la variable
indépendante; nous supprimerons donc l'indice i de /,, c,, Vi. )', et nous
aurons

(6'» t^"^^^,

où tu sera la constante d'intégration et où x, (3, y, o seront des fonctions de r.
Si se', fj', ■/, ô' sont les dérivées de ces fonctions; il viendra

, , A ^ (a7o-)-i3')(Y/o-i-S) — I Y7o-4-o')(.a<o-t-;î)

2'. SI n IN THKOHEMI- l>K M. FICUS.

En éliniiiiant /„ entre (6 ) et [j) on retomberait sur réquatiou Je Riccali, ce qui
confirme le résultat obtenu plus haut.

Si l'on remplace / par sa valeur (6") dans l'expression

>■ = ={'),

on trouve pour l'intégrale générale de l'équation (A)

R étant une fonction rationnelle de la constante d'intégration ?„ et dont les
coefficients dépendent de ;.

Réciproquement si l'on a une fonction i' de <„ et de z, rationnelle par rap-
port à /„. et que l'on forme la dérivée )'= -^ > on obtiendra par réliminalion

de /(, une équation difTérenlielle de la forme (A) entre )', )' et ;.

Si en particulier l'équation (A) est algébrique, non seulement par rapport
à )■ et à i', mais encore par rapport à z, l'équation de Riccati à laquelle on sera
conduit aura ses coefficients algébriques en ,-, et par conséquent l'intégration
de l'équation (A) sera ramenée à celle des équations linéaires du second ordre
à coefficients algébri(|ues.

Il Supposons maintenant ^ = 1 . Nous pourrons poser

j- = ç{t), r'= 'lit).

<p et '^ étant des fonctions doublement périoditpies de / dont les coeliicienl»
dépendent de ;. Conseivons aux notations

^o- :■!■ .)o— rCu'- .>i) =- 'H'o '• .»i=r*'i»- .'■'i = '^i'i)

le même sens que plus haut. On sait que.)-| et )•', doivent être des fonctions
rationnelles de Vu et y'„ et réciproquement. Donc d'après ce qu'on a vu plus
haut sur les transformations des surface> de genre i en elles-mêmes, on devra

avoir

/, = xl^^ 3,

a étant égal à l'une des ipuintités

2 <-; r. -1 m r.

I , — I , e ■' , — e •' , ±: i.

Comme a et |3 doivent être des fonctions continues de ;, et que t, iloit se
réduire à t^ pour Cg ^= :,, on aura

3C = I. /,

SUR VK THKOBEMIÎ riK M. FUCHS. Xi

Considérons ;o comme constant, ;, comme variable el supprimons l'inilici' i
de s,, <,, Y>, r'r

fî sera une fonction de ; et l'intégrale générale de réqunlion (A) sera

^K = 9' 'o- '})•

o étant une fonction doublement périodi(jne dont les coefficienis dépendront
df z, (3 une fonction de z, et /„ la constante d'intégration.

Si l'équation (A) est algébrique en cr, les coeflicients de la fonction double-
ment périodique cp(<) dépendent algébiiqufinent de ;: et la fonction S de r
s'obtient par une simple quadrature, f^osons

■« = sn(/),

Y sera une fonction algébri(|ue de u et de ;, si l'équation (A) est algébriijue
en ;. Si l'équation (A) n'est pas algébrique en z et si elle s'écrit

où les coefficients A,,,/, sont des fonctions non algébriques de ;, r sera une
fonction algébrique de u et des coefficienis A,„p. J)ans tous les cas on aura

;/ = sn( /,|-^ p),
t^ étant la constante d'intégration. On reconnaît là le ri'sultat obtenu plus haut.

\\\. Arrivons enfin au cas de p ^ \ . Faisons d'abord z ^^ z^ dans ré<pia-
lion (A); cette équation re[)résentera une certaine surface de Riemann Sq. Si
l'on y fait j -^ ;,, on aura uul; surface équivalente S,. Cette seconde surface
dérive de la première par une seule transformation birationnelie on par un
nombre fini de pareilles transformations.

Soient

t. Ao.i Koi,j\,,7o) = o,

(A,) ■ F,(.n,r',) = o

le» équation» de ces deux surfaces de Riemann. On passera de l'une à l'autre eu
posant

(8) j, = R (.)•„. ,i-;,ï. y, = M, i.r„. .)-;,').

R et R| représentant des fonctions rationnelles. Ces fonctions rationnelles R
et R| sont telles que l'élimination de )„, )•„ entre l'équntion (A,,) et les équa-
tions (8) conduit à l'équation (A,). D'après ce que nous venons de voir, il n'y a
qu'un nombre fini de fonctions rationnelles (pii jouissent de l;i mènie pr(q)riété.

2i si:b in théorèmk de m. FLICHS.

Donc quand on connaîtra les équations (Ao) et (A,) on pourra trouver les
deux fondions rationnelles R et R, par des procèdes purement algébriques.

Comme les coefficients de (A„) et (A,) dépendent de ;„ et de s,, il en sera
de même des coefficients de R. et R,. Si nous regardons r„ comme une cons-
tante, z-x comme la variable indépendante, puisque nous supprimions l'indice i
dans j|, /, , )-| . )'| , il viendra, pour l'intégrale générale de (A),

R étant une fonction rationnelle des deux constantes d'intégration Vo et j'',,,
fonction rationnelle dont les coefficients dépendent de ;. Les deux constantes
d'intégration )■„ et )|, ne sont d'ailleurs pas indépendantes, car elles sont liées
entre elles par l'équation (Aq).

Si en particulier l'équation (A) est algébri(|ue en z, les coefficients de R
dépendront algébriquement de :;, et l'intégrale générale de l'équation (A) sera
algébrique.

Si au contraire l'équation (A) s'écrit

les coefficients A,„^ étant des fonctions non algébriques en :;, l'intégrale géné-
rale

>- = R

sera une fonction algébrique non seulement de io> niais des coefficients Amp.

Dans tous les cas, récpiation (A) sintégre par des procédés purement algé-
briques.

On arrive d'ailleurs au même résultat par l'emploi des fonctions fiichsiennes.
Écrivons encore l'équation (A) sous la forme

V \ ^'fït \/p — Il

-* -^rnpj J ^ — "•

Nous pourrons poser

o et ■]> étant deux fonctions fuchsiennes dont les coefficients dépendent de ;.
Soient l et r; deux fonctions fuchsiennes, indépendantes de ; et à l'aide des-
quelles toutes les autres s'expriment rationnellement. On aura

R et R, étant des fonctions rationnelles de ? et de r,. Les coefficients de ces
fonctions rationnelles dépendent de c, et il est aisi- de voir de quelle manière :
ce sont des fonctions algébriques des coefficients A,„^.

SUR UN THÉOBKME DR M. FUCHS. 25

Conservons aui notations

le même sens que plus haut. Le point analytique (y,, r\) devra être lié au
point analytique (vo, )''.,) par une transformation hirationnelle. On aura donc

la substitution

appartenant au groupe appelé plus haut (V.

Les coefficients «, |3, y, ô dépendent de :■„ et de ^^i , mais ne peuvent être que
des fonctions continues de ^i ; de plus pour z, = Zo on a ti=^ tg. Mais le
groupe G' est disconliiui. Donc on a ijuels que soient ;, et ;;o

Ainsi l est une constante et il eu est par conséquent de même de Ç et de ■<] (|ui
ne dépendent que de t. L'intégrale générale de l'équation (A) est donc

y = R(ç- Ti;,

où l'on doit regarder Ç et yj comme deux constantes d'intégration liées entre
elles par une relation algébrique.

C'est le même résultat que plus haut.

Il reste deux questions à résoudre.

On peut se demander en premier lieu s il existe effectivement des équations
intégrables algébriquement par le procédé que nous venons d'indiquer,
c'est-à-dire des équations algébriques de la forme (A), de genre /' > i et satis-
faisant aux conditions de M. Fuchs.

La réponse à cette première question doit être affirmative.

Soit en effet

<{>) K(C. T,) = o

une relation algébrique quelconque de genre /> > ' dont les coefficients sont
constants. Soient

H. P. — III. i

'6 SIR IN TIIÉORÉMK DE M I ICUS.

OÙ o et 'Il sont de-, fondions rationnelles de l et de o dont les coofticients
dépendent de z. Nous supposerons, pour fixer les idées, qu'ils en dépendent
algébriquement. L'élimination de l et de r, entre les équalions (9) et (10) don-
nera une relation

où <I> est un polynôme entier en x et j- dont les coefficients dépendent de r.
Considérée comme une relation entre .r et )' seulement, la relation (1 1) définit
une surface de Rlemann de génie p, qui reste é([uivalente à elle-même i|uand
on fait varier ;.

DifTérentions les relations (10) par rapport à z (c'est-à-dire en y regardant J
et •/) comme des constantes), il viendra

iLv r/tf c/y t/'\i

-j'- est une fonction rationnelle de ; et de r,. Maintenant, des récitions (g) el ( 1 o)
on peut déduire les suivanto

tS| et '^1 étant des fonctions rationnelles de .r et de r dont les coefficients
dépendent <ie ::. 11 \iendra donc

(i3) '^ = H(.r. j;,

l'i étant une fonction rationnelle de j; et de )• dont les coefficients dépendent
de s. En éliminant r entre les équations (i 1) et (1 3) on arrivera à une équation
de la forme (A), satisfaisant aux conditions de M. Fuclis.

On arriverait au même résultat en éliminant l el rj entre les trois relations

Soit par exemple

(l4) Fi '/. 1', u' I = o

une équation dont le premier menilire est un polynôme entier homogène <lu
(|uatriéme degré en u, e, w.
Faisons-y

I II = a .!• -t- h r -^ c.
I "1 ) ' e = «I .r -f- (),)■ -I- r,,

f II' = cu.i- :- /j^y ■+- G».

Slll IN THEOREMK DE M. KIT.HS.

OÙ les rt, les b et les c sont des fonctions algébriques de z. Nous écrirons

l'équation

¥{ax -^ b y -1- (-, «1 .>• H- A, )• -H c,, ««.r -h A,)' -i- c,) = o.

Nous appellerons A. A,. Aj, B, . . . les niinems du délerininant

,/ /- r\
"i /'i ''i l-
"î '■"? ''î I

Il \iendr,i

V =

Ch ^ Cl t' -+- C;<V

OU en dilTérenlianl par rapport à ; et appelant B', B,. ... les dérivées de B,
B|. ... par rapport à z

dy_ (B'«H-B',r-hB:_.iv)(GM-hC,c+C,iv)— (C't<-HC'|i-f-C'.iv)(Bw-t-Bi<'-t-B.»)

' ' dz~ ' (C« -i- Cl p-t- 0,11,1=

L'élimination de u, c, iv et a: entre les équations (i/j)) ('s) et (i6) donnera
une équation différentielle de la forme (A) satisfaisant aux condilions de
M. Fuchs.

Passons à la seconde question qu'il nous restait à résoudre :

Etant donnée une équation flifférentielle ali,'ébriijue (A), de i^cnre p >- i,
satisfaisant aux conditions de M . Fuchs et i/ue Von sait par conséquent
intègrable algébriquenienl^ comment effectuer réellement celte inté-
gration .

On a vu d'après ci' ([ui précède que cetie cjneslion se ramène à la suivante :

Etant données deux surfaces de Riemann équivalentes, trouver la transforma-
tion birationnelle qui permet de passer de l'une à l'autre.

Le problème ainsi posé présente la plus grandi' analogie avec le problème de
la réduction des formes arithmétiques. On conviendra de dire qu'une équation
algébrique

est réduite lorsqu'on l'aura ramenée par une transformation birationnelle à une
forme que l'on regardera comme plus simple que toutes les autres. Il faudrait
choisir les conditions de réduction de façon :

1° Que Ton puisse toujours trouver la transformation birationnelle qui
réduit une surface de Riemann donnée;

28 SUR UN THÉORÈME DE M. FUCHS.

2° Qu'il n'y ait en général qu'une seule surface réduite équivalente à une
surface de Riemann donnée et qu'il n'v en ait jamais qu'un nombre fini.

Alors on réduira les deux surfaces S„ et S, ([ue l'on veut transformer l'une
dans l'antre; si les deux surfaces sont équivalentes, on devra parvenir à l;i
même réduite et, comme on connaîtra la façon de transformer S„ en la réduite
et la réduite en S,, on connaîtra aussi la transformation qui change S„ en S,.

Il est évidemment possible de trouver de pareilles conditions de réduction, ce
qui rendrait complète l'analogie avec la théorie des formes arithmétiques. Mais
cela n'est pas nécessaire; on peut se contenter de conditions de réduction telles
que la surface réduite ne dépende plus que d'un nombre fini de paramètres.

Par exf^mple, Clebscii démontre qu'une courbe de genre p

peut toujours être ramenée au degré /> + • {AbeVsche Fiinclionen, p. ùh).
Après cette réduction, elle dépend encore àe p — i paramètres.

Soient donc

F (■*",>') = <', F'(./-'. j') = o

deux courbes de genre p cju'il s'agit de ramener l'une à l'autre par une transfor-
mation birationnelle. Je ramènerai la première au degré p + i par une trans-
formation convenablement choisie; elle deviendra

(17) l^(-'^i,.>-i') = "■

Je pourrai trouver ensuite, par la mélliode de Glebsch, une infinité de transfor-
mations birationnelJes dé[)endant de p — i paramètres arbitraires a,, «o, . . .,
c.p-i, qui ramèneront la seconde courbe au degré p-\-\. Après l'application
d'une de ces transformations, l'équaiion de cette courbe deviendra

(18) F,(./-,. j-,. X|, z.

^i>—\

où j'ai mis en évidence les paramétres y.. Si les deux surfaces de Riemann sont
équivalentes, on pourra disposer des a de façon à identifier les équations (17)
et (18) et l'on connaîtra du même coup la transformation qui fait passer d'une
surface à l'autre.

On peut ainsi ramener la recherche des transformations biralionnelles qui
changent Sa en S, à l'étude de l'équivalence des formes algébriques, c'est-à-
dire de la liansformation d'une telle foi'me en une autre par une substitution
linéaire.

SCR UN THEOREME DE M. FUCHS. I9

Soient

'•'(•'% J) = "> l'"i(-''i, ri) = o

deux équations qui représenteront deux surfaces de Riemann S„ et S, et on
même temps deux courbes algébriques C„ et C|. Soient m„ ot /?; , les degrés de
ces deux courbes qui auront le même genre p. Soit

(19) A, 9,(.r. jk)-I-A, 0;(x, j')+. . .+ A/, =;,(.r, y) = o

l'équation générale des courbes d'ordre /»„ — 3 qui passent par tous les points
doubles de Co- Soit de même

(20) B, ■lyi.i-i, yi)~- )i,'h,{^^, yi) ^ . . .-^ Bp6^(.f,, 71) = o

l'équation générale des courbes d'ordre //i, — 3 qui passent par tous les points

doubles de C| . Soient

H (,A„ A.. .... Ap) = o,

e,(B,, B.„ ..., B^) = o

les deux relations ali;ébriques et homogènes par rapport aux A et aux B qui
expriment, la première que la courbe (19) est tangente à Co, la seconde que la
courbe (20) est tangente à C(. Si, d'autre part, x et j' sont les coordonnées du
point de contact des deux courbes (19), et Co, si .r, et Ki sont les coordonnées
du point de contact de (20) et de C, . on aura

..; =H (A,, A=. ..., A/,), j^ =R'(A,, A,,.... A^),
.r,= R,(B,. B, B^). j-,= R',(B,, B, B„),

les fonctions R, R', R,, R', étant rationnelles.

Si les deux surfaces de Riemann S,, et S| ont mêmes modules, les deux
formes algébriques 0 et 0, seront algébriquement équivalentes, c'est-à-dire
qu'on pourra passer de l'une à l'autre par une substitution linéaire, ou en

posant

A,= Si.au-B/,.

les y.ik étant des coefficients constants.

La transformation birationnelle C|ui change S„ en S, sera alors facile à
trouver. On aura en effet

avec les conditions

(22) F,(x,, j-,) = o, SBi^K-'-i, J')) = o, ^\ii^i{x-i,y,) = o,

3o SUR UN THÉORÈME UE M. FUCHS.

OÙ l'on a posé

(i;- '!ïi l^li' -''ii 'Z!li.

On pourra toujours trouver/? fonr.lions rationnelles de X| et de )-,

?l(,''l- .Kl •. Pît,-''!: 7l ). P/'t,.''!- .Il )>

qui, substituées à la place de B|, B:,, . . ., B^,, satisfont 'aux relations (22). On
remplacera alors B, par Pi(ari, )|) dans les équations (21) et l'on ohlirndra
ainsi la Iranst'ormalion hirationnelle qui cliango Sq en S|.

Les Invariants qui restent arbitraires dans la forme algébrique 0 sont nu
nomljre de ci p — 3 cl ils doivent être regardés comme les modules de la surface
de Riemaun Sq.

Il est une circonstance sur laquelle je désirerais maintenant attirer Fattanlion
et qui facilite singulièrement la recherche des conditions d'équivalence des deux
formes 0 et 0| et de la substitution linéaii'e ([ui les transforme 1 une dans l'autre.

Parmi les courbes (19), il j en a 2/'"' (2/' — 1 ) ==: P qui sont /; — 1 fois tan-
gentes à Cq ; nous les appellerons les courltes k^] de niême il y aura, jinriiii les
courbes (20), I' courbes /i 1 qui seront /; — 1 fois langentes à C|. I^a substitution

linéaire

A, ■ =>:=<,■ ;- 15/,-

qui change 0 en 0, devra transformer les P courbes />„ dans les P courbes A',.
Il pourrait y avoir, dans le problème général, une assez grande indétermination;
car on jtoiirrait se demander quelle est celle des P courbes /„ (pii se transfor-
mera dans une courbe />", donnée. Il j aurait | P combinaisons logiquement pos-
sibles, ce (pii obligerait à faire un nomljre très considérable d'essais iuuliles.

D'autres consi(|érations viendraient, il est vrai, réduire le noniln'e des coni-
l)inaisons logiquement possibles; telle serait par exemple, pour p =^ 3, la dis-
liibuliou des 28 tangentes doubles en 64 systèmes de \. Mais ce nombre n'en
resterait pas moins très grand.

Fort heureusement, dans le prohlème particulier qui nous occupe, cette
indétermination n'exisli; |)as. Quelle est celle des courbes k„ qui se transforme
dans une courbe donnée / , ? La réponse est simple : c'est lacouil»^ /• „ à laquelle
se l'éduit la courhe donnée /. 1 quand z^ se réduit à c,,.

On arrive même ainsi, presque immédiatement, à délerminer un grand
nombre d'intégrales particulières de l'équation (A).

En effet, soit l'équation

SUR UN THÉORÈME DE M. FUCHS. 3l

pour ; = ;,, elle représente une courbe C,, qui est tangente enP(/j — i) points
aux courbes A-,. Considérons y, y' et r, comme les coordonnées d'un point
dans l'espace; lorsqu'on fera varier ;,, les P( p — i) points de contact ( r, y')
de Cl avec les P courbes A, décriront dans l'espace P(;j — i) courbes qui
seront des intégrales particulières de l'équation (A).

Il n'y a donc aucune difficulté à craindre dans les calculs algébri(|ues qui
conduisent à l'intégration da l'équation (AV.

Remarquons en passant que la considération des P courbes /,„ nous conduit
à une seconde démonstration de ce théorème, qu'une surface do Riemann ne
peut jamais être transformée en elle-même par une infinité de transformations
birationnelles.

J'arrive à la conclusion définitive de ce travail. Les équations du premier
ordre '/ui salis/ont aux conditions de M. Fuchs ne constituent pas des
classes réellement nouvelles d'équations di ffirenliçllcs.

Dans le cas de p ^ o, elles se ramènent aux équations Itnéaires ;
Dans le cas de p t^ i, elles s'intègrent par une simple quadrature ;
Enfin dans le cas de p y> i , elles s'intègrent par des procédés purement
algébriques.

Nous devons donc renoncer à l'espoir de rencontrer parmi elles des classes
essentiellement nouvelles d'équations intégrables par les transcendantes fucii-
siennes. Tout au plus [>ourrlons-nous supposer qu'il en existe de pareilles,
parmi les équations d'ordre supérieur; mais on ne pourra sen assurer que par
une discussion spéciale, analogue à celle qui précède.

Le beau résultat de M. Fuchs en perd-il pour cela son intérêt? Je ne le crois
[)as. 11 nous fournil en effet une classe très nombreuse déquations différen-
tielles intégrables algébriquement. Les conditions de M. Fuchs sont très
simples et il suffit d'un examen assez rapide pour reconnaître si elles sont rem-
plies. On reconnaît du même coup l'intégrabilité algébrique, qui sans cette cir-
constance aurait pu passer inaperçue.

De plus, on peut fonder sur ce théorème une méthode pour trouver les
modules d'une surface de Riemann; mais c'est là un point que je ne puis déve-
lopper eu ce moment.

Paris, j5 novembre 1S84.

SUR L'INTÉGRATION ALGÉBRIQUE

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 112. p. ~^^'-~fi'{ (i3 avril iSçji).

La question de l'intégration algélirique des équallons différentielles du pre-
mier ordre et du jiremier degré n'a |ias attiré l'attention des géomètres autant
qu'elle le méritait. La voie a été ouverte, il v a vingt ans, par un admirable tra-
vail de M. Darboux; mais les analystes ont été fort longtemps sans s'y engager,
et ce n'est que tout récemment que le problème a été repris par MM. Painlevé
et Autonne, dans deux Mémoires que l'Académie vient de récompenser.
L'importance du sujet me décide à publier quelques résultats qui s'y rap-
portent, bien qu'ils soient fort incomplets.

J'écrirai l'équation différentielle sous la l'orme suivante

dx

r/K

(h

,/•

y

z

1.

M

y

L, M, N étant trois polynômes entiers, homogènes et de degré m en .r, j- et ;.
Le nombre m s'appellera la dimension de l'équation.
Si l'intégrale générale est algébrique, elle s'écrira

/ -I- C 0 = o.

G étant une constante arbitraire, et y' et o étant deux poh nomes homogènes
d'oi-dre p en x, r et ;. J'appellerai rentarc/uaOles les valeurs de C pour les-
quelles le polynôme / + Gcp n'est pas irréductible. Si l'intégrale générale algé-
brique a été mise sous sa forme la plus simple, ce que nous supposerons, le
nombre des valeurs remarquables est fini.

SUR l'iNTKGRATION ALCKBRIQUE des ÉOI'ATIONS DIFFÉRENTIELLES. 13

Le problème dr l'inlégration algébrique des équalions difTérentielles serait
résolu si l'on avall, dans tous les cas, une limite supérieure du nombre p.

Les points singuliers de léquation différentielle sont donnés par les équations

L M N

Ils sont au nombre de m'-]- m -f- i ; nous les su/iposerotis tous distincts.

Soit alors Xo, Yc, z-a un de ces points singuliers; dans le voisinage de ce
point, l'intégrale générale peut se mettre sous la toime

Xyi \^ = i-oiiM.,

S étant une constante, i'X X,, X^ étant deux séries ordonnées suivant les

j ./■ z y c , , ....

puissances de > — — — i s annulant au point sin<;ulier.

Il y a quelques cas d'exception : s'ils se présentaient, on serait certain que
1 équation n'est pas intégrable algébri(|uement ; on en serait certain également
si, pour un des points singuliers, l'exposant S n'était pas réel et commensu-
rable.

Supposons donc que S soit réel et commensui'able ; nous appellerons nœuds
les points pour lesquels cet exposant est positif, cols ceux pour lesquels il est
négatif.

Nous poserons S = |^ pour les nœuds, S :^ — - pour les cols, fx et v étant

deux entiers premiers entre eux.

J'envisage un nœud et je suppose que la courbe

ait en ce nœud À branches distinctes: ce nœud sera d'ailleurs, en général, un
point singulier pour chacune de ces branches.
Je démontre que l'on a

p-= S À- |Jiv. . ( »i -4- -J.)]} = Sf-i'^-i- '')■

les sommations du second membre devant être étendues à tous les no'uds.

M. Painlevé a posé le problème suivant : Heconnaîlre si r intiigrale géné-
rale di- l'équation différentielle est une coaibe algébrique de genre donné,
et il a énoncé un certain nombre de remarquaiiles propositions (|ul peuvent
aider à trouver la solution, au moins dans certains cas particuliers.

H. P. — m. 5

34 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles.

Je trouve, en ;i|ipc'lnnt q le genre,

celle formule conlienl la solution du |iroblénie de M. Painlevé toutes les fols

que m > 4-

Considérons une valeur remarquable de C et supposons que /+C9 ne se
réduise pas à- une puissance d'un pol\nomr ii rrductible ; je démontre que la
courbe /+ Co 3= o va alors passer par un ct)l.

Je montre encore que le nombre total des valeurs remarquables ne peut
dépasser le nombre des cols de plus de deux unités.

Voici quelques autres résultats :

Si tous les nieuds ont pour exposant .S^ + i, le nombre de ces nœuds est
au moins égal a •

Si l'on a S =+i pour tous lis nœuds et S ^ — i pour tous les cols, le nombre

1 1 . • . ^ , , . ( //f + -2 )-
des nii'uds est précisément égal a — •

Si, pour les cols, on a S = — i , on a la formule

ai a.( m -\- i ) = pi x, -+- 2, ).

a, et y-ï étant deux entiers premiers entre eux.

Celte formule limite le nombre p et, par c<)nsé(iucnt , résout complètemeni
le problème dans ce cas particuber.

Le princijH' qui m'a conduit à ce résultat est peut-être susceptible d'être
étendu à des cas plus généraux; j'es|)ère que plus d'un chercheur s'y efl'orcera
dès que mes démonstrations seront publiées.

SUR LINTKGRAÏIOX ALGEBRIQUE

DES

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

ET DU PREMIER DEGRÉ (').

Rendiconti del Circolo Matematico c/i Palermo, t. ô, p. 161-191 (1891).

Introduction.

Pour reconnaître si une équation clit}'érenlielle du premier ordre et du ])re-
inier degré est intégrable algébriquement, il suffit évidemment de trouver une
limite supérieure du degré de l'intégrale; il ne reste plus ensuite qu'à effectuer
des calculs purement algébriques.

C'est là un problème qui, semble-t-il, aurait dû tenter les géomètres, et ce-
pendant ils s'en sont fort peu occupés. Depuis l'œuvre uiagistrale de M. Darboux,
publiée dans le Bulleliii des Sciences mathéinalicjues, la question a été
négligée pendant vingt ans et il a fallu, pour attirer de nouveau sur elle l'atten-
tion qu'elle méritait, que l'Académie des Sciences la proposât comme sujet du
concours pour le (irand Prix des Sciences mathématiques. Deux Mémoires
furent récompensés, M. Painlevé obtint le prix et .M. Antenne une mention
honorable : l'un de ces deux Mémoires a été publié dans les Annales de V Ecole
Normale supérieure et l'autre dans le Journal de l' École Polytechnique.

Les inégalités et les égalités ajoutées par ces deux savants à celles que
M. Darboux nous avait fait connaître faisaient faire à la question un progrès
très important, mais elles ne pouvaient suffire à l'épuiser complètement. Sup-

(') Présenté le ■>.(> avril 18111, iiiipiiiiii; le S mai 1S91.

36 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre.
posons, en effet, que l'intégrale générale sécrive

F = const.,

F étant une fraction rationnelle; on obtiendra une autre forme de l'intégrale
générale en égalant à une constante un polynôme entier quelconque par rap-
port à F. Il en résulte qu'on ne peut trouver une limite supérieure du degré de
l'intégrale générale algébrique, à moins qu'on ne trouve un moyen quelconque
d'exprimer, dans les inégalités, que cette intégrale est irréductible.

C'est ce moyen que je me suis proposé de trouver.

M. Painlevé a parfaitement aperçu cette difficulté, mais il n'a pu en triom-
pher; aussi n'a-t-il pu résoudre le problème dans toute sa généralité, mais seu-
lement démontrer, dans un certain nombre de cas, que l'intégrale ne peut être
algébrique.

Je n'apporte pas non plus une solution générale, et je me suis encore l)orné
à un cas particulier; mais j'ai lieu d'espérer que ce problème tentera les cher-
cheurs et qu'ils parviendront d'ici peu à généraliser le procédé qui m'a réussi.

M. Painlevé a posé le problème suivant : reconnaître si une équation difl'é-
rentielle donnée admet une intégrale algébrique de genre donné; et il a ol)tenH
divers résultats qui peuvent, dans certains cas, en faciliter la solution. Je donne
|)lu> loin une formule qui contient la solution complète du problème de
.M. Painlevé, toutes les fois que la dimension de l'équalion différentielle est
supérieure à 4-

J'ai démontré quelques propriétés des équations inlégrables algébriquement.
De pareils résultats n'ont pas pour le moment grande valeur; mais ils pourraient
en acquérir le jour où l'on pourra reconnaître si ces propriétés s'étendent aux
équations uon inlégrables, ou si elles ne sont pas toujours vraies pour ces équa-
tions; dans le premier cas, en effet, on aurait un théorème général applicable à
toutes les équations différentielles, et dans le second cas on posséderait un cri-
térium permettant de démontrer que les équations de certaines catégories ne
sont pas intégrables.

En ce qui concerne la limitation du degré, qui était mon but priucijial, je me
suis borné au cas où l'exposant de tous les cols est égal à — i .

SUR l'intégration algébhioue des équations différentielles du premier ordre. 3;

Résultats de M. Darboux.

Adoptons les notations de M. Darboux et écrivons l'équation différentielle

sons la forme homogène, c'esl-à-dire sou> la forme suivante :

Ix

f/y

(iz

J'

y

z

L

M

N

L, M, N étant des polynômes entiers, homogènes et de degré m en x, y, z. Le
nombre m est ce qu'on appelle la dimension de l'équation différentielle.

Si cette équation est inlégrable algébriquement, l'intégrale générale s'écrira

(2 1

f - Go = o,

/ et cp étant deux polynômes homogènes d'ordre /) en .r, y et ;, et C une cons-
tante arbitraire. On déduit de l'équation (2) l'équation différentielle suivante

H)

dx Jy dz
X y z
t., Ml N',

L,=

dz dy dy dz

M,

df do df d^
dx dz dz dx

dy dx dx dy

Si donc on appidle A le premier membre de (1), et A, celui de (3), on aura

identiquement

i,= F.i.

F étant un [lolynome homogène en x, _)', ;. Soit h le degré de ce polynôme, on
aura

Comment formerons-nous ce facteur F? M. Darboux nous l'apprend éga-

lemenl.

Il peut arriver que pour certaines valeurs de C, que nous appellerons valeurs

re/narr/uables, la courbe

f -T- Go = o

soit décomposable. Il pourra arriver que pour certaines valeurs remarquables

38 SUR l'intkgiution algébrique des équations différentiei.i-es du premier ordre.
de C que nous appellerons critiques, on ait

/-i-Cç = ;(f' uf ... ((f .

les iii étant des polynômes entiers homogènes, et les exposants a, n'étant pas

tous égaux à i .

On aura alors

F = n„f'-',

le produit désigné par la lettre II étant étendu à toutes les valeurs critiques
de C et à tous les facteurs m, (ceux dont l'exposant est pins grand que i inter-
viendront seuls, car, pour les autres, a, — i s'annule et le l'auteur correspondant
se réduit à l'unité).

On a donc, si n, est le degré de (/,-.

d'où

c a ) m -\- % = ). p — lia, — i ■) " , ,

la sommation représentée par la lettre i étant étendue à t(uites les valeurs cri-
tiques de C et à tous les facteurs «/,.
On aura, d'autre part,

(3) /) = S2,«,.

la sommation représentée par la lettre S étant étendue à une seule valeur
remarquable ou critique de G et à tous les facteurs w, correspondant à cette
valeur.

Des points singuliers.
Les points singuliers de l'équation (i") sont donnés par les équations

U) 1' = ^ = !^'.

.r y z

M. Darbbux a montré que ces points singuliers sont au nombre de

Nous supposerons dans tout ce qui va suivre que ces m- -t- ni + i points sin-
guliers sont tous distincts.

SIR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordri:. 39
Formons réquation suivante en S,

I dh d\\f dM d^\

-\' Ty--'- djA' -717-^^ d^) ^^"^

OÙ l'on donne à x, y, z les valeur» qui iorre>|3on(ient à un point singulier.

On démontre que si S, et Sj sont les racines de cette équation en S, l'inlé-
grale générale peut dans le voisinage du point singulier être mise sous la forme

(6) Xfi x;^»=const.,

X| et Xj étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de ^ — —

z Zq

et de - — '^1 en appelant .r„, Vo, c^o le point singulier considéré.
Il pourrait y avoir une exception dans divers cas :

1° Si l'équation (5) se nkluit à une identité, delà n'arrivera pas si, comme
nous l'avons supposé, les m- -\- m -\- \ points singuliers sont distincts.

2" .Si l'équation (5) a une racine nulle. Cela n'arrivera pas non plus si
les m"-+ m + 1 points singuliers sont distincts.

3° Si l'on a .Si^Sj. Il arrivera alors, en général, que l'intégrale générale
pourra se mettre sous la forme suivante

:r — r- A log X] = consi.,
X, et Xj étant des séries ordonnées selon les puissances croissantes de - — ^ '—

z 3(1

et de — — '— 6t A une constante numérique. I.e point singulier est alors un

point logaiithinique. Dans certains cas la constante A est nulle; le point sin-
gulier est alors ce que M. Autonne appelle un point dicrilii/iie.

4" Si le rapport ^ est réel négatif. Le point singulier s'appelle alors un col.

Il arrive, en général, que liiilégrale générale ne peut pas se mettre sous la ,
forme (6); le col est alors iirègulier ; mais il peut arriver également, dans cer-
tains cas particuliers, que l'intégrale générale puisse se mettre sous la forme (6),
le col est alors régulier.

Pour que l'équation (1) soit intégrable algébriquement, il faut (mais il ne

S,
S,

suffit pas) : i" qui' pour l(*s poinU singuliers le rapport ^ soit réel et coninien

4o SIR l'intégration ALGEBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉREÎ^TIELLES DU PREMIER ORDRE.

surable; 2° que, si pour certains points eu rapport est égal à i, ces points
soient dicritiqiics el non logarithmiques: 3° et enfin que tous les cols soient

réguliers.

Le rapport V s'appellera Vexposa/if i\u point singulier.

Les points singuliers pour lesquels ce rapport est réel et positif s'appelleront
des nœuds (les points dicritiques sont donc des nœuds). Ceux pour lesquels ce
rapport est réel et négatif s'appelleront des cois.

Si l'exposant d'un nœud est comraensurable et égal à -, /j. et v étant deux

entiers premiers entre eux. a et v seront les entiers cnroctéristiiiues du nœud.

De même, si l'exposant d'un col est commensuralile et égal à — -i[t.e\.v

étant deux entiers premiers entre eux, y. et v seront les entiers caracleristiques
de ce col.

Si l'équation (1) est intégrable algébriquement, tous les pnints singuliers
sont des nœuds ou des cols.

Des nœuds dicritiques.

Nous venons de définir plus haut les points singuliers dicritiques qui sont
toujours des nœuds. En un nœud dicrilique la courbe

f -^ r.a = o

piésrnte en g.'néral un piinl multiple d'ordre } dont les tangentes sont dis-
tinctes. Mais il peut arriver que pour les valeurs remarquables de C, deux ou
plusieurs de ces tangentes se confondent.

Soit C| une valeur remarquable de C, de telle sorte que

Supposons que pour la courbe f/,= o le nœud dicritique considéré soit un
point multi|)le d'ordre >,,■; la courbe m^o étant indécomposable, les )., tan-
gentes serout distinctes. D'autre part, les courbes h,=:o el !<y=o étant dis-
tinctes, les li tangentes à «,:= o seront distinctes des Ij tangentes à itj^= o.

On aura d'ailleurs

), ^ a, ).i — 0(2 À, -t- . . . -T- ax l/,,

ou, en conservant à la lettre S la même signification que plus haut,
(ï) >. = S ^i >.o

9UB l'iNTÉGBATION algébrique des équations niFFÉBKXTIELLES DU TREMIER ORDRE. 4'

Le nœud dicritique considéré est pour A, un point d'ordre

•2 >. I

et pour F un point d'ordre

Il doit tHre pour A =: -=^ uu point dordre i, en qui nous donne la relation

(8) -1 = > A — Si a,— I !>.,.

Examinons en particulier le cas où tous les nœuds sont dicritiqiies.
Deux courbes

correspondant à deux valeurs Co et C| de C ne peuvent avoir d'autre point
commun que les nœud!-; de plus, si l'on considère un nœud dicritique, les A
tangentes à la première courbe difiéreront des "/. tangentes à la seconde courbe,
de sorte que ce nœud comptera pour A- points d'intersection. 11 vient donc

(6) /,î=S).î,

le signe S signifiant que la sommation doit être étendue à tous les nœuds que

nous supposons tous dicritiques.

Un point multiple d'ordre )., dont les tangentes sont distinctes, a pour elTet

1)1- 1 , À I ). — Il
d abaisser le genre de unîtes.

On a donc pour le genre de la courbe/-!- G» = o

^ (p — i)(p — 2) __ g > I >■ - n

D'autre part, envisageons l'intersection de la courbe indecortiposable

/ — Co = o

avec la courbe «/=o qui est un facteur de y'-f-Ci'j, C| étant une valeur
remarquable de G. La première est d'ordre p, la seconde d'ordre «,-, et le
nombre des intersections doit être /)«,.

D'ailleurs le nombre des intersections situées en un nœud dicritique est À?.,,
ce qui donne
(8) ■ /)/ii=SXX,.

Comparons uiiiintenant les relations (a), ((3), (y), (ô), (6), (j), (8).
Multiplions la relation (8 ) par (z,- — i) et faisons la somme de toutes les rela-
tions analogues pour toutes les valeurs i-emarquables de G et pour tous les fac-
H. P. — ni. !•

42 SUR l'intégration ALGRBRIQIE DES É(.irATII)NS IlIFFlinBNTIELLE? DU PHKMIF.R OHIIRI-.

leurs H, dont l'expoïaut est plus i;rand (jue i ; il viendra

/)S(a,— i)n, = SXlia,— l)>.,-
OU bien

p(ï p — m 2 ) = S A ( ■) X 2 V

d'où une première remarque : ^i m n'est pas pair, /; doit être pair. L'cquation

nous donne d'ailleurs

■i /j' — ( m -4- 2 ) /) = 2 s X^ — 2 s ).,
d'où

( «l -i- 2 ) /) = 2 S ). .

]Mais nous avons écrit

7 =

2

on enfin

(9)

■

Ci'la prouve :

n' ■? /) SX= SX

2 2

X / /rt — 2 ' 1 \

m — i

i" Que /J nu //( doivent être divisii)les |iar j, ou (pi'ils doivent ètri' lous deux
pairs ;

2" Que si m = 4i le genre est égal à i ;

3° Que si 7» <; 4i !<' genre est égal à o; donc /? = 7 — ^ — . d'où /* = 2
pour //i = 2. /> = 4 pour »i :=: 3 ;

4" Que si m > 4) le genre est plus grand cpie i.

Des ntriids luonocrilii/iic'.s. — Abandonnons maiiilenant le cas partirulier
où tous les iKi'uds sont dicrili(|ues. Lhi mi'ud /iionncritir/iic (c'est-à-dire dont
l'exposant n'est pas égal à 1) est pour cliacune des branches de courbe qui y
passent un pninl multiple d'ordre p, /j. élanl le plus [lelit des deux i-ntiers
caractéristiques ;j. el v.

Il y a excej)lion pour deux branches de courijes remarquables, à savoir jiour

les branches de courbe

Xi=o, Xj=o;

pour ces deux branches le nœud est nu pdinl siiuple.
Considérons la courbe indécoiiqiosable

y-^ Cep = o

el supposons qu'elle admette À branches de combe passant par le nœud consi-
déré. Cherchons cjuel est l'abaissement correspondant du genre et le nombre

SUR l'intégration ALGÉBBIOTE des KOUATIONS DIlKÉRKNTltLLES DU PREMIER ORDRE. 43

des points d'intersection de deux courbes y'-f- Cep =r o, y-t-C,9^o qui se
trouvent au nœud considéré.

Pour cria, il nous faut d'abord connaître le nombre des points d'inliTsection
de deux branches de courbe.

Les équations de ces deux branches de courbe pourront s'écrire

vu- _ -, YV YiA _ ^' X'',

y et y' étant deux constantes; or, en combinant ces deux équations linéairement
entre elles, on trouve

ce qui montre que le nombre cherche est égal à [vj.

Considérons alors les deux courbes /+ Co ^ o, /+ C, 9 = o ; chacune des
>. branches de la première coupe chacune des 1. branches de la seconde eu /jv
points confondus. Le nœud compte donc en tout pour À-'p.v intersections.

11 en résulte que la formule (()) doit être remplacée par la suivante
(6 bis) p- = S \- IX V.

Passons à l'abaissement du genre.

En appliquant une règle connue, on trouve que cet abaissement est égal à

2 2 2
de sorte que la formule (j) devient

(7 6,>) ^^(/'-■H/>-^)_^^_s^(.-ix-v).

Considérons maintenant les valeurs remarqualiles de C; soit C, un(; de ces
valeurs, et soit

Nous dirons qu'un facteur u^est siii^nU<:r par rapport au nœud nionoeriti(pie
considéré, s'il s'annule identiquement pour X, —- o ou pour X2= o.

Si le facteur », est singulier et s'annule identiquement pour X| = o, son
exposant a, doit être divisible par p.. S'il s'annule identi((ueiuent pour Xj = o,
l'exposant a, devra être divisible par v.

Mais il peut arriver que le facteur tu soit doubletnrnt singulier et (pi'il
s'annule identiquement tant pour Xj = o que pour Xo = o. Dans ce cas l'expo-
sant o-i est divisible par fzv.

44 SIR l'intégration algébrique des ÉQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Enfin, il peut se faire qu'un même facteur «, snil singulier par rapport à
plusieurs nœuds monocritiques.

Pour chaque nœud monocritique, il existe toujours deux facteurs singuliers
(ou un seul facteur doublement singulier) correspondant soit à une même
valeur remarquable de C, soit à deux valeurs remarquables diflérentes de C; et
il n'eu existe (|ue deux.

On peut faire une distinction do |)lus; s\ipposons p •< v; nous dirons que le
facteur a, est critiijue s'il s"annulc pour X, = o et hj jiercritique s'il s'annule
pour Xo = o.

Cherchons d'abord quel est, en un nœud monocritique, le nombre des points
d'intersection d'une courbe indécomposable

f- C 9 = o
et d'une courbe m,= o.

Soit \i le nombre des branches de la courbe //,= o qui passent par le nœiid
considéré. l'our chacune de ces branches le nœud sera un point multiple
d'ordre [j. (je suppose toujours p. < v) sauf pour une d'entre elles (pour laquelle
le nœud sera un point simple) si le facteur «, est singulier et pour deux d'entre
elles s'il est doublement singulier.

Pour» deux branches de courbes quelconques, le nombre des points d'inter-
section confondus avec le nœud est égal à /j.v; il v a exception si l'une des
branches de courbe est X| = o, ou X2 = o. Si c'est X, = o, le nombre des
intersections est égal à v, et [)Our Xj^ o il est égal à p..

Donc, pour nos deux courbes le nombre total des intersections confondues
avec le nœud sera

XX,jjiv si le l'acteur », n'est p.is singulier,

X ).,(/v — X (|ji — i)v s'il est critique,

X Xjjiv — X( V — i) [Ji s'il est hypercrilique,

XXi(j. V — X [( [0. — i) V -t~ (v — I) \i.] s'il est doublc;inenl singulier.

Que devient la formule (y)?

Le nœud est pour la courbe (/,= o un point multiple d'ordre

X,(ji si le facteur «, n'est pas singulier,

fX, — i') jji + I s'il est singulier,

(X, — 2) jji — 2 s'il est doublement singulier.

D'autre part, soil C, une valeur remarquable de C. Le nœud sera pour la
courbe /+C|Cp = o, un point multiple d'ordre Âp. si aucun des facteurs

SUR l'intégration ALGÉBniQlE DES ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PBEMIER ORDRE. 45

de /+C,o n'est hypercritique (ou doublement singulier), mais si l'un des
facteurs est hypercritique el que son exposant soit égal à a,, ce sera un point

multiple d'ordre >.JJL + — (v — p.). D'où les équations suivantes qui sont les

différentes formes de l'équation (y) :

X = Sa,)v, s'il n'y a aucun facteur singulier.

X = S a,X; -(- a, ( I ) s'il y a un facteur critique d'exposant ai ,

X = S a,À, -t-at] ( - — t 1 s'il y a un facteur hypercritique d'exposant «i,

X = Sa,X, + ^i(-- — 1)^«2( ■) s'il y a un facteur critique d'exposant a,

et un facteur hypercritique d'exposant aj,

X = Sa,X,-J-a, (-'- ^i ) -^a, ( 1 ) s'il y a un facteur doublement singulier

d'exposant a,.
Le nœud sera pour F un point multiple d'ordre

i: I a, — 1 ) X , ;ji — ( a, — I :n fi — I j — ( a.^ — i ) ( fi — i ;,

en appelant x, et x.j les exposants des deux facteurs critique et hypercritique
qui existent toujours.

Le nœud sera aussi pour A, un point multiple, mais de quel ordre?

Le déterminant fonctionnel de / et de .. par rapport à .î et à )• par exemple
(que nous avons appelé L,) est égal au produit du déterminant de /et de 9 par
rapport à X, et à X.j, multiplié par le déterminant de X, et Xj par rapport à .:
et à )•.

Il importe de remarquer que les deux séries X, et Xj ne sont pas entièrement
déterminées. En effet, nous les avons définies en écrivant que dans le voisinage
du nœud l'intégrale de notre équation s'écrit

Xi;- = const. X^.

Si Y est une série quelconque ordonnée suivant -les puissances de ^ -r ^^

de^ — ■— et ne s'annulant pas au nœud, on peut remplacer X, et Xn par

X.-^ 'cl XtYH-.

Parmi toutes ces déterminations de X, et de X^, on |>eut en chdisir une, telle
que /"et cji soient des polynômes homogènes d'ordre / en X^j'' et X'^.

Alors le déterminant fonctionnel de/ et o par rapport à X, el X., est un

46 SUR L'iNTRGftATlON ALGÉBRIQUE DES ÉQUjTriOXS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

polynôme hninogène d'ordre 2 A — 2 en X^ el Xy,, que i'a|>pellerai I'. muhiplié
par X!^-' etX;-'.

Le déterminant de X, etXo par rapport à r el à j ne s'annule pas en général
et en tout cas les trois déterminants

ne s'annnlant pas à la fois, on peut toujours supposer f[ue le premier n'est pas
nul au naud. On a alors

'- à(y,z) '^■^' ■^' ■

Pour P 11' nœud est un point multiple d'ordre {2I — 2)fi si ce polynôme ne
s'annule pas pour X.j= o, mais cela n'arrive que si a^^ v; dans le cas contraire
c'est pour P un point nuilliplt' d'ordre

( .4 X — 2 ) [Jl — (v — ;i),

pour L| il est d'ordre

(2X--2);jl-T-(|Jl-l)-r-(v — I)+ "-^-^ (V-[X)

et pour A, d'ordre

(■2X — 2)^t-l-(Jt— V — I H ( V — (Jl ).

Mais nous savons que ce doit être un point simple pour A, il vient donc

(AK 2 ) (Jl — [Jl — V I — ; (V JJl j

= S(aj— dX/iji — (a,— i)(|ji — it — («2— I l( H — I) -+- •;
ou, en divisant |)ar y.,
(S) (u À — .>)-1- a, (i— ' Wa^M— - ) = S (a,— l) X/.

Que devient maintenant la formule (8)?

Quel e>l le nombre total des points d'intersection de la courbe indécompo-
sable /+ Cep = o avec «,= o ?

J'appelle e, un nombre relatif à ui et à un des nœuds. Ce nombre sera nul
si M,- n'est pas singulier par rapport à ce nu'ud; il sera égal à {jj. — i)v s'il est
critique, à (v — i)/ji s'il est hypercritique, à (p. — i)v + (v — i),u. s'il est double-
ment singulier. 11 vient

piii = S (X X,- |ji V — X £,).

Multiplions cette relation par st, — 1 cl fiiisons la somme de toutes les rela-

SUR l'intégration ALGÉBIUQIÎE DES ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 47

lions analogues pour toutes les valeurs remarquables de G et pour tous les fac-
teurs w, dont l'exposant est plus grand que i ; il vient

y)S(a,— i)«,= S [X(jiv Xiot,— i)X,] — SX S ^c/.,— 1} s,-.

Mais d'après la signification de £, et en appelant encore «, et «j les exposants
des facteurs critiques et hypercritiques, on a

i;(z;— i) £,= ( «,— i)( |Ji — i,|v + (a.,— i)(v — i) ;a.

D'autre |iarl

fi V s (a,— 1) X, = (-àX — .! ) (jiv + a,v (|ji — i) -t- aî^ji^v — i).

Il vient alors

fj{ ->p — m — 2) = S X iji.v(', ) :i; + S X,(;j. — i)v -+- S X(v — i) jx,

OU

(10) (nî -(- 'O/J = s X ( ;x 4- V I.

Or

P- — 3« + ■>. - X-av „ a , 3;> „ X

a = '- £- S — J S -(1— |A— v=i !- -I- S -([ji + v— I),

■2 ■>. i. i •'■

d'où

Si, par exemple, wî = 4> il vient

On voit ainsi que pour»; :=4i '*• « fortiori pour w>>/i, le genre est tou-
jours plus grand que i .

Quelle est la condition pour qu'on puisse reconnaître si l'équation didéren-
tielle comporte une solution générale algébrique de genre donné? C'est que tous
les coefficients du second membre de (i i) soient de même signe; c'est-à-dire que

ce qui a tnujours lieu pour m ^ 4-

Des cols. — Nous distinguerons trois genres de culs :

1" Ceux du premier genre seront les points doubles d'une courbe indécoui-
posable

ou d'une courbe

"1 = o.

18 SUR l'intégration algébrique DRS ÉOUATIONS différentielles nu PREMIER ORDRE.

Uj étant un des facteurs indécomposables de

/■+ C s = U^> (/»!. .. !?«k
*f '12 /■

pour une valeui' remarquable de C.

Tous ceux de ces points doubles qui ne sont pas des nœuds sont des cols.

Pour un col du preniii'r genre les deux entiers caractéristiques sont égaux
à I .

2° Ceux du second et du troisième genre sont les |>oints d'intersection de

deux courbes

",= ", - "/■ = <',

Ui et uj étant deux facteurs indécomposables de

/^ G ç = ii'fi »«i . . . lift

pour une même valeur remarquable de C.

Tous ceux de ces points d'intersection qui ne sont pas des nœuds sont des
cols. Les deux entiers caractéristiques p. et v, qui sont [ireiniers entre eux,
seront entre eux dans le même rapport que les deux exposants a,- et cxj.

Si «,= <xj et que, par conséquent, |jl = v = i , le col sera du deuxième genre.

Si (Xj^Cj et que, par conséquent, p. <r^ v, v>i, le col sera du troisième
genre .

L'équation dilTérentielle étant donnée, on connaît les entiers caractéris-
tiques. On peut donc distinguer les cols du premier et du second genre de
ceux du troisième genre, mais non ceux du premier de ceux du second.

Propriétés diverses. — Quelques-unes des formules précédentes peuvent
être simplifiées si l'on adopte les notations suivantes :

Soil Ç,- un nombre égal à i si m, nest pas singulier par rapport au uœud con-
sidéré, à ^ si Ui est critif[ue, à v s'il est hjpercritique, à p.v s'il est doublement
singulier.

A chaque facteur Ui et à chaque nœud monorritique correspond ainsi un
nombre Z;.

Soit alors h; le plus petit commun multiple de tous les nombres Ç, cori'es-
|)ondant à un même facteur w, et à tous les nœuds monocritiques. Ce nombre h,
est donc égal à i si (/, n'est singulier par rapport à aucun nieud.

Il est clair que jî, est divisible par /;,; nous poserons donc

i', = (/''', a, — Aj'aj,

scjR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 49
d'où

Nous appellerons «■= /j,A, le degré de p,.

La courbe i>i:= o se compose de /i,- courbes confondues avec u,= o. J'appel-
lerai \\ le nombre des branches de la courbe Vj^^ o qui passent en un nœud
monocritique. Chaque branche de «,== o comptera pour /«, branches de (',= o,
sauf s'il y a lieu celle qui s'annule pour X, = o et qui comptera seulement

pour — branches, et celle qui s'annule pour X2 = o et qui comptera seulemeat
pour — branches. On aura donc

X/ = /ijX, si le facteur m, n'est pas singulier,

X; = /(,),, — /(,( I — - 1 s"il est critique.

X; = /(,X, — /', ( I — - ) s'il est hypercritique,

X/ = /(,X, — hil i ) s'il est doublement sinsulier.

\ 1^ ■'/

Le nombre des points d'intersection de

ç>,= o et y"— C3=o

est alors dans tous les cas }.7.]^^j.

Celui de deux courbes

fi = o, vu = o

correspondant à deux facteurs

sera 1] l). /jtv.

L'équation (y) s'écrira dans tous les cas

x = sa;x;.

Examinons maintenant la question suivante •
Soit, pour une valeur remarquable de C,

Est-il possible que les deux courbes

l'i = o, Cj = "

n'aient d'autres points d'intersection que des nœuds?
H. p. — III.

5o SUR LINTÉGBATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS DIFFÉBENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Appelons h le nombre des points d'intei'seclion de ces deux cmirbcs «dilués en
dehors des nœuds, nous aurons évidenimenl

n\ n'., = S À'i )vj jjiv -I- /(.

Supposons d'abord que nous n'ayons que deux facteurs et que l'on ait

/-t-C? = ,.f rj:.
nous aurons les relalions

p^ = S À» |jiv . pn\ = S ).a'| ;j.v, a'i n\ — a!, n'., = jj. a.\ \\ -H a!, \', = \ ;
d'où l'on peut déduire

a'i /i'|- ■+- alj n\ n\ = a', S X',- [jlv + a', S \\ V.^ |Jiv ,
a'i n\ n'., -\- a'^ n'.? = ï', S X', Xô [jiv — a'., S V.r fiv.

SI l'un avciil h = <> et par conséquent n\ n., = S),', )..',/j^v, il viendrait

«',- = S X'|- jjiv, ii'.r = ^ X!,- ;xv,

et pour des valeurs quelconques de x et de v

(I) {n\x — „:,yp^ SiJiv(X'|3- — X:,.)';2.

Si l'on fuit )• = «',, r = n'.,, le premier membre s'annule, ce qui exige que

X\x = X'^^.

• X', , . 1 . n'i

Le rapport ,7 est donc constant et égal a — r-

Rien dans le raisoimemenl c|ui précède ne suppose que les facteurs n , et Wj
sont irréductibles. Si donc on a

/• -H G ï = e»; r»^ . . . if ; ('="•'* ' . . . vjt.
et si les courbes

v, = n, t'a =0, .... l'i = Il

n'ont en dehors des nœuds aucun pninl commun avec les courijis

(', + ,= 0. P,_j..;=0, .... VA = 0,

on pourra regardery -f- C'j comme le produit des deux lacteurs

,,ï;,.a; ,.a' et ,.*'.• i,,*'.i i ..*i

et l'on aura pour tous les nœuds monoeritiques

a'i X', -f- a!> X2 ^ . . . — xîX; _ x'i /(', -f- a'., n'., ^- . . . + a,' ni

a', «:.

SUR l'intégration algébriqur des équations différentielles du premier ordre. 5i
Revenons au cas où le nombre des facteurs est égal à 2 et où, par conséquenl,

mais ne supposons plus // = o; la formule (1) deviendra

(n\x — "'j7)- = S |ji •/ (X'i .r — 5,'^,j)- — h

Si nous faisons en particulier

y = n\, X = «2,
il vient

{■1) h p- = a', ot!, S (Jiv (À'i «!, — X^j n'i)-.

Supposons de nouveau que nous ayons doux facteurs et que nous écrivions

_/-!- C p = V^'f*!,

et supposons de plus /; = o.

Je dis que la courbe /-j-Ccp = o ne sera indécomposable pour aucune
valeur de C.

Soit, en effet, â le plus grand commun diviseur de n\ et de n., et posons

«', = j3|S. tt'.^ = [3j3,
«■j = c'i"', 11',= ('P';

les deux polynômes iv, et iv^ seront de même degré, à savoir de degré (3|p.iâ.
Soit k une constante arbitraire. Etudions la courbe-

ii'i — k iv-i = o.
Elle sera de degré Pi P2 ô.

Voyons comment elle se comportera dans le voisinage d'un nœud mono-
critique.

On pourra écrire, si .^0, Voi ^n sont les coordonnées de ce nœud,

.<■, = ^v, n,(x';-, X''). »•, - w, n.,{\^;. x!t),

Wi et W. étant deux séries ordonnées suivant les puissances de ^ %

y — -ti; et ne s'annulant pas au nœud considéré. II, et II^ sont deux polynômes

Z Za

homogènes en XiJ- et Xy, ; II, est de degré PjA', et IL de degré (S, À!..

Mais on a (puisque // ^= o)

x; _ n\

5'2 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre.
ce qui permet d'écrire

£ étant un entier.

Donc les deux polynômes II, et Ho sont de même degré (3,(32E-

Quel est alors, au nœud considéré, le nombre des points d'intersection de la

courbe

«■, — ^ H'., = w, n , — A Wî n, = o

avec une branche de courbe

Xlf = const.X:;?

Il sera au inuins égal à (SipiE^uv, et le nombre des points d'intersection des

deux courbes

ir, — k H'2 '— o, y-KCç = o

est au moins égal à a|3, ^Sj sfjLV.

Si les deux polynômes iV) — /.iCj, _/ ' + C9 n'avaient aucun fadeur comiiuin,
le nombre total des poiuts d'intersection des deux courbes devrait être p^i, j3^ô.

Nous venons de voir que le nombre des poiiils d'intersection silués aux meuds
est au moins égal à S À [3, Ci-, £p.v.

Mais nous avons

p = a'i ii\ ~ a'.j/i'.^, X = a\ a\ -+-a!,X!,,

ce qui montre que

et comme on a
il viendra

/> 0 = S X £ ]J.V.

Le nombre des points d'intersection situés aux noeuds sera donc au moins
égal à jo (3,(32 0.

Considérons un point quelconque de f -j- Cep =-- o situé eu dehors des nœuds;
on peut toujours choisir la constante k de façon à faire passer par ce point la
courbe w, — A"(V2==o. Le nombre total des points d'intersection devient alors
supérieur à y^(3i(3.,ô, de sorte que / -+- Co et w, — ÂiVj doivent avoir un facteur
commun. Si / +C9 est supposé irréductible, «', — Air^ sera divisible pary + Co.

Avant trallrr plus loin, il est nécessaire qu(! je démontre un lemme :

Soient X et \ deux polynômes homogènes de même degré en t, v, s et
a une constante (juelconr/ue. Si la courbe

X — aV = (.

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 53

est dècomposable quelle que soit la constante x, les deux polynômes X et Y

sont des polynômes homogènes et de même degré par rapport à deux autres

polynômes c, et n qui sont eux-mêmes homogènes et de même degré en x, y

et z. De plus, la courbe

t — a T, = o

n'est pas dècomposable quelle que soit la constante a.

En effet, soil IN lu. degré de X et de Y. Soient ensuite, pour une certaine
valeur de a, n,, «n, . . . , np les degrés des fadeurs irréductibles de X — «Y.
La continuité suffit pour montrer que It; nombre des facleuis et les degrés n,,
n^, ■ . ., rip seront les mêmes pour toutes les valeurs de a sauf pour certaines
valeurs que j'appellerai singulières et pour lesquelles quelques-uns des facteurs
pourraient eux-mêmes se décomposer.

Soit donc, pour une valeur non singulière de x,

X — a Y = ZiZï . . . Z^, ,

le facteur Z, étant irréductible et de degré /;,.

Soil maintenanl a' une constante infiniment peu différente de oc, il viendra

X — a'Y = Z', z:, ... z;,.

Le facteur Z,' différera très peu de Z,; on voit dune que, si l'on fait varier cf.
d'une façon continue, les polynômes Z,, Z^, ..., Z^ varieront d'uae façon
continue.

Je dis maintenanl que si l'on fait décrire à la variable a des contours fermés
convenables, les divers polynômes Z,, Z^, . . . , Z^ s'échangeront les uns avec
les autres; je dis par exemple qu'on pourra échanger Z, avec Zj.

Soit, en effet, x^, r,, z, un point de la courbe Z, =z o cjui ne soit pas un
nœud; soit de même X2, )'2, :•■> un point de la courise Z^^o. Faisons ensuite

varier x, y, z depuis x,, y,, z, jusqu'à x^, r2, z.,; alors =< = t; qi'i esl une

fonction de x, y, .: décrira un contour ft'rmé, et quand ce contour sera décrit,
il esl clair que Z, se sera échangé avec Zo.

Les polynômes Zi, Zo, . . . , Z^ sont donc de même degré, de sorle que N esl
un multiple de n, .

Il resle à établir que l'ensemble des courbes Z, = o qui dépendent du para-
mètre arbitraire a, forment un faisceau linéaire; or cela est évident puisqu'elles
n'ont pas d'enveloppe, même au sens purement analytique de ce mot.

Appliquons ce qui [irécède au cas qui nous occupe.

54 SUR l'intégration algéhriqde des équations différentielles du preuier ordre.

Ou bien (v, — Aii'o sera irréductible sauf pour certaines valeurs de k et ce
polynôme devra être alors identique à f-\-Co; ou bien w, — A-i\\ ne sera pas
irréductible et son degré devra être un multiple de celui de son facteur irré-
ductible/+ C9; on aura donc

Ç étant un entier; de sorte que

Cette égalité n'est possible que si Ça!, pj est divisible par [3,, ou, puisque j3i
et [Sj sont premiers entre eux, si t:x'., est di\isible par |3,. Mais si t^x'., est divisible
par S), il vient, puisque Ç, a', et ^, sont essentiellement positifs,

PiP2<ra'p,-Ça,p,.

L'égalité est donc impossible et nous devons conclure que /-î- C-^ ne peut
être irréductible.

Si (loue /'— C-^ est irréductible, sauf pour certaines valeurs particulières
de C, ce //ue nous /wiivons toujours supposer, les deux courbes

lu =0 "j = '>

auront d'autres points rommuns que les nœuds.

Rien dans ce raisonnement ne suppose tjue u, et «2 soient irréductibles; si
donc on a pour une valeur remarquable de C

/-h C 9 = H». (/»> . . . iif- iif;^'. . . «^'

il y aura certainement, en dehors des nœuds, des points d'intersection qui
appartiendront à la fois à l'une des courbes

H| = O, (/j = (), .... «,= 0

et à l'une des courbes

"/+! = ", "i+i =", . • • , "X = <'.

Classijicalion des valeurs rcmar</u(ihles de C. — Nous distinguerons les
valeurs remarquables de C en plusieurs espèces.

La première espèce comprendra celles pour lesquelles les exposants a, de
tous les facteurs irréductibles «, seront égaux à 1.

La deuxième espèce comprendra celles pour lesquelles les exposants a, seront
premiers entre eux, sans être tous égaux à 1 .

La troisième espèce comprendra celles pour lesquelles les exposants st, auront
un plus grand commun diviseur différent de i, sans être tous égaux entre eux.

SUR l'intégration algébrique des ÉQl ATIONS différentielles du premier ORIlRE. 55

La quatrième espèce comprendra celles pour lesquelles il v a plusieurs fac-
teurs {/,■ distincts dont les exposants a,- sont tous égaux entre eux sans être tous
égaux à I, de telle sorte que /"+ Co soijt une puissance parfaite d'un produit
de plusieurs facteurs distincts.

La cinquième espèce enfin comprendra celles pour lesquelles /'+ Co est une
puissance parfaite d'un polynôme irréductible.

Si G est une valeur remarquable de l'une des quatre premières espèces, la
courbe f ^- C'y := o se décomposera en deux courbes distinctes qui, d'après le
paragraphe précédent, devront se couper au moins en un point en dehors des
nœuds et par conséquent en un col.

Le nombre des valeurs remarquables des quatre premières espèces est donc
au plus égal au nombre des cols.

.Supposons que tous les cols soient du premier ou du second genre et soil C
une valeur remarquable. Soit

a/t- ,

/— G 9 = «*■ ««= . . . "°'';(^;+' • r ■ "?

l'une des courbes (/,, U21 ■■■■, ui devra ( ouper en un col l'une des courbes Ui^,,
M,V2. • • -, i>k, et comme le col est du premier ou du second genre, ces deux
courbes devront correspondre à un même exposant x.

Je dis que l'on doit avoir

a, = «2= . . . = a/-.

En effet, l'ordre des facteurs u,, iii, ... est arbitraire; si donc tous les
exposants n'étaient pas égaux, on pourrait supposer

y, = 3t.2= .. . = a,, 2;^_i^y.,, a,,_, Jîa,. . .. y.<. 5^1.

Un des polynômes ne pourrait donc pas avoir même exposant [qu'un des
polynômes «,^i, 11, 2, . . . , ii/i.

Donc, si tous les cols sont du premier ou du second genre, toutes les valeurs
remarquables seront de la première, de la quatrième ou de la cinquième espèce.

Les valeurs remarquables des quatre dernières espèces sont celles que nous
avons appelées plus haut critiques.

Application d'un théorème d' Hal/ihen. — .le dis maintenant qu'il ne peut
pas exister plus de deux valeurs remarquables des trois dernières espèces.

En effet, s'il v en avait trois on pourrait supposer par une substitution

56 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre.
linéaire que ces trois valeurs remarquables sont o, i et oo, de sorte que

/, o et —(J-o)
seraient des puissances parfaites. Soient

ces trois puissances parfaites; on devrait avoir identiquement

X». -i- Y». •+- Z«o = o,
X, Y et Z étant des polynômes homogènes de degré

£-, P, P.

a,' az' ïj

en X, y et :.

Or Halphen, au début de son Mémoire couronné sur les équations linéaires,
a étudié les identités de cette forme. Il a montré d'abord que les nombres a,,
izj et «3 devaient avoir certaines valeurs particulières («,, 2, 2), (2, 3, 3),
(2, .'5, 4), (a, 3, 5); il a fait voir ensuite qu'on devait avoir

X = P,( 7)1,7)2),
Y = Pï(lQl,';2),
Z = P3(V1,,7„),

P,, Po et P3 étant des polynômes homogènes en r,, et rio qu'Halphen a complè-
tement formés et qu'il est inutile de transcrire ici, pendant que yj, et 7)2 sont
deux polynômes homogènes de même degré en x, y et s.
Alors la courbe

/-+- C o = X«i -4- CY»: = o

est décomposable quel que soit C en un certain nombre de courbes appartenant

au réseau

■"Il

— =con5.l.

Or c'est là précisément le cas exclu plus haut.

Si donc, comme nous l'avons supposé, /+ C9 n'est pas réductible quel que
soit C, le nombre des valeurs remarquables des trois dernières espèces ne peut
dépasser 2, et par conséquent le nombre total des valeurs remarquables est
limité.

J'ajoute que, s'il y a deux valeurs des trois dernières espèces, de telle sorte,
par exemple, que

les deux nombres «, et «2 devront être premiers entre eux, car s'ils avaient un

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 57
facteur commun, le polynôme

serait réductible quel (|ue soit C.

Nombre des nœuds. — Supposons que tous les nœuds soient dicritiques, on
aura

d'où, si l'on appelle n le nombre des nœuds et x une variable quelcon(pie,

x-p- — (ni^-2)/Ja7 + /i = S(3;X — i)2.

Le second membre étant essentiellement jiosilif, les racines du trinôme du
second degré en x qui figure dans le premier membre doivent être imaginaires

ou égales, ce qui exige que

( m -+- -i )i

4
De plus, si

(w -H ■>.)-

les racines sont égales et le second membre doit pouvoir s'annuler, ce qui ne
peut avoir lieu que si tous les X sont égaux entre eux.

Supposons maintenant que tous les nœuds soient dicritiques et tous les cols
du premier ou du second genre; toutes les valeurs critiques de C sont des deux
dernières espèces et il ne peut y en avoir plus de deux. Soient y.^ et a^ les
exposants correspondant à ces deux valeurs critiques. On aura pour la première
valeur critique

^ = Sa,n,= a, S «i, S (y.,— i) «; = ( i — — 1 /),

et de même pour la seconde valeur critique

S («,-,)«,= ('-^J/'-

Alors la formule

7?i + a = •'./) — S (a, — .1) ni
devient

m + v.= '.p— (i— ^^P —

1 — - 1/',

■(---)■

\»1 «2/

On aura de même pour un nœud quelconque et pour la première valeur
H. P. — III. H

58 SIR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre.
critique

S,a,-,)X.= (.-^)X:

■i =

•2À — 2(«r

-i)li

•2 =

-■(r,^

..)■

rit

-à)'-

(«i--.0^

ih

-^r^-

= =4",

i

( ni — -j

y := ;

'■Jl.

et pour la seconde

de sorte que la formule
devient

d'où

ou, puisque />^ = S). ■^.

Liinilatinn du t/egrc. — Dans le cas où tous les cols sont du premier ou du
second genre, il est possible de Irouvci une limite supérieure du degré /; et par
conséquent de reconnaître si l'équalion est inlégralile algébriquement.

Nous venons de trouver, en eflfet, sans avoir besoin de supposer que tous les
nœuds soient diciltiques,

d'où

a, 2j(m -f- ■'.) =/> ( a,-t- y-iK

Or, X, et y., sont premiers entre eux et par conséipuni chacun d'eux est pre-
mier avec a,H-ao. Donc a, + sco divise m -\- 2.

Nous devons en conclure que «, + «0 et par conséquent a,, «■> et /' sont
imités. c. Q. F. n.

Je m'arrêterai là, l)ien que les principes qui précèdent |iuissent prdliahle-
ment, avec de légères modifications, donner des résultats dans des cas moins
particuliers.

l'aiis, le li a\ 1 il 1891.

SUR L IMEGRATION ALGEBRIQUE

DES

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

ET DU PREMIER DEGRÉ (').

liendiconli del Circolo Mateniatico di Palermo, t. 11, p. igS-aSg (1897).

J'ai pulilié sur rr siiji'l nii preinuT arlu Ir. (jni a paru dans le» Rendiconti
drl Circolo Matematico di Palermo {l. V, aiuiéL- 1891V Je nw suis occupé de
nouveau de la même question dans ces derniers temps, dans l'espoir que je par-
viendrais à généraliser li's résultats obtenus. Cet (!spoir a été déçu. J'ai obtenu
cependant quelques résultats partiels, que je prends la liberté de publier, esti-
mant qu'on pourra s'en servir plus tard pour obtenir, par un nouvel effort, une
solution plus satisfaisante du problème.

C'est à ce premier article que je renverrai quand je parlerai de « la première
partie de ce travail ». J'adopterai d'ailleurs la mênn' terminologie et les mêmes
notations que dans cette première partie.

C'est ainsi que la lettre — représentera une sommation portani Mir toutes les
valeurs critiques de C et tous les facteurs lit. La lettre S en caractères gras
représentera une sommation étendue à une seule valeur critique de C et à tous
les facteurs a,- correspondant à cette valeur. La lettre S en caractères ordinaires
représentera une sommation étendue à tous les nœuds.

Soit C une valeur remarquable quelconque et soit

/ -(- C o = H*' td- . . . til'' = r^' P*3 . . . r^i-
l'identilé correspondante.

C) Présenté le 23 mai 18(17.

6o SUR l'intégration algébrique des équations DIFFÉBKNTIIiLLES DU PREMIER ORDRE.

Nous aurons toujours les relalions

p = S3t,/!,= S*i"i, À = S 3!;/.;.

Soient niainlenanl H,a le nombre des points iJ'inlerseclioii des courbes (^=o,
f/;i=o situés en des cols; et H)^. le nombre des points d'intersection des
courbes t',= o, i/(= o situés en des cols. Comme P/^ o équivaut à h,
courbes m,= o confondues, et ('a= o à hk courbes f/A= o confondues, ou aura

Hû = hihkWiu

Le nombre total des intersections de ('/= o, i'a= o sera

(i) «;«i(-= SX^Xiiav -H H,'x-.

Celui des intersections de (',= o avec une courbe /+ Ci 9^=0 quelconque
sera

pni = S /.).,|Ji'',

d'où

ii'i S ïl rn= S [ ).; (XV S ai ).'/t ]

ou

Or

«/ 'l'r +^ aï "i n'/c = aï S Xr |xv -(-^ ai- S Xj Xii- fxv.

d'où

(■->.) ïîni'-' = x,SX/-';j.v -(-^ ailli;(.

Soient X,, X-,, ..., X/, des indélerniinécs; multiplions l'équation (i)
par 2x\o('/^XiX/,, l'équation (2) par (x'ix'f et faisons la somme de toutes les équa-
tions analogues; il viendra

(3) [ S a) .r ,/!;]'= S,av[S>.;.r,X;] = — SSa;^^. H;<.(.r,-— .r/.)"-.

Le signe SS >e rajtporle à une sommation portant sur tontes les combinai-
sons des indices / et k, chaque combinaison intervenant une fois.

La formide (3) est la généralisation évidente de la fornude ([ui est au début
de la page 5i (première Partie).

D'autre part

/ii= hi/ij, a,— -j- ■

Sl'R 1,'lNTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQl'ATIONS DIFFÉRENTIELLES Dtl PREMIER ORDRE. 6f

La formule (3) devient alors

(36(i) [S"ï,«,.2-;]== S.uv rS2,;r,^ I — SSa,a/(- H,a.( j-,— .rx-)'.

X'
Le terme -^ est égal à >.,• si le facteur a, n'est pas singulier.
"("

Plusieurs cas sont à considérer, suivant la nature de la valeur remarquable C.
Si C est de première espèce, les a,, les x'- et les /;, sont tous égaux à i et l'on a
simplement

[S«,.r,p= S;.iv[S/.,:r,p— SS H^i Xi— .T),)'-.

Si C est de l'une des trois dernières espèces el que les c. aient un diviseur

commun ô, el si l'on pose

a,= a'; S.

on pourra diviser l'équation (3 bis-) ])ar ô- et l'écrire

{'iter) [S3c"«,-:r,]== S-Jiv jSît';.'-, •^' | "— SSstl^ H,<.(.r, - .r*.)'.

Les coefficients a" sont alors premiers entie eux.

Recherche des valeurs remarquables. — Considérons une valeur remar-
quable de C et la relation (3 bis) correspondante. Soit ij le nombre des facteurs
distincts dans lesquels se décompose le polynôme/ J- Cep; je dis que le nombre
des cols qui interviennent dans la formule (3 bis) correspondante est au moins
égal k C] — 1 , de telle sorte que l'on a

Si, en effet, il n'en était pas ainsi, on pourrait mettre /'+ Co sous la forme
d'un jiroduil de deux facteurs, qui ne seraient d'ailleurs pas forcément irréduc-
tibles, et tels qu'il n'y aurait pas de col pour lequel ces deux facteurs s'annulent
à la fois. Alors, d'après ce que nous avons vu dans la première partie de ce tra-
vail, le polynôme /"+ C 9 serait décomposable pour toutes les valeurs de C, ce
que nous ne supposons pas.

Pour nous en rendre compte, représentons chacun de nos q facteurs par un
point, et joignons deux de ces points par un trait, s'il existe un col pour lequel
les deux facteurs correspondant à ces points s'annulent à la fois. S'il y a moins
àe q — 1 cols, il y aura aussi moins de ^ — i traits, et il sera impossible d'aller
d'un quelconque de nos q points à un autre quelconque de ces q points en sui-
vant les traits ainsi tracés.

6-2 SUR L'rNTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDnE.

Nos q points seront donc répartis au moins en deux groupes, de telle sorte
qu'on puisse en suivant les traits aller d'un point d'un groupe à un autre point
du même groupe, mais non passer d'un groupe à l'autre.

Soit alors U le produit de tous les facteurs h, correspondant au premier
groupe, chacun de ces facteurs étant affecté de l'exposant a, correspondant.
Soit V le produit de tous les facteurs h, correspondant à tous les autres groupes,
chacun d'eux affecté de son exposant. On aura

et il n'y aura p.is de col pour lequel U et V s'annulent à la fois.

Soit B le nombre des cols.

Soient A, le nombre des valeurs remarquables de la première espèce, Q, le
nombre lnlal des facteurs correspondants, c'est-à-dire la somme de tous les
nombres y relatifs à ces diverses valeurs remarquables de la première espèce.

Soient A., el Q^, A3 et Q3, A, et (^).,, Aj et Q5 les nombres correspondanls
pour les valeurs remarquables de la seconde, de la troisième, de la quatrième et
de la cinquième espèce.

D'après le résultat que nous venons d'obtenir, on aura

H ^Q, H- Q» H- ».>;,+ Qi- A, - A,- y- \.
et comme d'après la définition des valeurs des quatre premières espèces

k'iâ'-'^i- Qî^-'Aî. Q:,l>\:,. Qii'iAi,

il viendra

D'autre part, d'après la définition des valeurs de la cinquième espèce, ou

aura

Q.= A,.

Enfin, d'apiès le théorème d'Halphen {/oc. cil., p. 55),

A, \.,4- A.,<-,<..

Ces inégalités limitent le nombre des valeurs remarquables et même les
nombres Q,-. En elfet, le nombre des cols B est connu.

Mais on peut aller plus loin. Soit une valeur remarquable de l'une des deux
premières espèces; soit

la décomposition correspondante; je suppose quatre facteurs pour fixer les
idées. Les nombres a,, a.j, x^, y.., doivent être premiers entre eux. Repré-

SUR l'intégration ai.oébrioue des équations différentielles du premier ordre, fl'i

sentons ces quatre facteurs par les ([uatre points M,, Mo, Ma, M.,; ces quatre
points devront être joints au moins par trois traits correspondant cliacun à un
col. Je suppose, pour fixer les idées, que ces trois traits soient les traits M, Mo,
MjMa, M3M.,. A chacun de ces traits correspondra un col que nous devons
choisir parmi les B cols de notre équation différentielle; comme ces cols sont
connus et en nombre fini, nous ne pourrons faire qu'un nombre lini d'hypo-
thèses.

Considérons le col qui correspond au trait M, Mo, ses entiers caractéris-
tiques p. et V seront connus et nous devrons avoir

a» V
ou ^ = — .

Nous n'avons ici à choisir qu'entre deux hypothèses; il en serait de même en
ce qui concerne les cols qui correspondent aux deux autres traits et les rapports

correspondants — et —

En résumé, les rapports des quatre exposants y., sont connus, ou plutôt
nous ne pouvons faire en ce qui les concerne qu'un nombre fini d'hypothèses.

Mais, si la valeur remarquable est de l'une des deux premières espèces, les
nombres a, sont premiers entre eux; nous connaîtrons donc les nombres «,
eux-mêmes.

Si, au contraire, la valeur remarquable est de l'une des trois dernières
espèces, les nombres Xi ne sont |dus premiers entre eux; mais nous pouvons
poser

le nombre â éLmt le plus grand commun diviseur des a,; nous connaîtrons
alors les nondjres a] cpii sont premiers entre eux, mais nous ne connaîtrons
pas 0.

En résumé, au sujet du nombre des valeurs remarquables des cinq espèces,
du nombre des facteurs correspondant à chacune d'elles, des ex[iosants «j
relatifs aux valeurs remarquMbles des deux premières espèces, des nombres aj
relatifs aux valeurs remarquables des trois dernières espèces, nous ne pouvons
faire qu'un nombre fini d'hypothèses : Les deux plus grands communs divi-
seurs ô| et ôo relatifs aux deux valeurs reman/uables des trois dernières
espèces, si elles existent, demeurent complètement inconnus.

Valeurs des m. — Adoptons, au sujet du nombre des valeurs remarquables

64 SUR LIMTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

de chaque espèce, de même qu'au sujet des exposants a,- ou a-, une des hypo-
thèses en nombre fini que nous pouvons faire. Il nous reste à déterminer les
deux nombres ô, et èo, les deux nombres p et 1, ainsi que les nombres rt,- et X,-.

D'un autre côté, nous ne pouvons faire qu'un nombre fini d'hjpolhèses au
sujet de ceux de nos facteurs qui sont critiques ou hjpercritiques ou double-
ment singuliers par rapport aux divers nœuds. Ces hypothèses pourront être
examinées successivement. Nous adopterons donc l'une d'entre elles; les
nombres //,■ pourront alors être regardés comme connus, ainsi que les rapports
des exposants a]-.

Nous aurons alors, pour déterminer les nombres «,, les relations suivantes

Ces relations peuvent suffire si le nombre des valeurs remarquables de C
n'excède pas 2. Dans ce cas, en effet, ou aura

p = Sai«,

pour chacune des deux valeurs remarquables, et, en additionnant les deux équa-
tions ainsi obtenues, il viendra

■ip =^o,«,.

Eu remplaçant dans l'équation qui donne m +2, on trouve
m -h 2 = ^ Xj/ij — ^ (a, — i)"i = ^ 'U-

Les nombres n, et le degré/) sout donc limités.

Mais il n'en est plus de même si le nombre des valeurs remarquables est
supérieur à 2. H y a lieu de se demander alors si les équations (4) comportent
une infinité de solutions en nombres entiers.

Discutons cette question, en considérant d'abord les exposants «, comme
donnés.

Soient <y le nombre des valeurs remarquables; C,, Cj, . . ., C,^ ces valeurs;
R le nombre des facteurs relatifs à Ca- Soient

xl, x-^, ..., 'J.\

ni, >q, ..., n

les valeurs des nombres a, et n; correspondant à ces K facteurs.
Rangeons-les de façon que

«l<a|<...<oc^

SUR l'intégration algébrique des équations DIFFERENTIELLES DU PRKMIER ORDRE. 6i

Les équations (4) nous donnent alors

N 11,= iq — i^p + m -+- 2.

D'autre part, si «i, a-j, . . . , a^ sonl q nombres positifs tels que

« I — rt, -H ...— «,/ = q — i,

on aura

(gr — 2)/5 = a,Sa'| n\ + ajSaî, «!j -h . . .+ a g S -^Ij n'^ ^

d'où

(5) 'V «,= «iSz'i n\ -h. . .-+- a^Sy-l^iil^-r- m -+■ i.

L'équation (5) est évidemment impossible si l'on peut choisir les nombres a^
de telle sorte ([ue l'on ait à la fois

a, a ] > I , a, ai > I . .... a,/ x^ > i ;

c'est-à-dire si l'on a

I I I

Donc, pour que les équations (4) admettent des solutions, il faut que

Maintenant, dans quels cas les équations (4) admettront-elles une infinité de
solutions? Pour cela il faut et il suffit que les équations (homogènes) en /? et
en «,,

admettent des solutions positives.

Si l'on peut trouver des nombres au tels que

(6) «i-xl < i<«iï!t (/>: = I, -i, •••, î),

a, -H «; -t- . . . ^ or,/ = 17 — 2,

il est clair que les équations (4 6«) admettront des solutions positives; on
pourra, en effet, satisfaire aux conditions

(7) S/i/' = a,Sa/ni', S«r = «îSa?/!r. ■••• S/if = a,Sa?/i;'.

Réciproquement, pour que les équations (4 bis) admettent des solutions posi-
tives, il suffit que les équations (7) en admettent, les nombres ai étant convena-
blement choisis; il suffit donc que l'on puisse satisfaire aux conditions (6).
H. p. — m . 9

66 SUR l'intégration ALGEBRIQUIi: DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Mais pour qu'on puisse satisfaire aux conditions (6), il faut el il sufiil qu'on
ait à la fois l'inégalité

II I V^ 1

(à) -tH r-f-...H--;=>-7>« — i

^ ' a a. a,', ^ al. ^

et l'inégalité

(8) 2i<9--^-

En résumé, si les inégalités (5) et (8) ont lieu à la fois, les équations (4)
admettent une infinité de solutions.

Si l'inégalité (5) a lieu seule, elles peuvent en eomporter un nouibic lini ou
n'en comporter aucune.

Si enfin l'inégalité (5). n'a pas lieu, elle> n'en admettent aucune.

Nous avons supposé jusqu'ici que les nombres a,- étaient connus. Cela est
vrai en ce qui concerne les valeurs remarquables des deux premières espèces.
Mais cela n'est plus vrai s'il existe des valeurs des trois dernières espèces. En
ce qui concerne ces dernières, nous ne connaissons que les a,, mais nous ne
connaissons pus les deux plus grands communs diviseurs ô, et o,, relatifs aux
deux valeurs des trois dernières espèces qui peuvent exister. Posons alois

A.,=2

la sommation s'étendanl seulement aux valeurs des deux premières espèces.
Soit -V- le plus petit des nombres a" relatifs à la première des valeurs des

trois dernières espèces, si cette valeur existe; si elle n'existe pas, nous ferons
A, = o.

Soit de même -r- le plus petit des nombres a" iclatifs à la seconde valeur des

trois dernières espèces; si elle n'existe pas nous prendrons Ao^u. Nous pou-
vons toujours supposer A, > Aj. L'inégalité (5) devient alors

. , A, , A,

6, "'■'^-

Si A„ > ^ — a, l'inégalité sera satisfaite (|uels que soient les nombres o, et âj.

Si A|,-|-A|>^ — 2, A(, + A2<(/ — 2, on pourra prendre ô^ aussi grand
qu'on voudra, mais ô, sera limité.

Si Ao+ A2> ^ — 2, Ao<^q — 2, on pourra prendre l'un des deux nombres è,
et Ô2 (mais non tous deux à la fois) aussi grand que l'on voudra.

SIR l"i\tÉ(;ration algébrique dks équations différentielles du premier ordre. 67
Si enfin A|,+ A, < ^ — 2, les deux nombres ô, el oo seront tous deux limités.
Ainsi donc, dans le cas où l'on aura

A,,-!- A,< o — 2

el où l'inégalité (8) ne sera pas satisfaite, même dans l'hypothèse ô,=ô.. = o,
on ne pourra faire au sujet des nombres ô, et ôo qu'un nombre fini d'hypothèses
et les équations (4) n'auront qu'un nombre fini de solutions.

Le degré p est donc limité.

Il existe donc des cas très étendus où, comme dans celui que j'ai examiné
dans la première partie de ce travail, le degré p est limité et où, par conséquent,
le problème de l'intégration algébrique peut être regardé comme résolu.

Valeurs des À,. — Les nombres >,, doivent satisfaire à certaines équations
tout à fait analogues aux équations {\).

Considérons d'abord un nœud dicritique, nous devrons avoir

(9) /, = Sa,X,, .. = 9./,— V

^a

(2,-1 )/.,.

Les équations (9) tout à fait aualogues aux équations (4) se discuteraient de
la même manière, et cette discussion conduirait au même résultat.

Si les inégalités (5) et (8) ont lieu à la fois, les équations (9) admettent une
infinité do solutions.

Si l'inégalité (5) a lieu seule, elles peuvent en comporter un nombre fini ou
n'en comporter aucune.

Si l'inégalité (5) n'a pas lieu, elles n'en admettent aucune.

Envisageons maintenant un nœud monocritique.

Dans ce cas la première équation (6) doit être remplacée par la suivante

(^bis) >. = S3(,/.,-i-3,2| f -i — I j — ;,ï, ^- — ij:

y.i est l'exposant du facteur critique, aj celui du facteur hypercritique; e.^ est
égal à o ou à i, suivant que le facteur critique correspond ou non à la valeur
remarquable envisagée, el £.> est défini de la même manière en ce qui concerne
le facteur hypercritique.

De même, la seconde équation (9) doit être remplacée par

(.9 'e') (iÀ — ^î i — a, / I— - j H- aJ I— - j =2(a( — j)À,-.

68 SUR l'iNTÉCRATION algébrique des équations différentielles du premier ORIIRE.

Nous avoQS q équations (gbisj correspondanl aux ^ valeurs remarquables; en
les addilionnanl cm trouve

et en combinant avec (9 ter)

(10) "S^Xi^iq — ■!)'/. -^-2.

Soient encore t/,, a>, ... ., a^, q nombres positifs tels que

«1 ^ a« -H . . . + a,i = y — 2.

Désignons par Â]^ les nombres >., lelatifs à la valeur remarquable Ct, de même
que nous avons désigné par n^ les nombres ni relatifs à celle valeur remar-
quable C/;.

Nous pourrons écrire

• ^ À,- = « I > -j.} /. ', -t- a,_S -4 '/.f + . ■ -^ "'/^ ^1 "'■ '!
-t- a, 2, ( I J -- c(^ X; ( 1 J -^ >. ;

a\ est celui des nombres a^ qui se rapporte à la valeur remarquable correspon-
dant au facteur critique, et a!, est défini de même par rapport au fadeur
hypercritique.

Pour que les équations [gbis) et (g 1er) admellenl uue infinité de solutions,
il faut et il suffit que les équations (homogènes)

À=Sï,/.|, -2 X = ^ {3., II/.,

admettent des solutions positives, c'est-à-dire que les inégalilés (5 j et (8) aient
lieu .

Si l'on observe maintenant que les nombres X,- el «,• ne sont pas indépen-
dants, mais qu'ils sont liés par les relations (3) el (3 bis), on pourra espérer
que nos équations (4), {(^bis) et (g ter) n'admettront qu'un nombre fini de
solutions compatibles avec les relations (3) alors même que les inégalités (5)
et (8) auraient lieu.

Mais cet espoir serait trompé en général; on serait conduit à une discussion
qu'il est inutile de développer ici et qui conduirait à la résolution d'une équa-
tion de Pell ou d'une équation analogue. L'équation de Pell, on le sait, admet
une infinité de solutions.

SUR l'intégration algébrique des équations uifférentielles du premier ordre. 69

Cas fies neuf nœuds dicritiques. — On se trouve doac en présence de dif-
ficultés que je n'ai pu encore surmonter. Je me bornerai ici à traiter un cas
particulier simple, où la nature de ces difficultés apparaît clairement, bien
qu'on puisse en triompher.

Supposons m = 4 et que tous les nœuds soient dicritiques. D'après c(^ que
nous avons vu dan^ la première partie de ce travail, le genre des courbes

/— C? = n
sera égal à i .

D'autre part, le nombre des points singuliers sera

m- -f- m -I- i = 2 1 .

Je supposerai que ces 21 points singuliers sont p nœuds dicritiques et
12 cols.

Par les 9 nœud> je puis faire passor une cubique. Soit p le degré de la
courbe f-\-Co = o; elle aura avec la cubique 3/? points d'intersection dont
un certain nombre seront confondus avec les nœuds. Si l'on envisage les
g nombres 1 relatifs aux g nœuds et la somme SX de ces 9 nombres, on aura

ip = S À — h,

h étant le nombre des points d'intersection mobiles situés en dehors des

nœuds.

On aura d'autre part

/)== SX-.
d'où

( .'•=/)= -f- 6j:p — 9) = Six-X'-^ïA-X-hl)-*- ixfi,

c'est-à-dire

(n (.r/i -H 3;== S(.7-). -i-i)=-f- 2x/(.

D'autre part, on a, en appelant q le genre de la courbey + C9 = o,

(/' — ')(/' — •'-' ^. 3 '■ ' >■ — ■ .> ^

2 " " 2 '^ 1'

ou •

/'- — 3 /) -(- 2 = s À= — S À -4- 2 (/,

ou enfin

2(y — I ) -t- A = o,

ce qui conduit à deux solutions

<7 = ij h = o ou y = o. h = 1.

C'est la première qui convient, puisque, y := i d'après ce que nous avons vu

70 SUR l'intégration algébrique des EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

dans la première partie; on a donc h =^ o et la cubique n'a pas de point
d'intersection mobile avec les courbes y+Ccp^o. L'équation (i) se réduit

donc à

(x/7H-3)= = S(:i;X^i):;

et en faisant x =^ et multipliant par p-

S( 3À— /j)== o,

ce qui montre que tous les ), sont égaux entre eux et égaux à ^■

Soient «I, Ho, ..., u,j les arguments elliptiques des neuf nœuds sur la

cubique, on devra avoir

S X « ^ o,

c'est-à-dire égale à une période (des fonctions elliptiques envisagées"). Donc
S« est égal à une période divisée par À, c'est-à-dire par ^•

Si nous connaissons l'équation différentielle, nous connaîtrons les neuf nœuds,
nous connaîtrons donc la cubique et les neuf arguments elliptiques u. Nous
verrons donc si S m est commensurable avec une période. C'est là une condition
nécessaire pour que l'intégration algébrique soit possible.

Supposons-la remplie, le nombre /. est par là même connu.

Considérons 8 de nos nœuds, peut-on conslruire une courbe de degré 3X
admettant ces 8 nœuds comme points d'ordre ).?

Une courbe de degré 3>. est déterminée par

3/.(3X-t-3)

points. D'autre part, un point multiple d'ordre 7. compte pour

)-(X-)-i)

conditions. Il nous restera donc

9^(>--t-') _ g X(?.H-i) ^ À(À^ i)

2 1 ■>

points disponibles.

Imposons-nous encore que le neuvième nœud soit un point multiple
d'ordre ). — i , ce qui fait

conditions; il reste
conditions.

A(,A — I)

>■(>■ -Hl) _ >-(>■ — 1) ^ ^

Sun l'intégration algébrique des équations DIFFÉRENTIKLLES DU PREMIER ORDRE. "I

Menons par le neuvième nœud ), — i droites quelconques non tangenles à
la cubique, et imposons-nous que ces > — i droites rencontrent la courbe
d'ordre 3X en >, points confondus. De sorte que, ou bien le neuvième nœud
sera encore un point multiple d'ordre >., ou bien ces 1 — i droites seront les
1 — i tangentes à la courbe au neuvième nœud. Cela fait encore 1 — i condi-
tions, il nous restera donc encore un paramètre.

Gela posé, les gX points d'intersection de la cubique avec la courbe d'ordre SA
seront 1 points confondus avec les huit premiers nœuds, X — i points confondus
avec le neuvième nœud, et un point inconnu.

Soit «lo l'argument elliptique de ce point inconnu, on aura

X ( («1 -h «2 T . . . — (/g ) -4- ( À 1 ) «5 -+- M| Il = O.

Or, par hypothèse,

S X M ^ <l.

Donc

th= "lo-

Donc le point inconnu se confond avec le neuvième nœud; nous avons donc
À droites, à savoir la tangente à la cubique et les )i — i droites construites plus
haut, qui rencontrent la courbe d'ordre 3>, en X points confondus. Le neuvième
nœud est donc un point multiple d'ordre X de la courbe d'ordre 3Â.

Nous avons donc délini un faisceau de courbes d'ordre 3X admettant nos
neuf nœuds comme points multiples d'ordre X.

Soit \\i ^ o l'une de ces courbes.

Cherchons en quels points cette courbe louche l'une des courbes définies par
nos équations différentielles, équations que j'écrirai comme dans la première
partie

(2)

Le lieu des points où une des courbes définies par les équations (2) peut
toucher la courbe 4* = o est défini par

, T s f d'il ,, d'il ,, d'h

(3) L-T^ -H Mji + N -^ = o.

rf.i- d_y dz

Comme par hypothèse L, M et N sont d'ordre 4, et '^ d'ordre 3X, le premier
membre de (3) est un polynôme homogène d'ordre

3À H- J.

d.,-

dy

j:

y

L

M

-•l SUR L INTEGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Le nombre total des points d'intersection de (3) et de 'J; = o est donc

9X(X-i).

Considérons maintenant l'un de nos neuf nœuds dicritiques. soient Xn, j'o,
5o ses coordonnées; nous pourrons toujours supposer que ce poin' n'est pas
sur la droite de l'inlini j =: o, ce qui nous permettra de faire ^o = i .

Développons ij/ suivant les puissances de x — Xg ;, y — Vos; il viendra

•h = '\i,-^'hl+t-T-...^'\,,l,

en appelant i^^ un ensemble de termes homogènes de degré k en x — XoZ et
y — J>'o2, multipliés par ^''-*.

Le nœud considéré est un point mutiple d'ordre >. de '^ = o et les directions
des ), tangentes sont données par l'équation homogène

■h = o.

Développons de même

zL — x^a, 3.M— kN

suivant les puissances croissantes de x — XoZ, y — ^^uZ^, il viendra

iL JfN = A 3*(j" .r„ Z) -H T), -1- T,3 -i- 71,.

;M— j-N = A.zUy —y„z)-h-r\'^-h t,, -t- t]'.,.

les ru et les t)Jj étant des polynômes homogènes d'ordre k en x — Xo:-. y — VoS
multipliés par z^~''.

11 est à remarquer que le coefficient A est le même dans les deux formules;
c'est précisément ce qui caractérise les nœuds dicritiques.

Comment trouver les termes du degré le moins élevé en (x — Xoz),
(y — y'oz) dans le premier membre de (3)? Appelons 0 le premier membre
de (3), il viendra

d'

ou

(4) 5e-3ÀN'> = (3L — xN)^ -^(3M-vN)^.

dX ■/ ' ^y

Les termes de degré le moins élevé du second membre sont évidemment

Les termes de degré le moins élevé de N sont N,,;', N(,-' étant ce que
devient N quand on y change x el y en XgZ el y^z.

SUR l'intégration algébrique des EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. ^3

L'ensemble des termes du degré le moins élevé de 0 sera donc

Xz3 4-x(3N„-f- A ).

Les 1 tangentes à la courbe 0 ^ o sont donc les mêmes que les >, tangentes à
la courbe <]i =z o.

Le nœud considéré compte donc pour '/.{l + i) intersections elles neuf nœuds
pour 9>,(>, + i) intersections.

Donc, ou bien les deux courbes se confondent, ou bien elles n'ont pas d'autre
point d'intersection que les nœuds.

Mais il j n plus, je dis que je puis loujours^ supposer que la courbe 0 = 0
admet nos neuf nœuds comme points multiples d'ordre ) -|- i .

En effet, nous ne changeons pas nos équations différentielles en changeant L,
M, N en L-\-xE., M + rH, N + .îH (H étant un polynôme homogène quel-
conque du troisième ordre).

On change ainsi 0 en

Soit Ui l'un de nos neuf nœuds. Soit H,; la valeur que prend H en ce point et
soit SXAjiJ;). l'ensemble des termes de 0 qui sont d'ordre X en x — XqZ,

Pour que la courbe

B -^ 3 À H 'L = o

admette nos neuf nœuds comme points d'ordre À -+- i , il faut et il suffit que l'on
ait les neuf équations

(5) H,-i-A,= o I / = 1, ■)...., 9).

Peut-on choisir les dix coefficients de H de façon à satisfaire à ces neuf équa-
tions? Il ne pourrait y avoir doute que si tous les déterminants formés à l'aide
des coefficients de ces neuf équations à dix inconnues s'annulent tous à la fois.
Mais s'il était ainsi, les équations
(5 bis) H/ = G

admettraient une double infinité de solutions. C'est-à-dire qu'on pourrait faire
passer par nos neuf nœuds un faisceau de cubiques et que S« serait une
période.

Mais nous avons supposé que Su était commensurable avec une période et
de telle façon que A soit le plus petit nombre tel que ISu soit une période.
Donc, si X > i , Su n'est pas une période. Donc on peut satisfaire aux équa-

H. P. — III. 10

74 siiR l'intégration algébrique des équations uifférentielles du premier ordre.
lions (5). Donc, on peut toujours supposer que 0 = o admet neuf points mul-
tiples d'ordre >. + i.

Nous admettrons déso^mai^ qu'il en est ainsi.

La courbe 0 = o est d'ordre 3(). + 0 et elle a, en nos neuf nœuds,
9(>. + i) points d'intersection avec notre cubique.

Nous sommes donc en présence de deux hypothèses :

i" Ou bien la courbe 0 = o se décompose en la cubique et une courbe
d'ordre il;

2° Ou bien elle n'a pas d'autre point d'intersection avec la cubique que les
nœuds. Mais alors on aurait

et comme on a déjà

À S u ^ o,

il viendrait

S II ^s n,

ce qui est contraire à ce que nous avons supposé, puisque S (/ n'est pas une
période.

La seconde hypothèse doit donc être rejetée.

Donc la courbe 0^o se décompose; et les deux composantes sont, d'une
part la cubique, d'autre part une courl)e d'ordre 3À admettant les neuf nœuds
comme points multiples d'ordre À et appartenant par conséquent à notre
faisceau.

Soit F = o l'éqLuUion de notre cubique, celle d'une courbe quelconque du
faisceau sera

a et 6 étant des coefficients arbitraires et, en oiri't. In cubique prise l fois, fait
évidemment partie du faisceau.

On aura donc

e = Kl n'\i -t- ùF''').

Soit maintenant

„ , dF „ dF _, dF

dx dy dz '

9 sera un polynôme du sixième degré.

La courbe 9 = o passe évidemment par chacun des nœuds et sa tangente au
nœud est celle de la cubique; on le démontrerait comme plus haut.

Les deux courbes 9 = o et F=: o ont donc dix-huit points d'intersection aux
nœuds; donc :

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du prehier ordre. 75

Ou bien 9 se décompose en deux facteurs dont F est l'un;

Ou bien les deux courbes n'ont pas d'autre point commun qu(3 les nœuds, ce

qui entraînerait la congruence

2 S u ^^ o.

Cette congruence n'a pas lieu (si >. > 2).

Donc d est divisible par F.

Soit donc

e = PF,

P étant un polynôme du troisième degré.

Mais nous avons vu plus haut que les termes de degré 1 en x — x^z et

en y — YoZ dans 0 sont

>■ 3-' 'h (3 No -H A).

On verrait de même que les termes du premier degré en a; — XqS et y — }'„ :■

dans 0 sont

>.3-'Fi(3N„^A),

en représentant par F, l'ensemble des termes du premier degré de F.

Mais, d'après l'hypothèse faite plus haut, chaque nœud sera un point
d'ordre 1 + i pour 0 = o, et l'on a par conséquent

3No+ A = n.

Donc les ternies du premier degré de 9 disparaissent. Chaque nœud est donc
un point double pour 9 = o.

La courbe P = o passe donc par les neuf nœuds.

Si les cubiques P = o, F ^ o étaient distinctes, on aurait donc

5 K ^^ n,
ce qui n'a pas lieu. Donc

6 = cF:,

c étant un coeflicient constant.

Nous pouvons alors nous demander s'il est possible, étant donné un poly-
nôme F du troisième degré, de trouver trois polynômes L, M, N du quatrième

degré, tels que

6 = 3F = .

Il est clair que ce problème comporte une infinité de solutions.

Soient P, Q, R trois polynômes quelconques du second degré, si nous

76 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre.
posons

, • a: a.r

il viendra évidemmenl

---'^-^%--%'

ax dy dz

C'est d'ailleurs la solution la plus générale, comme on s'en assurerait en
remarquant que si L', M', N' sont trois polynômes du quatrième degré satisfai-
sant à l'identité

,,r/F ..,dY ...r/F
dx dy dz

dV dV

le polynôme L' devra .être égal à la somme de -7- et de -7^ multipliés respective-
ment par deux polynômes du second degré.

Cela posé, donnons à nos polynômes L, M, N la forme (a) el cherchons quels
seront les points singuliers de nos équations différentielles. Ces points singu-
liers sont donnés par

L _ M _ >;
X y i

et l'on voit tout de suite qu'ils se divisent en deux catégories.
Nous avons d'abord neuf points satisfaisant aux équations

1 <-/F d¥ dV

\ X —, >- y —, h z -r- = o.

( S ) ; dx ■^ dy dz

1 X P +^Q -f- ; R =0.
Nous avons ensuite douze points satisfaisant aux équations

P

Q

R

dF~

dF '

~ dF

dx

dy

dz

Les neuf premiers points sont sur la cubique F; ce sont eux qui devraient
être nos neuf nœuds dicritiques.

Ils sont à rinlcrsectiou de F = o avec une autre cubique. On aura donc

S « ^ o.

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 77
Le faisceau /+ Cy = o devra alors se réduire à ua faisceau de cubiques

\' ■+- CF, = o.
de telle façon f|ue 1 = i .

On pourrait, il est vrai, se demander si l'on ne peut pas faire passer par ces
neuf nœuds trois courbes de degré 3^, linéairement indépendantes et admettant
les neuf nœuds comme points multiples d'ordre /..

On aurait alors non plus un faisceau mais un réseau de courbes d'ordre 3>,,
et l'équation de ce réseau pourrait se mettre sous la forme

F'.-HC'F;-t- C"* = o.

où C et C" seraient des constantes arbitraires et «I» un polynôme d'ordre 3 A
indécomposable.

Mais cela est impossible ; soit en effet M un point quelconque du plan; par ce
point passeraient une infinité de courbes du réseau, formant un faisceau. Deux
quelconques de ces courbes se couperaient en gl'^ points aux nœuds et en un
[)oint au point M. En tout 9)1'- + ! points d'intersection. Cela est absurde,
puisque les deux courbes sont d'ordre 3 À.

Ainsi nous devons conclure que 1 ^ ] .

Nous avons, il est vrai, laissé de côte un cas; celui où /. serait égal à 2, où
l'on aurait par conséquent

9. S « :e= o

et où la courbe 9 = o, au lieu de se décomposer en deux cubiques dont l'une
serait F =: o, serait tangente aux neuf nœuds à la cubique F = o.

Dans ce cas on peut construire un faisceau de courbes du sixième degré
admettant les neuf nœuds comme points doubles. Soit /( + C /■• = o l'équation
de ce faisceau. On peut, (|uel que soitp, construire un faisceau de courbes de
degré 6p admettant les neuf nœuds comme points multiples d'ordre 2p.

L'équation de ce faisceau est

/('+C/.f=o.

Mais on ne peut pas, pour la même raison que tout à l'heure, construire un
réseau de pareilles courbes.

On doit donc supposer /? =: i et par conséquent le faisceau f + Go = o ne
pourrait être autre chose que le faisceau du sixième degré que nous venons de
construire.

Supposons donc >, = 2.

78 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre.

L'équation du faisceau peut se mettre sous la forme

F- + Co = o,
9 étant du sixième degré.

La valeur G =: o est alors une valeur remarquable de C.
Les équations connues

/,i + ■> = ■)/)— ^(a,— l)n,-,
■> = il — ^(a,— DÀf

deviennent alors

6 = 6À — (À — i)3 — N^(a,— i)rt,,

■1 = ■!/. — (À — l) — ^ (a, — -l)/..

le signe 2' représentant une sommation s'étendant à tous les facteurs «, corres-
pondant à toutes les valeurs critiques de C autres que C = o.
Mais si 1 ;= 2, la dernière de ces équations se réduit à

> ( 2; I lÀ, = 1.

Cette équation ne peut être satisfaite que d'une seule manière. 11 ne doit j
avoir, en dehors de C = o, qu'une seule valeur critique pour laquelle on aura

À, ^ I. a, = 2.

D'autre pari, la première équation donne

> (a,- — i)«,= 3:

ou, puisqu'il n'y a qu'une seule valeur critique et que a;,'^ 2,

/(, = 3.

Ainsi, pour cette valeur critique, F^+Cw doit se réduire au carré d'un

poljnome du troisième degré F,, de sorte que la cubique F, ;= o passe par nos

neuf nœuds. On aura donc

Su^.o.

ce qui nous ramène au cas précédent.

Ainsi dans ce cas très particulier, que j'ai étudié peut-être un peu longue-
ment, nous sommes parvenus à limiter le degré des courbes algébriques

/ -(- C ç = o ;
mais pour cela les considérations purement arithmétiques ne nous ont pas suffi;

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre. 79
nous avons dû recourir au théorème d'Abel, qui nous a appris que

/.S W S5 II.

Cette circonstance doit nous faire mieux comprendre la nature des difficultés
à vaincre.

Étude des points siii<;ulieis. - Dans le voisinage d'un point singulier, il
existe deux séries que nous avons appelées X, et Xj et qui sont ordonnées sui-
vant les puissances de - — — , -^ — — (loc. cit., u. 3g). Réciproquement, on
peut égaler les différences

Z Zti Z Zq

à des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de X, et de Xj.
Soil alors

— =consl.

l'intégrale générale du notre équation différentielle. Si nous divisons le numé-

f o
rateur et le dénominateur par zP, le> quotients — et ^ seront des polynômes

entiers par rapport aux différences "^ -— —> — ; ce seront donc des séries

z Zo z Zo

ordonnées suivant les puissances croissantes de X, et de Xo. Soient S| et S, ces
séries, nous aurons

zP zi-

et notre intégrale générale s'écrira

S,

— = con^l.

On

Supposons d'abord que notre point singulier soit un nœud dicritique, l'inté-
grale générale de l'équation pourra s'écrire

=^ = cousl.

s • \

Donc F^ est une fonction de '—■; elle ne changera pas quand on multi-
plie X, et X, par une môme constante A-. Si donc je désigne par Sf et S^ les
groupes de termes homogènes de degré/) dans S, et dans Sj, nous aurons

^S'H-A^Sf-t-A^S?-!-... _ S|^S-f-+-S?-...

*s.j-f-/t2S;j-i-/t3S.»H-... ~ Si-HS^+si-H... ■

Le premier membre doit être indépendant de /r.

8o SUR l'intiîgbation algébrique des équations différentielles du premier ordre.

D'autre part, S|, S;, . . . , S^~' doivent s'anauler ain^i que S',, S^, . . . , S'^~\
tandis que S^' et S^ sont différents de zéro ; et en effet les courbes /+ Co = o
doivent avoir au point considéré un point multiple d'ordre À à tangentes dis-
tinctes.

On aura donc, quel que soit A,

/ _ k'''S)-hk'>-->-^S]+'-h...

ou, en faisant tendre k vers zéro,

f=ȱ.

Ainsi la fr'oclion rationnelle - est le quotient de deux polynômes entiers

homogènes d'ordre 1 en X, et Xo.

Considérons maintenant un nœud monocritique. L'intégrale générale est

alors de la forme

\^,

— i- = consi.

2

Le rapport^ ne doit donc pas changer quand on change X, et X._, en X,/»'

et XjAl*. Soit alors

A\'i"x;j

un terme quelconque de l'une des séries S, ou S..; ce terme se changera en

A X'" X" k"''''^"V- •

je dirai qu'il est de la classe m'j-\-na. Soient alors Sf et S^ l'ensemble des
termes de classe p de S, et de Sj; nous aurons encore

/ _ AS| -t- A-Sj-h. . .
ç ~ kS'i-hk'-S-i-^... ■

Comme la courbe /■+C-j = û doit présenter l branches de courbe de la
forme

passant au point considéré (cf. loc. cit., p. 4-^), les premiers termes, qui ne

s'annuleront pas au numérateur et au dénominateur de la fraction précédente,

seront les termes k'V--'SY'' et /:''^''S''f\ de sorte que nous aurons, quel que

soit /. ,

/_ A:>.tivs;'"'^-H...

SUR l'intégration AI.GÉBRlyliE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 8 1

et en faisant A = o

o g/.[J.v

f

Ainsi la fraction rationnelle - est le quotient de deux polynômes entiers

homogènes d'ordre À en X^J' et X'.

Il reste à exiiiniuer le cas d'un col (jui est un peu plus compliqué.

Si l'intégration algébrique est possible, les séi ies \ , et X., existent certaine-
ment encore; l'intégrale générale devient

\'i \., = consl.

Donc ^ ne change pas (piand on change X, en A'X, et Xj en /.^'^Xj. Un

terme en X'" X" est alors multiplié par !:"'-''-'"-'■ et peut êlre appelé de classe
mv — «|U, seulement il peut y avoir des termes de classe négative.
Soit encore

V kl' sr;

V /,/' s/;

^ ■ -

F.e numérateur, comme le dénominateur, sont développables (pourles valeurs
de A- voisines de i) suivant ies puissances positives ou négatives de /. ; il eu est
de même de

/2/,/'S{,'-9VavS/,'=o.

Cette fonction de A devant être iiicntiqiiement nulle, ne peut l'être (|ue si
tous les coefficients du développement sont nids; on a donc

/ = El
? S{J '

en choisissant /) de telle f.içon que S(' ne soit pas identiqucmi'nt nul. Seule-
ment ici S(' et S;' peuvent contenir une iulinité de termes. Ce ne sont plus des
polynômes, ce sont des séries.

Soient à nouveau M, un n(cud quelconque, /j-i et v, ses entiers caractéris-
tiques, X|, X,' les deux séries X, et Xo correspondantes. Nous pourrons tou-
jours former ces deux séries à partir de l'équation différentielle. Ces deux
séries convergeront dans un certain domaine D, ; soit ensuite A, un domaine
plus étendu que D,; nous pourrons encore définir dans ce domaine ies deux
fonctions X| et X ' par le procc'dé de la continuation analytique.

H P. — 111. ■ Il

/V ^<^3

8-2 SUR l'intégkation algébrique des équations différentielles du premier ohdbe.

Soient Mo un second nœud, jjlo et v.j ses entiers caractéristiques, Xj et Xi; les
deux séries X, et X2 correspondantes; elles convergeront dans un certain
domaine D._, et l'on pourra, par continuation analytique, définir les fonc-
tions X'^ et X- dans un domaine plus étendu Aj.

Supposons que A, et A., aient une partie commune; dans cette partie com-
mune les quatre /onctions X|, X', X',, X-, seront dcliaies et nous devrons
avoir une relation entre

^' = (-xrr. '' ^'=(xf7^-

Dans le cas où l'intégration algéljiique est possible, on vnil quelle est la
forme de celte relation ; la fonction - doit être une fonction rationnelle de Z,

d'une part, de Zj d'autre part.

Il faut donc qu'une fonction ratiimmlle de Z, soit égale à une fonction
rationnelle de Zj.

Soit Xo, )■(], ^u 11» ]>oint de la partie commune à A, et à Aj ; connaissant nos
quatre fonctions X dans cette partie commune, par c(mtiiiuation analytique,
nous saurons développer Z, et 2,., suivant les puissances de x — Xg, y — j'o,
z — :.„. Soient Z" et Z" les valeurs de Z, et Z.j au point x„, j'o, ^oi nous sau-
rons développer Z.j — '/-," suivant les puissances de Z, — Z".

Nous aurons donc la relation cherchée entre Z, et Zo sous une forme où entre
une série infinie, mais cela ne nous permet pas encore de reconnaître si l'on
peut la mettre sous la forme d'une égalité entre deux fonctions rationnelles.

Introduction i/rs fonctions ftichsicnncs. Considérons d'abord un nœud
dicritiquc et supposons que nous.nous donnions : 1" les valeurs remarquables C,,
Cj, . . ., Cy; a" le nomlire À; 3" les nombres >., et les exposants y., relatifs aux
différents facteurs correspondant aux q valeurs remarquables.

Soit Ma l'un des communs multiples des exposants a,- correspondant à la
valeur remarquable Gyt.

Construisons un polygone fuchsien R,, de la première famille et du premier
genre, supposons que nous ayons 29 — 2 sommets répartis en (j cycles. Le
premier cycle comprendra un seul sommet A, ; le second, le troisième, etc., et
l'avant-dernier cycles comprendront chacun deux souimets que j'appellerai A3
et A!,, A;, et A',, ..., A,^ , et A„_|, le dernier cycle comprendra un seul

sommet A^. La somme des angles du /.'*"'° cycle sera ~ et il y aura une fonc-

SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premirii ordre. 83

tion fuchsienne qui sera égale à Ca au point A/t. Soit F(Ç) cette fonction fuch-

/

/ •

sienne, égalons-la à — - et écrivons

f . ...

Nous avons vu plus li;iut (jue - devait être une lonclioii rationnelle du rup-

port -^ que j'appellerai Z; nous aurons donc .

F(Ç)=R(Z),

R désignant une fonction rationnelle. Je dis que Z sera une fonction uniforme
de Ç.

Si, en effet, F(Ç) décrit un contour fermé, plusieurs valeurs de Z ne pourront
s'échanger que si ce contour contienl l'un des points C/i, et si l'on tourne
auloui- d'un point Ca et que a^, y.'l, . . ., y.*^ soient les exposants correspon-
dants, nous verrons s'échanger, par permutation circulaire, d'une part,
).^ groupes de ct-l valeurs; d'autre part, ')'l groupes de a'I valeurs, etc.

Si Ç décrit un contour fermé, il faut d'abord que ce contour enveloppe un
des sommets de Ro, pour que F(Ç) tourne aLilour d'un des points Ca- Si Ç
tourne autour d'un sommet, F(Ç) tourne Ma fois autour de Ca, et comme Ma
est multiple de tous les exposants y.[. Z revient à la même valeur.

Donc Z est fonction uniforme de ï^. c. q. f. n.

Or Z, pour une même valeur de F(Ç), peut prendre >. valeurs. Considérons
donc A polygones fuchsiens congruents à R„, que j'appellerai

K „ , I ! I , .... 1 ! / - 1 .

L'ensemble de ces polygones constituera un polygone fuchsien So- Ce poly-
gone So, en associant convenablement ses côtés en paires de côtés conjugués,
L'ngendrera un groupe fuchsien dont les substitutions n'altéreront pas Z.

Donc Z est fonciion fuchsienne de t.

La surface du polygone Ro (au point de vue de la géométrie non euclidienne)
sera

en prenant pour unité celle du (piadrilatère dont les quatre angles sont nuls.
Celle de S,, devra donc être

84 SUR l'intégration algébrique des ÉOUATIONS DIFFÉREfiTIEFXES DU PREMIER ORDRE.

D'autre pari, le nombre des cycles de ^onimets de Sq sera en général

Ce nombre pourrait se réduire si la somme des angles relatifs à un de ces
cycles était égale à 27:; on pourrait alors assembler les polygones Ra de façon à
faire disparaître ce cycle. Mais cette somme d'angles est égale à

„ "'■

Ml:

oci et Ma étant les nombres a, et Ma lorrespomlanl au cycle envisagé. Mais
comme Ma est un commun multiple (/itc/conijiie des jî,-, je jiourrai toujours
supposer Ma > y.,.

Nous pouvons donc toujours supposer que le nombre des cycles de Sq est
précisément i"/.,.

Quel est le nombre des côtés? Le polygone R^ ,1 2 (y — 2 côtés; quand on y
annexe R,, on a en tout 2( zq — 2) côtés. Mais comme R,, a un côté commun
avec R| et que celte paire de côtés disparaît, il reste pour Ir polygone Ro+ R|

un nombie de C(Més égal à

li 2<y — > ) — -À .

Annexons encore Rj, nous ajoutons y.q — 2 côtés; mais Rj a au moins un
côté commun a\ec Ro+ R|, cela lait une paire de côtés à supprimer et il reste

'S{9.C/ — -l) — 2.2

côtés pour le polygone R,, + R, -|- \\.j. Ce nomlirc doit èlrc diminué si R., a plus
d'un côté commun avec R,, -)- R| .
En général S,, aura

/.(■>(/ — ■>) ■! X + 2

côtés, si R, n'a rpi'nn côté commun avec R,, + R, + . . . + R,_(.
Dans le cas contraire ce nombre déviait être diminué.
En général le nombre des côtés sera

À {/q — i } — -AA-i- ■> — 1/1,

h étant un entier positif on nul.

D'après une formule que j'ai ilonnée dans les Acla macfiematica, tome 1 ('),

on a, si 2/! est le nombre des côtés, (/ le nombre des cycles, p le genre du

polygone fuchsien

« -h I — g
^= ^— •

(') Œuvres, t. II, p. l'iy.

SUR l'iNIÉGRATION ALGÉRRIQUE des KQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 85

Nous aurons donc ici

OU

9./)

A=X(y-2)-f-2-2x,.

Oi' nous avons trouvé plus haut

^ X, = /.(«; — 2) + 2.
On a donc

ip T- /i = o.

Or It'S nombres p et /( sont positifs ou nuls; on a dune

/l = 11, Il = o.

Ainsi le senre du polygone fucltsicn S,, est nul et le nombre de ses côtés

est 2). ((7 — 2)+2.

Il faudrait rechercher maintenant comment sont assemblés les divers poly-
gones partiels R^ dont l'ensemble compose So, et comment les côtés de So sont
conjugués deux à deux.

Je désignerai par A,,/, et A) ^ les sommets du polygone Ra qui sont homo-
logues aux sommets A, = A/_„ et A|= A, „ du polygone Ro-

Considérons alors le côté A, ^/, A!, ^, ou i)ien il coïncidera avec un côté Ai^/jAj^^
du polygone R^, les deux polygones R^ et R/i ayant un côté commun, ou bien
ce sera un côté de So, mais alors il sera conjugué d'un autre côté A,,,^A3_a
de S„.

Dans l'un et l'autre cas, je dirai que l'indice h eslle conséquent de l'indice ^,
et l'indice A Vuntècèdcnt de l'indice //. Chacun de nos ). indices aura ainsi un
conséquent et un antéci'ilent.

Consiriérons alors la substitution T, qui change chacun de ces indices en son
conséquent. C'est une substitution de À lettres, et si

sont les nonibix's y^, et À/ relatifs à la valeur remarquable C). les À lettres se
répartiront en ?i[ groupes de y.\ lellres, . . ., en /.', groupes de y.\ lettres, . . .,
et la substitution T| permutera circulairement les lettres de chaque groupe.

Considérous niainlenant le côté A!,^A,,^, il coïncidera avec un côlé Ao^Aj/,
de Ra, ou bien il sera un côté de So et sera conjugué du côté A.j/jA,/,.

86 SUR l'intégration ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Dans les deux cas, défiiiissanl les conséquents à un nouveau point de vue, je
dirai que h est le conséquent de k.

J'appellerai T, la substitution de ). lettres qui change chaque indice en son
conséqucnl.

On définirait de même les substitutions T3. T,, . . . , T,, , qui correspondent
aux côtés A|,A'|, A',A^, . . ., A|^_, Aj^ de la même façon que T, et To corres-
pondent aux cotés A| A'3 et Aj, A!,.

Les q — I substitutions T^ devront satisfaire à certaines conditions. Nous
avons déjà vu quelles sont celles que doit remplir T, et comment les lettres
doivent se répartir en groupes tels que T, permute circulairement les lettres
d'un même groupe.

Soient mainienant

U, x|, .... xi;,

les nombres a,: et }., relatifs à la valeur C*.

On pourra répartir les X indices en groupes tels que la substitution Ta , T^'
permute circulairement les lettres d un même groupe.

Nous devrons avoir >.^ groupes de y.], lettres, ).| groupes de c-l lettres, . . . ,
).f groupes de zj lettres (X' = 2, 3, . . . , q — i).

Soient endn

3t^, a^, a^,

^^qy '•(/> .... /.^

les nombres a, et ), relatifs à la \aleur C,.

Les }. indices pourront se répartir en groupes tels que T^ 1 permute circu-
lairement les lettres d'un même groupe.

Nous devons avoir >,' groupes de a' lettres, . . . , /.^ grouj)es de c.^ lettres.

Une question se pose alors. Existe-t-il des substitutions T satisfaisant à toutes
ces conditions? et par conséquent existe-t-il un polygone So?

Nous avons vu i)lus haut que - devait être une fonction rationnelle de Z = ^

./•_. I'(X„X,)
?-Q(X„X,)'

P et Q étant deux polynômes homogènes d'ordre )..

Soient C/r une valeur remarquable quelconque, Aa et Ba deux constantes telles
que Ba^ AaGa. Alors le polynôme

SUR l'intégration ALGÉRRIQl'E DES KQIIATIONS DIFFKBENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 87

devra se décomposer en fadeurs, et l'on aura

(I) A,P-hBxQ = U^ki5...U^Î,

{]/, étant un polynôme d'onli-e X^'.

La question proposée revient alors à la suivante. Peut-on toujours trouver
des polynômes P et () saliNfiiisant aux conditions (i)?

Nous disposons des indéterminées suivantes :

1° Les 2>, 4- -î coefficients des polynômes P et Q.

2° Les q constantes A*, d'où l'on déduit les q constantes B/, par les équa-
tions Ba= AaCa, li's C/t sont supposés donnés.
3° Les i(>,iH- i) coefficients des facteurs U.

D'autre part, noiis avons à satisfaire aux conditions {\) qui sont des identités
entre deux polynômes d'ordre ) .

Chacune d'elles correspond donc à >. + i conditions, cela fait donc en tout
q('k-\- i) conditions.

Si donc nous appelons N le nombre total des facteurs U;, de telle sorte que

"V (/.,-<- I) =V à,-hN,

nous avons

!\ -t- 2 X -I- 2 -I- 9 H-V ).,

paramètres qui doivent satisfaiie à q(l + i) conditions ; il nous reste donc

N -H 2 X -I- 2 + (7 -t-^l '-' — <7 ( >- + i)

paramètres arbitraires. Or, en vertu des équations

ql =2^ a,X,, 2/. — N^ (^i— i)Xi= 2,

ce nombre se réduit à 4 + N.

Remarquons que les équations (i) sont homogènes si l'on y regarde :

i" Les coefficients de P et Q comme étant d'ordre ). ;

2" Les constantes A/, comme étant d'ordre 7;

3° Les coefficients d'un fncteui- D, de degié}., comme étant d'ordre 2>,,.

En effet, il est aisé de vérifier qu'en adoptant cette convention les deux
membres de (i) sont homogènes d'ordre 2)..

Mais il y a plus, ces équations (i) sont doublement homogènes, je veux dire

8S SUR l'intégration ALGÉBRlQliE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

que, si 1 et r) désignent deux indéterminées, elles ne changent pas quand on
change

{■>■) A*, P, Q, U,

en

(3) \ki'. F'ï;'. Or/-. U,Ç'.V--

Adjoignons aux équations (i) d'autres relations en nombre N + 2 entre nos
inconnues; je suppose que ces nouvelles relations présentent la même homogé-
néité double que les équations (1). c'est-à-dire ne changent pas quand les
quantités (2) se changent dans les quantités (3).

Nous avons alors N + 2 -j- q{l, -\- 1) équations homogènes; le nombre total
des inconnues est N + 4 + 7(^ ■+ 1) > mais ces équations étant doublement
homogènes sont en réalité des équations entre les rapports des coefficients

des A;[P et des A/rQ élevés à la puissance y et des coefficients des U, élevés à la

puissance r-- Le nombre de ces rappoils réellement distincts est seulement

■ iS -!-■.>. -h 7(5. + I).

Nous avons donc autant d'équations (jiie d'inconnues et, comme des équations
homogènes ne sont jamais impossibli's, nous pourrons tiiiiJDurs en tirer nos
inconnues.

Ainsi si les é(jualions (1) sou! distinctes, les rapports de nos inconnues
dépendront de N -|- 2 paramètres arljitraires et nos inconnues elles-mêmes de
N + 4 paramètres.

Si les équations (1) n'étaient pas distinctes, les inconnues dépendraient de
plus de N -4- 4 paramètres.

Il semble donc que notre prolilème comporte toujours une infinité de solu-
tions. Mais il importe d'observer que ces solutions ne sont [las réellement dis-
tinctes.

En effet, si dans les polynômes P, (^ et U, on remplace \ , et X., par

aXi^fiX, et Y\,-(-i5X,,

les équations (1) ne cesseront pas d'être satisfaites. Or cette transformation
dépend de (|iialix' paramètres x. (3, y, ô. Donc voilà une quadruple infinité de
solutions cjui ne diffèrent pas essentiellement les unes des autres.
D'autre part, l'équation (i) ne change pas si l'on j change

L'i, U,, Uk, -V*

SIR L INTEGRATION ALGEBRK)l E DES EQLATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 89

en

,a,U|, IJ.-.U,, l^ikLiK, A/-a*'|x*'- . . . ix^"--.

Voilà une transformation qui dépend des K paramètres jx. Comme nous pou-
vons opérer de même sur nos q équations (i), cela nous fait autant de para-
mètres pi que de facteurs U, c'est-à-dire N. En tenant compte de a, [3, y, i5, cela
fait une transformation dépendant de N -+- 4 paramétres.

Nous aurons donc une (N -i- 4)"''''' infinité de solutions qui ne différeront pas
essentiellement les unes des autres.

Si donc les équations (i) sont distinctes, le problème ne comportera qu'un
nombre fini de solutions essentiellement différentes.

Maintenant, les équations (i) sont-elles distinctes? La considération des
fonctiiins fuchsiennrs permet de l'affirmer.

Si. en effi-t. les valeurs n-marquables C* sont données, on pourra construire
d'une seule manière le polygone fuchsien Ro ; on pourra ensuite assembler
d'un nombre fini de manières / polygones

Ro, H, R),_,

pour former le polygone S„.

C'est parmi les polygones S,, ainsi formés, en nombre fini, qu'il faut choisir
ceux qui conviennent à la question. Les considérations qui précèdent montrent
qu'il y en aura toujours, mais il ne peut y en avoir qu'un nombre fini.

En résumé, si l'on se donne les valeurs remarquables Ca, si l'on se donne les
entiers À et }., assujettis seulemeni aux conditions

À = SaiX„ u/.—^(aj — !)>.,= 2,

lin |iiMiria toujours formi-i- 1p> pulynones P et Q et le polygone Sq et l'on ne
pourra le taire que d'un immbre fini de manières.

Extension aux nœuds monorriliques. — Considérons un nœud monocri-
tique; soient X, et X._, les deux'séries correspondantes, et soit

Nous avons vu plus haut que — - est une fonction rationnelle de Z dont le
numérateur et le dénominateur sont d'ordre ).

-■{=R(Z).

H. P, — III. 12

go SUR l'intégration algébrique des équations DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Soit C/, une valeur remarquable ; lorsque tournera autour de C«, les

l valeurs de Z tirées de l'équation qui précède s'échangeront entre elles. Soit u,
un facteur de /-(- C^o, soient )., et a, les deux nombres correspondants. Si ce
facteur n'est pas singulier, nous aurons >., groupes de 'a, valeurs de Z, et les

valeurs de chacun de ces groupes s'échangeront circulairement quand — ^

tournera autour de Ca.

Si le fadeur est critique, a, est divisible par /jl, nous avons alors >., — i groupes

de Cf., valeurs de Z et un groupe de - valeurs qui s'échangent circulairement.

Si le facteur est hjpereritique, a, est divisible parv et nous avons >,, — i groupes
de a, valeurs et un groupe de — valeurs qui s'échangent circulairement.

Si enfin le facteur est doublement singulier, o., est divisible par p.v et nous
avons >., — 2 groupes de a, valeurs, un groupe de — valeurs et un groupe de
— valeurs qui s'échangent circulairement.

Formons encore le polygone Ro et formons la fonction fuchsienne F(Ç).

Posons

F(:) = R(Z).

z sera encore une fonction fuchsienne de J.

Le polygone S» correspondant sera formé de À polygones partiels

R„, R,, ..., R,_,.

Le nombri' des cycles de sommets est encore 2),,.
Celui des côtés sera

/. (j.q — -1) — 2 À -I- 2 — J. Il ,
h étant positif ou nul. On en déduit, /) étant le genre de S»,

Revenons aux formules qui, dans la première partie de ce travail, remplissent
les lignes 6 à i a de la page 45. Pour chaque nœud monocritique, nous aurons
q de ces formules, correspondant aux q valeurs remarquables; additionnons-les
il viendra

SUR l'intégration algébrique des équations différkntielles du premier ordre. 91
Nous avons trouvé d'autre pari (p. 4'^)i formule (ô),

on tire de là

/.( 7 — 2)-(- 2 = 2_,'>-h

d'où

2/) -f- A = n,

et comme /J et h ne peuvent être négatifs

/) = A = o.

On définirait comme piérédemmenl les substitutions

11, T;, .... I .y—i.

et pour chacune des substitutions

T,, T.Tt', T.T^i, .... T^T^l,, T,

nous savons comment les ). indices se répartissent en groupes de lettres se per-
mutant circulairement. Chacun de ces groupes correspondra d'ailleurs à un
cycle de sommets du polygone S,,.

Pourra-t-on toujours former un polygone So satisfaisant à toutes ces cain-
ditions?

Nous aurons encore

P et Q étant deux polynômes homogènes d'ordre ),.
Nous aurons encore

Cependant, si le facteur U, par exemple, était critique, il faudrait dans le
second membre de (1) remplacer U*' par

U'i étant un polynôme homogène d'ordre 11 — i. S'il était hypercritique, il
faudrait remplacer U*' par

92 SUR l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre.
et s'il élait doublement siiigulier, il faudrait remplacer U^J par

U'i étant un polynôme homogène d'ordre 11 — 2.
De combien d'indéterminées disposons-nous?

1° Des 2/, -)- 2 coeflicients de P et de Q ;

2" Des çf constantes A;;;

3" Des coeflicients des polynômes U, et l]].

Ces coefficients sont au nombre de )i,+ 1 pour un polynôme U,, de Ij pour
un polynôme U)- simplement singulier, de )i, — i pour un polynôme U; double-
ment singulier.

Le nombre total est doue

^ ( À, -I- 1 ) — -2 =^ Ai H- N — -2,

en appelaut N le nombre total des fartcurs.
Nous avons donc en tout

N -i- 2 X H- 7 +^ X,

indéterminées.

D'autre pari, nous avons (j équations (1) qui équivalent à ^(}. + 1) condi-
liou^, de sfute qu'il reste

N + 2). — 5FÀ -t-V Xi

paramètres arbitraires.
En vertu de l'équalioii

2X,= (7 — 2)X -f-2,

ce nombre se réduit à N -|- 2.

Si donc les équations [i ) sont distinctes, le problème comporte une
(N 4- 2)"P'" iulinilé de solutions.

Mais d'une solution on peut en déduire une (N -f- 2)"'"'" infinité d'autres. On
peut, en elVet, sans cesser de satisfaire aux équations (i) :

1° Changer
en

Xlf et X^

■.\^ et ?\l;

SUR l'intégration ALGÉBBIQIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DL' PR'eMIEK ORDRE. QJ

2° Changer

U,, U,, ..., Uk, ^l:
en

;ji,U,, |X,U, >kUk. A^fif'lJ.^' . . .a»j.

Nous n'avons donc qu'un nombre fini de solutions essentiellemenl distinctes.
Nous en aurions un nombre infini si les équations (i) n'étaient pas distinctes,
mais cela ne se peut pas, puisqu'on ne peut assembler les polygones

Ro- Ri R"a— 1

que d'un nombre fini de manières.

Nou'; arrivons donc à la même conclusion qui/ plus linut : // r a toujours
des polygones S„ et il li v en <i jumais (ju'un iionihre Jiiti.

Le polygone Vq. — Nous venons de vnir comment on pourrait construire le
polygone fuchsien Ro, ft comment il r\islail un |ioljgone So correspondant à
chacun des nœuds t;uil die liliqucs que mmiôcriliques.

Soit G le groupe fuclisien engendré par R„ ; soit g le groupe fuchsien
engendré par Su. Le groupe g sera un sous-groupe de (î. C'est un sous-groupe
« d'indice /. », puisque la surface (mm euclidienne) de .Su est égale à À fois celle
de Ro.

A chacun des nœuds correspondiM ;lin^i un sous-groupe g. Soit F le groupe
formé des substitutions communes à tous les sous-groupes g.

Je dis que F sera un groupe fuchsien, c'est-à-dire que F sera un sous-groupe
d'indice fini de G.

Nous avons posé plu^ fi^iul

•^ = -F(:)

et nous avons vu que F(Ç) devait être une fonction rationnelle de

Z
dans le cas d'un nœud dicrllique et de

X,

- rxry

dans le cas d'un nœud monocrilique.

Soit alors A" le nombre des nœuds et soient

Z,, Z., ..., Z/-
les diverses fonctions Z relatives à ces divers nœuds.

g\ SUR l'iNTKGRATION At.GÉBRIQUK DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

Tous les Z, seront fonctions fuchsiennes de Ç; et F(Ç) sera fonction ration-
nelle de chacun des Z,-.

A chaque valeur de F(Ç) correspondra par conséquent un nombre fini de
valeurs de Z,, un nombre fini de valeurs de Z.j, . . . , un nombre fini de valeurs
de Z*.

A chaque valeur de F(Ç) (ou, ce qui revient au même, à chaque point du
polygone Ru), correspondra donc un nombre fini de systèmes de valeurs des Z,.
Soit A ce nombre fini. Soient alors R,, R-.,, . . . les différents polygones fuch-
siens congruents à R». Soit Mo un point de R,, ; soient M,, Mo, ... les points
correspondants de R| , Rj, ....

A chacun des points M, correspondra un système de valeurs des Z,. Soient
alors
(5) M... M, Ma-,

À points M, correspondant à A systèmes différents de valeurs de Z. Alors si l'on
considère un autre point M,, ce point correspondra au même système de valeurs
que l'un des points (5), puisque le nombre total des systèmes de valeurs est égal
à A.

Nous dirons que deux points M, sont équivalents s'ils correspondent à un
même système de valeurs des Z, et que deux polygones R, sont équivalents si
les points M, correspondants sont équivalents.

Les substitutions du groupe T sont alors précisément celles qui changent les
polygones R, en des polygones équivalents.

On voit que F est un sous-groupe de G d'indice A.

Le polygone Vu, qui engendrera F, se composera de l'agrégation de A poly-
gones R, Pt sa surface (non euclidienne) mtb \ fois celle de Ro-

Deux hypothèses sont possibles :

Ou bien le polygone Vu est de genre zéro, alors il existe une fonction fuch-
sienne t, telle i|ue tous les Z, et - soient des fondions nilioiinelles de ;.

Ou bien le polygone Vu sera de genre plus graml (pic zéro, et il y iiura deux
fonctions ç et n, liées par une relation algébrique et telles que les Z, et - soient
fonctions rationnelles de ; et de rj.

Paris, le 7 mai 1897.

SUH

LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

A INTÉGRALES ALGÉBRIQUES (' ).

Comptes rendus de rAccidémie des Sciences, l. 92, p. 698-701 (ai mars 1S81).

Pour rechercher quelles sont les équations différenlielles linéaires dont
toutes les intégrales sont algébriques, il l'aul d'abord déterminer les groupes
de substitutions linéaires qui ne se composent que d'un nombre fini de substi-
tutions. Dans un travail inséré dans les Mémoires Je V Académie de Naples,
M. Joi'dan donne une méthode générale pour résoudre ce problème, et il
applique sa méthode aux équations des quatre premiers ordres. Connaissant
ces groupes de substitutions linéaires en nombre fini, il faut ensuite former les
équations différenlielles correspondantes. M. Jordan insiste peu sur ce point.
Je désirerais attirer l'attention sur quelques propriétés de ces équations.

Bornons-nous au troisième ordre, pour fixer les idées. Envisageons l'un des
groupes découverts par M. Jordan; su[)posons que ce groupe G soit composé
de li opérations, qui consistent à changer respectivement x, >', z en

ai J- + bif H- Ci s,
a'i X -i- h'iy -+- c'i z,
d'iX -r- b",y -+- c"i z
((■ = I, •.>,.. ., n).

Posons

l'(?.^)=-.^"&tl-' ".(^V) =

Soient A„ B„ C„ A], B; , C) , A;', BJ, C;' des quantités proportionnelles à

( ' I Vuir aux Notes.

96 SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRKS A INTKGRALES ALGÉBRIQUES.

a,, bj, Ci, a'-, b\ , cj , a], b], c] et telles que leur délerminant soil égal à 1 ;

A, B, C,

a; b; c;

Soient

.i,=V h/'a,^ + b,t, + c,- a; g + b; -q -4- c-

''^ .Ld \ Ai'f + B/ T, + c- ' A';ç + Bjï) + c;-
'=1

=51".

A/ 1 -I- B/ T) -!-c,- a;- e -I- b; ■r\ + c;

, A;'? + BrT|-(-0? A:?^-B;ri^C;'

11 est clair que x et y sont des fondions rationnelles de > et de 0 qui ne
changent pas quand on change E et rj en

A,g-t-B,-7i + C.,-
A"? + B/-fi + C.;'

Aig + Bl-rj-Kj;

A;'Ç-t-B"ï) + ci'

et que toute fonclion rationnelle de £ el de /; (|ui ne change pas quand on
change t el r) en ï, el vi, sera une fonclion rationnelle de x el de r.

Si D est le délerniinant fonclionnel de ./• et de 1' par rapport à ; et à rj, les
trois fonctions

rv'L»,

z, = r, ■{ U,

3: = D

se changeront respeclivemenl en

A,- j, -H B,S5+ Gtz-i,
A/3| -f- BjS,-;- C,-3:i,
A, S] -^ ï^i z^-\- C/ S3

quand ï el r; se changeront en ç, et rj, ( ' ).
Posons, pour abréger,

///;,H

le déterminant

(■/.(■'"■ ^/)-'

D

/Hj/J,-*! '-^ '"]/';

D„

D„

ne changera pas quand on cliangera c, et r; en t, et rj,, et sera par conséquent
une fonction rationnelle de x el de j'.

(') Cela résulte île l'invariance de x el y par le cliangement de \, f, en ;,. T;, et de l'expres-

d(E„T,,)_ ■

sion du déterminant fonclionnel

o(\,t,) (a';;^-b';t, -t-c^)-'

(J. D.)

StR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINKAIRES A INTEGRALES ALGÉBRIQUES. 97

Il en résulte que

Z = 3,.

sont trois intégrales particulières d'une infinité d'équations aux différences
partielles à coefficienls rationnels. Ces équations s'écrivent

(U

r->,„,/,,S; t»,«,/-,S:.

D„

/?ji, />|, m.!, yOa, tïii, />3, «il, /^ sont des entiers positifs quelconques; il est
clair que les coefficients des dillerentes dérivées partielles de j sont rationnels
en X et en )•. Si l'on fait, en particulier, dans l'équation (i)

elle prendra la forme

//il = II.

/), = 0.

///; = 1 .

/'■; = "■

'"3 = i-

Pi = 0.

l>l;= ■{.

p., = 0,

B:,

dx-'

d'z

dz
d.t

BoZ = o.

Les B seront des polynômes entiers en x et y. Si l'on dmine à )• une valeur
constante quelconque, on obtiendra une équation linéaire du troisième ordre,
dont tous les coefficients seront rationnels et dont les intégrales seront les
fonctions algébriques ;,. z-,. :^.

Conséquence. — A chacun des groupes définis par M. Jordan, corres-
pondent une infinité d'é(|ualions linéaires du troisième ordre. Dans chacune de
ces équations, les coefficienls sont rationnels par rapport à la variable indépen-
dante X et à un paramétre arbitraire y. Si l'on considère les trois intégrales
Ci, ^2 et z-3 de cette équation comme fonctions de x et de y, ce seront des
fonctions algébriques de ces variables, et elles satisferont non seulement à
l'équation proposée, mais à une infinité d'équations aux dérivées partielles à
coefficients rationnels, à savoir les équations (i).

Je ne me suis restreint au troisième ordre que pour fixer les idées; les
résultats sont vrais pour tous les ordres.

H. P.

m.

i3

SUR

L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

PAR

LE MOYEN DES FONCTIONS ABELIENNES.

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 92, p. 913-913 (11 avril 1S81).

Soient F{1, r,), F, (ç, /, ) deux fonctions abéliennes quelconques. Posons
.r = F, 7= F,.

3/JF dF, dF, clF
' = Y de -d7;~ df'^,' -^-5-" ^3-13,;

l'équation linéaire

dz dzt dzi dzi

dx dx dx dx

d'-z d'-z, d'-Zj d'- z '

dx'- dx'- dx'- dx'-

d^z d^ z, d'Z, d'Zi

dx' dx'' dx- dx-

qui a pour intégrales

2, ^ — «3,

a pour coetTicients des fonctions abéliennes de ; et de rj, et par conséquent des
fonctions algébriques de x et de y.
Posons maintenant

''~ Y d\ d\ d\

^ = X/|. t3 = \li, Ç = «log\. r, = tloj,'Y.

rfF

d'où

tt=ZtlaOe ■■"' •!'. t,= Zilabe-" ^», /3=3, J«ie ■"" ■"';

SUR l'intégration des équations liné\ihes par le moyen des fonctions ABÉLIENNES. 99
l'équation linéaire

(■'-)

;

/.

l-i

t.

clz

df,

dl.

dl.

dû-

d.,-

dx

dx

ci'- z

d'-U

d'-l-,

d'-U

dx'-

dj--

dx'-

dx-

d-'z

d-U,

dH,.

dH-i

dx- dx' dx- dx-

cjui a pour intégrales

= t.:^

a ses coefficients algébriques en x et en }'.

Les fonctions abéliennes F et F, permettent donc d'intégrer une infinité
d'équations différentielles linéaires du troisième ordre à coefficients algébriques,
car l'équation (i) contient un paramètre arbitraire y et l'équatinn (2) eu
contient trois, a, b t\ y.

On pourrait se proposer de former toutes les équations à coefficients
rationnels qui peuvent s'intégrer par ce procédé, mais ce problème nous
entraînerait bien loin: je nie bornerai donc à former les groupes de ces
équations. Voici ce que j'entends par là.

Le groupe de l'équation proposée sera le groupe des substitutions linéaires
que subissent les intégrales quand x décrit un contour quelconque, et celles de
ces transformations qui correspondent à un contour infiniment petit décrit
autour d'un point singulier formeront la base du groupe. On arrive ainsi aux
résultats suivants :

Premier cas, équation (1). — Soient «,, u <. «3 les trois intégrales, et,
supposons qu'on ait convenablement choisi u.^: les opérations qui formeront la
base du groupe G cherché seront de la forme

(î/j, u-,, iij. yLiiii -^ [ifUn^- •;iUz. a- m,

T;":i. i'i"->)-

S'il

V a /i points singuliers, on donnera à / successivement les valeurs
1 . 2, . . ., n.
Le groupe g^ dérivé des opérations

sera d'ordre fini. Si, en combinant d'une certaine manière les opérations du
groupe g, on obtient l'opération dite unité,

100 SUR L INTEGRATION DES EQUATIONS LINEAIRES PAR LE MOYEN DES FONCTIONS ABELIENNES.

en combinant de la même manière les opérations de G on obtiendra la

substitution

(«,, II,, iij. ii, — ri,u3. ((,+ ri(/;i. T'iUj).

Le système des quantités

devra satisfaire à des conditions telles qu'elles représentent un système de
périodes d'une certaine fonction abélienne. Telles sont les conditions auxquelles
sont assujettis les groupes des équations (i), quand les coefficients de ces
équations sont rationnels.

Second cas, équation (2). — Les opérations qui servent de base au
groupe G cherché sont de la forme

( H|. Il-,, llj. -J-îtl,. 'j/ï^i. -j', II, ).

et les a,, ,5, et ■/, sont des quantités telles, que l'on puisse trouver deux
nombres a et b de telle sorte que le système des nombres

a los

i-,

0,

0,

y / -

puisse représenter un système de périodes d'une certaine fonction abélienne.
Il va sans dire que, si, au lieu d'envisager des fonctions abéliennes de deux
variables, on avait considéré des fonctions de p variables, on aurait intégré une
infinité d'équations du {p -\~ i )''°'' ordre à coeflicients algébriques.

SUR L'IiN'TÉGRATIO.N ALGÉBRIQUE

ÉOUiTIONS LINÉAIRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 97, p. gS '1-985 (5 novembre i883).

M. .lordan, dans le Journal de Crelle {Bâ 8i) et dans les Mcmoires de
r'Académie de A'aples, a montré comment on peut former les groupes d'ordre
fini contenus dans le groupe linéaire. 11 resterait à faire voir qu'à l'aide de
tout groupe liai on peut former une équation linéaire à coefficients ration-
nels et à intégrales algébriques. J'ai cherché à démontrer ce théorème dans
une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie au mois d'avril 1881 ;
mais cette Note contient une faute de calcul qui en rend les résultats erronés;
je prie donc l'Académie de vouloir bien la tenir pour non avenue jusqu'à ce que
j'aie rectifié l'erreur qui y est contenue ('). Depuis, j'ai réussi à prouver qu'à
tout groupe fini Y on peut faire correspondre d"une infinité de manières un
groupe fuchsien G auquel F est mériédriquement isomorphe, qu'à ces deux
groupes correspond toujours untî équation linéaire à intégrales algébriques et
que, si l'on pose x =/{z), f{z) étant une fonction fuchsienne engendrée par
le groupe G, les intégrales de cette équation sont des fonctions fuchsiennes
engendrées par un sous-groupe g de G. Ainsi à un groupe d'ordre fini
correspond, non pas ane, mais une infinité d'équations à intégrales algé-
briques dont on peut même choisir arbitrairement les points singuliers.

Les fonctions fuchsiennes engendrées par g sont des fonctions rationnelles
de X et de y, x el y étant liés par la relation algébrique
(i) 0 ('./■. y) = o.

(') Voir aux .Votes.

102 SUR L INTÉGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES.

dont le degré en y est m et dont le genre est p. Si •/ est le groupe de cette
équation algébrique, il est itnc seule fois transitif. Quant au genre /j, il satis-
fait à la relation

( 1 ) ip ■

n et les y. étant des entiers plus grands que i ; ce qui montre que tous les sous-
groupes g de genre/? rentrent dans un nombre fini de types.

Il y a aussi un théorème concernant les intégrales abcliennes de première
espèce, engendrées par l'équation (i), et qui tient à ce que le groupe de cette
équation est une seule fois transitif.

On peut choisir un système fondanietUal de p intégrales de première
espèce, de telle façon que leurs périodes normales soient des combinaisons
linéaires à coefficients entiers des périodes normales de Vune d'entre elles.

Cela posé, voici la condilion nécessaire cl suffisante pour qu'il existe une
fonction F {x, y), rationnelle en ,r et en )• et satisfaisant à une équation
linéaire d ordre h . Il faul qu'on puisse lrou\er m quantités

«1, (Il "m

telles que. si l'on permule rcs m lettres d'après les m substitutions du groupe y
et qii'on forme avec ces m permutations un déterminant A, tous les mineurs
d'ordre {m — / — i) soient nuls à la fois.

J'ai fait voir (pie, si cela a lieu, ces quantités ai, «j, ..., eim sont certaines
périodes do certaines intégrales de première espèce convenablement choisies.
Ainsi la condition pour qu'il y ait une fonction F {x,r) qui satisfasse à une
équation d'ordre / , c'est qu'il y ait certaines relations enlie les périodes de ces
intégrales de première espèce. Cette condilion est toujours remplie pour A^p,
car il suffit d'appliquer une remarque de M. Klein pour voir que la dérivée
d'une intégrale de première espèce formée à l'aide de la rel;ition (i) satisfait
toujours à une équation linéaire d'ordre p à coefficienls rationnels. Dans une
prochaine Communication, j'indiquerai, si l'Académie veul bien le permettre,
quels rapports ont ces relations entre les périodes avec la réduction des inté-
grales abéliennes qui a fait l'objet des rcmarcpialiles travaux de M. Picard.

SLR L'INTÉGRATION ALGÉBRIOL'E

ÉQUATIONS LINÉAIRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 07, p. iiSp-nqi (-/fi novembre i883)

Lorsqu'il y a, entre la variable et l'intégrale générale d'une équation linéaire
à coefficients rationnels, une relation algébrique, et que l'on forme à l'aide de
celte relation des intégrales abéliennes de première espèce, les périodes de ces
intégrales satisfont à certaines équations algébriques. On peut se demander si
ces équations suffisent pour déterminer complètement ces périodes.

Sans aborder ce problème, très général et sans doute très compliqué, j'ai
voulu étudier en particulier un exemple simple, et j'ai choisi la résolvante de
Galois de l'équation modulaire que l'on rencontre dans la transformation du
septième ordre des fonctions elliptiques (degré i68, genre 3). M. Klein a
étudié à fond cette résolvante et il a fait voir que, si l'on forme les intégrales de
première espèce correspondantes, leurs dérivées satisfont à une équation
linéaire du troisième ordre.

J'ai choisi sept périodes, que j'appelle £i, £21 ï.ij ^u s^, ?6, £7 et entre
lesquelles on a la relation suivante :

(0 :, -t- £,-4- 33-1- •.,— £5-4- £,;-4- £7= "•

Si l'on considère deux intégrales de première espèce et qu'on accentue les
périodes de la seconde intégrale, on aura

(2) £2£'| £|,£i+£:, £| £'3£|-^£j£'| £5£|-i-£|;£| £„£, £,■,£. j

'6 -

£!;£!;■

Nous pourrons choisir une intégrale de première espèce, de telle sorte que

lOJ SUR l'intégration ALGÉBRIOIE DES EQUATIONS LINEAIRES.

et alors nous poserons

On peut former par divers procédés un grand nombre de relations entre ces
périodes; mais trois seulement sont distinctes, à savoir

j-ix-i-y— z)=y.

j-'-i-ijry -\- y- — ys = z.

y' -+- yz -T- == -*- .r -+- a^v — ; -I- I = o.

Ces trois équations admettent les huit solutions suivantes

./: = -."•. y = z'""-h -^"'—\. z = -.'"" — -'" — i,

où

■î- . . 1- ., , .

- = cos 1- i sin -^ ) «( = I. '. ). 1. 1, n.

Les huit solutions conviennent et correspondent à huit systèmes de périodes
différentes, satisfaisant aux condilinns (i) et ( <).

Il existe aussi une intégrale de pretnièro espèce dont les périodes- sont
simplement

Considérons en particulier l'intégrale (/,, dont les sept périodes sont
I, o, I). 1. T, — 1. — T — 1.

Elle n'a que deux périodes distinctes, i et T; les procédés de M. Picard per-
mettent donc de la ramener aux intégrales elliptiques. Mais on démontre que
l'on peut trouver six intégrales

«!■ ",1- "i- "j: "r,! "7

dont les sept périodes sont les mêmes que relies de m,, sauf que ces dernières
ont subi une permutation circulaire; ainsi les périodes de f/o. seront

o, n. I. T, — 1. — T — I, i;
relies de ».i seront

o. I, T, — I. — T — I. 1, i>. ....

Cela posé, l'intégrale

\ ^ tu -h- S.- It- -\- . . .^- \-, II-,.

si;r l'intêghation ai.gébriqiie iiks équations linéaires. io')

où les A sont des niniihies entiers (nielconf|iies, n aura que deux périodes
distinctes et sera rédiiclihle aux intégrales elliptiques.

Nous avons donc un troisième exemple de celte ciiconstance di'jà signalée
deux fois par M. l'icard, (|u'il existe des systèmes d'intégrales abélicnnes où
Ton trouve une inlinité dinlégrales réductibles aux intégrales elliptiques
{Comptes rendus, t. 93, p. i 12(1: 1X81 .

H. r. - m.

SUR L" I.NTÉGRATIO-N ALGÉBRIQUE

ÉOUATIONS LINÉAIRES

LES PÉRIODES DES ICTÉGKALES ABÉLIENNES.

Journal de Mathématiques, 5» série, t. 9, p. jSg-aia (igoS)

I. — Introduction.

Le présent Mémoire est le développpiiienl d'une Note que j';ii présentée à
l'Académie des Sciences en iS83 {Corn/>trs rendiis, i. HT, i883, a* semestre,
p. 984el 1189).

Quand une fonction ;ilf;élirique satisfait à >ine écjuatiou différentielle linéaire
a coeflicienls rationnels, les intégrales abélieunes jouissent de certaines pro-
priétés curieuses et il y a entre leurs périodes quelques relations intéressantes.

On est conduit en passant, à ce résultat, i\n'è/a/it donné un groupe Jlni W
quelconque, on peut toujours trouver (sauf un nombre lini d'exceptions) (//)
groupe Jini de substitutions linéaires isoniorphes à H, et dont les coeffi-
cients soient entiers.

M. Frohenius, en 1896 et dans les années suivantes, a publié une série de
Mémoires sur les caractères des groupes. Ses résultats peuvent être utilement
appliqués à la question qui nous occupe et je crois devoir les rappeler rapi-
dement; je profite d'ailleurs de l'occasion pour les rapprocher d'autres résultats
obtenus par M. Carlan et pour faire voir combien les théories de ces deux
savants mathématiciens s'éclairent niuluellement.

SUR l'intégration AUiEBRIQlE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. IO7

II. — Intégrabilité algébrique des équations linéaires.

Soit

une équation lincaire d'ordre n dont les coefficients P,, sont des polynômes
entiers. Supposons que l'intégrale générale de cette équation soit algébrique et
soit

l'équalion algébrique qui définit cette intégrale générale. Bien entendu, ce
polynôme 9, outre les variables x et >', contiendra n constantes arbitraires
d'intégration si l'équation (i) est d'ordre /(.

L'éi|ualion (i) pourrait être intégrée parle procédé général. Posons

où cp [z) est une fonction fuchsionne correspondant au groupe fuchsien G.

Si cette fonction fuchsienne est convenablement choisie (et cela peut se faire
d'une infinité de manières), y sera une fonction zétafuchsienne de z.

Soient y,, js, . . -, J'h des intégrales de (i) au nombre de /; et linéairement
indépendantes. Ou aura

j, = :,(3), /,= ;,( 3) y„=l„{z),

les Ç étant des fonctions zélafuchsiennes. Quand s subira une substitution du
groupe G, les J, subiront une substitution linéaire appartenant au groupe H de
l'équation linéaire (i). Le groupe H sera donc isomorphe à G.

Mais ici l'intégrale générale étant supposée algébrique, le groupe H sera
(Vordve fini, de sorte (jue l'isomorphisme sera inérièdrique. Parmi toutes les
substitutions de G, il y en aura donc qui correspondront dans H à la substi-
tution identique. L'ensemble de ces substitutions formera un groupe G' qui
sera un groupe fuchsien et qui si'ra un sous-groupe invariant du groupe G. Le
groupe G n'est donc pas simple.

Ce groupe fuchsien G' engendrera un système S' de fonctions fuchsiennes; il
e>t aisé de voir que le système S' contiendra le système S des fonctions fuch-
siennes engendrées par le groupe G; que x et y ou toute fonction rationnelle
de .r et de j' est une fonction fuchsienne du système S'. Il en est de même de
toute fonction rationnelle de r, y^ , y-,, . . . , y^.

io8 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

J'ai dit que le polynôme 5 contenait, outre les variables .r et _;', des cons-
tantes arbitraires d'intégration. Selon les valeurs que l'on attribuera à ces
n constantes, trois cas pourront se présenter :

1° Ou l)ien les diverses déterminations de la fonction algébrique y pourront
s'exprimer linéairement à l'aide de m d"entre elles, le nombie m étant <«;
par conséquent, l'intégrale générale de l'équation (i) n'est pas une combi-
naison linéaire des diverses déterminations de la fonction algébrique y ;

2" Ou bien l'intégrale générale de (i) est une combinaison linéaire des
diverses déterminations de y. mais le groupe de l'équation algébrique
5(.r, y) := o est plusieurs fois transitif;

3" Ou bien enfin l'intégrale générale de (i) e--! une combinaison linéaire des
diverses déterminations de )■ et le groupe de l'équation algébrique 9 ^ o est
simplement transitif.

Soient _)-,, j-j, . . ..yn un système de /i intégrales de [i) linéairement indé-
pendantes.
Posons

Il = a, Kl -H 7. j'. — . . .-T- x„_y„.

Faisons décrire à x un contour ferme quelconque; yi,y-2i ■ ■ ■ ■> J'n sul)lronl
une transformation linéaire T, à savoir celle des transfnrniations du groupe H
qui correspond à ce contour; les y se changeront donc en )■, , y'.,, . . . , j'j,, et ii
se changera en

"'= ^if'i — î'îj^'j— ■•■-^ï/i.>';,-

Peut-il arriver que u soit identique à u? Les v' sont des fonctions linéaires

des)-; on aura donc

"•'= >i.Ki — ,'iîj-î — . . .- ['j„y„.

les {3 étant des fonctions linéaires des <z. Pour que u = m', il faudrait que l'on

^1 ^ .^) • -^^ = ,^:- . . ■ . ^/i = ,-»//•

Cel I peul arriver pour certaines valeurs des a, mais ces relations ne peuvent
être satisfaites identiquement, quels que soient les a, à moins que l'on ait

c'est-à-dire que la transformation linéaire T ne se réduise à la substitution
identique.

SLR l'intégration ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 1 09

Ainsi u' sera différent de ii , à moins que les y. ne salisfasseiU à un système X
de relations algébriques.

Soient T,, T^, . . . , T^ les translVtrmations non identiques du groupe H;
elles sont en nombre fini; à chacune d'elles correspond un système de relations
algébriques entre les a. Si les a ne satisfont à aucun de ces systèmes, la fonc-
tion (/ n'est transformée en elle-même par aucune des transformations T, c'est-
à-dire que si x décrit un contour fermé et que u revienne à sa valeur initiale,
la transformation T sera identique et toutes les intégrales y,, Vj, ..., y,i
reviendront à leurs valeurs initiales.

Or u est une fonction algébrique de x, susceptible de plusieurs déter-
minations.

Si, X décrivant un contour fermé, l'une de ces déterminations rc\ient à sa
valeur initiale, il en sera de même de y,, y^, . '. . , y„ et, par conséiiuent, de
toutes les autres déterminations de u . Donc le groupe de la fonction algé-
brique u est simplement transllit.

Nous pouvons donc supposer que les constantes d'intégration aient été
choisies de telle sorte que le^ronpc de l'équation algébrique

0( J-. .ri = <)
soit simjilenient transitif.

Mais pouvons-nous toujours choisir les x de telle façon que l'intégrale
générale de(i) soit une combinaison linéaire des diverses déterminations de f<?

Supposons qu il n'en soit pas ainsi, le nombre des déterminations linéai-
rement indépendantes de u = -a;,- )', sera m <i n.

Donc u satisfera à une équation linéaire d'ordre m à coefficients rationnels.
D'ailleurs, comme y,, y.,, . . ., y,, reviennent à leur valeur initiale quand u
revient à sa valeur initiale (pourvu que les x aient été choisis comme je viens
de le dire), les fonctions j', , j'^i ••■i.)'// seront des fonctions rationnelles de a:
et de u. Donc l'intégrale gimérale de (i) sera une fonction rationnelle de x et
de lintégrale générale d'une équation d'ordre moindre.

Je dirai alors que l'équation (i) est iniprimitive.

Nous supposerons dans ce qui va suivre qur l'équation (i) est primitive et
que les constantes aient été choisies de telle sorte que la fonction algébrique y
admette n déterminations linéairement indépendantes et que son groupe soit
simplement transitif.

La question de l'inlégrabililé algébrique îles équations linéaires est liée à

no SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC.

celle des groupes finis contenus dans le groupe linéaire. M. Klein a résolu
complètement la question en ce qui concerne le deuxième ordre. M. Jordan,
dans le Tome 84 du Journal de d'elle, puis dans les Mémoires de V Aca-
démie de dVaples, a donné une méthode générale pour la recherclie des groupes
finis contenus dans le groupe linéaire et appliqué sa méthode au troisième
ordre.

Une question se pose toutefois. Etant donné un groupe fini contenu dans le
groupe linéaire à n variables, existe-t-il toujours une équation linéaire du
^jième Qj-Ji-e intégrahle algébriquement et correspondant à ce groupe? A cette
question, comme on devait s'y attendre, l'on doit répondre affirmativement.

1. Disons quelques mots d'abord de la constitution des groupes discontinus.
Je suppose un groupe discontinu dérivé d'un nombre iini ji de substitu-
tions fondamentales

S,. S,. ..., S/,.

Ou obtiendra toutes les substitutions de ce groupe en combinant ces
p substitutions.

A chacune de ces combinaisons •

Sj'b* b/, . . .,

où Xi, «A, a/,, ■ ■ ■ sont des entiers positifs ou négatifs, correspondra une substi-
tution du groupe, mais toutes ces combinaisons ne sont pas toujours distinctes.
Il peut y avoir deux de ces combinaisons ((ui seront identiques, auquel cas il y
aura une de ces combinaisons qui se réduira à la substitution identique.
On aura d<inc un certain nombre de relations de la forme

H) S?'S?'S*''...= i.

Ce sont les relations de structure du groupe.

Toutes ces relations ne sont pas distinctes; elles peuvent toutes se déduire
d-'un certain nombre d'entre elles que l'on appelle relations fondamentales.
Je renverrai pour plus de détails au paragraphe 3 de mon Mémoire Sur les
groupes fuchsien s (Acla mathematica, t. I) (').

Quelles sont pour un groupe fuchsien les relations de structure et en parti-
culier les relations fondamentales? Je me bornerai à rappeler le résultat que
j'ai obtenu à la page i6 du Mémoire cité. Décomposons le demi-plan en polj-

(') Œuvres de H. PoiNCAnK, t. II, p. 109.

SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. I I 1

gones générateurs Rq, R,, . . ., H^, ... ; à chacun des côtés de Rq correspondra
une substitution du groupe fuchsien, de telle sorte que les substitutions qui
correspondent à doux côtés conjugués soient inverses l'une de l'autre. A
chaque côté de Ry nous ferons correspondre la même substitution qu'au côté
correspondant de F^o-

Décrivons un contour jermi' qui traverse nécessairement les régions
Ri , Rj, . . . , R/, et en sort par les côtés C| , C.2, . . ., C/, auxquels correspondent
les substitutions S, , So, . . ., S/,; nous aurons alors

S, Sî . . . S/, = I,

et nous oi)tiendrons ainsi toutes les relations de structure du groupe.

Pour obtenir toutes les relations fondamentales, il suffira de décrire des
contours fermés infinitésimaux autour des divers sommets de R,,.

Les divers sommets d'un même cycle donneront d'ailleurs la même relation,
de sorte qu'il y aura autant de relations fondamentales que de cycles.

Appliquons cette règle à un groupe fuchsien du genre o. Soient

Xq Xl «2 . . . 'J.p ^/,-t-i ^-i/i .5/7—1 • • ■ |-':i i-*! -*0

les 2/j -\- 2 sommets du polygone Ro- Le côté a/a,^., :;= C, sera conjugué du
côté (3,p,_^i=G', et la substitution S, transformera C, en G). Les sommets
formeront /j -+- -i cycles, à savoir

et je supposerai que les sommes des angles des sommets de ces cycles soient
respectivement

■l T. ■> -K l -

II., Il,, ///,+ ,

Alors les relations fondamentales correspondant à ces différents cycles
seront

(4) S2«=(S,Sô')".= (S.,S7i)"= = ...= (S,,S;:l,, )'V=s;'"'=i.

Cela posé, quels rapports y a-t-il entre les relations de structure de deux
gLoupes isomorphes? Il est clair que si l'isomorphisme est holoédrique les
relations seront les mêmes; mais si l'isomorphisme est mériédrique l'un des
deux groupes aura toutes les relations de structure de l'autre et en admettra,
en outre, encore d'autres. Réciproquement, cette ccmdition est suffisante pour
que les deux groupes soient mériédriquement isomorphes.

Cela posé, soit H un groupe d'ordre fini contenu dans le groupe linéaire;

ir2 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

supposons que ce groupe soit dérivé de /> + i subslitulions

So, S] . 05, .... o^,.

Ce groupe étant d'ordre fini, une quelconque de ses subslitulions sera
d'ordre liai.

Ce sera le cas, en particulier, pour les substitutions

^0- '^ 1 *^o ' '-•e '-' 1 ^ jf '-' fi- i • ^/j •

Il existera donc des entiers Ho, «i. . . -, "/j+i. tels que
{:,bis> Sï" = ^ s , s „ I )". = ( S, Sy I )"' = ...= ( S/, S;;! , )";- = ( S- 1 )'>- . = i .

Ces relations ne seront d'ailleurs pas les seules relations de structure du
groupe H.

Cela posé, nous pouvons construire un polygone l'uchsien R,, de genre o, de
telle façon que les sommes des angles des sommets des différents cycles soient
respectivement

Soit G le groupe fuchsien correspondant. Ses substitutions fondamentales

S,i. S|, S/, satisferont aux relations (4) qui seront ses seules relations

fondamentales.

Donc le groupe H admettra les mêmes relations de structure (jue G et encore
d'autres; donc H est mériédriquement isomorphe à G. 11 existera donc dans G
un sous-groupe fuchsien G' formé des substllutions de G auxquelles correspond
dans H la substitution identique.

D'un autre côté, reportons-nous au ])aragrapiii' ;> du Mémoire : Su/ ies
funclions zétafuchsienni's [Acln tiinihciiKilicn , l. \ ) (' ), nous verrons que.
le groupe G étant de l,i première famille et le f;ioupe II contenu dans le groupe
linéaire à n variables étant isomorphe à G, nous |)ouvt)ns construire /; fonc-
tions zétafuchsiennes

r,(;). r,i;i î„(3i

qui subissent une substitution linéaire du groupe II (piund la variable ; subit
la substitution correspondante du groupe fuchsien G. Ces fonctions Ç sont en
même temps des fonctions fuchsiennes admellant le groupe fuchsien G'. Si
donc on pose

(') UEin'ies de 11. I^uincabi:, t. II, p 4".

SUR l'iNTRCHATION ALGÉBRIQIE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. Il3

y va satisfaire à une relation algébrique

(2) 0(,/-.j') = n

et à une équation différentielle d'ordre /; à coelTicients rationnels.

Ainsi, à la question posée plus haut, on doit faire une réponse affirmative;
on peut même remarquer qu'elle comporte une infinité de solutions dépendant
d'un grand iioniLre d'arbitraires :

1° On peul choisir de plusieurs manières dans le groupe H les substitutions
auxquelles on fera jouer le rôle de

^Oi ^1: ^2, • • • 1 '^Z' '

2" Il Y a une infinité de polygones R» de genre o et de ayj + a sommels tels
queles sommes des angles des différents cycles admettent les valeurs(5). 11 reste
encore/; — i arbilraires, et c'est ce que je puis traduire en disant que je peux
choisir arbitrairement les /? + 2 points singuliers de la fonction algébrique
définie par l'équation {2) ou, ce qui revient au même, ceux de l'équation
linéaire ( i ).

Soit m le nombre des déterminations de >', ce sera en même temps le degré
en y de l'équation 9 =: o et l'ordre du groupe H. Je désigne par rj le genre de
la relation (2).

Proposons-nous de calculer q. La surface du polygone Ro sera

=(/

"0 "I "/)+l ;

Soit R|, le polygone générateur du groupe (î'; sa surface sera évidemment
7.r,/ii I p ... ) = ■'-m i /> — 7 — ) •

On aura, d'autre part,

V -4- 1 — u

2v étant le nombre des côtés de RJ, el [x le nombre de ses cycles.
D'un autre C(')té, la surface de Rj, sera

en supposant que la somme des angles des p. cycles soit

m. i5

[I4 SUR l'intégration algébrique DBS ÉQUATIONS LIiNÉAlKES, ETC.

Or V = ,u — I -t- 2(jr, nous pouvons donc écrire pour cette surface
L'autre expression peut de même s'écrire

De

(6)

[-'■-l(-k)H'"-'-U~i)}

■2Tt

Considéions un des cycles de Ru dont la somme des angles sera

Soit A l'un de ses sommets; envisageons les différents transformés de A par
les substitutions de G.

Considérons ceux de ces transformés qui sont intérieurs à R'j, ou qui sont
des sommets de R„ ; ces derniers se répartissent en cycles. Soit B un de ceux
qui sont intérieurs à R„. Observons que RJ, peut être décomposé en m poly-

gones congruents à Ro et que j'appellerai

R,„-,

(7) Ro, H,. .

chacun d'eux étant transformé de Ro par une des substitutions de G.

Si nous envisageons ceux de ces polygones qui ont un sommet en B, nous
voyons que ce sommet est homologue à A ou à un des sonimels du cycle
auquel appartient A et que, parmi ces polygones, il y en aura n, pour lesquels
ce sommet seia homologue à A. 11 y aura donc d, subsiitulious de G qiii chan-
geront A en B.

Soit maintenant C un transformé de A qtii soit un sommet de lî' et soit — la

somme des angles du cycle auquel appartient C. Parmi les ni substitutions qui

changent R„ en l'un des polygones (- ), il \ en aura alors — ' = |2n qui changent

A en C, ou en un des sommets du même evtle.
D'où il suit d'abord que «, est divisible par a/,.
Convenons alors de prendre pour le point B

'ik='>r,

=<* = 1,

nous aurons

(8) 2(i,= ,„,

la sommation él.int «'tendue à tous les points tels qiu' B et C. Et, en efl'et,

SUR l'intégration algébrique des équations LINÉAIBHS, ETC. Il5

chacune des m substitutions qui changent R„ en l'un des polygones (7) change
A en l'un des points B ou C.

Remarquons que chaque cycle de R„ ne devra être représenté qu'une fois

dans la somme ^ 3/,, même si plusieurs points C appartiennent à ce cycle.

Toutes les considérations (jul précèdent et, en particulier, les relations (d)
et (8) s'appliqueraient à un sous-groupe (juclcoïKiiie de G. Mais il y a ici
quelque chose de plus, car G' est un sous-groune invariant.

Il en résulte qu'une substitution quelconque de G change R|, en un polygone
équivalent. Reprenons alors notre point A et ses transformés B et G. Soient
C et G' deux de ces transformés appartenant à deux cycles différenls de R'„.

Il y aura une substitution de G qui changera G en C. Soit -^ et -^ la somme

des angles des deux cycles correspondants. Qu'est-ce que cela veut dire? Gela
veut dire que, parmi les substitutions de G', il y en aura une qui, au point de

vue non euclidien, pourra être regardée comme une rotation d un angle —
autour de G; donc, le sous-groupe étant invariant, la rotation d'angle — autour
de G' devra appartenir à G' ; de même, la rotation d'angle ^ autour de C devra
appartenir à G'. Gela n'est pussible qur si y. ^= y.' .

Supposons niaiiileuanl cpie l'un des transformés de A soit un point B. Alors,

la rotation d'angle -^ autour de B appartiendra à G'; mais comme B est intérieur

au polygone générateur de G', cela n'est possible que si celte rotation se réduit
à la substitution identique, c'est-à-dire si a = i .
Deux cas seulement sont donc possibles :

i" Ou bien aucun des Iransforniés de A n'est intérieur à R'„ ; dans ce cas,
tous les y.ii sont égaux enli'e eux, de même que tous les 3a'. s' /•'( est le nombre
des cycles correspondants, ou auia

m riiki

et, pour les cycles correspondants,

1" Ou bien quelques-uns des tr.insformés de A sont intérieurs à Ru, tous les

ii6 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

a sont égaux à i , de sorte qu'on a, pour les cycles correspondants,

I(-é) = »-

Nous distinguerons donc parmi les cycles de Pio, c'est-à-dire parmi les
termes du premier membre de (6), deux cas :

ans le premier cas, ou ù/,^=-r-, x/, ^ , on aura, en étendant la

' ' A", ni

sommation aux cycles correspondants de Rj,,

2('-ij-"'('-'i) = S-'"'

2° Dans le second cas, où 2^=1. [5a = /?,, on aura

2(-i)-'"('-;);) = !"-'" = f;-'"-

Or, la relation (6) peut s'écrire

--"-2[2('-i)-"'('-^)] = ''^-'^^

nous aurons donc

(9) '"[-^^^2("-;i)]=-^-'^-'-'

les p étant des entiers.

Discutons celle relation à laquelle nous aurions peut-être pu parvenir plus
rapidement par des considérations sur la division régulière des surfaces de
Riemann.

Dans le cas de 1/ = o, le second membre sera négatif et nous devrons avoir

2(-s)<»-

Dans le cas de y = i , le second membre sera nul et nous devrons avoir

Dans le cas de 1/ l> i , le second membre sera positif, mais comme m est un
entier plus grand (jue i . nous devrons avoir

En tout cas ^(1 — — ) est limité; les ^k sont des entiers; nous pouvons

SUR I.'lNTÉGRATlON ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. I IJ

laisser de côlé les termes pour lesquels Pa = i et ci'ii sont nuls. Donc p^ est au
moins égal à i , de sorte que i — ,,- est compris entre - et i .

?

Soit p le nombre des termes do la somme ^ ( i — ^ ) i on aura

Dans le cas de q = o, on aura donc

c'est-à-dire p i^ i , 2 ou 3.
D'autre |i.irt,

Donc 0 =: 2 ou 3. Si p ^ 2, on a

■2

— )
m

équation qui n'admet d'autre solution que
si l'on observe que l'équation (8) exige

Si 0 = 3, on a

qui admet comme solutions

i;-^i^i>''

On retrouve ainsi les groupes connus de Klein et on n'en trouve pas d'autres.
Dans le cas de ^ = i , on a

'>20-s)>'i?

d'où p = 3 ou 4. ce qui donne les solutions connues

pi = 2, p,= 3, [i3=fi; Pi = 'i, l^î=P3=4,

Dans le cas de cy > i, on aura

<? + ■>!

11» SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQDATIONS LINEAIRES, ETC.

et p > 2 ; avec

2i

■iq

d'où

(d'où d'abord p > 2).
Or

d'où

iq — 2 ■^ I

h '-'

„ ,, . x^ I 0

[i* <«(. d ou Z.Tr > —^

^" I-'A- '''

2 7 — 2 -)- p ,

— < p — 2,

m

ce qui donne une limite inférieure de m.

Or, nous avons vu plus haut que (3/, est un diviseur de m et égal à ^7 > notre

A,

équation peut alors sérrire

7 ki-~ iq — 2 = »i ( ? — 2 ).

Soient (î, le plus grand des ^a et S la somme de tous les autres^) on pourra

écrire

127 — 2 „

c 1 • I ■ 2 — '

et, comme Î5 est au plus égal a ^— — )

■ I 27 — 2 . ? — 3
[i, m 2

et, a fortiori, puisque (3, <; w,

2? — » ^ ? — 3

Si p > 3, celle relation limitera [3, et, par conséquent, lous les autres [Sj ;
j'ajoute qu'elle limite p, car elle donne

P — 3 < 2 7 — I ,

puisque |3|5 2.

Si p = 3, on ne pourra avoir (3;,=:|33=: 2, auquel cas on aurait S = 1 et,

par conséqucnl,

I 27 — 2

^L é O

Le cas le plus défavorable est donc

P= = 2, i33;=3,

SUR 1,'lNTÉGR ATION AI.GEBKIOltE DES EQl ATIONS LINEAIRES, ETC.

d'où

On a donc
el, par conséquent,

^-6

^<r

I -> 7 — 2 ^ I

pi m 6

ce qui limite encore j3| et, par conséquent, tous les autres (3.

En résumé, pour un genre q péterminé, nos groupes H se ramèneront à un
nombre fini de types.

III. — Propi'iétés des intégrales abéliennes.
Reprenons la relation algébrique

(2) 0(.i-, j) = n,

dont le degré est m rt le genre q .

Toute fonction rationnelle de x et de y sera une fonction fuihsienne de z
admettant le groupe G'; soit maintenant

J= fï{{.r,y}fh:

une des q intégrales abéliennes de première espèce de la courbe algé-
brique (2); ce sera une fonction uniforme de :■; celle fonction sera toujours
finie et elle se reproduira à une constante près quand -: subira une des substi-
tutions du groupe G'.

Si donc nous appelons cette foncliim K (;), nous aurons

K(sS) = K( = )-+-io,

.•I.- 1. O !• 1*- + Pl 1-

OU 1 écris, pour abréger, ;b au lieu de k-i la sunstitution

J t r s ' Y-^ + 8

S =

Y Z 4- 0 /

étant une des substitutions du groupe fuchsien ( î'. Quant à w, c'est une cons-
tante qui n'est autre ciiose ([u'une période de l'intégrale abélienne (J).

A chaque substitution de (i' correspondra ainsi une péricide de (J); mais,
bien entendu, pour certaines de ces substitutions, cette période sera nulle.

I20 SIR l'intégration ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC.

Si w correspond à S et &>' à S', oa voit que w + '••>' correspondra à SS', de même
qu'à S' S. et w« + «w' à S"''S'"'S"'=S'"= ..., pourvu que

^w, = m, ^"' = "•

Soit maintenant a une substitution de G n'appartenant pas à G'. Que sera-ce
que K (-î^)? Ce sera évidemment encore une intégrale abélienne de première
espèce.

Si nous changeons ; en ôS. zu se changera en ;Sc-, et il viendra

K(sSa) = K(=3) — (.)■,

0/ étant la période de K(:;cr) correspondant à S.

Soient alors S,, S2, . . . , S/, les substitutions fondament des de G'; soient oj,,
t02, ..., '.)/, les périodes correspondantes de K(;), '.)',, 00!,, ..., oj),, celles

de K(^ff) ; nous aurons

K(^Sê) =K(s) ^w,-,

K(3S;C7) = K(3a)^co;.

Si, dans cette dernière équation, je change ; en zrj-\ il vient

K(ôcr-iS,a) = K(g) — lo'.

Or, G' étant un sous-groupe invariant de G, la substitution 3— 'S,(7 appar-
tiendra aussi à G'; d'où il suit que w^ est une cnuiblnaison linéaire à coefficients
entiers des o),.

Ainsi les périodes de V intégrale abélienne de iin'inière espèce K(;ct)
seront des combinaisons linéaires à coefficients entiers des périodes de
l'intégrale abélienne de jiremière espèce K{z) et récipror/itenienf.

Introduisons maintenant les intégrales abéliennes de seconde espèce; ces
intégrales seront encore des fonctions uniformes de ;, mais elles admettront
des pôles. Soit P{z,a) une de ces intégrales, exprimée en fonction de z; elle
sera définie par les conditions suivantes :

i" Elle sera fonction méromorphe de ; dans tout le cercle fondamental;
2° Elle admettra comme pôles simples les points

z = a et z = «S (S étant une des suhsliUilinns de G'),

et elle n'en admettra pas d'autres;

3° Le résidu de la fonction

P(3, a)

sera égal à i pour le pôle ; = a;

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. 121

4° On aura, pour une substitution S quelconque de G,

(3) F(;S, rt) = P(;, n)-h?(rt).

£p(a) étant une constante ne dépendant que de «; de telle sorte qu'à chaque
substitution de G' corresponde une période de l'intégrale P.

Ces conditions ne suffiraient pas [-our déterminer P, puisque, si elles sont
remplies par P, elles le seront par P + K., K étant une intégrale de première
espèce.

On peut achever de définir P (à une constante près) en s'imposant encore
une condition :

5" p des périodes de P choisies une fois pour toutes, et que j'appellerai les
périodes de première sorte, devront être nulles.

Etudions les propriétés de ces fonctions P.

Quels sont les résidus de P pour ses difi'érents pôles? Soit

et soit A le résidii de P pour le pôle ; = oS. Nous aurons

P(;S-i, «) = P(z, «) + 9,(a),
(ifi{a) étant la .période qui correspond à la substitution S~' ; et pour s très
voisin de aS, le premier membre sera très voisin de — ^-; et le second

de — - — ?7> on aura donc sensiblement
z — ai)

zS-^ — a :-
d'où

+(«s)

Les conditions énoncées plus haut suffisent pour déterminer P à une cons-
tante près, car, si deux fonctions y satisfaisaient, elles auraient mêmes pôles et
mêmes résidus; leur différence D(g) serait partout finie. On aurait d'ailleurs

D(cS) — D(;) = const. ^

Donc D(z) serait une intéf;rale de première espèce et comme/? des périodes
devraient être nulles, cette intégrale se réduirait à une constante.

Cela posé, j'observe que, dans la relation (3), <p(a) doit être une fonction
uniforme de a, puisque, quand on se donne a, la fonction P(-, a) est entiè-
H. P. — III. i6

122 SUR l'iNTÉGHATION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC.

rement déterminée à uno constante près, et, par conséquent, la diffé-
rence P(sS, rt) — P(-', a) entièrement déterminée. Do plus, celte fonclion est
toujours finie, puisque, quel que soit n, il suffit de donner à .: une valeur
différente des divers points «S pour que P(;S, a) et P(.s, a) soient finis.
Soit maintenant T une substitution quelconque de G' et considérons

P(3. «T).

Cette fonction admet comme pôle le point a S avec le résidu

On aura donc

P(=, aT)= y^J^Pr;, a) + const.,
et, par conséquent,

P(2S, «,T)-P(3, „T) = i[^"*[P(=S. «) — P(3, a)]
ou

Considérons maintenant la fonction

j\(z),lz = ^^{z).

Remarquons que x prend la même valeur pour :; = a et pour ;^«T, de

sorte que

,■/.(■ = .^ ( o T ) <l( a T ) = ■]>(" n ) ^n,

d'où

ç ( « T ) f/( « T ) = ^[ a) da

ou, en intégrant,

<^(nT) = <I>(.7) — const.

Donc <!>(;) est une intégrale ahclienne de première espèce.

Soil maintenant a une substitution de G n'appartenant pas à G', et chan-
geons a en Z'j dans la relation (3),

(3) P(3S, «) = P(G, «) + ^(a),

il viendra

(3a) . P(;aS, a)= P^;7, n)^9(a).

Or, le sous-groupe G étant invariant, on aura

jS = S's,

SUR l'intégration ALGÉnniOHE niîS ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 123

S' appartenant aussi à (/, d'où

( 3 bis) P(sS'(r, a) = P(^(r, «) -+- !p(a j,

ce qui veut dire d'abord que la période dp l'intégrale ï'{zu,a) qui correspond
à S' est égale à (p("); c'est-à-dire que les périodes de V{za^(i) sont des
combinaisons linéaires à coefficients entiers de celles de P(;, a).
Nous aurons d'autre part

Citer) P(:S', «) = P(=, «) + ç'(«),

9'(a) étant la période correspondant à S', étant par conséquent une combi-
naison linéaire des périodes fondamentales de P.

Comparons maintenant les résidus des deux fonctions

pour le pôle z = au^ ] pour .; voisin de acr ', ces deux fonctions se réduiront
sensiblement à

Or, on a sensiblement

1 I •!;(«)

3 3 — a z — aa— ' '];(ao""')
On aura donc sensiblement

(4) P(3.,«;= ,JiJ^P( = ,aa-M.

Je veux dire que la dilTérence des deux membres reste finie; comme chacun
des membres est une intégrale de seconde espèce, la différence devra donc être
une intégrale de première espèce. Devons-nous dire que cette intégrale se
réduit à une constante? Il faudrait pour cela que toutes les périodes que nous
avons appelées de [ireiuière sorte fussent nulles. Supposons donc que S soit
une substitution qui corresponde à une période de la première sorte; la fonc-
tion cp(«) qui figure dans (3rt) et {'ibis) sera nulle. Les périodes de la
première sorte du second membre de (4) seront donc nulles. En sera-t-il de
même pour le premier membre et, par conséquent, pour la différence des deux
membres? Aura-t-on, en d'autres termes,

PizSa, «) = P(37, rt)?

Le premier membre |)eut s'écrire P(;(7S",«), où S" appartient à G'; la
période cp"(«) correspondant à S" devrait être nulle; elle devrait être de la
première sorte.

124 SUR l'ixtégration algébrique des équations linéaires, etc.

La condition pour que nous ajons le droit de dire que la différence des deux
membres de (4) est une constante serait donc que u Iransformât toutes les
périodes de la première sorte en périodes de la première sorte. Comme il n'en
sera pas ainsi en général, tout ce que nous avons le droit de dire, c'est que
cette différence est une intégrale de premicie espèce que j'appellerai K(2,a,o-).

L'équation (^his) devient alors

^^^^'' "^~')^|a^\)+K(aS', a, a)= P(z, a^-') ,^^^^ + K{=, a, a) + çfa,)

ou bien

^^'""'' ^'' .^Uo-M ' ^^^'' "' '^ = ^^"' ^^'

en désignant par !p(a,S) et $(«, S) les fonctions cp(«) et *^ (a) qui corres-
pondent à la substitution S et par 6(S,o,a) la période de R(;,fl,o-) qui
correspond à S.

Comme x est une fonction fuchsienne de c admettant le groupe G, elle
reprend la même valeur pour ; = a et pour ; = au"' : on peut donc écrire

ç(aa-', S') r/rta-'-H l)(S', a, fj) da = 9(«, S; da,
d'où

(5)

TofS', a, 'S)da = -Pin, S) — <t>( an-'. .S') + const.

Le résultat s'énonce donc sous une forme plus simple quand on compare les

intégrales de seconde espèce *

l'es. a). P(3cr, n).

Alors la période de la première de ces intégrales qui correspond à S serait
égale à 9(ft), de même (pie la période de la seconde intégrale qui corres-
pond à S'.

Donc les périodes /(iit'hniicntalcs de I'(;(t,^/) scraicnl des combinaisons
linéaires à coefficients entiers des périodes fondamentales de V{z,a).
Seulement, V^za. a) ne rentrerait pas dans le type des intégrales P(;,rt), parce
que ses périodes de première espèce ne seraient pas nulles en généial.

Pour aller plus loin, cherchons la condition pour <ja il existe une fonction
rationnelle F{x,y)-de x et de y qui satisfasse à une équation linéaire

d'ordre n. Cette fonction rationnelle sera évidemment égale à une fonction
fuchsienne $,(;) admettant le groupe G'. Si alors a est une substitution

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. 125

quelconque de G n'apparlen;int pas à G', <ï>(;ff) satisfera à la même équation,
de sorte que les m fonclions fuchsieunes >l>{za) ne seront pas linéairement
indépendantes et s'exprimeront linéairement à l'aide de n d'entre elles. Il y
aura donc entre ces m fonctions {m — -/() relations linéaires. Cette condition est
d'ailleurs suffisante.

Soit alors (3 un des pôles de <]>(;); soient

m substitutions de G, distinctes par rapport à G', c'est-à-dire telles qu'aucune
des combinaisons (j,<j'J' n'appartienne à G'. Considérons les pôles

[icT,, ri,, (3cr„„

el soient

«1, Un, .... tl,„

les résidus correspondants de <!>(;). Si l'un de ces points n'était pas un pôle
de ^(.;), le résidu correspondant serait regardé comme nul.
Posons

de façon que

soient les résidus correspondants de la fonction rationnelle V{x,y). Alors ces
mêmes points seront encore des pôles pour tI>(j(T) avec les résidus

J/([i<T,)' <l'(fi<T,)' ■■■' ■i^ib'^m)'

les lettres b,{<j), ^^((t), ..., b,„{<j) n'étant autre chose que les lettres 6,,
^2) • . . ) i>„. placées dans un autre ordre. II est aisé de voir ce que c'est que cet

ordre. On aura

bi,(<j)=bi
si l'on a

a,a-i = aiS,

S appartenant à G'.

En d'autres termes, les lettres Oi(<7) ne sont autre chose que ce que devien-
nent les lettres 6, quand on les permute en leur faisant subir une des substi-
tutions du groupe siniiiiement transitif H de la relation algél>rique (2)
^(^) J') = o.

Nous avons dit qu'il j a (m — n) relations linéaires entre les fonctions <l>(cff);
il y aura les mêmes relations linéaires entre les résidus d'un même pôle, par
exemple entre les 6|(c7), les mêmes encore entre les bî{a), les mêmes enfin
entre les b,„{rj).

ri6 SUH L'iNTÉGnAllON ALGÉBIUyilE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. ETC.

Formons alors un délerminanl ù m lignes el m colonnes, où la A'"""'' ligne
sera formée par les b/,{a), dételle sorte que dans chaque ligne nous retrouvions
les mêmes lettres bt, 60, . . ., b,„ dans un ordre dift'érenl. C'est ce que M. Fro-
benius appelle un détcrminani de groupe ( Gruppendeterminant).

Il y aura les mêmes (/» — n) relations linéaires entre les éléments des diverses
lignes de ce déterminant, c'est-à-dire que le déterminant s'annu/era ainsi
(jue ses mineurs des (m — « ^ i) premiers ordres.

Nous venons de voir que la condition nécessaire pour qu'il y ail une fonction
rationnelle V(x,y) satisfaisant à une équation linéaire d'ordre n, c'est qu'il
existe des nombres b,, b,, . . ., b,n dont le déterminant satisfasse à la condition
que je viens d'énoncer. Je dis que cette condition est également suffisante.

Supposons en effet qu'elle soit remplie et soit '!'(;) une fonction fuchsienne
quelconque; envisageons la combinaison

hi *!)( jayi ) -- /'•, *( 3!i^')-t-. . . J- (>„L '!>( ;^7„' ) = 61 cj.

Nous pouvons toujours choisir *I*(cj de telle façon que ©(;) ne soit pas
identiquement nulle; il suffit par exemple de supposer que *i>{^) admet le pôle
c = pj.sans admettre aucun des pôles

s = [iT;, z = |i3j, . . ., z = [i(j„,.
Cela posé, nous aurons

si l'on su|)pose

3,;r-i = <!;(. S = S'a/.,

S el S appartenant à (i'.

Ainsi0(:;(7j est f(irmé comme 0(;), saufqueles coefficients ///, sont remplacés
par les coefficients /'/.(ct).

Or, par hypothèse, il ja, entre les quantités b/t(c-), [m — n) relations linéaires
de la forme

(61 "y, A />,( 7) ^V A ^.(7) =...=y A A„,(>) -^ o.

On aura donc également les {m — n) relations

V Ae(;7) = o,

ce qui veiil diie que la fonction B(c) satisfera à une équation linéaire
d'ordre //. c. q. f. n.

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. 127

Soit alors K(;j une iiilégiale de première espèce quelconque; posons
i{z) sera aussi une intégrale de première espèce et nous aurons •

car, S appartenant à G, on aura

k( sS) — K(3) = const.

On a donc, à cause des équations (6),
(y) V A J ( 37) = consl.

Observons, avant d'aller plus loin, qu'il résulte de nos définitions que

et d'ailleurs le sous-groupe (î' étant invariant, on aura, pour une substitution S

quelconque de G',

bi((Ji) = 6<.(Sa,) = 6<.(a,S).

Soit alors

J ( c S a ) — J ( 3 <T ) = (O ( 3 ).

Alors co(o-) sera une constante, puisque ce sera une période de l'intégrale de
première espèce }{z) et l'on aura

\^ A Mil) = U,

en mettant en évidence les indices

(8) ^A,(o(cr,) = o.

Observons que oi{(J,) est la période de J {:■) qui correspond à S, tandis
que aj(6;) est la période de 3{:) qui correspond à la substitution cr^'Sa,,
laquelle appartient aussi au sous-groupe G'.

Donc co(a^'(T,) correspondra à la substi-tution 0-7 ' c'a S c^ ' a, . Or, je puis
répéter le même raisonnement qui m'a conduit à l'équation (8) en remplaçant S
par ctaSt^' ; j'obtiendrai

^ A , w ( s;;: I (7, ) = o.

128 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

Si alors je pose

j'aurai, en supprimant les indices i,

(9) "V A cui(g) = > A co;(a) =■ ■ ■=^ A u)„, (J) = o.

On voit qu'il y a entre les w les mêmes relations qu'entre les b\ les périodes
de l'intégrale J(-) peuvent donc jouer le rôle des l>.

Tout ce qui précède deviendrait illusoire si J (^) se réduisait à une constante.
Nous sommes donc conduit à nous poser la question suivante :

Peut-il arriver que, quelle que soit l'intégrale K(;) choisie, on ait
(Kl) % 6,- kfsa^i) = const.

Soient alors a un nombre quelconque, ai) ' un de ses transformés, et soit

da

: C;,

Soit K.'(c) ^—j- la dérivée de Iv ; nous aurons *

2^'Az^'^^^'")='^'

ou, en faisant c = a,

y ^ bjCj k'(c; J~') — o.

quelle que soit l'intégrale K(;) choisie; nous aurons en particulier

2^ hiCi ipl'ojri^ = o,

cp(a) étant la fonction qui figure dans la relation (3), puisque nous avons vu
que cette fonction est la dérivée d'une intégrale de première espèce.
Posons alors

V 6,c,P(2. «crri;=H(2);

nous aurons, en vertu de la relation (3),

H(2S)— H(3) ="y 6,r,s(«(j-i) = o,

c'est-à-dire que toutes les périodes de H(;) seront nulles, c'esl-à-dire que
H(.3) sera une fonction fuchsienne de ; et une fonction rationnelle de x et de r-

SIR l'intégration algébrique DBS ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. 1 29

Quant à ses pôles ; = aa- *, ils correspondront tous à une même valeur de
J7, X = JCo, puisque x est une fonction fuchsienne de ; admettant le groupe G,
ne changeant pas par conséquent quand on change z en z&j' . Nous pouvons
d'ailleurs supposer que Xd est fini, puisque a est arbitraire. Tous les pôles
sont d'ailleurs simples.

11 y a donc deux cas concevables :

1" Ou bien on peut choisir di's intégrales de première espèce telles que, en
formant avec leurs périodes un déterminant de groupe de la façon que nous
avons dite, ce déterminant s'annule ainsi que ses mineurs des (m — n — i)
premiers ordres.

2° Ou bien les nombres b sont tels que, pour toutes les intégrales de
première espèce K(3), on ait

\ bi K(' S5~') = const.

Nous verrons plus loin que les deux cas peuvent se réaliser.
Quoi qu'il en soit, nous devons retenir les résultats suivants :

a. Quand on passe de l'intégrale K(;) à l'intégrale K(ro-), les périodes de
cette intégrale subissent une substitution linéaire. L'ensemble de ces substitu-
tions linéaires, dont les coefficients sont des entiers, forme un grouoe
isomorphe à H.

b. Il j a entre les périodes des intégrales abéliennes un certain nombre de
relations. On pourra obtenir de semblables relations de deux manières :

1° Si les nombres b ne sont pas tels que ^ 6,K(;(77' ) ^ const., on en

obtiendra en écrivant que le déterminant de groupe formé comme nous l'avons
dit est nul ainsi que ses mineurs des {ta — n — i) premiers ordres.

2" On sait que, entre les périodes de deux intégrales quelconques de
première espèce K.( j) et K'(r), il y a une relation bilinéaire due à Piiemann.

Si nous prenons R'(5) = K(;c7), les périodes de K'(;) seront des combi-
naisons linéaires à coefficients entiers de celles de K.(«). Si nous substituons
ces combinaisons dans la relation de Riemann àla place des périodes de K\c),
nous aurons entre les périodes de K(c) une relation quadratique à coefficients
entiers.

H. P. — III. n

i3o SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

IV. — Étude d'un exemple particulier.

Avant d'aller plus loin, je veux appliquer co qui précède à un exemple
simple, et je choisirai uu groupe qui a été étudié en détail par M. Klein. Je
veux parler du groupe de la résolvante de Galois de l'équation modulaire du
septième ordre. Le groupe de (ialois de cette résolvante est isomorphe au
grou|>e qui permute les lettres

I, 2, 3. 4. 0. G. 7, =0

de la manière suivante. Une substitution quelconque de ce groupe changera la
lettre z (où c = i , 2, 3, 4) 5, 6, 7 ou 00) en z', où

(niod 7 ).

y z -^ 0

a, (3, y, 0 étant des entiers tels que

a3 — 3y ^E I ( iiiod 7 ).

Ce groupe (qui est alors isomorphe à notre groupe H) est d'ordre 168 et
peut être considéré comme dérivé de deux sulistitulions fondamentales

Entre ces deux suhstilulions, nous a\ons les relations fondamentales

(I) 2;; = Si = ( S, 23)^=1.

et nous en avons encore d'autres, parmi lesquelles je citerai seulement la

suivante :

l, -ï^sr — '•

Construisons maintenant le groupe fuchsien G, auquel II est mériédri-
qucment isomorphe. Pour cela, nous n'aurons qu'à le faire déri\er de deux
substitutions fondamentales Cj et (7.>, entre lesquelles auront lieu les relations
fondamentales suivantes, identiques aux relations ( 1 ) :

(\ ÙIS ) (j3 = 3 J = ( (J, ^3 )' = I .

Le polygone fuchsien correspondant R(, est un quadrilatère formé de deux
triangles svmélriques l'un de l'autre (je \eux dire symétriques au sens de la

SUR L'iNTKGlUrlON AIGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l3l

Géométrie non euclidienne). Pour chacun de ces triangles, les trois angles
sont :

:: - ~
2 j 7

Formons maintenant le sous-groupe G', ce sera encore un groupe fuchsien
dont le polygone générateur R'^, sera décomposable en 168 quadrilatères
égaux à Ro (toujours au point de vue non euclidien) ou en 336 triangles

d'angles -. ^ j - •

"■.«3 7

M. Klein a construit ce polygone qui a i4 côtés el est décomposable en
i4 triangles équilatéraux égaux dont les angles sont égaux à -• Chacun de ces
i4 triangles se décompose lui-même en a4 triangles dont le-< angles sont

7t Tt TT

Il suffira de représenter ici l'un de ces triangles. J'ai fait celte représentation
scliématiquement en remplaçant les triangles curvilignes par des triangles
rectilignes; j'ai marqué chaque point par les chiffres 2, 3 ou 7, selon que les

, , • , ... t: Il r.

angles des triangles qui y aboutissent sont - . - ou ;;•

La décomposition de chaque triangle se déduit d'ailleurs aisément de celle
du triangle contigu, si l'on observe que les deux figures représentant la décom-
position de ces deux triangles sont symétriques par rapport au côté commun.

Il reste à définir la façon d(inl les (piatorze côtés du p(dygone R„ sont
conjugués.

l32 SUR l'intégration algébrique des EQUATIONS LINÉAIRES, ETC.

Pour cela, numérolons ces côtés en faisant le tour du polygone dans le sens
direct.

M. Ivlein a démontré que les cùlés

i,io, 3.12, 5.14. 7.2. 9.4, II. 6, i3.8
sont conjugués.

On voit que les sommets forment deux cycles, l'un comprenant tous les
sommets de rang pair, l'autre tous les sommets de rang impair. La somme des
angles pour chacun de ces cycles est arr. D'après la formule bien connue, le
genre y est égal à .H.

Soit maintenant Iv(;) une intégrale abélienne quelconque de première

espèce engendrée par le groupe G' et étudions ses périodes.

Soient :

:, l'intégrale prise le lonç: des entés i et 2,

£5 » 3 et 4)

£3 » 0 et G.

£1 » 7 et 8,

£, » 9 fît io>

E„ » 1 1 et 12,

£, » 1 3 et ij.

Ce seront des périodes: car, quand on a parcouru deux côtés consécutifs du
polygone, on est passé d'un sommet de rang pair à un sommet de rang impair,
c'est-à-dire n/i/iar(eiianl au même cycle. De plus, un a

£, -i- Ej -1- E3 -i- El + E5 -t- -r. -+- E, = (I,

car l'intégrale prise le long du polygone entier doit être nulle.
.Soient maintenant

Y Y V Y y >■ y *

,1. Çî, -;i, i,l. ^.'ï. sr,. 1,7

les périodes qui correspondent aux substitutions qui changent respectivement
les côtés

I en 10, 2 en 12, 5 en i4, 7 en 2, 9 en 4, " ?" t>, i3 en 8,

nous aurons

',= — :,;— £7- !^; = — Et— El, ^3 = — m— e?, ?t = — Eî— E3,

Soit maintenant une seconde intégrale K'(;) ayant pour périodes t' et Ç', de
sorte que l'on ait

Ç, = — b',. — e'-, ....

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. i33

L'intégrale

j k',/K,

prise le long du polygone entier devra êlre nulle, de sorte qu'on aura

ï'i ai -f- Ço a., 4- ^3 a,-, ■+- 'Ç,\ a, -h l'-, a, ^ r;., a, , ^ ^'^ a,n = o,

en désignant par a, l'intégrale K. prise le long du côté i, de telle sorte que

C( I ^"1 — j( j II — — 3C;j ~r~ jï I 1 — ^ • • ■ " .

'ô ^ ^9 — ^i! -6= a,, — a,, 57= a,;, — a;,,

En remplaçant les t et les ot en fonctions des e' et des £, on trouve
(a) 'i'2 — 'î'i -^ -1 -:i — î:i-i + =1 -s -•■-1 ^ '1 '0 ^ '6'i ^ ';-3

que je pourrai écrire sous la forme symbolique

{■ibis) (i2) — (i3)-^ (13)^ (i6) — (-2-3j-^ (-26 )^(. IV) ^ (,)«) — ( 3t>; = o.

Je remarque que, si nous posons

-1 =3 =C=",'l, '!-+- '3 -- 'ô-^ '!•> = Yîi S.1=Y3-

£5-i-Sf.= Tl, '3=Ï5, 'Ô=V6.

la relation (2 ) devient

ïiTs — TîT'i + ï:i T'. — ï» Ts ^ ïsïé — ïc Ï5 = o>

c'est-à-dire que les périodes y sont Xes périodes normales.

Examinons maintenant l'effet des diverses substitutions du groupe G. Parmi
les points de notre polygone, nous distinguons, en particulier, les points (-),
c'est-à-dire les points qui sont sommets de quatorze triangles avec un angle f ;
nous avons d'abord le centre de notre polygone, puis ses quatorze sommets;
nous en avons, en outre, un sur chaque côté et un sur chacun des quatorze
ravons allant du centre aux sommets. Mais les différents sommets de rang
impair ne sont pas réellement distincts, puisqu'ils font partie d'un même cycle
et qu'ils sont, par conséquent, congruents, c'est-à-dire transformables les uns
dans les autres par une substitution du sous-groupe G'. De morne pour les
sommets de rang pair; de même enfin pour les deux points (r) situés sur deux
côtés conjugués.

i34 SUR l'intégration algébrique des équations linéairks, etc.

Nous aurons donc en toul vingt-quatre points (-j) réellement distincts.

Considérons la substitution CT3 ; c'est une rotation (au sens non euclidien)
d'un angle — -autour du centre du polygone. Cette rotation transforme les uns
dans les autres les sommets de rang pair, de même que ceux de rang impair,
de sorte qu'elle transforme chacun de ces sommets en un point congruenl.
Cela nous amène à distinguer parmi nos vingt-quatre points ('^) ceux qui
correspondent au centre et aux sonmiets du polygone; je les appellerai les
points A.

Nous sommes donc conduits à répartir nos vingt-cjualre points (7) en huit
groupes comprenant chacun trois points (7) distincts; nous les appellerons les
points A, les points B, . . . , les points H.

Numérotons les sommets, les rayons du polygone dans le sens direct, comme
nous avons fait pour les côtés; faisons de même pour les quatorze secteurs ou
triangles dans lesquels on peut décomposer ce polygone, et cela de telle sorte
que les sommets du côté i soient les sommets 1 et 2 et que le secteur i soit
compris entre le côté 1 et les rayons 1 et 2.

Cela posé, les trois points B seront les points (7) qui se trouvent sur le
côté i et sur les rayons opposés 6 et i3 : les trois points C se trouveront sur le
côté 3 et sur les rayons opposés 8 et i : les trois points D se trouveront sur le
côté 5 et sur les rayons opposés 10 et 3; et ainsi de suite.

Dans ces conditions, une rotation d'un angle multiple de ^ autour de l'un

7

des points A change tout point A en un point A, et conserve, par conséquent,
la lettre A, et permute circulairement les unes dans les autres les sept autres

lettres: de même une rotation d'un angle multiple de ^autour de l'un des

7

points B conserve la lettre B et permute circulaircmenl les unes dans les autres
les sept autres lettres.

Plus généralement, une substitution quelconque de G permutera d'une
certaine manière nos huit lettres; de telle sorte que si elle change, par
exemple, un point A en un point B, elle changera tous les autres points A en
des points B.

Ces permutations de 8 lettres formeront un groupe qui ne sera autre chose

que notre groupe (;, " ^ "^ ) de 168 substitutions.

Nous distinguerons en particulier la substitution a, qui coirespond à
[z, z-\- 1), la substitution ctj qui correspond à (:■, )> et la substi-

Sl'll l'iMTÉGRATION ALGÉBRIQUE DES ÉQI'ATIONS LINÉAIRES, ETC. l35

tulion 1,, ([ui est une combinaison des deux premières et (jue je définirai
comme il suit :

C'est une rotation d'un angle -^ autour du centre de figure du secteur i,
lequel secleur, représenté d'ailleurs sur la figure i, est, comme nous le savons,
un triangle équilatéral. Cette substitution conserve les lettres A et D et
permute les autres de la façon suivante :

(A)(Dj(GCI3)(EFII).

Chacune des substitutions a- de G change R',, en un polygone R^ égal à R,,
(au point de vue non euclidien) et qui pourrait tout aussi bien que R^ engen-
drer le groupe fuchsien G'.

Soient toujours s, , £25 ■ . . , St les périodes de l'intégrale

K(3)=K( = 5,)

et soit a une substitution quelconque de G ; quelles seront les périodes corres-
pondantes de l'intégrale de première espèce K(s(7)? Si ; décrit une courbe
quelconque, zrj décrira la transformée de cette courbe para; si donc z décrit
deux côtés contigus de R|,, za décrira les deux côtés contigus correspondants
de R", ; la première période de K(;o-) ^era donc l'intégrale K prise le long des
deux côtés i et 2 du polygone R'^j.

En appliquant cette règle, on trouve que les 7 périodes de K(;c-;, ) sont

-2l £3, Ej, £5, £f,, £7, £,;

celles de K{z<7\) sont

£3, £4. e.i. Ef,, £7, £1. £-,

et ainsi de suite: celles de K(::(Ti)sont (lire le Tableau dans le sens horizontal)

£5-1- £3-1- £5-*- £6, £i— £5+ £7+ £1,

£6-t- E7-^- Ej-I- £3! £1+ £?+ £l-+- £5,

£3-1- £i-H £c-t- £7, £5-1- £6 -+-£]-<- £2,
£7-1- £1 H- £3-1- £.1;

celles de K( 5(72) sont

£*-+- £3, £3-^- £6-+- £7, —£3, — £2— £ô— £«,
£1-1- £«-*- £3-1- !6, —H, £2^£3+£6;

celles de K(;;73(T:,) seront

£5-l-£c, £4-1- £7^- £1, — £4, — £3— £c--£-'r
£=-!- £3+ £e-^ '7, —£7, £3-+- £4~i- £?;

et ainsi de suite.

l36 SUR l'intégration ALGÉBRIQliE DBS ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC.

Cela posé, reprenons la relation (2) et remplaçons K'(;) successivement
parK(3o-3), K(..a=), K(;a;;), K{za,), K{:-c;,<7,), K{za,).

Nous pouvons supposer que K ait été choisi de telle sorte que les trois
premières périodes soient i, o, o; nous appellerons les trois suivantes x,y, z,
de sorte que la septième sera — 1 — x — y — :.

Alors les six premières périodes seront :

pour K(;),
I, o,

pour R(;(T3),

o, o,

pour K(co-i!),

o, X,

pourK(^cr;;),

^, y,

pour K( cffj),
x^y, — I— ./•— /,

pour K(;cr2T3),
pour K.(z(7i).

y-hz, 3,

X,

J>

-y-

— i — .r—y-

-i—'—y,

— I — x — y — z.

-y-

i + x+y,

i^x^y,

i—y

y

On obtient ainsi, par la relation (2), six relations quadratiques en .r, )■
qui sont (en changt>anl les signes au besoin) :

(3)

ly- + s' -f- -zyz -i- 2xy -h 9. y + .r + i = o

x{x^y-h z) =y.

y- -I- z- -+- yz -+- ,r -t- 2/ -1- 3 -t- I = o

(7 + ./:)(3 — l)— 7(7-1- s)= O
y- + xy ■+- yz -h x + y -h i = o.

Le point x, y, z doit donc se trouver sur cinq surfaces du second degré; or
ces cinq surfaces n'ont que deux points communs qui nous sont donnés par

7= -+-7 -+-2 :

SI!R L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC.

L'équation en )■ admet deux racines

y = T ==-. +x=-^-:S

X = cos '- i sm — ,

l37

d'où

T — T'^i = o,

TT':

(')•

Au groupe H vont se trouver liés deux groupes linéaires remarquables, qui
lui sont isomorphes.

Le premier est celui qui lie les périodes de lv(;5') à celles de K(;); par sa
nature même, il ne peut contenir que des substitutions à coefficients entiers.
Comme le nombre des périodes est de sept, mais qu'il n'y en a que six
distinctes, c'est un groupe linéaire à six variables.

Nous prendrons les périodes s,, c.-,, £j, £4, en, £0) et nous trouverons, pour la
substitution correspondant à o-^,

0

0

0

0

— I

I

I

f)

0

0

0

0

— 1

0

0

— I

l

l

0

0

I

0

0

0

0

0

et, pour la substitution correspondant à 0-3,

0

I

0

0

0

(t

0

0

I

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

0

1

Il est aisé de vérifier que le groupe dérivé de ces deux substitutions
linéaires a'^ et a'.^ est d'ordre 168 et isomorphe à H.

Le second groupe est celui des transformations qur subissent les dérivées
des intégrales abéliennes de première espèce; c'est un groupe linéaire à trois

(') Quelle esl celle de ces deux racines qui convienl .' Il sufiit de se rappeler que si K, el K3

sont les parties réelle et imaginaire de K, l'intégrale / kjrfK, prise le long du périmètre du

polygone est positive. Or cette intégrale, si .r = i, z = — 1. sera trois fois la partie imaginaire
de y, nous devons donc prendre j^' = T.

H. P. — III. 18

I,

",

o,

' 1

T,

— I,

T';

o,

",

I,

T.

— I,

T'.

I ;

o,

I,

T,

— 1,

T',

1,

o ;

I>

T,

— I,

T',

I,

0,

o.

i38 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

variables; c'est celui que M. Jordan avait d'abord oublié dans son énuniération,
que M. Klein avait deviné et que M. Jordan avait enfin retrouvé dans une
analyse plus complète.

Nous avons \ u quelles sont les périodes de nos diverses intégrales :

K{z),

Nous tirons de là

Kr 3 5-5) = K( 5)-i-i:Th-i) K(=(J:,)^T K(2!ji)-^con5t.,

car il est aisé de \ érifier que les périodes de

Kisîji)— k(3) — (T ^i)K(z33) — TK(372)
sont nulles.

Il résulte de là que quand :■ se change en ;o-3 les dérivées des trois inté-
grales K(s), K(;(7.i), ^(jo-':;) subissent la substitution linéaire

I o

o I

T-i-i T

dont la période est 7 (les racines de l'équation en S sont 7, z'^, 7' ).
Voici maintenant les périodes des intégrales suivantes :

K(3a,j,

T^^

,

— T — 2,

f).

I - '•",

T,

1,

I ï

K(332<l3),

T —

,

1 — T,

— I,

T^-2,

-T — ,,

T + i,

-T,

K' S '.'!),

— T-

- 2.

T^i,

— T,

T- i,

■-T,

— I,

T + 2;

d'où les relations

K(3a,) =(T^-i)K(3) -,- (T — 2) K(3a.i)-H (— T — 2) K( 35^ ) + coiist..
K(za,cj3 ) = (T — i)K(z)4-(— 2T — 3) K( sa;,) ^- Ci — T) K(5a^) -i- const.,
K(3cr,!T;:|) = (-T - 2) K(3)-H (2 — T)K(3(i3) + (T + i) k(3a§)-+-const.,

ce qui veut dire que quand ; se change en z-c^-,, les dérivées de nos trois
intégrales subissent la substitution linéaire

T-i-i

T — i

- T — 2

T — 2

-2T — 3

2 — T

- T — 2
I — T

T-)-i

dont la période est 2.

SUR l'intégration algébrique des ÉQIATIONS LINÉAIRES, ETC. I ÏIJ

Considérons maintenant l'intégrale suivante :

,, = r.

OÙ m prend l'une des valeurs o, 1,2, 3. 4i 5, 6.

Il est clair que si la première période de cette intégrale est 00, les autres
seront

loT '". (OT— ='". w-:— "'■'. tOT

^ — hm ttï- 6'"

Mais il peut se faire que cette intégrale se réduise à une constante ; c'est ce
qui arrive si oj = o.

Or, il est aisé de vérifier que ro = o pour

m = o. III = 1, m = ). m = 4,

mais que w ' o pour

«i = 3, «i = 5, m = 6.

Il V a donc des intégrales dont les sept périodes sont

I -- ■:' ^« t8 = - tIo^— X- -i:_-5

-ri -8 vl! — rô -16 — -î -!0 — t6

i., - -, t t., w ^ . 1. Tj

mais il n'j en a pas dont les périodes soient

I. -■', -.", TJ.

-6 t3 i-l: -15 -IS

1,

-10 -15 -50 TÎâ t30

I, -", -■ = , X'», ■:=', T^», T-J^

1,1,1, I. I, 1, 1.

Une dernière remarque :

L'intégrale K(;) n'a que deux périodes distinctes, i et T; elle est donc
réductible aux intégrales elliptiques. Les périodes de K(;(t), où o- est une
substitution quelconque de G, sont des combinaisons linéaires à coefficients
entiers des périodes de Iv(c); il en est de même de celles de l'intégrale

où les A sont des coefficients entiers quelconques et où la sommation s'étend
aux 168 substitutions, '7, distinctes de G.

Les périodes de U sont donc des combinaisons linéaires à coefficients entiers
de i et de T; cette intégrale est donc réductible aux intégrales elliptiques; de

l4o SUR l'iN'TÉGBATION ALGÉBRIQIE DES ÉQIATIONS LINÉAIRES, ETC.

sorte qu'il y a une inftnilé d'inlésrales réducliblcs aux intégrales
elliptiques.

V. — Théorèmes de Cartan et Frobenius.

Nous aurons besoin dans la suite de divers résultats obtenus par M. Cartan
dans un Mémoire intitulé : Les groupes bilinèaires et les systèmes de nombres
complexes {Annales de la Faculté de Toulouse, t. XII) et par M. Frobenius
dans une série de Mémoires publiés dans les S itzungsberichte de l'Académie
de Berlin de 1896 a 1901.

Rappelons ces résultats succinctement en insistant un peu sur certains points
pour faire voir comment s'éclairent mutuellement les théorèmes de M. Cartan,
d'une part, ceux de MM. Dedekind et l-'robenius, d'autre part.

Considérons un système d'unités complexes

dont la nuiliiplication soit associative et non commulative; ces unités donneront
naissance à un système S de nombres complexes. Je supposerai qu'il y a dans
ce système un module, c'est-à-dire un nombre complexe

a =^ ai et
tel que l'on ait

a.r = j- a = .r,

quel que soit le nombre complexe .r.
Soient maintenant

deux nombres complexes quelconques, et soit

z = j-y =^ s,e,.

Il est clair que les ;, seront des fonctions linéaires des j'i, de sorte qu'à
chaque nombre complexe x correspondra une transformation linéaire T(r)
qui transformera les >', en z-i et dont les coefficieuts seront des fonctions
linéaires et homogènes des j",.

Soit maintenant l'équation

-'■/ = '■'>y,

où w est un nombre ordiniiire; je puis l'écrire

(j- — oa )/ = Cl,

si'B l"intégr\tion algébrique des équations linéaires, etc. i4i

ce qui exige que le déterminant de la transformation T{x— w«) soit nul. Ce
déterminant, je l'appellerai \{x — coa). ^

L'équation

A ( .2' — w a j = o

est une équation de degré r en w que M. Cartan appelle Véqiialion carac-
téristique.

Si l'une des racines de celte équation est nulle, il existera un nombre^ qui,
multiplié (à gauche) par x, donne un produit nul, de telle sorte que

uy = o

et que x peut s'appeler un diviseur de zéro (à gauche): mais M. Cartan ajant
démontré qu'un diviseur de zéro (à gauche) est en même temps un diviseur de
zéro (à droite), nous pourrons dire simplement un diviseur de zéro.

Si toutes les racines sont nulles, M. Cartan dit que x est pseiido/nil. La
condition nécessaire et suffisante pour quun nombre soit pseudonul, c'est
qu'une de ses puissances entières soit nulle.

Cela posé, supposons qu'on prenne pour unités complexes /• nombres
complexes quelconques du système S au lieu de e,, e-^.. . ., e,. Soient

CCS nouvelles unités complexes qui seront des combinaisons linéaires des
anciennes.
Soit

X =2 XiBi =2 x\e]. y =^ j,f, = y^ j-;,?;,

.ly

^^ie>=^z,e;.

Que deviendra la .suljs.titulit)n '^ {x ) qui changeait les yi en ;,? elle devra
être remplacée par une substitution T'(j) qui changera les y\ en :■]. Soit U la
substitution linéaire qui change les Vi en y] ; elle changera également les c, en

z'i ; de sorte qu'on aura

T'(.'-) = U->T(.r)U.

c'est-à-dire que T' est la transformée de T par L.

On peut choisir les nouvelles unités complexes de façon à réduire le
système S à sa forme la plus simple. C'est ce que M. Cartan a réussi à faire.

l'our cela, il introduit la notion de sous-sj stèmc ; l'ensemble des combi-
naisons linéaires de q nombres com|)lexes appartenant à .S formera un sous-

i42 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

système a de S si (/<C /■; ce sous-sy>tème sera semi-invai-iant à droite si le
produit (à droite) d'un nombre quelconque de a par un nombre quelconque
de S appartient à cr; on définit de même la semi-invariance à gauche; enfin on
dit qu'un système est invariant s'il est semi-invariant à la fois à droite et
à gauche.

Cela posé, M. Cartan a montré qu'un système simple, c'est-à-dire un
système qui ne contient aucun sous-système invariant, ne peut être que ce
qu'il appelle un p- ion, c'est-à-dire un système à /)- unités e,j(i^j =i, 2,. . ., j>)
avec la loi de multiplication

eijeji=eii, e,-,e;/, = 0 ( ./'? l'^-

Parmi les systèmes qui ne sont pas siiBj)les, il distingue d'abord les systèmes
senii-siinpics qui admettent toutes les unités de plusieurs p'' ions, et cela de
telle façon que le produit de deux nombres complexes appartenant à deux
p- ions différents soit toujours nul. ^

Enfin les systèmes qui ne sont ni simples, ni semi-simples, admettront toutes
les unités d'un système semi-simple et, en outro, un certain nombre d'unités
pseudonulles, dont les combinaisons linéaires forment un sous-système
invariant dont tous les nombres sont pseudonuls.

Reprenons le déterminant A(,r) que nous avons défini plus haut, et décom-
posons-le en facteurs irréductibles. A chacun des p- ions correspondra un de
ces facteurs, qui sera de degré y> et qui sera élevé à une puissance égale Àp si
le système est semi-simple el supérieure à /' dans le cas contraire.

Tels sont les résultats de M. Cartan. Voyons comment ils peuvent être
appliqués à la théorie des groupes.

Considérons un groupe d'ordre fuiiCj; aux différentes substitutions faisons
correspondre des unités complexes, dont la loi de multiplication soit la même
que celle des substitutions. Je veux dire que, si les unités e,, Cj, e^ corres-
pondent respectivement aux substitution> (t,, o-y, cr/o-y, on ait

'■;''/ = ''<•
Cette loi est évidemment associative. Envisageons le système de nombres
complexes S engendré par ces unités et, d'abord, formons l'équation caracté-
ristique et le déterminant A(.ï) correspondant, ainsi que la subslilulion
linéaire T{x).
Soit

.r=^. /■,£/, y='^yk'-i. z = j-y='^z/ej,

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. I/|3

il vient

Convenons d'adopler la notation si commode de M. Frobenius et de poser

Xi =; X

la transformation T(.r) s'écrira

de telle sorte que l'élément de la /.''""' colonne et de la y'"'" ligne dans A(;)
sera jry,^.

Ce déterminant A(.r) sera donc un de ceux que M. Frobenius appelle
déterminants de groupe: nous en avons vu plus liaut un exemple au para-
graphe 3.

Ainsi l'on voit déjà apparaître un lien entre les travaux de M. Cartan, ceux
de M Frobenius et la question qui nous occupe ici.

Observons qu'il y a dans le système S certains nombres t, qui jouissent de la
propriété d'être connu ittables à tous les nombres du système; je veux dire que
l'on aura

X étant un nombre quelconque du système 8.

Nous savons, en efl'et, que les substitutions du jj;roupe G se répartissent en
un certain nombre de classes, de telle façon que toutes les transformées d'une
même substitution par toutes les substitutions de C appartiennent à une même
classe.

La somme de toutes les unités complexes correspondant aux diverses substi-
tutions d'une même classe sera un nombre commutable; et tous les nombres
commutables seront des combinaisons linéaires des nombres ainsi obtenus.

Ces nombres commutables formeront évidemment un sous-système de
nombres complexes à multiplication commutallve. C'est ce sous-système que
M. F'robenius a étudié dans son premier Mémoire [Ueicr Grujipencharaktere
[Sitzungsberichte de Berlin, t. Il, 1896)].

Cela posé, on peut se demander si le système S est semi-simple au sens de
M. Cartan. La réponse doit être affirmative; en efl'et, s'il n'était pas semi-
simple, il contiendrait un sous-système invariant pseudonul. Or, si un pareil
sous-système existait, il contiendrait au moins un nombre commutable. .Soit,

l44 SUR l'intégration algébrique des équations LINÉAIHliS, ETC.

en effet, z = ^a:,e, un nombre quelconque de ce sous-sjslème. Tous les

coefficients x, ne peuvent pas être nuls.

Supposons donc Xk^o.

Soit !7a la substitution de G qui correspond à l'unité t'A, et désignons par ej^
l'unité qui correspond à la substitution inverse c^'. Nous aurons

e^eÂ' = e,,
Ci étant l'unité qui correspond à la substitution identique. Le nombre

fait paitie du sous-sj'Stème, puisque ce sous-sjstème est invariant. Dans ce
nomin-e complexe, le coefficient de e, est égal à x/,. De même les nombres

(où (ij est une quelconque de nos unités) feront partie du sous sjstème et le
coefficient de t'i sera égal à x^. Enfin le nombre

fait partie du sous-système; il devrait donc être pseudonul; d'ailleurs le
coefficient de e, est égal à rXk {>' étant l'ordre du groupe G) et, par conséquent,
difi'érent de zéro. Donc le nombre )• n'est pas nul. De plus, il est aisé de voir
que ce nombre r est commulable.

•Si donc il v avait un sous-sjsléme invariant pseudonul, il y aurait un
nombre commutable pseudonul.

Or M. Frobenius a montré qu'il n'y avait pas de nombre commutable pseu-
donul, ou plutôt il a montré, ce qui revient au même, que le déterminant de
certaines quantités qu'il appelle les p^i^ n'est pas nul (loc. cil., p. 990 et 991)-

Donc le 5)-.s7é/«e S est scini-simple et réductible à un certain nombre de
p- ions. Or on conclura immédiulement (pie (-haque facteur irréductible du
déterminant à(x) est affecté d'un exposant égal à son degré. G'est le théorème
fondamental établi d'une manière un peu différente par M. Frobenius dans son
second Mémoire [Ueber die PrimJ'actoren der Grup/iendeteriiiinante (Sitz.
de Berlin, t. II, 1896)].

Chaque p- ion contient un nonibie commutable et un seul; si, en effet, les
unités e'^(i de ce//- ion sont choisies de telle sorte que

SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, ETC. 143

le nombre

e'ti -t-eô-j-H.. .-i- e'pp

sera comimUable à toutes les unités du y/- ion, et il n'y en aura [)as d'autres.

Il sera d'ailleurs commutable également aux unités des autres y/-' ions; car
nous savons que le produit de deux nombres appartenant à deux p- ions
différents est toujours nul.

On peut conclure de là qu'il y a précisément autant dey/- ions (ou autant de
facteurs irréductibles de A) qu'il y a de nombres commutables distincts, c'est-
à-dire qu'il y a de classes de substitutions dans le groupe G.

Cela posé, on peut appliquer au système S les procédés de M. Carlan et
choisir de nouvelles unités

e\. e\. .... e'r,

de façon à réduire le système autant que possible. On aura

la sommation sétendant aux différentes valeurs dey^ correspondant aux diffé-
rents yO^ ions; elles unités de chaque y^)'^ ion seront choisies de telle sorte que

et que le produit de deux unités appartenant à deuxy»- ions différents soit nul.
Que devient alors la substitution linéaire T(x); elle se transforme, comme

on l'a vu, en

T'(.r) = U-'T(x)U,

U étant la substitution linéaire qui, dans un même nombre complexe, lie les
coefficients des nouvelles unités e' à ceux des anciennes unités e; et alors on
voit que la substitution T'(.r) se décompose en plusieurs substitutions linéaires
simultanées.

Désignons les unités nouvelles e' par une notation à trois indices e'^a.,;
le premier indice représente le numéro duyv- ion auquel appartient l'unité, les
deux autres indices distinguent les unes des autres les diverses unités d'un
même p- ion. La loi de multiplication est alors

tous les autres produits étant nuls. Dans certains cas, le premier indice
deviendra inutile et nous le supprimerons; quand il n'y aura que deux indices
ce sera donc le premier indice qui aura été supprimé.

H. P. — III. ig

i46 SLR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

Cela posé, soit

z = ry =2j^'oi?-r'''a';iy
II s'agit d'étudier la transformation T' (x) qui change les )' en ;'. On trouve

la sommation s'étendant aux différentes valeurs de ô.

Ainsi les variables ;' dépendront uniquement des variables )' qui ont même
premier indice et même dernier indice que z, ce qui montre cpie la transfor-
mation T'(./') se décompose en ^ /' transformations linéaires partielles à

f> variables.

J'observe que si je conserve l'indice x et que je change l'indice ■/, les coeffi-
cients x^gç ne changent pas. Les variables v«Se subissent donc /a inrine trans-
formation linéaire que les variables )a6y Nos 2uP substitutions linéaires

partielles sont donc identiques p à. p.

Nous devons nous poser maintenant une question. Quand arrUe-t-il que
le déterminanl à(x) est nul ainsi que tous ses mineurs des (/>■ — i) premiers
ordres? En effet, nous avons vu au paragraphe 3 que le déterminant de groupe
formé par les quantités que nous avons appelées bi{(j) devait satisfaire à cette
condition.

Si le déterminant A(a?) 3' satisfait, il en sera de même du déterminant de la
substitution T'(.r) qui n'en est ([u'un transformé.

Considérons notre (x''''"° p- ion et siipjiosons que ce soit un y4 ion. Supposons
(lue le déterminant des ji^ quantités x^h-, soit nul ainsi ([ue ses mineurs
des (A'^ — i) premiers ordres, mais que les mineurs d'ordre supérieur ne soient
pas tous nuls.

Envisageons l'équation xy = o qui peut s'écrire

Considérons en particulier celles de ces équations qui se ra|)portent à une
valeur donnée de x et à une valeur donnée de •/; elles sont au nombre de />^
correspondant aux différentes valeurs de l'indice (3. Comme les mineurs du

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. I i7

déterminant des x' sont nuls jusqu'à l'ordre {k^ — i); parmi ces équations,
(^5; — /,-£<) seulement sont distinctes, de sorte que nos p^^ inconnues y'»;-^
dépendront encore de Aa arbitraires: il en sera de même dosy^^j inconnues rkss)
de sorte que les joj inconnues )' relatives à notre a"°"'//- ion dépendent de Aj,/?»
arbitraires et que les /• inconnues )' dépendent en tout de

arbitraires.

En d'autres termes, le déterminant de T'(a;j | et par conséquent aussi le
déterminant A(a;)] sera nul, ainsi que ses mineurs des (A — i) premiers ordres.

En d'autres termes encore, l'équation X)= o admet A solutions distinctes,

de sorte qu'on a

xyW = j-yr-) = . . . = j-yl*) = o,

>'"'» y'^'i • • •) )'"' étant A nombres complexes linéairement indépendants,
c'est-à-dire que x est A fois diviseur de zéro.

Si nous multiplions x par /• nombres complexes quelconques linéairement
indépendants, les produits obtenus ne seront pas linéairement indépendants,
puisque nous venons de voir que k de leurs combinaisons linéaires sont nulles;
parmi ces produits, (/• — A) seulement seront distincts.

Donc X fait partie d'un sous-système semi-invariant à droite de (/• — A)
nombres.

De même, x fera partie d'un sous-sjstéme semi-invariant à gauche de (r — A)
nombres. Mais il ne faudrait pas en conclure que x fait partie d'un sous-
système invariant de (/• — A) nombres, car ces deux sous-systèmes semi-
invariants ne sont pas identiques. Du reste, nous n'envisagerons ici ([ue des
sous-systèmes semi-invariants à droite.

Nous pourrons dire qu'un sous-système semi-invariant s de II nombres est
/iremi'er quand il ne contiendra aucun sous-système semi-invariant de moins
de A nombres, d'où il suit qu'on peut reproduire tous les noiidires du sous-
système s en multipliant un nombre quelconque x de ce sous-système par les
divers nombres complexes y du système S. Car s'il n'en était pas ainsi, ceux
des nombres de s qu'on obtiendrait en multipliant x par les divers nombres
de S, ne reproduisant pas le sous-système s tout entier, formeraient un sous-
système semi-invariant de moins de h nombres contenu dans s.

Dans un sous-système semi-invariant premier .v, tous les coeflicients x^^i qui
ne sont pas nuls ont même premier indice « (et correspondent par conséquent

i48 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

à un même p- ion). Et, en effet, supposons qu'il y ail dans s des nombres où
deux coeflicieiils x' dont les premiers indices a et a soient différents, et qui ne
soient pas nuls. Multiplions ces nombres par des nombres complexes

où tous les coefficients )■ soient nuls, sauf ceux dont le premier indice est «;
dans les produits, les coefficients seront aussi tous nuls, sauf ceux dont le
premier indice serait a, et ces produits formeront un sous-système semi-
invariant contenu dans ,9; donc s ne serait pas premier.

Je dis maintenant que, dans le sous-système premier .y, il y a, entre
les jOg coefficients x'^&i, des relations linéaires distinctes de la forme

OÙ les As sont des coefficients constants ne dépendant pas des x' ni du second
indice ô, et que ces relations sont au nombre de (/>„ — i), de sorte que, fina-
lement, le sous-système se compose àe p^ nombres distincts.

Et, en effet, soit X un nombre quelconque de notre sous-système premier s;
tous les nombres du sous-système pourront être obtenus en multipliant l'un
quelconque d'entre eux par d'autres nombres complexes, sans quoi ceux qu'on
pourrait obtenir de cette façon formeraient un sous-système semi-invariant
contenu dans s.

Considérons les nombres Xe'jjijy; ils font tous partie de y, ils ne peuvent pas
être tous nuls, et, en effet, si l'on pose

il vient

X = Xe, =^ Ca3YXe^3.|..

Les termes où le premier indice n'est jias égal à oc. sont déjà tous nuls; si
ceux où ce premier indice est a étaient également tous nuls, il faudrait que X
fût nul.

Soit donc Xel^r^vJ^o; le sous-système s pourra être obtenu en multi-
pliant Xe^s-, par un nombre complexe quelconque. On obtient ainsi le sous-
système semi-invariant

qui se compose àa p^ nombres et qui doit être identique à s.

SUR l'intégration algérriql'e des équations linéaires, etc. i49

Je dis maintenant que tout système semi-invariant non premier peut être
décomposé en plusieurs sous-sjstèmes semi-invaiianls premiers n'ayant aucun
nombre en commun et de telle façon que toul nombre du sous-sv>lème total
puisse, d'une manière et d'une seule, être regardé comme une somme de
nombres appartenant aux divers sous-sjstémes composants.

Soit eu effet X un nombre appartenant à un sous-sjstème semi-invariant s
non premier; nous aurons

Or ^e'i^gy appartient à 5 et appartient en même temps au sous-système
premier formé des nombres Xe^r^g (ô= i, 2, . . ., Pa,)-

Dans ses derniers Mémoires parus dans les Sitzungsberichte de Berlin
de 1899 à 1901 et intitulés DarstcUiuig der Gritppen diirch Uneavc Trans-
fonnationen, M. Frobenius cherche à former les groupes de substitutions
linéaires isomorphes à un groupe fini donné. Ce problème pourrait être résolu
en s'appuyant sur les principes suivants :

Soient Ç,, ^,, . . . , ^„ des variables indépendantes et 0 un polynôme linéaire
et homogène par rapport à ces variables. Soit ct, une substitution quelconque
de G et e, l'unité complexe correspondante. Soit G' un groupe de substitutions
linéaires entre les n variables H, isomorphe à G, et a'^ la substitution de G
correspondant à a,: soit 01?, ce que devient le polynôme 9 par cette substitution.

S'il n'y avait entre les fonctions linéaires oei aucune relation linéaire, le
groupe G' pourrait être ramené à un groupe de permutations entre les cpe,, et,
plus généralement, l'étude du groupe G' peut se ramener à celle des relations
linéaires entre les cpe,.

Soit X = ^X,e, un nombre complexe quelconque; nous poserons

oX =

2-^'?'"''

et alors les relations linéaires cherchées seront de la forme

oX = o.

Il nous suffira de remarquer que l'ensemble des nombres X qui satisfont à
cette relation forme un sous-systèmc semi-invariant à gauche, et que, inver-
sement, étant donné un sous-système semi-invariant à gauche, on peut s'en
servir de cette façon pour délinir un groupe linéaire G' isomorphe à G,

i5o SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

VI. — Applications du théorème de Frobenius.

lleprenons, comme dans les paragraphes 2 et 3 : i° notre groupe fini H
d'ordre m ; i" nos groupes fuchsiens G et G' et les fonctions fuchsiennes
correspondantes; .3° les intégrales de première espèce K(^) et les intégrales
de seconde espèce P(;, a). Conservons les mêmes notations, de telle sorte
que o- désigne une sub.stitution de G et S une substitution de G'.

Envisageons d'autre part, comme au paragraphe 5, le système d'unités
complexes

(0 «1. e-, e,n

correspondant au groupe H, de sorte qu'à chaque substitution de (.i corres-
ponde une substitution de H et, par conséquent, une des unités (i). Supposons
qu'on ait réduit le système de nombres complexes correspondant, (pie j'appel-
lerai le système 1, à sa forme canonique (en le décomposant en p- ions), et
soient

les nouvelles unités complexes, le triple indice ayant même significalion que
plus haut.

Nous emploierons les notations suivantes : soil V {:■) une intégrale abélienne
quelconque, combinaison des K(c) et P(;, «); considérons

F(3a-'),

0-, étant une substitution de G. A cette substitution correspondra une unité
complexe e,-, mais à cette unité correspondront plusieurs substitutions de G
que j'appellerai o-,, a], ..., et, par conséquent, plusieurs intégrales ¥[z-<7~i')i
F(.3o-j~'), ...; mais toutes ces intégrales ne différeront les unes des autres
que par des constantes ; car on aura a'i = u.S, S appartenant à G'. Si donc je

conviens de poser

F(sa-i)=F(s)e,-,

la fonction F(j)(?, sera définie (/ une constante /)rès.
Soit maintenant

je conviendrai de poser

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. i5i

Nous aurons

[F(3)e,]<;,= [F(sv')]e,-=F(3î^iî-i) = P(z)(e,e;.),
puisque iJi/ji^ correspond à eiek] et plus généralement

[F(s)X]Y==F(3)(XY),

de sorte que je pourrai écrire simplement F(;)XY.

Autre remarque : si ¥{z-) est une intégrale de première espèce, ou se réduit
à une fonction algébrique (je veux dire une fonction algébrique de x et de y et,
par conséquent, une fonction fuchsienne de z), ou se réduit à une constante,
il en sera de même de F(;)X.

Si nous rapprochons ces deux. leniarques, nous verrons que, si l'on consi-
dère une fonction F (3) quelconque, l'ensemble des nombres X qui seront tels
que la fonction F(;)X jouisse de lune de ces trois propriétés, formeront un
sous-sjstème semi-invariant à droite; car il est clair que, si F(;)X jouit d'une
de ces propriétés, il en est de même de F(3)XY, quel que soit le nombre Y.

Par exemple, nous avons q intégrales de première espèce K(c); supposons

q < m
et considérons les //(, intégrales

(2) K(37,)- l<(3cr,), ...., Kf3T„,);

il y aura entre elles au moins [m — y) relations linéaires distinctes. Or une
combinaison linéaire quelconque des intégrales (2) peut s'écrire d'après notre

nouvelle notation

K(z)X,

X étant un nombre complexe du système 1. Parmi ces combinaisons, il j
en aura [pour le moins {m — q)\ qui se réduiront à des constantes et les
nombres X correspondants formeront un sous-système semi-invariant.

Supposons que, parmi les intégrales (2), il j en ait q' qui soient linéai-
rement indépendantes; le nombre q' sera au plus égal au genre q; d'où q '^q-

Quoi qu'il en soit, le sous-svstème semi-invariant formé par les nombres X
tels que K(j)X =: const. comprendra précisément (jn — q') nombres complexes
linéairement indépendants.

Considérons maintenant l'ensemble des nombres X tels que l'on ait à la fois
[pour toutes les intégrales (2)]

Kf 33i)X = const., K(z35)X = const., ,.., K(j!'t„,)X = const.

i5'2 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

Cet ensemble formera un sous-système non plus semi-invariant, mais
invariant, car il est clair qu'on aura

K( ;)Y\ = const., K(3)YXZ = const.,

Y et Z étant deux nombres complexes quelconques.

Cela posé, nous dirons qu'une intégrale de première espèce K.(;) appartient

à un p- ion H si l'on a

K(3)X = const.,

X étant un nombre complexe quelconque faisant partie d'un p- ion autre
que n, et si la même relation n'a pas lieu pour tous les nombres complexes
de n.

Il résulte de cette définition que toute intégrale de première espèce peut
être regardée comme la somme de plusieurs autres dont chacune appartient à
un y;- ion déterminé.

Soit, en effet,

K(z) = K ( s 3, ) = K ( z) e,

cette intégrale, nous pouvons écrire

ei= X,-h X,-)-. . .-hXp,

chacun des nombres X, faisant partie d'un p- ion déterminé. Nous aurons alors

lv(3; = K(z)X,-+-K(z)X,-H...--K( = )X^.

Alors K(;)X, ou bien se réduira à une constante ou appartiendra au
même p- ion que X,; car on aura évidemment

K(-)X,Xi= const.,

si X/, fait partit! d'un autre /(- ion que X,-, puisque alors on aurait X,Xa = o,
et, d'autre part, si \, el \a font partie du même p- iou, on n'aura pas la même
relation, quel que soit Xa, puisqu'il y a un nombre X/i tel que X/X^ = X,.

Examinons maintenant ce qui se passe, s'il y a des p^ ions auxquels n'appar-
tient aucune intégrale de première espèce, et il y en aura forcément si m > </.
Soit X un nombre d'un de ces p- ions et K(;) une intégrale quelconque, on
aura
(3) K(=jX = const.

Considérons les périodes de nos intégrales; les périodes de K(.;o-7') seront
des combinaisons linéaires à coefficients entiers de celles de K(;;) et les coeffi-
cients entiers de ces combinaisons pourront être déterminés comme nous

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. 153

l'avons vu au paragraphe 3. Celles de K(;)X seront encore des combinaisons
linéaires de celles de K(:^); mais les coefficients no seront plus entiers; ces
coefficients toutefois seront aisés à déterminer, puisque ce seront à leur tour
des combinaisons linéaires à coefficients entiers des coefficients X, du nombre
complexe

Si alors w est une période de K(;) et si 'jX est la période correspondante
de K(;)X, alors, en vertu de (3), on aura

(4) ioX = o.

La relation (4) est une relation linéaire entre les périodes de K(^) et,
d'après nos hypothèses, ces relations doivent avoir lieu pour toutes les inté-
grales K.(:;).

Or, nous savons qu'il existe q intégrales admettant chacune 2(j périodes.

Parmi ces périodes, q peuvent être clioisies arbitrairement; il y a donc entre
les 2g périodes q relations qui restent vraies pour toutes les intégrales et il
n'y en a que q.

Ces relations sont bien connues. Si K(-:) et K'(;) sont deux intégrales
quelconques, on sait qu'il y a entre les périodes de ces deux intégrales une
relation bilinéaire à coefficients entiers, dite de Riemann, qui s'écrira, par
exemple,

(0, Oj'i (0,(o'^ + WjCoJj (0,4 eu'., +...-!- C0,,^_, (Olj,. I')2,/0);jy_| = o,

si les w, sont les périodes normales de K(::) et les c.j| celles de K'(.g).

Si, dans ces relations bilinéaires, on prend pour K'(-;) successivement
q intégrales de première espèce linéairement indépendantes, on aura, entre les
périodes de K-(;), q relations linéaires distinctes et qui resteront les mêmes
quelle que soit l'intégrale K.(3). Il ne peut y avoir cV autre relation linéaire
entre ces périodes.

Donc, de deux choses l'une : ou bien la relation (4) sera une idenlilé,
et alors tous les coefficients de celte relation dexront s'annuler, co qui
nous donnera un certain nombre de relations linéaires à coefficients
entiers entre les X, ( l'est-à-dire entre les coefficients du nombre com-
plexe X= ^X/e, j, qui seront vraies pour tous les nombres complexes du
p'^ ion considéré.

H. P. — III. 20

i54 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

Ou bien la relation (4) est l'une des relations dont nous venons de parler,
que l'on obtient à l'aide d'une intégrale K.'(;) et dont les coefficients sont des
périodes de cette intégrale K'(z); et alors il y aura une intégrale de
première espèce dont les périodes seront des combinaisons linéaires à
coefficients entiers des X,.'

Pour savoir lequel de ces deux cas se présentera, je considère l'intégrale de
seconde espèce P(3, a) et je forme

P( 3. a)\.

On démontrerait de la même manière : i" que les nombres X tels
que P(^, a)X soit une fonction algébrique, forment un sous-svstènie semi-
invariant à droite; 2" que les nombres X tels que tous les P(c(t, a)X soient
des fonctions algébriques, forment un système invariant; 3° qu'une intégrale de
seconde espèce quelconque peut toujours être décomposée en une somme
d'une fonction algébrique et de plusieurs intégrales de seconde espèce appar-
tenant chacune à un/?^ ion déterminé.

11 convient, bien entendu, de dire que P(;, a) appartient au p- ion H,
si P(;, a)X est algébrique quand X est un nombre complexe quelconque
faisant partie d'un p- ion autre que II et si cela n'est plus vrai quand X fait
partie de II (ou du moins pour tous les nombres complexes X faisant partie
deH).

Soit alors un p- ion auquel n'appartienne aucune intégrale de seconde
espèce; soit cp(a) l'une des périodes de P(::, «) et cp(a)X la période corres-
pondante de P(;, a)X, on devra avoir

(4 bis) z(a)\ = o,

X étant un nombre quelconque du p- ion envisagé et quelle que soit l'inté-
grale P(;) a).

.La relation (4 bis) est une relation linéaire entre les périodes de P(;, a)
formée avec ces périodes comme la relation (4) l'était avec celles de K.(;).
Mais ces périodes d'une intégrale de deuxième espèce peuvent être choisies
arbitrairement.

Donc la relation (4 bis) est une identité, et il en est de même de la
relation (4).

On est donc dans le premier cas et il y a entre les X, des relations linéaires
à coefficients entiers.

Soit maintenant un /)- ion auquel n'appartienne aucune intégrale de

SUR L'INTÉCRATION ALGÉBKIQUE des ÉQUATION'S LINÉAIRES, ETC. l55

première espèce et auquel appartienne pourtant une intégrale de deuxième
espèce. Alors la relation (4) ne pourra être une identité, sans quoi il en serait
de même de ( j bis) et P(;, a)X serait algébrique quelle que soit P(:;, a),
contrairement à l'Iivpotlièse.

On est donc dans le second cas et il y a une intégrale de première espèce
dont les périodes sont des combinaisons à coefficients entiers des X,-.

Nous devons donc distinguer trois sortes de /;- ions :

Première sorte : Tous les P(;, rt)X so/it das fondions algébriques.
Deuxième soute : Tous les P(;, rt)X ne sont pas des fonctions algé-
briques, mais tous les K(3)X sont des constantes.

Troisième sorte : Tous les K(:;)X ne sont pas des constantes.

Plaçons-nous à un autre point de vue. Considérons les unités com-
plexes (i) ei, Co, ..., e,u '■ elles seront liées aux unités complexes nou-
velles ejjfjy par des relations linéaires à coefficients constants. On aura, par
exemple,

et les coefficients A, seront des nombres algébriques. Supposons que pour
l'un des p'^ ions, que j'appellerai le p- ion 11^, les coefficients A, qui entrent
dans les expressions des unités «JaBy soient des fonctions rationnelles à coeffi-
cients entiers d'une certaine racine % d'une équation algébrique L à coefficients
entiers.

Plus généralement, supposons que le y;^ ion II^ puisse être engendré pary>'-
unilés fondamentales e", qui pourront être différentes des unités cano-
niques eâ'^Y, et que l'on ait

les A, étant des fonctions rationnelles de Ç.

Il suffit pour cela que le nombre commutable qui fait partie de Yl^ ait ses
coefficients rationnels en Ç. En efTet, on obtiendra les nombres de ^^ en multi-
pliant ce nombre commutable par un nombre complexe quelconque. Si nous
multiplions ce nombre commutable par des nombres complexes entiers, les
produits auront leurs coefficients rationnels en Ç et l'on pourra choisir les
p'^ unités fondamentales parmi les produits ainsi obtenus.

Soient Ç', Ç", ... les autres racines de cette équation L. Soit B, ce que

l56 SUR l'intégration algébrique des équations LINEAIRES, ETC.

devient A, quand on y remplace Ç par Ç'; il exi>tera un antre jt- ion IIj dont les
unités fondamentales seront

Les p- ions H^j, Ilg et ceux qu'on formerait avec Ç", . . . , comme on a
formé Ilg avec Ç', seront dits conjugués.

Il peut arriver, il est vrai, que IIj;, Ilg et tous les p'^ ions conjugués se
confondent en un seul, et c'est ce qui arrive en particulier avec les quaternions
ordinaires de Hamilton, si l'on veut faire dériver ces quaternions des unités
canoniques ej^sy; mais si l'on ne s'astreint p;is à choisir ces unités canoniques
comme unités fondamentales, on peut toujours supposer que tous les conju-
gués de n^ sont distincts. 11 suffit pour cela de prendre pour unités fonda-
mentales p- produits du nombre commutable par des nombres complexes
entiers.

Je dis que si un p- ion est de la première sorte, il en sera de même de tous
ses conjugués. '

En effet, la condition nécessaire et suffisante pour que H^, soit de la première
sorte, c'est que la relation (4), pour tous les nombres de ce p- ion, se réduise
à une identité, c'est-à-dire que l'on ait identiquement, pour toutes les unités

fondamentales de 11^,

(oe" = o,

quelle que soit la période oi choisie, c'est-à-dire enlin que l'on ait, pour toutes
ces unités fondamentales, certaines relations

2

/m A; = o,

dont les coefficients m, sont des entiers faciles à déterminer.

Mais, comme ces coefficients sont entiers, les relations devront subsister
quand on y remplacera Ç par Ç'; on aura donc encore

de sorte que Ilg sera encore de la première sorte.

Remarquons maintenant que le nombre des intégrales de première espèce
appartenant à un p- ion (d'ordre /;) est toujours un multiple de p. Et, en effet,
partons d'une intégrale K(;;) quelconque et formons les diverses inté-
grales K(i;)X, où X est un nombre complexe du p- ion considéré; il y en

SUR L INTEGRATION ALGEBRIQUE DES EQUATIONS LINEAIRES, bTC. 1 57

aura yj^, puisqu'il y a p'^ nombres X clans le p- ion, mais elles ne seront pas
toutes distinctes; il peut j avoir en elFet des relations de la forme

(5) lv(;)X = consl.

Nous savons que les nombres X jouissant de cette propriété forment un
sous-système semi-invariant à droite et il en est de même des nombres X jouis-
sant de cette piopriété et faisant partie de notre jr ion.

Or, les sous-systèmes semi-invariants faisant partie de ce p- ion peuvent
être décomposés en un certain nombre de sous-systèmes semi-invariants
premiers contenant cbacuiiy» nombres. Le nombre des relations (5) distinctes
sera donc un multiple àa p et il en sera de même par conséquent du nombre
des intégrales K(.;)X distinctes.

Nous pouvons dire que les intégrales 1\.(;)X dérivent de l'intégrale Iv(;),
où X est un nombre quelconque du p- ion.

Il en résultera que le nombre des intégrales distinctes qui dérivent d'une
même intégrale et qui appartiennent à un même /j- ion, est un multiple deyj.

Nous dirons qu'un système d'intégrales est fennec si elles appartiennent à
un même />" ion et si toutes les intégrales qui dérivent d'une intégrale du
système font également partie du système. Nous dirons qu'un système fermé
est premier s'il ne contient aucun système fermé plus petit.

Je dis alors qu'un système fermé premier quelconque se compose de p inté-
grales. Je n'ai qu'à répéter les raisonnements que j'ai faits au paragraphe o à
propos des sous-systèmes semi-invariants premiers. Le système étant premier,
toute intégrale du système pourra être regardée comme dérivant de l'une
quelconque d'entre elles K(;), ou encore de K(;)e^p.j, [à moins que K(j)eâRY
ne se réduise à une constante]; mais cela ne peut pas être vrai de tous
les K(s)eâpY, **'^* quoi

K(3) = K(ôje,=2Ca3YK(3)e'afiy

se réduirait à une constante. Mais les intégrales dérivant de K(z-)e'^aj sont les

intégrales

K(^)eà;« (û = l, 2, ■■■,J>),

et elles sont au nombre de p. c. q. f. d.

Je dis maintenant qu'un système fermé quelconque peut être décomposé en
systèmes premiers. Car si K(;) est une intégrale quelconque du système, on

i58 SUR l'intkgration algébrique -des équations linéaires, etc.

peut écrire

K(z\ = k^;,.)?, =^CapY K(3)e;.j...

D'ailleurs nous pouvons toujours supposer que ces systèmes premiiTS sout
distincts, c'est-à-dire qu'il n'y a entre les intégrales de ces systèmes premiers
aucune relation linéaire, sans quoi on se servirait de ces relations linéaires
pour éliminer les systèmes premiers qui ne seraient j)as distincts des autres.

On en conclut aisément que le nombre des intégrales d'un système fermé
quelconque et, en particulier, le nombre total des intégrales distinctes
appartenant à un p- ion, est toujours un inultijile de p.

Examinons maintenant les relations entre les périodes. Soit

Kl ;Sa~'j — K(s3^') = we;.
S appartenant à ( i' et

si X = 7 X,t',. Quels sont les nombres complexes X [lour lesquels on a

coX = Il '.'

1° Je suppose d'abord que wX reste nul quelle que soit Viiitègrale K pour
une substitution S donnée de G'; on aura

(oV',= K'i ;S7-i) — K'(CT-I),

et, si r(ui prend K'(c) = 1v(-*a' ),

(■/ «; = K ( ;î S ar ' a;;: ' ) = I\ i c 7- ' 3^ ' ) = w t'y; Cj^
to'X =^X,(we<e,) = (ocA-X.

Comme on doit avoir w'X = o, ou aura

WC'/. X =; n.

et, par conséquent,

(ij Y\ = o,

quel que soit le nombre complexe Y'.

Les nombres \ fornteroni un sous-système semi-invariant à gauche.

2° Je suppose que 'si\ reste nul pour une intégrale K donnée pour toutes
les substitutions S de tj'.
Alors

SUR l'intégration algébriquiî des équations linéaires, etc. iSg

Mais, G' étant un sons-groupe invariant, on a

S' ap[)arlenant à (i', d'où

,X,[K(3S'aT')-K(3ari)].

-I.--

Or nous pouvons poser

fjj' étant une période telle que. d'a|)rès notre hypothèse, oj'X soit nul; on aura
donc

c.j \ e/; — ^ X;( (o'e, ) = o)'X = o.

Donc wc/i et wXY seront nuls, Y étant un nombre complexe quelconque.
Les nombres \ for/ncroiil un sous-système semi-im (triant à droite.

Les nombres X pour lesquels wX = o pour toutes les intégrales K(::) et
pour toutes les substitutions S formeront évidemment un système invariant; ce
système nous est déjà connu, [>uisqu'il est formé de tous les />" ions de la
première sorte.

Nous avons vu au paragraphe 3 qu'au groupe H se rattachent deux groupes
linéaires remarquables; étudions ces deux groupes de la façon que nous avons
expliquée à la fin du paragraphe o et d'abord le groupe des transformations
à coefficients entiers que subissent les périodes.

Il s'agit de rechercher les relations de la forme wX = o, qui sont vraies pour
toutes les intégrales lv(;) et ])our une substitution S donnée; d'après ce que
nous venons de voir, les nombres \ formeront un sous-sjstème invariant à
gauche, compreniinl d'abord tous les/;- ions de la première sorte et comprenant
encore d'autres nombres complexes.

De plus, on peut supposer, vu la nature du groupe, que tous les nombres X
sont entiers.

Convenons donc de dire qu'un ensemble de nombres complexes entiers
forme un sous-système entier semi-invariant à gauche quand tout nombie
du sous-système multiplié à gauche par un nombre entier quelconque du
système total fait encore'partie du sous-système. Alors les nombres X formeront
un sous-système entier semi-invariant à gauche.

i6o SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

Il est clair que, si l'on considère un p- ion et tous ses conjugués, leur
ensemble formera un sous-syslème invariant, et que les nombres entiers de ce
sous-système formeront un sous-système iinariant etiticr. Les sous-sjslèmes
invariants entiers formés de cette façon avec les /)- ions de la première sorte
feront évidemment partie du sous-système des nombres X, mais ce sous-
système comprend encore d'autres nombres complexes.

Ce sous-système des nombres X jjeut être décomposé en sous-systèmes
semi-invariants entiers premiers^ si j'appelle ainsi les sous-systèmes semi-
invariants entiers qui n'en contiennent pas d'autre plus restreint.

Comment peut-on former les sous-sj'Stèmes semi-invaTiants entiers premiers?
Considérons un sous-système semi-invariant premier non entier; soit i ce
sous-système, il appartiendra à un certain/?- ion II et se composera dey* nom-
bres distincts (si p est l'ordre de H).

Soient i', — ", ... les sous-systèmes conjugués de i (au sens arithmétique
donné plus haut à ce mot). L'ensemble des systèmes -, i', i", . . . furmcra un
nouveau sous-système semi-invaiiant qui (à l'inverse de ce qui arrive pour
chacun des systèmes partiels i, i', • . • ) contiendra des nombres entiers. Le>
nombres entiers de ce système formeront un sous-système semi-invariant entier
que j'appelle -^.

Voici comment on peut former les nombres de ce sous-système. Soit X un
nombre de 1, dont les coefficients X, seront les fonctions rationnelles de la
quantité algébrique Ç envisagée plus haut; soient X', X", ... les nombres
conjugués de X, où Z est remplacé par Ç', Ç', .... Soit ensuite R une fonction
rationnelle quelconque de ï; soient R', R', ... les fonctions correspondantes
de ;', Ç', .... Le nombre complexe

(\) = XR — X'R'-v-X"IV'--...

sera rationnel et, en le multipliant par un entier orijinaire convcnaiile, on
obtiendra un nombre entier complexe. On obtiendra de la sorte tous les
nombres du sous-syslème ^,.

Maintenant, ce sous-syslème entier est-il premier? Il me sullît, pour le
décider, de chercher si, en multipliant à gauche un nombre entier quelconque
du sous-syslème par un nombre complexe convenable, on peut retrouver un
nombre entier quelconque du sous-syslème.

Nous pouvons toujours supposer que tous les p- ions conjugués de H sont
distincts.

SUR l'intégration ALGÉBRIQIE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES, ETC. l6t

Dans ce cas, tous les nombres X, X', X ', . . . appartiennent à des p^ ions
distincts. Soient alors Y et Z deux nombres appartenant au même sous-système
que X; soient S et U deux fonctions rationnelles de Ç; soient \\ Y", . . .,
Z', Z", . . ., S', S", . . ., Ll', L'", . . . leurs conjugués. Les nombres Y et X'
appartenant à desy^^ ions différents, les produits tels que YX' seront nuls.

Gela posé, considérons les nombres complexes

(Y) = YS H-Y'S'-r-Y"S"-^...,
(Z) = ZU -f- Z' U'-f- Z"U"-H. . ..
On aura alors

(YX) = YXRS — Y'X'R'S'-+- Y"X"R"S" + . . ..

Or, le sous-système semi-invariant dont l'ail partie X étant premier, on peut
choisir Y de façon que YX ou YXRS soit égal à un nombre quelconque du
sous-SYSlème; nous supposerons donc

YXRS = ZU,

d'où, en changeant Ç en Ç', t' , . . . ,

Y'X'R'S'=Z'U', Y"X"R"S"=Z"U", .... '

et enfin

(Z) = (Y)(X).

Or, (Z) et (X) sont deux nombres quelconques du système S,; on peut
néanmoins trouver un nombre (Y) qui, multiplié par (X), reproduise (Z).
Donc notre sous-système est premier. c. q. f. n.

Ces considérations suffisent pour nous faire comprendre l'origine et la
nature du groupe linéaire à coefficients entiers dont il s'agit.

Passons à l'autre groupe : quand on change ; en ;(7,, les intégrales de
première espèce lv(;) subissent une substitution linéaire: nous avons posé

K(cc7Ti,= \<{z)eu K(=)X=2x,K(3)e,.

L'élude du groupe en question revient à chercher les nombres X tels
que K(^)X = consl.: nous avons vu que ces nombres forment un sous-système
semi-iuvariaut à droite: ce sous-système comprend d'abord tous les/j- ions de
première et de deuxième sorte, puis un certain nombre de sous-systèmes semi-
invariants premiers contenus dans les/;- ions de la troisième sorte.

On s'étonnera peut-être que ce sous-syslème soit semi-invariant à droite,
puisque nous avons vu à la lin du paragraphe o que les nombres complexes X
H. P. - III. "

l6'2 SUR l'intégration ALGÈBKIOl'K DES ÉQIIATIONS LINÉAIRES, ETC.

qui servent à la définition d'un gioiipe doivent furnier un sous-syslème semi-
invariant à gauche.

Il est aisé de voir d'où vient la dlfTi'rence. Supposons (ju'on ait posé

K(jc,) = (_lv)f,. {K)\ =^ Y,(.lv)e,.

Nous nous >erions retrouvés dans les mêmes conditions qu'à la fin du para-
graphe 5, et les nombres Y auraient dû former un sous-système semi-invariant
à gauche. C'est, en effet, ce (jui arrive. Nous avons

On aura donc (K.) Y = K (s)X si

^i;x.

Soit maintenant

il est aisé de \oir que Y' =::e^.\, ce (pii prouve (jue si les \ furmenl un sous-
système semi-invariant à droite, les ^ formeront un sous-sjsième semi-
invariant à gauche.

A la fin du paragraphe 3, nous avons été amenés à considérer certains
nombres que nous avons appelés 6, et avec lesquels nous avons formé un dét(,'r-
niinant de groupe. Ces nombres devaient être choisis de telle façon que ce
déterminant s'annule ainsi (pic ses mineurs pisrpi'à un certain ordre. Nous
avons distingué ensuite deux cas suivant que les sommes ^ AJv (rc-, ' ) se
réduisaient ou non à des constantes quelle que soit l'intégrale i\ choisie.

Je dis maintenant que les deux cas peuvent se présenter. Et, en cllet, pour
que notre déterminant s'annule ainsi que ses mineurs des premiers ordres, il
suffit. |uir exem[)le, cpie le nombre 7 b,r', appartienne à un /t- 1011. Alors le
premier cas se présentera si ce p- ion est de la première ou de la deuNième
sorte, et le second cas si le y' ion est de la troisième sorte.

VII. — Application à l'exemple du paragraphe IV.

Reprenons l'exenqjle du ])aragraphe i, où le groupe II se composait de
168 substitutions. Ces 1G8 suljstitutions se réparllssent en six classes (en grou-

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. i63

panl dans la inéinu classe la substitution o-,- cl ses Iransfornices u): ' o-, u^ ) ; je

désignerai ces six classes par les lettres E, P, Q, R, S, Sj :

l^a cinsse !i coiii|)iL-iiilr;i i siilisliliiliou do période 1 ( sidj-liliil ion idciui(iiic ï, ).

I' .. ■.•! " 7

Il o il y_ '^ » 7

» R » "iii 11 3

I, S "1' " .i

Il S; " . il II J.

Désignons alors par les lettres

K = e,, V, Q, H, S, S,

les nombres complexes obtenus en faisant la somme des unités complexes
correspondant aux diverses substitutions de la classe désignée par la même
lettre. Ces six nombres seront commulables.

D'après M. Frobenius [loco citalo {Die Grupjieiicltaraclere), in //«e], le
système des nombres complexes se décompose en six p- ions; chacun de
ces /;- ions contient un nombre cominutable et un seul, et ce nombre suffit
jiour le caractériser, puisque tous les autres nombres du p- ion s'obtiennent en
le multipliant jiar un nombre complexe quelconque. Nous avons donc six
nombres commulables remarquables que j'appellerai

a,= E -+- P + Q -H H -I- S -^ Sî,

a, = 7E + R — S — S,.

0(3= 3K + T P — ï'Qt S — s.,,

a.. ^ 3E -+- T'P -(- ï Q + S — S,,

■j.:, = 8 !• + P ^ Q — U,

20= 01':— P — Q + «S,.

On a, comme au paragraphe i,

■-'- T = — 1 \ — 7. -.n" = — 1 — \i — 7.

Je désignerai les sixyy- ions par les mêmes lettres que les nombres comnui-
tables correspondants et je trouverai que :

P ~ ' :

/'■'=^

1

lioiir

'-I

y^ = 7'

p'^

Î'J

pOlll'

y.->

P^i;

p"-=^

'J

pour

a.-;

p = i,

p- =

<l

pour

'■'\

p = 8,

p- =

(il

pour

•j.„

/j = C,

p'-=

3(i

pnin

■J-t..

i64 SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc.

On voit que les nombres i-omimilnbles oc,, aji «sj «c sont rationnels, que les
nombres u^ et a, contiennent l'irrationalité y* — 7 et sont conjugués. Il en est
donc de même des^- ions correspondants.

Nous savons qu'il y a trois intégrales abéliennes de première espèce et six
intégrales de première et de deuxième espèces distinctes (c'est-à-dire telles
qu'aucune de leurs combinaisons linéaires n'est algébrique).

Je vois d'abord que le p- ion c, est de première sorte, car il ne contient
qu'un nombre a, qui est la somme de toutes les unités complexes, de sorte
qu'on aura

si donc

on aura, en appelant ji . joi • ■ • , Xm les diverses déterminations de )-,

P(=, a) =2] /Q(-'% n)^'^ = f^i-^) d^,

R étant rationnel en r, de sorle que P(;, a)», sera algébrique.

c. Q. F. n.

Je dis que les p- ions :zo, a^, «^ ne peuvent être de la troisième sorte, sans
quoi le nombre des intégrales de première espèce serait, pour a..,, un multiple
de 7, pour a.-, un multiple de 8, pour ac un multiple de 6, ce qui est impossible,
puisque le nombre tolal des intégrales de première espèce n'est que de trois.

Comme il faut qu'il v iiit au moins un p- ion de la troisième sorte, ce ne
|)ourra être que ^3 ou a., ; ils ne pourront l'être tous les deux, sans quoi il y
aurait au moins trois intégrales appartenant à X;,, au moins trois à y.,, en tout
au moins six et il n'y en a que trois.

1-,'uii des deux//- ions est iIduc île troisième sorte; l'aMlr-e ne jieut être do la
première sorte, car si un /*- ion est de la première sorte, il en est de même de
tous ses conjugués; 4I sera donc de l,i deuxième sorte.

Le nombre des intégrales de première et de deuxième espèces qui appar-
tiennent à x.i est un multiple de 3 ; de même pour celles qui appartiennent
à «1 Le nombre de ces intégrales qui appartiennent à xj et à «.., est donc au
moins six et, comme le nombre total est six, il faut couclure que tous les
autres p"^ ions sont de la première sorte.

En résumé, sur nos six p- ions, ([ualre sont de la première sorle, un de la
deuxième et nu de la troisième.

SUR l'intégration algébrique des équations linéaires, etc. i65

VIII. — Remarques diverses.

Elanl donne un groupe (ini II, on peut, dune in/iiiitc de inaiiicies, former
les groupes fuclisieus Ci et G'. On engendrerail donc d'une infinilé de manières
les systèmes correspondaiils de fondions fnclisiennes ou d'intégrales abé-
liennes.

La comparaison de ces difTérentes manières et de ces différents systèmes
serait sans doute très intéressante.

Je me bornerai à la remarque suivante : on peut se demander à quoi corres-
pondent les gi'ou|)es linéaires à coefficients entiers que nous avons rencontrés;
il suffit de se reporter à leur origine expli(piée au [)aragraplie Î5.

Soient G lui groupe auquel H soit mériédriquement isomorphe, et G' le
sous-groupe invariant de G auquel correspond dans H la substitution iden-
tique; soient 5, une substitution de H et o-, la substitution correspondante de G.

Supposons maintenant ([ue G' dérive de q substitutions fondamentales

S,, S, S,/,

et soit S une combinaison (juelconque de ces substitutions fondamentales.
Alors

S'= 5rl S 7,

sera aussi une combinaison de ces substitutions fondamentales.

Soit maintenant G" un groupe mériédriquement isomorphe à G', défini

comme il suit; il admettra toutes les relations de structure de Ci', mais de plus

toutes ses substitutions seront permutables. Si donc T est la substitution de (i "

qui correspond à S et T' celle qui correspond à S', la substitution de G" qui

correspondra à SS' sera identique à celle qui correspondra à S' S, de sorte

qu'on aura

TT'=T"I".

Il pourrait aiiiver que le giou|)e G" ainsi défini se réduisît à la substitulicm
identique, mais cela n'arrivera pas si G' est un groupe fuchsien de genre > o.

Soient T, , T^, ..., T^ les substitutions de G" qui correspondent à S,,
S^, . . . , Sg; à S correspondra dans G' une substitution

où «1 est la somme des exposants de S, dans la combinaison S, etc.; à

i66 SOR l'intégration algébrique des éqbations linéaires, etc.

S'= 0-"' s (7 correspondra

OÙ |3| esl la somme des exposants de Si dans la combinaison S', etc.

Il est aisé de voir que les (3 sont des combinaisons linéaires des a. A chaque
substitution s, de H correspondra donc une transformation linéaire à
coefficients entiers dont Venscnihlc formera un groupe isomorphe à If.
Voilà la sigaificalion de ces groupes linéaires à coefficients entiers.

Faisons en passant une autre remarque; tout groupe fini contenu dans le
groupe linéaire consen'c une forme quadratique définie positive, ou bien
une forme à indéterminées conjuguées.

Supposons en elTel d'abord que le groupe soil réel, c'esl-à-dire que toutes
les sul)>tltutions du groupe aient leurs coefficients réels. Soient Xi une forme
linéaire quelconque de nos n variables, Xj, X3, ..., X^ ses transformées:
alors le groupe conservera la forme quadratique définie positive

qui ne peut être identiquement nulle.

Supposons que le groupe ne soit pas réel ; soient (1 ce groupe, x, , x-,, ■ ■ . ■ x„
nos variables indépendantes: soit alors (i„ un groupe imaginaire conjugué du
précédent portant sur les variables x", x", .... x" imaginaires conjuguées
des x.

Soil alors X, une forme linéaire quelconque des .r: soient Xo. X^, . . ., X/,
ses transformées par le groupe G ; soit X" une forme linéaire des .r„, imaginaire
conjuguée de X,: soient Xj, X°, ses transformées parles substitutions corres-
pondantes de (io- Alors la forme à indéterminées conjuguées

sera invariante.

Soient }', et z; les parties réelle et imaginaire de a:,: alors G pouria être
regardé comme un grou])e réel portant sur les 2n variables )- et ;, et F sera
une forme quadratique définie de ces 2« variables, de sorte qu'on est ramené
au cas précédent.

Cette remarque bien sim|ile pourrait peut-être siuiplifier l'applicatidii du
théorème de M. Jordan: elle ramène en effet la recherche des groupes finis
contenus dans le groupe linéaire à l'étude géométrique de ht di\ ision régulière
d'une s|)hère à plus de trois dimensions.

GROUPES CONTINUS

ANALYSE DES TRAVAUX DE H. POINCARE SUR LES GROUPES CONTINUS

FAITE PAR LUI-MÊME.

Acfa mat/iematica, t. 30, p. 90-92 (i(|i3).

On vient de voir comment mes recherches sur l'algèbre m'avaient amené à
m'occuper des groupes continus. C'est ainsi que j'avais montré (') le lien qui
unit ces groupes aux nombres complexes : j'avais énoncé à ce sujet un tlïéo-
rème dont, détourné par d'autres travaux, je n'ai jamais publié la démonstration,
mais qui a été depuis démontré par M. Study.

Je me suis servi également des groupes continus dans un travail relatif aux
géométries non euclidiennes (-).

Mais ce n'est que beaucoup plus récemment que j'ai abordé la théorie géné-
rale de ces groupes.

Lie avait démontré au sujet de ces groupes trois lliéorèmes fondamentaux.
D'après le troisième de ces théorèmes, il existe toujours un groupe qui admet
des équations de structure données pourvu que ces équations satisfassent aux
conditions jacobiennes.

Lie a donné de ce théorème deux démonstrations. La première s'applique
seulement aux groupes qui ne contiennent pas de substitutions permutables à
toutes les autres substitutions. Elle ne laisse rien à désirer au point de vue de
la simplicité. La seconde s'applique à tous les groupes; elle est beaucoup plus
indirecte el plus compliquée.

Je me suis proposé de donner de ce troisième théorème une démonstration

(') Comptes rendus de l'Ac. des Se, Paris. I. 99, 1884. p. -/^<i-~^3.
(-) Bulletin de la .Société math, de France, t. l.î, 1887, p. 20,1-516.

l68 GROUPES CONTINUS.

directe et simple, applicable à tous les cas. J'y suis parvenu (178, 274) grâce à
l'emploi d'une notation symbolique très abrégée.

Je dois dire quelques mots sur le caractère de cette démonstration. Etant
données les équations de structure, c'est-à-dire les règles de la composition des
substitutions infinitésimales, j'ai cherché à en déduire les règles de la compo-
sition des substitutions Unies. Or ces règles s'expriment par des séries infinies;
i'ai reconnu que ces séries pouvaient se sommer par des formules où n'enti-ent
pas d'autres transcendantes que des exponentielles.

Je me plaçais ainsi au point de vue formel, en introduisant des formules
qui, faisant complètement abstraction de la « matière » du groupe, sont égale-
ment applicables à tous les groupes isomorphes. Mais ces formules elles-mêmes
nous font connaître les transformations que bubissent les paramètres qui défi-
nissent une substitution du groupe lorsque l'on compose cette substitution
avec une autre substitution du groupe. Ces transformations forment un groupe
isomorphe à celui une l'on proposait de former; ce groupe porte le nom de
groupe paramétrique.

Nos formules nous permettent donc de former effectivement ce groupe |iara-
métrique. Ainsi non seulement elles démontrent l'existence d'un groupe de
structure donnée, mais elles donnent le moyen de le former effectivement. Lie
avait démontré que la formation d'un pareil groupe pouvait se ramener à l'inté-
gration d'un système d'équations différentielles ordinaires. J'ai fait voir que
non seulement on pouvait sans intégration former les substitutions infinitési-
males du groupe, mais que dans le cas le plus défavorable, la formation des
substitutions finies pouvait se rauiener à une simple quadrature.

Dans le cas particulier auquel s'appliquait la première démonstration de Lie,
les formules auxquelles on parvient sont assez simples, moins simples toutefois
que celles de Lie. En tout cas, elles sont différentes et l'on ne voit pas immé-
diatement comment on peut passer des unes aux autres. La comparaison des
deux sortes de formules n'en est que plus instructive. Elle nous fait retrouver
un certain nombre de théorèmes de KlUiug. L'étude des formules obtenues
Qous fait d'ailleurs, même dans le cas général, retomber sur ces mêmes théorèmes.

BIBLIOGRAPHIE SPÉCIALE AUX GROUPES CONTINUS.

178. Comptes rendus Ac. Se, Paris, t. 128, 1899, p. 1065-1069.

"274. Cambridge Philosophical Transactions, t. 18, 1900, p. 220-7.55.

SUR

LES GROUPES CONTINUS

Comptes rendus de l' Académie des Sciences, l. 128, p. loÔS-ioOg ( i" in:ii 1899).

Je désirerais faire quelques ohservalioas au sujet de celte belle théorie des
groupes continus, d(uit la Science est redevable au génie de noire regrellé
correspondant M. Lie. Je voudrais, en particulier, faire voir que l'on peut
démontrer l'existence d'un groupe de structure donnée |)ar un procédé un peu
dillérent do celui qu'a employé ce grand géomètre.

Soit y une fonction quelconcpie de n variables x,, x,, ..., x,, et soient
X<", X'-', ..., \'"', n fondions de ces mêmes variables. Je puserai, suivant
l'usage,

Ou voit que YX(/'j = Y[X (_/")] n'est pas égal, en général, à X.\ (/) : je
supprimerai généralement l'indication ( /") et j'écrirai X et Y\ au lieu de X(/)
et \X(/'). L^n opér.ileur quelconque, combinaison des opérateurs X, \, Z. se
présentera sous la forme A' via polynôme symbolique en X, Y, Z. Seidenieut, il
convient d'observer que dans un produit S3'mbolique on n'a pas le droit d'inter-
vertir l'ordre des facteurs.

Ainsi XY n'est pas égal à Y\ ; et ( X -t- Y)'- n'est égal ni à

X=-U2XY--Yî

ni à

X'--+-2YX-^Y-.

mais bien à

Xî^XYh-YX^Yî.

Un polynôme symbolique sera dit normal si tous les termes qui ne
difTèrent que par l'ordre des facteurs ont même coefficient; en général, un

H. P. — III. 22

170 SUR LES GROUPES CONTINUS.

polynôme symbolique ne peut pas être mis sons la forme d'une somme de
puissances de polynômes linéaires; les polvnomes normaux le peuvent seuls.
Je poserai, suivant l'usage.

XY — YX = [\. Y]

et je supposerai que nos opérateurs sont liés par ccrtaiuos relations (que
j'appellerai relations de structure parce qu'elles définissent la structure du
groupe) et qui seront de la forme

[\. Y] = l'.

U étant un polynôme linéaire par rapport à nos opérateurs. Les coefficients de
ces polynômes linéaires U ne seronl pas quelconques; mais ils devnmt être
choisis de façon à satisfaire aux identités associatives

[|.\.Y]. 7.]-[[Y, Z], \]-^[[Z. \], V] = o.

Les relations de structure permetteni de transformer les polynômes symbo-
liques et l'on commence par démontrer cjue si les identités associatives ontlieu,
on peut toujours transformer d'une manière, et d'une seule, un polynôme
symbolique quelconque en un polynôme normal.

Cela posé, considérons n opérateurs X,, Xj, ..., X„, satisfaisant à un
système de relations do structure et didentités associatives; envisageons les
substitutions infinitésimales qui cliaugent /" en / '+ £a X/s( /'), où £,, £21 • • •> ^n
sont n constantes infiniment petites, et les puissances de ces substitutions.
On sait qu'une puissance quelcnnque de la substitution i H- £a \/, est égale à

' I ! ^ 1 : ■ î !

où t est une constante et peut être représentée symboliquement par c"''.

Considérons plus généraleuient une combinaison linéaire quelconque de
ces substitutions inlinitésimales

ine puissance quelconque de cette combinaison pourra s'écrire

I p\

les / sont des constantes, et se représentera symboliquement par

SUR LES GROUPES CONTINUS. I7I

Soient maintenant deux combinaisons linéaires

T — ^,x, + . . . -L /„x„, ^' = f|X, + . . .+ (.-«x,,.

Considérons l'opérateur

Cet opérateur se présentera sous la forme d'iuie série dont tous les termes sont,
des polynômes syml:)oli([ues en X,, X^, . . ., X,(. Grâce aux relations de struc-
ture, ces polynômes peuvent être transformés en polynômes normaux.

Je dis qu'une fois celle Iransfovnialion faile., notre opéraleur se pré-
sentera sous la forme d'une série symbolique

•-2>?^

W = .r,X,-«'oX,^...--,r„X„.

Ce lliéoréme serait évident si nous savions d'avance qui' le groupe existe ;
encore faudrait-il chercher à déterminer les w en fonction des l et des c, ou
ce qu'on pourrait appeler les règles de multiplication des substitutions du
groupe.

Mais nous voulons précisément démontrer l'existence du groupe dont nous
ne connaissons que la structure.

.Supposons d'abord que V soit infiniment petit, et soit W = V -(- Uo,

LI„= (f|X,4-.. .-h (f„X„
étant un opérateur infiniment petit. Posons maintenant

[T,U„] = U,. [•!■■ l'i] = l^. [T,IU] = U3,

on trouvera aisément, en s'aidant des relations de structure et négligeant les
infiniment petits du second ordre,

ViziJZ.

Cette équation nous donne les c en fonctions des u et des f, linéaires par
r.ipport aux u, et l'on aura

Les 9,,/; sont des fonctions entières des t, d'une forme toute particulière;
car elles s'expriment rationnellement en fonctions : i" des t; 2" des racines
51, 9.,, . . . , 9„ d'une équation de degré n en 9, dont le premier membre est un

lya SUR LES GROUPES CONTINUS.

polynôme entier par rapport à 9 et aux t; 3° et enfin des exponentielles e^>,
e»., ...,e8...

Cela posé, je vais démontrer, en me bornant à indiquer la marche géné-
rale et le principe de la démonstration, que c^ e''^ est, quel que soit le coeffi-
cient /(. de la forme c^'' .

En effet, d'après ce que nous venons de voir, le théorème est vrai pour h
infiniment petit; je dis maintenant que, s'il est vrai pour h = ho, il scr.i vrai
aussi pour /( ^ //o-|- o/c car si l'on a

gT p/,„V = p\V„_

on aura aussi, puisque ô/( est infiniment petit,

(,) pW. pôAV^p\V._ô\V.

ou, à cause de l'associativité,

(,T g/i„-i-î/i)V _ eW„+ô\V_ c. Q. P. D.

Nous voyons en même temps, par l'équation (i), que lus w, considérés comme
fonctions de //, satisfont aux équations difl'érenlielles

On achèvera de déterminer les w en remarquant que h'a doit se réduire à t/,
pour h = o. Les règles de multiplication des substitutions du groupe sont donc
établies, sans connaître autre chose que la structure de ce groupe.

L'existence du groupe est en même tenips démontrée, puisque nous avons
fnimé le groupe paramétrique.

Li considération du groupe adjoint permettrait d'intégrer les équations (2)
en termes finis ou du moins par quadrature.

SUR

LES GROUPES CONTINUS

Cambridge Philosoplikal Transactions, vol. 18, p. 220-205 (iSgy).

I. — Introduction.

La théorie des groupes continus, ce titi-e immortel de gloire du regretté
Sophus Lie, repose sur trois théorèmes fondamentaux.

Le premier théorème de Lie nous apprend comment dans tout groupe
continu il y a des substitutions infinitésimales et comment ce groupe peut
être formé à l'aide des opérateurs

x(./-. = ^^xo^.

Considérons r opérateurs de cette forme

(0 x,(/). \,(f), •••• Xr(/);

et convenons de poser

D'après le second théorème de Lie, si les symboles (X^X/,) sont liés aux opé-
rateurs X,- par des relations linéaires de la forme

{■i) (X,-Xa.) = i;f,/,,x,.

où les c sont des constantes, les /■ opérateurs (i) donneront naissance à un
groupe.

Les relations linéaires (2) pourront s'appeler relations de slructure puis-
qu'elles définissent la « structure » du groupe qui dépend uniquement des
constantes c.

C'est le troisième théorème de Lie qui attirera surtout noire attention.
Quelles sont les conditions pour qu'on puisse former un groupe de structure

174 SUR LES GROUPES CONTINUS.

donnée, cV'Sl-à-dire trouver r opérateurs X,, X2, ..., X,- satisfaisanl à des
relations de la forme (2) dont les coefficients c sont donnés?

On voit tout de suite que les coefficients c ne peuvent êUe choisis arbi-
trairement. On doit d'abord avoir

(3) c/.;.< = — f,<.5.

Ensuite, d'après la définition même du svnibole (X,X/f), on a identiquement

d'où résultent entre les c certaines relations connues sous le nom d'iclc/itilàs
de Jacobi (').

Une condition nécessaire pour que l'on puisse former un groupe de structure
donnée, c'est donc que les coefficients c satisfassent à ces identités de JacoV>i
auxquelles il convient d'adjoindre les relations (.3).

Le troisième théorème de Lie nous enseigne que cette condition est suffisante.

Four la démonstration de ce théorème, nous devons distinguer deux familles
de groupes.

Les groupes de la première fninille sont ceux qui ne contienneni aucune
substitution permutable à loutes les substitutions du groupe.

Les groupes de ht deuxième faniille sont ceux (jui contienneni des substi-
tutions permutables à toutes les substitutions du groupe.

En ce qui concerne les groupes de la première famille, la démonstration de
Lie, fondée sur la considération du groupe adjoint, ne laisse rien à désirer par
sa simplicité.

En ce qui concerne les groupes de la deuxième lamille, Lie a donné une
démonstration eatièremeni différente, beaucoup moins simple, mais (pii permet
cependant de former les opérateurs \,(/) pur l'inlégralinn d'c'quations diffé-
rentielles ordinaires.

Dans une Noie récemment insérée dans les (omplis rendus de V Icadèmie
des Sciences de Paris, j'ai donné une démonstralion nouvelle du troisième
théorème de Lie.

Les résultats contenus dans celle Note étaient moins nouveaux ipie je ne le
croyais quand je l'ai publiée.

D'une part, en efi'et, Schur avait, dans les lierichte der A. siic/isisc/icn

') L'iileiililé ( iJ i-st riilirililc de Jaccbi; les ruhiliiiii^ i/rjtir lis c f|ui en icMillrnl sont dues
S. Lie. J. 11.

SUR LES GROUPES CONTINUS. 17-"

Gesellschaft der Wissritscliaflen 1891 el daas le tome il d>is Malhematisclie
Annalen, donné du tliéurème en (luostion une déinonstralion entièremeul
différente de celle de Lie.

Cette démonstration présente la |ilus grande analogie avec celle que je \\ro-
[jose; mais elle n'a [jour ainsi dire pas été poussée jusqu'au bout. Comme le
fait remarquer Engel, le résultat dépend de séries que Schur forme et dont d
démontre la convergence; au contraire Lie ramène le problème à l'intégration
d'équations dilFérenlielles ordinaires.

Je suis arrivé comme Lie lui-même à des équations différentielles ordinaires
qui même sont susceptibles d'être complètement intégrées.

D'autre part. Campbell a donné sous une autre forme quelques-unes des
formules auxiliaires qui m'ont servi de point de départ {Pruceedings of tlie
Londoii Mat/temalical Society, tome 28, page 38i et tome 29, page 612).

Il m'a semblé néanmoins que cette Noie contenait encore assez de résultats
nouveaux pour qu'il y eût quelque intérêt à la développer.

Je ramène en effet la formalion d'un groupe, de structure donnée, à l'intégra-
tion d'équations différentielles siuiples, intégration qui peut se faire en ternies
linis.

Ces équations sont moins simples (^ue celles que Lie a formées pour les
groupes de la première famille; mais même dans ce cas, il peut y avoir intérêt
à les connaître, car elles sont d'une forme différente et ne s'en déduisent pas
immédiatement.

De plus elles sont applicables aux groupes de la deuxième famille et dans ce
cas elles nous fournissent une solution du problème plus simple que celle de
Lie.

II. — Définition des opérateurs.

Soit /' uni' fonction quelconque de n variables Xi, Xj, . . . , .r„.
.Suit X un opérateur qui ihange / vn

où les (X,) sout n fonctions données des /; variables x^, x.>, . . ., x,,, de sorte
que

176 SUR LES GROUPES CONTINUS.

Soient \, Z, etc. d'autres opérateurs analogues de telle façon qui;

\(f) = -L(\/^AL, Zif) = za,)ÉL, ...,

auj ti.ij

les (Y,), les (Z,), . . . étant d'autres fonctions de x,, x^^ . . . , x,f
Dans ces conditions

X--(/) = X[X(/)]. XV(/) = X[V(/)].
X=Y(/) = X[XY./jl. XVZ(/) = X[VZ(/)], ...

seront des combinaisons linéaires des dérivées partielles des divers ordres de la
fonction y, multipliées par des fonctions données des Xi.

Ainsi se trouveront définis de nouveaux opérateurs X^, XY, X'' ^ , XYZ, . . . ,
qui sont des combinaisons des opérateurs simples X, Y, Z, .... On voit que
ces produits symboliques obéissent à la loi associative, mais n'obéissent pas, en
général, à la loicommulative, déserte queXYne doit pas être confondu avec YX.

Ces opérateurs sont ainsi symboliquement représentés par des monômes;
mais on peut définir des oj)érateurs qui seront symboliquement représentés par
des polynômes tels que

i-^aX, a\~b\, «Xî-i-2/^XY ^cV^

en convenant d'écrire par exemple

(I + «X) (/) =./^ a X(/,,; {a\ + b\){f) = « X(/ ) -f- h Y(/),

On voit que les polynômes opérateurs ainsi définis obéissent à la fois à la loi
associative et à la loi distrlbutive, de sorte qu'on aura

( a X -T- 6 Y ) ( p X + rf Y j = ne \'- + adW -+- bi: YX :- b,l \\

et en j)articulier

( \ fY)== X= XY-f-YX-4- Y^

expression qu'il ne faut pas confondre avec X-+2XY + Y-.

On peut aussi introduire des opérateurs qui seront représentés .symbt)liqLie-
ment par des séries infinies. Je citerai par exemple l'opérateur

/+ „(X + Y) (/) + .^f \ -:- Y)'(/) + «HX + Y)n / ) + ...,
que je représenterai symboliquement par

[-a(X-.Y)] ^^^'
ou plus simplement par

1 — a(X + Y\'

SI H LES GROl'PES CONTINIS. 1^7

el l'opérateur

ijue je représenterai par e*''(/) ou simplement par e'^^.

On peut se demander si l'emploi de ces opérateurs représentés par des séries
est légitime et si la convergence des opérations est assurée.

Il y a des cas où cette convergence est certaine. C'est ainsi que Lie a
démontré que

e'^{f)=ff.^\- ^'l, ■■■■ 3--'n).

OÙ les x\ sont définis par les équations différentielles

-jj =(\iMx\. x:, y„).

et par les conditions initiales

.r;= ,r, pour ? = o.

Les opér^iteurs définis par des séries symboliques obéissent évidemment aux
lois distributive el associative, ce qui permet par exemple d'écrire des égalités
telles que celle-ci :

Il j a aussi un cas où ils obéissent à la loi commutative. Soient

<I>(X) = Sa„X". T(Xi=i:6„X"

deux séries symboliques dépendant d'un seul opérateur élémentaire X.

On a alors

*( X,[>l'i \ m/i| = »l'iX)f<l)(X )(/)].

Les deux produits symboliques 0(X)>I'(X) et 1'"(X)<t(X) sont en effet des
bonimes de monômes dont tous les facteurs sont égaux à \ . Si tous les facteurs
sont identiques, il est clair que l'ordre de ces facteurs est indifférent et que
les opérations sont commutatives.

Mais cela ne sera plus vrai si les séries symboliques dépendent de plusieurs
opérateurs élémentaiies différents; il ne faudrait pas, par exemple, confondre

X'" Y"
m ! Il .
avec

Y''X"'

Y „X _ V

e' e

-- p'.

U. 1'. — 111. - ii

178 SUR LES GBOUPES CONTINUS.

III. — Calcul des polynômes symboliques.

Soient X, Y, Z, T, U, . . . , Ji opérateurs élémentaires. Parleurs combinaisons
on pourra former d'autres opérateurs représentés symboliquement par des
monômes ou des polynômes.

Deux monômes seront dits équi/iollents lorsqu'ils ne différeront que par
l'ordre de leurs facteurs; il en sera de même de deux polynômes qui seront des
sommes de monômes équipollents chacun à cliacun.

Nous appellerons polynôme régulier tout polvnomi' qui peut être regardé
comme une somme de jiuissances de la forme

(xX-^-3Y + YZ-^...y^
Il résulte do cette définition :

i" Que si un polynôme régulier contient parmi >-es termes un certain
monôme, tous les monômes équipollenls figureront dans ce polynôme avec le
même coefficient. Cette condition est suffisante pour que le polynôme soit
régulier.

2" Que parmi les polynômes équipollenls à un polynôme donné il y a un
polynôme régulier et un seul.

Le polynôme ,

XY — Y\

jouit de la même propriété que les opérateurs élémentaires, c'est-à-dire que

(XY-YX)(y)

est comme \(f), Y(y), etc. une combinaison linéaire des dérivées du premier
ordre seulement de la fonction/ multipliées par des fonctions données des a;,.
Nous supposerons que les opérateurs élémentaires et leurs combinaisons
linéaires sont seuls à jouir de cette propriété. (Si cela n'avait pas lieu, nous
introduirions parmi les opérateurs élémentaires tous ceux qui en jouiraient.)
Nous devrons donc avoir des relations de la forme
(I) XY_YX = (XY),

OÙ (XY) est une combinaison linéaire des opérateurs élémentaires; nous
reconnaissons là les relations de Lie, dites relations de slructuie

X,X,-X,X,= Sc,/,,X,.

SUR LES GROUPES CONTINUS. 179

Cela posé, deux polynômes seront équivalents lorsqu'on pourra lus réduire
l'un à l'autre en tenant compte des relations (i).

Par exemple le produit
(2) P[XY-YX-(XY)]Q

(où le premier et le dernier facteurs P et Q sont deux monômes quelconques)
est équivalent à zéro; et il en est de même des produits analogues et de leurs
combinaisons linéaires. Les produits de la forme (2) sont ce que j'appellerai
des produits trinômes.

La différence de deux monômes qui ne diffèrent que par l'ordre de deux
facteurs consécutifs est équivalente à un polynôme de degré moindre.

Soient en effet X et Y ces deux facteurs consécutifs. Nos deux monômes

s'écriront

PXYQ, PYXQ,

P et Q étant deux monômes quelconques, et leur différence

P[XY — YX]Q

sera équivalente à

P(XY)Q,

dont le degré est d'une unité plus petit, puisque (XY) est du premier degré,
X\ et YX du deuxième degré.

Soient maintenant M et M' deux monômes équipoileuts quelconques, c'est-à-
dire ne différant que par l'ordre des termes. On pourra trouver une suite de

monômes

M, M,, M,, ..., Mp, M',

dont le premier et le dernier sont les deux monômes donnés et qui seront tels
que chacun d'eux ne diffère du précédent que par l'ordre de deux facteurs
consécutifs. La différence M — ^^, qui est la somme des différences M — M|,
M, — 1M2, . . . , Mp — M', sera donc encore équivalente à un polynôme de degré
moindre.

Plus généralement, la différence de deux polynômes équipollents est équiva-
lente à un polynôme de degré moindre.

Je dis maintenant qu'un polynôme quelconque est toujours équivalent à
un polynôme régulier.

Soit en efTet P„ un polynôme quelconque de degré n; il sera équipollent à
un polynôme régulier P), ; on aura alors l'équivalence

p P' _:_ p

^ Il — ^ n ■ * it — I j

181) Sl'R LES CHOIPES CONTINUS.

OÙ P„_i est un polynôme de degré /; — i qui sera à son tour écjuipoUeni à un
polynôme régulier P),^,, d'où l'équivalence

el ainsi de suite; on finira par arriver à un polynôme de degré zéro, de sorte
que nous pouvons écrire l'équivalence

p — P' __ p' p'

dont le second membre est un polynôme régulier.

On a donc un moyen de réduire un polynôme quelconque à un polynôme
régulier en se servant des relations (i). Il reste à rechercher si cette réduction
ne peut se faire que d'une seule manière.

Le problème peut encore se présenter sous la forme suivante : un polynôme
régulier peut-il être équivalent ù zéro? Ou bien encore peut-on trouver une
somme de produits trinômes de la forme

(i) P[XY — Y\ — (\Y ilQ.

qui soit un polynôme régulier non identiquement nul? Toutes les sommes de
pareils produits sont en effet équivalentes à zéro.

Le degré d'un produit trinôme sera égal à 2 plus la somme des degrés des
polynômes P et Q. Si je considère ensuite une somme S de pioduits (2), ce
que j'appellerai le degré de cette somme S, ce sera le plus élevé des degrés des
produits qui y figurent, quand même les termes du degré le plus élevé de ces
différents produits se détruiraient mutuellement.

Le produit trinôme (2) peut être considéré comme la somme de deux pro-
duits, le produit binôme
(■iOi.i) \'\\\ — 1 \ |(,i.

où je distinguerai le monôme positif PWQ et le monôme négatif — l'\ \Q;
et le produit

que j'appellerai le produit complénienlairi-.

Soit donc S une somme cpielconque de produits Liinomes de degré /> ou de
degré inférieur; je |)ourrai écrire

S ^ S/,— T,, -i- Sy,-i — T,, -, ... ^ .S,, — 'l',.

où S/i est une somme de produits binômes de degré A
i./,'ri l'|\^— V\|(i.

SUIl LES GKOtPES CONTINUS. iSl

lainlis (|ue — Ta est la somme des produis coniplémeiilairo correspondants

Il s'agit de savoir si la somme S peut être un polvnome régulier sans être
identiquement nulle. J'observe d'abord que si S csl un polvnome réguber, il
doit en être de même de Sf,; car S,, représente l'ensemble des lermesde degré p
dans S; landis que (S/,-, — T^), (S/,_ï — T/,_|), ..., (S^ — T;,), — Tj repré-
senlenl respectivement l'ensemble des termes de degré /J — i, /> — ?., . . ., 2, i.

On voil iuimédialemenl que S/, est équipoUent à zéro; comme zéro est un
polvnoini^ régulier, et que deux pidvnomes réguliers ne peuvent être équipol-
lents sans être identiques, il faut que S/, soit idenli(|uement nul.

Soit en particulier p = ,'i, *

S, = i:[\\ — >\ )/> — i;/4\v — ^\|,

le signe - siguilie que l'on t'ait l.i somme <lu terme qui est pvplicilemenl exprimé
sous ce signe et des deux termes cpi ou en peut déduire en permutant cir( ulai-
rement les trois lettres X, ^ , Z.
On fiurii

puis

S;= i[t\V,)Z— Z(\> ij.

S = S:,— T^-T-S,— T, = 2[XY — YX — iXV)JZ — 2Z[XY — YX — (XY)]
— i;[(XY)Z — ZfXYi — ((XY)Z)].

Il est aisé de vérifier que S:) et S^ — ^ T;i sont identiquement nuls, de sorte
que S se réduit à — Tj.

Or

T,= [(X\;ZJ-|( VZ)XJ^[(ZX)YJ

est un polynôme de premier degré, car [(XY)Z] comme (XY) lui-même est
un polynôme du premier degré.

Or, dans un polynôme du premier degré, chaque terme ne contenant qu'un
seul facteur, on n'a pas à se préoccuper de l'ordre des facteurs. Tout polynôme
du premier degré est donc un polynôme régulier. Si donc le polynôme T2 n'est
pas identiquement nul, la somme S sera égale à un polynôme régulier qui ne
sera pas identiquement nul.

Donc, pour qu'un polynôme puisse être réduit d'une seule manière à un
polynôme régulier, il faut qu'on ait les identités suivantes :

ri) [(XYiZ)^ |i \z,)X] + [('zx)\] = ...

ig:. SUR LES GROUPES CONTINUS.

On reconnaît là les identités de Jacobi qui joiunl un si grand rôle dans la
théorie de Lie.

[Si d'ailleurs ces identités n'avaient pas lieu, les opérateurs élémentiiires
seraient liés par les équations (3) qui ne seraient plus des identités; ils ne
seraient plus linéairement indépendants; on pourrait donc en réduire le
nombre. ]

Les identités {?>) sont donc la condition nécessaire pour que la réduction
d'un polynôme à un polynôme régulier ne puisse se faire que d'une seule
manière.

Il me reste à montrer que cette condition est suffisante.

Je dirai, pour abréger, une somme régulière, pour désigner une somme de
produits trinômes qui est un polynôme régulier.

Soit alors

une somme de produits trinômes; les deux premiers terjues S/, — Tp repré-
sentent la somme des produits trinômes du degré le plus élevé, c'est ce que
j'appellerai la tête de la somme S.

J'ai distingué plus haut dans un produit trinôme trois parties que j'ai
appelées le monôme positif, le monôme négatif et le produit complémentaire.
Je dirai qu'une somme de produits trinômes forme une chaîne si le monôme
négatif de chaque produit est égal et de signe contraire au monôme positif du
produit suivant. Le monôme positif du premier produit et le monôme négatif
du dernier seront alors les monômes extrêmes de la chaîne.

Il résulte de cette définition que tous les monômes positifs d'une même
chaîne ne diffèrent qne par l'ordre de leurs facteurs.

Une chaîne sera fermée si les deux monômes extrêmes sont égaux et de
signe contraire. Si S^ — T^ est une chaîne fermée de produits trinômes
(S/, représentant la somme des produits binômes el — T^, celle des produits
complémentaires), il est clair que S^ est identiquement nul puisque les monômes
positifs et négatifs se détruisent deux à deux.

Nous avons vu que si S est une somme régulière, Sp est identiquement nul,
d'où il résulte que la tête d'une somme régulière S se compose toujours d'une
ou plusieurs chaînes fermées.

Si deux chaînes ont mêmes monômes extrêmes, leur différence est une chaîne
fermée.

Nous nous servirons de cette remarque pour montrer qu'une chaîne fermée

SUR LES (iROUPES CONTINUS. I S3

peul loujolirs de plusieurs manières ic f/c;cort!y;o5c'/' en deux ou plusieurs chaînes
fermées. Une chaîne fermée quelconque peut de plusieurs manières être
regardée comme la différence de deux chaînes C et C ayant mêmes monômes
extrêmes; soil alors C" une troisième chaîne ayant mêmes monômes extrêmes.
La chaîne fermée C — C se trouve ainsi décomposée en deux aulres chaînes
fermées G — C" et C" — C.

Il s'agit de montrer que tonte somme régulière est identiquement nulle et
en effet, quand cela aura été démontré, il sera évident qu'un polynôme régulier
dont tous les coefficients ne seront pas nuls ne |>ourra être équivalent
à zéro, puisque tout polynôme régulier équivalent à zéro est par définition
une somme régulière.

Supposons que le théorème ait été établi pour les sommes de degré 1,2, . . . ,
p — I ; je me propose de l'étendre aux sommes de degré/?.

Je remarque d'abord que si une somme régulière de degré /? est identique-
ment nulle, il en sera de même de toutes les sommes régulières de degré p qui
ont même tête. La différence de ces deux sommes serait en effet une somme
régulière de degré (p — i) qui serait identiquement nulle d'après notre hypo-
thèse.

Il me suffira donc de former toutes les chaînes fermées de degré p et de
montrer que chacune d'elles peul être regardée comme la tête d'une somme
régulière identi(iuement nulle.

Toute somme régulière S d'ordre /? a en effet pour tête une de ces chaînes
fermées, par exemple S'; si donc je montre que l'une des sommes régulières
dont la tète est S' est ideniiquement nulle, il en sera de même de toutes les
aulres et en particulier de S.

Pour établir ce point, je vais décomposer la chaîne fermée envisagée en
plusieurs chaînes fermées composantes.

II me suffira de démontrer la proposition pour chacune des composantes.

J'appellerai chaîne simple de la première sorte toule chaîne oii le premier
facteur de tous les monômes, soit positifs, soit négatifs, sera partout le même.

J'-appellerai chaîne simple de la deuxième sorte toute chaîne où le dernier
facteur de tous les monômes sera partout le même.

Une chaîne simple peut d'ailleurs être ouverte ou fermée.

Il est évident que toute chaîne fermée peut être regardée comme la somme
d'un certain nombre de chaînes simples, alternativement de la première et de
la deuxième sorte.

l84 SIR LES GROl'l'ES CONTINUS.

Soient donc S une chaîne fermée, Ci, Cj, . . ., C„ des chaînes simples de la
première sorte, C, , C'j, . . . , C^, des chaînes simples de la deuxième sorte, on
aura

le monôme négatif extrême de chaque chaîne étant, bien entendu, égal et de
signe contraire au monôme positif extrême de la chaîne suivante, et le monôme
négatif extrême de C„ égal et de signe contraire au monôme positif extrême
de C|.

Soit \ le premier facteur de tous les monouies de C,, Z le dernier facteur de
tous les monômes de C',, Y le premier facteur de tous les monômes de Co, T le
dernier facteur de tous les monôme.-, de C', (je n'exclus pas le cas où deux des
opérateurs X, Y, Z, T seraient identiques).

Soit alors C" une chaîne simple de la «leuxièuie sorte avant sou mouume
positif extrême égal et de signe contraire au numome négatif extrême de C,,
dont tous les monômes ont pour dernier facteur T, et dont le monôme négatif
extrême a pour premier facteur X.

Soit C" une chaîne simple de la première sorte dont tous les monômes ont
pour premier facteur X et dont les monômes extrêmes sont respectivement
égaux et de signe; contraire au monôme négatif extrême de C" et au monôme
positif extrême de C, .

La chaîne fermée S se trouvera décomposée en rleux chaîne!' fermées compo-
santes, à savoir :

S" = _ c"^ c, -+- C'a -■ . . . - c„ -+- c;, - C".

S' ne contient que quatre chaînes simples: car (C -i- C, ) et (C!,+ C") sont
des chaînes simples; S' contient deux chaînes simples de moins que S.

En poursuivant on finira par décomposer S en chaînes fermées composantes,
formées seulement de quatre chaînes simples. Il nous suffit donc d'envisager
les chaînes fermées formées de quatre chaînes simples comme par exemple S'.

Les monômes positifs extrêmes des quatre chaînes simples qui forment S
ont respectivement pour premier et dernier facteurs

pour G"'-C,, X et T,

» C, , X et Z,

» Cj, Y et Z,

» Cîj^C", Y et T.

Soient M|, .M,. Mj, Ml, ces quatre monômes.

' SUR LES CnOl'PES CONTINUS. l85

Tous ces mononres sonl équl|iolI(.'nts entir eux et équipollenls à un coiiain
monôme que j'appellerai X\PZT.

Nous allons alors construire une série de chaînes simples, cumprises dans le
tableau suivant, où dans la |)remière colonne se trouve la lettre qui désigne la
chaîne, dans la seconde le monôme extrême [)ositif, dans la troisième le monôme
extrême négatif; je fais figurer dans le même tableau les quatre chaînes simples
qui forment S' et je pose pour abréger :

Q.

= XYPZT:

; Q'i =

\ ^ I>T Z ;

o„

= V\PTZ; q:.

= YXrZT

Nom

Nom

de

Moniime

Monôme

de

Monôme

Monôme

la chaîne.

positif.

négatif.

la chaîne.

positif.

négatif.

G'"-,- G,

M,

-m;

D,

M:

— Qî

c;

M',

— M.

"2

lM.j

— 0:,

X 1

G,

M.

— M',

E,

Q.

-q;

g:,

\l,

— \1.

k;

Q',

— 0,

D,

M,

-Q.

E.

o„

— Q'.

r;

M',

-q;

E'.

0:,

-Q.

On peut supposer que tous les monômes de la chaîne D, ont pour premier
et dernier facteurs X et T; de sorte que D| est à la fois une chaîne simple de
première sorte el une chaîne simple de deuxième sorte. Il en est de même des
autres chaînes D. On peut supposer de plus que les chaînes E se réduisent à
un seul produit trinôme de manièri^ que par exemple

E, = \VP|ZT — TZ — iZT)].

La chaîne fermée»

S'=(G'-C,)-r-C', ^C,-+-C',

peut être décomposée en cinq chaînes fermées composantes, à savoir :

Ui = G"'+ G, -:-D'|— Ei-

-D

U; = C', + D.-E',-D',,

Uj = G. -t-D'„— E. — D..

\]\= c;,+ c" --D, — e:,-

-D

v = El H- e; + E; — E'„.

Il s'agit donc de montrer que chacune de ces cinq chaînes fermées est la
tête d'une somme régulière identiquemeni nulle.

Pour les quatre premières, qui sont des chaînes simples fermées, le théorème
est évident. On l'a supposé démontré, en effet, pour les chaînes fermées d'ordre
H. P. — III. =4

l86 SUR LES GROUPES CONTINUS. '

inférieur à p. Or il ot clair que l'on a par exemple

H étant une chaîne fermée d'ordre (/? — i).

Quant à V, ce sera la tête de la somme régulière

[XY — YX — (XY)] PZT H- YXP[ZT — TZ — (ZT ) J — [XY — YX — (XY )jrTZ
— XYP[ZT — TZ — (ZT)]-+-(XY)P[ZT — TZ — (ZT)]

-[XY-YX-(XY)]P(ZT),

qui est identiquement nulle.

Il reste à envisager ce qui se passe quand deux des opérateurs X, Y, Z, T
sont identiques, par exemple \ = Y, ou X = Z.

Nous devons alors distinguer le cas où les divers monômes positifs ou négatifs
de notre chaîne contiennent deux facteurs identiques, l'un jouant le rôle de X
et l'autre le rôle de Y (ou l'un le rôle de X et l'autre celui de Z); il n'y a alors
rien à changer à l'analyse qui précède.

Et, d'autre part, le cas où ces monômes ne contiennent qu'un seul facteur X.

Le premier cas pourra seul se présenter si l'on suppose X = Z, ou X = T,
et s'il y a plus de trois facteurs en tout.

Le second cas pourra au contraire se présenter si l'on suppose par exemple
X =\ ; mais on posera alors

Q,= Q,= XPZT; Q'i = Q.= XPTZ.

La définition des diverses chaînes demeurera d'ailleurs la même et l'on
constatera immédiatement que la chaîne V est identiquement nulle.

Le théorème est donc démontré pour les sommes d'ordre /), s'il l'est pour
les sommes d'ordre moindre.

La démonstration précédente n'est toutefois pa> applicable au cas de/) = 3;
car la chaîne ^ n'exisle que s'il y a au moins quatre facteurs. Mais la seule
chaîne fermée du troisième ordre est la chaîne S3 — Tj envisagée plus haut et
nous avons vu qu'elle est la tète d'une somme régulière qui est identiquement
nulle si les identités (3) ont lieu.

Le théorème est donc établi dans toute sa généralité.

Toute somme régulière est identiquement nulle.

Donc un polynôme régulier qui n'est pas identiquement nul ne peut pas
s'annuler en vertu des relations (1).

Donc, en résumé :

SUR LES GROUPES CONTINUS. 1S7

Si les identités {?)) ont lieu, les relations (i) permettent d'une manière, et
d'une seule, de réduire un polynôme quelconque à un polynôme régulier.

IV. — Problème de Campbell.
Soient

x„ x„ ..., \,.

r opérateurs élémentaires; supposons qu'ils soient liés par les relations

(I) X,.X,,-X,,X„=(XaX4),

(XnXi) étant une combinaison linéaire des Xj;; supposons de plus qu'on ait
les identités

(3) ({X„X4)Xe)^((X4Xe)X„) + ((X,X„)X,) = o.

D'après le deuxième théorème du Lie, ces opérateurs donnent naissance à
un « groupe continu ». f[ui admet /■ transformations infinitésimales indépen-
dantes. Ces transformations infinitésimales changent/ en

i étant une constante infiniment petite.

Soit

T = ^X,^-^X,-l-...^/,X,

une combinaison linéaire de ces opérateurs. Les t^ sont des coefficients con-
stants quelconques. La transformation finie la plus générale du groupe s'expri-
mera par le symbole

eHf).
Soient maintenant

T = <,X,+ /;X, + ...-+- /,.X,.,
V = t'iXi-i- PsX.-t-. . .+ 'V-X,.,

deux combinaisons linéaires des X. Comme les transformations e^ forment un

groupe, le produit

e^' et

devra également faire partie du groupe, de sorte que nous devrons avoir

(4) eVeT=e«',

où

\V = (l'i Xi -(- iViX,^. . .^ «vXr

est une autre combinaison linéaire des X.

Les coefficients iv sont évidemment des fonctions des v et des t.

l88 SUR LES GIIOIPES CONTIKUS.

Développons le produit

ev ,,r = V !_!_ .

Le terme général — j — j- est un polynôme d'ordre (/« -|-«). Parles relations (i)

on peut It' réduire à un polynomo régulier, et celte rédaction ne peut se faire
que d'une seule manière.
Nous pouvons donc écrire

\ III 'fil

/Il lir. '

où NV(/>, m, n) est un polynôme régulier et homogène d'ordre /)(</w + «); on

a donc

e'*' eT = ^p^„i,n \\(/'. "'■ " 1-

Si nous réunissons les termes de même degré et ipie nous posions

\y,, = -,„,„ \\i /'. "'. /( ).
il viendra

Le second théorème de Lie, que je viens de lappeler, nous apprend que le
second membre doit être de la forme e" , et par conséquent que

C'est là une proposition dont la simplicité serait inattendue, si l'on ne
connaissait pas la théorie des groupes.

Si l'on pouvait la démontrer directement on aurait, comme l'a remarqué
Campbell, une nouvelle démonstration du second théorème de Lie.

Mais il y a plus; on aurait une nouvelle démonstration du troisième théo-
rème de Lie.

Les égalités (i) nous font connaître des relations entre les opérateurs élémen-
taires et les combinaisons X\ — YX; ce sont ces relations qui déterminent la
structure du groupe. Cette structure est donc entièrement définie quand on
connaît les r'' coefficients c des r^ fonctions linéaires (XY).

Mais ces r' constantes c ne sont pas toutes indépendantes; tous les coefTi-
cients de (XX) doivent être nuls ; les coefficients de (YX) sont égaux et de signe
contraire à ceux de (XV). Enfin les constantes c doivent être choisies de telle
façon que les identités (3) soient satisfaites. J'adjoins donc aux identités (3) les

SIR LES GROUPES CONTINUS. l'^'l

identités suivantes qui sont évidentes :

(3/>/Vj (XX) = <i. i\Y) = — (YX).

Le troisième théorème de Lie nous apprend qu'on peut toujours trouver un
groupe de structure donnée, pourvu que les coefficients c qui définissent cette
structure satisfassent aux identités (3) et (3 bis), c'est-à-dire aux identités de
Jacobi.

Mais supposons inversement qu'on ait démontré directement l'identité (5) et
par conséquent la formule (4)- Les coefficients w seront donnés en fonctions
de c et de t; el je puis écrire

Pour former les fonctions <!>*, il suffit de savoir former le polynôme W, par

conséquent de savoir foncier les polynômes ^\ (p, m, n). c'est-à-dire de savoir

réduire un polynôme quelconque à un polynôme régulier; pour cela il suffit de

connaître les coefficients c.

Soient

e\ gT = e^^ ; e^^ e^ = e'- ; e^ e' = e^,

où

U = 2 Ut\,., Z = S 3/,X;.. Y = SjxX;..

Le caractère associatif de nos opérateurs nous montre que l'on a

e^ e^ = e^.
d'où les relations suivantes :

( 7 ) -/.■ = "ï»/, ' tfh iii) = 4»/, ( i-,. j-, ).

Regardons dans les équations (6j les / comme des constantes; ces équa-
tions (6) définiront une transformation <jui transforme f,, v^, . . ., (^, en «■,,
n'j, . . ., ny. Les relations ('-) nous enseignent que l'ensemble de ces transfor-
mations constitue un groupe, le groupe jjaiantétrique.

(C'est ce que Lie appelle « die ersle Parametergruppe ».)

Les substitutions infinitésimales de ce groupe sont :

OÙ dans •!•*((•,, t,) on annule les / après la différentiation.

Le^ /• substitutions infinitésimales X,(/') sont linéairement indépendantes. Et
i-n efl'et, pour qu'elles ne If fu^-ent pas, il faudrait que le déterminant fonc-

igo SUR LES GROUPES CONTINUS.

lionnel des $i par rapport aux / fût nul quels que soient les c, quand les t
s'annulent. Or cela n'a pas lieu, car ce déterminant devient égal à i quand les
V s'annulent.

Ayant ainsi défini les opérateurs élémentaires \i{f), leurs combinaisons
T = 2f,X,(y), e^, etc. se trouvent définies elles-mêmes.

Ces opérateurs étant associatifs, on aura^

c'est-à-dire, en négligeant les quantités du troisième ordre par rapport aux t
et aux M.

Tli liT

Y = T -^ U -^ — — ■

i

D'autre part, d'après la manière dont ont été formées les fonctions <t/i, on
vérifie que

V = T -- U -- -(TU) = 2/,X,-v- SHxXiH- ^ S(/,Ht— /<-»,)(X,X|.),

et la comparaison de ces deux identités donne

X,X/,— X,X,= (X,X;.),

où les coefficients des fonctions linéaires (X,Xa) sont bien les /-^ coefficients c
donnés.

Le groupe ainsi formé a donc bien la structure donnée et le troisième théo-
rème de Lie est démontré.

C'est au fond la démonstration de Schur.

Ce que j'appellerai le problème de Campbell consiste donc à démontrer
directement la formule (5), ce qui démontre à la fois le second et le troisième
théorème de Lie.

V. — Le symbole <I»(9).

Considérons /• opéraleuis élémentaires

X,. X,, .... X,.

et une de leurs combinaisons linéaires

T = ^X, + /;X. + ...-(-/,.X,..

Soit ensuite V un autre opérateur élémentaire qui pourra être ou ne pas être
une combinaison linéaire des opérateurs X.

SUR LES GROUPES CONTINUS. HJI

Supposons que les opéraleurs V cl X soient liés par des relations de la forme

on aura alors

Je poserai

(J = I, 2, .... /•),

AT — TV= i;M/,X/,,

"-( = ^/Ji.ktl-

VT — TV = 0(T).

Donc 9(T) est, comme T, une combinaison linéaire des X; et les coefficients
de 9(T) se déduisent de ceu\ de T par une substitution linéaire.
Je poserai

0[0(ï)] = OHT),

0[0"'{T)] = 0"'+i(T).

de sorte que 9"'(T) sera, comme T, une combinaison linéaire des X, les coeffi-
cients de9"'(T) se déduisant de ceux de T en répétant m fois cette même
substitution linéaire.

Si maintenant

<I>(0) = S^c/O':-

est un polynôme ou une série ordonnée suivant les puissances croissantes de 9,
j'écrirai

au lieu de

<!.(() )(T)
Considérons l'équation, dite caractéiistique,

... f'u-

(0

('r\,

.... ^,,.-0

Si celte équation a toutes ses racines distinctes et si ces racines sont 6,,
6-2, . . . , 9, , il existe /■ combinaisons linéaires des X,-, à savoir :

telles que

Si alors
on aura

Si nous posons

Yx.= Sa,-,,-X,-,

VY,-Y/,-V = 6,V7..

T = î:/,X,= 2/;.Yx..

<t.(0)(T)=2*(0,)/iY,.

<1.(0)(T)=VA,X„

192 SUR LES GROIIPES CONTINUS.

uous voyons d'abord que les coefdcients hi sont des fonctions linéaires des t;
ce sont d'autre part des fonctions dos b; étudions ces fonctions.

Si 4>(9) est un polynôme entier d'ordre jt> un 9, les /;,• seront des polynômes
entiers d'ordre p par rapport aux b. Si donc •I*(6) est une série ordonnée
suivant les puissances de 9, les /(,- se présenteront sous la forme de séries
ordonnées suivant les puissances des b. Nous allons voir bientôt quelles sont
les conditions de convergence de ces séries.

Des équations (2) on tire en effet

d'où

<l.(e)(T;=S*(9i.)'î=</-(X<-
d'où enfin

h,= -S.tj^(%,,).y.a''?il..

Pour déterminer les produits y-ih^jk faisons

f étant une constante quelconque.
On a alors

où

Mais on a aussi

,ç-e)(H) = T.

ce qui peut s'écrire

De ces équations on peut tirer les A eu fonctions des t et l'on trouve

où P,y est un polynôme entier par rapport aux b el à ;; (|uant à F(?), c'est le
premier membre de l'équation (1 ) où 0 a été remplacé par ^.

Le second membre de ré([ualion (3) est une fraction rationnelle en l;
décomposons-la en éléments simples; il viendra

où P^'j est ce que devient P,, quand on y remplace ; par 9^.

SUR LES GROUPES CONTINUS. 19^

On a donc

P*

d"où enfin, pour une fonction ^(5) quelconque.

U) *(0)(T) = X^4îi^^

On voit que les hi s'expriment rationnellement en fonctions des b, des 9/t et
des $(5a).

La formule ( \) peut se mettre sous une autre forme; nous pouvons écrire

l'intégrale étant prise dans le plan des \ le long d'un cercle de ra\on assez petit
pour que la fonction '!•(;) soit holomorplie à l'intérieur; nous le supposerons
de plus assez grand pour que les points 9,, Bn, . . ., 0,- soient à l'intérieur du
cercle. Cela nous amène à supposer en même temps que le rayon de conver-
gence de la série *(;) est plus grand que le plus grand module des quan-
tités ?|, 6o, .... S,..

On a alors pour lous les points du contour d'intégration

i?i>;9i;. i?i>iO:i. ■■•■ i?i>iOri,

d'où il résulte que la fonction rationnelle

lu

F(?)

est développable suivant les puissances croissantes des b. Il en est donc de
même des /i,-.

Nous avons dit plus haut que les Vi,- sont développables en séries procédant
suivant les puissances des b; et d'après ce qui précède, il suffit, pour que ces
séries convergent, que le rajon de convergence de la série 4*(5) soit plus grand
que la plus grande des quantités

|0,|, 10=1, .... io.i.

Si donc 4»(ï) est une fonction entière, les /i,- seront des fonctions entières
des b.

Qu'arrive-t-il maintenant si l'équation caractéristique

F(6) = o
H. P. — III. iJ

194 SUH LES GROUPES CONTINUS.

a des racines multiples? Il est aisé de s'en rendre compte en partant du cas
général et passant à la limite.

Je suppose par exemple que 0, soit une racine triple. Alors F(^) contient le
facteur (t, — &i)'. Si je décompose le second membre de (3) en éléments
simples, trois de ces éléments deviendront infinis pour 1 = 6,.

Soient

A'/' A'.!' Aif

Ç-0, ■^(Ç-0,r-"^(|-fli)»

ces trois élémenls simples. Alors il faudra, dans la formule (4), remplacer le
terme

^?/p;/'i>io, ix,

(qui n'aurait jjIus de sens tlans le cas d'une racine multiple) par les trois termes

suivants :

2A';'X,-<I>(0|) — (i!)2A'j'X,<I)'(0,)4-(2!)SA';j\\,1>"(0,).

On opérerait de même pour les autres racines multiples.

Donc les /j,, dans le cas des racines multiples, sont des fonctions rationnelles
des b, des 0^, des '^{0/,) et de leur.- dérivées ^'(0/,), <l>"(^/t), ... ; on pousse
jusqu'à <S>^P\0/i) si 0/,- est une racine muliiple d'ordre p + i .

Remarquons que je n'aurais [)u faire ce raisonnement par passat;e à la limite,
si je m'étais astreint dès le début à supposer que V est une combinaison linéaire
des X, el que les \ sont liés par les relations (i) et (3) du paragraphe IV
(relations de structure et idcmlités de Jarobi ).

Alors, en eli'el, les cas où l'équation caractéristique a des racines multiples
ne pourraient plus être regardés comme des cas particuliers de ceux où toutes
les racines sont distinctes. On aurait pu, il est vrai, démontrer directement la
formule (4 bis) et se servir de cette formule; mais j'ai préféré ne pas
m'imposer au début cette hjpolhèse restrictive, quille à l'introduire dans la
suite du calcul, de façon à avoir le dioit de raisonner par passage à la limite.

Quoi qu'il en soit, le cas le plus intéressant au point de vue des applications
à la théorie des groupes, c'est celui où celte hypothèse restrictive est satisfaite.
Supposons donc que V soit une combinaison linéaire des X

V = p,X,^-c,X, + ... i^.X,..

-Supposons de plus que les X soient liées par les relations (i) du paragraphe

précédent

\ \ — \ \ — Sf • X

SUR LES GROUPES CONTINUS. igS

et que les constantes c satisfont à des relations telles que les identités (3) du
paragraphe précédent aient lieu.
On aura alors

o(T) = î;c,7,.',/,x,,

d'où

Les résultats, démontrés dans le cas général, seront évidemment encore vrais
dans ce cas particulier: si donc on pose

<I.(0)(,T)=i;A,X„

les hi seront des fonctions linéaires des t, et des fonctions rationnelles des v^
des Qk, des <1»(9a) et de quelques-unes de leurs dérivées. Les 0^ sont les racines
d'une équation algébrique dont le premier membre est un poluiome entier
homogène de degré /■ par rapport aux v et à l'inconnue 0.

De plus les /(,■ dépendent linéairement des *I*(Û/;) et de leurs dérivées.

Si *!•(■;) esl une fonction entière de 5, les A, sont des fonctions entières des c.

Dans tous les cas, le symbole <I>(9)(T) se trouve entièremenl défini.

•le terminerai par deux remarques :

i" Si X(;) est le produit des deux fonctions 4»(^) et *I'^(Ç), on aura

*(0)['r(û)(T,] = 1^(6)[<ï>(0)(T,] = X(0)(T).

2° Si l'on a

<1.(0)(T)=U,

on au ta

4.(0)

Cette dernière égalité n'a de sens que si "I'(£) ne s'annule pas pour ^ = o, de

telle façon que -z—rs soit développable suivant les puissances de 0.

1 <t> ( 0 ) 11 '

VI. — Formules fondamentales.
Considérons l'expression

V et T ajant même signification que dans le paragraphe précédent, tandis que
oc et p sont des constantes très petites. Développons cette expression en négli-

•96 SUR LES GROUPES CONTINUS.

geaut les termes du troisième ordre par rapport à a et P; il viendra

ou

n-pT^ ■— _:<3(VT — TV),

ou, avec la même approximation,

ePT-aPiVT— TV)_

On aura donc, toujours avec cette approximation,

(•i) • e-='VePreav=epu^ oùU = T — aO(T),

ou encore, avec la même approximation,

{■ibis) «-«VePTgaV- e3u^ où U = e-«0(T).

Je me propose maintenant de démontrer que la formule (2 bis) est vraie
quelque loin que l'on pousse l'approximation; et d'abord qu'elle est vraie quand
on néglige le carré de (3 et qu'on pousse l'approximatron par rapport à a aussi
loin que l'on veut.

Supposons donc qu'on pousse l'approximation jusqu'aux ternies en (3 et
jusqu'aux termes en a'" inclusivement. Dans l'expression (1) nous remplacerons
C'''^ par I -1- jjT, c^^ et e~^^ par les m -+- 1 premiers termes de leurs développe-
ments; en effectuant le produit (et négligeant dans ce produit «'"+'), nous
obtiendrons un polynôme symbolique que nous jiourrons rendre régulier par
les procédés du paragraphe III. Soit

le polynôme régulier ainsi obtenu ; H est un monôme symbolique, et A son
coefficient qui est un polynôme entier en a et (3.

Nous avons alors
( 3) «Kï -i- (Ix. 'fi) = e- ='-'» ^' e?T c'=^+''»'^' = e-''=< V ,1,(3,. '■',) (.-/a.v.

En effectuant le produit du troisième membre de cette double égalité, et
négligeant le carré de la différentielle doc, on obtiendra un polynôme régulier
de même forme dont les coefficients sont eux-mêmes des polynômes du premier
degré par rapport à dx d'une part, par rapport aux coefficients A d'autre part.
Telle est la forme du polynôme *^(a -+■ de, j3).

D'autre part, on a

( 3 Ois ) <I>(a -^ (Ix. '{i ) — <I>( X. [i ) = d-ji i; ^ il.

SUR LES GROUPES CONTINtS. '97

Celle égalité, rapprOL-lice de la remarque que nous venons de faire, montre

r/A.

que —r- est une combinaison linéaire des coefficients A.

Donc ces coefficients A, considérés comme fonctions de c.^ satisfont à des
équations linéaires à coeflicients constants.

De plus, pour a ^ o ils doivent se réduire aux coefficienls de c^^. Ces condi-
tions suffisent pour les déterminer.

Or je dis que l'on peut v satisfaire en faisant (conformément à la for-
mule 2 bis)

*(«, p)= efiU; U = e-«''(T).

En effet cette formule nous donne

*(a + dy.. [î) = e'^^', U'= e-l«+'^'°"°(T),

et il s'ai^il de vérifier que

Or la formule (2 bis) démontrée quand on néglige d'une part le carré de (5,
d'autre part le carré de a, peut s'appliquer ici puisque nous négligeons le carré
de (3 et celui de di.. Nous avons donc

e-,/a.v e3i) erf=c.v ^ ePu"^ \]« ^ e-,(a.O(u-,^

d'où

U"= p-'/«-'>[e-»fJ(T)] = e-(«+'/a'''(T) = U'.

On a donc bien

La formule (2 bis) satisfait donc à nos équations différentielles, et comme ces
équations ne comportent qu'une solution, celte formule se trouve vérifiée.

Poussons maintenant l'approximation aussi loin que nous voulons tant par
rapport à (3 que par rapport à a.

Nous avons

*(a, ,3) = (.-ïVpjÎT^aV.

d'où

<i>(a, |3H-<i) = e-='Veip+rfpiTeav=(e-aVepTeïVj(e-ïVe,/?.TeaV)_

ou

Comme nous négligeons le carié de t/(3, je puis écrire

<I>(x, 'fi + dfi) = e''?-^, V = e-^^T);
d'où

M) <i)(5(, 3 + rfri) = <I)(a, [i)e''P-U.

Cette formule (4) représente sous forme condensée des équations différen-

igS SUR LES GROUPES CONTINUS.

tielles de même forme que les équations (3 bis), auxquelles doivent satisfaire

les coefficients A de

*(=(. ^j) = SA.n.

C'est ainsi que la formule (4) représentait sous forme condensée les équa-
tions (3 bis).

On peut satisfaire à ces équations ^lar la formule (2 bis); cette formule donne
en eCTet

Les équations difTércntielles ne comportant comme les équations (3 bis)
qu'une seule solution, la formule (2 bis) se trouve vérifiée dans tous les cas.

Cette formule (2 bis) n'est d'ailleurs que la traduction symbolique d'une for-
mule bien connue et, si j'ai développé la démonstration, c'est uniquement pour
mieux faire comprendre les symboles employés et pour faire connaître un mode
de raisonnement applicable à des questions analogues; je veux parler de celui
où s'introduisent les équations diflerentielles (3 bis) ou les équations analogues.

11 importe avant d'aller plus loin de préciser la portée de la démonstration
que nous venons de donner. Pour qu'elle soit valable, il faut que tout polynôme
puisse être réduit d'une manière et d'une seule à être régulier. Or, d'après le
paragraphe III, cela a lieu dans deux cas.

i" Si y et T sont des combinaisons linéaires des opérateurs X,
et si ces opéiMteurs sont liés par des relations

X,X<.— X<.\,= SC,<„X.;,

les constantes c satisfaisant aux i(i('ntités

(X,.(XiXc)) -î- (\t,{\c\„)) -H (Xe(X„ Xft)) = o ;

si, en d'aiilres termes, les opérateurs X définissent un groupe de Lie et si e*^,
e^^ sont deux transformations quelconques de ce groupe :

Dans ce premier cas la formule (a bis) est toujours vraie.

2° Elle sera donc vraie en particulier si l'on suppose que

V; X,. X,, .... X,
sont {r -\- 1) opérateurs liés parles relations
(5) VXi-X,V = 2/',xX,

SUR LES GROUPES CONTINUS. 1 99

et

(6) X,Xi-X^X,= o.

Ces relations entraînent en efTet l'identilé

(V(X,X,)) + (X,(X,V)) + (X,(VX,)) = o,

en désignant suivant la coutume par (VX,) et (X,X/f) les seconds membres des
relations (5) et (6). On aura donc dans cette hypothèse

(•2 bù) e-»v ePTe«v= e°u, U = e-«0(T).

On aura de même en permutant V et T

{■iter) He-?TeaVe3T=e»w^ W = e-Pl(V),

e^P'i étant un symbole analogue à e""" et défini de la manière suivante : le sym-
bole Y) est formé avec T comme le symbole 9 avec V; on a donc, si Y est un

opérateur quelconque,

ïl(Y) = TY — YT.

On aura donc

■n(V) = TV — VT= — e(T),

et en vertu des relations (6)

T,(X) = o, V(V) = o, ..., ■,,'«(¥) = o,
e-P-i(V) = V — ;3t,( V) = V -t- |30(T).

La formule (2 ter) devient ainsi
(2 quater) «-Pt e^v ePT= eaV+al3 0,T|_

Si l'on suppose maintenant que les relations (5) subsistent, mais que les
relations (6) n'aient plus Heu, les formules (2 bis) et (2 quater) cesseront
d'être vraies quels que soient a et (3.

Cependant supposons que l'on regarde les opérateurs X comme très petits et
qu'on en néglige les carrés; à ce degré d'approximation, les relations (6), dont
les premiers membres sont du deuxième ordre par rapport aux X, se trouvent
satisfaites d'elles-mêmes.

Les relations (2 bis) et (2 quater) sont donc vraies si l'on néglige les carrés
des X, ou, ce qui revient au même, si l'on néglige le carré de T, ou encore si
l'on néglige le carré de [3 (puisque T ne figure qu'affecté du facteur (3).

Si donc V et les X sont /■ + i opérateurs liés par les relations (5), les
relations (2 bis) et (2 quater) ont lieu aux quantités près de l'ordre de (3^

200 SUR LES GROUPES CONTINUS.

Au même degré d'approximation la formule (2 quater) peut s'écrire

e*v+ap6(T)_ eav_ oj ^av^ e»v[iT,
OU encore

g=tV+aj3 6|Tl_ gaV g^T gaV_^ gaV g^T

OU en vertu de la relation (2 bis)

ou, toujours en négligeant le carré de p,

eaV+»,3 0,Ti= g5;V(,_ pu + (3T) = e«V gplT-U).

Si nous posons

-4-ae(T) = \V, T — U = Y,

il vient

(7) gav+pw^gïVgpv^ Y= llZ£lL(W).

Soit

une combinaison liuéaire quelconque des X,; peut-on déterminer les coefli-
cients l de la combinaison T = i<,X,- de telle faç(m que l'on ait

-(-aO(T)= W?

Cela est évidemmonl toujours possible si le iléterminant des coefTiciepts b,k
n'est pas nid. Dans ce cas la formule (7) est vraie quel que soil W.

Si maintenant ce déterminant est lud, il suffit de partir du cas où ce déter-
minant n'est pas nul, de faire varier les coefficients b d'une manière continue
de façon que ce déterminant devienne de plus en plus petit et de passer à la
limite, pour démontrer que la formule (7) est encore vraie quel que soit W.

Si enfin \', au lieu d'être un opérateur indépendant des X, n'est qu'une
combinaison linéaire des X, la formule (7) est évidemment encore vraict, puis-
qu'elle ne peut cesser de l'être par suite de l'introduction de nouvelles relations
entre nos opérateurs.

Remarquons que ce raisonnement par passage à la limite n'aurait pas été
possible, si nous nous étions astreint dès le début à supposer que V et T sont des
combinaisons des opérateurs X, que les \ définissent un groupe de Lie, que
e"^ et C'^' sont deux substitutions finies de ce groupe de Lie. Dans ce cas en
effet le déterminant des bik aurait été constamment nul.

La formule (7) peut s'établir directement :

SUR LES GROUPES CONTINUS.

En effet, en négligeant le carré de (3, on a

, I

n:

in — 1

= eav-i- pv£L_! (V''-i\V 4- V"-"-WV + V«-=WV2-i-...+ VWV'-î+WV"-*').

a

Or on trouve aisément

V«-i W + V«-= WV + . . . + \V V"-!

\n-, w _ ^ " • \'«-'. 0 ( w )

i!(n — i)! 2! (« — -î)

"• V"-3 0"-(W)-...±, ^i-— , VO"-MW)+ -lLo"-'(W),

• 3!(rt — 3j! ' ' (" — I) ! I

d'où

eav+
ou

^aV+Sw — p3.V

l»',.--+?s^[l,^^_'^;^,^,v.-;.(-»).-.(W)].

ou enfin

^3tv+pw= eïV(,_^ [iY) = e^Vgiîï, Y = ^ ( W).

' al)

C. Q. F. D.

VII. — Formation des substitutions infinitésimales d'un groupe
de structure donnée.

Soient donc X,, X2, ..., Xr, r opérateurs élémentaires liés par les relations

(I) XiX<.-XiX,-= (X,Xx.) = Scix-.X,,

les c étant des constantes telles que les identités de Jacobl du paragraphe III

aient lieu.

Soient

T = i: /, X,-, U = s UiXi, V = 2 l'i X,-, w = 2 u^-X,-

diverses combinaisons linéaires de ces opérateurs.

Considérons le produit

f,x\ (,|3t.

effectuons ce produit qui sera une série de polynômes symboliques; réduisons
chacun de ces polynômes à des polynômes réguliers en nous servant des rela-
tions (i); je me propose d'étudier la nouvelle série ainsi obtenue que j'appelle
<&(«, (3); le raisonnement sera le même que dans le paragraphe précédent, mais
je le développerai un peu plus.

H. P. — m. aC

202 SUR LES GROIPES CONTINUS. ■>'

Tous les termes de celle série $(«, [3) sont dos polynômes réguliers; et les
coefficients de ces polynômes se présentent eux-mêmes sous la forme de séries
développées suivant les puissances de a et de (3. Je puis ordonner «!>(«, P) sui-
vant les puissances croissantes de [3, en groupant tous les termes qui contiennent
en facteur une même puissance de (3. J'obtiens ainsi

<I>(ï, P) = <K+3'I>i+[i-*,-^....
D'autre part j'ai

<l.(a, p-+-rf.3) = e^VpflTe./?.T=.i,(^. 3) g./flT = <I)(a, p)(i + rf|3.T),
ou

ou

(3) m *„, = «!>,„_,. T;

ces conditions, jointes à

( !x ) *o = e«^,

suffisent pour déterminer <I>.

Or on y satisfait de la manière suivante : Faisons

*(a, ?) = gW^ $(a, p + rf[ï) = eW+.AV.

soit Y) un symbole qui soit à W ce que 9 est à V.

Il s'agit de satisfaire à l'équation (2) ou, ce qui revient au même, à

*(a, [i-r-(^;i) = <I)(a, ■p)e''3'f;
on doit donc avoir

Or, en vertu de la formule (^) du paragraphe précédent, on satisfera à cette
condition si l'on a

(5) d^.-\='-^^\d\S).

Celle formule (5) représente symboliquement un système d'équations diffé-
rentielles auxquelles doivent satisfaire les coefficients ir,-.

En vertu de la formule (4 bis) du paragraphe V, ces équations peuvent
s'écrire

( 0 bis-) ti d'i = i;= f -l 'I"^. " -^i dwj Wj ( t- = 1 , 2, . . . , /•)•

2 TU \J l J ? ' U 1

Si l'on a

SUR LES GROUPES CONTINUS. 2o3

F(ï) est le délermlaanl doiil l'élément est (pour la /"""' ligne et la s'""' colonne)

— (c,,,-,sH'i-i-C,,,-,j(I'! + . . .— C,.,,-,^lVr),

sauf les éléments de la diagonale principale (< = s) qui sont égaux à

les P,7 sont les mineur-, de ce déterminant. L'intégrale du second membre de
(5 bis) est prise dans le plan des ^, le long d'un contour fermé enveloppant
toutes les racines de l'équatio» F(Ç) = o.

La condition (2) sera donc satisfaite si les ii' satisfont aux équations (5 bis);
la condition (4) le sera également si les valeurs initiales des (v pour (3 = o sont

• '«', = '•<•

Les équations (5 bis) admellanl toujours une ^oluliim telle que pour p = o
on ait iVi=\>i, et d'autre part les conditions (2) et (4) suffisant pour déter-
miner «1», on aura

(]y(y.. 3) = fW, ^v = ^u;\i.

les (V élaut des fonctions de ,3 définies par les équations (5 bis) et les conditions
initiales »',•= c,.

La série $(a, P) n'est donc autre chose qu'une exponentielle dont l'exposant
est une combinaison linéaire des X,; c'est le théorème que j'ai annoncé au
paragraphe IV; et comme d'autre part ce théorème a été établi en s'appuyant
simplement sur les relations (i) et en en faisant des combinaisons purement
formelles, le problème de Campbell est résolu et le troisième théorème de Lie,
en vertu de la remarque faite dans ce paragraphe lY , se trouve démontré

Il est aisé de se rendre compte de la forme relativement simple de ces équa-
tions (5 bis). Soient ;i, £2, ■ ■ ■ ,lp ^^'^ /> racines distinctes de l'équation F(^) = o;
ce sont des fonctions algébiiques des tr, puisque F(ç) est un polynôme entier
par rapport à ^ et aux w. Les —~ seront donnés par des équations linéaires
tlout les seconds membres seront des constantes; tandis que les coefficients des
premiers membres seront des fonctions rationnelles des (v, des li, et des e~^<;
ces coefficients ne dépendront d'ailleurs que linéairement des exponen-
tielles e"5*; ce seront des fonctions symétriques des racines.

Résolvons ces équations par rapport aux -jît' nous trouverons

(6) ^ = A,,/^+A,,;^-...^A,.,i.,

les coefficients A étant rationnels par rapport aux iv, aux ^^ et aux e~5*.

2o4 SUR LES GROUPES CONTINUS.

Le problème qui se pose à propos du troisième ihéorème de Lie est ainsi
complètement résolu.

Il s'agit de trouver r opérateurs

X.(/.). X,(/), .... X,.(/).

satisfaisant aux relations (i); on y satisfait en faisant

x,(/) = A,. ;^ + A,, ;;^ + . . . 4- A,„.-;i^ .

Les équations (5 bis) peuvent se mettre sous plusieurs autres formes.
Soit

On aura (puisque les P,; sont les mineurs du déterminant F)

ÇP,V— S6^,Pa, = o pour />y

et

|P„— 2 6/,iPA,= F pour i = j.

Nos équations

donnent

rf[iS,/,6a.= ^ p? '-^I^^SyrA.vli^'.xP,/,

2K y/ — I ^ Ç-*^

La deuxième intégrale étant nulle, nous pouvons écrire tout simplement

D'autre part l'équation (5) peut s'écrire

dW

d'où

(7) ^ = 7^r^'T^-

rfivi _ I r ^di ZitiVj,

ce qui donne

Cette dernière intégrale doit être prise le long d'un contour enveloppant
toutes les racines de F(^) ^= o, mais n'enveloppant pas les points

? = 2A- v/^ (A- = ±i, ±2, .... ad inf.).

SUR LES GROUPES CONTINUS. 2o5

VIII. — Formules de vérification.
Soil

% = 2 c, X„ oV = S oc, X„ Y = i: yi X, ;
on aura, en vertu de la formule (7) du paragraphe VI,

■(SV)

[posant 5(T) = VT — TV comme dans le paragraphe V ].

Soit maintenant

e— ^' e^ e^ = e^',

on aura, par la formule (2 bis) du paragraphe VI,

U = e-«(T).
Soit

on aura

U'=e-lO+ôO)(T),

où 9 -iroO est un symbole qui est à \' + ô\^ ce que 9 est à V. On aura d'autre

part

gL" = e— *' <?— ^ fT e^' e^ := e~^ e'" e^ ,

d'où, en négligeant le carré de \ qui est infiniment pelit,

d'où

U'— U = UY — YU.

Si je conviens de poser

e-(6+5fJ)_e-0= o(e-8),

il viendra

U'— U = o(e-0)(T).

(■)

Nous arrivons ainsi à la formule symbolique suivante :

Pour mieux expliquer le sens de cette formule, rappelons que nous avons
trouvé plus haut

(•2) $(0)(T)= —1= rrfs*( = )i:A,x,-,

■2 ;; y — I -^
où les /(,- sont des fonctions rationnelles des t, des f et de 4 données par les

206 SDH LES GROUPES CONTINUS.

équations

(3) ihi—Zbkihk= ti. bki= Ci,i.,,Ci-7-c.,x,,i'!-f-. . --^ c^, *,,(', .

Alors on aura

5e-9(Tj= '^- I d^çe-il.o/i.Xi,

2 ri ^Z — I ^

OÙ les lî/i, sont les accroissements que subissent les fondions //,■ quand les
variables v/, subissent les accroissements ôf a.

Si alors les h'^ sont ce que deviennent les A, quand on y remplace les 1^ par
les ôi'/;, la formule (i) pourra prendre la foime

(i bis) ^r. \j'=^iZ\if dî e~lolu= i:(X,X<— X/X,! A/= '^,^~' h'ijd-re-i/,i.

Dans le premier membre le signe i se rapporte aux /■ valeurs de l'indlco / ;
dans le deuxième membre aux ;■(/• — i) arrajigcnienls des deux indices i et /.
(l'arrangement /, /.■ étant regardé comme diflerent de l'arrangement /r, i).

Cette formule nous fait connaître un certain nombre de relations auxquelles
doivent satisfaire les expressions X,Xjv — X^X,- ou (X,Xa)- Ces relations sont
curieuses; mais la plupart ont déjà été démontrées par Killing et il semble que
les autres pourraient se démontrer facilement par les procédés de Killing. Je
n'y insiste donc que comme procédé de vérification.

Les deux membres de cette équation sont d'une forme particulière.

Le premier membre est linéaire à la fois par rapport aux symboles X,, par
rapport aux <,, aux 017, aux exponentielles c~'^' (les 0; étant les racines de
l'équation F = o). Les coefficients de cette fonction linéaire sont eux-mêmes
des fonctions rationnelles des v et des 9,-.

Le second menilire est linéaire à la fois par rapport aux symboles (X,Xa), par
rapport aux /„ aux 017, aux exponentielles e^"' et e""''-''' (5j et Bk étant deux
racines de F:=(i). Les coefficienls de cette fonction linéaire sont encore
rationnels par rapport aux c et aux 9,.

Les ô, étant les racines de l'équation F = o sont des fonclion^ algébriques
des ('. Dans les deux membres de l'équation (i bis) entrent en outre linéaire-
ment un certain nombre de fonctions transcendante>; il y a d'abord les expo-
nentielles c~^'' et il y eu a autant que l'équation F =3 o a de racines distinctes.
Il y a ensuite les exponentielles e^'^'^'^'»' qui peuvent cire distinctes des précé-
dentes, mais qui peuvent également ne pas en être toutes distinctes si l'une des

SUR LES GROUPES CONTINUS. loy

nicines de l'équalion F" = o est constamment égale à la somme de deux autres
racines.

Supposons qu'il y ail </ exponentielles et soient

e'ii, e''Î!, . . . , e'i
ces exponentielles.

Les deux membres de l'équation (i bis) seront alors des fonctions linéaires

des produits de la foinie

(4) 'mSiv, eiii»,

où /n et // peuvent prendre les valeurs i, 2, ...,/■, et où [j. peut prendre les

valeurs 1

î -"T

'J-

Les coefficients de ces produits sont des fonctions algébriques des r, ne
dépendant ni des t, ni des r5t'. Pour que l'identité puisse avoir lieu, il faut que
l'on puisse égaler dans les deux membres de (1 bis) les coefficients d'un même
produit (4 )■

Nous aurons ainsi un certain nombre de relations linéaires entre les sym-
boles X,- d'une part, les symboles (X/X^i) d'autre part; les coefficients de ces
relations linéaires sont des fonctions algébriques des v. Ces relations linéaires
doivent être identiques aux relations de structure ou en élre des conséquences.

J'examinerai seulement le cas particulier où F(;)=:o a toutes ses racines
distinctes. Je puis alors supposer que les opérateurs élémentaires X,- ont été
choisis de telle sorte que

vx,— x,.v = o,x,.,

Oi étant l'une de ces racines.

Egalons alors dans l'équation (i bis) les coefficients de t,„dv/,; il vient

Ti^r^^P'^'-'^r^'''"^"^

0/,

Le premier niemlire ne dépend que des exponentielles e ^1, mais le second
meniltre, outre l'exponentielle <'^''«i, contient encore c^^i'^'^m.

Egalons les coefficients de e-'hr-^,,,. Si 9/, + 9,„ n'est pas égal à une racine
de F = o, cette exponentielle ne figurera pas dans le premier membre; nous
aurons donc

On reconnaîl là l'un des théorèmes de Killing.

Si au conkiaire 0/,-\-0,„ l'sl racine de F =; o, l'exponentielle pourra figurer
dans le premier membre et (X,„Xa) pourra ne pas être nul.

2o8 SUR LES GROUPES CONTINUS.

Je n'insisterai pas sur les autres vérifications, ni sur le cas où les racines ne
sont pas distinctes et où l'on retrouverait les autres théorèmes de Killing.

Je me bornerai à faire remarquer que la vérification de la formule (i bis)
n'est pas immédiate, et qu'il faut pour la faire avoir recours aux identités de
Jacobi et aux théorèmes que Killing en a déduits.

IX. — Intégration des équations différentielles
et formation des substitutions finies des groupes.

Soit

(l) e'*'+''v = e^' C'A,

V = X (jX,. <f\' = S rfi;X,-. ^A = 2 (hi.\i.
On aura, en vertu de la formule (7) du paragraphe \ I,

Cette formule, identique sauf les notations à la formule (5) du para-
graphe VU, comprend, sous la forme symbolique, ;• systèmes d'équations
diflérentielles, ainsi que je l'ai déjà fait remarquer au paragraphe VII.

Annulons tous les dx, sauf ch.^\ égalons ensuite les coefficients de X,,
X2, ..., Xr dans la formule (2). Nous aurons /• équations difTérenlielles qui

définiront

A'i df. di'r

don- dy-k dx/;

en fonctions des r. Ce sont là. comme nous l'avons vu au paragrapiie \ II, les
équations difTérenlielles qui définissent une des substitutions infinitésimales du
groupe, si l'on prend les c comme varialiles indépendantes.

En donnant à l'indice /.' les valeurs i, 2, ..., /•, on obtiendra / systèmes
d'équations différentielles correspondant aux r substitutions infinitésimales du
groupe.

Nous devons prévoir ([ue ces équations peuvent se ramener, au moins dans
le cas des groupes de la première famille (vide supra paragraphe I), à des
équations linéaires, puisque c'est là un résultat bien connu obtenu par Lie.

Voici le changement de variables qu'il faudrait faire pour retrouver ces

équations; soit

U = 2 «,X„ €-"■ el- e^' = t'S L = S /.X,-,

SUR LES GROUPES CONTINUS. 209

on aura

(3) L = «-HIJ).

Cette é(juation symbolique (3) nous apprend que les /, sont des fonctions
des V et des «, linéaires par rapport aux u, et nous permet de former ces Jonc-
tions. Si alors on pose

,, -V-,/V yU gVWV ^ ,A.^,I\.^

on aura

eL+./L= e-</AeL^,./A^

ou, puisque d.\. est infinimenL petit,

(4) rfr. = 1. </A— r/A.L.

Cette formule (4) représente symboliquement /■ systèmes d'écpiations diffé-
rentielles qui ne sont autre chose que ce que deviennent les /• systèmes
d'équations différentielles représentées symboliquement par la formule (2)
quand on prend les // pour variables nouvelles.

Celui de ces systèmes que l'on obtient en annulant tous les dx sauf dy.^
s'écrit

Ces équations sont linéaires et à coefficients constants et s'intègrent immé-
diatement; ce sont celles auxcjuelles Lie arrive par la considération du groupe
adjoint. H importe de remarquer que lu réduction des équations différen-
tielles (2j aux équations (4) par le changement de variables (3) n'est pas
immédiate et qu'on ne peut la faire qu'en tenant compte des identités de Jacobi.
Considérons de plus près le cas des groupes de la deuxième famille. Nous
pourrons alors choisir les opérateurs élémentaires X; de telle manière qu'on en
puisse distinguer de deux classes. Ceux de la deuxième classe seront permu-
tables à tous les opérateurs, ce seront les XJ; quant à ceux de la première
classe que j'appellerai les X; , ils seront caractérisés par la propriété suivante :
aucune combinaison linéaire des X^ ne sera permutable à tous les opérateurs.

Pour mettre en évidence cette distinction, j'écrirai quand il y aura lieu

i;i-iX,= i;./x;4-i;r;\;. v_i;r;\;. \-^ Si^^x;. v = \'-f-v'.

Les <,•) seront ainsi les coefficients des X] et les v] ceux des X,. Les
lettres u- , u]\ l), /'■; U , U'; L' , L', etc. auront une signification analogue.
Il est clair qu'on aura

\ "T — T\ "= \ T"— T" V'= o,
H. P. — m. 2-

■210 SUB LES GROUPES CONTINUS.

d'où

0(T) = \T — T\= \'T'— T \'.

J'introduis alors un symbole nouveau : soit

\'T—T'\'= lÀJXJ+S/^X;;
je poserai

et je définis •!'(&) à l'aide de 5' comme j"ai défini •I'(5) à l'aide de 9. On a alors

. o(X';) = o, ù[o"(T)]=-„. *(e)i;r)=:o;

et l'on trouve aisément

r ej) ( (j ■ ) — 4>(») 1
<î>(OKT) = <t>(9)(T')^4'(0')(T')-0'|^ ^, ^T)^+<i>(oyr.

Remarquons que les expressiou»

0(T). 0'(T), 6"(T)

dépendeut des v' et des /'. mais sont indépendantes des c" et des t" ; et il en est
de même de •I>(9) (T) si <ï>(o) est nul.

Les /, étant linéaires par rapport aux ii , je puis écrire

Les -r-^ sont des fonctions des e. \ ovons combien de ces louctions sont

indépendantes les unes des autres. Je dis d'abord (jue ces fonctions ne
dépendent que des c'. Nous avons en efl'ei {c'- étant unu substitution quelconque
du groupe)

d'où

f L = e-v-v- el' fV+v ■ ^ „ -V" e-v pU ,,V' gV" ^ ,,-v pi: ,, v.

ce qui montre que L ne dcpend que de \ ', niai» pas de \ '.

Je dis maintenant que le nombre des ionclions — indépendantes les unes des
autres est précisément celui des variables r'. En d'autres termes, si l'on pose

l'identité L = L,. si elle a lieu quel que soit U, entraîne l'identité V'= X', . Si
en effet L= L,, on aura, quel que soit U,

gV, e-v,,|ifAe-v,^etJ.

ce qui montre (jue e^c"^' est pcrnuilalde à toutes les subslilutions du groupe.

SUR LES GROUPES CONTINUS. '■'- H

C'est donc une sulislitution qui ne dépend que des \", de sorte que je puiii
écrire

W étant une combinaison linéaire des X, ; un eu lire

d'où

V = \\ ^- VV",

•v'=v;, v"=v^-^^".

Donc

V'=V'|. c. y. l'.D.

»

Nous pourrons prendre comme variables les -r- et les c", au lieu des v'
et des (.''.

Les ^ sont définis par les équations (4 àis), qui étant par rapport à ces

variables des équations linéaires à coefficients conslaiits s'intégrent immédia-
tement.

Les équations (4 bis) nous font donc connaître les - ei par conséquent les
c' en fonctions de la variable a*.

Pour obtenir les ^", revenons aux équations (2); si nous posons

1 — e-o= o + oî^f^e),

elle peuvent s'écrire

d\' = d\'^ii' -w{r){d\"),

r/V=rfV"-t-0"»I'-(0')(«?V").
On a

Si l'on annule tous les (/y.' et tous les r/x" -auf fiaj, nos équations donnent
simplement

t'j.= consl,. !■)' _i ooust. (('ï/u); p'^ = a'^. -i- consl.

Si l'on annule tous les dy.' et tou? les de/.' sauf dx/. les équatimis ilevienneiil

\',.doi'i.= d\'-', i.y'^'{n'){t/\').

>j = d\"-~ll"W{<i')(d\').

La première de ces équations, équivalente aux équations (4 ^'.'>), est suscep-
tible, comme nous l'avons vu, d'être ramenée à la forme d'un sjslrme d'équa-
tions linéaires à coefficients constants. L'inlégiation est immédiate et nous
dimne les r' en fonction de la variable a^ .

:>.\1 Sl'R LES GllOl'l'ES CONTINl S.

La seconde équation est équivalente à un système d'équations de la lornie
<j?cj'-t- dv'i 1"'| — ch-'.^ F;, — . . . - - ch',,, V ,'„ = o,

les F étant des fonctions données de» r'. En remplaçant les i' par leurs valeurs
en fonctions de x',., elle prend la forme

et s'intègre immédiatement par quadrature.

QUELQUES UEMARQUES

LES GROUPES CONTINUS < >

Ilenrlicoiili de/ Cirrnio Mateniatico cli Palernio, I. 15 (igoii.

I. — Introduction.

A l'occasion du jubilé de Sir G., G. Stokes, j'ai publié un Mémoire (^) où je
me suis occupé des groupes finis et continus de Lie. C'est ce Mémoire que je
citerai dans la suite sous le nom de « Mémoire de Cambridge ».

J'y ai entre autres choses donné une démonstration nouvelle de ce théorème
de Lie, qu'il existe toujours des groupes de structure donnée, pourvu que cette
structure satisfasse aux conditions dites de Jacobi.

J'ai mis sous une autre forme la formule de Lie pour la construction du
groupe adjoint; j'ai donné ensuite les équations diflerentielles du groupe para-
métrique, et j'ai montré que ces équations pouvaient s'intégrer, au moins par
quadratures.

La première chose que j'aurai à faire sera donc de rappeler toutes ces for-
mules.

Nous avons ainsi deux méthodes pour former le groupe, soit en partant du
groupe adjoint, soit en partant du groupe paramétrique. Ces deux méthodes
doivent conduire au même résultat. Mais il arrive ceci : quand on égale les
résultats obtenus par ces deux méthodes, on n'obtient pas des identités immé-
diates, on obtient des pro|jriétés plus ou moins cachées du groupe.

Beaucoup de ces propriétés étaient déjà connues: d'autres auraient pu être

(') Présenté le 3 tivril 1901, imprimé le si juin 1901.

(-) Sur les groupes continus | Memoirs preseiited lo tlie Cjmliridge Pliilosoplàlcal Society on
the occasion of ihe Juhilee of Sii George Gabriel Stokes. lîart., lion, LL. D., Hon. Se. 1>. Liicasian
Professor (Cambridge, At llie University Press, 1900). p. ti-Jo--!.),") |.

■21 4 QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

obtenues par une autre voie; il m'a paru qu'il pouvait y avoir quelque intérêt à
les relier entre elles de celte manière.

Malheureusement je n'ai pu aller bien loin dans celle direction; j'ai fait très
peu et je serai heureux si j'ai pu faire comprendre à peu près ce qu'il y aurait
à faire.

Les singularités des relations Unies qui définissent le groupe paramétrique,
ainsi que celles des équations diiTérentielles d'où elles dérivent, peuvent être
étudiées au point de vue de la théorie des fondions, mais je me suis borné à
cet égard à de brèves indications.

Dans le cours de ce travail jai eu à envisager tanlôl des transformations inli-
nitésimales, tantôt des transformations finies. Les premières je les al repré-
sentées, tantôt par le symbole

x = x(/)=(x,)|:-(xo|:-^...^(x.)i^,

tantôt par le .symbole

Les transformations finies étaient toujours représentées par le symbole ex|io-
nenliel. Je rrols qu'il ne peut pas résulter de là de confusion fâcheuse.

J'ai employé indifféremment les deux mots « substitution » cl n transforma-
lion ». J'aurais pu lircr profit de cette double dénomination, soil en réservant
l'un des noms j)our les opérations du groupe envisagé et l'autre pour les opéra-
tions correspondantes du groupe adjoint, soit de bien d'autres manières. An
contraire, je n'en ai fait usage que comme un simple littérateur, pour éviter les
répétitions de mots. J'ai eu tort, mais j'espère que ce n'est qu'un péché véniel.

II. — Formation du groupe adjoint.

La première des formules que je dois rappeler était connue depuis longtemps ;
je crois cependant devoir en parler pour familiariser le lecteur avec les notations
employées.

Soit

dX| dj-, à.r,.

un opérateur quelconque. Je conviendrai d'écrire

XV(/) = X[Y(/)],

(XY) = X[Y(/)]-Y[\C/)].
X'"(/) = X[X'"-i(/)],

QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. •'• 1 5

Si je considère la substitution infinitésimale qui change/ en i + £X(/), les
puissances de cette substitution engendrent un groupe dépendant d'un seul
paramètre t et dont la transformation la plus générale peut être représentée par
la notation

puisqu'elle change /en

Si je considère maintenant un groupe continu G dérivant de ;• opérations

\,. X. X,.

la transformation la plus générale de ce groupe pourra être représentée par la

notation

pT (T=:^X,-...--^.N,.).

Ces transformations formant un groupe, on devra avoir identiquement

i T = /,X,-...+ ^.X,..
gT gP = e'»' I U = 7/1 Xi ^ . . . - !/,.X,..

( V = P,Xi + . . .-!- (vXr,

les V étant des .fonctions convenablement choisies des t et des u.

La même condition s'exprime, comme on le sait, d'une autre manière; on
doit avoir

(I) (X,XO = £.ca-.X„

les Cihs étant des constantes.

Soient alors

V=S^-,X„ T = S<,X,-,

de sorte que e"' et e^ soient deux transformations quelconques du groupe;

posons

e~v gT gv ^ et\

e^ sera encore une substitution du groupe, de sorte qu'on aura

T' = t\ X, -r- l'., X; — ... — t',.X,-

On voit aisément qu'on doit avoir

e-VTeV=T',

ce qui montre que les t' sont des fonctions linéaires des /; c'est-à-dire qu'à
chaque substitution e^ de G correspond une substitution linéaire qui change

Ji6

QlELQl'ES REMAnQl'ES SUR LES GROIPKS CONTINUS.

les t en t' . C'est l'ensemble de ces sub.slluitions linéaires qui consliliie ce que
Ion appelle le groupe adjoint de G.

Cela posé, nous avons

(VT) = SA,.„/,X<.,
où

Formons l'équation carnctéristique de Killing

Fin =

/,,.,

hrr- ?

Le premier membre F(;) est un polynôme homogène de degré /• par rapport
à ^ et aux c.

Soient maintenant P,-; les mineurs du déterminant F(;), de telle façon que

Ces mnieurs seront des polynôme^ liomogènes de degré (/■ — i) par rapport
à ^ et aux f.

Les racines de l'équation F(^) = o sont donc des fonctions algébriques des f,
homogènes de degré i par rapport ù ces variables.

Cela posé, la prenilère formule que je voulais rappeler e>l la suivante :

(■<)

L'intégrale du second membre doil ètie prise le long d'un lontour enveloj)-
pant toutes les racines de F(ï) = o.

On voit imniédiatrinenl quelle doil être la foi'uie des coefficients de lasubsti-
luliou linéaire du groupe adjoint cpii change 1 en T'.

-Si les racines de l'équation (2) sont toutes distinctes, et si ces racines sont
fj)|, oj^, . . . , Ci),-, nos coefficients seront des combinaisons linéaires des exponen-
tielles

e—'"'. e-

ou plutTit seront de la loiim

•a-r-'",. !<(<.),,).

H étant une fonction rationnelle homogène de degré zéro par rapport à ',ip et
aux c. Je rappelle que l'une des racines m,, '.),. . . .^ i^,. est toujours nulle.

QUELQUES KEMAnQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 217

Si les nicines ne sont pas toutes distinctes, nos coefficients seront de lu forme

(4) ^ Sc-"vil/,((o/'.).

llj,{'j)p) étant une fonction rationnelle dédnie comme il suit :

Si cj/, est une racine d'ordre ,u, le dénominateur ^.era homogène et de
degré (r — ;j.) par rapport aux r et à oj/,, et le numérateur sera un polynôme
non homogène de degré (/• — i) par rapport aux mêmes varialdes et où les
termes du degré le moins élevé seront de degré (/■ — p.).

Si les t sont regardés comme donnés, les t'^ seront des expressions de la
forme (4). On pourra choisir les t de telle façon que dans ces expressions tous
les termes disparaissent, sauf ceux qui contiennent en facteur l'exponen-
tielle e "V- On dira alors que la tran>formation T appartient à la racine cjp par
rapport à la transformation \ .

Soit maintenant

e-VTr-v=T\ f'-'*UeV= U';

ou aura aussi

e-V(TU — UT) rv = T'ir— U'T'.

Si T appartient à la racine 'j)p et V à la racine cj^, T' se réduira à e "V multi-
plié par une fonction algébrique, ot U' à n''''q multiplié par une fonction algé-

hririue; de sorte que

T'U'— U'T'

se réduira à l'exponentielle

multiplié par une fonction algébri([uc.

En d'autres termes,

Il — (IT = (TU)

appartiendra à la racine oj^, -|- (<Jy

Si iOp-\-(,i,/ n'est pas racine de l'ètjualion (2), on devra conclure que le
crochet (TU) est nul.

Ce double théorème est dû, je crois, à Killing. La démonstration qui précède
didere de celle de Killing au moins pour la forme, et elle se présente d'une façon
plus concise. Je rappellerai que dans le Mémoire cité de Cambridge j'ai été
conduit (p. .">..") i) à une démonstration assez détournée de ce même théorème ( ' ).

(ja comparaison des deux expressions de (TU), où (igure d'une part une

I ') Voir Couvres ilc 11. Poinriirr, I. III. p. 107.

11. I'. - m. j!^

■21 8 QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

fonction dépendant de «;,+ w^ et d'autre part une somme dont chaque terme
est le produit de deux fonctions dépendant respectivement de w^, ut w^, cette
comparaison, dis-je, conduirait à d'autres conséquences sur lesquelles je
n'insisterai pas.

La formule (3) montre r[ue l'on a

'/ ''II' I-

les / étant des fonctions entières des v, et cette formule définit une substitution
linéaire L qui appartient au groupe adjoint.

On peut se proposer inversement de ca/ciilcr les c, connaissant ta substi-
tution L. Cela n'est pas toujours possible, cela ne peut se faire que si le groupe
ne contient pas de transformations distinguées, c'est-à-dire permutables à toutes
les transformations du groupe. S'il en est autrement, tout ce qu'on pourra faire,
ce sera de calculer les bu,.

Le calcul repose sur les principes suivants. Considérons l'équation

(5)

«l'C-S) ^

- cl ^,

l'.r

Soient Qij les mineurs de ce déterminant, de telle façon que

e-lqu—'^lkiQki

■<i>{e-l)

i'9^j)-

La puissance x'''"" de la substitution linéaire L sera évidemment donnée par
la formule

(6)

e-ldl

/■Q'

l'intégrale étant prise le long d'un contour enveloppant une fois, et une seule,
chacune des racines proprement distinctes de l'équation (5). Voici ce que
j'entends par là. L'équation (5) admet une infinité de racines, mais toutes ces
racines peuvent se déduire d'un nombre fini d'entre elles, car <I> ne change pas
quand on augmente \ d'un multiple de ■3.t.\'— i . Je ne considérerai donc pas
comme proprement distinctes deux racines différant d'un multiple de 2t.\J — i
et je supposerai que notre contour est tracé de f.içon à ne pas envelopper à la
fois ces deux racines.

La formule (()) est vraie quel que soit a, entier, fractionnaire, etc.; supposons

QUELQUES REMABQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 219

y. iiiiiniineiit |)elit. Alors la puissance a'^"" de la bubsLitution L se réfliiit à

t\^l—y.^:.hn(j.

D'autre part, on vertu de la formule (6), elle se réduit à

d'où

Kl) '■■- '

/.. - -■ / LfZlii5o ■

^—i.l <J>(e-5)

Ci'lte fiiiinule niius inoulre d'abord que les bj/ ne sont |)as toujours des tonc-
lions uniformes des /. En effet, notre contour d'intégration doit envelopper
luic luis, el une seule, cliacune des TacinL'S propiei)ie/il distinctes de (5). Mais
cela ne suffit pas pour déterminer ce contour et par conséquent les bji. Si, en
effet, on remplace une des racines par cette racine augmentée d'un multiple
de 2~\/ — I, on nblienl un contour différent qui conduit à une valeur différente
de bji.

Comment maintenant pourra-l-il arriver que les b/i deviennent infinis, ou,
|)lus généralement, cessent d'être des fonctions liolomorplies des /?

Il est clair cjue, tant <jue le contour n'ira pas passer par un des points singu-
liers de la fonction sous le signe intégral, clest-à-dire par une des racines de (5),
les b resteront des fonctions holomorpbes des /. Mais on pourra toujours main-
tenir ce contour à distance de ces racines, à moins que l'une de ces racines ne
devienne infinie ou que deux de ces racines ne viennent à se confondre; et
encore faut-il que les deux racines qui se confondent ainsi soient primitivement
Tune à l'extérieur du contour, l'autre à l'intérieur. C'est alors, en effet, que le
contour pris entre deux feux ne peut plus fuir devant les racines, et qu en
général les b cesseront d'être des fonctions liolomorplies des /.

Cela peut encore s'énoncer autrement. Les racines de (5) ne sont autre chose
que celles de l'équation de Killing augfiientées d'un multiple arbitraire
de 2n\/ — I. Notre contour doit envelo|iper toutes les racines de l'équation de
Killing el laisser en dehors les autres racines de l'équation (5). Alors, pour
que les b restent des fonctions holomorphes, il suffit qu'une racine de l'équation
de Killing (qui doit être intérieure au contour) ne se confonde pas avec une
racine de (5) n'appartenant pas à l'équation de Killing (et qui doit rester exté-
rieure au contour) : Les b seront donc des fonctions holomorphes des l, à
moins que deux des racines de l'équation de Killing- ne dij/érent d'un

220 Ql'ELQlES REMARQIES SIR LES GROl'PES CONTINUS.

multiple de i - \j — i nuire que zéro, ou que F une de ces racines ne devienne
infinie.

Nous soinnies donc conduits à distinguer parmi les substitutions linéaires
finies du groupe adjoint certaines substitutions singulières, qui jouissent de
cette propriété que deux racines de l'équation de Killing, sans être égales,

difleient d'un multiple de 2-\^^ i.

En général, pour ces substitutions singulières les /; considérées comme fonc-
tions des / seront infinies: c'est-à-dire que ces substitutions singulières ne
seront jias une puissance d'une substitution infinitésimale du groupe. Mais il
pourra se faire aussi que les b soient des fonctions indéterminées des /, de sorte
que la substitution singulière sera une puissance d'une infinité de substitutions
infinitésimales difTcrenles.

La distinction entre les deux cas se rattache à la théorie des « Elementar-
theiler » ; formons les équations différentielles linéaires

ITT"-" ""•
On sait quelle est la forme de l'intégrale générale de ces équations; cm a

0) étant l'une des racines de l'équation

et P(/) un polynôme en t dont le degré est au plus égal à p. — i , si o) est une
racine d'ordi'e |n.

Dans le cas d'une substitution singulière, deux racines de l'équation <I>(u) = o,
ordinairement distinctes, viennent à se confondre. Soient w, et oj^ ces racines,
a, et p-j leur ordre, Pf(0 ^^ PslO ^^s poljnomes correspondants dont l'ordre
est, an plus, p.| — i et /o — i .

Quand les racines se confondent, on a une racine w, d'ordre y, ^fxj, de

sorte que les deux termes

p,(Oe™''— PoCO'"'"''

seront remplacés par un terme unique

Q(0'''^''-

où Q peut être de degré /J., + ,U2— >, n\a\s peut être aussi de degré moindre.
Si le degré de Q ne dépasse pas celui de P, (ou celui de Pn, si P. est de

QUEI.Ql'ES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 221

degré plus grand que P,). les b sont des fonctions indélerminées des /. Dans le
cas contraire, les b deviennent infinis.

Nous devons aussi réserver le cas des substitutions (jiie j'appellerai singulières
de la deuxième sorte, c'est-à-dire de celles pour lesquelles une des racines ^
de l'équation de Killing devient infinie ; pour cela il faut que l'une des racines e~^
de l'équation (5) soit nulle ou infinie. Elle ne pourra devenir infinie si les /sont
finis; il faut donc qu'elle devienne nulle, c'est-à-dire que le déterminant des /
soit nul. C'est ce qui caractérise les substitutions singulières de la deuxième
sorte.

Quelques exemples feront d'ailleurs mieux comprendre la nature des diffé-
rentes sortes de substitutions singulières et justifieront ce que je viens de dire
au sujet de la distinction des cas où les b sont, soit infinis, soit indéterminés.

Reprenons notre substitution L et son équation caractéristique

<I>(S) = o.

Si nous considérons les c comme lus coordonnées homogènes d'un point dans
l'espace à (/• — i) dimensions, nous pouvons nous demander quels sont les points,
ou les variétés planes à q dimensions qui ne sont pas altérés par la substitution L.
Dans le cas général, où l'équation cai-actéristique a r racines distinctes, il y a
/• points qui sont conservés ainsi que les variétés planes à q dimensions définies
par (q -\- i) quelconques de ces ;• points. Soient S, , S^, .... S, les ;■ racines. A
ciiacune de ces racines S, correspondra un point M, inaltéré par L. Si deux
racines S, et S2 viennent à se confondre, il arrivera en général que les deux
points M, et M2 tendront à se confondre et que la droite M, ^L tendra vers une
droite D qui sera égalentent inaltérée par L. En général le point M, = !\L sera
le seul point de D qui sera inaltéré; la substitution sera dite alors j9a7'a6o//(^«e ;
mais il peut arriver aussi que tous les points de D soient inaltérés par L.

Etudions maintenant les b comme fonctions des /: ou, ce qui revient au
même, étudions les puissances fractionnaires L* de L. Soit Ij la racine de
Killing qui corres|)ond à S,, de telle sorte que S/=e ''. Si l'équation carac-
téristique n'a pas dv racine multiple, il n'\ a pas de difficulté: il n'y en a pas
non plus si S, devenant égal à S-.., ^, est égal à i;j. Il reste donc à examiner

le cas où r, est égal à >., plus un multiple de 27: y/ — i, de telle sorte que S|
soit égal à S..

Si L est parabolique, on ne pourra pas former la substitution L='. Si cette
substitution existait en effet, aux deux racines distinctes i, et l-, correspon-

222 QUELQUES REMARQUES SIR LES GROUPES CONTINUS.

ciraient deux points dislincls M, et Mo qui devraient être inaltérés par L« et
par conséquent par L. Or il n'en est pas ainsi puisque le seul point inaltéré de
D est le point M, = Mo. Les équations qui donnentles 6 sont donc ini/jossibles,
c'est-à-dire que les b sont des fonctions qui deviennent infinies.

Dans le cas où tous les points de D sont inaltérés, il n'en est pas de même.

Choisissons, en effet, sur D deux points quelconque? M, et M^. 11 v aura une
substitution L*, et une seule, qui conservera ces deux points inaltérés, le»
racines de Killing ayant pour valeurs ;, et çj; L sera une ))uissance de cette
substitution. On pourra donc résoudre le problème d'une infinité de manières.
C'est le cas d' indélerminalion.

^ oyons encore le cas d'une racine triple S| ^ So^ Sj. Si trois racines S,,
Sa, S3 tendent à se confondre, les trois points inaltérés M,, M.j, M3 tendent
aussi en généial à se confondre, les trois droites MjMj, M3M1. ]\l,Mo tendent
vers une limite commune D, le plan MjMjMs tend A^ers un plan I'.

En général, le plan l' étant invariant, la seule droite invariante de P est D,
le seul point invariant de P est M| = M2=M3. On verrait comme plus liant
que nous sommes encore dans un cas d'impossibilité (sauf si les trois racines
de Killing ^|, l-,, ^3 sont égales, cas où il n'y a pas de singularité).

11 peut se faire aussi qu'il y ail dans P une droite D, et une seule, dont les
points sont invariants, et sur D un point, et un seul, tel que toutes les droites
de P qui passent par M soient invariantes.

Nous aurons alors impossibilité si les trois racines de Killing sont distinctes,
indétermination si deux de ces racines sont égales, la troisième en différant
d'un multiple de 27; y' — 1 ; et enfin il n'y aura pas de singularité si les trois
racines sont étrales.

o

Il peut arriver enfin que tous les points et toutes les droites de P soient inva-
riants; on retombe alors sur le cas d'indétermination.

III. — Formation du groupe paramétrique.

J'avais donné en outre une seconde formule d'une forme analogue mais
entièrement nouvelle. Supposons que l'on ail

eV ,.1 _, ,,>^.'v.

QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 2*^

les l étant infiniment petits. INoiis pourrons écrire
et d'autre pari

Les intégrales doivent être prises le long d'un contour enveloppant toutes les
racines de l'équation de Killing F(t) = o; pour l'intégrale (2), le contour est
assujetti en outre à ne pas envelopper les racines de i — 6"^= o, la racine zéro
exceptée.

La formule {2) nous apprend en outre que les substitutions du groupe G, ou
plutôt de son groupe paramétrique, peuvent être mises sous la forme

Que signifient ces trois formules et d'abord la formule (i)?
Les t sont des fonctions linéaires des t/r et les coefficients sont de la forme
suivante :

i;H/,(c0/,)-^i:e-",.S^(0VJ,

où P<.j!,(^«y,) et S/,(wp) sont des fonctions rationnelles de (,)p et des c. Le dénomi-
nateur commun de R,, et de S^ est un polynôme homogène de degré r, divisible
par w!^-, si Wp est une racine d'ordre /jl. Le numérateur de K/, est un polynôme
homogène de degré (r — i); celui de S^ est un polynôme non homogène de
degré (;• — 1) dont les termes du degré le moins élevé sont de degré (/• — p.).

11 y a exception pour la racine o)y, =r o; pour cette racine les deux termes de
la formule peuvent être réunis en un seul; le dénominateur est un polynôme
homogène de degré (/■ — y) par rapport aux r, si zéro est une racine d'ordre fx;
le numérateur est un polynôme non homogène de degré (/• — i), dont les termes
du degré le moins élevé sont d'ordre ir — 17.).

Que nous apprend maintenant la formule (2)?

Elle montre que les dv sont des fonctions linéaires des t. Elle nous apprend
aussi quelle est la forme des coefficients de ces fonctions linéaires qui sont en

même temps les coefficients des — ^ dans les expressions des X,(y") [voir for-
mule (3)].

12.\ OL'ELQUES REMARQUES SL'U LES (iROLPES CONTINUS.

Soit

I — e-">

el D,j{(,]p) la q'"""' dérivée de D^^oj^,) par rapport à (.>/,: nus coet'licienls seront
lie la forme

Q'. Q'„ ■•■! Q^', étant des fonctions rationnelles homogènes des r et de Up dont
le dénominateur commun est d'ordre (r — ;j-) et dont les numérateurs sont
d'ordre

Pour la racine (0/,:=o, la même formule pourra être conservée, seulement
les Dj(cxip) devront être remplacés [lar l'unité et les degrés des numérateurs
des Q devront être abaissés d'une unité.

Nos coefficients seront donc des termes de l'une des deux formes suivantes :

1° Une fonction rationnelle des r (provenant de la racine ùip= o).
2° Une puissance négative de (i — c'^r) multipliée par une finicti(U) lalion-
nelle des c et de co^.

Exemjilc.

Un exemple simple fera d'ailleurs mieux comprendre la portée de cette tor-
mule (2).

Considérons le groupe des rotations d'un corps solide autour d'un point fixe.

Soit une rotation d'un angle 2& autour de l'axe de cosinus directeurs «, p, /;
nous pouvons la représenter, en employant la notation des quaternions, par les
quatre paramètres

À = cosO, ;ji = a~inO. v = ^JsinO. f. = vs-inO.

NFais nous pouvons également la représenter par les trois parauiètres

.•, = xO, (■î = ;30, c:,= 70.

Si alors ^, /;,, I3 représentent les paramètres d'une rotation infinimeni petite,
si)., (J., V, p ou t|, i'.j, f, définissent, non seulement une rotation finie, mais
l'orientation où cette rotation finie amène le corps solide en partant de son
orientation initiale, cette orientation variera si le corps subit la rotation infini-
ment petite /,, ^J, ti, de sorte que les >. et les r subiront des accroissements iD.

Ql ELOIKS REMAKOl FS SI II LES GIlOl l'KS CONTINUS.

Cl (/r. La lliédiie des quaternions nous donne ( ' )

(II. — — ;j./, — -il., — p/;:.

^u = \t,— zt.— -il-..

•jt, x/,-*- /.A,.

On en déduit, par (■\em]>le,

</.•, = i) ,fx - -xt/O =

6 rfjji flaPosOf/À -x f/'/.

••in-l) >inll

d'où

/._.(— r_; x'ii I — 0 rot 0 i]
rjc— ï-i I— 0 l'ol 0 1 I.

Ci)nipai-iiiis ce lé^ultat avec ce que iluniu- la l'niimile { :>. ). ^Joll^ aiiron-

'(/• . '// .//■ '/f

(II. ilx lii II-.

V '//■ '//• - '//• <lf

^'- = — '' -r — .' 7" '• Y '■■'■ ) ■

fil. irx fvi II',

.. <lf df .If . ,lf

ili. irx (Il ilz

d'oi'

L'équatidii de- Rilling s'écrit

Fi Ci

elle admet trois racines, qui ^ont o et ± lih.

On a

F('?') = — ?(«_ ifl-:!).

r',,= 4c,r,,— oti-.:

et la formule (•> I doniK

A-,= ^- / - • - - - - - ■ -

■>r. \ — I ■ ' 1 — '
Les résidus sont :

_;,==_ 46^)

Voir au\ ]Sotes.

H. \\ — in.

■lift QlEI.Ql'KS RF.MAROl'FS SUB LKS CnOl PES rONTIM'S.

i" Poni- la racine o,

2" Pour la racine — 2/9, ,

_/ tl^''7— O-.l

1((||| — ^-'«i

' ',(6(1 — e^'": ' ijei'l — (.-'0) '

.'i° Pour la racine 2j'5,

' 4(0(<»-='''— I) "4f Oi e--'"— Il ■' 4,-6i e-ï'^J— II'

En faisant la somme, on irouve :.
1° Pour le coefficient de /,,

, 4i''î— 0-1 e-='f-i

2" Pour le coefficient de ^2.

4^■.^•■. (e-='-8^l)

3."- — 0 col 61 I — X- \

— ',/fl i,,-:rt_n

f'3 = a j — 6 rot 6. a ; ■

i " Pour le cciefficient de fg,

,,,,, K-'«^n ^,, = ,.._ 0 00, 0.. --..,.

_4,-6 (e-'M-

On retrouve donc bien par la formule ( a ) les résultats auxquels conduisait

la théorie connue des quaternions.

Si nou.s avons, comme nous l'avons suppcisé plus haut,

p\ p^ _ pV .</v

et si nous .•-uppt)sons

T = ; \ ,

£ étant une constante infiniment petite, les deux substitutions \ et T seront
permutables, de sorte qu'on aura aussi

Si donc les équations linéaires qui lient les r/i' aux t s'écrivent
il viendia

(4 i >•, = -^ /,'•/.•

Ce sont là des relations importantes auxquelles les fonctions \ f,, devront

QUKLQIJKS REMARQUKS SUR I.KS (iROlU'ES CONTINUS. )77

satisfaire identiquement et qu'il est d'ailleurs aisé de vérifier sur l'exemple
simple c|ue nous venons de traiter.

lic'liilioii f'fitri' le nroupe iKliiimi'lfKjUi' cl h' ^ nui pi' (idjoinl.

Dans le paragraplie précédent nous avons dunné le» équations du gruu|i('
adjoint: dans celui-ci nous donnons celles du groupe paramétrii|ue. Il est aisé
de voir quelle relation il y a entre ces deux groupes.

Soient e^, e^ ^ (?' trois transformations du groupe G : la première finie, 1rs
deux autres infinitésimales. Posons

gV pT _ f\ ^i\ . .

la transformation qui change les i', en CjJrih'i appartient au groiipr paraim-
trique, je continue à l'appeler é^ ; c'est d'ailleurs la transformation

ow les X^iy ) sont définies |)ai- la formule ( .5 ).
Posons encore

(V = s.vX;. \'= i:,-;X;i.

l^a Iranslormatiiiii ipii ciiauj^c les r, eu r, appai'liciil au ^mupr adjoliil : je la
représenterai par c^' poin- ue pas la confondre avec la transformation corres-
pondaiile /'' du i;i-nupe |iaram('lricnir. .Soll ensuite

je vois que la mi-m<' trausfoinialion linéairi- c'", qui eliaujje les r, eu ij , cliaii-^e
les /, en /, et les r/c, en <U-) ; et par conséquent les 1',+ '/'', en i', + rlv] .
On aura aussi

p-U pT (,1 - ,.1' ,, i ,,\ - /\ ,,i ,,\ ,;\ ,. I ,,\ ,.i ,.\

d'où

,.V^./V_- g— L' pV4-AVL' _- f l f,\ g\ ,,l - ,, I ,.\ , I , 1,1 ,1 ,.\ ,.l .

c est-à-dire que la transfoi-malion r-' , ijiii appailicul au gioupe paraniclrl(nic.
change les cj en v- -f- c/i ■'- .

Il est donc indifférent de faire subir aLix i,, d'ahord la [iMusf'orMiali(]ii c' ■ iiui
les change en i-, , puis la transformation c' ({ui change les v) eu r^ c/i ; : on
de taire d'ahurd la I l'ansforinal ion c^ (jui c liante les r, en r, ^ r/i,. puis la Ira us-

228 OURLQIES REMARQUES SLR LES GltOUPES CONTIMS.

formation e'" qui change les r/^- </f,- en i'] + r/i, ; ce qui s'écrit

f'I u f f ' = <»T pi „
OU

OU, puisque les suh^tilulions sont infinitésimales,

T'=T-(TUo).

D'autre part, l'équalion

pi ^; ^— l pT ^l

nous donne

T'= T m ).

d'où

(5) (Tr„i = iTL-).

Pour l'iiilelligence de cette formule ( f) ) il importe de se rappeler que

où les \< sont donnés par la foiniule {'.^), tandis que les t/, et les iif, sont des
coefficients constants. Quant à L „ il est de la forme

t „ 1"/ \,.if<.
où

les '/,;(, étant des fonctions linéaires des i-.

C'est ce qu'on peut encore exprimer de plusieurs aiilies manières.

Reprenons les équatmiiN

'/',- IN/.,'/,.

l'aisons subir aux i . aux t et au t/i une même substitution linéaire appar-
tenant au groupe adjoint; soient i', l , dv' ce que deviennent les c, les / et les
di- par suite de cette substitution. Soit \^, ce que devient \ a, quand on y
change les i- en c': des écpialions proposées on pourra déduire alors

Ou bien encore, coii-idéri>ns l'expression

C'est une forme bilinéaire |)ar rapport aux i/ et au\ / dont les coefficients
sont des fonctions des e. Celte forme ne sera pas altérée quand ou fera subir
aux r et aux / une sub-titutiou liiiéaire du L;roupe adjoint, et aux ii la substitu-
tion linéaire contragrédiente.

QUELQUES KEMARQUES SLR LliS (illOUPES CONTINUS. ^-".I)

La formule (5) peut aussi s'interpréter connue il suit : L' ensemble des Ivitns-
formallons du gyntipc ndjoinl el du ifioiiiie paramétrique engendre aussi
un groupe F, cl dans ce groupe T le groupe parainélriiiue est un sous-
groupe invariant , et en ellel (TU ) fait aussi partie de ce sous-i;toupc.

Nos formules ( i ), (2) et (.3) nous suggèrent encore difl'érenles remarques f|ui
nous seront utiles dans la suite.

.Sup|)osons (juc notre groupe G admette un certain nondirc de transformations
inlinitésimales distinguées, c'est-à-dire permutables à toutes les transformalu)ns
du groupe. Soient \,„, 1, X„,4.j, . . ., \, ces transformalions que j'appellerai
pour abréger les \ ', tandis (jue les autres transformations \,, X..,, .... \„,
s'appelleront les X\ Comme au dernier paragraphe du Mémoire eité de
Cambridge, j'apjiellerai les // et les v' ceux des eoeflieienls / et c qui affectent
1p^ X', et les t" et les r" ceux rpii affectent les X", el je |30serai |iar exemple

Si nous envisageons alors le delerminant de Killing nous \errons que les
( /■ — m) dernières colonnes sont entièrement composées de zéros sauf les
termes de la diagonale principale qui se rédursent à — ï. Il en résulte que

I,a formule (a) nous donne alors, poui- / m.

C'est d'ailleurs ce qui est presque évident; car V " et T" étant permutables à
toutes les Mibstilutions du groupe, on a (pour T'= o)

,.\ ,/\ . - ,.\ ,,r -^ ,,v pi" ~ pV I r

d'où

^A = T", rfV'= (I. ^A"= T":

ce qui équivaut à la formule que nous venons de trouver.
Cela posé, je reprends la formule

gV+rfV_ p\ gi-

et je dis que les dv ne peuvent jamais s'annuler tons à la fois. Si cela arri-
vait en effet, on aurait c/V^= o, ddù

■23(1 QIIXOIKS KEMAUQl K!i SUll LKS GIUIlPI.!i CONTIMS.

Cl <i l l'sl uiieisii bsliiulion quelconque du ojroupe

eu nosant

e-v U e^' = U'.

cela (levienl

Mais U' est une substitution quelconque du groupe. En effet, quelle que soit
U', nous pourrons toujours poser

U = e^ l f-^.

puisque l cs| ;u-l)ilrairf. La tnniiule précédente signifie donc que T est une
Iransfornifilion dislinguéc. ou, a\ec nos notation». <jue T = T . Mais on ne
peut avoir (à nioin> que 1 uc si' iédui>e à zéro

I = T". ^V = o:

car nous avons vu plu» haut que pour T = T" on a

d\ = l .

I .a proposition c>l dciiic démontrée.
S<Hl mainleuanl

i .= i;//,\,. \v = ï.c,\,. \=ic,x,.

( )n peut >(■ ilciiiaiider dana i/iii'ls eau les c cessent d'être des fntutioiis
/ii)/o/}ior/dies des u et îles w,

\ Iroij transformations f' , ('**, e^ correspondent troi? substitutions linéaires
du groupe adjoint; soient V,,. A,, I. ces trois substitutions. Soient À"-, Xj-, lij
leurs coefficients. Il csl clair que L sera la résultante de \„ et A, et pur consé-
ipieiil que les / sont îles poljnouies du premier degré tant par rapport aux X"
que par rap|)Oil aii\ À' .

La roriiiule \'i) du paragraphe 11 nous apprend <[iie les )" et les À' sont des
fonctions entières des u et des u; il en est dune de même des /. Daulre part,
la formule [-) du paragraphe II et la discussion de celte formule qui termine
ce même paragraphe nous apprend que les bu, ne cessent d'être des fonctions
holoinorphes des l que quand L est une substitution singulière. Si donc cette
dernière circonstance ne se présente pas, les bih sont des fonctions holomorphes
des // et des n\

Distinguons maintenant parmi les c ce que nous venons d'appeler les c' et

OUKI.(,)l!KS KEMAROIKS SUll Mis GROUPES CONTINUS. 23l

les v". Les ft,A, comme je viens de rexpliquer, ne dépendent que des c' et pas
des 1 " : ce sont d'ailleurs des fonctions linéaires des r'. La connaissance des bik
en fonctions des u et des w nous fournit donc un certain nomhrc d'équations
linéaires enlre les i'. U reste à savoir si ces équations suffironl pour déterminer
les t'', c'est-à-dire si les déteiniinants formés à l'aide de ces équations ne seront
pas tous nuls.

Si cela arrivait c'est que les bik reprendraient les mêmes valeurs pour deux
syslème> différents de valeurs des c', c'est-à-dire qu'il existerait deux transfor-
mations

( sans que V, soit é^al à \ '„ ) et telles que l'on ait, quel que soit T,

( V,Ti = (\,T\:

et comme

( V'î T I =; I \ o T I = i>,

on aurait

I V'iTi = ^V:,T).

ou *

i\\ — \:,. Ti - ii:

c'est-à-dire que \\ — V'., serait une iransformation distinj^uée ; ce qui est
impossible, puisque \ , et V., sont supposés correspondre à des valeurs diffé-
rentes des i''.

Donc nos déterminants né sont pas tous nuls; doiicde nos équations linéaires
nous tirerons les c' en fonctions holomorphes des u et des w.

J'ajouterai que les >v" et les À' , et par conséquent les i' dépendent seulement
des a et des tv', et pas des ii" et des (v'.

Passons maintenant aux i ' ( '): nous avons, d'après la formule i i ),

■I.- \ — I •--' ï ■■^ "^ '.

'/"' = = / «'î — r — >, -ETçy-

ou, en posant

I — e-4

rf«-,-rfc,= ^^ / Erft6<5) > ''-^J^:

C) H. Poincaré a signalé ptus tard [Nouvelles remarques sur les groupes continus {Ren-
diconti..., l. ÎS, 1908, et Œuvres, t. 3)] que le premier membre rfiv, doit eue remplacé par
l'expression analogue à celle qui figure au second membre, mais où les v, sont remplacés par
les iV|. II prouve que la conclusion fomlamcnlale, en italiques au bas de la page suivante, n'est
pas altérée f J. D. ;.

iSa qi;ki.qc'es rbmabques sur les groupes continis.

Je suppose que les indices i, 2, .... m correspondent aux transformations
non distinguées, c'est-à-dire aux i', aux li cl aux ir', et que les indices ni-\-\,
m + 2, ..., ;■ correspondent aux transformations distinguées, c'est-à-dire
aux r", aux u" et aux w". Soit i > m ; alors, si j > /», le rapport

P./

sera égal à zéro ou à 7. suivant fine « est diflerent de / ou égal à y'. En tout cas
le terme correspondant de l'intégrale est nul, la fonction sous le signe intégral
étant une fonction entière de ^.

Nous pourrons donc ne conserver dans le second membre que les termes en
chj où / <i m -{-i, c'est-à-dire les termes (jui dépendent des Je', et écrire

( (> I //il-, — (/(■, = — / S rtc <ii S I 7 „ , I / , //(. / c /Il - 1 I.

' ^ va)

Cette formule est tout à fait équivalente à la dernière formule de la page 204
(lu Mémoire cité de (îambrige.

Le seconil incmbrc ne dépend que des r' : ce doit être une diltcreiitielle
exacte, soit d&i(\\, r.,, . . ., i„, ).

L'équation ((\) nous donne alors

<■,■='•■','— 8, (c',. (■.;, !•;„)-- i-iiii~i.

Pour IV = o on doit avoir t' = u, ce qui détermine la constante, et il vient

(,71 ''ii= "ï— "ï— H,(c'|. l'.j !■;„)-, H, w/|. ».;, II],,,.

Cuinnienl b'^ i pourniicnl-ils cesser d'être binctioiis biildiiiiirpbc^ des //et

J'observe (jue £|(;) est une fonction entièie de H. Donc, en v<'rtu dune
remarque fnlle à la page 238 du Mémoire cité de Cambridge ( ' ), les dérivées

OS,

. ^

seriint des tonclions entières des r'. 11 en sera donc de même des 0,. Donc les
c" ne pourront cesser d être de> fonctions holouKirphcs que si les i' cessent
eux-mêmes de l'être, c'est-à-diie si la suljstitution L est singulière.

En résumé : les c seront des fonctions holomorphes des u et des (v, //
moins que la substitution L tie soit singulière.

(') Ce liinie. p<if;e ir)'|.

l.lUKI.yUhiS REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. .».33

Quand je dis singulière je veux dire singulière de la première sorte; le cas
de ce que j'ai appelé, à la fin du paragraphe précédent, substitutions singulières
de la deuxième sorte, ne se présentera jamais. El eu eftét ce serait le cas où le
déterminant de la substitution L serait nul. Or cela n'arrivera pas puisque c'est
le produit des déterminants des deux substitutions composantes \„ elA,, qui
sont tous deux difTérents de zéro.

IV. — Groupes de rang zéro.

il y a un cas ou les formules se simplilieul considérablement, c est celui où
l'équation de Killing a toutes ses racines nulles, c'est-à-dire celui où le
groupe G est de rang nul. Dans ce cas, F(;) se réduisant à ( — >)' l'intégrale (3)
(lu pai'agraphe 11 prend la forme suivante : nous avons sous le signe intégral, au
numérateur c '^ multiplié par un polynôme enlier par rapport aux r et à ;, et
au dénominateur £' .

11 en résulte que les coefficients de la substitution linéaire du groupe adjoint
qui change T en T' seront des polynômes entiers par rapport aux c.

Les formules (i), (2 ) et (3) du paragraphe III subissent des simplifications
analogues. Les fonctions sous le signe intégral se réduisent en effet à des poly-
nômes entiers par rapport aux r et à ;, divisés par '••.'' et multipliés par l'une des
deux fonctions

11 résulte de là que les l sont des fonctions linéaires des dv et les c/f des
fonctions linéaires des t, et que les coeflicients de ces deux substitutions
linéaires inverses sont des polynômes entiers par rapport aux ^■.

On en conclut immédiatement que le déterminant de l'une ou de l'autre de
ces substitutions linéaires se réduit à une constante. En efl'et, ce déterminant
est un polynôme entier par rapport aux r; et comme les coefficients de la subs-
titution inverse sont aussi des polynômes, il faut que ce déterminant divise tous
ses mineurs du premier ordre. Il divisera donc aussi toutes ses dérivées partielles
du premier ordre; et cela n'est possible que s'il se réduit à une constante.

La formule (3) nous apprend donc que l'on a'

âf),

les W i/i étant des polynômes entiers par rapport aux c.

II. r. — III. ,3o

■^34 QUELQUES REMABQUES SUR LES GBOUPKS CONTINUS.

Ces polynômes jouisseni d'une propriété intéressante; si en effet on a

c étant une constante infiniment petite, les deux transformations T et V sont
permutables, de sorte que l'on a

(/r,= /, = cl,.

Or

Donc on a identiquement

Dautre part, les transformations X, doivent engendrer un groupe. Donc les
crochets (X/Xy) doivent être des combinaisons linéaires des X^.

Soit m le plus grand degré des polynômes Wa,-, et soit W"' l'ensemble des
termes de degré ni de W/,,, et en général W^, l'ensemble des termes de degré q.

Soit

àv/.

Considérons le crochet (X"'X™); ce crochet représentera l'ensemble des termes
de degré 2m — 1 dans le crochet (X,Xy).

Supposons d'abord m >i. Le crochet (X,Xy), qui est une combinaison
des X,,, ne contient pas de terme de degré supérieure m, et comme 2m — i^ni
il faut que

{\i Xy ) = O.

Cela veut dire que les transformations X.f engendrent un ^roii/ic G"' dont
lotîtes les transformations sont permutables.
D'autre part, la relation (1) nous donne

Cela veut dire que la transformation

V ( V'"

du groupe ( i'" n'altère pas le point

l-, = i,, l'2= ^ c, = /,■,

ni d'ailleurs aucun des point^

1', = )./,. pj =),<,. .... p,. = /.<,..

quelle que soit la constante À.

QUELQUh'S REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. l'iS

Cela nous avertit déjà que le groupe G"' est intransilif. En effet, un poinl
quelconque étant inaltéré par x' transformations, les ■do'' transformations du
groupe ne pourront transformer ce point qu'au plus en oo''" ' points différents.

Avant d'aller plus loin, signalons quelques-unes des propriétés du groupe G'"
et des fonctions W^",.

Nous avons vu au paragraphe précédent que si

est une substitution de notre groupe G; si

est une autre substitution de ce même groupe, et L > la substitution correspon-
dante du groupe adjoint, on a la formule

(TU„i = (.TL-..

Comme (TU) appartient aussi au groupe G, nous pouvons poser

(TU) = T'= ï/i.\x-(/i.
Nous poserons

T'/=i;/,\I. T'j=zù\t

en définissant comme plus haut les fonctions W^, et les symboles X^. On aura
alors

Or T* et T'' sont homogènes de degré g par rapport aux v. Uo (, comme
appartenant au groupe adjoint dont toutes les substitutions sont linéaires) est
homogène de degré o par rapport aux c, et par conséquent (T^Uq) est homo-
gène de degré q. de sorte quon aura

iT'7U„) = T-'/
et en particulier

(T'"Uo) = T'"'.

Cela signifie que le groupe G"* est permutable aux substitutions du groupe
adjoint.

Cherchons maintenant les i/ntniants du groupe G"'.

La Condition nécessaire et suffisante pour que le point Ci, i^, . . . , iv ne soit
pas altéré par la substitution T"', c'est que l'on ait

Ce sont des équations linéaires par rapport aux t, et le déterminant de ces

• M) QUEI-OUES REMARQUÉS SUR I,ES GROUPES CONTINUS.

écjiialiolis esl nul comme le prouvent les relations (r bis). Ces équations (?>)
déterminent les points qui ne sont pas altérés par la substitution T'". Je
remarque que l'ensemble de ces points ne sera altéré par aucune des transfor-
mations de G'", ji! veux dire que ces transl'ornialions transformeront ces points
les uns dans les autres. Si, en etFet, M est un pdini inaltéré par T'", et si c" est
une substitution quelconque du groupe G'", qui change M en M,, le point M,
sera inaltéré j)ar la transformation e~"T"'e", cVst-à-dire par T'" j)uisquc les
substitutions du groupe (i'" sont permutables. Donc e" change le point M inal-
téré par T'" en un autre point inaltéré par T'". c. q. i. d.

Revenons aux équations (.3). .lai dit que le dctciiuinant était nul. .Supposons
que les mineurs des />' — i premiers ordres soient tou> nuls également, mais
que ceux du A'*""' ordre ne soient pas tous nuls à la foi-. Conservons alors /• — //
des équations i'i); les autres en seront des conséquences; et adjoignons-y /( — i
équations linéaires (|uelconques à coefficients constants entre les t. Nous aurons
ainsi /■ — i équations, qui détermineront 1rs rapports de> f/^ d'une manière cl
d'une seuh', et la substitution

T"'=i;/x.\'/'

n'altérera pas le point c,, c.,, . . . , c,; cette substitution el ses puissances seront
d'ailleurs les seules substitutions du groupe G'" ipii n'altèrent pas ce point el
qui satisfassent à nos /( — i équations linéaires à coefhcicnts constants.

De nos équations nous tirerons les rapports des //^ en fonction des t . Si une
substitution qiu'lconque du groupe G'" change les r en r', les transformations
qui n'allèrent pas le jioinl v] devront être les mêmes que celles ipii n'altén-iii
pas le point c,. Donc nos ;• — i équations doivent encore donner les mêmes
valeiirs des rapports des U quand on y remphu^era les i' par les r'. En d'autres
termes, les rapports des /* tirés de nos équations devront être des invariants
du groupe G'".

Nous pouvons, pour former nos /( — i é([ualions supplémentaires à coeffi-
cients constants, nous borner à égaler à zéro A — i des paramètres t/^. Dans ce
cas les autres /a sont entre eux comme des mineurs d'ordre h de notre déter-
minant.

En résumé : les rapports des mineurs d'ordre h du déterminant des
équations (3) sont des invariants du groupe G'".

Le nombre des invariants distincts du groupe (i'" doit être précisément/!;
car notre grcuipe contient oo' transformations. Chacun des oc' points r,, Cj, ...,

QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. •.),'J7

f, de l'espace domcure inaltéré par «''' Iransformalions ; il peut donc èlre
changé en co'"''' autres points de l'espace. H y a donc /( invariants, et h seulo-
iiienl.

J'ai dit plus haut que le déterminant des \\ ,a se réduit à une constante. Il est
aisé de voir d'abord que cette constante est égale à i . On a en efYet (i i :

et par conséquent, en égalant dans les deux membres les termes du premier

degré,

-\^ ",'■/- '•-■
d'où l'on déduit :

\\;; ^ I. \N /,=- " ' ' /. 1.

ce, qui montre que quand les c s'annulent, c'est-à-dire quand les \\ n, se
réduisent aux W "/ , le déterminant se réduit à i. (lomme ce déterminant est
une constante, il est toujours égal à i .

\'ojons quels sont ses mineurs. Si la t'oruinle(i) du paragraphe précédent
s'écrit :

nous avons vu que les Ua, sont des polynômes et, le déteuminant étant égal à i,
ces poh nomes ne sont autre chose que les mineurs en question.

Comparons maintenant les formules (i) et (2) du paragraphe précédent.
Nous verrons que les polynômes VV/;, et L'/;, sont les uns et les autres les
résidus d'une certaine intégrale et (pie les quantités sous le signe intégral
diflTèrent seulement par un certain tacleiir, (|ui est

pour l'une des intégrales et

1 !•-'

pour l'autre. Développons donc ces deux lacleurs

_ V ^ -'".

Soit

I*"' sera un |jolynome homogène de degré m pai- rapport aux r.

Nous avons défini plus haut ^\ ',',. De même, IJ'/, sera l'ensendjle des leruies

■'38 QUELQUES REMARQUES SUR l.hS GROUPES CONTINUS.

de degré q du polynôme U/,,; nous trouvons alors :

d'où

Les deux polynômes homogènes Ij'j.- et \\ '^, ne diffèrent donc que par un
facteur conslanl facile à déterminer. '

Entie les éléments \\ /,, de notre déterminant et ses mineurs U/i, nous avons
les relations bien connues :

En égalant les termes du degré le plus élevé, il vient :

quels que soient /et y; et puisque U") ne diflere de W"' que par un facteur
numérique constant :

De là une propriété remar([uablc du groupe Ci'". Considérons un point par-
ticulier

c'i'. lii (■;:

et cherchons parmi les transformations du groupe (i'" celles qui conservent ce
point i'". Soit W"!" ce que devient W,'| quand on y remplace les c, par les c".
Les substitutions cherchées seront données par les équations :

S<-'/ "« = O,

lesquelles, en vertu de la formule (6), admettent pour solutions :

(7) //■=w;r (y = i, ?....., /-v

Combien, parmi les solutions ainsi obtenue>, y en aura-t-il de distinctes?

Le déterminant des ^^ est, comme nous l'avons dit, nul ainsi que ses mineurs
des h — 1 premiers ordres. Cela fera donc r — /* solutions distinctes. Comme
le problème en comporte /j, on devra avoir :

r — h<h,

de sorte que /( est au moins égal à - •

QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 2^9

La relation (6) nous montre enrore que si les dvi satisfont aux relations

qui définissent le groupe G'", on aura :

(S) '^\\'"i dv,= n.

Les équations (8), dont /■ — /( sont distinctes, peuvent être regardées comme
les équations différentielles des invariants du groupe G'".

Mais la formule (6) n'(>si qu'un cas particulier d'une formule beaucoup plus
générale. Soit, en effet,

On déduira de là :

(io;i I,;' = i;/i,\'/,.

les V^^ étant des polynômes homogènes de degré ij p.ir rapport aux r, et l'on
verrait, en raisonnant comme plus haut, que \ J, ne diffère de W'^, et de U'^, que
par un facteur numérique constant facile à calculer.

Quant à la signification des h^'i\ elle est facile à comprendre. D'après ce que
nous avons vu dans le Mémoire cité de Cambridge, si l'on pose

\ = 1 c.X,. H = i; /(,\,. Ili'/i = Z h'!' \,.

on auia

Hiil = (\ Il I. Hi'?)= ( VHI'/-')).

Si donc on change A, en h/' dans la formule (g), il faudra ciianger /;/'
en II'/'*''' ; on a donc

iii;) hr" = -s. hf \%

Comparons alors trois formules qui ne diffèrent des précédentes que par les
notations :

nous liûuverons

ou, puisque les V^ ne diWérent des W que par un facteur constant :

C étant un facteur numérique dépendant de p et de q.

240 QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

Si p -h g est plus grand que m, W 'y,- ' doit être nul; de sorte que

ioiniule dont l'équation {6) n'est (ju'un cas particulier.

La formule (Ghis) nous donne un procédé simple pour former les poly-
nômes ^\ .

On a en particulier :

de sorte que des équations du groupe Ci'" :
on pourra déduire :

nouvelle forme des équations différentielles des invariants du groupe G'". On a,
en particulier.

(S/e/i 2 W,', f/i/ = o.

11 esta remartpier que le^ équations (<S)el(<S 6/i) ne sont que des consé-
quences des équations ( (S ter): car, en \ertii <lc (d Ois) .

iw;',,/,-,-^ ilw/, 'il \\,',r/,-,)|.

Autre re/»iirt/iie : Nous avons vu plus iiaul que dans l'expression

,,V^./V^ ,,V,.I

d\ ne peut jamais s'annuler. Si donc nous reprenons nos équiitions ditl'éren-
tielles

nous voyons que les r polynômes

y. \\ /.,/,,. i;w,,,,o, i:W/„7/,

ne peuvent s'annuler tous a la fois, et cela (juels que soient les coefficients
arbitraires /| , /j, . . . , 1, ■

Où, pour employer le langage géoiuélrique, les équations

représentent ;■ variétés à /■ — i dimensions dans l'espace à / dimensions.
Ces /• variétés ne peu\ent se couper qu'à l'inlini.

Ces équations difl'érentiellcs peuvent d'ailleurs s'intégrer aisément, et nous

QUELQUES REMARQUES SUIl LES GROUPES CONTINUS. 2^1

allons voir quelle est la forme de lintégrale générale. Soit

et clierchons à exprimer les c en fonctions des ii et des ir.

Soient \o, A|, L les sul)stitiitions linéaires du groupe adjoint correspondant
aux transformations e^ \ e^^, e^ ; soient Â"^, À'^, /,/ leurs coefficients.

Les V'- nous seront donnés en fonctions des m, à l'aide de la formule

,,0 _ ' fflfe-'-Vg

OÙ P^ est ce que devient P,, quand on y reuqjlace les c par les u; car I" (^) se
réduit à ( — £)'. Le dénominateur est indépendant des ;/ ; le numérateur est un
polynôme entier par rap|)ort aux ii . Donc les À" sont des polynômes entiers par
rapport aux u.

De même, les "/.■ seront des polynômes entiers par L'apport aux iv, de sorte
que les / seront des polynômes entiers par raj)|)ort aux (/ et aux iv.

Calculons maintenant les 6,, en lonction des / à l'aide de la foiinule ( 7 ) du
paragraphe II; celte formule s'écrit :

car<I»(e~') se réduit à (i — ■e~''-)' . Le seul facteur dépendant des / est Q,,, qui
est un polynôme entier. Donc les b sont des polynômes entiers par rapport
aux /, et par conséquent par rapport aux u et aux n'.

Nous avons vu que les f' sont liés aux Ij,/ par des équations linéaires; les c'
sont donc aussi des polynômes entiers par rapport aux u et aux iv.

[Reprenons maintenant la lurinule (()) du paiagraphe 111 { ' ). Elle peut
s'écrire

■>.r. v — 1 • ' ? '

car

i'(;i = (— çi'-.

Ici encore P,/ est un polynôme entier j)ar rapport aux c', di; sorte que le second
membre est un polynôme entier par rapport aux c'; on déduit de là, en revenant

(') 1^3 forriiulo (li) du |iai-a;;[aplic III n'est pas exuile; rf. Note de la pa^'c !.!i. Les conclu-
sions entre crochets sont à reprendre (.1. D. 1.

H. P. — m. 3i

242 QUIÎLQUES RK\fAnOUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

à la formule (- ) du paragraphe III :

que 0, est un polvnonie entier par rapport aux v'.

Donc les r" sont des polynômes entiers par rapport aux u et aux n'. Ainsi
les i' Sont des polynômes entiers par rapport aux u et aux iv; c'est-à-dire
que si l'on intègre les équations différenlieiles

en clierclianl à exprimer les i- en fonctions des u', les intégrales seront des
polynômes entiers. ]

V — Étude plus détaillée du groupe paramétrique.

Reprenons l'équation

<>r pW — g\

du paragrapiie III et étudions de plus prè> les c regardés comme fonctions des u
et des n'. ^ous conserverons aux lettres \„. \|, L, XJ' , À,' , l,j la même signili-
cation qu'à la fin du paragraphe III.

Nous avons vu dans quel cas les bu, cessent d'être de> fonctions holomorphes
des /et ])ar conséquent des u et des ir; examinons plus complclemcnt les singu-
larités qui peuvent se produire, et [)our cela leprenons la lormule (-) du para-
graphe II. Ci'ttc formule est susceptible de simplilication.

Le contour d'intégration doit envelopper toutes les racines de l'équation de
Killing en laissant en dehors ces mêmes racines augmentées d'un multiple
de 2?7r. Nous pouvons donc supposer que ce contour est un rectangle dont l'un
des côtés, parallèle à l'axe des quantités réelles, est très gr.ind, tandis que
l'autre, parMlléle à l'axe des quantités imaginaires, est égal à iir..

Désignons par •j'iO l^i fonction sous le signe intégral. Si l'intégrale prise le
long des petits côtés du rectangle tendait vers zéro, quand les grands côtés
tendent vers l'infini, notre intégrale

I

|)rise le long du rectangle entier, pourrait être rempl.icéc par l'intégrale

r

QUELQUKS REMAROUKS SUR LES GROUPES CONTINUS. > I >

prise le long de l'un des grands côlés (par exemple le long de l'axe des quan-
tités réelles).

Les choses ne sont pas tuul à l'ail aussi simples. Nous avons, en efl'el.

■^1?)

■î>(f-

Pour t= 4- co. e~' et par conséquent ]/(;) tendent vers zéro; mais pour ; = — co,
e^i tend vers l'infini. L'expression

est le quotient de deux polynômes de même degré en e^^; elle tend donc vers
une limite (inie et déterminée que j'appelle A.

Modifions alors légèrement la formule {'])', l'intégrale

', - \ — I ■' P-?— I

prise le long du rectangle est nulle, puisque à l'intérieur du rectangle le déno-
minateur ne s'annule que pour ; =o, et qu'alors le numérateur s'annule. Je puis
donc écrire :

Je poserai

et je vois que 0 tend vers zéro, aussi bien pour ^= — • oc (pie pour : ^= + go.
Alors si les grands côtés du rectangle sont très grands, l'intégrale (7 (jt"), prise
le long des petits côtés, est nulle. On aura donc

\

l'intégrale étant prise le long de l'un des grands côtés. Mais la fonction 0 {'l) est
périodique, de sorte que 9(;) = 5(; + 2/7:). C'est ce qui nous permet d'écrire
tout simplement :

• Nous avons vu qu'une singularité peut se produire quand deux racines de
l'équation de Killing ditièrent d un niulti|)le de 2i7T.

244 QUELQUES REMARQUES SIR LliS GROUPES CONTINUS.

Soient donc w, el (o.i deux de ces racines et je suppose qu'à un moment
donné la différence u, — oj, devienne égale à imiv:.

Originairement le chemin d'intégration, que j'appelle C, [lassc entre les deux
points cj| et <,>.;.-\- imivr. et c'est à l'inslanl où ces deux points se conl'ondent
qLi'il peut y avoir une singularité. Considérons un second chemin C ayant
mêmes extrémilés (|ue C, mais laissant les deux points oj, ei !>i>-\- -.iiiii- d'un
même côté. Le point iù2-\- iniin se trouvera |iar exemple entre ces deux
chemins C et C. L'intégrale prise le long de C sera alors égale à l'intégrale prise
le long de C plus 27t\/ — i Rj. Ra étant le résidu de 0(;) relatif à la
racine Wj r- 'iinir.. ou. ce qui revient au même, à la racine oj... J écrirai

.1(0) = i(C:)^o_T. s^^M-:.

en désignant par .l(G) l'intégrale le long du chemin C.

(^uand les points w, el '.12+ 2min se conl'ondent. .1 ( C ) reste hohunorphe.
La singularité provient donc uniquement du terme en R^.

Supposons que les // ou les u' touincnl autour des \iileurs (jui correspondent
à la singularité. 11 pourra arriver :

1° Ou hien que les deux points m, el Wj-j- i< /;?? r: tounuMit autour lun (h'
l'autre, mais sans s'échanger. Dans ce cas R^ et par conséquent .1 ( C ) reviennent
à leur valeur initiale. Lus 6,y restent donc des fonctions uniformes des a et
des (f. Seulement ces fonctions peuvent desenir infinies parce qu'en général le
résidu Rj croît indéliniruent ([uaiiil les deux points 'ii, et &),-(- 201/7: tendent
l'un vers laulre.

2" Ou bien que les deux points r,), et M-i-\- 'imir. s'échangent. Dans ce
cas Rj se change en R, et par conséquent •l(<') en

Les l>,j ne sont plus des fonctions uniformes des n et des (v.

Il est clair d'ailleurs que, tant ([ue h'S b,/ restent fonctions uniformes des 1/
el des IV', il en est de même des e. Cela est évident j)0ur les i ' qui' l'on déduit
des 6,7 à l'aide d'équations du premier degré; [cela lest également pour les e"
puisque les 0, sont des fonctions entières des c' {cf. la lin du § 111)] (').

Plaçons-nous donc dans le cas où les i' cessent d'être des fonctions unifoinies
des II el des n'. el supposons que, les 11 et les iv revenant à leurs valeurs

(') L'unifurmilé des v n'est pas étalilif ici: K'Oir la Note anlérieuie, page 201.

QLELQtES REMAUQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 245

initiales apiè^ avoir décril des contours fermés, les c, ne reviennent {)as à leurs
valeurs initiales, mais à des valeurs dillérenles que nous appellerons c" ;
j'écrirai dailleurs :

Alors, en faisant varier les ii et les (v d'une manière continue, ou a pour les
valeurs initiales

et pour les valeurs finales

Considérons maintenant les sub^tilutions \|,.\|, L du giou[)e adjoint, ([ui
correspondent à e^. e^'' . p^. Leurs coefficients '/.", /.'. / sont des fonctions
entières des ii et des i\-; ils reviendront donc à leurs valeurs initiales quand
les it et les iv auront décrit des contours fermés. Donc la substitution L, qui
correspond à e^ •, est la même que relie qui correspond à e^ .

Considérons maintenant la transformation

la substitution correspondante du groupe adjoint sera

1.1. -'.

c'est-à-dire l'unité. En d'autres termes, la transformation e^ e~'* ' sera permu-
table à toutes les transformations du groupe. Elle peut d'ailleurs dans
certains cas se réduire à la transformation identique.

Les transformations finies qui jouissent de cette propriété s'appelleront les
transformations spéciales. Elles forment dans le groupe proposé un sous-groupe
invariant discontinu. Toutes les racines de l'équation de Killing sont, pour ces
transformations spéciales, des multiples de 2/77.

Il ne faut pas confondre ces transformations spéciales avec les transforma-
tions infinitésimales qui sont permutables à toutes les transformations du
groupe et qui. comme nous l'avons vu, existent dans certains groupes.

Tous les groupes contiennent-ils des transformations spéciales ? Soit
d'abord une transformation e\ et supposons que les racines correspondantes de
l'équation de Killing soient toutes distinctes et commensurables entre elles. On
pourra alors choisir la constante x de telle sorte que l'équation de Killing cor-
respondant à e*^ ait toutes ses racines multiples de 2/7:. La transformation e*^
sera alors évidemment spéciale.

Mais ce que nous venons de dire ne s'appli([uerait pus toujours au cas où

•2i6 OHELOUES HEMARQIES Sl'R LES GROUPES C0>T1M S,

l'équation de Killing aurait des racines multiples. En effet, on sait qu'une
substitution linéaire peut toujours être ramenée à une forme appelée canonique,
mais que deux cas peuvent se présenter. Tantôt la forme canonique est la sui-
vante ;

(( () (I (

(t h o <

les nombres «, h, c, d pouvant être égaux ou diflerenls. Tantôt elle est ana-
logue à lune des suivantes : •

()

f)

(1

a

1)

(1

<\

a

< t

<t

()

a

r»

o

e\

a

(>

(1

C\

a

(.1

(>

n

h

(t

()

(>

h

()

("2

C:k

a

()

1)

r;

/;

(I

o

c

f»

(>

()

/;

les nomjjres e n'étant pas tous nuls.

Dans le premier cas, je dirai, pour abréger le langage, que la stilisliliition
linéaire est ordinaire : dans le second cas quelle est paraboliqiir.

Or aucune |)\iissan(e d'une substitution parabolii|ue ne peut se réduire à la
substitution unité.

,.«^

■Ue-

Si alors notie groupe admet une trau' fiuniation spéciale
une puissance d'une certaine iransformalioii infinitésimale c^ ; si L est la subs-
titution du groupe adjoint qui correspond à (.'\ celle qui correspond ;w^^
sera L^. Comme e^^ est spéciale, L" se réduira à la subslitution unité. Donc L
ne peut être |)araboliqiie.

Si l'équation de Killing a des racines multiples, il |ieiit arriver que les subs-
titutions du groupe adjoint soient paraboliciues, de S(jrte qu'on peut se
demander s'il n'v a pas des groupes qui ne eontieniienl |)as de transformations
spéciales. On peut en citer au moins un exemple : ce sont les groupes de rang
zéro.

Soit maintenant e" une transformation spéciale quelconque,

les racines correspondantes de l'équation de killing; ce seront des multiples
de 2(7r. Soit e^ une transformation ([uelconque,

OIKLOIES IIE.MARQLES SUR LES GROUPES CONTINUS. 2)7

les racines correspondantes de réqiialion de Killing; posons :
et ^oient

(tj'j , to'., . .... w^

les racines de l'équalinn de Killins; correspondant à e^ .

Si An, A| et L sont les substitutions du f^roupe adjoint correspondant à e' ,

c^'' , e\ on aura

A„.\,= I.. A, = i:

d'où

.\„= !..

Cela nous montre (pie les '•>' ne difrérent des '.> que par des multiples de 2/-.

Faisons varier les // d'une manière continue, les e varieront aussi d'une
manière continue et il en sera de même des '.) et des 'o'. Mais comme la diffé-
rence de 1 un des m' et de la racine oi correspondanle doit rester égale à un
multiple de 2/-. cette dilTérence devra demeurer constante.

Supposons que les valeurs initiales des (/ satisfassent aux proportions

», «5 II,-

(r, (!•■ ' ' ' II,-

de telle façon qu'oiiginairement ;'' et ''^^ soient des puissances d'une même
transformation infinitésimale; on aura originairement

(0< = (.), —-,-■

et «l'après ce ({ue nous venons de voir, celte relation lirvrd .subsister quand
on fera varier les 11 d'une ■ manière continue en partant des valeurs
initiales que nous venons de définir.

Si donc l'équation de Killing, pour certaines valeurs des c. admet les racines

pour d autres valeurs des c elle admettra les racines

e(. plus généralement, pour d'autres valeurs des r elle admettra les racines

), et a' étant deux coefficients quelconques.

Si l'on fait varier les // d'une manière continue pour les faire revenir à leurs
valeurs initiales après leur avoir fait décrire des contours fermés, il arrivera en

248 QUELQUES BEMXRQIES SUR LES GROUPES CONTI^US.

général que les racines co se perniuleront entre elles: supposons qu'elles
deviennent

les ',!,' n étant autre chose que les t.), placés dans un autre ordre.

Les racines de l'équation de Killing relatives à (?\ cpii étaient primitivement

(1)

'■';■ — ^r-

deviendront

Or les expressions (2) ne sont autre chose (^dans un autre ordre) que
Ci) (0, — T,-i. oj; — T^r', .... (.),.— T,ri

les T,^' n'élanl autre chose que les r, qui sont supposes avoir subi une jtermu-
talion inverse de celle qui ( hange les 'o, en w,' .

Nous avons donc deux déterminations des c, ou, si l'on aime mieux, de e^ ;
dans la première les racines de l'équation de Killing sont les f.j,-|-T,, dans la
seconde elles sont les o), + t ' . Les dilTérences des racines sont donc

c'est-à-dire des multiples de 27:\ — i.

Plus généralement : soient // transformations spéciales indépendantes, et
soient

I 1) < ''■■" '■■' '''"

les racines cori-espondantcs. Si les 7, peuvent s'échanger entre eux (par suite
de permutations analogues à celle qui change les t, (n r, ' et dont je viens de
parler), les diverses permutations possibles des r,,,, des r,..j, ... devront
figurer dans autant de lignes du tableau (4) comme si elles correspondaient à
autant de transformations spéciales distinctes. .Si. par exemple. i= .'i, et si les
racines sont r,, 7.,. t^. pour une des transformations spéciales et r,. t.,. t, pour
une autre; si enfin quand on fait décrire aux c des contours fermés, les trois
racines de l'équation de Killing peuvent subir une permutation circulaire, le

QUELQUES RE.MAHQLES SI H LES GROUPES CONTINUS. 249

tableau (4) devra èlre formé comme il suit :

.]. -!. '3:

-■,. -j. 'f.

~3- ~1- ~!j

"l- ~3- ";l:

~2- ":i- ~l:

T,. -,. -„.

Cela posé, si pour certaines valeurs des c les racines de l'équation de Killing
sont

O),. l'Ij '■),..

pour d'autres valeurs de c elles seront

À, /.|. '/.-,, .... '/.p étant /? + ! coefficients quelconques.

Revenons maintenant »ur une question que je n'ai fait qu efllcurer plus haut
et qui est assez délicate.

J'ai supposé que e^ e^^ était susceptible de deux déterminations c^ et e^". et
j'ai dit que e'^e^^» était une transformation spéciale. J'ajoute que cette transfor-
mation peut se réduire à la transformation unité.

On pourrait d'abord croire le contraire. Si. en effet, on avait

eVc-V,= ,.
on aurait

et les deux transformations*^^ cXc''" seraient identicjues. contraiicnienl àl hvpo-
thése.

Ce raisonnement serait in^uflisant. Nous avons en effet obtenu (;^ ■ en faisant
varier les ii et les iv dune manière continue, partant de certaines valeurs ini-
tiales et revenant à ces mêmes valeurs. Réservons donc les notations Ll, \^ , u,
IV pour désigner ces valeurs initiales; et désignons parL", \\ '. »', w' les valeurs
variables de ces mêmes quantités. Nous poserons alors :

,,i ■ ,.\\ — ,,V'

de telle façon qu'au commencement IJ . \\ ' et \ ' se réduisent respectivement
à L, \\ et \. et qu'à la fin l ' et \\ ' reviennent à leurs déterminations
initiales U et \\ , tandis que A' alioulil à une détermination différente ^ „.
Envisageons alors la transformation

eVe-v'=eT.
H. P. — m. 3a

25o QlEl.ylES HEJIABQllES SIR T.ES GROIPES CONTINUS.

Au commencement elle se réduira à la transtormalion identique, elle prendra
ensuite diverses déterminations, et à la lin il pourrait se faiie que e^ se réduisit
de nouveau à la transformation identique. Il ne s'ensuivrait pas forcément
que V dût se réduire à V. On a en effet

Si l'on suppose T = o, l'une des déterminations possibles du second
membre est certainement e^ . mais il peut se faire que ce second membre ait
d'autres déterminations (de même [que e^e'^, d après notre liypolhèse, est sus-
ceptible de deux déterminations e^ et e^°).

Il est aisé de faire des exemples. Je suppose que les r soient choisis de telle
sorte que la dilléience de deux des racines de 1 é(|uation de Killinj; relatives à c^
diffère [)eu d'un nuilti|)le de 2 û\ — i . Faisons ensuite varier les / dune manière
continue, chacuue de ces variables partant de la valeur zéro, décrivant un
|)etit contour fermé, ei revenant à la valeur zéro. Nous pourrons clioisir ces
contours de telle façon que les deux j)oints très voisins qui représentent
l'une des deux racines de Killing dont je viens de parler et 1 autre racine
augmentée d'un multiple convenable de 2 tt y/ — 1 , que ces deux ])oints dis-je,
s'échangent l'un avec l'autre. Alors, au début r '«"^ se réduira à e\ et à la fin
ne se réduira pas à e^ bien que T se léduise de nouveau à zéro, l.e raisonnement
précédent est donc insuflisant.

Soient maintenant r^^ et e"" deux transformations correspondant à une même
substitution A du groupe adjoint. Soient e' une autre transformalKin et \' la
substitution correspondante du groupe adjoint. Soient

(12) ei'eW=:eV

o\t).

Il est clair que les deux transformations e^ et e^° correspondront à une même

substitution

L = A'A

du groupe adjoint. Si donc nous appelons w, et t.j" les racines de Killing
relatives à V et V,,, les différences o), — w" seront des multiples de •j.ti\^ — i .

De même, si nous appelons 5,- et 9° les racines de Killing relatives <à '\^
et Wd, les différences 6, — Ô° seront aussi des multiples de 2t.\/ — i.

Si l'on fait varier U d'une manière continue. W et AV„ ne changeant pas,
les différences r,,, — wj' devront varier d'une manière continue, et comme ce
sont des multiples de ht; y/ — i elles demeureront constantes. Or. |)our U = o,

OlKl.QliES niaiAROlES StR LES I^ROl l'ES CONTINLS. 131

1,1, et w" se réduisent à h; et (5" : on iiiua donc, (|uel que soit U,

(6) ■ (.),— 10,"= 0,— 0,".

Une observation avant d'aller plus loin : tout à l'heure j'ai démontré 1 "égalité

((i his ) - 0)J = 0),-^ -,■

on partant d Une identité analogue à (5)

( 7 ) • e^ f^^ = e^ .

OÙ (?^^ était spéciale. Pourquoi n'ai-je pas comme ici piis, pour valeur initiale
de L), U = o. mais ai-je supposé pour ces valeurs initiales

«1 II'. "r „

C'est que, pour avoir le droit de prendre à l'origine U = o, il faut être ?ùr
que, quand les u sont très petits, les (\' différent très peu des c; c'est-à-dire que
les accroissements subis par les r sont très petits quand ceux des u sont très
petits; c'est-à-dire que l'on n'est pas dans le voisinage d'un des points singuliers
des écjualions dillérrutielles auxquelles satisfont les r. C'esl ce qu'on peut
admettre pour l'idriitilé ( 5 ) où, <?^^ est quelconque, mais non pour l'identité (7)
où <?" est .H|)éciale.

.Ir me borne à ces rapides indications. Mais pour faire comprendre le parti
qu'on pourra sans doute tirer des relations (6) et (6 6/.s), je me supposerai
placé dans un cas simple, celui où l'équation de Killing a loiiles ses racines
simples. Soit / le rang du groupe. Ou pourra alors trouver /systèmes de
valeurs des r, telles (|ue les valeurs correspondanles des racines de l'équation
de Killing, que j a[)pe!lerai

soient linéairement indépendantes; je veux dire que les - ne soient pas liés par
des relations à coefficients constants de la forme

'i\'i\ -T- (/;T:,i|-t-. . . •- (ii-ii= O [i = \ r).

de telle façon, en même temps, que les rapports des éléments d'une même ligne
de ce tableau soient commensurables ; ou mieux encore que tous les ( soient
des multiples de 27r\ — 1.

Les racines étant simples, les Iransformalions correspondantes seront

■252 QUELQLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

spéciales, et alors nous verrons que les racines de l'équation de Killing pour
une transformation quelconque seront des combinaisons linéaires des t; je veux
dire que. si

tO]. to^ OJ,-

sont les racines de l'équation de Killing, on aura :

(.),= (1,1,1— 0,T,-, — '. . .— rt/T,7 ((' = I r).

les a étant dt^s fonctions des r.

Ce théorème est probablemenl vrai dans des ca> beaucoup plus généraux,
mais je me suis iiorné à un cas très simple parce (\uv je ne vnulais qu'indiquer
une marcliL' à suivre.

VI. — Quelques mots sur les équations différentielles du groupe.

Dans le paragraphe précédent nous avons envisagé les points singuliers des
fonctions i' regardées comme des fonctions des ii et des n\ définies par 1 équa-
tion

gl f,\\ -- ^v

Pour cela nous nous sommes servis des relations finies qui relient les v aux a
et aux iv. Mais on pourrait également faire usage des équations différentielles
(pii délinissi'nt les t'. Rappelons la forme de ces équations différentielles.

Si, par exemple, nous faisons varier les n' en laissant les it invariables, si
plus particulièrement nous posons

iVi=iti. \\=eT,

en faisant varier £ et laiss.int les t invariables, de sorte que
^u gôï ^ pv gU g.c+./cT =; eV+./v

on aura l'équation difl'éruntielle

pV pT./î _ eV+(/V

ce qui peut s'écrire, d'ajtrès la formule (2) du paragraphe lU,

Les —7-^ seront dune une somme de termes de la forme suivante : chaque

rtE '

terme sera le produit de ^^ si 03^ est une racine de l'équation de Killing

QIIELQUKS nE.MMlOUKS SUR LES GIIOUPES CONTINUS. '.')J

OU d'une puissance de r- si w/, esl une racine niulliiile) cl d'une fonctidn

ralionnelle des r et de (.ja.

Comincnl l'un de ces termes peul-il cesser d'ètie une fonclion liolonior|)lie
des p»?

i" Si &J/, devient un niulllple de 2-\ — i, auf|nel cas le premier lacleur
devient inliiii.

2" Si l'érjuation de Killing a une racine nudtiple, oulre celles qui existent
toujours, auquel cas le second facteur cesse d'être une fonction unitornie des e,
et d'ailleurs cesse éralemenl d'être fini.

C'est le premier cas auquel nous nous attacherons particulièrement.

Si nous égalons à des multiples de 27r\/ — t les dilierentes racines de l'équa-
tion de IVilling, nous obtiendrons autant d'équations entre les c que réqualion
de Killing a de racines distinctes. Mais il ne s'ensuit pas que toutes les équa-
tions ainsi obtenues (et que j'appellerai les équations E) soient distinctes. Il y
a, en ed'et, entre les racines de l'équation de Killing des relations linéaires, et
il arrivera souvent que. quand une de ces racines deviendra égale à un multiple
de 27r\ — I, il doit en être de même, en vertu de ces relations linéaires, d'une
ou de plusieurs autres racines. Si donc l'une de ces équations E est satisfaite,
il pourra arriver qu'une ou plusieurs autres, parmi ces équations E, en soient des
conséquences nécessaires. Nous supposerons donc, que l'on donne aux c des
valeurs qui satisfont à l'une des équations E et à toutes celles qui en sont des
conséquences nécessaires, mais qui ne satisfont à aucune autre des équations E.
Ces valeurs des c (si d'ailleurs l'équatloii de Killing n'a pas jilus de racines mul-
tiples que pour des valeurs iinelcon(iues des c) constitueront ce que j'appelleiai
un [)oint singulier de premiire espèce de nos équations diU'érentielles.

Soient alors r", c!!, . . ., e" les valeurs des e qui correspondent à un de ces
points singuliers de première espèce; soit «}' la valeur correspondante de wa-
Parmi les w" il y en aura un ou plusieurs qui seront multiples de 27: y/— 1 , soit
par exemple oj", oj", . . . , w". Les équations E

0J,= iumII. ■<- \ — I (2 = 1, ■>. q)

devront (d'a|)iès l'hypothèse que nous venons de faire) être des conséquences
les unes des autres. Cela veut diie que o,,. 01.,, . . ., gi,, devront être des mul-
tiples d'une même quantité 'o, de sorle que 01", '.)!|. . . ., w," seront des multiples
de la quantité correspondante oi,)) laquelle devra être un multiple de i-k\/ — i.

234 QUKLOUES [1EMAI\QI!ES SUli LES GROUPES COXTINIS.

Dans le voisinage de ce j)oint singulier, lus —jj seront égaux à des séries

ordonnées suivant les puissances croissantes des l'y — i" divisées par une puis-
sance de 'jj — (ij„. La présence de cette puissance de 'i> — oi,, au dénominateur

provient de l'existence dans les diflerenls termes des — r-' d'un facteur

al

I

I — (»-"'<

lequel peut être élevé au carré ou à une puissance sii|)éiieure. si la racine w;
de l'équation de Killing est double ou multiple.
Mais 'jj est lié aux e par une relation algébrique

/( 1-0. l|. 1-. l', I = (>.

laquelle se déduit iiuniédiutement de l'équation île Killing. On a alors

f/to (Il tlv , (h

Les dérivées àe f sont des polynômes entiers par rapport aux e et à m. 1-e

polvnome ,- n est pas nid, sans quoi deux des racines de Killing ordinairement

distinctes viendraient à se confondre el le poiiil singulier ne serait jilus de pre-
mière £spèce. Ou a donc

rf'" V II '^'''

les II, étant développables suivant les puissances tles e, — e" el de '.i — oj,,.
Ainsi --J- (comme les -^-^ j est égal à une fonction bobmiorphe des cy — e'- et

de oj — ojo, divisée par une puissance de w — fij,,.

Telle est la (orme des équaticuis difléreiitielles dans le voisinage de notre
point singulier.

Nous pouvons donc écrire

dw Ù ,l\-, _ \ ,

(/; I (0 — oj„ 1/' ih I (') — (1),, )/'

les Î2 et les \ , étant holomorphes. Soit maintenant

d.= , ''' ;

( 10 0)0 )''

il viendra

fhti f/i'j

777 "" "■ 7h ""

OUEI.QLKS KEMAIIOIES SUR LliS GROUPES CONTINLS. 255

On tirera de là, par un théorème bien connu, w ut les i', en séries procédant
, suivant les puissances de z et se réduisant à w» et c)' pour r = o. Soit

(•2> w — io„ — n,^-^-' rtjj.+, Tl^+i — . . .

ce dévelopjiemenl ; ou en lirera
d'où

«'û

-/'[>■■

u

Pl^ +-

I

- 0)0 =

b

-J^

b étant un coefficient constant facile à calculer. Cela montre qu'en général w
(et par conséquent les c) n'est plus une fonction uniforme de z dans le voisi-
nage du point singulier.

11 y aurait exception seulement dans le cas où a,,, -c/jj.^!, . . . étant nuls,
l'équation (2) se réduirait à oj = ',)». c'est-à-dire dans le cas où 12 serait dix isible
par fjj — w„.

Mais dans ce cas, si \ , ne s'annule pas pour 01 = (.>,,, t'^^i'", nos équations
n'admettront pas de solution telle ([uo l'un ait 01 := 0)0, ('a = t" pour £ = o.

Or revenons à la subslilulion L, qui est la substitution du groupe adjoint
qui correspond à e^ ; et étudions les équations dillerenlielles auxquelles
satisfont les coefficients /,/ de cette substitution; elles seront de la lorme

les A étant des fonctions linéaires do.-, l. Les / sont, d'autre part, des fonctions
entières des e; pour (;(== v\ ces fonctions entières se réduisent à /"■. Les équa-
tions (3 ) admettront une solution telle que hj^ l''j pour s = o.

Considérons celte solution, où les /sont donnés comme des lonctioas liolo-
morphes de £.

Nous savons d'autre paît que les l sont des fonctions entières des (^ :

(4) ///•='I'„(i'x).

Les /,j étant connus en fonctions de £, on tirera les r/,- des équations (.'[), les-
quelles équations (4), comme nous le savons, sont satisfaites pour

Pour discuter ces équations (4) je ferai usage d'un lemme que j'ai démontré
au début de ma Thèse inaugurale.

256 QrF.LQlES REMARQUES SLR LES GROUPES CONTINUS.

D'après ce lemme. dans le voisinage des valeurs (5) :

1° Ou bien les ça- seront des fonctions alaébroïdes des /, et tendront vers vl
quand les lij tendront vers /°y, et par conséquent quand £ tendra vers zéro.. Ce
cas doit être exclu puisque les équations (i) n'admettent pas de solution se
réduisant à i" pour £ = o.

2" Ou bien les équations (4) cessent d'être distinctes quand on v fail /,/= /"y
En d'autres termes, pour une infinité de valeurs des i/,. très voisines des r",
les l,j se réduisent à /"y, de sorte qu'une infinité de transformations e^ corres-
pondent à une même substitution du groupe adjoint. C'est le « cas d'indéter-
mination », sur lequel nous aurons à revenir.

Nous avons laissé de côté le cas où tous les V, s'annuleraient. Sans le discuter
à fond, je me bornerai à remar([uer que cela ne peut pas avoir lieu pour toutes
les valeurs des r compatibles avec la condition

t.) = 0J„ = iiiult. >~\ I .

En d'autres termes, tous les \', ne peuvent |)as être divisii>les par oj — f.j,,.

Il résulte de là que, poiii- c[u'une singularité se présente, il ne suflit pas que
la différence de deux racines soit un nuiltiple de aîi y/ — 1 (condition que nous
avons trouvée à l'aide des relations finies), il faut encore qu'une racine soit un
multiple de it.\j' — 1 (a(in que les équatiojis diU'érentielles pri'senlcnl un point
singulier \.

D

Si donc la dllférence de deux racines desient ét;ale à un multiple de 3 7r\'' — 1,
ou bien les r restent des fonctions lioloniorplies des it et des iv, ou bien une
troisième racine deviendra égale elle-même à un multi|ile de 2 tt y — 1. (hielle
que soit celle de ces deux alternatives qui se présente, on pourra en déduire
d'intéressantes conséquences. Si c'est la seconde, on pourra trouver des cas où
la différence de deux racines devra être elle-même une racine ou un multiple
d'une racine.

VII. — Formules diverses.

On pourrait évidemment faire, [)Our un groupe quelconque, quelque chose
d'analogue à ce que nous avons fait pour les groupes de rang zih-o.

Par exemple, les formules (1) et (2) du paragraphe III sont réciproques
l'une de l'autre, puisque l'une nous donne les t en fonctions linéaires des dv,
et l'autre les dv en fonctions linéaires des t. On pourrait déduire de ceUe réci-

QUELQUES REMARQUES SIR LES fiROlPES CONTINUS. 2J7

procité certaines propriétés du (iéterniinant des équations linéaires qui donnent
les t, par exemple, en fondions des d^ . C'est de cette manière que nous avons
démontré pins haut que ce déterminant est égal à i dans le cas des groupes de
rang zéro.

D'un autre cùl('. la fm iniilc 1 .! ) du paragraplic III nnu> montre que les coeffi-
cients des dérivées de/ dans \,(/) sont d'une furmc particulière. Ce sont des
sommes de termes, chacun de ces termes est le quotient d'une fonction ration-
nelle des i- et de 'j>/,('ji/, étant une des racines de l'équation de Rilling) par une
puissance de i — e~'''K

Considérons maintenant les crochets (X,Xy).

Quelle sera leur foiine ".'

Soit

Z, étant une fonction rationnelle des r vl de oj,,. Zjj une fonction rationnelle
des r et de 'jjj, '^ ^ une puissance néi;ative de i — e~'"«. \o une puissance néga-
li\e de I — e~'"i. On trouvera

' lU-ii \ fh-i, ' ' (717, /

Nous observerons oue '-r^ est. comme Z,, une fonction r.ilionnelle des r et

1 th-i,

de '.y^\ que —r^ peut être regardée comme la somme de deux termes égaux,

chacun à un facteur constant prés, à une puissance négative de i — e""«; et
nous pourrons éei'ire

(Il , \,\/i- i;i^:iZ:c-,-f^-

Za'i étant une fonction rationnelle des r, de w, et de oip; ^ ^p étant le produit
d'une puissance négative de i — r-'^apar une puissance négative de i — e~"V.
Mais d'autre part, ces crochets (\,Xy) doivent se réduire à des combinaisons
linéaires des X*. Ils sont donc réductibles à la forme

Z", étant une fonction rationnelle des r et d'une seule racine de l'équation
de Killing '.)... tandis que Y", est une puissance négative de i — f-"'.-.

II. p. - m. ' 33

2J8 OIEI.QIIES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

Dans quelles conditions une expression de la forme (i) peul-elle être réduite
à la forme (2) ? C'est ce qu'il serait très intéressant d'étudier, car celte réduction
n'est évidemment possible que s'il y a certaines relations entre li's racines to.

En égalant les expressions (1) et (2) du crochet (X,\y) on obtiendra /■ rela-
tions de la torme

(3) iY„3Za?=i:Y:z"..

On pourrait évidemment dans ces relations (3) chasser les dénominateurs et

les mettre sous la forme

Il = (..

n étant un polynôme entier par rapport aux r, aux dj, et aux exponen-
tielles e'"». Mais une identité de cette forme, où (igurent, d'une part des fonc-
tions entières des r et des w, et d'autre part des fonctions transcendantes, ne
peut avoir lieu que si elle reste vraie quand on considère les exponcn-
tielles e^"' comme des variables, indépendantes des i- et des oj.

Les relations (3) subsistent donc quand ou y considère les t'^" comme
des variables indépendantes. Si donc i", i", ..., 1" sont des valeurs parti-
culières quelconques des c; si les valeurs correspondantes des ma sont cj" et
si celles des ï,'-i et Z", sont ZJJt) et Z".", on aura

Ce sont des relations linéaires à coefiicienls constants entre les ^ jis et les Y.J..
Ce sont donc des relations algébriques entre les exponentielles i'~'''. On peut
obtenir une infinité de relations de cette forme, puisque l'on peut donner aux
r» des valeurs quelconques; mais /• — / de ces relations au plus peuvent être
distinctes (/• étant l'ordre et i le rang).

L'élude de ces relations (3 bis) pourrait présenter quchpie intérêt: elle
pourrait nous renseigner sur les relations qui peuvent exister entre les racines
de l'équation de Killing et les valeurs que l'on peut attribuer à l'ordre de mul-
tiplicité de chacune de ces racines. On peut <)l)ser\er, en effet, que si la
racine w- est d'ordre m, i — e'"'-! figure au plus à la puissance — m dans \.|., à
la puissance — (m+.i) dans Y-i, à la puissance — (aw-^i) dans \-~. Le
degré des relations algébriques (3 his) se trouve donc limité quand l'ordre de
multiplicité de chaque racine est limité.

Mais on peut encore tirer de nos é(piations (1) et (2) du paragraphe 111 un
parti dillérent. Soit

QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 239

Nous avons vu que l'on peut tirer de là les t en fonctions linéaires des dv
[relations (i) du paragraphe III |. Soient

ces relations. Nous avons vu que les o,a sont des sommes de termes, chaque
terme étant le produit d'une exponentielle ^■~''', ou de l'unité, par une fonction
rationnelle des r et de ',>.
Posons maintenant :

gV-K/V+ÔV _ pV gT gU _ gV+r/V pi .

les /, les II, les (Vf, les ôc sont supposés très petits, tandis que lus c sont
supposés finis. Posons de même

d'où

Nous aui'an>
La formule

„V^ÔV _ gV ,,1' pV-./V+rjV _ pV pL' ,. I

e^ e^ ^ e^' e^' .
V — T-h(TU) = U'-^T'.

/,= S îu(c)rfc/.

pV+</V+ÔV _ -,V+r/V -.1

nous montre qu'il v a entre les c + di\ les oi' et les u, la même relation qu'entre
les c, les dv et les /; nous avons donc

Ui = S o,/.( r — </>■ I ûiV; = S f ç ,i — 1 -^ chA oc^..

D'un autre côté, la relation

pV-f-6v ^^^ gV pU'

montre que nous avons encore la même relation entre les i\ les oi' et les u' ;
d'où

((;.— 1 i,/, 617,.

Enfin, l'égalité

pV+f/V + ÔV _ gV+ôV pT'

montre qu'il v a encore la même relation entre les r-|-ôi', les r/c et les <'; d'où

En comparant les valeurs des / el des / , on trouve

T- T = S1^ or, (/.■,. \,;
rtl's

26o QUELQUES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

el fie même, en comparant le> valeur^ des // cl des n' :

I )"iin autre C(it('' on a
(TU) = !( /,//,— /,/(,)( X,\/~) = ^(rii. ri.'— ri'- r/< l < ^c/ -^r,— <A', ov/, |(X,\/).

Dans la sommation du dernier membre, chacune des coml)inaisons des deux
indices / et j. de même d'ailleurs que chacune des combinaisons des deux
indices /r et 5. ne doit (igurer qu'une lois.

Si maintenant dans

(TU) = T— T^U— U

nous t'oalons les coeÛicients de fh-^d^y, il viendra

(1)

^^'(è-fe) = -"^'^--^^'^'»^^^^^"-

(Comparons les deux membres de cette égalité. Chaque terme du premier
membre est le produit d'une exponentielle f"'" par une fonction algébrique
des r. Chaque lerme du second membre est le produit de deux exponen-
tielles (' '•' el (' "'"' ( provenant, par exemple, l'une du facteur o,a, l'autre du fac-
leui o,t) par une foiicliou algébrique des c.

H est clair, par exemple, que si w + w' n'est pas une racine, le produit des
deux exponentielles c'"' et r '"' devra disparaître du second membre et son
coefficient être nul.

On peut donc encore entrevoir là une smirce de relations intéressantes. *

NOUVELLES REMARQUES

SUR

LES GROUPES CONTINUS ^

Rendiconli del Circolo Matematico cli Pa/erino, t. '25, (içinS).

I. — Introduction.

J'ai déjà eu deux fois l'occasion de présenter quelques remarques sur les
groupes continus, une première fois à l'occasion du jubilé de Sir Li. G. Slokes
(Cambridge, University Press, 1900), une seconde fois dans les Rendiconli del
Circolo Matematico di Palermo (tome XV (1901), p. 32t-368], ce sont ces
deux Mémoires que je citerai plus loin simplement en disant « Cambridge ■> ou
« Palerme ». Je crois devoir compléter ici ces remarques el en particulier
étudier les propriétés des équations différentielles qui définissent ces groupes
au point de vue de la théorie des fonctions.

Cette élude, à vrai dire, pourrait se faire par des procédés [)uremenl élé-
mentaires, puisque ces équations différentielles sont susceptibles d'être inté-
grées complètement; mais il n'est pas inutile de l'al)order en parlant des équa-
tions elles-mêmes; car la comparaison des résultats obtenus de la sorte avec
ceux au\(|uels on arrive en partant des intégrales de ces équations, est instruc-
tive par elle-même; quelquefois même, celte comparaison conduit à certaines
apparences paradoxales, qui jettent quelques lumières sur les propriétés géné-
rales des groupes el qu'il faut parfois quelque atlention pour bien expliquer.

Rappelons d'abord les notations employées et les résultats obtenus. Le
groupe considéré dérive d'un certain nombre de transformations infinitési-
males-; el l'une d'elles, la ("■""' par exemple, transforme les variables

(') Prcsenlê le 10 novembre 1907, imprimé le '.n noveml^re 190-;.

'263 NOrVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

en

•r,-^ £(X,-,), .f2^s(X,,) r„— £(\,„).

c élanl une constante 1res petite et les X,t des fonctions données des s. Elle

transforme donc la fonction

/(j-,. j:_. .... ./■„ )

en

Ainsi se trouve défini l'opérateur

XH.A^=;^(X.,)-^/>X,:.-...--^lX,.).
n.fi dj:. flxn

que je désignerai le plus souvent simplement par \,.

Nous avons donc /• opérateurs X, , X.,, . . . , X,- correspondant aux ;• transfor-
mations infinitésimales du ^;roupe et nous devons en étudier les combinaisons.

Nous poserons

Xi. \a.= .\(\x (./■)= X,[Xx.(/)]

et X'" OU X'"(/') se définit de la même manière. Il l'iiul remarquer que cette

opération n'est pas commiilnlive et (|ue l'on na pas X,X^=XaX,. Nous

poserons

(\,A/,i- X,\x-\xX,.

Nt)us envisagerons aussi d'autres combinaisons de ces opérateurs, telles que

e'^^J-^ ^X(/)+iLx=(./)+....

Alors la transformation infinitésimale correspondant à X, sera

ce que je puis écrire aussi

on simplen)ent r'"', en négligeant le carré de i.

La transformation la plus générale du groupe pourra alors être représentée

par (?^, en posant

T = /,X,-4-...--<,.Xo

les I étant des constantes quelconques. J'introduirai d'ailleurs d'autres combi-
naisons linéaires des X,- que je désignerai par

U = S«,X„ V = Sr^X,-. W = £«^,X,,

y

NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROIPES CONTINUS. iCS

On doit a\()ir, coininr on sail, les rehitiuiis d<- sinictiire

(X,\<.) = 2,c,<.,\.-

les c étant des constantes; mais ces constantes ne peuvent pas être quelconques
elles doivent être choisies de façon à satisfaire aux relations de Jaiobi

[r\„X6 )N.c] - [(,X6X,1\„ 1 - [(XeX„ )Xi] = o.

Nous aurons alors, en vertu des relations de struclure,

ou

Nous envisagerons le déterminant

F(Ç)^

bu-

h,..

h,.,-

contenant l'indéterminée ;; l'équalion

F ( ? I = (>

dite éqwilion de KilUnti a une extrême importance. jNous désignerons les
mineurs de ce délcrniinanl par

P,/.

On sail que, lorsque deux groupes sont isomorphes, l'étude de l'un peut se
ramener à celle de l'autre; il suffira donc, parmi tous les groupes qui ont même
structure, d'en étudier un seul el nous choisirons celui que nous appellerons
le i>iou pe parainit !■ il fue et que nous définirons de la façon suivante :

Soil t'^ la Mibstilution générale du groupe, où \ =lr,\,; nous choisirons
pour variahles r,. iv, i,. Posons ensuite

(où nous supposerons toujours T = i?,X,, W=:-(V,X.,, ce qu'il sera inutile
de répéter désormais); les w seront des fonctions des v et des i, ou, en d'autres
termes, la transformation ti^ transforme e^' en ('", c'est-à-dire les r en iv; c'est
le groupe ainsi défini, à /• variables, que nous appelons le groupe paramétrique.
Nous avons donné le mojen de former les équations diflérentielles de ce
groupe quand on connaît les relations de structure ; soit en effet

«V ftX — «V-+-c/V

264 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

les ti étant très petits; nous aurons en faisant varier seulement tf,. par exemple

l'inlégrak' étant prise le long d un contour fermé enveloppant toute> les racines
de l'équation de Killing. Si par exemple toutes ces racines sont simples et
qu'elles s'écrivent oj,, oj.j, .... oj, . il viendra

f/r, ^, to P,/,i (0 I

dt 1^ " I — f-w Fi <•) )

la sommation s'étendant .iu\ di\ erses racines. L ne de ces racine> est toujours
nulle; si elle est multiple, Ic'- autres racines étant simples, on a

, . "'•■, . .. <« l'î<(C))

( I lus ) -;— = A -- i -p; 1

l(ll. 1 — C-<" V ( !•) )

la sommation élant étendue telle lois aux racines diflérentps de zéro el A repré-
sentant le coeflieient de - dans le développement de la fonction sous le signe /

sui\ant les puissances croissantes de l.

Outre le groupe parametri(|uc. nous considérerons le groujie ad joint. A la

transformation

«v gï ^ e«

du grou|)e paramétrique qui change V en \V, nous ferons correspondre une

substitution (pie nous appellerons son ailjdinic. (|ui sera définie ])ar l'étjua-

tioii

e-i e^ ('ï = <'i

el (pii eliaiige \ eu l , e"est-à-dire e,, t\, e, en h,, h^. • . ., "/ . Ces suljs-

litulions adjointes formenl le groupe ad|oinl.

On sait <pie les substitutions du groupe adjoini xml linéaires, c'est-à-dire
ipii' le> a soni des fondions linéaires des r, el nous avons donné [Païenne,
p. l^i et .)2() (')l le moyen de former les coefficients lu, de ces substilutions
linéaires.

Il y a isomorphismc du groupe adjoint et du groupe paramétrique, mais cet
isomorpbisme n'est pas toujours iioloédri(pie el l'on doit distinguer deux caté-
gories de groupes. Ceux de hi |ireiiiiére catégorie ne eontienneni pas de trans-
formations distini(uè('s., c'est-à-dire de transformations infinitésimales |)crmu-
tables à toutes les transformations du groupe; l'isomorphisme est alors

I ') Œuvres de II. Poinraré, ce tome, p. 216 cl 318.

NOUVKLLES REMARQUES SUR LES UKOl PES CONTINUS. 265

holoédrique. Ceux de la deuxième catégorie contiennent des transformations
distinguées; l'isomorphisme est alors mériédrique, car chacune de ces trans-
formations distinguées a pour adjointe la siibslilulion identique.
Si l'on a

lies \, étant les opérateurs simples), V sera ce que nous ap|ieller(ins un opè-
raU'iir composé du groupe. Mais à chaque opérateur correspondront ce que
nous appellerons des opérateurs ro/i /us,'Hrs de \ . Si w est une racine simple,
il y aura un opérateur T tel que

{■!) (\Tj = wT;

i-e sera un opéra/eur coiij ii^'ué du pre/niei- onlre appartenant à la racine ',i;
si celte racine est simple, cet opérateur est entièrement déterminé à un facteur
constant prés.

Si la racine est double, par exemjjle, il existe toujours au moins un opéra-
teur conjugué du premier ordre, mais il pourra exister également un opérateur
coiijii i; né du secoiul ordre Tj appartenant à la racine oj et tel que

(■î bis) I \ T.j I — mT.,— t.

Alors cet opérateur n'est pas entièrement déterminé, puisqu'une comijinaison
linéaire quelconque de T_. et de T satisferait également à l'équation (a bis):
mais nous ne regarderons pas une pareille combinaison comme un opérateur
conjugué du second ordre distinct de Tj. Nous diions cpie T est le dérivé
de T..

C'est là le cas général: il jieut arriver également, si w est racine doidtlr, qu'il
n'j ait pas d'opérateur conjugué du second ordre, mais deux o|icrateiirs conju-
gués du premier ordre distincts T et T ; il esl claii' alors que loiile comijinaison
linéaire de T et de T' satisfait à ré([uation (2).

Si 'j> est racine triple, il peut y avoir un opérateur conjugué du premiei-
ordre T, un du second ordre Tj et un du troisième ordre T3 tel que

( VÏ3) = wT:,-^ T,.

Il peut y avoir aussi deux o[)éraleurs conjugués du |)remier ordre et un du
second ordre, ou bien encore trois du premier ordre. Et ainsi de suite.

Si les opérateurs conjugués appartenant à une racine sont tous du premier-
ordre, nous dirons que cette racine, (juoiqiie multiple, se coin/iorte comme
une racine simple.

H. P. - itl. 1',

l66 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

Remarquons que V esl un de ses propres opérateurs conjugués du ])reniier
ordre, appartenant à la racine zéro.

Tout cela peut s'exprimer dans un langage géométrique. Considérons
ii, l'a, .... r,- comme les coordonnées d'un point dans l'espace à /■ dimen-
sions; 1 équation

F(i) = o.

où ; a été remplacé par i, représentera une surface algébrique que i'a|)pellerai
la sulfate de Killiiiî;-. Cette surface est susceptible d'être engendrée de plu-
sieurs manières par des droites, ou par des variétés planes à plus d'une dimen-
sion. ^

L'étude détaillée de celte génération ne serait pas sans inlérêl.

Quoi qu'il en soit, à tout point M de celte surface correspond ini opérateur ^'
pour lequel l'une des racines de l'équation de Killing est égale à i . Si nous
envisageons un opérateur T, conjugué du premier ordre de \ , à cet o|)érateur
correspondra un point; si nous le joignons à l'origine, nous aurons une
droite D,. cpii sera l'une des droites conjuguées du premier ordre du point M.
Soient Tj un opérateur conjugué du second oidre et T, son dérivé: le |dan à
deux dimensions qui passe par l'origine et par les |)oints correspondant à Tj
et T'i sera un plan conjugue' du second ordre du point M; et ainsi de suite.

Si 1 esl racine simple, la droite conjuguée correspondant à la racine i sera
la droite con fii^iii'i' /)iinrif)alr de Met le plan à /• — i dimensions qui passe
par toutes les autres droites ou plans conjugués sera le /i/nii eonjugiiè /u i/i-
cipal i\v M.

Nous ap])ellerons série régulière d'opéra leurs cdii /lignes, une suite d'opé-
rateurs conjugués

T,. T. T„,

!h premier du [iremicr didre, le second du secon<l. . . . , le /?""" du /(" "" ordre,

et tels que 1 on ait

(VT, 1 = i.)T,. (NT.) :^ ojT, -/,,T,. (\-T;, ) = i.)T;.+ /.,T,-^/..T|

(VT„) = wT„ - XiT„_i T- /..T„_. --. . . /.„_,T, ;

les constantes w, >.,, 1-,, ■ • ■• ^n^i doivent élre les mêmes dans toutes les équa-
tions de la série, mais sont d'ailleurs quelconques; nous n'excluons pas le cas
de X,= o quel que soit /; seulement dans ce cas particulier tous les opérateurs
sont du premier ordre.

Deux transformations p^ et e"*" auront alors une série régulière commune

T,. T^. ..., T„

NOOVKLLES BEMARQUES SUR LES GROUPES rO.NTINl S. a()7

si l'on a

(VT,i = toT,. (\-T, 1 = 0) T.->.,T, (VT„) = c. T„-->.|T„^, -...->.„_, T,:

(V'T,) = <'.'T,. (VT,i = co'T,-).',T, (V'T„) = oi'T„- À', T„_, -...-/,;,_, T,;

les constantes 'j. À et '.l'.À' peuvent (railleurs être dlfFércntes pour\ el pour V,
mais les opérateurs T,, T^, . . . , T„ sont les mêmes pour V et pour \ '.

Cela posé, la condition néccssain' cl suffisanlr iioiir ijiw les atljoinlcs
de e" et e*' soient perniutah/es, c'csl (jue \ cl \' adnwtlcnl un certain
nombre de séries régulières cutnniii nés , conijiycnanl l'iiscinhlc r ojiéralciirs
indépendants, si r est l'ordre ilii grimpe.

Ainsi, si le groupe est, par exemple, du sixième ordre et si \ el \ admellent
une série régulière commune de trois opérateurs, une seconde série régulière
commune de deux opérateurs et une troisième série régulière commune
formée d'un seul opérateur du premier ordre, e^ et ^', seront permutables.

Plus généralement, je dirai qu'une substitution linéaire quelconque admet
une série régulière s'il existe n combinaisons linéaires des n variables indépen-
dantes, combinaisons que j a])pelle

Je y-- yn-

qu'elle change respectivement en

(■)K|. OK;— Àl.>'i- '^y.: --''•\ y ■< — ''■'_. V\ (■))•„— Xir,,-, — ...— "/.„-i,r,.

Alors la condition nécessaire et suffisante pour que deux substitutions
linéaires soient permutables, c'est quelles admettent des séries régulières com-
munes comprenant ensemble autant de combinaisons linéaires >• indépendantes
qu'il y a de variables.

II. — Non-uniformité des fonctions.

Soit
(i) eUfW=pV.

les i' seront des fonctions des u et dos w el notre but principal est d'étudier ces
fonctions au point de vue de la théorie générale des fonctions. La première
remarque que nous devons faire, c'est que ces fonctions ne sont pas en général
uniformes. Si partant de certaines valeurs initiales des u et des ir, et des
valeurs correspondantes des c, on fait décrire aux // et aux a- des contours

■268 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

fermés, il est possible que les valeurs finales des r ne soient pas identiques à
leurs valeurs initiales.

Si j'envisage au contraire l'équatidii

f-" e'- (■" = (•

qui définit le gioupe adjoint, je vois que les c sont des fonctions uniformes
•les « et des iv. .Si donc on pose

f> A f^ ^ ' ' — ' f

si l'on fait décrire à A, U et B des contours fermés; si l'on a au début et à la fin

de ce contour

— A = B = W .

ou sera cerlaui que \ reviendra à sa valeur primitive, si Ion a eu cun.stam-

niint

A-— B.

Mais on n'en sera plus certain, si cette relation n a lieu qu'au début et à la fin
du contour, et ne s'est pas maintenue constamment sur tout le contour.

De ce défaut d'uniformité peuvent résulter certaines particularités déconcer-
tantes au premiei' abord; on est tenté d'écrire

et en effet on est souvent l'n droit dr le faire, mais |)as toujours. .Supposons que

l'on envisage

,,1 ,.\\

([ue U et \V . parlant par exemple de la valeur initiale zéro, suivent un cliemin
quelconque, à la fin duquel on ait

l = V. \V =— \,

on ne sera |)as certain que r" r^^ tendra vers i {cf. l^alerme, p. ^^37) \ ' ).

La fonction c^ c^^ n'étant pas uniforme, i est l'une des valeurs qu'elle prend
pour U = V, W = — \ . mais ce n'est j)as la seule.

Aiilri' cii-niiilc : Supposons (jue la substitution \ „ soit permutable à Uq,
c'est-à-dire (jue l'on ail

(3) e-v, gt.eV„= pl,,.

(') Œuvres de 11. I'i>incaré, ce tome. p. jjo.

NOUVELLES REMAnQlIES SUR LES (JBOUPES CONTINUS. 269

A-t-oii le droil ti'en déduire

c'est-à-dire que Ll„ est permiilnlili' à \ „?
Ecrivons

1 i his ) < — ^ ' 1'^ 1'^ = e^' .

d'où nous déduirons

( ,'( bis I ('~^ e^' e^' = e^ .

Si nous fnisons varier Ll, V. U' et V d'une manière continue, en parlant do
zéro, ot suivant un chemin quelconque, mais de telle façon que la relation
(.5 Ijix) soit toujours remplie, la lelatioii ( /j l/is) sera aussi toujours remplie.

Que signifie maintenant la relation (3)? Elle signifie que si l'on a sur le
chemin constamment \ = V, et que les valeurs finales de U, \ et \ ' soient Vo.
\ Il et V,,, la valeur finale de U' (qui est entièrement délerminée |>uisque le
groupe adjoint est défini par des fonctions uniformes) sera L,,.

Que signifierait maintenant la relation (4)"^ Ce serait que. si Ion a sur le
i-hemin constamment U = U'. les valeurs finales de U, V, L ' étant l^o, Vo, Un
la valeur finale de \ sera Vo. Ce n'esl pus tout à fait la même chose, puisque
dans un cas le chemin doit être choisi de telle façon que l'on ait cimslamment
\ = V, et dans l'autre cas de telle façon que l'on ait constamment L' =Li'. On
ne pourra donc sans un examen spécial déduire (4) de (.3).

Si toutefois l'on avait, quelles que soient les indéterminées tx el j3,

oç aurait le droit d'en déduire

( \ 1er ) p— 3ii:„ f.|'l\„ ,»al„— ^Ilv,,

car on pourrait faire varier s; et |3 depuis o jusqu'à i el l'on auiait alors, tuiil le
long du chemin, dune |)art

et d'autre pari

U = U'= 2U„.

C'est ce qui ari'ive loisque deux transformai ions infinitésimales sont permu-
lahies.

Nous avons vu dans le Mémoire de Palerme que si dans l'équation (i) les
inconnues r (ou, ce qui revient au même, l'opérateur V, ou la transformation e^)
sont susceptibles de plusieurs déteiminations, les différentes déterminations de

■270 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

la transformation e^ ont même adjointe. En d'autres termes, si \ ' et \" sont
deux déterminations de l'opérateur \ , les opérateurs conjugués des divers
ordres de \'' et V" sont les mêmes; e.l les racines correspondantes de l'équa-
tion de Kiliing sont les mêmes à des multiples près de 2n\/ — i. D'où cette
conséquence fort importante, que si e^ et ('^ sont deux détei'minations de c'^ ,
les deux transformations e*^' et e^'^" sont permutables quel/es que soient les
constantes x et |3, pouri-u toutefois que le groupe soit de la première catè-
sorie, c'est-à-dire ne contienne pas de transformations dist ifiguées.

Dans ce cas, en eflet, il suffit (puisque l'isomorphisme des deux groupes,
adjoint et paramétrique, est holoédrique) de montrer que les deux adjointes de
e'^^" et (^1^^ sont permutables.

Or, ^ et V ont mêmes racines de Kiliing et mêmes opérateurs conjugués;
elles difTèrent seulement parce qu'une racine de Kiliing, qui correspond dans \
à uneicerlaine série régulière d'opérateurs conjugués s'étant échangée avec une
autre racine, correspondra d.ins \ à une autre série régulière d'opérateurs
conjugués.

Donc V et \ ' auront toutes leurs séries régulières communes. Donc les
adjointes f'^^ el e'^^^' et ces transformations elles-mêmes sont permutniiles.

III. — Transformations spéciales.

Cela posé, faisons varier dans l'équation (i) U el \\ d'une manière continue,
de façon que \ varie aussi d'une manière continue: soient L^, W,,. \« les
valeurs initiales de U, \\ , \ : supposons que L et W décrivent un contour
fermé C de façon à revenir à leurs valeurs initiales Lo et W„. mais (|ue \ ait
pour valeur finale une autre détermination \ „.

Considérons un clieniin L sui\i par L et \\ el allant de L ' = W = o à
U=Uo, W = \V|,; parcourons ce chemin de façon que la valeui- de \ qui
correspond à L^ = Lo, W = W» soit \ = \ „ et supposons que la valeur de \
(|ui correspond à U = W ^ o soit \ = o.

Supposons maintenant que l'on suive h- même chemin L en partant de
U = U„, W = Wo avec la valeur \ =V|,. On n'arrivera pas à U = W = o
avec la valeur \ = o; sans quoi, en revenant à U = Llo, W = W„ par le même
chemin, on v arriverait avec la valeur V= \ » et non avec la valeur \ = \ „.
Donc, s'il y a plusieurs valeurs distinctes pour V quand elle est définie par
l'équation il), il v en aura plusieurs également quand on fei'a l' = W = i);

NOIVELLES REMARQIES SIR LES GROIPES i:ONTINUS. ->7I

l'une de ces valeurs sera \ = o, mais il _v en aura d'autres el généralement une
infinité.

Les transformaticin? f^ qui sont ainsi les diverses soluliims de l'équalion

^0 f>i) ^ (>V

s'a|)pellent les trinisjoi-iitulidiis spi-cidlcs (Palerme, p. 353) ('); elles sont
caractérisées par ce fait (pie leur adjointe est la substitution identique.

Nous p<iuvons tout de suite en donner un exemple simple. Envisageons le
groupe des rotations; on a (Palerme, p. 332 ) (-)

3!, 3, ■/ étiint les cosinus directeurs de l'axe de rotation et a 5 l'angle de rotation.
Les transformations spéciales correspondent aux rotations diml l'angle est
mulliple de a-, et sont caractérisées par

D'après ce qui précède, ou bien il y a des transformations spéciales, ou bien
les i- sont fonctions uniformes des u et des n- (ce qui arri\e par exemple dans
le cas des groupes de rang zéro).

Il peut se faire également qu'il existe des transformations qui, sans être spé-
ciales au sens propre du mol (c'esl-à-dire susceptibles de s'échanger avec <■"
quand L et W décrivent des contours fermés) ont néanmoins |)our adjointe la
substitution identique. .Je les appellerai quasi f/ii'ciales^

Il importe de remarquer que ces transformations quasi spéciales jouissent de
quelques-unes des plus importantes propriétés des transformations spéciales.
.Si, par exemple, <?* est spéciale ou quasi spéciale et qu'on jiosc

gl g.\ _ pV

f' et p^ auront même adjointe: les racines de l'équation de Killing seront les
mêmes à des mulli|)les près de 2 7:\ — i ; ces multiples de\Mnt demeurer cons-
tants quand U varie d'une manière continue, ne pourront être autre chose que
les racines de c^ (Palerme, p. 358) ( ' ). Donc, chaque racine de e^ sera égale à la
racine correspondante de i'^ . plus la racine correspondante de e*. laquelle sr'ra
un multiple de a77\ — • i.

Ce n'est pas tout. Les deux transformations <?' et e^ ayant même adjointe, on

(') Œuvres de H. Poincaré, ce tomt-, p. 24''-
!"■) Œuvres de H. Poincaié, ce tome, p. a>'|.
I-) Œuvres de H. Puiararr, ce Inine, p. .''(7.

>7' N'OUVELLKS REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

verrait comme plus haut que, quelles que soient les conslantos a. el (3, f'*" et e^^'

(ou au moins lours adjointes si le j2;roupe est de seconde catégorie, cas sur

lequel je me réserve de revenir plus loin) sont permutables.

Soit iilors

r-v. ,.A= ,.A„

une suite de transformations spéciales ou quasi spéciales el posons

on vrrrail, toujours pour les mêmes raisons, que les diverses transformations

sont permutables entre elles, quelles que soient les constantes a et |3, ; l'ensemble

des transformations

gar - Sfi, V,

forme un sous-groupe continu dont toutes les transformations sont permu-
tables. .Si la /,'*■""■ racine de l'équation de Killing est lo/; pour c^ ^ et 7,/i pour c^',
elle sera, pour la transfornuuion précédente,

(c/. l'aliTiue, p. .').")() in Jlnr) ( ' ).

(^.omparons le résultat précrdenl à d'autres qui ont été obtenus par d'autres
voies et poui' cela reportons-nous à la Thèse de Cartan (Paris, Nony, i894).
Nous voyons qu'il y définit un certain sous-groupe y. et que, dans les groupes
simples en particulier, toutes les transformations de ce sous-groupe sont per-
mutables. Soient maintenant deu\ opérateurs \, et X^. appartenant respective-
ment par rapport au sous-groupe y à deux racines égales et de signe contraire. '>>x
et — ',\rj,. l'iirmoiis le crochet

Cartan démonti'e(p. /ja) cpie pour ^ ^^ les racines de l'équation de Killing ont
leurs rapports commensurables. Il en résulte que l'on peut choisir le coeffi-
cient Aj de façon que [)Our e'«-''" toutes les racines de Killing soient des mul-
tiples de 2r\/ — I, et comme d'ailleurs elles se comportent conime des racines
simples, il en résulte que r'"^- sera spéciale ou (piasi spéciale.

I.e sous-groupe y contient donc <les Iransfoiinalions S|)éciales e*', r'^'. ..., ('^'^

(') Œin'res de II. Pciimaié, rr tome, p. ''m.

NOUVELLES REMARQUES SUB LES GROLPES CONTINIS. îy'i

et la transformation la plus géaérak' di' / peut s'écrire

Comme d'ailleurs Carlaii inuntri' encore que les racines de Téquation de
Rilling dans ce sous-f;roupe sont des fonctions linéaires des p, on aperçoit
l'identité foncière du résultat dr Killing-Cartan n\ er celui que je viens d'obtenir
par une voie toute difterente.

Si ('^ est une transformation spéciale, <-'('* sera une autre détermination de e^ :
on aura d'ailleurs

,-i

gA — f,i ,,l

et

\,,i ,,\= pi\

c'est-à-dire que e^ sera permutable à c''; cela résulte de ce que l'adjointe de e^
est la substitution identique, mais on n'aurait pas le droit d'en conclure, ainsi
que nous l'avons remarqué plus liaiil,

^.-L ,,A ,,v ^ p.\

Prenons pour exemple le groupe des rotations, et représentons chaque rota-
tion par un vecteur avant ])our composantes r,, i^, i;,. Le vecteur i'~-^e^t'^
s'obtiendra en faisant subir au vecteur e*- la rotation r.'\ et comme l'angle de
cette rotation est un multiple de '>r.. ce vecteur ne changera pas. Au contraire,
le vectem- e^*^ e^e' s'obtiendra en faisant subir au vecteur r* la rotation c' qui
altère la direction de ce vecteur. Donc c^ e^<'^ et e* sont deux rotations d'un
même angle, multiple de 2-, mais autour d'axes différents.

Terminons par une remarque sur le sens du mot isomorpliisme. Nous avons
dit que les groupes paramétrique et adjoint sont holoèdrùjueiuenl isomorphes,
dans le cas des groupes de la première catégorie. Cela n'est pas exact en un
sens, puisque le groupe paraméti-ique contient des transformations spéciales
auxquelles correspond dans le groujte adjoint la substitution identique. Cela est
exact seulement si l'on se borne à envisager les transformations injinitési-
maies, et c'est dans ce sens que nous emploierons ce mot d'ordinaire.

IV. — Transformations singulières.

Reprenons l'équation e*^ c'^'^ := e'' , faisons décrire à l et à \\ un contour
fermé de telle façon que \ ne revienne pas à sa valeur initiale. Comme les « et
les (V sont 2/' variables indépendantes, le contour feimé décrit par 1 et \\
H. P. - Itl. ;,

'•74 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

pourra se décomposer en contours fermés infiniment petits (ce qui n'aurait pas
lieu, par exemple, si l'on avait deux variables x et y non indépendantes, liées
par une relation algébrique, de telle façon que le point analytique r, >• soit
assujetti à rester sur une surface de Riemann non simplement connexe). Pour
l'un au moins de ces contours infiniment pelit>, \ ne re\iendra pas à sa valeur
initiale, la transformation correspondante e^ s'appellera une traiisforniation
stiifiiilicre, de sorte que les diverses déterniinalions de e^ s'échangent entre
elles quand on tourne autour d'une tran^formation singulière.

On peut voir (Païenne, p. .'"ia^ à 33o. 338 à 34o) (') qu'il y a trois espèces
de transformations singulières (cette classification est la même, en principe,
que dans le Mémoire de Palerme, mais les dénominations .sont modifiées) :

i" Les transformations singulières de la /ncni/ère esjièce sont celles dont
l'adjointe a son déterminant nul. l'our (|ue e^ soit singulière de première espèce,
il faut que l'une des transformations e^ , e" soit singulière de première espèce.
Comme nous supposerons en général que f' , e^* sont régulières, les transfor-
mations singulières de première espèce n'auront pas à intervenir.

2" Les transformations singulières de la dei(xième espèce sont celles pour
lesquelles deux racines de l'équation de Rilling diffèrent d'un multiple de
27r\/ — 1 ; il en résulte que, dans l'éqiialion déterminante de l'adjointe, les
deux racines correspondantes deviennent égales, mais elles se eotnjiurlent
comme deux r/iei/ies ilisi iinles. Dans ces conditions, les valeurs des r sont
des fonctions indèlei minées des coefficients / de l'adjointe. Ce sont également
des fonctions indéterminées des ii et des ec. Si nous prenons |)0ur exemple le
groupe des rotations, une rotation d'un angle a- autour d'un axe quelconcpie
(qui est en même temps une transformation spéciale) sera une transformation
singulière de deuxième espèce. (Jii voit en efl'et que l'adjointe se réduit à la
substitution identique, de sorte que l'on trouve

Cf., (3, y étant trois cosinus directeurs assujettis seulement à la condition

ïï— [iî— ■;== I,
mais d'ailleurs indéterminés.

3" Les transformations singulières de la troisième espèce sont, comme celles
de la seconde, telles que deux racines de l'équation de Killing diffèrent d'un

(') (Hùn'ies de II. t'oincaié, ce loiiii;, |). 09 à -2".. fi} à 'it.

NOUVELI.KS REMARQUES SLR LES GIIOLPES CONTINUS. '.■^5

multiple de 2-^ — i, et par conséquent que deux lacines de l'équation déter-
minante de l'adjointe soient égales. Seulement ces deux racines égales ne se
compovient pas comme deux racines dislincles, et l'adjointe devient une
substitution Vméah-ii /larabolir/ite. Dans ces conditions, si nous regardons les i-
comme des fondions des (/ et des i\', ces fonctions deviennent infinies et ncjn
pns indéterminées.

^^ous emprunterons encore notre exemple au groupe des rotations.
Supposons que e^ soit une rotation imaginaire d'un angle

arc liini;
autour de l'axe des ;. de telle façon (pie

l'adjointe sera

- nvc (il nu -

i ()

Il I

Supposons maintenant que f" soil une rotation d'un angle 2h~-\- '- autour
de l'axe des x^ ayant pour adjointe

>

<)

n

<l

o

I

()

— I

()

La résultante e^ aura pour adjointe

\ — f^

L'équalina déterminante en S ^'éciil
i — S \ — ,s (j

= — ( ^ — II"

Elle a donc une raciiu; triple, mais celte racine triple ne se comporte pas
comme trois racines simples, ou comme une racine simple et une racine double..
Il faudrait pour cela que les mineurs de l'équalion en S s'annulassent tous à la
fois poui- S = I . ce cpii n'a pas lieu.

276 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

L'adjointe de c^ est donc une substitution parabolique. Quant aux racines de
l'équation de Killing, elles doivent être l'une nulle, les deux autres égales et de
signe contraire, ainsi qu'il advient toujours dans le groupe des rotations. Les
deux racines qui ne sont pas nulles doivent être multiples de 27: y — 1 ; le rai-
sonnement du paragraphe précédent montre t[u'elles dépendent de /, ; on peut
choisir la détermination de l'arc tangente, de telle façon qu'elles soient égales
à dz 2Â'7r \/ — I . Elles ne sont donc pas égales entre elles en général.

Or, si une substitution parabolique peut être une puissance d'une substitu-
tion linéaire infinitésimale, c'est à la condition que cette substitution infinitési-
male soit elle-même parabolique. Si donc e^ a piuir adjointe une substitution
parabolique de la forme précédente, il faut que r*^ , où x est très petit, ait éga-
lement son adjointe parabolique, et par conséquent que l'équation de Killing
ait ses trois racines égales.

Cela est en contradiction avec ce que nous venons de dire et la contradiction
ne peut s'expliquer que parce que les c cessent d'être finis.

Il reste à étudier de quelle façon les transformations s'échangent entre elles
quand on tourne autour d'une transformation singulière; cette étude peut se
faire, soit en partant des équations finies du groupe, soit en partant des équa-
tions dilTérentielles et c'est précisémeTit la comparaison de ces deux méthodes
(|ui est intéressante.

■V. - Groupes de la seconde catégorie.

Plusieurs des résultats précédents ne s'appliquent qu'aux groupes de la pre-
mière catégorie, et nous avons à voir maintenant comment ils doivent être
modifiés en ce qui concerne les groupes de la seconde catégorie, c'est-à-dire
ceux f[ui renferment des transformations distinguées.

Parmi les opérateurs X, qui correspondent aux diverses transformations infi-
nitésimales du groupe, nous distinguerons ceux qui correspondent aux trans-
formations distinguées et que nous appellerons les X'', et ceux qui corres-
pondent aux autres transformations et que nous appellerons les \, ( Palerme,
p. 33^) ('), et nous poserons

distinguant ainsi les r' et les i '.

(') Œuvres de II. l'oincaïc, ce lome, p. ■nç).

NorVELLES REMARQUES SUR LUS GROUPES CONTINUS. 277

Nous voyons alors que les è,*, et par conséquent les P/k el !*'(;) dépendent
seulement des t' et pas des v", et que

'■"'?>

se réduit à o bu à - si le second indice j correspond à un des X", à savoir : à o

si les deux indices sont différents et à p s'ils sont égaux (dans le Mémoire de

Palernie il y a eu une permutation d'indices).
Si nous avons alors

„\' <,T _ „V+r/V

T étant très petit, il viendra (Palerme, p. 3.3 i) (')

•)- \ — i J I — e-? l (ç)

d'où

di'i ^ dr'i

-=-f = o. ïauf -~ = I.

dt^ dtj

Cherchons alors à former les équations différentielles d'où dépeudenl les
relations de U. \A et \ ; nous avons

,A^,\V=pV

ou (T élant très ])etil)

pL eW gl -_ gV pT

Or, en posant
il vient

gl ,,\V^rAV _ gV^(/V^

ce qui délinit la relation dillV-renliello entre les f et les iv, les « restant cons-
tants.

Mais l'équaliou

eV+,/v ^ g> ,,T

peut s'écrire (Palerme. p. 33 i) (')

"/ R/Sv '

de sorif (pie nos relali(ins difrérentielles peuvent sécrire explicitemenl
Cl Œuvres Je II. l'uincaré. ce tome, p. 2_'3.

278 NOIIVELLKS REMARQUES SlIK l-ES GROUPES CONTINUS.

OÙ P,'^ et F| {l) désignent ce que deviennent P,y et F(;) quand on \ remplace
le> !■ par les tv. Je puis les écrire aussi sous la forme

Ci' i,\\„,/nv=i;,\,;r/,v.

les \ ,j étant des IVinclions enliéres des r, et les \\ ,, les mêmes fonctions entières
des H-.

Par je ne sais quelle inadvertance, j'ai écrit simplement (Palerme, p. S.rig) (')

et je voudrais d abord laire voir que la conclusion fondamentale n'est pas
altérée.

Dans le cas des grou|)es de la seconde catégorie, les \ ,, ne dépendent que
des r' et le coefficient de /h'- se réduit à zéro si /' est diirércnt de (', et à i

si y = /.

.le puis donc écrire, si l'indlcr / correspond à un des i'
et si l'indice / correspond à un des c"

Dans l'un et l'autre cas on ne donne à l'indice / que les valeurs (jui corres-
pondent aux ('.

Cela posé, si c* n'est pas une transfonndliuiui'ingulière (c'est-à-dire si son
adjointe ne satisfait pas aux conditions énoncées dans le paragraphe précédent
pour définir ces substitutions singulières), les e' sont des fonctions Indomorphes
des h' (les 11 étant regardés comme constants). Si dans l'équation (.'^ ter) nous
remplaçons les i' par leurs valeurs en fondions des ir', les \"-^ qui sont des fonc-
tions enliéres des v' deviendronl des fonctions liolomorplies des ir'; il en sera

1 • I ''''/ 1 • • . .

(le même des -r-. > fie soite ciuc le puis écrire

<hv : 1 .1 1

les H/y étant des fonctions liolomorphes des iv'; on m cnnclut (|ue les r" sont
des fonctions liolomorphes des n ' et des h'; et l'on verrait de même, si l'on
faisait variei- à la fois les ti et les ir, que les i " sont des fonctions holomorphes
des (\ ', des n', des a" et des //'.

En résumé, si e^ n'est pas singulière, les c sunl Jonctions holomorphes

(') Œui'ies de H. Poincaïc, ce lome. p. jii.

NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. ^79

di's II et //es n'. C'était là notre conclusion fondamentale et elle subsiste; en
revanche la formule (;;) (Palerme, p. •i4o) (') où figurent les fonctions
entières 0,- est inexacte.

VI. — Échange des déterminations.

Examinons maintenant de quelle manière se fait l'échange des diverses
déterminations des fonctions c quand on tourne autour d'une transformation
singulière de la seconde espèce. Ce qui caractérise ces transformations c'est,
comme nous l'avons vu. que les r sont des fonctions indéterminées des ii, et
des n', ou bien encore des fonctions indéterminées des coefficients / de
l'adjointe.

Supposons par exemple que, pour une transformation singulière quelconque,
il j ait trois racines de l'équation de Killing différant entre elles de multiples
de 2/7:, et deux autres racines différant entre elles de multiples de 2171. L'équa-
tion déterminante de l'adjointe aura donc une racine triple et une racine double
(se comportant comme des racines simple^, [niisque la transformation est sin-
gulière de seconde espèce). Par un choix convenable des variables, cette
adjointe peut donc être mise sous la forme

a 0 1

(t a o o 4 )

o o fj o o

o n i) A n

Il II (I 11 0

tous les coefficients étant nuls sauf ceux de la diagrmale principale, Irois de ces
derniers étant égaux à a et deux à b.

Soit e^ la transformation qui correspond à celte adjointe.

Reprenons la terminologie de la fin du paragraphe I. Pour définir \ il finit
se donner d'.ibord les racines de l'équation de Killing; ici, tinis de ces racines
sont égales ;i trois déterminations difl'érentes de logo; et deux, à deux déter-
minations différentes de log6. Il faut se donner ensuite les o/)i''raleiirs roiiju-
giiès lin preDiicr ordre correspondant à ces diverses racines. ]Mais ici ces opé-
rateurs ne sont pas entièrement déterminés; nous savons seulement que les

(') C/Euvres de H. Poincaié, ce tome. p.

28o NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROl'PES CONTINUS.

trois premiers (correspondant à logo) sont de la forme
et les deux suivants (correspondant à logft) de la forme

Les opérateurs conjugués n'étant pas enlièrement déterminés, les c ne le sont
pas davantage, ce sont des fonctions indéterminées des coefficients de l'adjointe
et c'est pour cette raison ( Piilerme, p. 338) que ce sont également des fonctions
indéterminées des a et des w.

Une remarque aviint d'aller |)lus loin; l'analyse précédente suppose que les
racines de l'équation de Killing sont simples ou se comportent comme des
racines simples.

On verra plu> loin cumiueni lanalv^e devrait être modifiée s'il n'en élail pas
ainsi.

Envisageons maintenant, non plus la transformation singulière elle-même,
mais une transformation très peu difTérente. Dans ce cas l'indétermination dis-
paraît. Si donc e^' est une transformation singulière et A„ son adjointe, A„ ne
suffira pas pour déterminer \ „; mais si e^ est une transformation non singulière
ayant pour adjointe A, et si nous faisons varier V et A en les faisant tendre vers
les limites V,, et Au, \ „ sera déterminé quand on connaîtra la suite des valeurs
de A et la façon dont A a tendu vers Au.

l^.ir exemple, dans le groupe des rotations, toute rolalioii d'un angle 27T a
pour adjointe la Mibslilution identique; la connaissance de cette adjointe ne
détermine donc pas la rotation, puiscjue nous ignorons la direction de l'axe de
rotation; mais si nous savons de plus que celte rotation est la limite pour £ = o
d'une rotation d'un angle 2 7: + £, la rotation sera déterminée puisqu'elle aura
|ioiir axe hi limilc vers lacpiellc tend l'axe de la rotulion 27:-f-c.

Supposons (|ue l'adjointe A„ soit représentée par le tableau (i),une adjointe A
infiniment peu difTércnte s'obtiendra en combinant Aq avec une substitution
infinitésimale du groupe adjoint. Cette substitution infinitésimale corres|iondra
à la transformation infinitésimale c' du groupe paramétrique et s'écrira

I 1 — ''11 f>i". ''1:1
(2) /j., 1 ^- />._. />., ..

les lettres b,/, ayant même signification qu'au paragraphe I ; mais les c doivent y
être remplacées par les a (puisque notre transformation est désignée pare^);

donc

NOUVKLLES REMARQUES SIR LES GROUPES CONTINUS.

hik = - <•.</ ".-■

281

et les (/ seront des quantités très petites.

Alors A, qui correspond à la transformation l'^=z(j^«c^ du f;roupe paramé-
trique, s'écrira

(3|

a6;i a — (il).,, ''(>■,:■,

bb:t\ bl>,n bbyi

bb-, I b// ,n bb-,:;

Il ^'agit maintenant de formei- les opérateurs conjugués relatifs à cette nou-
velle transformation. Formons pour cela l'équalifin déterminante en S. en ajou-
tant S à tous les termes de la diagonale principale du tableau (3) et égalant à
zéro le déterminant ainsi obtenu. A chaque racine de cette équation en S, cor-
respondra nu opérateur conjugué T = i/,X, défini par les équations suivantes:

(4)

( a ^- ab,i~ i )li — ab,^U^- abt^tj — . . .= n.
ab.,t, -(- (a H- ab.,-i- S)t.-r- aS.a's-^- . . = o.
(ibi, I, -~ abj^t-, — (a -i- abx,^ S) h, — . . . = o,

bb;,',-~ hb;.!.^- bb;;,,l:;—(b-\- bb ; i — S) / ; ~ . . .= (>,

Envisageons en particulier celles des racines de 1 équation en .S qui sont voi-
sines de — ■ n et qui sont au nombre de 3 ; posons donc

S = — « — 7.

5- étant très petit. Considérons la quatrième équation (4): les On étant très
petits ainsi que cr, tous les coefficients de cette équation sont très petits, sauf
celui de /•, qui s'écrit

b - - bb;,, — a — -j

et qui est très voisin de b — n; cette équation donne donc sensiblement

et l'on trouverait de même

" = /.!=/. =^..

Dans ces conditions les trois premières équations (4) peuvent s'écrire (eu
divisant par n )

!(_i!>,,— Tl/, ;- b^.J,— b,3t3= o,
651 /, -- ( b,. — ■s)t, - bn.'J-f = o.
6:11 'l— bjnl, - (633— 3)^1 = o.

H. p. — III. 06

282 NOUVELLES HEMABQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

ce qui détermine à la fois o- et T. Ainsi les opérateurs conjugués de Vq et par
conséquent \ o lui-même se trouveront entièrement déterminés quand nous
saurons que e'" est la limite de e' ^ e^"e^' et que nous nous donnons la trans-
formation inlinilésimale IJ. Si nous ne connaissions pas U, nous saurions
seulement que les trois premiers de ces opérateurs conjugués sont de la forme

Les indéterminées <,, /j, t^, dépendent de U et nous voyons qu'ils dépendent
seulement des 6,/t, où les indices i et k prennent les valeurs i, 2 et 3.

Si j'élimine les / entre les équations (5) j'obtiendrai une équation du troi-
sième degré en o-, présentant quelque analogie avec l'équation de Killing. Si
alors l'équation en S relative à A„ admet h racines distinctes, f/, 6, etc., il y
aura k équations en t et le degré de chacune d'elles sera l'ordre de multiplicité
de la racine correspondante; par exemple pourcelle que nousvenons de former,
elle est du troisième degré parce qu'elle correspond à la racine a qui est triple.
D'autre part, les b,i, étant des fonctions linéaires des », le premier membre de
l'équation en a sera un polynôme entier homogène parrapport à ct et aux u.

Nous pouvons maintenant répondre à la question : comment s''rcliangent
entre elles les di ffèvenles dèteviniiuttions (luand on tourne diilnur d'une
transformation singulière?

Soit

et l'egardons les r comme fondions des : et des ^r^, je suppose que
pour W = Wo, on ait \ = \\, et que e^° soil une transformation singulière
ayant pour adjointe A,,. Donnons à W des valeurs voisines de \\ o» et pour cela

faisons

p^v — - g\\„ gV ^ gV _ gV|, pi:^

U étani inlinilésimale. Nous nous demandons si les diverses détei luinations
de V s'échangent quand W tourne autour de W„, c'est-à-dire quand l tourne
autour de O. Ces déterminations s'échangeront si les opérateurs conjugués
s'échangent.

Les seuls opérateurs conjugués qui puissent s'échanger entre eux sont ceux
qui correspondent à des racines égales de l'équation en S de A„, c'est-a-dire
ceux qui correspondent à une même équation en -7. Tout revient donc à savoir
si deux racines d'une des équations en a s'échangent quand ou fait varier les u;
c'est ce qui arrivera certainement si cette équation est irréductible.

NOIJVELI-ES REMABQtlES SUR LKS GROUPES UONTIMS. l83

Reprenons le oronpe des rotations et envisageons une rotation d'un angle tî;
les racines de l'équation de Killing sont in, cet — ir^. Deux d'entre elles difl'è-
rent de 2ir.; on pourrait donc croire que la transformation est singulière. Ici
l'équation en S de A,, a deux lacines égales à — i et une à + i . Le tableau des h;i,
s'écrit

'adjointe A,, s'écrit

celui des coeflicients des équations ( \ )

— I — S u,

— 113 — I — S

■i + S

On (d)tient deux équations en a-, l'une en faisant S = -|- 1 — c, correspondant
à la racine double — r , l'autre en faisant S = — 1 — a-, correspondant à la
racine simple + 1 ; la seconde de ces équations est tout simplement — c; ^ o ; et
la première est

(7=— 1(1 )

"3

Comme le premier membre se décompose en deux facteurs linéaires ct dr iii,.
il ne peut pas y avoir d'échange entre les racines, et la transformation n'est pas
effectivement singulière. Si nous prenons au contraire une rotation d'un
angle an, il y a une racine triple égale à 1 , et une seule équation en t qui >'écrit

a( T-^ II] -r- lû, — »5 j = ().

Les deux racines ± i \' a], -\- u'î + it'l pouvant s'échanger, la transformalion
est effectivement singulière.

Supposons que l'équation déterminante en S ait une racine double égale à i,
correspondant à deux racines de l'équation de Killing, l'une nulle et l'autre dif-
férente de zéro, égale par exemple à 2ir.; il ne peut y avoir d'échange entre
ces deux racines, de sorte que la transformation ne sera pas efTectivement sin-
gulière. Pour {[u'une transforniiition soit singulière, il f.iut donc non seulement
que deux des racines de l'équation de Killing dillèrent d'un multiple de liu,
mais que ces deux racines soient toutes deux différentes de zéro; il ne suffit

284 NOIVKLLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

donc pas qu'une racine de l'équation de Killing devienne égale à un multiple
de 2 171, auquel cas, comme il y a toujours au moins une racine nulle, on pour-
rait dire que la différence de deux racines est multiple de 2/71.

Soit A,i une adjointe, correspondant à une transformation singulière, celle du
liihleau ( I ) par exemple.

différentes transformations admettant cette même adjointe: on peut en trouver
une infinité puisque les v sont des fonctions indéterminées. Je dis que les puis-
sances de ces diverses transformations appartiennent toutes à un même sous-
groupe que nous allons étudier. Soient

B. B'. H". . . .

les adjointes de

,.a\„ ,.ï'v'|i pjc'V,'.'

OÙ a, a', a" sont des nombres quelconques.

Il est clair que toutes ces adjointes jouiront d'une propriété commune; celle
de transformer tout opérateur de la forme

/| \,-^ <;X.2— /;,X:, on /.,\..^ /i\,,.

par exemple, en un Opérateur de la même forme, et que cette propriété com-
mune définit un sous-groupe dans le groupe adjoint, et un sous-groupe corres-
pondant ( que j'appellerai F) dans le groupe paramétrique.

Reprenons la transformation infinitésimale c^ , dont nous avons parlé plus
haut, et son adjointe; supposons qu'elle appartienne au sous-groupe T. Dans
ce cas tous les bu sont nuls, à moins que les indices/ et k ne soient égaux tous
deux à 1 , 2, ou à 3, ou bien tous deux à 4 ou à 5, ... , ou, plus généralement, ne
correspondent à deux racines égales de l'équation déterminante en S, c'est-à-dire
il deux termes égaux de la diagonale principale du talileau { 1 )

Si nous formons ensuite l'équation de Killing relati\e à cette transfor-
mation r' , je vois qu'elle se décompose en autant de ficteurs qu'il y a de
racines distinctes dans l'équation déterminante en S ; quelle relation y a-t-il
entre ces d i (Té rents facteurs et les différentes équations en ct que nous venons de
former? C'est ce que nous expliquerons'plus loin, dans un cas plus général, au
paragraphe VIII.

Si nous revenons encore au groupe des rotations : jiour une rotation d'un
angle 271, toutes les racines de l'équation en S sont égales à 1 , et le sous-groupe F
ne diffère pas du groupe total; pour une rotation d'un angle ;:, deux racines

NOUVELLES REMARQIIKS Sl'R LES «ROUPES CONTINUS. îSj

seulement sont égales entre elles, et ég;iles à - - i ; le groupe F comprend toutes
les rolalions possibles autour d'un axe déterminé, l'axe des z par exemple; dans
le premier cas, l'équation de Killing du sous-groupe F est la mèiiu' (|iie pour le
groupe total

et elle n'est pas déconiposable en facteurs linéaires : la transformation est
effectivement singulière; dans le second cas, cette équation se réduit à

et <:lle est décomposahle en facteurs linéaires : in Iriinslormatujn n'est pas
eHecli ventent singulière.

Remarquons maintenanlqu'il peut très bien se faire qu'une transformation ne
soit pas eJfectUeinenl siiigulit're, c'est-à-dire ((u'il n'j ait pas échange entre
les valeurs des c quand on fait décrire aux u et aux iv des contours fermés inti-
niment petits, et que cependant elle soit (juasi singulière, je veux dire que
les r soient des fonctions indi-lerminèfis des u et des ti' ; ou, ce qui revient au
même, soient des fonctions indéterminées des coeflicients de l'adjointe. On peut
en citer un exemple simple; considérons le groupe des transformations

( ./•. ri ./■ — /; t ;

il (léri\e des deux transformations infinitésimales

[.r. 1 1 £ ,/ ]. ( .r. J- — £')

que j'appellerai X, et \.. Alors, si l'on pose

on a

d'où

7n = ev_ \-= ,-,X, - ,-,\,.

a = e'''. h = ( e''

(■.> , tu iV>

— (<"'i — I ) = ( e''i — e"'t I -- - - I (■•'■i — I I -^
'•i "i ir.

Cette formule nous montre que les c sont des fonctions uniformes de u et
des IV, mais en même temps que ces fonctions peuvent devenir indéterminées;
c'est ce qui arrive quand f, et «', sont multiples de 2ir..

Nous avons dit plus haut que si une racine de l'équation de Killing était nulle
et une autre multiple de 2ir., sans que la différence de deux racines, distinctes
l'une et l'autre de zéro, devînt égale à un multiple de lir.. cela ne suffisait pas

286 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

pour que la transformation pût être effectivement singulière; mais en revanche
elle peut être quasi singulière, l'exemple précédent le prouve suffisamment.

Enfin, il peut arriver que la différence de deux racines de l'équation deKilling
soit multiple de lir.. sans que la transformation soit singulière, ni quasi singu-
lière; c'est ce que prouve l'exemple ci-dessus des rotations de 180".

Reprenons le groupe paramélrlque li ; son groupe adjoint G»; le Sdus-groupe
r défini plus haut et contenu dans G; et le sous-groupe F, qui lui correspond
dans Gj. Les substitutions de F^ sont linéaires; de plus, si le groupe G est
d'ordre r, il y a r variables, mais ces variables se répartissent en autant de sys-
tèmes qu'il V a de racines distinctes dans léquation déterminante en S. Chaque
substitution linéaire de F^ résulte de la combinaison de substitutions linéaires
partielles, chacune de ces substitutions linéaires partielles portant sur les
variables d'un seul système. C'est là, on s'en souvientrla définition même de F.
Ainsi, si l'on se reporte au tableau ( 1 ), chaque substitution de F^, se décompose :
i" en une substitution linéaire portant seulement sur i,. i», l'u ; 2" en une
subslitutii)n linéaire portant seulement sur c. . cr,, etc. Alors les substitutions
linéaires partielles portant seulement suri',, iv,, iv,, par exemple, formeront
un groupe que j'appellerai H,; ce groupe sera isomorphe à F^,, mais l'isomor-
phisme pourra dans certains cas être mériédrique. Si nous formons le groupe
adjoint de H,,, de façon à calculer les racines de l'équation de KlUing relative
au groupe Hjj, nous ariiverons au résultat suivant : Considéions le déterminant
des coefficients d'une subsliluliiui lim aire iiifinitésimali' de II3,; égalonscodétcr-
minant à zéro après avoir ajouté — (' + '') au^' termes de la diagonale princi-
pale, nous obtiendrons une certaine équation en a. Nous distinguerons ainsi
3 équations, à savoir ; l'équation (r/), c'est-à-dire l'équation de Killing relative
au groupe G ; l'équation (6), c'est-à-dire l'équation de Killing relative au
•groupe H^; et enfin l'équation en c, (pie nous appellerons (c). Nous formerons
ces é(piati(>iis poiii' une tran>fi)rmatii>ii quelinnque de G et |)our la substilulion
correspondante de Hjc

Nous trouverons alors que les racines de {c) sont quelques-unes des racines
de (a) (à savoir celles qui deviennent égales entre elles et à a pour la transfor-
mation singulière qui nous a servi de point de départ); chaque racine de (6)
est égale à la différence de deux racines de (c) (deux racines de (r) n'étant pas
nécessairement distinctes, une des racines de {b) est toujours nulle]. Or, pour
notre liansformation singulière, les racines de (c) deviennent égales entre elles
à des multiples près de iir.\ donc toutes les racines de CA) sont égales à des

NOUVELLES REMAROIES SI R LES CROL'PES CONTINUS. 2Î^7

multiples de 2 j'r, de sorte que la transformation correspondante de II^ esl
spéciale.

Les iraiisfontiatiuiis sini,'u/irr>'s i/i- G cùrrespondciit ilouc (iii.i tiaiisjor-
mations spéciales de 11^.

Reprenons : notre transformation singulière e^°, son adjointe Ao, les autres
transformations singulières r-^'o, qui ont même adjointe et qui appartiennent
comme e^» au sous-groupe F, la transformation infinitésimale r' , la transfor-
mation finie «'^ = (■"•'"e^ . qui a pour adjointe A et qui tend vers e^" quand U tend
vers zéro. Nous avons vu plus haut comment on forme les opérateurs conjugués
de V,', en formant les tableaux (2 ) et (3) et les équations (4) et (5). Dans le cas
où e^ appartient au sous-groupe Y (c'est-à-dire où 6,a = o, à moins que les deux
indices i et /,■ ne se rapportent à des variables dun même système), le résultat
peut s'énoncer comme il suil : les o/irrateurs cottjugnès de \ „ soiU les mêmes
({tie ceux de U. Il en résulte cpie Y,, et U sont permutables.

Donc, parmi les transformations singulières qui ont pour adjointe Aq, il en
existe toujours une qui esl permutable à une substitution donnée e^ (d'ailleurs
quelconque) du sous-groupe T.

Si, en particulier, toutes les racines de l'équation déterminante en S sont
égales : l'adjointe A» se réduit à la substitution identique: la transformation
singulière 1"^» devient une transformation spéciale; le sous-groupe T n'est autre
chose que le groupe G lui-même. Donc,. v/ m/; groupe G contient des transfor-
mations spéciales, il en cdiilieni une i/ui est permutable à Vune quelconifue
de ses transformations.

Ou bien considérons un groupe G; prenons dans ce groupa deux transfor-
mations t'^' et e^'. la seconde tout à fait quelconque, la première assujettie aux
conditions que ses racines de killing se comportent comme des racines simples
et que le rapport de deux quelconques d'entre elles soit commensurable ;
alors il y aura toujours dans le groupe une transformation permutable à e^^
et ayant mêmes racines pour l'équation de Killing que e'': el en effet une des
puissances de e^' est une transformation spéciale ou quasi spéciale.

VII. — Discussion des équations différentielles.

Dans le paragraphe précédent, nous avons étudié la façon dont se comportent
les fonctions i- dans le voisinage d'une tiansf'ormalion singulière, au moins dans

2.S.S NOUVELLES REMARQIES SUB LES GKOl'I'ES CONTINUS.

le cas où toutes les racines de l'équation de Killing se com|)orlenl comme des
racines simples; pour cela nous nous sommes servis des équations finies du
groupe; il conviendrait de reprendre cette étude en se servant des équations
différentielles. Nous nous rappelons quelle est la forme de ces équations; si T
étant infinitésimale on a

,.V pT _ ^V— //V

on peut expi'inier -^ en fonction des r et l'on trouve, A étant fixé.

Les A el les B sont de> fondions algébriques des r; de plus 'jj/, est l'une des
racines de l'équation de Killing el m est un entier positif qui ser.i égal à i, si,
comme nous le supposons, toutes les racines de rr-cjuation de Killing se com-
portent comme des racines simples.

Les seconds membres ne peuvent devenir infinis f|ne si o)/, est un multiple
de o-iT..

Donc, iinr Iransforinalion ne peut ilcieiiir siii<;ii/ièri' //ne si une des
racines de f équation de Killing est multiple de 'ait:. Ainsi, pour une rotation
de i8i)" les trois racines de l'équation de Killinj; sont

— /r. (). ir. :

la difl'érence de deux entre elles est 2t t: (ce qui est la condition que nous avions
envisagée jusqu'ici), mais aucune d'elles n'est multiple de 2/7:, el (;"est pour
cette raison qu'elle n'est pas effectivement singulière.

Soit cp une fonction algébrique quelconque des r: on aura évidemment. (>our
tout / fixé,

(2)

S-'-

S ir -

1 1

I

— f ''

Al -7

"l'i

^■Ê

V ^'?

^^'.Av

B' = B I -p= B, -j-^ — - . . . — B,. -~-

sont des fonctions algébriques des r. De plus, si set ses dérivées restent finies,
les seconds membres ne pourront devenir infinis que pour e^"A ^ i.

Si cette condition est remplie, ou près del'étre, on se trou\e dans le voisinage
d'une transformation singulière ou quasi singulière. Supposons donc que
1 — e~"'''' soit une quantité très petite de l'ordre de z el qu'il en soit de

NOI VELLES RKMA[\OtES SI 11 LES UHOLl'ES CONTIM S. ^Sl)

même df //, : on aura alors srnsihlemciil ( //i étant égal à i l

1-

-'•>/,

o

f soi'te que d-^ scia liui, a uioins ([uc B ne soit nul.

Les deuT» li'anslcirmations r^ et r^+''^ différeront donc d une tjuiintiti' linu'.

Cela lient a oe iju'ellcs sont inliniinenl voisines de deux tiaiislornialions sin-
gulières (,'*" el ('*"; mais rfi.v deux Iransfomial ioux dniicni /unir /m'iiic
adjointe.

Si donc 9 est un des coefficients de l'adjointe, ou une lonclion bien délei-
minée des coefficienls de l'adjointe, d<f devra être infiniment petit, c'est-à-dire
que B' devra être nul.

Supposons par exemple que w soil une des racines de l'équation de Killin^.

Si l'adjointe subil une variation infiniment petite, les racines de son équation
en .S, qui sont e"', subiront des variations infiniment petite,- et il en sera de
même de t.). Si donc on prend y = m, on devra avoir B= o. On a par suite

(3) B,i^-B.,#^- ^...-B,.^=o.

«f I ' di'., dv,.

Cette relation n'est ainsi établie que [jour (o/, = -ikiT:] mais comme les B et'jj
sont des fonctions homogènes des c, elle devra subsister pour toutes les valeurs
de o)/i.

Pour étudier cette relation chercbons à nous rendre compte de ce que sont
les B,. On a, par la formule (n ) (Païenne, p. 3.Si : voir aussi plus haut ) ( ' )

./>■,=

ti'Pii

I df ^ S '■ ''

Si nous envisageons une racine simple w/, de l'équation de Killingl'' ( £ ) r= o.
cette racine nous donnera dans le second membre un ternie

I — e-'^i'" F'(oj/, )

Si ce terme était le scid qui devienne infini quand «""* — i s'annule, les
quantités B, seraient simplement proportionnelles à P,/(w/,)6' "O"* P*^^"'i"'"n*
écrire, pour t = tj,

(') Œuvres de H. Poincan-, ce lomi-, p. lii.
H. P. — III.

290 NOIVKI.I.ES REMARQIKS SIR LES GROl'PES CONTINUS.

Mais il peut arriver que d'autres racines de Kiliing deviennent multiples
de 2/7Ï foutes les fois que oj/, est lui-même multiple de 2/r, par exemple s'il y a
une racine qui est loujour-- multiple entier de w/,, et par exemple égale à — «^.

Si nous avons ainsi deux racines égales et de signe contraire '»/, et — oj/,, il
faut envisager les deux termes

1 — e-''"'' " F'i (.);, 1 I — e'"!'" K'( — co/, 1

d'où

F'i (.)/, 1 "^ F'(_(o,, ) J

On pourrait alors se demander si la relation (4) va subsister; pour s'en rendre
compte, il faut examiner ce que représentent les quantités P,y(w/,); si les
racines de réi|ualii)n de Kiliing se ((importent comme des racines simples, il
existe /■ o|)érali urs (dits conjugués du premier ordre)

l;i'"= Zii':\, I /i = 1. ' /•).

tels que

I \ l '" I = w/, Li''"

ou

(■ ï) -iliii. l'i = '■'/, l'I-

Si nous formons le déterminant A des /•'- coefficients iij , Cf déterminant ne
sera pas nul et nous envisagerons les mineurs

-•'~ .h,';'

Nous pourrons même, sans restreindre la généralité, supposer A =; 1 . puisque
les coefficients // ne sont déterminés que par leurs rapports.

Cela posé, clierclions à déterminer deux opérateurs ^ et / satisfaisant à
l'idehlité

(6) ' (VY) = ÇY-Z-

ce qui peut encore s écrire

(7) .ni-"(0 = si';/;,-.

Sup|)OSons que l'on ait

V = /,U"'i— 2\\. ï = (0/, — ï. Z = :Z',

£ étant un coefficient constant très petit; nous aurons sensihlement. en suppo-
sant ',)/, racine simple.

ji I-"'» w/, ) = X z'i f',,1 '■>/, I.

NOIIVKM.es BKMARgl F.S SI K I.ICS (ilUII l'RS CONTINIS. )()]

On vdit aiiiM C[iie À doit tMic une tuiulinii liiiéaiii' ^io^ .",

À 1 ; , ;,

et il vicnl ( en l';iisanl tendre £ V(■l■^ zéru)

P,, (<■'/,) = l''( w/, 1>.,//J'.

Il reste à déleiininor "A; pour cela ndus avons la rt'latmn
( 0 his) { \ W j = to/, W ^ À II'" Z'.

qui se déduit de l'identité (6) en négligeant les puiNsanees supérieures de £.
Supposons rpie tous les z\ soii'nl nuls sauf jj, et que ;'^= i ; de -(irle (pie

Z'=X/, >. = )./.

Soil ensuite

Pieniarquons que la résolution des équalions linéaires

va nous donnei'

de sorte que

Z'= Xy= S.-.kD'kK

Si donc nous remplaçons dans (6 bis) \\' et Z' par leurs valeurs, il vient

■ ' I ' '

ou, en égalant le coefficient de U'''',

d'où

()= )J ---'!.

P,/( w/,~)=— F'( (0/, )-.'•„';

et

Bi = — Mi,('';ii';—-'i' II';'). .

l'indice h' étant celui qui correspond à la racine — • o)/,. Notre relation (.i.!) (qui
doit avoii- lieu (piel que soit /) devient alors

flv, ' (IVi

Mais les coefficients t'' ne sont pas proportionnels aux coefficients r','; sans
quoi le déterminant A serait nul. On aura donc séparément

' ai', ai't

■^9'* NOl Vi:l.l KS RK.MARQlliS SI» LES GHOIPFS COMIMS.

c l'St à-dire que la reliilion (4) sera vraie séparément pour li racine oj/, et pour
la r.icine — w/,, puisque les P/yifo/,) sont entre eux couinie les ii'l ei que les
P,/( — wa) sont entre eux comme les uf.

Il est aisé de démontrer la relation (4) dans des ras plus compliqués. Si |iar
exemple on avait à la fois les racines ± x el rtast, on commencerail par •
donner aux i des valeurs telles que 2 x soit multiple impair de a «r ; alors les
racines ± y. n interviendraient pas et l'on démontrerait comme plus haut les
relations { j) pour ooy,z=2j: et pour oj^ = — 2 y.. Cela fait, on donnerait aux r
des valeurs telles que y. soit multiple de atTi el Ion démontrerait ensuite aisé-
ment les équations (4) pour w/, = rha. On pourrait aussi faire directement la
démonsiration, par un |irocédé tout semblable à celui qui précède (B, étant une
combinaison de quatre termes de lu forme -'j ii'l au lieu de deux seulement).

La relation (■() estrlonc générale; elle a lieu quelles que soient les racines ',>
el WA, que ces lacines soient identiques ou distinctes (le cas de to/,= o devant
être exclu). Revenons maintenant aux équations (i), où nous supposons tou-
jours m = I .

Donnons aux c des \al(:urs qui rendent une r.icine multiple de a/rt; généra-
lement d'autres racines de\ien(lr<int en iiiénu' Icnqis multiples de :>.(';:. Soit

lu/, = niji 3.

ces racines, où ni/, est un entier posilif ou négatif el y la conimune mesure de
toutes ces racines, laquelle doit être elle-même un multiple de a/n; nous con-
tinuerons à désigner ces racines par oi/,. el nous désignerons par ',}•, K's racines
qui no deviennent pas multiples de a/-.

Si y. est 1res voisin d'un multiple de a/rr, les termes qui conlienneni au déno-
minateur une expression de la forme i — e '"'■ seront seuls sensibles; si l'on a
f*= I -I- c, on aura très sensiblement

1 — e-^'i — ni/i i
et les l'quations ( i) se réduiroiil sensiblement à

'-/'■,

dti.

ou,

en posant ////, ^= s '/.sa.

iSl

fhi.

-J' II'-

1(0/, ■

m ,,

Les r et les (/ peuxenl èlre regardés comme des fonctions algébriques des r,
de sorte que ces équations (8) nous représentent des équations différentielles

.NOl VKLLKS IIKMMIOIKS SI 11 ils (.Roi l'K- (CINTI.MS. .yj

auxquelles doivent satisfaire les f. Quelle est la >if;nifiralii)n de les é(|Mali(iii^
différentielles?

On voit que, si //s/^ est un inlininient pelit de Idrdre de r, vl |iar conséquent
(/t/i un inlinimenl petit de l'ordre de £', c/i- sera un infiniuieiil pclil de l'ordre
de Ç; de sorte que les deux transfunnations e* et f»^-^'^ difléieroni d infiniment
petits de l'ordre de Ç, tandis que leurs adjointes différeront d'infiniment petits
de Tordre de Et-, c'est-à-ilirc d'ordre supérieur.

Donc, quand les r varieront de façon à satisfaire aux é(|ualion> difléren-
lielles (8), l'adjointe de e^ ne variera pas. .Si donc nous considérons les diffé-
rentes transformations singulières qui onl même adjointe, les équations diffé-
rentielles (S') nous feront passer des unes au\ autres d'une façon continue.

Prenons encore un instant pour exemple le j^roupe des rotations, et soil

a, 5. y étant les cosinus directeurs de l'axe de rotation et \i'j l'anole de rotation:
on aura pour les équations (8 )

dv-^
ds,

:- -r- ■'-i -; — =■ — y.'\

as,

ds ;

et l'on \erra que

d'où S^const. Le point représentatif restera consi, imment sur une sphère
(dont le rayon devra être multiple de ir.) et aux différents points de cette
sphère correspondront diverses transformations qui auront même adjointe et
qui seront d'ailleurs spéciales.

Appelons ^',A le second membre de (8); l'équation (8) définit une transfor-
mation infinitésimale Sa qui change i, en i,^ dsi,\ .k- et dépendant de l'opé-
rateur

Il importe de remarquer que les opérateurs Sa ne forment pas un groupe de
Lie, comme on pourrait le croire, mais les opérateurs

où <t> est une fonction arbitraire des r, forment un groupe continu d'ordre injiui.

±1 ^3-._.,:.

di.

ds^ ' ' ' '

ds,

dv.

di-.

ds.

ds.

rf.,

dv.

ds-, ~ '■■

ds;

'294 NOIVKI.LES RKMARQl i:S SIB LKS GKOl PES CONTIMS.

La condilion pour qu'il en boil ainsi, c'est que l'on ait

19 ' ( S,S<. I = 2<!>/<.,S,.

les <t>yA.5 étant (ii;s fonctions d(!S c. Pour le montrer, considérons un opérateur T^
du groupe G; on ohtiondra l'opérateur correspondant S/i en multipliant' Ta par

et faisant tendre ensuite les r vers des limites telles que £ tende vers zéro. On a
alors

(,)r le criichet (sT*) est une fonction des c et si, par exemple.

T V "ff

"C,

on aura

le crochet (sTa) se préseule couinie une .sini|jl(_' tonction de> r, où ne tigureul
pas lesdéi'ivées -j-- La relation (10) est donc bien de la forme (()) en prenant

<l',</= £(■//■/— ( eT/- 1. */*<■= ec/i-A-— ( = T/ 1. c. y. F. D.

Ce résultat établi, vovons quelles en sont les conséquence^. Dans l'espace à
/• dimensions, considérons un point r,, Cj, ..., i'/, tel que x soit multiple
de 2 17:; je l'appelle Mo- Prenons ensuite l'équation (8), pour chaque valeur de /.
elle définira une famille de courbes telle qu il en passe une par cluuiue point
de l'espace à /■ dimensions. Nous aurons donc ;• familles de courbes

1-,. K,. .... F,
corresponijaiit aux \aleurs

k = u k=î k = r.

Par Mo je fais passer une courbe C| de la famdle Fi ; par chacun des points
de C| je fais passer une courbe de la famille Fo ; l'ensemble de ces courbes
engendrera une surface Co, par les divers points de cette surface Cj je fais
passer des courbes de la famille F3 qui vont engendrer une variété C^ à deux
ou trois dimensions, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'enfin parles divers points
de la variété C,- 1 je fasse passer des courbes de la famille F, qui engendreront
la variété C,- qui aura toujours moins de r dimensions.

NOU\KI.LKS REMARQUES SIR LIS (JROUPES CO.NTIM'S. 'ili

Comme les opérateurs ^S/, formonl un groupe, celte xariétéC,- sera inaltérée
|)ar les transformations S^, ce sera iiii invariant pour les équations (<^); elle
représente donc le lieu des points r,, r^, . . . , i , f[iii correspondent aux diverses
transformations singulières admettant une même adjointe.

Or le déterminant des tjJ' n'étani pas nul, nous pouvons déduire des équa-
tions (iS) certaines relations linéaires entre les c/r,, relations qui peinent s'écrire

les quantités

correspiuideul aux // riK'iiies m/,

'A-,

"(.'

qui (levieniienl siimillanéiuenl miilliples de -iiT:.

Le tableau (i i ) a plus de colonnes que de lignes, et il faut entendre fjue tous
les déterminants obtenus en supprimant un nombre convenable de colonnes
dans le tableau (i i") doivent être nuls à la fois. Cette équation (i i ) délinit le
plan tangeiil à la variété C,-, et ce " plan langenl ■■ est une variélé plane ayant
autani de dimensions ipie C, ; or il en a />.

Donc le nombre des dimensions de C, est égal au nombre p des racines qui
deviennent simultanément mulli[iles de y.ir.: et les transformations singulières
qui admettent cette même adjointe sont au nondire de oo/'. Si une seule racine
devient multiple de :>,in, la variéli' C, se réduit à une simple courbe.

Au sous-groupe V du paragraphe précédent correspond dans l'espace à
/■ dimensions une variété plane passant par l'origine et qui doit ronlenir la
variélé C;-.

Jusqu'ici nous avonsî supposé tpie les r n étaieul assujettis qu'à une seule
condition; de telle façon que, seules deviennent multiples de a/'r diverses
racines dont le rapport est constant et comniensurable, à savoir celles qui sont
égales à une certaine fonelion des r, que nous avons appelée et, mnlllpliée par
l'entier ni/,.

Considérons niaintenanl les racines qui s(Uil de la forme

(.)/, = /II/, y.

".)'") \OliVEI,l,KS llliMARQI i;s Sl'R MiS liUOtCES CdNTIMS,

X et (j sont (Jeu\ tondions déterminées des i'; m/, et ti/,. indépendantes l'une de
l'autre, sont des entiers; nous appellerons colles racines qui ne sont pa;- de cette
forme. Si nous donnons aux i- des valeurs telles que :z el (3 soient multiples
de ain, il en sera de même de loules les racines w/, et nous obtiendrons une
nouvelle naléf;orie de transformations sinffullères. Soit

; el ; étant très petite, les équations ( i ) ?e réduiront sensiblement à

(1.4)

avec
(.8 bis)

dv,

y

oj/, -Jj^ ii'l

dt.

"/,=- -*- "/, ^

?

dvi
dfk

ni,,i — ni,'.

di-,

dsn

dVi

dsu

= <'';■

opérateur

S,,=

^"ff

On aurait ainsi défini V

qui correspondrait à une transformiilion infinitésimale ciiangeanl e, en

Ici encore le> opTiateurs S/, ne forment pas un groupe, mais les opéralcurs <1>S/,
cu"i <I> est une foiiclion arbitraire des r, forment un groupe continu d'ordre
infini; nous trouvons en effel, en résolvant les équations (i) par rapjiort aux u''
el aux u'j

les Xk,h étant des fonctions des e dép(^ndanl des indices / el //, mais indépen-
dantes de l'indice /, ou bien encore

Sa=(i — c-«'v)i;A<-,/,T/..

En se serviinl de cette formule [par un raisonnement analogue à celui qui
piécède et où intervenaient les équations (()) el (n))], on élablirail que les 'l'S/,
forment un groupe et l'on en conclurait que les équations analogues aux équa-
tions (il)

1 1 1 bis )

rfl'l rfl'j . . . dvr
u'! u'.\ . . . II'.':

NOUVKl.LKS llliMAIlOlIKS SLR LES GROUPES CO^■Tl^•l;S. 297

OÙ h prend /) valeurs distinctes s'il y a p racines qui deviennent multiples
de 2 «71, où par conséquent le premier membre est un tableau à r colonnes et
p -\- I lignes, on en conclurait, dis-je, que ces équations définissent une variété
qui n est autre que C,- et qui a précisément p dimensions. Ce seraient donc les
mêmes résultats que dans le cas simple examiné d'abord.

Considérons par exemple le groupe lin('aire fractionnaire à deux variables

[ax
J-. y: — —
a ./• -

by

■ b'y

b"r

b"y -

^]

11 est d'ordre 8. Si a, 'p. y sont les trois racines de l'équation

a

a"

h

les huit racines de l'équation de Killing sont
Si l'on a

<i. y. — j. X •

y.. j — "',

(je veux dire par là que x est égal à 3 plus un multiple de a/n). on aura

3( — ,3 = ri — 2 = 0

et 1 on aura une première famille de transformations singulières, la variété C,
étant à deux dimensions. Si l'on a

toutes les racines non nulles sont multiples de 2 ( tt et l'on a une seconde famille
de transformations singulières, d'ailleurs spéciales, pour lesquelles la variété Cr
est à six dimensions.

VIII. — Cas des racines multiples.

Dans les deux paragraphes précédents, nous avons toujours supposé que les
racines de l'équation de Killing se comportaient comme des racines simples;
qu'y aurait-il à changer s'il n'en était pas ainsi? L'adjointe A,, ne pourrait plus
en général être ramenée par un choi\ convenable des variables à la forme du
tableau (i) du paragraphe VI. Elle peut toutefois être ramenée à une autre
forme canonique.

H. P. ~ ni. " 38

•i.ljS NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

Considérons le groupe des substitutions linéaires permutables à A,,.

Le groupe commun à ce groupe et au groupe adjoint s'appellera l\: de
sorte que les substitutions de T^ feront partie du groupe adjoint et seront per-
mutables à Ag (qui est par défînititm l'adjointe de e^", r^", . . . ), mais pourront
ne pas l'être aux adjointes de e*^", e?*°. .... Le groupe paramétrique (j étant
isomorphe à son groupe adjoint, au sous-groupe F, du groupe adjoint corres-
pondra dans le groupe G un sous-groupe que j appelle ï.

11 est clair alors f[ue f^^ ", i-^^'". . . . feront partie de F, de sorte que ce sous-
groupe joue bien le même rôle (|ue le groupe du même nom dans le para-
graphe ^ I.

Soit alors c'~ uue Iranslormatuin inruiit<Mniale (Hii'lciiii(|iii' du gioupe d;
posons

e^ aura une adjointe A très peu dillénnte de A„ : (piand V tendra vers zéro.
V tendra vers un certain opérateur \ „. et A vers A,,, de sorte que la Iransfor-
malion limite e^" aura pour adjointe A,,.

Quand on connaît la fagoii dont Lî tend vers zéro, les opérateurs conjugués
de N'i, se trouvent cntièiement déterminés, et il en est de même de \ ,, lui-inètiic.
Cela se verrait par une analyse toute pareille à celle du paragraphe VI. Si en
particulier e^^ fait partie de F, le résultat s'énonce très simplement ; les opéra-
teurs conjugués de \ , et à la limite ceux de \ „, sont les mêmes (|ue ceux de L .
En effet, si /'^ fait partie de F, son adjointe B est permutable à A„ ; je dis à A,, et
non à l'adjointe de (?**•.

Cela veut dlrr ijur les deux substitution^ linéairis A,, et B [à r v, niables)
admettent des si-rifs régulitncs communes com|)renant ensemble /■ combi-
naisons linéaires (indépendantes entre elles) des varialdes. Et cela (tu moins
d'une manière t^rj . § I, //( fini'). Ces séries aj)partiendront également à leur
résultante

Elles nous ilmuieronl doue les ojx'rateurs conjugués de e^ (pu seront les
mêmes (|ue ceux de c^ .

Nous ne restreignons pas la généralité en supposant que r' iail partie de F;
je veux dire (|ue si e^" est la limite de

[K)ur y.=zo. e' ne faisant pas partie de F, nous pourrons trouver une substitu-

NOUVELLES REMARQIES SUR LES GROUPES CO.MIXliS. •M)!,)

tiou f'' falsiiiil partie de F et telle que c^" soit également la limite de
11 suflii en elTet de prendre Ll':i= V,,; car

gV(, gav,j ^ (jia-t-i iV 0 ^

puisque ces deux transfurmalinns ont même adjointe et ne sont [)as singulières;
et |)onr a ^ u il reste ,

Supposons maintenanl

e^ " = lim p^» 1'^^ :

(^^ ne taisant pas forcément partie de P, faisons varier Ij d'une manière continue
et de façon à le faire revenir finalement à sa valeur initiale; dans quelles condi-
tions les ditïerentes déterminations de A „ |)ourront-elles s'échanger? Les coef-
ficients de l'adjointe de e^'e*"^ sont des fonctions uniformes des ii, ils devront
donc revenir à leurs valeurs initiales; il en est donc de même de V ensemble
des opérateurs conjugués de \ „ ; ces opérateurs conjugués [)euvent seuleuieiit
s'échanger entre eux; les racines de ré(|uation de Killing d autre part n'ont
pas varié, car elles sont restées égales aux logarithmes des raeines de r(M|iiatioii
en S de l'adjointe A,,.

Soient alors r"' et ''"' les valeurs Initiale et liuale de c^'; les racines de
l'équation de Killing de 15,, seront slors f.),, ',hy. . . ., oi, correspondant aux opé-
rateurs conjugués "/,, Ài, .... "/,, ; les racines de ré(|uation de Killing de B,
seront encore w,, '.u, ..., oj,-, correspondant aux fipérateurs conjugués y.,,
ij.-^, . . . , /jt, qui ne seront autre chose (|ue les opérateurs /.| . Âo, . . . , À, , dans un
autre ordre.

L'ensemjjle des opérateurs conjugues élanl les mêmes pour e"" et pour e"',
ces deux transformations sont permutahles et si nous considérons la transfor-
mation

,,/iii„-.- 1— /i iii^

où /) est un nombre ^irliilraire, celte transformation ([ui fait d ailleurs partie
de l" a mêmes opi'rateurs conjugués (jue (?"" et cjue c"'; (|uand nous ferons
croître h de|Hiis u jus(|u'à i , les opérateurs conjugués ne changeront pas, et les
racines de l'équation de Killing varieront d'une manière continue; la transfor-
mation se réduit pour // = o, à e"' et elle admet jiar consé(|uent les racines to,,

OJ.J. . . ., '.), cf)rresponilanl aux opérateurs y,, [j.^ /j, ; pour // = i , elle se

réduit à c"", les opérateurs sont restés /jti, [j.j, . . ., ;/, , (;t les racines sont deve-

ioo NOUVELLES REMARQUES SUR LES GHOIPKS CONTINUS.

nues C0|, (o.,, . . . , oj, . Gomme nous sommes revenus à la transformation initiale,
les racines w' ne sont autre chose que les racines m dans un autre ordre, de
même que les pi ne sont autre chose que les À dans un autre ordre; la corres-
pondance entre les racines et les opérateurs doit être rétablie, de sorte que
c'est la même permutation qui fait passer des w aux &>', et des 1. aux /j..

Ainsi donc, nous sommes partis de r^' et nous sommes allés à c"' en faisant

et faisant varier (J d'une manière continue comme nous lavons dit ; puis nous
sommes revenus de c^' à f"" en prenant

(j/;tl„-.- I— A 11,^

\(i(ic liiinsjorniiil inn n ii /itninis cessé th' /nin- /lurl ir de V <■/ les vannes
lie I' i'(funti<ui de Killin<; se sont permutées .

A tout échange entre deux déterminations de \ ,,, correspond donc un
échange entre deux racines de l'équation de Killing relative au sous-groupe T.
Je veux dire rc(|ualion obtenue en égalant à zéro le déterminant caractéristique
relatif à ce sous-groupe; cette équation est de degré ;■ et il ne faut pas la con-
fondre avec l'éfjuation de Killing du sous-groupe, obtenue en égalant à zéro le
déterminant caractéristique du sous-groupe, et dont le degré est égal à l'ordre
du sous-groupe. Pour ces distinctions, voir Cartan, Tlièsc inaui;iirale, p. 28.

RéciprO(|ueinenl, si deux racines de cette é(|uation s'échangent, deux de>
déterminations de \\^ s'échangeront, sauf une restriction sui' liu|uelle nou>
reviendrons.

Reprenons ré(|uation

g t (I ^ ^ Vq ^J JE l

et supposons maintenant (jue e^ fasse partie de 1"; alors les opérateurs conju-
gués de U sont les mêmes (|ue ceux de \'„. Si deux racines de U s'échangent,
les opérateurs conjugués correspondant^' de l s'échangent également, de sorte
que deux opérateurs de V„ s'échangent.

Si les deux opérateurs de \ j, qui s'échangent ainsi correspondent à deux
racines de l'équation de Killing de V,, (ou ce qui revient au même de V,, ) cjuine
sont pas égales, deux déterminations différentes de \\ se seront échangées. Tl
est clair d'ailleuis que si ces deux racines ne sont pas égales, leur dillérence doit
être multiple de 2/7:, puisque ces deux déterminations diftérentes de e^" doivent
avoir même adjointe.

NOt VKI.LFS REMARQI ES SIB LES GIIOI PES CONTINUS. 'iol

Soit F(£, t',. i2, ■■•, 1;) le premier memhre de l'équalion de Killing. Le
sous-groupe F est caractérisé par un certain nombre de relations linéaires entre
les (•; à l'aide de ces relations, on peut exprimer les v en fonctions de m d'entre
eux, par exemple de i , , i..., . . ., i„,, m étant l'ordre du sous-groupe F.

On aura par exemple

les a étant des fonctions linéaires de i,, vn, .... v,„. Nous nbliendrons ainsi
l'équation

qui est Vi'qiKtlion de Killing relative au saus-grùupe V et dont le premier
membre est homogène de degré /• par rapport à

Si le premier membre se décompose en facteurs linéaires, il est impossible que
deux de ses racines s'échangent entre elles; et par conséquent que deux déter-
minations de ^^' s'échangent. La transformation ^^' est .seulement ijuasi
singulière.

Supposons au contraire que le premier membre ne se décompose pjs en
facteurs linéaires el soit

un facteur irréductible non linéaire, homogène d'ordre y piir i-.ippoil à ; et
aux r.

Il est certain alors ([ue les racines de <I' =; o sont susceptibles de s'échanger
entre elles.

Alors plusieurs déterminations de \^ s'échangeront entre elles et c^- sera
effectivement singulière, à moins que les racines qui s'échangent ainsi entre
elles ne correspondent à des racines égales de ^ '„ (ou ce qui revient au même
de V o). Soient alors

'■.= "V- '■.= '■!! 0„=c)l,

les valeurs des r qui correspondent à \ „ ; alors r^ ^era ed'ectivemeul singulière
à moins que

H i. i- . !•;

ne soit une puissance yo"""*^ parfaite.

Si ^(ç, ('") ne se léduit pas à une puissance />'"""' parfaite, e^ admet plusieurs
déterminations susceptibles de s'échanger, d'où il suit que le groupe G cimtient

^Oi NOIVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

certainement des Iransforniations spéciales. Ces considérations s"appli(|uent
également au cas du paragraphe VI et nous font comprendre les relations enlre
les équations en ct de ce paragraphe, et les facteurs de l'équation de Killing
relative au groupe T.
Reprenons ré(|ualion

nous voyons que ^*' et e'i^''" sont permutables. Donc, parmi les transformations
singulières qui ont pour adjointe Âo, il en existe toujours une qui est permu-
table à une subsliuilion donnée r' (d'ailleurs quelconque) du soiis-groupe F; et
si un groupe (j contient des transformations spéciales, il en contient une qui
est permutable à l'inie que!ci)U(|ue de ses transformations.

Eludions maintenant li-s transformations sini;uliéres en parlant des équations
did'érentielles

du paragraphe \ II. Dans le cas du paragraphe \ II, lonles les racines se coni-

porlant comme des racines simples, l'exposant tn élail loujours égal à i . Ici nous

examinons le cas où toutes les racines ne se cuiii|ioricnt pas eoninie des racines

simples.

Supposons par exemple que oj/, se comporte comme une racine triple, alors

l'exposant m pourra prendre les valeurs i, \i el .1, et les termes du second

membre de|i). ipji contiennent au dénominateur une puissance de i — e"'"'',

puniront s'écrire

H/ Ht li;'

Il s'agit d'étudier la forme de B,', B7 el B;'. -Supposons, pour (ixer davantage
les idées, (|ue la racine ',>/„ tout en se comportant comme une racine triple,
soit quintuple et (]ue les opéraleurs conjugués correspondants soient au nombre
de cinq, à savoir : deux iln |)remier ordre

Lï,= 1»,' \,. \V,= Sic; \,:
deux du second ordre

L,= i:«;'\,. w., = i:uf\;.

ayant respectivement pour dérivés U( et \\ , ; el un du troisième ordre

ayant pour dérivé \ ;\ il est aisé de voir alors que les B sont de la forme sui-

NOl VELLES REMARQUES SI B LES GROUPES CONTINUS.

vante :

h;' = 7.1.11; .

■;/."',

' ",- — ",'/";

%"■' - i^^"f-

les ^A, les Sa et les /a étant des fonctions algébriques des r, dépendant de
l'indice A" mais indépendantes de l'indice /.

Cela posé, reprenons l'équation (2) du paragraphe \ Il

(■i)

Si <p est un des coefficients de l'adjoinlc et si, en paiticulier, c'est une des
racines de l'équation de Killing, on verrait comme au paragraphe \ 1 1 que -jj doit
rester fini quand e""- devient très voisin de 1 et par conséquent que B' doit èln-
nul. On en conclut, si ',> est une racine quelconque de l'équation do Killing,

</v, ' ,lv, '

,lv, '

-1- "r = "•

Ce sont là des équations tout à t'ait analogues à l'équation ( /j ) du para-
graphe \ 1 1 .

Si donc M est \\\w ratine quelconque de l'équation de Killing, et si

est un opérateur conjugué quelconque de \ (^cet opérateur peut être d'ordre
quelconque, et se rapporter à une racine de l'équation de Killing (juelcontpie,
la racine zi-ro seule c.Tccjtlèr . distincte ou non de w), on uLii-a alors

(3)

'"TU:.

7h,.

et celte équation sujjsisto (juand on \ reniphice m }>ar un coefficient (pielconque
de l'adjointe.

Soit alors C la variété foruK'e pai- les divers points e,, t\,, . . ., v,. qui corres-
pondent aux diverses transformations r^ admettant une même adjointe sin-
gulière A,,. Cette variété satisfera, d'après ce qui précède, à une équation
difl'érentitdle

1 41

ii\ II',

II] llr,

,/r,

II',:

Jo4 NOUVEI.LtS HKMARQIIS MH LKS (;IIU11PKS COMINI S

loiit à fait analogue à l'équation (i i) du paragraphe VII. Soil C, l'une des varii-iés
définies par celte équation diflérenlielle ; elle |)eut ne pas être identique à C: il
peut se faire que le nombre des dimensions soit plus petit pour les variétés C,
que pour la variété C; que par chaque point de C passe une variété C^, de telle
façon que C soit engendrée par une infinité de variétés C,- de la même façon
qu'une surface l'est par une courbe mobile. Les p opérateurs

Sm/X,-, 2m?X, SwfXi

sont les divers opérateurs conjugués du premier ordre de \ correspondant à
celles des racines de l'équation de Killing qui deviennent simultanément mul-
tiples de 2 4 7;. Le nombre p est donc égal au nombre de ces r.icines sans tenir
compte de leur degré de multiplicité.

Il resterait à montrer que cette variété C, a précisément p dimensions; et
pour cela il faul démontrer que si l'on forme les p opérateurs

<L .,. <L „ .A <L

les différentes transformations infinitésimales

(111 ti> esl une fonclion arbitraire des c, engendrcronl un groupe continu d'ordre
infini.

C'est ce que l'on verrait par un raisonnemeiil analogue à celui du para-
graphe VU.

IX. — Le groupe des W ,.

Nous avons trouvé (Païenne, p. 33r) (') quelle esl la forme des opérateurs
fondamentaux du groupe paramétrique. Celte forme est la suivante :

L'intégrale doit être prise le long d'un contour quelconque enveloppant
toutes les racines de l'équation F(;) =o. Ce contour peut être décomposé en
contours partiels, enveloppant chacun une des racines, ce qui permet d'écrire

XK/)=£X,(<o,/},

( ' I Œuvres de H. Poincaré. ic tome, p. 233.

NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 3o5

X,(fjj,y) élanl la même intégrale prise le long d'un contour enveloppant seule-
ment la racine ? ^ tu.

Examinons séparément chacun de ces termes, et d'abord X,(o, /). Si E = o
est racine d'ordre p., on peut poser F(t) = ^i^F, (Q et développer ensuite suivant
les puissances de ^

= Ao+ A, Ç -;-...,

P.7

B„-i-B,Ç

1^ V

p

Nous remarquerons que Aq, Ai, . . . sont des nombres; que -j^ étant une

fonction rationnelle homogène dordre y. — i par rappoit aux r et à ;. B, sera
homogène d'ordie p. — i — i . On trouve d'ailleurs

(?.) X,Co./) = 2-^( A„B^._,-- A, B„._,--. ..+ A|,_,Bo).

On voit que X,(o,y') est une fonction rationnelle des r.

Un cas particulier intéressant est celui où les [j. racines qui sont égales à zéro
se comportent comme des racines simples. On a alors

>;-("./) = 2 -^B[._,.
Passons maintenant à X,('jj, /). Si u est racine simple, on a simplement

I 3 ) \,( <•>. / I = - Th-, 7^ •

I — e~'^ r ( w ) rfc,

Si (o est racine multiple, d'ordre' p., nous pouvons écrire

•/=v-- '
('i/>is) X.,.((.j.y)= 7 l.l,,i o) it!,/.

7 = 1)

où Ry est une fonction rationnelle des r et de oi (algél)ri(|ue |)ar conséquent par
rapport airx t) et où l'on a posé

On remarquera fjue Onf',.), \),j(r,)) et enfin X,(fj), /) tendent vers zéro pour
tiJ = — ce.

On voit en outre que X,(/') est le quotient de deux fonctions entières par
rapport aux r; au contraire, chacun des termes \,(w,/') n'est plus une fonction
H. P. — 111. 39

3o6 NOUVELLES HEMARQUES Sl'R LES GROUPES CONTINUS.

uniforme des c; c'esl une fonclion rallunnelle des c, de oi cl de la transcen-
dante e"'".

Maintenant X,(/') doit satisfaire aux relations de structure

(4) ^ (X,X,) = 2f//,..X,

et nous dcviins reclierehcr quelle est la forme du premier membre: on aura
évidemment

la sommation devant être étendue à tous les couples de racines oi^. '.ly. Quelle
est la forme de (X^X^')? On aura

.- ,/\{' ,/\'f, ,/\'i' d\l

Oi' si l'on se rep(U'tc à la lormule (3 liis) ou voit que l'on aura encore

V=iJ.~l

R et R" étant comme R,^ rationnels en c et o)/,.

Dans le cas (u'i oj^,= o. les dérivées de \(' sont rationnelles par rapport
aux f.

On conclut de là

(5) (Xf X'i) = SR^s DJco,,) l);ii <o,/ ,).

l(;s ï{y,ifi étant rationnels par rapjiorl aux r, à ',ip et rj:>q\ quant à c. et (3 ils varient
de o à [ji. et de o à p.', /a étant l'ordre de multiplicité de is)/, et p.' celui de co^; la
combinaison a ^ p, p = p.' étant d'ailleurs exclue.

J'ajoute que R^ est homogène de degré '/ + i pai' rapport aux r et auxw;
que par conséquent R' est de degré q -h i , Pv" de degré ij et H^i de degré
a -(- (3 + I . J'observe encore que les équations [?> bis) et ( .j ) peuvent se mettre

NOl'VELI.ES KEMAROIKS SIR LES GROUPES CONTINUS. 307

SOUS la forme suivante :

(.5 6(-.0 (X?XX) = SSafi.

les S étant des fondions rationnelles, non lidniogènes cette fois, des r et des w.
L'équation (4) peut encore s'écrire

(,\bis) s(xr\n = sc,7,,,x';,

les sommations portant sur les indices ji, q, s. Elle doit devenir une identité
quand on j remplace \f et (X^'X'/) par leurs valeurs (3 trr) et (5 bis). Parmi
les termes des seconds membres de (3 ter) et (5 6i'.s), nous distinguerons trois
catégories :

i" Ceux qui ne dépendent d'aucune transcendante; ce sont ceux ([ue l'on
obtient dans (3 ter) si w^ = o, ou dans (5 bis) si 00^= 01^= o.

2° Ceux qui ne dépendent (|ue d'une seule transcendante exponentielle; ce
sont : a. les termes de (3 ter) où w^, o ; b. les termes de (5 bis) où l'une des
racines o),,, oi^ est nulle et l'autre dill'érente de zéro ; c. les termes de (.) bis) où
le rap[)ort des deux racines oj,, et w^ est une constante commensurable.

3" Ceux qui dépendent de deux transcendantes exponentielles. On les ren-
contre dans (5 bis) ipiand le rapport — n'est pas une constante commensu-
rable.

Ciimme quelques-uns de ces lermes ne soni pas susceptibles de se réduire
avec ceux des autres catégories, on est conduit à certaines relations (pie nous
allons examiner.

Pour cela, nous répartirons les racines co en groupes, en réunissant les racines
dont le rapport est constant et commensurable.

Soient

les diverses racines d'un même groupe, les k étant des constantes commensu-
rables et oj^ une fonction des r. En général, nous supposerons que /. , -= 1 et
(|ue 'itp est elle-même une racine. Soit

\''i^ \l\Ml,.f ) = \,(Â-,(0,,./) — . . .-I- X,( /.-/, w,,./).

Nous devons encoi-e faire une autre distinction : les rapports /. , , /.j, . . ., /./,
sont par lijpothèse tous réels et commensurables, mais quelques-uns d'entre

3o8 xouveli.es remarques sur les groupes continus.

eus peuvent être négalifs. Supposons par exemple A' <i o. Nous avons vu que,
quand u tend vers — oc, les expressions D^((,j) tendent vers zéro. Considérons
maintenant

et faisons tendre oj^ vers — co. Alors D^ tendra encore vers zéro si ij > o, mais
Do tendra vns i. Soit alors, d'après la formule (3 6;*),

nous poserons

( 6 I X , (■ /,- (.),_, . f I = N / 1 /.■ M,, . / 1 — X ", i k M,, . f }

avec

Si /, est positif, je conserverai la formule (6), mais je poserai

x;\At.)/,./) = o.

On voit que dans lous les cas X" est alj;éljrique. *t que \ • tend vers zéro
pour 'j)p= — 00. Je poser.ii ensuite

zf= z,(to,,. /) = S x;i /,,.,,,./).

vr= Zf-i-Tf

(les sommations pnrlant sur les diverses valeurs attrlbuahles au nombre /■), de
sorte que Zf lende vers zéro pour ru^, = — oo et que T'/ soit algébrique. On
observeia que cette décomposition peut se faire de deux manières. Et en
effet, nous pouvons faire jouer le rôle de ',)/, à la quantité — tjip, ce qui revient
à changer les signe> de toules les conslanles /, . On trouve alors

\i( kt.,,,./ ) = x,i (— /.-) (— (.)/, I. / j = \;i I— A- ) (— <o/, ). / 1 ^ x';[ (— /. I (— Mf, ). f].

X';( koy. f) + X:[(- k) (- .>,,), /] = K„.

z,- (- \.,, . /) = s x; [ (- A- ) (- <o/, ), ./• ].

T/(— CO/,. /) = i; \"i\(- k ) (- to/, I. ./• 1.
Vf = Z, (- w/,.. /• I + T,i -<.,/,. /..

Adoptons une fois poui' toutes l'une ou l'autre de ces deux décompositions;
et jiosons encore

z,"=x,.(o./)-!-i:Tr.

d'où

(;; X,(/) = Z,''--2Z?.

NOUVELLES IIEMARQIJES SIR LES GROUPES CONTINUS. ■:ioi)

les sommations s'étendant aux divers groupes de racines, caractérisés par la
quantité '.i,, (qui ne diffère des racines du groupe envisagé que par un facteur
constant) ou plus simplement par l'indice j».

Envisageons le second membre de (7); nous voyons que Z" est une fimclion
algébrique des r, et (jue chaque terme Zf dépend d'une transcendante unique
e~"(' el tend vers zéro pour '.1^ = — 00. Il est clair tpie \, ne [teut être décom-
posé ifitc fT une seule manière en une somme de termes Siitistaisant à ces con-
ditions. Il vient l'usuite

(8)

(Xi\i) = i;(z?zi'j,

les indices p et >/ |iouvanl prendre sous le signe — toutes les valeurs possibles,
y compris la valeur zéro. Les divers ternu^s du second membre de (S) peuvent
être algébriques (si yo = ry^o), ou dépendre d'une transcendante unique
(si /) = o, ou (j = o, ou p =^ (/). ou dépendre de deux transcendantes r^"V, e~'"'K
Geux qui dépendent d'une ou de deux transcendantes tendent vers zéro, quand
l'une ou l'autre de ces transcendantes tend vers -|-co. Ici encore celte décom-
position n'est possible que d'une seule manière.

Si alors dans l'équation (4) nous remplaçons (X,\/,) et X, par leurs valeurs

(8) et (7), les deux memljres de cette équation se trouvent décomposés en
termes satisfaisant aux conditions que nous venons d'énoncer.

En faisant dans cette équation (9) toutes les transcendantes e^'"i' infinies, il
vient

(9) ' (z,"z!;) = i:c,,,z«.

L'équation (9) nous apprend que les opérateurs

définissent un groupe isomorphe au groupe donné.
Etudions le groupe des 'L"{f): nous axons

X,(o,y") nous est donné par la formule (2), et nous en concluons que c'est une
somme de termes rationnels el homogènes de degré

par rapport aux e [y. est le degré de multiplicité de la racine o); le terme de
degré o subsiste seul si les diverses racines nulles se comportent comme des

3lO NOrVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

racines simples. Quant aux Tf , ce sont des sommes de termes de la forme Ro ;
ils sont donc algébriques et homogènes de degré i par rapjiort auï i-.
Je puis écrire alors

z? = u;'-u/+...+ u/-,

llf étant homogène de degré A'.
De là les identités

(iiruif)^(u;ur')-...^(urui-)-(L'n)°,) = so/,-.at-' <>-. ^ i),
' ( Vf uï) - (u; Lir) +. . .- (ur' ui) -^ (ur-Li",) = .. , .x - , > x».

En |iartiriiliei', si les racines nulles se comportent comme des racines simples
(ou tout au plus comme des racines doubles), on a ), = i , d'où

|(U?U?) = o,

( (u;ui) = 2:c,uj;

ce qui montre que les opérateurs U] définissent un groupe isomorphe au
groupe donné.

Pour aller plus loin, reprenons les relations de structure, lu'i figurent, comme
nous rav(in> vu, à côté de fonctions algébricjues des r, un certain nombre de
transcendantes indépendantes c~"i'. Dans ces relations, remi)laçons chacune
des transcendantes ('~"'i' par lpe~'^p; Ip étant une constante quelconque, ces
relations ne cesseront pas d'être satisfaites.

Soient donc

ces relations. Soit \V, ce que devient X, q\iand on y change f^'V par '/.pi:'^'''r.
J'observe :

I* Que le crochet (W,W/i) n'est autre chose que ce que devient le cro-
chet (\,X/,) quand on y remplace e"^"/' par lpe^"'r. En effet, on a par définition

. -. .. , ^. rfX, r/X/. d\, d\,,
( A; A/, ) = -/i -j j j j )

«'•/, (fp/i dph dvu

( W , W /, ) = i./, -j — -j -j -i — ,

di-h dpi, dpi, dvi,

en écrivant |ionr abréger pi, au heu de -f- •

Cela posé, observons que X, dépend des c de deux manières; d'abord algé-

NOIVELI.ES REMARQIES Sl'll IKS GROl l'ES CONTINUS. iu

hriqueineul, eu>uite par l'iuteinifcliaire dus exponentielles /'-'"/■; c'est ce que

j'exprimerai en écrivant

\,= !•;(>/,. 17,, e-"/.),

F, devant être une fonction alj^tibrique de> p/,^ des 17, et des .1,, =:r^"V. On a

alors

\V,= F,i>/,. .7,. À,, e-""!-).

Il vii'nl alors

>/X, _ ^ _ V <^ I 'H:
-r/(7, ~ e*r/, " c/J,, '' f/17, '

en représenlaiit par des () les dérivées prises en regardant les c^ et les J^, comme
des variables indépendantes. On a de même

d'où

■ ' '''^^{di',, dp,, ,hi, dp,,) ^'"'' d^-,\di,, dp,, ,)},. dp,,)'

' '' "\ài',, dp,, di,, dp,,/ ''dv,,\d};, dp,, di,, dp,,)

On voit que la seule dillerence entre les deux crochets (X,X/,) et (^^ ,^^ a),
c'est que dans le premier on doit tairi' Jp = r^''V et dans le second J/,= ).pe~'^p.

2° La relation (\) a ses deux membres algébriques par rapport mm j),,, aux {/,
et aux transcendantes S p =1 ,'^'''i' . Elle doit donc être une identité cpiand on y
reganle les fi,,, les c/, et les ,1/, comme des variables indépendantes.

Elle doit donc subsister tjuand on y fait J^, = /.^e""/', c'est-à-dire ([ue l'on a

(WiW,,) = i:c,7,,,W,,.

En d'autres termes, les npi-ratcurs \Y ,■ engeiiflrcrnul un i;r<iupe isamni-phc
au groupe des Z,.

Pour bien préciser le résultat obtenu, supposons par exemple qu'une
racine W3 soit égale à la somme de deux autres oj, -4- 'jj. Alors les trois transcen-
dantes

Ji = e-"s J. = e-™'. J;i = e-'»"

ne scuit plus indépendantes. Si l'on veut les remplacer par

les constantes À, et ?.. peuvent être choisies d'une manière quelconque; mais il
n'en est pas de même de 1 %, qui est assujettie à la condition

/.., = À, À,.

3r2 NOUVELLES REMARQLES SLR LES GROUPES CONTINUS.

Le groupe des A\ ; contient des cas particuliers remarquables. Si, par
exemple, on suppose que toutes les constantes >. sont nulles, on tombe sur le
groupe engendré par les Z" ; si on les suppose toutes nulles, sauf /.^ que l'on
fait égal à i, on tombe sur le groupe engendré par les opérateurs Z" + Zf .

On a vu aussi que la définition de Z|^ peut être modifiée si l'on fait jouer le
rôle de Wy, à — Wp. Si Z," est ce que devient Z" par suite de cette modification,
le groupe des Z}" est encore isomorphe au groupe donné. Mais il rentre encore
comme cas particulier dans le groupe des ^\ ,■; il suffit de faire tous les ). nuls,
à l'exception de t./, que l'on suppose iiilini.

Le groupe des W, contient donc nimme cas particulier, non seulement le
groupe donné, celui des X,, mais encore les autres groupes que nous avons
envisagés successivement dan> ce paragraphe. Remarquons que l'isomorphisme
du groupe des AN , à celui des X, est m grin'-rnl holoédrique; en elfel les ^^ ,
dépendent de certaines constantes À -que l'on peut faire varier d'une manière
continue.

Pour certaines valeurs des À, à savoir pour A ^ i , l'isomorphisme est cert;ii-
nement holoédrique, puisque les deux groupes sont identiques. L'isomorphisme
ne pourrait donc cesser d'être holoédrique que pour certaines valeurs particu-
lières des A.

On verrait de même que les deux groupes sont en général semblables, au
sens de Lie, de sorte qu'on peut passer de l'un à l'autre par un simple change-
ment de variables.

Quel est ce changement de variables? C'est ce que nous allons voir plus loin.

Quelques exjjlications sont ici nécessaires; le groupe des X,. c'est-à-dire le
groupe paramétrique, est sim/)lemeitl tninsilif. de telle sorte qu'étant donnés
deux systèmes quelconques de valeurs des variables c", r", .... ("et r| , i.', , ..., t'I
il V a une transformation du groupe et une seule qui tr.insforme le premier
système dans le second. Le groupe des W ,, dont celui des X, n'est ((u'un cas
particulier, correspondant à certaines valeurs particulières des À, devra être
encore aussi, en général, simplement transitif et par conséquent semblable à
celui des ;,. Appelons i\ les variables indépendantes relatives au groupe des W ,
pour ne pas les confondre avec les variables c, relatives au groupe des X/. Soit
l'j" un système quelconque de valeurs des i',, que j'appellerai le système initial.
Jl y aura une transformation e^ (où \ = ii-,X,), et une seule, qui changera ce
système initial <■•'" en un système quelconque i). Les v\ sont alors des fonctions
des valeurs initiales rj" et des paramètres r, qui définissent cette transforma-

NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. )I5

lion <''■', et c'est là la relation entre les r, et les f„ le changement de variables
(|ui fait passer du groupe des Z, à celui des W,. Pour certaines valeurs priiUi-
cuUcres des >.. le groupe des W, peut cesser d'être simplement tninsitif et
semblable à celui des X,; nous verrons plus loin que cela [leut arriver en parti-
culier pour le groupe des Z".

X. — Application au groupe des rotations.

Prenons d'abord pour exemple le groupe des rotalions et renvoyons pour les
notations à (Palerme. p. .33:i et 33:)) ('). Nous avons désigné par m9 l'angle
de rotation et par a, j3, y les cosinus directeurs de l'axe de rotation; et nous
avons posé

(i) (■, = 20. f,= ;iO. r;..= -.-0 (0'= cj-i- (•H+ i'5 ),

de lelle façon rpie le vecteur r,, r., r.i a pour direetion celle de l'axe de rotation
el pour longueur la moitié de l'angle de rotnti(ui. Dans ces conditions, nous
avons formé les opérateurs Z,, Z^, Z;, et trouvé p.ir exemple

(■X) Z, = ^^. [DcolOu — :(M-.-^.-l

^ EL r ,. + -jju , _ fl col 0 ) I -:- 4^ I— .■,+ y.-(i — 0 (■"! 0 i].

Piiur former le^ W d'npres le paragraphe précédent, il suffil de changer cot9
en cot(6i + /;), h élanl une constante quelconque. Je puis donc écrire l'expres-
sion de W,. mais il sera préférable de ne pas confondre les variables qui
figurent dans Z, avec celles qui (igurenl dans W, ; et pour éviter celle confu-
sion, j'accentuerai les lettres. Je poserai donc

(/, = x'o', e';,= [5'0', p3 = y'o' ( e'î= c','-'-- c:^- iv)

el j'aurai

(3) \Vi= ^[e'c<)t(6'^/M(i — a'"-}^3t'=|
«(■|

+ 4C ] .''3 ^ «■ :i'[ 1 — 0' col( 0'- /i )] i - vt ! - <•', ^ ^'-('[i- fl' <•"' K^'-r-h)]',.

D'après le paragraphe précédeni, le groupe des Z et celui des W doivent
être isomorphes et même semblables, de sorte que l'on peut passer de l'un à

(') Œuvres de H. I^oincart-, ce Uinie, p. 324 el 'iii.

H. P. - III. 4'

3l4 >OUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

l'autre par un changement de variables. 11 s'agit de déterminer ce changement
de variables, c'esl-à-dire de voir quelles relations il doit y avoir entre les r' et
les c.

Pour cela reprenons le calcul de la lin de la page 332 et du commencement
de la page 333 (Palerme), mais en posant

I !■', = :t(0 — A), (.'.,= 'i(0 — h). p'3 = -;(0 — /!).

Nous trouverons par exemple

, , „, , ,„, 0'(/'Ji O'acosflf/X a rfÀ

MiiO bin-O siiiO

et linalenKiiil nous arrixerons à la même foiinule délinitive, sauf que '; sera
remplacé par 0' quand il est en dehors des signes trigonomélriques, ou. ce (jui
revient au même, que les lettres y seront accentuées et cotO remplacé par
rot(6''4- h).

Le vecteur i|, r.,, i'. a donc même direction que le M'Cleui- r,, i.;, e, (celle
de l'axe de rotation), nuiis la longucui- du vecteur n est j>as la même; la diffé-
rence des longueurs est égale à la conslanle /i . li/isi se Innuf définie la rrla-
lion cherchcc entre les v et les r'.

Mais cette solution n'est pas unique. .Soit en ellet

,.'(1 ,.'n .'(1

i , , i ._, . i i

un système cjuelconque de valeurs des r (pu^ n^u^ appellerons le système
initial.

Appliquons à ce système une rotation quelconque du groupe t'^, caracté-
risée par les valeurs

r, = aO, C; =: [jO, <'3 ^ yO

des variables e. Après cette rotation, les variables r' auront pris les vahnirs
et nous aurons

(5) ,/=/,(,■■;',.•;;', e;;', ,■,, c„ ,-3) (^ = i,v. 3).

Si l'on se donne les valeurs initiales r'-", les relations (o) délinissent le chan-
gement de variables qui, en passant des variables c aux variables r', nous fait
passer du groupe des Zj- à celui des W/. On voit que ce changenu'nt de variables
n'est [)as unique, puisqu'il dépend des trois paramètres arbitraires i'',".

La solution (pie nou> xenons d'étudier correspond à un choix particulier de

NOlVELr.ES HEMARQIES SLR LES GROIPES CONTINIS. 3l5

ces paramètres; une rotation nulle v correspondra à un vecteur de longueur h
de dlreclion d'ailluurs quelconque : or cette rotation nulle doit correspondre au
système inilial c " ; notre solution particulière suppose donc

La solution la plus générale s'obtiendrait de la façon suivante. Elle dépen-
drait de la constante // et de la rotation constante c^, où

A = «iXi-T- a;X.-7- «3X3.

Construisons avec les variables l'i, l'j, i'3 la rotation c^ ; combinons les deux
rotations l'une constante ('\ l'autre variable e" et soit

Construisons le vecteur f^,. 112-1 1I31 prolongeons-le d'une longueur égale à /(,
et nous aurons le vecteur r,, c.,, c., ; ce qui nous donne les i' en fonctions
des ('.

Voyons maintenant ce qui se passe en ce (]ui concerne le groupe des Z'/ ;
pour le former, il faut prendre ',)p = id, ou bien f.jp= — iô ; cela revient à rem-
placer cotô par -\-i, ou par — i. En effet, nous passons des groupes des Z, à
celui des W,- en changeant cotS en col{0 -i- h) ou c'^ en e''^+^) = Xe'^,
où l = <-'''.

INIais le groupe des Z" s'obtient cuninn' mius l'avons vu quand on fait ), = o
ou l=:cc. Il faut donc faire /i = 00, la partie imaginaire de h étant égale soit
à H- 00, soit à — 00, ce (jui donne cot(9 + A) =±: /.

Il V a donc deux groupes des ZJ'. Nous considérerons l'un d'eux, par exemple
celui où cot(5 -!-/() = +/.

Prenons donc les formules de la page 333 de l'alerme ('). et remplaçons-y
col9 par i.

Il viendra

(6) dt>, = /,[;■ 6(1 — :(=) — ^î] + /,[_ c,-^ «[^(i _ /B)] -r- /jLi';^ x-fd — (9)];

les valeurs de (h\ et df3 s'en déduiraient par permutation circulaire.
On en déduit aisément (en tenant compte de ia-= i)

(') Œuvres de H. Poincaré, ce tome, p. 23.5.

Jl6 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

et

1 doc = (V|(,3=T- ■]'-) — ^( Y -t- ioi'fi) -4- ':i(|i— (ï-;,).

(8) . (/[! = /,( Y — (7.|3) + (75(a=+Y=) — ;3{;a-(-/;iY)'

et l'un reniar(|iiera ([ur les accroissements des cosinus directeurs a, (3, y, |iro-
duils par une transformai Ion Infinitésimale quelconque, dépendent uniquement
de CCS cosinus directeurs eux-mêmes et sont indépendants de B.
De plus on a, comme il convient,

3C rfx -T- [i r/[j -^ Y </y = o,

piiisqui^ a^ + P' + y^ doit rester constant et égal à i . On a d'ailleurs

dx- -r d'fi- -r d-;'- = ().

Ce n'est pas tout. Si l'on regarde a, p, y comme les coordonnées rectangu-
laires d'un point, on a

a=+ [i--\- y-= l,

c'est-à-dire cjue le point a, |3, y esl sur une spliére. Cette sphère, comme loules

les surfaces du second degré, possède deux systèmes de génératrices reclilignes.

Je dis que les i^'riirralricrs de l'un des sysli-incs iw sonl pas allérres par les

transformations dit L^rinipe. 11 suffira de faire la vérldcation pour l'une de

ces généralriees

a = i, ii=(Y-

.le vais vérifier (|ui' si l'on a a = i , [î = iy , on aura également

rfa = n, ^/3 = i d-{.

Il vient en efTet

I d-J. r= 0.

^9) I '/[S = -'Y'! -+- ' 'î',' -+- Y') — '3(1 — Y')'

( r/v = — af'Y^-)- ^(I-f■ Y"-)-^ ''.1" — Y')

et la vérification esl immédiale.

On volt ainsi que le iirtnijte des 7" n'est pas transi/ if. puiscju'il ne permet
pas de jjasser d'un système- de valeurs des variables à un antre système quel-
rontpie^ mais seulement à un système correspondant à une même génératrice
rectUigne de la sphère. Le groujje des 'U\ n'est donc |>as semiilaiile à celui
des Z,-, et il n'est pas possible de passer d'un groupe à l'autre par un simple
changement de variables.

Nous avons vu qu'il y a deux groupes des Z", que l'on obtient en prenant

NOUVELLES REMARQUES SIR LES GROUPES CONTINUS. 3l7

!,>p=i'j OU (i)/, = — 15, OU bien en prenant A ^ o ou K=:cc. Ces deux groupes
correspondent aux deux systèmes de génératrices rectiligues de la sphère.

La dernière des équations (9) montre que les transformations du groupe se
réduisent à des transformations homographiques sur chacune des génératrices
rectilignes de la sphère du [ircniier système. Quels sont les [)oints doubles de
ces transformations?

Si nous considéions par exemple une rotation autour de l'axe des x, c'est-à-
dire si nous faisons /j= ^3 ^ o, nous voyons que l'on a

pour

2 = 1. [j = — î'v ou Qi — — I. '■j = !'-;;

c'esl-à-dire que le lieu des points doubles se compose de deux génératrices rec-
tilignes du second système, qui rencontrent l'axe de rotation.

Remarquons cju'à r, = ( .j = cj = o, c'rsl-à-dire à une rotation nulle, corres-
pondent des valeurs indéterminées des r', puisque la longueur du vecteur' r, ,
i'.,, \\j est égale à h, mais sa dneclion inditerminée. Le point c,, r'.,. v'.^ est donc
un [loint indéterminé d'une sphère. Lue transformation infinitésimale pourra
alors transformer un point très voisin d'un point de cette sphère en un point
très voisin d'un autre point de cette sphère et pouvant être 1res distant du pre-
mier point. Donc les rfc, deviennent infinies.

C'est en effet ce qui arrive. Avec le groupe des Z,, nous rencontrions ^ cotÔ;
cot5 devenait infini pour 0 = n, mais ^ii colh restait fini. Avec le groupe des \\ ,,
5 cot9 est remplacé pai- 6 cot(0 -4- // ), qui devient infini pour 9 = — //.

XI. — Extension au cas général.

Je me propose maintenant d'étendre au cas général les résultats obtenus dans
le paragraphe précédent relativement au groupe des rotations. Considérons
donc un groupe jiaraniétrKpie (1 <|uelciinqiie, dérisé des /• opéiateurs

X,, X„ .... X,

et la substitution la plus générale <■'' de ce groupe. Considérons également son
groupe adjoint G», et dans ce groupe l'adjointe de e^ . Nous savons que cette
adjointe est une substitution linéaire qui transforme les /• coefficients u de

L — », \| - (/, \, — ... — ((,\,-
dans les /• coefficients u' de

■JlS NOUVELLES REMARQUES SLR LES GROUPES CONTINUS.

OÙ Fou pose

U' = p-'v U e'f.

Nous savons également coiiiment les coefficients de cette substitution linéaire
dépendent des v. Ce sont des fonctions algébriques des f el d'un certain nombre
de transcendantes indépendantes, de la forme e'''"r.

Le nombre des coefficients de l'adjointe est r-, et ils se trouvent exprimés en
fonctions de /■ variables indéjiendantes. Il y a donc entre eux au moins /- — /•
relations. Il v en a exactement /- — /■ si le groupe G e>l de la première caté-
gorie.

Il \ eu a davantage, s'il est de la seconde catégorie, parce qu'alors le groupe
adjoint est d'ordre inférieur à /■.

Dans le cas particulier du groupe des rotations, ces /- — /■ relations ne simt
autre cliose que les relations bien connues ([iii hciil les neuf cosinus directeurs
de trois directions rectangulaires.

Quelle est la nature de ces /■-' — /■ relations (je me suppose ici placé dans le
cas des groupes de première catégorie, mais si l'on voulait passer à celui des
groupes de seconde catégorie, il n'y aurait rien à clianger (|ue le nombre des
relations)? et d'abord sont-elles (oujoiirs algébriques'.'

Ne voulant pas aborder la (|iiestiou tlans toute sa généralité, je me bornerai à
l'aire observer (|u'il en est ainsi dans un très grand nombre de cas. comme le
montre un tliéorème de Gartan [loc. cit., p. i33 ). Ge théorème nous apprend
(|ue pour tout groupe linéaire serni-sini/ili', on peut choisir les paramètres de
façon (|iie les coelTicienls des é(piations Unies du groupe soient des fonctions
nilioniielles de ces paramétres. Les lel, liions entre ces coefficients sont donc
algébii(|iies.

Si ces /■- — /■ relations sont algébriques, elles ne cesseront pas d'être satis-
faites si dans l'expression des coefficients de l'adjointe en fonction des r,
expression où ligurciit d'une part des fonctions algébri([ues r et d'autre part
des exponentielles e^'", on considère ces exponentielles comme des variables
indépendantes. Elles ne cesseront donc |)as de l'i'tre si l'on y remplace r '■' par
!(''•', les 1 étant des constantes aibitraiies.

Soient alors

les coefficients de l'adjointe, et écrivons

(l) rti= a;(c. e-"),

<p,- étant une fonction algébrique des r et des exponentielles e^'"'.

NOL'VEI.LES REMARQUES SIR r.ES GROIPES CONTIM'S. ilc)

Si nous regardons les a.; comniL' donnés, ces équations (i) nous donneront
les r, et elles seront compatibles, pourvu que les valeurs des c/, satisfassent aux
/•- — /■ relations algébriques précitées.

Posons maintenant

Les À sont des constantes quelconques, choisies une fois pour toutes; les c'
sont des variables nouvelles, les ai' sont formés avec les v' comme les m l'étaient
avec les r.

Ces rquritioiis (2) sont loni/iatihles, car les relations algébriques enire les «,
obtenues en éliminant le> r' entre les étjuations (:>) scint les niâmes que celles
que l'on avait obtenues en éliminant les (^ entre les écpiations (i), ou bien
encore en regardant les i- et les c '•' comme des variables indépendantes et
éliminant à la fois toutes ces variables indépendantes entre les éijuatious (1).

Nous pouvons donc écrire

ce qui définit les relations entre les anciennes variables e et les nouvelles
variables e'.

Considérons maintenant une autre transformation du groupe paraniéli ique

gy (.B\t~ gVt-./v (; éliiiil très peiii I.
Nous aurons, comme nous le savons,

les 5,- étant des fonctions algébri{|U(!s des r et des exponentielles r '". Ce sont là
les équations diB'érentielles du groupe paramétrique engendré jiar les \,.

Pour obtenir ces équations (4), nous aurions pu opérer de la f içon suivante :

Les deux transformations

ont respectivement pour adjointes les substitutions linéaires A' et A iiui
changent U en

U' = e-'^' U c^ , U" = c--^' <?-">" U e^' e=X( = e-^'^» l ' e'"'.

Soient «;; l'un des coefticients de l'adjointe A'; a^-irda, le coefficient cor-
respondant lie l'adjointe A'. On aura

«a^ raf''- '""'")

3-20 NOUVELLES REMARQIES SUR LES GROUPES CONTINUS.

et

puisi|ue cpï dépend des diverses variabk's c,, d'une part directement et d'autre
part par l'intermédiaire des diverses exponentielles r~^''.

D'autre part, on passe de U' à U " par une substitution linéaire inliiiitésinmle,
celle qui change U' en

Gela veut dire (|ue <Ui:^ est une fonction linéaire à coetlicients eonstants des «3,
ce que j'écrirai

(Ida. V , ■

Cela nous conduit aux relations

(5 ) 32 Cyi ;^:il e. <-'■') = i -^ .A,- lï -j^ ^-»— r/r,.

De ces relations, on pourrait tirer les — -' et l'on de\ rail retrouver les équa-
tions (4)-

Cliangeoiis de vari.diles en passant aux variables r . Observons pour cela que
la dérivée totale de V^i,'', c '") par rapport à i, est

'-t V i_±_ ^— ro

et de même que la dérivée totale de 9,(^1', 'le '" Vpar rajiport à rj est

— - — 2 ■ , A G — W •

(h'] fl'). f—w i/r'i

En (iitîéientianl les é(|ualions ( j) nous trouverons donc

'/s, , „„ th, (loi , „ f/ï-a , , ^., '/oa . ,'ho' , ,

' ilr, 1/ e-'» clii dv[ ilh c^" dv]

El alors, en tenant compte des équations (':>) el (6), les éipialioiis (5)
deviennent

(7) ^^Ç.^,,,^i^.Xo-^■)='L'^,W,-^^^Xe-'^^■''^,K.

Si nous comparons leséqualions (5) el (7), nous voyons (jue les deux membres
de (5) sont algébri(|ues par rapport aux r et aux expoiienlielles e '". l'our passer
de (5) à (7), il suffit de diangei- lU-, en <U-\, r, en deliors des signes exponentiels

en r'., et t' '■' en /<-"'"'.

NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 321

La résolution des écjuations (5) nous ayant donné

(4) t/.-,= .e,((.., e-").

celle des équations (- ) nous donnera donc

(8) rft';= £ Oi(v'. X e-'"').

On reconnaît les équations différentielles du };roupe des ^\ ; défini au para-
graphe IX.

Ainsi, au moins dans les cas très généraux où le théorème cité de Cartan
s'applique, on obtiendra ce grou[)e des W, par le changement de variables (3).

C'est là la généralisation du résultat obtenu au paragraj)he jtrécédent.

H. p. - III. 4,

DElXIÈMi: PARTIE

i\Ti;r. n \lil- ^mpLi-s i; r ml ltiplics

TllÉOlilE m: s FONCTIONS

ANALYSE

DE SES

TRAVAUX SUR LES INTEGRALES

Faite par H. POINCARÉ.

Acla mathematica, t. 38, p. 73-77 (igii).

VIII. Intégrales multiples. [52, o3. 60, 103, 168, 172. 181. 190, 200.]

La théorie qui a le plus contril)ué à facililer l'étude des fonctions d'une variable
est certainement celle dos intégrales prises entre des limites imaginaires. Elle
conduit, comme on le sait, à envisager les périodes de ces intégrales et à distin-
guer les périodes polaires (correspondant aux résidus) des périodes cycliques.
Un des points les plus importants est d'ailleurs l'étude des intégrales abéliennes,
c'est-à-dire des intégrales de différentielles algébriques ; cette théorie est ordi-
nairement présentée sous une forme géométrique, ce qui a amené à dire, pour
abréger, que ces intégrales « appartiennent à une courbe algébrique ».

Quand on passe aux fonctions de deux variables, la notion de ces intégrales
et de leurs périodes peut se généraliser à deux points de vue différents : par les
intégrales de différentielles totales et par les intégrales doubles. Je ne m'éten-
drai pas beaucoup sur le premier de ces modes de généralisation. 11 ne m'appar-
tient pas, en effet : c'est M. Picard qui en a tiré les premiers et les plus beaux résul-
tais. Je n'ai fait qu'appeler l'attention [52], à la suite de la Note de M. Picard, sur
quelques points de détail. Ainsi ce géomètre avait démontré qu'une surface
algébrique ne possède d'intégrales abéliennes de différentielles totales de pre-
mière espèce que dans des cas particuliers.

Je veux dire que, si

est l'équation d'une surface algébrique définissant ; en fonction de x et de y,

3?6 VNALYSK DE SES IKAV.VUX SUR LES INTÉGRALES.

il n'y :iur;i pas, en général, de différeulielle exaclu

V .l.r {),l\.

OÙ V et Q soient rationnels en .r, )', ^, de telle façon que l'intégrale

P d.v - Q dy

f'

reste toujours finie.

Partant de là. j'ai trouvé les conditions pour qu'une surface du quatrième
ordre possède de pareilles intégrales. Il faut et il suffit qu'elle soit une surface
réglée ou qu'elle se ramène à une surface de révolution par une transformation
linéaire. J'ai indiqué également un certain nombre de cas où il n'v a jamais,
et d'autres où il y a toujours, des intégrales de première espèce.

J'ai reconnu que le théorème d'Abel s'étendait immédiatement aux intégrales
de différentielles totales de première espèce ; mais il semblait au premier abord
qu'il ne serait plus applicable aux surfaces qui ne possèdent pas de pareilles
intégrales, c'est-à-dire à la grande majorité des surfaces algébriques.

Il n'en était rien. J'ai démontré |53] le théorème suivant :

Si (j^i. 11, z,), (.^.j, V.!, ;j). •.., {-T,/. y,j, c^) sont les y points d'inter-
section d'une surface algébrique S et d'une courbe algébrique C; si
( .r, + d.r,, y, H-c/),, :, 'rd:,. ...) sont les t/ points d'intersection de cette
même surface S av(!C une courbe C infiniment peu différente de C, ou aura
un certain nombre de relations de la forme

\i dj'\ \> d.i:., -'.-... \,y d.r,f ii.

où X, est une fonction rationnelle de .r,, )•,, ;,. Ces relations peuvent être regar-
dées comme la généralisation du théorème ir.\bel.

Les iliflicultés (|iii s'attachent a l'élude des intégrales d()ul)le> et multiples
étendues à un domaine imaginaire sont d'une nature différente. Il semble que
la théorie des intégrales simples prises entre des limites imaginaires serait d'une
exposition beaucoup plus laborieuse si l'on n'avait pour s'y guider une repré-
sentation géométrique. On perd ce guide (juand on passe aux intégrales doubles ;
il faudrait alors recourir à la Géométrie à quatre dimensions, ce qui serait une
complication plutôt qu'une simplification.

Cet obstable ne paraît pas d'abord très sérieux ; cependant il arrêta longtemps
les géomètres. M. Picard, à propos des fonctions hyperfuchsiennes, avait traité

ANAUjlK 1)E SK» TKA\Al\ SLK I.KS I.NTKGRAl.ES. il'

iiiit' ijueïlioii qui présente quelque analogie avec celle qui nous occupe, mais
((ui n'est pourtant pas la même ; les quantités qu'il a ainsi introduites ne peuvent
être en aucune façon regardées comme la généralisation des périodes des inté-
grales simples. 11 importe de ne pas les confondre avec les périodes cycliques
que ce même savant a étudiées peu de temps après la publication de ma première
Note à ce >ujet, et qui se rattache, au contraire, très directement à la théorie
que j'ai cherché à fonder.

Je fus donc le premier à étudier méthodiquement cette importaule question
dans une Note [60] que j "ai eu l'honneur de présenter à l'Académie le 23 janvier
i886 et dont j'ai développé les résultats dans un Mémoire plus étendu [ 181 ].

Le premier point était d'imaginer un mode de représentation géométrique
sans employer l'espace à quatre dimensions. On peut y arriver par diverses
méthodes que je n'exposerai pas ici et dont j m! fait tour à lour usage. Il faut
ensuite donner une définition dos intégrales doubles jjrises dans un domain<'
imaginaire, (^ràce aux modes de représentation dont je viens de parler, on peut
donner cette définition sans qu'il subsiste aucune équivoque. Il faut ensuite
démontrer le théorème fondamental, analogue à celui de Cauchy, et d'après
lequel une intégrale double prise le long d'un contour fermé est nulle en général.
Celte démonstration ne présente aucune diflicullé. On peut trouver, sous une
forme simple, les conditions d'intégrabilité de difTérentielles doubles

A f/y dz — B </; -/,<■ C -//■ </i ....

qu'il faut d'abord définir sans ambiguïté. Ces conditions présentent presque la
même forme que celles qui e.vprinient l'intégrabilité d'une différentielle ordi-
naire. Seulement certains signes ([ui sont tous positifs pour les intégrales d'ordre
pair et, en particulier, pour les intégrales doubles sont, au contraire, alternati-
vement positifs et négatifs quand il s'agit d'intégrales d'ordre impair et. en
particulier, d'intégrales simples. Ces conditions une fois trouvées, le théorème
fondamental s'ensuit immédiatement.

Il admet cependant des exceptions, comme la proposition correspondante de
la théorie de Cauchy, et ce sont ces exceptions qui sont l'origine des périodes
des intégrales doubles. Ces périodes se distinguent, comme dans le ras d'une
seule variable, en périodes cycliques et en périodes polaires. .le me suis occupé,
en particulier, des périodes polaires ou, si l'on veut, des résidus des intégrales
doubles. M. Picard a étudié ensuite les périodes cycliques.

J ai envisagé l'intégrale d'une fonction rationnelle que j'ai écrite sOus la

328 ANALYSE DE SES TRAVAUX SUR LES INTÉGRALES.

forme suivante :

//

f(x,y)dxdy
o(x, y)'h{x, y)'

en décomposant le dénominateur en fadeurs irréductibles, et j'ai reconnu que
celle intégrale présente trois sortes de périodes :

1° Celles de la première sorte sont égales à 2/77 multiplié par l'une des périodes
de [première espèce de l'intégrale abélienne

/

fdx

d^

• d^

(rapportée à la courbe algébrique ij' = o).

2° Celles de la seconde sorte se rapportent aux divers points d'intersection
des deux courljes o = ']> ^ o et sont égales à

../(•'•„. .)■„)

-t- /. TT- ■-

\(x„, Ko)

^{x, y) étant le déterminant de o et de '| par rapport à a: et à )• et x^ et yç,
étant les coordonnées du point d'intersection.

.'V' Enfin celles de la troisième sorte se rapportent aux divers points doubles
de ces deux courbes et ont une expression analogue.

Mais la théorie serait incomplète si l'on se bornait à ces trois sortes de périodes.
Il peut arriver que la fonction sous le signe intégral devienne infinie en divers
points du contour d'intégration sans que l'intégrale elle-même cesse d'être finie.
Cette circonstance ne pouvait pas se produire dans le cas des intégrales simples,
lorsque la fonction à intégrer était rationnelle; il n'en est plus de même ici. D'un
autre côté, on ne saurait exclure de parti ])ris les intégrales de cette sorte ; car,
autant qu'on en peut juger aujourd'hui, elles doivent jouer un rôle important
dans les applications.

Or les intéerales de cette nouvelle sorte ont un caractère bien différent de

o

celui des intégrales à périodes. Celles-ci, en effet, ou bien restent constantes
quand on fait varier le chemin d'intégration d'une manière continue, ou bien
s'accroissent par sauts brusques ; celles-là, au contraire, varient d'une façon
continue comme le chemin d'intégration lui-même. C'est là la principale diffé-
rence entre la théorie nouvelle et celle de Cauchj.

Ces résultats s'appliquent, mutalis mulandis, aux transcendantes et, en
particulier, aux fonctions uniformes.

ANALYSE DE SES TRAVAtX SIR LES INTÉGRALES. 320

Celte théorie nouvelle sera-t-olle aussi féconde que l'ont été les découvertes
de Cauchj? Elle est encore trop jeune pour qu'on puisse se prononcer sur ce
point. Certainement quelques-uns des résultats qu'on peut obtenir ainsi, et par
une généralisation immédiate des méthodes de Cauchy, auraient pu èirc atteints
plus aisément par d'autres voies. Mais on peut espérer qu'il n'en sera pas tou-
jours de même, et déjà je suis sur la voie de propositions réellement nouvelles
dans la théorie des fonctions abéliennes.

Les périodes dont il a été question jusqu'ici sont analogues à celles qui se
rapportent aux singularités polaires des intégrales simples. !Mais lorsque la
fonction sous le signe / ji'est pas uniforme, les intégrales multiples peuvent,
outre ces périodes polaires, présenter des périodes cycliques.

C'est une question de Mécanique Céleste, celle du développement de la
fonction j)erturbatrice, qui ma amené à m'en occuper.

Si la fonction sous le signe / dépend d'un paramètre (comme par exemjjle
les intégrales elliptitjues du module) les périodes cycliques seront des fonctions
de ce paramètre. De même que dans le cas des intégrales simples, ces fonctions
seront définies par des équations linéaires à coefficients algébriques. J'ai étudié
ces équations linéaires et leurs groupes [I72J. J'ai montré qu'il y a un lien
intime entre l'équation linéaire qui définit les périodes des intégrales doubles
dépendant du radical yF{x, y) et celle qui définit les périodes des intégrales
abéliennes simples engendrées par la courbe algébrique F(x, )•)=.- o. J'ai fait
voir |)ar quelle transform.ition on peut passer de l'une à l'autre.

Cette dernière recherche se rattache à mes travaux sur l'Analysis Situs.

D'un autre côté, étant données plusieurs intégrales multiples dépendant du
radical \/F{x, y), on peut se proposer de faire une théorie de la réduction de
ces intégrales, analogue à la théorie classique de la réduction des intégrales
elliptiques (ou hyperelliptiques), à un petit nombre d'intégrales types (dites
de première, seconde et troisième espèces). J'ai résolu ce problème qui m'était
utile pour le développement de la fonction perturbatrice [168, 196, 206].

La réduction des intégrales doubles et celle des intégrales de diflerentielles
totales se présentent d'ailleurs ici comme deux questions intimement liées.

H. P. — m. 43

BIBLIOGRAPHIE DE LA DEUXIÈME PARTIE

INTÉG IULES SIMPLES ET MULTIPLES
de l'Analyse des Travaux scientifiques de Henri Poincaré, faite par lui-même.

.'ri. Sur les inlégrales de diliérenlieiles totales (Comptes rt-ncliis des séances de
/ Aradeniic des Scii'iires. 29 décembre 1884).

.'13. Sur une généralisation du théorème d'Abel (Ibid., 5 janvier i885j.

(Jtl. Sur les résidus des inlégrales doubles {Ibid., -i"! janvier 1886).

10,'). Sur les Iransl'ormalions des surfaces en elles-mêmes ( /A(V/.. 103, p. j'i-î-j-l'i,
i88tij.

168. Sur les périodes des inlégrales doubles et le développement de la fonction
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181. Sur les résidus des inlégrales doubles ( {i:ta iinilkematica, t. 9, p. .iai-SSo.
1887).

1!M). Les propriétés du Potentiel el le> l'onclions abéliennes ilbid.. I. 'li. y. S9-

178. 1898).

iOO, Sur les équations aux dérivées partielles de la Physi([ue mathémati<(ui' I iiiu'-
ri((tn Journal ol Miillieiiiatics. l. 12, p. 89-178. 1899).

SUR

L4 RÉDUCTION DES INTÉGRALES ARÉLIENNES

Bulletin de la Société mathématique de France, l. 12, p. i24-i43 (i884).

I. Tous les lecteurs de ce Bulletin connaissent les remarquables travaux de
M. Picard Sur la r<''duction des intégrales abèliennes, qui, après avoir paru
dans divers numéros des Comptes rendus des séances de V Académie des
Sciences, ont été réunis ici-même en un Mémoire unique. La même question a
été l'objet des recherches des géomètres étrangers, et en particulier des géo-
mètres allemands.

En 18741 '^I""' Kowalevski a envoyé à l'Université de Gôttingen un Mémoire
qui va paraître dans les Acla matliemalica. Dans ce Mémoire {Lcber die
Réduction einer bestimmlen Klasse AbeCschen Intégrale S""* lianges auf
elliptische Intégrale)^ elle cite les deux théorèmes suivants, dus à Weierstrass :

Si l'on envisage un système de 0 intégrales abèliennes de rang p, parmi
lesquelles il y en a une qui est susceptible d'être réduite aux intégrales
elliptiques, et si l'on considère également la fonction 0 correspondante :

i" Cette fonction 0 à p variables peut être changée, par une transforma-
tion d'ordre k, en un produit d'une fonction 0 à une variable et d'une
fonction 0 ô p — i variables.

2" Elle peut également par une transformation linéaire, c'est-à-dire du
premier ordre, être amenée à une forme lellc que, le tableau des périodes
s' écrivant comme il suit :

(k)

I o

O I

avec les conditions habiluelles

ta3 = "3a,

334 SUR I.A RÉDUCTION l>KS INTÉGRAI.IÎS ABKLIENNES.

la prriode T|2 snil rointnensurable cl (/ue 1rs périodes

soient /m //es.

Le premier de ces ihéorèmes a été communique à M. K.onigsberger el le
second à M"" Kowalcviki par des lettres de AI. \^ eierstrass. Mais ils ne
paraissent pas avoir été publiés.

Le premier de ces théorèmes peui se généraliser comme il suit ;

Si l'on eiivisage un sjstéme de p intégrales abéliennes de première espèce et
de rang o, parmi lesquelles il y en a ij. qui sont susceptibles d'être réduites au
rang fjt, la fonction 0 correspondante à p variables peut être changée par une
transformation d'ordre /.', en un produit d'une fonction 0 à tj. variables et
d'une fonction 0 à (p — fx) variables.

Le second théorème est également susceptible d'une généralisation, ainsi
qu'on le verra pins loin.

11 n'est pas douteux que ces généralisations ne soient connues de- M. Weier-
strass; mais, comme il serait diflicile en l''rance de s'en procuier la démonstra-
tion, je crois qu'il ne sera pas inutile de la développer' ici, ignorant d'ailleurs
si la marche que je vais suivre est la même (lu'a employée l'illustre anaivste
allemand.

"2. Soit
un s\slème quelconque de ■> o périodes. Posons

KZH I

x\, j?.,, . . ., x\ç, désignant un nouveau système de 2p périodes, et les coeffi-
cients fiik liant entiers, il est clair (|ue toute fonction qui admettra les nou-
velles périodes x' admettra également les anciennes périodes x.

Si, de plus, le déterminant des «,*• est égal à -+- i , les nouvelles périodes x'
pourront réciproquement s'exprimer linéairement à l'aide des anciennes par
des expressions à coefficients entiers. Les deux systèmes de périodes seront
alors équivalents.

Soit une fonction de p variables admettant ap périodes linéairement indé-
pendantes. Ces ■.>.p périodes formeront un système primitif, si toute autre

srn I.A RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. Vi'i

période s'exprime à l'aide des ap périodes considérées, par une expression
linéaire à coeflicienls entiers. Tous les systèmes primitifs sont équivalents.

Un système de jjt périodes (fji < 20) sera un système incomplet; il sera pri-
mitif si l'on peut lo compléter en lui adjoignant 2p -^ ,u nouvelles périodes con-
venablement choisies, de telle façon que le système ainsi complété soit lui-
même primitif.

Soit

.^1. ■'-■1 '^■20

un s\ slème complel iniinitif. l-'orruoiis un système incomplet

;' «1,1
\ «2.1

(ij

^1 X\ — a-Il Xt -

. . — ûE^^so X-2p^ X,,,

"■j.,i>f''2c — ■'"a:

iiù les coefficients sont entiers. Pour que ce s\>tème soll primitif, il faut et il
suffit que les détermiiuint^ compiis dans la matrice

«1,1 "1,2

«2.1

aient pour plus grand commun diviseur l'unité.

Envisageons l'ensemble des périodes qui peuvent s'écrire

les « étant comme n s arables et les x' étant toujours les périodes du système
incomplet (2). Toutes ces périodes pourront .s'exprimer linéairement à l'aide
de [X d'entre elles x'\, xl, . . ., a^^ par une expression à coefticients entiers. Si
le système des x' est primitif, il est équivalent au système des x". Si le système
des x' n'est pas primitif, le système 'des x", i/ni est toujours primitif, pourra
s'appeler la base du système (2).

Dire que, dans un système de p intégrales abéliennes de première espèce et
de rang p, il y en a ;jt linéairement indépendantes, qui sont susceptibles d'être
réduites au rang ,a, c'est dire que l'on peut trouver un système de 10 — ap.
périodes qui sont nulles à la fois dans ces [j. intégrales.

On peut toujours supposer que ce système incomplet est primitif: car, s'il
existe un système incomplet non primitif de -lo — I'j. périodes qui soient

336 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉHENNES.

nulles à la fois dans [ji intégrales, la base de ce système non primitif jouira de
la même propriété. D'où la conséquence suivante :

On peut toujours trouver, pour nos p intégrales abéliennes, un système pri-
mitif de 2p périodes, de telle façon que les 2p — 2p. dernières périodes soient
nulles dans ^ des 0 intégrales considérées.

3. Mais ce système primitif ne sera pas en général un système de pcriodes
normales.

A chaque système primitif de périodes de p intégrales abéliennes est attachée
une forme bilinéaire à deux séries de 2p variables

F(a-,, .r.,, .... ^2p; ^,,7.., ■■••.>'2p).

Si dans cette forme on remplace .r,, J"2, . . . , x^p par les périodes (formant le
système primitif considéré) d'une de nos p intégrales abéliennes et )i,j)'2î • • •?
y-ip par les périodes correspondantes d'une seconde intégrale, la forme
s'annule.

Si l'on y remplace les .r par les parties réelles des périodes d'une des inté-
grales et les }' par les |)ariies imaginaires de ces mêmes périodes, le résultat de
cette substitution sera posilif.

La forme P est une forme bilinéaire if/rnti//r/c, c'est-à-dire que l'on a identi-
quement

FfX|, x-2, . . ., Jr-2p: X,, iv-, j-.ip) = o.

On SMil que les (ormes bilinéaires identicjues ont un >eul invariant qui est le
déterminani où le m"''"" terme de la n"""' colonne est le coefficient de .r,,, )■„.
Cet invariant, qui est toujours un carré parfait, est égal à 1 dans le cas qui
nous occupe.

Une forme bilinéaire d'invariant 1 est rcduilc lorsqu'elle s'écrit

(3) ■^^y-i—^^.y^ -H ■i-?.y^— .i\y^^...^ ■'■•jp^i.r-jp— ^--jpj'-'p-i-

Le système primilif considéré est alors un système de périoilcs unriitales.
Qu'arrive-t-il maintenant lorsque 1 on passe d'un système primilif à un autre
système primitif équivalent? Posons, comme plus haut.

(i) -rj = 2j cik-^'l.-

les Uiii étant des entiers dont le déterminant sera égal à i. Les ./' formeront
comme les x un système primilif, et si l'on désigne par y\ la période de la

SBR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 337

seconde intégrale qui correspond à x]., on aura

(ibis) Vi^'^an-//,.

«•=1

En remplaçant dans F les .r et les y par leurs valeurs (i) et (i bis), on
obtiendra une forme bilinéaire en x' et en )'', arithmétiquement équivalente
à F et d'invariant i. Ce sera la forme bilinéaire correspondant au système pri-
mitif des x'.

On pourra toujours choisir la substitution linéaire (i), de telle façon que la
forme F ainsi transformée soit réduite, et par conséquent que le système pri-
mitif des x' soit un système de périodes normales {cf. Clebsch et Gordan,
Abelsche Functionen., p. io6). 11 existe également des substitutions linéaires
qui changent la forme (3) en elle-même et qui, par conséquent, changent un
système de périodes normales en un autre svstème de périodes normales [loc.
cit., p. 3ooV C'est ce qu'on a|)pelle le> I ransformatioiis Um'alres ou du pre-
mier ordre.

Imaginons maintenant que dans les relations (i) et (i bis) les «,< soient
encore entiers, mais que leur déterminant soit égal à A(A>. i). Alors le sys-
tème des x' ne sera plus un système de périodes de nos intégrales abéliennes.
mais ce sera un système de périodes, primitif ou non, d'autres intégrales
abéliennes.

Si Ion remplace dans F les x et les y par leurs valeurs (i) et (i bis), on
obtiendra une forme bilinéaire identique en x' ely', d'invariant A-.

Je dirai qu'une pareille forme est réduite lorsqu'elle s'écrira

(4) ki{x,y.— .c.,yi)-r^ /;,( j:.^y ^— x^y-j) -^ . . . ^ A-p(x,p_, j'.,p— j-.,p K,p_i),

el il est aisé de voir que l'on peut toujours réduire une forme bilinéaire iden-
tique par une substitution linéaire à coefficients entiers et de déterminant i.
Supposons en particulier que la forme F soil réduite, de telle façon que les x
soient les périodes normales des intégrales abéliennes données. Supposons, de
plus, qu'après la transformation noire forme soit encore réduite, c'est-à-dire
qu'elle se réduise à une expression telle que (4), ei de telle sorte que

1:,= /:, = ...= k,= /,.

Alors les x' seront les périodes normales d'un nouveau système d'intégrales
abéliennes; par conséquent la substitution (i) aura changé un svstème de
H. P. - III. /|3

3ï8 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.

périodes normales en un autre système de périodes normales, mais appartenant
à de «oui'e//e.s intégrales. Elle s'appellera alors une transforviation d ordre k.

4f. Ces préliminaires posés, passons à la démonstration du premier théo-
rème de M. Welerstrass, généralisé.

Nous avons supposé que, les x formant un système primitif de périodes et
F étant la forme correspondante, les 20 — 21J. dernières périodes étaient nulles
pour p. de nos p intégrales. Posons encore

(l) J-/= 2a,i.r',,., r,= Sa,j.y,,.

les a/,;- étant entiers, mais leur déterminant étant en général plus grand que i .
Si les 2p — 2 |j. dernières périodes du nouveau système ne dépendent que des
2p — 2f/ dernières périodes de l'ancien système, si, en d'antres termes, on a

( 5 ) CTiA- =0 ( (' = 2 ,a + 1 , 2 fl -I- 2. . . . , 2 3 — 1 , 2 p ; A- = 1 , 2, .... 2 pi — I , 2 [0. ),

les 2 G — 2 p. dernières périodes du nouveau svstème seront nulles comme celles

de l'ancien pour les ij. intégrales dont il vient d'être question.

Si l'on peut trouver une substitution linéaire de la forme (i) satisfaisant aux

conditions (5), et réduisant le système de périodes à un système de périodes

normales des intégrales transformées; si, en d'autres termes, on peut trouver

une pareille substitution qui réduise la forme F à une expression, telle que (4),

avec les conditions

A-, = A., = . . . = Ap = A.

le théorème énoncé sera démontré.

Remarquons même qu'il le sera encore, si nous arrivons au même résultat
en appliquant siicci^ssùenti'/il à notre forme F plusieurs substitutions assujetties
aux conditions que nous venons d'énoncer; car la résultante de deux pareilles
substitutions satisfait également à ces mêmes conditions.

Quand dans la forme F ou annule les 2p — 2/jt derniers x et les ap — 2p. der-
niers j, il reste une forme bilinéaire F, admettant deux séries de ap variables,
X, , X3, . . . , XjM ; yi , )-2, . . . , J'sji- Je puis toujours su|)|)oser qu'elle est réduite
et s'écrit

F, = k,( .r, y..— x^y,) -^ fc«{Xiyi— a:^yi) -- . . . ^ A-a(.roji_, jk-j[j.— .ï2ii..X2(j.-i );

car, si cela n'était pas, on ferait subir aux variables une substitution linéaire de
déterminant 1, ne portant (/ue sur les 2 iJ. premières périodes, et qui réduirait
la forme F, .

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNB8. 339

Nous pourrons alors écrire

F| ne conlenaiil que les ap. premières périodes, Fj ne contenant que les
2p — 2fx dernières et F3 représentant l'ensemble des termes qui dépendent à la
fois d'une des 2 y. premières et d'une des 2p — 2p. dernières.

Nous allons chercher par une suite de substitutions linéaires à faire dispa-
raître successivement tous les termes de F3.

Soit, par exemple, à faire disparaître un lerme

a(-r,ri—xtyt ),
x, étant une des 2p — sjjl dernières périodes; nous poserons

x^ = x'., — a x'i, Xi = /»! x'i ;

de même, si l'on veut faire disparaître un terme

on posera

x, = x\-hbx'i, Xi= kix'j,

et ainsi de suite.

Toutes ces substitutions satisfont aux conditions (5) et l'on obtiendra finale-
ment une forme F' transformée de F qui s'écrira

(6) F'=F,-i-F:,,

F| ne dépendant que des 2|jl premières et F., des 2p — 2|ji dernières périodes
du nouveau système : les deux catégories de périodes sont séparées. La
forme F',, ne différant d'ailleurs de F| qu'en ce que les anciennes variables
sont remplacées par les nouvelles, sera réduite. On réduira ensuite la forme FI,
par une substitution linéaire de déterminant i ne portant que sur les 2p — 2/jl
dernières périodes; la forme F' transformée se réduira alors à une expression
telle que (4)j d'où il est aisé de passer à l'expression

o. Mais on peut craindre, en suivant la marche qui précède, d'être conduit à
employer une transformation d'ordre trop élevé. C'est ce qui nous amène à
nous poser le problème suivant :

Trouier toutes les substitutions satisfaisant aux conditions (5) et qui
ramènent la transformée F' de F à la forme (6), où les deux calégorics de
périodes sont séparées.

34o SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.

Ce problème se ramène au suivant :

Trouver toutes les substitutions linéaires portant sur les 20 — 2|-(. der-
nières périodes et telles qu^ après la transformation, tous les coefficients
des termes qui contiennent à la fois Xi ou x^ et une des 2.0 — 2fi dernières
périodes soient divisibles par A', ; que tous les coef ficienls des termes qui
contiennent à la fois x^ ou X:, et une des 2p — 2^1 dernières périodes soient
divisibles par A' 3, etc.

Soit

{i = I, 2, .... 2[i.; A- = 2[J. — I, 2[JL -i- 2, .... 2p).

Posons maintenant

{k = liX -rl, 2(1-1-2. .... 2,0; A = 2fJl -H I, 2[J. + 2, .... 2p),

d'où

F3= ZlfaCihixiy)^— .r)j'i).

Les conditions énoncées se réduisent à

(7; Zthuc/ci,=^o (moàk/)

(en supposant t =12/ ou 2/ — i).

Le nombre total des congruences (-) est 2^.(20 — 2,u). Il est aisé de voir de
quelle forme en est la solution générale; on trouve

Dans celle expression, k'S d ont des valeurs déterminées; les a peuvent
pnmdre toutes les valeurs entières positives ou négatives; enfin l'indice »t varie,
comme les indices A et /* eux-mêmes, depuis 2jLi + i jusqu'à 20. Il résulte de là
que la substitution

Xk=~ Ckli X

h

peut être regardée comme la résultante des deux suhslitulions suivantes

m>

(8) Xk='^dltmX"n

(9) a;m= Sa„,/,a-^.

La substitution (8) est la plus simple de toutes les substitutions linéaires qui
satisfont aux congruences (7), pendant que (9) est une substitution linéaire
quelconque à coefficients entiers.

Ainsi l'on obtiendra toutes les substitutions qui satisfont auxdites con-
gruences en faisant suivre la plus simple d'entre elles d'une substitution quel-

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 34 I

conque à coefficients entiers. Nous pourrons donc nous borner à envisager la
substitution (8) elle-même.

Appliquons donc à notre forme F la substitution (8); tous les coeflicicnts
de F3 satisferont aux congruences (7). Par exemple, le coefficient du terme
X\ n — y\Xi, Xi étant une des 2p — ly. dernières périodes, sera divisible par A',,
et ce terme s'écrira

de sorte qu'on pourra le faire disparaître en posant simplement

X "2 — jO ij G, OC j j

c'est-à-dire par une substitution de déterminant i .

Ce sera là la manière la plus simple défaire disparaître tous les termes de F3.
Si, après avoir séparé, comme nous venons de le dire, les deux catégories de
périodes, on applique à la forme F une substitution linéaire quelconque ne
portant que sur les 2]:/ premières périodes, puis une substitution linéaire quel-
conque ne portant que sur les 2p — 2;jl dernières périodes, il est clair que,
dans la forme ainsi transformée, les deux catégories de périodes seront encore
séparées. On est ainsi conduit à une infinité de manières de faire disparaître
tous les termes de F3, et il est aisé de voir qu'«7 n'y en a pas d'autres.

0. Occupons-nous maintenant de démontrer le second théorème de
M. Weierstrass. Nous supposons qu'une intégrale est réductible aux intégrales
elliptiques, et par conséquent jli ^ i . Dans le système primitif d'où nous par-
tons, les 20 — 2 dernières périodes sont nulles. Il s'agit de ramener ce système
à un système normal^ mais celte fois par une transformation de détermi-
nant I. Nous devons de plus supposer que dans le nouveau système les
2p — 3 dernières périodes ne dépendent que des 10 — 2 dernières périodes de
l'ancien système (de façon qu'elles soient nulles dans l'intégrale réductible), et
que la deuxième et la troisième nouvelle période ne dépendent que des
20 — I dernières périodes de l'ancien système (de façon qu'elles soient com-
mensurables entre elles dans l'intégrale réductible).

Quand la possibilité d'une pareille réduction sera établie, le théorème de
M. Weierstrass sera démontré.

Nous avons encore notre forme

342 SUR LA RÉDICTION DBS INTÉGRALES ABÉLIENNES.

qu'il s'agil de réduire. Ici

F,= «oC^iXa— .ro^i ).

Nous poserons d'abord

C'est là une subslitulion linéaire satisfaisant aux conditions énoncées, pourvu
que son déterminant soit égal à i. Or, les coefficients «21 «3- ••■> «2p devant
être premiers entre eux, puisque l'invariant de F' est égal à i , on pourra tou-
jours choisir les a et les (3 de telle façon que ce déterminant soit égal à i.
Après cette substilulion la forme F se changera en

F'=F', + f,-(- F3,
où

^"'i = -^'i y'-i — ■r'ii/i > F3 = 2 f; ( x\ y\ — x\y., ).

Il suffira pour faire disparaître F.j de poser

Après cette nouvelle transformation, la forme F deviendra

F"= x",y':, — x':,y[ + F'L

Il reste à réduire F!,, mais de telle façon que les ap — 3 dernières périodes
du nouveau système ne dépendent que des 2p — 3 dernières périodes de
l'ancien. Cela peut se faire absolument de la même manière.

Nous pouvons écrire, en effet, en supprimant les accents,

F;; = J:(i,(x,yi—X!y;,)-i- l.ei(Xiyi—Xiyi)-i- F';,

OÙ / est plus grand (jue 3 et où Fj ne dépend que des 2p — 4 dernières périodes.
Nous poserons alors

x'i, = «/i ^4 H- di a-r, -+-... H- rfop ^2ç>,
x'i = S,-,iJ-i-t- S,-,5 j:-3 + . ..-h o,-,2p.r2p,

en choisissant les d de façon que le déterminant de cette substitution linéaire
soit égal à i .

II viendra après transformation

F'^=-r'.,r:-y.y'3+^/d-^\y:-x'iy\)^P7;

SUR LA RKDUCTIOIS DRS INTÉGRALKS ABÉLIBNNES. 343

F"" ne dépend que des 20 — i dernières périodes, Nous poserons
d'où, après la lran^formalion,

11 reste enfui à réduire F^', mais celte fois par une substitution quelconque
de déterminant j . ce qui se fera aisément.

Le second théorème de M. Welerstrass est donc démontré.

7. Occupons-nous maintenant de généraliser ce résultat en supposant que,
au lieu d'une intégrale réductible aux fonctions elliptiques, nous ayons pt inté-
grales réductibles au genre ,u. Supposons, pour fixer les idées, p. = 2, de telle
façon que les 2p — 4 dernières périodes de notre système primitif soient nulles
pour nos [j. intégrales. Notre forme F s'écrira encore

F = F,+ F2^-F,
et nous pourrons supposer que F| est réduit de telle sorte que

F, = a.,{a:,yi — J:,yi » -H 6v( J-j Ji— ^1^3),
Fa = ^"i(-i'ij'i — -i-ijt ) — -biijCsVi — j-iy^) — Se, (x..yi — d-iyi)-^ I.di(x;yi — Xiyi)

Posons

(10)

L'invariant de la forme F étant égal à +1, les déterminants contenus dans la

matrice

a, I) «5 ar, ... «20

o bi b:, b,; . . . bop

sont premiers entre eux. Il eu résulte que l'on peut choisir les a, de telle sorte
que le déterminant de la substitution linéaire (10) soit égal à i.
Après cette transformation, la forme F deviendra

F'=F',^F,-+-F'3.
où

F'i = -r'i y., — X., y\ -i- J-;, y'., — x\ y\ .

F's = tc\(x'.,y\— x'i/.^ ) ^ ^d\{x\y\—x\y\ ).

a,x,— «5X5-^

«0 Xe — .

.-h a.2f,X,r,= X.,,

64X4— br,X-,—

bi j-6 — •

.— b,r>x,ç,= x\.

X, a = ->.

1. 5. C. .

. . > p : / = 5. 6. . .

. . 'i

344 SUR LA BÉDUCTION DES INTÉGBALES ABHLIENNES.

On posera alors

x\ = a;" H- s c-.r',', x'^ = ^3 -f- S d'jx'-

('>4),

et la forme F se réduira à

F" = ( x'\ y':, — xlf\-^ œly"„ — x\ yl ) + F'^ ,

F!^ ne dépendant que des 2p — 4 dernières périodes. Il reste à réduire ¥"^. Cette
réduction une fois opérée, le sjstème des périodes sera ramené à un système
normal, et, ainsi qu'il est aisé de s'en assurer, lune quelconque des ap — 4
dernières périodes s'exprimera linéairement à l'aide de la deuxième et de la
quatrième par une expression à coefficients commensurables.

Or nous pouvons toujours supposer que la deuxième période est égale à 1
dans la première de nos deux intégrales réductibles et à zéro dans la deuxième,
et que la quatrième période est égale à zéro dans la première de ces deux inté-
grales et à I dans la deuxième. Voici quel sera alors le tableau des périodes de
ces deux intégrales

A I B O «5 <7f, . . . «20

A' o B' I &:, ho ... /^«p

les a et les b étant commensurables .

Il s'agit maintenant de simplifier ce tableau en transformant les périodes,
mais de façon qu'elles ne cessent pas d'être des périodes normales.

Or : 1" les périodes ne cesseront pas d'être normales si l'on applique à une
période de rang impair et à la période de rang pair qui la suit une substitution
linéaire à deux variables et de déterminant 1 .

Ainsi l'on peut poser, par exemple,

(11) a'; = a(a!5+ (Bac, a\ = "^d-^—- oOf,. xS — [jy = i.

et remplacer dans le tableau 05 et a^ para,, et «,, ; le système de périodes ainsi
défini sera encore normal.

On choisira les coefficients de cette substitution de telle façon que a^ soit
nul; on opérera de la même manière sur chacune des p — 3 dernières paires de
périodes, de façon à faire disparaître dans chacune d'elles les périodes de
rang pair de la première intégrale; par conséquent on peut toujours supposer

«6 = ag = ajo = . . . = «2p = o-

SUR LA HÉDICTION DES INTÉGBALES ABÉLIENNES. 345

2° Posons

1 «i{l_l= «Ojpi— 1-^- i^f'2V— i> flt2V_l = ".'«'IJ.— 1 -i- Sa,.,— 1j

(1-2) < a',^,. = Saoji T<Ï2Vj <^21 = ;J«21J. +a<z,v,

Si, dans le système des périodes, on remplace

<^2a— Ij '^îti) ÛÎ2V— 1, 0Î2V

par

fltja— 1: Cfîii, CÎ2V— II "^«v,

ce système restera normal.

Appliquons la substitution (12) en faisant

JJL = p . '' = P 1 •

En choisissant les coefticienls de la substitution, nous pourrons faire dispa-
• raître «ap.i, sans que ajp et a^p-i cessent d'être nuls.

On appliquera ensuite la même substitution, en faisant

ji = p — I , V = p — 2,

et l'on fera disparaître rtop_:i.

Et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les a, excepté «5, soient nuls; on aura

Oc = «7 = «8 = ■ • • = a2p = o.

Opérons maintenant sur les h. Appliquons la substitution (11) aux p — 3 der-
nières paires de périodes, de façon à faire disparaître dans chacune d'elles les
périodes de rang pair, ce qui s'écrft

.bi= bi„ = ...= b,a= o.

Nous ne pouvons opérer de même sur la paire 656,!, sans quoi an cesserait
d'être nul.

Appliquons maintenant la substitution (12) aux deux dernières paires, de
façon à faire disparaître b-ia-it puis aux paires de rang p — 2 et p — 1 , de façon
à faire disparaître b-2o-3, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ait

6s = 69 = 6|0 = • ■ ■ = ^2? = "•

On ne peut opérer sur les troisième et quatrième paires, de façon à faire dis-
paraître i-, sans quoi a^ cesserait d'être nul.

Toutes ces réductions faites, le tableau des périodes s'écrit

A iB 0(/5 o o 00... o

A' o B' 1 b^ bf, 67 o o ... o

H. P. - m. «

346 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ARÉLIENNES.

II reste à faire disparaître b^. Pour cela nous appliquerons la substitution (12)
à la deuxième et à la troisième paire, de façon à faire disparaître la sixième
période de la deuxième intégrale; le tableau des périodes s'écrit alors, après
cette dernière transformation,

A I B| o (). H-|j.B,) o o ... o
A' o B'i I (À'+jiB'|) o V ... o

OÙ /., [j. et V sont conimensurables et il est aisé de voir que A'=: B,.

Le résultat ainsi obtenu se généralise aisément pour le cas de ;j. >-2, la
démonstration étant absolument la même. Pour énoncer ce théorème, je sup-
poserai, pour fixer les idées, |j.::= 3, p ^ j, et j'imaginerai que le tableau des
périodes ait été écrit sous sa forme habituelle (V).

On aura

~i" ^ ~-n = "37 = "ic = "sii = o,

"36 = ''3j "^U = ^'1 -H '■2"l2+ '-s'iSi

"2V = l-'-l "t~ '■2"-22 ^" '-3~23i "Sl = '' 1 "r^ '■2'^23 + /-S'aS-

■^1.5 = '■l'^Ur "2Ô = l-'2 -*"'■! '-23; '^SS = "'2 "i" ''i'^aS;

les }., les ,u. et les v étant cominensitrables. Ce qu'il faut surtout retenir, c'est
qu'on peut choisir le système normal des périodes, de telle façon que les ^ pre-
mières intégrales normales [cf. Glebsch et Gordan, Abeische Functionen,
p. K17), qui correspondent à ce système soient précisément jjt des intégrales
réductibles.

Dans ces p. intégrales normales, les périodes de rang 2^.4-2, 2|h + 4î
2^4-6, .... 20 — 2, 2p sont nulles; de ])lus il y a des relations linéaires à
coefficients entiers :

i" Entre les périodes de rang r^^u + i, 2, /i- 6 2/ji, 3, 5, 7, . . . , 2/j. — i ;

2" Entre les périodes de rang 2/j. -f- 3, 4, 6, . . . , 2fj., 5, 7, ...,2p. — i ;
3" Entre les périodes de rang 2p.-f-5,6,8, ...,3juL,n,9, ...,2p. — i;

jjL — 1° Entre les périodes de rang 4p- — 3, ap — 2, 2p. et 2p. — 1;
|i.° Entre les périodes de rang 4p- — i et a p.

J'ai conservé pour les rangs des périodes le même mode de désignation que
j'ai employé dans tout ce travail, de telle façon que la période de rang 2 À
occupe la X'"™" colonne dans le tableau (A), pendant que la période de rang
2À — 1 y occupe la (p +/.)""" colonne.

SUR LA HÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 3^7

Ainsi se trouve généralisé le second ihéorème de M. Weier.strass, dont il est
inutile de faire ressortiri'analogie avec l'un des plus beaux résultats de M. Picard.

8. La démonstration qui fait l'objet du paragraphe précédent peut se pré-
senter sous une forme un peu différente.

Soient a;,, x^^ . . ., x...p un système de périodes normales de nos p intégrales
abéliennes, et^,, çaj ■ ■ ■ ■, i;2[jL mi sjstème primilif quelconque de périodes des
;j. intégrales réduites.

On aura, pour une quelconque des intégrales réductibles,

,r,- = 2/, 2,7. ?A ( (■ = I , 2, . . . , 2 p ; À- = I , 2, ...,■-'. [i ),

les a étant des coefficients entiers.

Appliquons à nos périodes les substitutions (i i) et (12), de façon que le nou-
veau système soit encore normal.

1" Appliquons à toutes les paires de périodes la substitution (11), de façon à
faire disparaître «2,1, oc, ,, . . ., a.jp^.

2" Appli(juons ensuite aux deux dernières paires la substitution (la). de
façon à faire disparaître oCip^i,!, puis aux paires de rang p — 2 et p — 1, cette
même substitution, de façon à faire disparaître «2p-3,( , et ainsi de suite jusqu'à
ce que tous les ot, , aient disparu, excepté «,,(.

3° Appliquons ensuite à toutes les paires de périodes, excepté à la première,
la substitution (1 1), pour faire disparaître «4,;., 9.^,^, .... «ap,'.)-

4° Appliquons ensuite la substitution {12) aux deux dernières paires pour
annuler 3t2p_^2. pn's aux paires de rang p — 2 et p — 1 pour annuler a!2p_3,), et
ainsi de suite jusqu'à ce que tous les «,,2 aient disparu, excepté «i,,., a^^j et «3,2-

5" Appliquons la substitution (11) à toutes les paires, sauf aux deux pre-
mières, de façon à annuler a,;, 3, 0^8,3, • • — c<2p,3-

6° Faisons ensuite disparaître à l'aide de la substitution (12), tous les «,^3,
excepté et, ,3, «2,3, «3,3, a^,, et «5,3.

En continuant de la sorte, on arrivera à avoir

(l3) 3C,-,A-= O (t > 2— 1).

Cela fait, nous allons chercher à faire disparaître les coefficients a,^/, où

l'indice i est pair et plus grand que aj-i; il reste ^^ISL 1 coefficients qui ne sont

pas encore nuls et qu'il faut annuler; mais cela ne pourra se faire qu'en faisant

348 SUR L4 RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.

reparaître quelques-uns des coefficients qui avaient disparu dans les simplifica-
tions précédentes. Il faut s'arranger pour que les coefficients an, qui reparaî-
tront ainsi aient tous l'indice / impair. Pour cela, il faut que les périodes ^
aient été choisies convenablement, comme ou va le voir.

Le choix des périodes^ est resté jusqu'ici entièrement arbitraire. Mais il esi
clair que nous aurions pu remplacer les l par tout autre système équivalent,
rien de ce qui précède n'en aurait été changé. Nous pouvons donc supposer
que le choix des périodes ^ ait été fait avant la réduction, de la façon la plus
convenable pour notre objet.

Voici comment nous pouvons supposer que ce ciioix a été fait.

Considérons les ' ''^ formes bilinéaires

*/>(,= '^k{.'^-2k-\,p^ïk,,,— '^ih,!,^ik~\,r,] (/> =1, 2, ..., p).

Les substitutions (i i) et (12) changent ces formes en elles-mêmes.
Il reste à voir ce qui arrive quand on remplace le système des ^ par un sys-
tème équivalent.
Posons

V 3 c

pr

il viendra

X R a-

Nos formes «t seront devenues

OU

''';■.<= '^{v'pr'^qs — P/JS [^7r)'I'/>7-

Supposons, en particulier, que la substitution qui fait passer des ï aux t' ne
porte que sur les 2fi — i derniers \, de telle sorte (|ue

Pi,i = i, P),/.-= fS;;-,i = o (A- = 2, 3, . . ., -ifi).

Il viendra

4'',,,= 2 ri,,,,*,,,,.

On pourra donc toujours choisir les (3 de telle façon que
<l>'i ,j = o ( i = 2, 3 2 [j. — I ).

En conséquence, on peut toujours supposer que les E aient été choisis de
telle sorte que tous les $,,y soient nuls, excepté •t|,2[i- De plus, cette propriété

SUR LA nÉDirTION DES INTÉGRALES ABÉLIENIN'ES. 349

ne sera pas altérée par une substitution linéaire ne portant que sur

En raisonnant de la même façon, ou verrait qu'on peut trouver une substitu-
tion linéaire ne portant que sur 'c.3. ii. .... ;jti_i ,. et telle que

<!>;;, = 0 (^ = 3. 4) • • •• 2,a — 2).

On peut donc toujours supposer que tous les $i,y et les ^2,q sont nuls, sauf
'ï'i.aiji. *ï*2,2u.î •••• 'ï*2,2u.-i- I^e plus, cette propriété n'est pas altérée par une
substitution linéaire ne portant que sur

ni 1

En continuant le même raisonnement, on verrait que l'on peut supposer que
^p,q est nul toutes les fois que

J) -i- q < lix-r-l.

J'aurais même pu, si cela avait été utile pour mon olijet, montrer que l'on

peut choisir les ; de telle façon que les ^— formes ^p,q s'annulent, à

l'exception de p. d'entre elles.

En effet, soient ;, , ;2, .... ^^j. les périodes d'une de nos p. intégrales, à l'aide
desquelles s'expriment les périodes normales .Ti, 5?o, . . ., x-^n de cette même
intégrale; soient, pour une seconde intégrale, vii, yjj, . • ., jLiau.; J't, J'^î • • • i J'ap
les périodes correspondant aux i et aux x. Ou aura

S(^,/,_,J-2/,— a72A.X2A-,) = ^'i>,,q(.?.,,-riq—l,r„,).

Or on aura pu toujours choisir les ^ de telle façon que la forme bilinéaire du
second membre soit réduite, et n'ait par conséquent (jue p. termes. Je suppo-
serai que les p. termes qui ne s'annulent pas sont ceux qui ont pour coefficients

*|.2IJL, *2,»ii-i, 'i'a.îp.-; t'u.,a+i-

De plus, aucun de ces termes ne s'annulera, sans quoi l'invariant de notre
forme bilinéaire serait nul : ce qui est impossible (cf. Comptes rendus des
séances de l' Académie des Sciences, t. \C\ II; Picard et Poincaré, Note du
3 décembre i883).
On aura donc

'i>p,q = 0

5' P-^ ^ < ^ !^ + I >

^'p.V < 0

si /> + y = 2 ix -f- I .

(i4)

Les substiiulions (11) et (12) n'altérant pas les formes <ï*p^, ces conditions

350 SUR LA BEDUCTIOM DES INTEGRALES ABELIENNKS.

subsisteront quand j'aurai annulé, à l'aide de ces substitutions, tous les a,*,
où /> 2A' — I. Mais les conditions (i3) et (]i 4) entraînent les suivantes :

a2h,k =0 ^' '' — A < «l-t — I.

Nous avons donc fait disparaître tous les 3:,^ lorsque l'indice (' est plus grand
que 2Â — I, ou lorsque, étant pair, il est plus petit que 4[-i + 2 — k\ Cela
posé, nous allons faire disparaître le coefficient a2a+2.(i_2, en appliquant la sub-
stitution (i2)aux(;j-f-i)''°° et(;j. - i)'*'"' paires, puis le coefficient a..,u_o,;i^3 en
appliquant la substitution (12) aux (f/+ i)'"""'et (',a. — 2)''""'' paires, puis le coef-
ficient 3!2u.+2,[i^4 en opérant de même sur les (p. 4- iV''"''et(|n — ^y^mv paires, ...,
puis enfin le coefficient a^a^Oj^u.- en opérant sur les (ij. + i)"""" et première
paires.

On aura alors

quel que soit /. .

On opérera de la même façon sur les (,u — 2)"™"' et (jjt — a)'""'" paires pour
faire disparaître «2;j.+4.u.+3, puis sur les (fjt + 2 )'*''"'• et {p. — y)'""" paires |)Our
annuler «2,i._H»,(i+4, ••■; P"is sur les (p -}- ;i )'^""' et première paires pour
annuler «2g.^4,2u.. On aura alors

3i:iji-t-v.-t = 1,

quel que soit k.

( )ii n"a qu'ti continuer de la sorte pour avoir enfin

a.,/,,* =0 ( /i = a ^ 1 . tj. -f- i s ; A" = i .>..... i [:i ).

Il est clair en elTet qu'en opérant dans l'ordre que je viens d'indiquer, on
pourra faire reparaître des coefficients a,^ que l'on aura fait disparaître anté-
rieurement, mais seulement si rindice (est ini/>air; ou n'aura pas à craindre
de faire reparaître des coefficients a,A dont le premier indice sera pair.

11 résuite de là qu'après toutes ces transformations les périodes paires des
p — fjL dernières paires seront nulles dans nos <j. intégrales réductibles. Mais ces
(jt intégrales ont été jusqu'ici choisies arbitrairement. On peut toujours les
remplacer par ;jt quelconques de leurs combinaisons linéaires. Or le choix de
ces combinaisons linéaires peut être fait de telle façon que, dans la première
d'entre elles, la période de rang 2 soit égale à i, et les périodes de rang 4- 6.

8 2|JL égales à zéro; que dans la deuxième d'entre elles la période de

rang 4 soit égale à i et les périodes de rang 2, 6, 8 2/ji égales à zéro, ... ;

qu'enfin dans la /ji''"" d'entre elles la période de rang 2jji soit égale à i . et les
périodes de rang 2,4.6, ...,2fjL — 2 égales à zéro.

SIR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 35l

Par conséquenl, si nos p. intégrales sont choisies de la sorte, toutes les
périodes de rang pair seront nulles dans chacune d'elles, excepté une qui sera
égale à i. Ce seront donc des intégrales normales. c. y. y. d.

Ainsi se trouve démontré, par des méthodes purement aritlimétiquos, ce
théorème si utile dans la théorie des fonctions abéliennes, ce qui prouve une
fois de plus que l'analyste ne saurait se passer du secours de la Théorie des
nombres.

SUR LA REDUCTION

INTÉGRALES ABÉLIENNES

Comptes rendus de (Académie des Sciences, l. 99, p. 853-855 (17 novembre iS.S4).

Si un système d'intégrales abéliennes de première espèce et de genre n
contient plus de n intégrales réductibles aux intégrales elliptiques, il en contient
une infinité.

Pour démontrer ce résultat, que les récentes découvertes de M. Picard
laissaient prévoir, je supposerai /! = 3, afin de fixer les idées.

Soient ^'1, j'2, J'3 trois intégrales abéliennes, la première réductible aux
intégrales elliptiques. M'appuyant sur un théorème de M. Weierstrass, je sup-
poserai que le tableau des périodes normales de ces intégrales s'écrit :

I

0

0

t;

/(

0

1 pour )-,),

0

I

n

/(

G'

II

(pour fi),

0

0

1

0

11

G'

1 pour 73),

h étant commensurable.

Je dis que si l'intégrale «J'i + Pjs+zJ's est ^réductible, il en sera de
même de va Vi + (3 r^ + yi's (v étant un nombre commensurable quelconque).

En effet les périodes de l'intégrale o.y, + (3 Ja +>'.»'.i s'écrivent

ro,

= a, CT2= p,

733 =

"iS

h?..

TO3 = /î, X -r- G' p -1

-Hy,

T^e

r^,= Gx-i~h?j, TO5=/î,a-r-G'|3-+-HY, ^e = H 3 4- G"-,-.

Pour que l'intégrale soit réductible, il faut el il suffit que ces périodes se
réduisent à deux, c'est-à-dire qu'il j ait entre elles quatre relations linéaires à
coefficients commensurables de la forme

(1) A,ra|-(- BiTTjo-!- C,TO3-h A';ra4+ B;t;î5H- C;rac= o (j = i,2, 3, 4)-

Sun LV RKDUCTION DES INTÉGRALES AllÉLIENNES. 353

L'intégrale 'jy-ji + '^y-i 4-7J'3 a pour périodes

ro'j = vGx ^ /i[l, ro'- = v/ja -)- G'p -i- H"/. nr',., = " / -" '' Y-

Or les relations (i) peuvent s'écrire

( I l)ix )

[A. -.„„;(;-,)]„, --[»,-„.(,-;.)],

-i- C,cî|, + - — ro', — B^rCj h- CJra'g =.o.

Il j a donc, entre les six périodes w', quatre relations linéaires à coefficients
commensurables. Donc l'intégrale va )•, +[3) ;■ H- '/J's eslréduclible. c.q. f. d.

On déduit aisément de là que, si le système d'intégrales du troisième
genre considéré contient plus de trois intégrales réductibles, il en contient
une infinité. Si les quatre intégrales _y, , )\., y^ et a )■, + ^^y^ + •/_)':! sont réduc-
tibles, il en est de même de 7a ri + \>-^y-i. + '•'■/. ':! Q-, i^ et v étant des coefficients
commensurables quelconques ).

D'après le tbéorème de M. Weierstrass, cité plus haut, on peut toujours
choisir les périodes normales telles que le Tableau des périodes d'une intégrale
réductible s'écrive (pour n = 3, par exemple)

I n n G ^ O,

où le nombre entier D est l'entier caractéristique de la réduction.

Il est toujours facile de déterminer cet entier. Supposons en effet, que
7i = 2 et qu'on ait trouvé pour les périodes normales d'une intégrale réductible

"k, fji, 1' et p.' étant commensurables. L'entier caractéristique sera égal à jji — }.
divisé parla plus grande commune mesure des six quantités i, ),, p., V, y! et
7,jjl' — V IX.

M"" Kovvalevski, étudiant un système d'intégrales abéliennes du troisième
genre, a rencontré quatre intégrales réductibles sans que sa méthode lui en
ait fait découvrir d'autres. Ce fait, en apparence contraire à ce qui précède,
s'explique aisément, car elle ne s'est occupée que des intégrales pour lesquelles
l'entier caractéristique D est égal à 2.

Je terminerai par la remarque suivante :

H. P. — m. .',5

354 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.

Soit un système d'intégrales du second genre et soit

1 (I G II
<) I H C.

le tableau des périodes normales de ces intégrales. Pour que ce svslèmo con-
tienne des intégrales réductibles, il faut et il suffit qu'il jait entre les périodes
G, H et G' une relation de la forme

( GG'— H!| — ÀG'— u'G ^^(7.'^|ji)H + ÀiJi'— X'|ji = o.

les coefficients À, /jl, à', p.' étant commensurables.

D'où cette conclusion qu'un système quelconque d'intégrales abéliennes
diffère toujours injinininnl peu d'un système réductible.

SUR

LES LMÉGR\LES DE niFFÉRENTIELLES TOTALES

Comptes renUus de l' icadcinie des Sciences, I. 9'J, p. ' i4S-i '^7 (sq décembre iS84).

La découverte récente de M. Picard sur les différentielles totales de pre-
mière espèce a ouvert aux analjsles une voie toute noLivelle où ils rencontre-
ront sans aucun doute bien des propositions import ;ntes. Aussi ne sera-l-il
peut-être pas sans intérêt de signaler ici certains résultats partiels qui, bien que
très faciles à démontrer, pourront être utiles aux géoniéties qui s'occuperont de
celte question.

J'ai cherciic d'a])ord à déterminer quelles sont les surfaces du quatrième
ordre qui possèdent des intégrales de première espèce. J'ai trouvé que toutes
ces surfaces peuvent se ramener, par un changement linéaire de variables, soit
à la surface réglée

.r-{ (t Z-— zbz — f ■ I — 1 xy ( a' z- -^- aô's H- c') — y-(a' z''- — lO" ; — c" ) = o,
qui admet l'intégrale

f r^f ^

J j-( az--^ -ibz-i- c) -i-y{a' z--i- -ib' z-^ c' )^
soit à la surface de révolution

1 J- — y- )--+-■>( .rî — r- ) Z., ^ Zi = o

(Z-, et Zj désignant deux polvnomes de degré 2 et 4 en ;;), qui admet l'intégrale

dz

J

Z,

Il est ailleurs aisé de voir que toutes les surfaces réglées et toutes les sur-
faces de révolution admettent des intégrales de première espèce, à moins bien
entendu qu'elles ne soient unicursales.

Si une surface admet une intégrale de première espèce u, réductible aux
intégrales elliptiques, les courbes u = consl. sont algébriques.

356 SUR LES INTEGRALES DE DIFFERENTIELLES TOTALES.

Si l'on peut tracer sur une surface une courbe unicursale, et si u est une
intégrale de première espèce quelconque de cette surface, la valeur de a sera
la même tout le long de la courhe.

De même, si la surface admet un point conique de second ordre, dont le
cône tangent soit indécomposable, la valeur de u en ce jioint conique sera
déterminée.

Si l'on peut tracer sur une surface deux séries de courbes unicursales, elle
n'aura pas d'intégrales de première espèce; si, sur une surface non unicursale,
on peut tracer une série de courbes unicursales, de telle façon que par cliaque
point de la surface passe, en général, une seule de ces courbes, elle aura des
intégrales de première espèce.

Supposons que l'équation d'une surface soit obtenue par l'élimination de
deux paramètres a et b. entre les trois équations

^(x. y. z, a, b) = o,

Çi(.r, Y. 3- a. b) = o.

•lu a. i) = o.

Si les trois polynômes o, cp,, et i]^ sont tes plus i;énéraux de leurs degrés,
la relation 'i = o est de genre plus grand que u; à un point de la surface cor-
respond un seul système de valeurs des paramètres et. par conséquent, la
surface admet des intégrales de |Memière espèce.

Enfin le théorème d'Abel s'applique aux intégrales de différentielles totales.

Soient M|, M2, . . ., M^ les points d'intersection de la surface avec la courbe

a, (3, y étant des polynômes entiers en x, y, :■ et 'k, [j.. v des constantes. Soient
u,, U'i, . . ., u,/ les valeurs d'une certaine intégrale de première espèce f/ en ces
ditl'érents points.

Soient de même M,, M.,, ..., M]^ les points d'intersection de la surface
avec la courbe

V, i^' et v' étant de nouvelles constantes: soient «', , u'.,, .... u]^ les valeurs de
l'intégrale u aux points M,, M!,, . . ., M,^.
On aura

(/| -H »o-h. . . -r- ",/= «'1 -+- Il'j -h ■ ■ ■ II',,-

SUR

UNE GÉNÉRALISATION DU THÉORÈME D'ABEL

Comptes rcinliis i/e l'Acadcmie des Sciences, l. lOl), p. 40-4^ ( ' janvier iS8)).

Le ihéorènie d'Abel, appliqué à une courbe algé]irii|ue ./== o de degré m,
peut s'énoncer ainsi :

Soient (x^, y,), {x^, y-,), ..., (.fy, )-y) fes points cV intersection de f ^ o
cnec une autre courbe algébrique -y = o; soient {Xi + dxi, J'i + c()'i),
{X'^-\-dx-,, y2+ dy-i)^ ..., {xj-{- dxq, Vg-r- d)-,/) fes points d'intersection de
la courbe f avec une courbe algébrique ç/ + ê'| = o infiniment peu diffé-
rente de o; on aura

■I
■^ Pi ./•.,. y., ) d.r-,

2 — w — = "•

P désignant un polynôme quelconque d'ardre m — 3, qui dei'ra s'annuler
aux points doubles de f, si les courbes o et o + e']) vont passer par ces points
doubles.

Considérons niaintenant une courbe gauche, intersection complète du
deux surfaces /= o, f, ^ o de degrés ni et n. Soit (x.,, y.„ z-,) un quelconque
des q points d'intersection de cette courbe a\ec une surface 9 = o, et
(x.,-\-dx.,, y-i-\-dy.,, z.,-\-d:.,) un des ]>oints d'intersection de cette même
courbe, avec une surface o 4- £'^ = o infiniment voisine de la première. On
aura

^ Pi j-v. y-,, z., \il.r^

flW dz-, rly., dz;

P désignant un j)olvnonie quelconque d'ordre m -\- n — 4-

Après avoir mis le théorème d'Abel sous cette forme, qui ne diffère pas
essentiellement de la forme habituelle, il est aisé de l'étendre aux surfaces.

358 SUR UNK GÉNÉRALISATION DU THÉORÈME d'aBEL.

Soit y'^ o une surface de degré m. Suit {x,,, y,j, z.,) un de ses points d'inter-
section avec une courbe gauche, (x.,-\- dx.,, J'v+ <(,''■/, Z'j+dz.^) un de ses
points d'interseciion avec une courbe gauche infiniment voisine. On peut se
demander quelles relations il y a entre les différentielles dx.„ dy,„ dz.,.

Je me bornerai pour le moment aux courbes gauches qui sont l'intersection
complète de deui suifaces o = o, 91 = o, de degrés n et p.

On trouve alors

Dans ces forinules I\ et Q^ désignent des polynômes de degré tn + p — 4
et m + n — 4 en r, j', z, où l'on a remplacé ces variables par x~,. y-j. z.,. Quant
à A.„ c'est le déterminant fonctionnel de f, » et o, par rapport à x, y, z, où ces
variables sont remplacées par x.,, yv, z^.

Un cas particulier assez intéressant est celui où la surface / se réduit à
un plan.

Soient alors cp = o, », = o deux courbes de degré m et (x.,^ y.,) un de leurs
points d'intersection. Soit (Xv+ dx.,, y.,+ dy,,) ce que devient ce point d'inter-
section, quand ces deux courbes varient infiniment peu. 11 vient

- r./ [d(z--Xç,) , diz^Xo,) j "]

y ■ L ^'-r-. dy., -^ J ^ ^^

^ do do, d^i do

~ dx^ dy., dx., dy.,

P étant un polynôme quelconque d'ordre m — 3, et À une constante quel-
conque.

Le théorème s'applique même si la surface / n'a pas de point singulier,
auquel cas il est aisé de voir qu'il ne peut y avoir d'intégrale de première
espèce. Mais il contient, comme cas parliculier, le résultat que j'ai énoncé
dernièrement au sujet de ces intégrales. Si donc du est une diflerentielle totale
de première espèce et si o et oi sont deux polynômes quelconques d'ordre n
et /;, on devra avoir

du — — 7— i — - 1

A

P et Q étant deux polynômes d'ordre m -h p — 4 et m + « — 4i et A éti'.nt le
déterminant fonctionnel de/, 9 et 9, par rapport à .r, y el 3.

Le problème est beaucoup plus compliqué quind la courbe gauche dont il

SLR INE GKNÉRAI.ISATION Ul THÉOHÉME d'aIIKL. 3D9

s'agit n'est pas une intersection complète. Pour faire voir de quelle manière il
devrait être traité dans ce cas, envisageons le cas p^irliciilicr d'une cubique
gauche.

Supposons d'abord que Ion fasse varier cette cubique, de telle façon que
deux de ses 3m points d'intersection a\ec la surface / restent lises. On pourra
alors trouver deux surfaces du second ordre o ^ o, ç/, = o qui passent parla
cubique donnée et par la droite qui joint ces deux points fixes. La formule (i)
reste vraie, si on l'applique à ces deux surfaces et aux points vdviables d'inter-
section de la surface /' avec la cubique.

Si, ensuite, on fait varier la cubique d une manière quelconque, on |)ourra
toujours regarder cette variation comme la somme d'une variation où deux
points A et B, communs à la cubique et à /', restent fixes, et d'une autre varia-
lion où deux points C et D, communs à la cubique et à /', restent fixes.

SUR LA RÉDUCTION

DES

INTÉGRALES ABÉLIENNES

Comptes rendus de l' Académie des Sciences, t. 102, p. giâ-giG (19 avril 1886).

Le |)robIénin de la réduction des intégrales abéliennes de genre p à un
genre inférieur ;j. a été, dans ces derniers temps, l'objet de nombreux travaux
parmi lesquels nous citerons un grand nombre de Notes de M. Picard, insérées
dans divers volumes des Comptes rendus et réunies ensuite dans le tome XI
du Bulletin de la Société mathétnatiquc de Fiance. J'ai moi-même donné,
dans le même Bulletin, une généralisation d'un théorème de M. Weierstrass,
relatif au cas de /ji = i . M. Picard ayant montré que la simplitication peut être
poussée plus loin encore dans le cas de p = a, fx = i , j'ai voulu voir s'il n'en
était pas de même dans le cas général. Il en est elfectivement ainsi.

Faisons fj. = 3, p = 6, pour fixer les idées; on peut amener le Tableau des
périodes à la forme suivante :

0000

0 0000

A

li"

R'

0

0

I

— )
a

li"

A'

I!

0

^,

0,

W

11

A"

I

abc

0

0,

0

0

al]C

G

H"

II',

0

I
â7>

ri

II

G'

II.

I
a

0

"

II

II

G".

a, 6, ... sont des nombres entiers.

SUR l-A RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉI.IENNES. 36l

Il y a des cas pariiculiers où la simplificalioii peut encore être poussée
plus loin.

Faisons, par exemple, p. == 3, p r=r 5; on aura, en général,

0

0
I

0

0

4)

0

A

B

C

*(>

I

I
a

0

0

f)

I

0

0

f)

I

C,

H

ir

0

0

0

I

0

I

0

11"

G'

H,

o o o o I 0 0 H' H Cl".

Mais, si a = I , on pourra ramem-r le Tableau des périodes à la forme suivante :

I o o o o A B o o o,

o I o o o B C -I- o o,

0

o o I o o o - (i H" ir,

n o o I o o (I II" G' 11,

o o o o I o o II H G".

H. P. — III.

SUR LA REDUCTION

INTÉGRALES ARÉLIENNES

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

liendiconli del Circolo Matematico di Palermo, t. 27, p. 28i-336 (1909).

I. — Généralités sur la réduction.

11 est à peine nécessaire de rappeler ici les principes de la lliéorie de la
réduction des intégrales abélieiines. Considérons une courbe algébrique C de
genre yj admettant/; intégrales de première espèce 2p fois périodiques. Dans cer-
tains cas, il arrive que les périodes de y de ces intégrales [q </>) ne sont que
des combinaisons linéaires à coefficients entiers de 2<jr périodes seulement. On
dit alors que les intégrales abélienncs relatives à cette courbe sont susceptibles
de réduction.

Soient

»i, ('•>, ..., u,,
ces p intégrales. Soient

Ci , C^, ... 1 Co^

■2p cycles distincts tracés sur la surface de Riemann correspondant à notre
courbe. Quand on décrira le cycle Ca, l'intégrale «<; augmentera dune constante
y-iii, de sorte que chacune de nos p intégrales admettra 2p périodes

Il y a réduction .si l'on a

(i) x,i.= S/mA-yP,-/ (j = I, 2, .. ..q; k = 1,2, . ..,2p; j = 1,2, ...,29),

les m/tj étant 4/>'/ nombres entiers et les {3,y étant 4?" constantes quelconques.

Sun LA RKUICTION DKS INTKGRALES AllKl.IENNES ET LES EONCTIONS l'CTlISIENNES. 3Sj

L'un des cas les plus intéressants est celui où (7=1, c'est-à-dire où l'une des
intégrales u, par exemple, ;^,, esl rédiicliljli' aux intégrales elliptiques. Les
relations (i) se réduisent alors à

(I bis) ïl/,= "Ul ;i]l — »lkl'i>i-:-

Soient alors x ei y les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe C.
Soient x' et y' deux fonctions doublement périodiques de ii^ admettant |)Our
périodes |3|, et [îi^. Si nous regardons x' Ql y' comme les coordonnées d'un
point M', ce point M' va décrire une courbe algébrique C de genre i. A chaque
point de la courbe C correspond une valeur cie (z, intérieure au parallélogramme
des périodes et une seule, et inversement. Or à chaque point Al de C correspond
une vah'ur de u^ déterminée à une période près et une seule, et par conséquent
un seul point M', d'où il suit que x' et y' sont des fondions rationnelles de .r
et )-; au coutraire x et >• ne sont pas des fonctions rationnelles de x' el y' sans
quoi les deux courbes C et C seraient de même genre. Les deux courbes C et C
sont donc liées par une transformation unirai ionnelle.

Réciproquement, envisageons deux courbes C el C de genre /> et i et telle
que l'on passe de la première à la deuxième par une transformation uniration-
nelle. Je dis qu'une des intégrales de C est réductible aux intégrales elliptiques ;
en effet, la courbe C étant de genre 1 admet une intégrale elliptique de première
espèce

«1 = / R (.<■', y'}c/-r',

R étant rationnel en x' et ) '. Or x' et y' sont eux-mêmes, par hypothèse, des
fonctions rationnelles de x et )', de sorte que

u,=Jn,i.,-.y)d.,-

Ri étant rationnelle en x el y. Donc 11, est l'une des intégrales abéliennes de
première espèce de C ; et u, n'a que deux périodes distinctes. c. q. f. d.

Cette dernière proposition peut s'étendre au cas de q ^ i. Supposons deux
courbes C et G 'de genre p et q {(/ <. p) et telles que l'on puisse passer de C à C
par une transformation unirationnelle. La courbe C (-lant de genre q admettra
q intégrales abéliennes de première espèce

M, = / R(a:'. y )cix' {i = i,a ç).

qui auront 2/) périodes distinctes. Comme x' et y' sont rationnels en x et )■,

364 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES AUÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

nous pourrons écrire

de sorte que les q intégrales H| qui ont 2q périodes distinctes seront des inté-
grales abéliennes de proniiére espèce de G. Les intégrales de C sont donc
susceptibles de réduction.

La réciproque n'est pas vraie. D'abord s'il y a réduction, il peut se (aire que
les constantes p ne soient pas les périodes des intégrales abéliennes relatives à
une courbe C On verrait assez aisément que ces constantes p doivent satisfaire
aux conditions nécessaires pour être les périodes d'une fonction abélienne.
Mais il peut très bien arriver que les périodes d'une fonction abélienne ne soient
pas les périodes d'un système d'intégrales abéliennes relatives à une courbe
algébrique. Lin système de fonctions abéliennes de genre /> dépend de ~^

constantes ; une courbe algébrique de genre /} dépend de 3/> — o constantes
seulement. Les deux nombres ne sont égaux que pour j» = 2 et pour y? = 3.
Donc, pour /' C> -^ 1^ fonction abélienne engendrée par une courije algébrique
n'est pas la fonction abélienne la plus générale. Elle peut s'appeler une fonction
abélienne spéciale.

Eh bien, les constantes ,3 seront toujours les périodes d'une fonction abélienne,
mais pas toujours celles d'une fonction abélienne spéciale. Mais ce n'est pas
tout. Supposons que les [3 soient les périodes d'une fonction abélienne spéciale,
c'est-à-dire qu'il existe une courbe C dont les intégrales abéliennes de première
espèce aient précisément pour périodes les constantes (5. 11 ne s'ensuivra pas
nécessairement que l'on puisse passer de C à C par une transformation uniralion-
nelle ; ou tout au moins le raisonnement précédent ne permet pas de l'affirmer.

Reprenons en elFet ce raisonnement et considérons q points

M'i, m:, m;,

de la courbe C. Soient d'autre part

«1, "j llq

les q intégrales de première esjièee de C. Soit u]/^ la valeur de l'intégrale «/,- au
point M^, et posons

Nous savons (pie les valeurs de i',, r.,, ..., u]^ suffisent pour déterminer (à
l'ordre près) l'ensemble des </ points M' et que, inversement, (piand cet ensemble
des q points M' nous est donné, on connaît les v) à une période près.

SIR LA RKDIXTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FLCHSIENNES. 365

Maintenant ces q intégrales (/, sûiit aussi des intégrales abéliennes relatives
à C, à savoir celles qui, par hypothèse, sont susceplibles de réilmtion ; .si donc
nous envisageons (j points

M,. M, M^

sur C et ([ue nous désignions par ///^ la valeur de l'intégrale w, en M/;, si nous
posons

à chaque système de points M,. Mj, ..., M^ correspondra un système de
valeurs des c, déterminé à une période près. Supposons qu'on lasse

celte égalité fera correspondre à un système M|. Mj. . . . , M^ de points de la
courbe C un système de valeurs des c, déterminé à une période près, et par
conséquent un système M,, M.,, . . ., M\^ de points de la courbe C entièrement
déterminé.

.Soient X;, -)', les coordonnées de M, ; x) , y) celles de M, . Il résulte de ce qui
précède que toute fonction rationnelle symétrique de

sera une fonction rationnelle et symétrique de

{Xi, yx; Xj, _)',; ...; x„ _)>).

Mais il ne s'ensuit pas, sauf dans des cas exceptionnels (et c'est sur ce point
que je veux insister), que x\ , ) ', soient fonctions rationnelles de .;, , )', ; x.,, y'.,
étant les mêmes fonctions de x^, y 2 ; etc.

D'autre part, il est presque inutile de rappeler que la transformation est
unirationnelle et non birationnelic ; et que, par conséquent, toute fonction
rationnelle et symétrique des X;, y, n'est pas une fonction rationnelle et svmé-
rique des x) , y]- .

Les cas de réduction peuvent être r.imenés à certaines formes canoniques
simples par un choix convenable des périodes et dés intégrales. Pour le faire
bien comprendre, je vais montrer quel est, dans deux cas de réduction, le tableau
des périodes normales ramené à sa forme canonique :

366 SIR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

PREMIER EXEMPLE :
9=1. /) = 3.

Cycles.. C,. C.,. C,. C.. C,. C^.

•ii-
Intégrale », ii- a o h o

■>i-

tu o 2i- o (t o

X

u~ o o -zir. Il /> c

(u entier).

DEUXIÈME EXEMPLE :

CNcles I.,. C,. C,. C.. Cj. C,;. C. C,.

■ii-
Inlégrale «1 '(~ " <> » " '' "

t'

Ï.3

II (1 ■> t~ Il o h r

■il- , ,,

» II- «1 '» i l ~ <> '> — i— 'I f>

Xj

■21-

„ II. IJ (1 (I HZ Il '' '■

(a. j enliers).

Ces deux exemples siifllronl pour faire comprendre quel est le sens du théo-
rème général, et la façon de ramener à la forme canonique. Je renverrai pour
plus de détails à un df mes .Mémoires (').

Quoi qu'il en soit, rappelons ce que c'est qu'une fonction 6 d'ordre /:. .Xous
aurons/) variables k,, «-2, . . ., "p et 2/> périodes, p de la première sorte, p de
la deuxième sorte ; la /.'''"" période de la première sorte est égale à 2 /tt pour «a
et à zéro pour les autres variables ; la /r"""' période de la deuxième sorte est
égale à o*/, pour U/,. On a d'ailleurs

Soient alors, les m étant des entiers,

P = Sj-^i;/,-, tQ = 'S.ijna iiiiin j.

(') Sur les fonctions abéliennes i American Journal of Mathematics, vol. A III, i886,
p. 289-342).

SUR L\ KÉDICTION DtS INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FO^•CTI0^•S FUCHSIENNES. 36^

La fonction 0 proprcmeni dite est la fonction ,

e = Sef-O.

Une fonction 9 d'ordre /.' sera de la forme

p+p, — -

0 = ï A e * ,

où l'on aura P,, = i(m,ft,, les /tétant des consiantes et où les A seront des
coefficients dépendant des entiers m, mais assujettis à reprendre les mêmes
valeurs quand les m augmentent de multiples de /.■.

Deux fonctions 0 d'ordre k appartiennent au même faisceau, quand elles ont
mêmes multiplicateurs, c'est-à-dire quand la forme P„ esl la même pour l'une
et pour l'autre. Les fonctions 5 d'un même faisceau s'expriment linéairement à
l'aide de A'' d'entre elles, puisque c'est là le nombre des valeurs distinctes que
peut prendre le coeflicient A.

Supposons maintenant qu'il y ait réduction ; nous distinguerons alors les
(j premières variables que nous appellerons les u. et les p — q dernières que
nous appellerons les (/'. Ainsi, dans le premier exemple ci-dessus nous aurons
une variable u qui sera u, et deux variables ii' qui seront

dans le deuxième exemple nous aurons deux variables u qui seront u, et u^ et
deux variables u' qui seront

(/', = 1/3. u'., = II;.

De même, nous désignerons par //;, et m] les coefficients entiers qui corres-
pondent à Ui et U; .

Nous pouvons alors poser

P, représente la partie de P qui dépend seulement des m et Pj celle qui dépend
seulement des m', de telle sorte que

P.i= :Lm'ii'.

De même, Q, représente la partie de Q qui dépend seulement des ni, Q.^ celle
qui dépend seulement des lu', et Q, celle qui dépend à la fois des m et des m'.
Tous les termes de Q, sont du second degré par rapport aux m, tous ceux
de Qs sont du second degré par rapport aux m' : ceux de Q, sont du premier
degré, d'une part par rapport ;iux m. d'autre part par rapport aux ru'. Dnns le

368 SUR LA RÉDUCTIOX DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

premier exemple ci-dessus on a donc

■> t ~

Q3= '"l '"',

et dans le deuxième exemple

-iir. , li-
Q3 = «h m., H jj- m., m , .

a " xp

Nous observerons ensuite que e^**' ne peut jjrendre qu'un ilombre fini de
valeurs distinctes. Cela tient à ce que les m et les m', de même que a. et (3, sont
des entiers. Dans le premier exemple, e""' ne change pas si //(, ou m\ augmente
de a, et comme il ne dépend d'ailleurs que de «i, et in\, il ne change pas quand
les m et les m' augmentent de multiples de x ; dans le deuxième exemple, il ne
change pas si »j, ou «i., augmentent d'un multiple de x. ou si iiu ou /«, aug-
mentent de ajâ. Il ne change donc pas si les m et les m' augmentent de multiples

4
de «(3. Dans tous les cas il existe un nombre /■ tel que e^*^' ne change pas

quand les m et les m' augmentent de multiples de / .
Cela posé, nous aurons

La sommation doit se faire par rapport aux m et aux /»'. Regardons pour un
instant les u comme donnés ; posons alors

A = i;fi".-u.-U..

où la sommation se fait par rapport aux m seulement ; A dépendra donc

des u et des m' ; l'essentiel est de remarquer que A ne change pas quand les

m' augmentent de multiples de A.

Posons

Q'=AQ,;

Q' sera la forme quadratique formée avec des périodes de la deuxième sorte,
k fois plus grandes que celles qui figurent au table:iu primitif: et ion aura

% i II . u ) = - k. e * ,

la sommation devant celte fois s'efTectuer par rapport aux m' ; ce qui montre
que 0 considérée comme fonction des u' est une fonction 9 d'ordre /. admettant
comme périodes de la deuxième sorte celles qui ont servi à construire la forme
Q'. Dans le premier exemple ci-dessus, ce sera une fonction 0 d'ordre a admettant
comme périodes

o iiT, 'xb :i.c.

SLR LA HKDLCTION DES INTKGIWl-KS ABÉLIENNES Eï LES FONCTIONS FICHSIENNES. 'i<i9

Dans le deuxième exemple, ce sera une fonction 'i d'ordre aj3 admeltant pour
périodes

•1 ir, o x[j/./' a[5 h'
o lir. ■ji'jh' x'jf'.

Remarquons que celle nouvelle manière d'envisager la réduction des périodes
abélienne? esl applicable non seulement aux fonelious (■) spéciales (comme
l'élaienl les précédentes qui parlaient de la considéralion de la courbe algé-
brique C), mais aux fonctions 0 les plus générales.

II. — L'invariant de la réduction.

Soient y.i^ les ayo périodes de nos intégrales abéliennes et reprenons la
relation (i) du paragraphe précédent :

(i) 2,/, 1^ 1/ /;(/.; ;i,y [i = \,-i. q; k = 1,1. >/) ; J =l,i. ....■>(/}.

Je ne suppose nullement ici que les périodes choisies soient les pèiiodes
normales. Nous devons d'abord définir la forme bilinèairr F(ic,j)') caracté-
ristique de ce système de périodes. Pour cela soient

L' — [J.| «1 -r [J.,, It.,-h.. . \1.,, llp,

\^ ' ~ \x\ l( f -k- \X'., Il ., ... \Xi,lli,

deux combinaisons linéaires quelconques de nos j) intégrales abéliennes. Soient

X,, .r.,, .... .i:,,,.
fi: Vi, .... .Vi,,

les Ajt périodes de U et de Li', de telle sorte que;

Ou aura entre les x et les v une ceilaine relation bilin(aire

{■>.) V(x.y) = o

qui subsistera quels que soient les coeflicients [j. et /j.' ; et c'est le premier
membre de cette relation qui sera \a forme bilinéaire caractéristique.
Dans le cas des périodes normales, cette forme se réduit à

-(■'■■2/- -\yik— ■■'■■iky-ik-i ) ■

Si la relation (i) a lieu de façon (ju'il y ait réduction et que U soit une ct)m-
binaison des intégrales réductibles, de telle sorte que

[j-k^'j. (,/. (/)
II. 1'. - III. 1,

->yo suit LA IIEDUCIION DES INTEURXLES AllELlENNKS ET LES FONCTIONS l'I'CllSIEN.NES.

on pourra écrire
OU bien encore

Ci) .r/--: lyWi^.^OJ^. (.);= i:,[JL, 3,;.

Si nous subsliluons dans (2) à la place des x leurs valeurs tirées de la pre-
mière écjuation (3), celle relation bilinéaire prend la f(jrme

où

esL une combinaison linéaire des_)'.

Nous pouvons assujettir les coeflicients ;j.'. restés jusqu'ici arbitraires, aux
■2(j conditions

("') H,.

■'(/ I.

qui Sont des relations linéaires entre les jj.', puisque les y sont des fonctions
linéaires des r^.'. Si ces relations ( T) ) étaient distinctes, elles admettraient y; — 2q
solutions linéairement indépendantes, puisque nous aurions jj inconnues '/
entre lesquelles nous auiioiis 2(/ relations distinctes. Mais ces relations (5) ne
sont pas distinctes, puisque les lij sont liés par les identités (4). Ces iden-
tités (4) sont au nombre de cj, puisque L désigne une quelconque des inté-
grales abéliennes réductibles, de sorte que nous pouvons |)rendre indifférem-
ment

r — II,, Il = II,. .... u = II,/.

Les équations (5) admettront donc ji — </ solutions linéairement indépen-
dantes.

Si ces équations sont satisfaites, l'intégrale abélienne U' sera réductible au
genre /> — ■(/. En effet, ses 2p périodes )• seront liées par les ay relations
linéaires (5) qui sont à coeflicients entiers, de sorte que ces périodes pourront
s'exprimer linéairement à l'aide de 2/> — 2Cj périodes distinctes que nous appel-
lerons Ç et que nous pourrons écrire (les n étant des entiers )

(■ iVi r, = ï /lij t/ ( i — i,-2; . . .. ■^j>; / = 1 . 2, .... ■2/1 — ■>(/).

En résumé, nous aurons d'une part cj intégrales \J réductibles au genre r/ et
d'autre paît p — 1/ intégrales U' réductibles au genre // - </.

SUU LA UBDUCTION DES INTÉGBALES AUÉLIENNES liT l-ES l'ONCTIONS l'UCIlSlKNMiS. 3;l

Rapprochons les égalités {'■>) et ( (3), (|ue nous écrirons

,/■, il/;/,/, (0/,, ji='^/i,iZj.

el formons le délerniinant des entiers iti el n ; il aura ■>./> lignes et 2/j colonnes,
puisque les indices /, k cXj varient respectivement de i à :'./), de \ à 2q, de i à
2p — 217. Je remarque ([ue ce déterminant sera un imariant, je veux dire
qu'il ne cliangera pas : 1° si l'on remplace le système des périodes a par un autre
système équi\alent ; 2" si l'on remplace les périodes w, ou encore les périodes 'Ç
par un système équi\ aient.

Je suppose, bien entendu, que le système des w, de même que celui des Ç, a
été choisi de la façon la plus simple possible ; c'est-à-dire que : 1" si l'on forme
le tableau des coefficients m, tous les déterminants formés en prenant 2(/ colonnes
do co tableau sont des entiers premiers entre eux ; 2" que le tableau des coeffi-
cients /( jouit de la mémo propriété.

l'osons maintenant

(7) Fl,= ïA„,r,;

les coefficients

'"-jL,/.,-,, ,ly,

I.

seront des entiers. Piap[)rochons mainlenanl 1rs équations (3) et {-), (|uc nous
écrirons

el formons d'une part le tableau lics /// et d'autre part celui des h. Dans le
premier tableau, mij occupera la j' ligne et la /' colonne ; dans le deuxième
tableau /i,, occupera la /'" ligne et la /' colonne.

Soit D l'un quelconque Jes déterminants formés à l'aide du premier tableau
et qui, d'après ce que nous venons de supposer, sont tous premiers enire eux.
Soit D' le déterminant correspondant du deuxième lableau. (Considérons la
somme iDD' cl com|)aiiins-la au délerniinant A des m et des /;, ipii, nous
l'avons vu, est un invariant.

IjCS n seront définies par les équalions

Ou a en eflét

o= n,=- ^-/i,,: , - -/'„",/. w,

el celte relation doit être une identité par rapport aux Ç/.

i'I Sun LA RÉDlcnON DES I.NTKGRAl.liS ABÉLIKNNES KT LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

Forniiins le déterminant M des /; et des n ; il aura ip ligues et 2/? colonnes.
Soit D' l'un des déterminants formés avec ■icj colonnes du tableau des // ; ce
sera un mineur de M ; nous continuons à désigner par D le déterminant formé
avec les mêmes colonnes du tableau des m. Je désignerai de même par Die
déterminant du tableau de> n correspondant à D' ; je veux dire par là celui (pic
Ion obtient en supprimant dans le tableau des n les colonnes que Ion conserve
dans le tableau des // quand on veut obtenir D'. Il résulte de là que D" est aussi
un mineur de M, et (pie l'on a, en développant le déterminant M,

\1 = ID'D".

On aura de même en développant le déterminant A

A - ilDH".

Et enlin nous nous proposons d'éludier l'expression

.1 = illU»'.

Quelle est alors la signilicalion des égalités (H) ; elles signilienl cpie les déter-
minants D' et D" sont proportionnels, c'est-à-dire que l'on a

n_ ). 11".

I*ar une livpolbèse faite plus haut, les J)" sont des entiers premiers entre eux ;
les D' sont des entiers. Donc "/. n'est pas autre chose que le plus grand commun
diviseur de ces entiers.

Pour déterminer ce plus grand commun diviseur, iiou> remarquerons cpi il
ne doit pas changer quand on remplace les périodes y. par un système de
périodes équivalent. Soit en effet un nouveau système de périodes a'; les a' sont
liés aux y. par 1111 système de relations linéaires à coefficients entiers et de déter-
minant I ; les X et les j)'' sont liés respectivement aux x et aux j' par les mêmes
relations linéaires. I.a relation F (x, j') = o devient

(2 bis) V'{j-\)' ) — 11.

F' (oc', y' ) étant ce (jue d('vieiit F (a;, v) quand on j remplace les .r et les y par
leurs valeurs en fonctions des ./' et des )■ .
Les relations (3), (1), (<>), (7) deviennent

(3 bis) 3:' -— ï /«'(').

(tibis) i:H(.j = o.

(G///.V1 ,) ^-li'l.

(■; bis) H = !/,•_) •= l/i.i.

SLH LA REDL'CTION DES INTElillALES AIlKLIENNEs ET LES ('ONCTIONS FICHSIENNES. 373

On voit que les m el les ni' sont liés entre eux par les mêmes relations linéaires
que les 7. et les y.' : el que les li et les li' , à cause de l'idenlité

"^hr ^/i y'.

sont liés par les relations conlraLçrédientes, c'est-à-dire par des relations qui
sont comme les premières à coeflicienls entiers et de déterminant 1 . Il résulte
de là que ces transformations n'altéreront ni le plus grand commun diviseur
des D, ni celui des D'. Nous pouvons donc supposer qu'on a choisi les périodes
normales.

On a alors

I"(j-,.k) = -(.î'i/. -i.t'»* — ■r.,/; )■!/.■ 1).

/ii/..i — m-ik-y;. /i-ii—i.i = — "';/.■./.

ce qui montre que dans ce cas les h ne sont autre chose que les m au signe et à
l'ordre près ; de sorte que les D ne sont autre chose que les D' an signe et à
l'ordre près.

Or les D sont premiers entre eux, il en est donc de même des D' ; donc on a

Nous pouvons supposer "/. =r^ 1 . quitte à permuter deux des w. Il vient ainsi

n :^ D". J = A.

Ce qui montre que l'cx/>rcssioii J est rimai irinC clierc/ic.

Appliquons cela aux deux exemples du paragraphe I ; pour le piemier il vient

(•). = J Cl., = /(,

Le tableau des m est donc

(coi) y. i> Il 'I I i>

( o>o ) ( I 4 » 0 I 0 ( »

et, comme les périodes sont normales, celui des /i est

o — i o y. o «1.
— 1 o o o <l »>.

Tous les D sont nuls sauf deux d'entre eux, tpii sont respectivement égaux
à I et à y. ; de même, tous les D' sont nuls sauf deux d'entre eux, qui sont res-
pectivement égaux à 1 et à 3!. Seulement le D qui est égal à a correspond au
D' qui est égal à x, tandis que le D qui est égal à i correspond à un D' qui est

374 SUR LA HÉDUCTION DES INTÉGRALES AllÉLIEN.NES KT LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

ogal à zéro cl Ir D' (lui est égal à i à nii I) qui est égal à zéro. Donc tous
les DD' sont égaux à zéro excepté un d'eux qui est égal à y.- et l'on a

Passons au deuxième exemple

l = ;j., u^ ^ rjt-, /r,, (.), = , ('); — r — )

tOj = ;ji| (7 -H ;j^; A. (■)., = \i.\ b -H ;x.2C-

I^es périodes ./• sont respecli\ ement ;

:>/n;Jii, li-^i.... n. o. ;xi ^( -i- ;xj 6. ;j.i /< -1- UjC. ;|^) J

ce qui donne pour le tableau des m

{^^^i\) y- o o <> () o o ï

(tOo) o a[j o o o 1) 1 o

(lO.i) Il II II II I II 11 1)

f f ') i ') 11(1 11(1111(111

et pour le tableau des h. les périodes étant normales,

(1 11 (I 1 V. (I o l>

o 11 — I 11 (1 i[i (I o

1 o II o I» (1 (I (1

n — I 11 on o . o o

Le seul des produits DD' qui ne s'annule ])a.s est celui où les déleruiinants D
et D' sont formés avec les colonnes i , a, 5 et 6 ; et dans ce produit on a

On aura donc

.1 = i:i»D=: a> 32.

Ainsi, si Ton clioisit le sv?lème de périodes de fa^on à mellrr le tableau de>
périodes réductibles sous la forme canonique, l'invariant J est un carré parfait.
Car la démonstration (jiie nous avons développée dans les deux exemples précé-
dents s'applique évidemmont à tous les cas. Or, cet invariant ne dé|)end pas du
cboix des périodes. Donc V invariant J est toujours un carré parfait .

Jusqu'ici nous avons supposé que les périodes x et y étaient distinctes. Ne
faisons plus celte hj-pothèse ; les périodes x peuvent n'être pas distinctes et
par conséquent leur nombre peut être plus grand que a p.

Il existera alors un système de 2p périodes distinctes ./■'. et nous aurons entre

SUR l.A BEDUCTION DES INTEGRALES ABÉLIGNNES ET LES l'DNCTIONS ITCHSrliNXKS. i" '>

les deux systèmes de périodes les rulntions

(9) Xi=z ^kXik^'n.

les >. étant entiers ; et enlre les périodes correspondantes y et 1' les relations

(>.l '"■'•■' .1'/= -''•;7,,>''/,-

11 existera encorr une forme liilinéaire J''(./-, )) telle i[u'on aura pour deux
intégrales abéliennes quelconques de première espèce

Quand on remplacera, dans cette forme, les ./' el les )■ par leurs valeurs (<))
et (gl)is), elle deviendra une l'orme bilinéaire en ./' et _)' que j'appellerai
F'(x'. y'), de sorte qu'on aura l'identité

F(.T.y) = F'i.r',y').
Nous conserverons les mêmes périodes w et nous aurons la relation

pt de même avec les périodes x'

Les I» et les m' sont entiers. Le tableau des m' a 2j> colonnes et g lignes ;
celui des //; a q lignes, mais peut avoir plus de a/J colonnes. On aura d'ailleurs

(10) '",;■= Sa-X,7,- m'ij.

Nous avons d'autre part

et avec les périodes y'
d'où l'identité

d'où

(il) lti,j=~i'>'ikhii. .

Les relations (10) el (11) sont les relations linéaires qui lient les nombres
m et // avec les nombres m' et /t' qui jouent le même rôle par rapport aux
périodes .r' et >-'. On voit que ces relations linéaires soni contragrédienles.

Considérons le tableau des m et désignons par

ni/,, /.;. . . ., iq)

076 SUll LA RÉDUCTION DES INTÉGBAl-ES ABÉLIEN.NES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

le déterminant formé en prenant dans ce tableau les colonnes de rang i,,
«2, . . . , iq. Désignons par D'(/|. i-,. .... iq) le déterminant formé de la même
manière avec le tableau des /( ; par D, (/,. /'o, . . . , /^) et D, (/| , Z^. .... ?,;) les
déterminants formés de la même manière avec les tableaux des ;»' et des h'.
Soit ensuite

/, /.; . . . i,,

/,, /„

/..

le déterminant obtenu de la façon suivante : on considère le tableau des À, en
|)larant lu dans la {''"" ligne et la /,"'"" colonne : on supprime ensuite dans re

tableau toutes les lignes sauf celles de rang /,, i-2 /,/ (que l'on range dans

l'ordre indiqué ) et toutes les colonnes sauf celles de rang /c^ , /\2, ■ ■ ■ , f^'q-
On aura alors, en vertu des relations ( 10) et ( 1 1 ),

his

I I />!•■ I

n, (/,,. /..

'1 1-1

A, /.-.
A-, A-.

1),(A,,A, A,,i,

A,

!)■

( 'I. '...

'./}•

I"'ornions l"in\ nriiinl T d'après la règle énoncée plus hiiut
)n. ni vertu de 1 1 o his),

J = i:,-/

! '1

A, /.,
i>ii. en \ cri II (If ( I 1 />is ),

.1 - ^i

n.i /,,. /.-, /,,, iD'(;i, i..

i''/.i-

A , . /„

A...

..A,,,.

Nous \ iivDiis (iiii- l;i Irausfornialinn 11 allcie |ims la (dimic dr 1 ('X|>rcssion .1.
Or dans le en-- ilo |H'riodcs .r' et ) , .1 rcprésenle un iiivarumt. 11 sera donc
encore un invariant dans le cas des pt'riodi's x cl i'. Dailleuis dans le cas des
périodes distinctes, le même calcul aurait pu servir piuir démontrer les pro-
priétés invariantes de l'expression iDl)'.

Donc, /(I ri'gle pou i- former l iiHiirinnl reste lu iiirine ijudixl h x périodes
ne sont pas distinctes.

11 importe toutefois de faire attention au choix de la forme F(x, y).

Nous ne devons pas prendre pour cette forme bilinàaire caractéristiejiie
toute forme qui s'annule en \erlu des relations entre les périodes: sans quoi la
définition s'applif|iierail tout aussi l)ien. non seulement à la forme F(ar, r),

SLK LA REDUCTION DES INTEGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES. 577

mais ù la forme a F(x, j-), quel (|iie soit le coefficient a. Il faut choisir la forme
F de telle façon ([ue, si les x' et les )■' sont les périodes normales, on ait

Si les périodes ,27 et _)/• sont distinctes, cela veut dire que le (liscrimiuanl de
la forme F doit être é^al à i .

Ou bien encore, supposons que les périodes x et )• n'étant pas distinctes,
les périodes x' et k' soient distinctes, sans être forcément normales; nous
devrons nous imposer la i-ouilition que, si l'on a

V{x.y) = V'{.r'.y'\,

le discriminant de F' soit égal à i .

Si les périodes x el y sont distinctes, les coefficients de F(,r, v) sont entiers.
.Si ces périodes ne sont pas distinctes, ils peuvent être fractionnaires, mais
rien n'est d'ailleurs à modifier dans l'analyse qui précède.

Si les |)érioJes x et y sont distinctes, la forme Vix.y) se trouve entièrement

déterminée par les conditions précédenles. 11 n'en est jdus de mT^me si ces

périodes ne sont pins distincles. ( )n a eu eU'et entre les j- cerlaines relalions

linéaires

\, = \, = ...= \,„ = (.

et les relations correspondantes entre les y

Vi = Vo = ...=-_: V„, = o;

et alors nous pourrons reuiplacer F par

l'(./-.,i-i + ii li, \,— \, \,i,

les A, étant des fonctions linéaires quelconques des r, et les B, des fonctions
linéaires quelconques des )■.

Il y a toutefois une condition complémentaire que nous devons imposer à la
forme ¥(^x,y); celle forme doit s'annuler identiquement quand on y fait
Xi=yi. Si nous tenons compte tic celte condition, nous ne pouvons plus
choisir les fonctions linéaires A, et B, dune façon tout à fait arbitraire; mais
le> B, doivent être formi'-i avec les )• coiume les A,- a\ec les x.

II. P. - lit.

37S SIR LA RÉDUCTION DES I.\TÉGR.4LES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS KUCHSIENNES.

III. — Introduction des fonctions fuchsiennes.

Reprenons les deux courbes C et G' du paragraphe I. ayant respectivement
pour genre yo et q. Nous désignerons également pai- les lettres C et C les sur-
laces de Rieniann correspondantes. Nous supposerons que ces courbes sont
liées par une transformation unii'atioiini'Ue, de telle façon qu'à un point de C
correspond un point de C et un seul, tandis qu ù un point de C correspondent
Il points de C. Ce nombre n joue un rôle important dans la suite, et nous
devons tout d'abord chercher quelle relation le lie à l'invariant de la réduction ;
ce sera là l'objet des premiers paragraphes qui vont suivre.

Nous avons vu au paragraphe I que la délinilion de la réduction peut être
élargie, mais nous nous bornerons à l'étude des cas où il y a une transformation
unirationnelle analogue à celle dont nous venons de parler.

Soient M un point mobile de C, et AI' le point correspondant de C. Supposons
que M' décrive un contour fermé infiniment petit autour d'un point fixe A' de
la surface de Rieniann C; il peut arriver que M revienne à sa valeur initiale et
décrive aussi un contour fermé; mais il j)eut arriver également que M ne
revienne pas à sa valeur initiale, et que les n déterminations de M s'échangent
entre elles. Dans ce cas A' est un point de ramification.

Imaginons par exemple que les n valeurs de M subissent une permutation se
décomposant en y. permutations circulaires permutant respectivement

''■■ •'-• "'ï

valeurs de M, de telle façon que

Alors au point A', correspondront sur C seulement y points A,, Aj. .... A,
correspondant à ces permutations circulaires.

Soit par exemple n = 6, et supposons que, quand M' tourne autour de A',

M,. M,. M,, M,. \l,. M„

se changent respectivement en

M,. •Nln. Ml. M,. M,. Mr..

La permutation se décomposera en trois permutations circulaires

(M,M.,M.-,)(M., M,iM„

SLll LA HEDUC110.N DES INTÉGRALES ABÉLIENXES ET LES FONCTIONS FLCUSIENNES. 0^9

el l'on aura

•'1 = 3, . Vs= 2, 73= I.

Quand le point M' tendra vers A', M,, AL et M3 tendront vers A, ; Mi et M,
tendront vers Ao ; el M,, vers A:,.

Cela posé, nous allons ronstruire un système de (onctions luclisienues de
la façon suivante :

Soient X, y les coordonnées de M. yt x\ y' celles de M' : >oit ^ une variable
auxiliaire. Je veux que x,y, x', y' soient fonctions fuchsiennes de z ; que quand
M décrit un contour fermé sur.C. la variable ; revienne à sa valeur primitive
ou subisse une substitution linéaire: que quand M' décrit uncontour fermé sur
C, la variable ; revienne à sa valeur primitive ou subisse une substitution
linéaire; que j soit d'ailleurs choisi de la façon la plus simple possible.

Supposons que M' déciive sur la surface de Riemann C un contour fermé
infiniment petit enveloppant un point de ramification A'; il n'est pas possible
que ; revienne à sa valeur primitive, sans quoi x et j' qui sont des fonctions
fuchsiennes el par conséquent uniformes de z reviendraient à leurs valeurs ini-
tiales et A' ne serait pas un point de ramification.

11 faut donc que ; subisse une substitution linéaire elliptique; quelle est la
période de cette substitution, ou, en d'autres termes, au bout de combien de
tours décrits sur le contour fermé, notre variable z reviendra-t-elle à sa valeur
primitive? Il faut pour cela que toutes les déterminations de M soient revenues
à leurs valeurs primitives. 11 faudra donc v tours, v étant le plus petil commun
multiple de

Vl. V-, V,..

Qu'arrivera-t-il alors si lu point M décrit sur C un contour fermé très petit

autour de l'un des points.

\.. \. Aa?

11 arrivera que la variable ; suliira une substitution linéaire elliptique ayant
respectivement pour période

Et en effet, quand M décrit - tours autour de A, , M' en décrit v autour de V.

Si l'on regarde x et _)' comme fonctions fuchsiennes de j, on voit qu'elles
admettent un certain groupe fuchsien G. engendré par un certain polygone
tuchsien P. Si l'on regarde maintenant j?' ely comme fonctions de z, ce seront

3bO Slli LA UÉULCTIOIV DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS Tl CIISIENNES.

encore des fonctions t'uclisiennes admettant le groupe G, mais elles admeltronl
également un antre groupe fuchsien G' contenant le groupe G, et formé des
substitutions linéaires que subit j quand M' décrit sur G' un contour fermé.
Ce groupe G' sera engendré par un polygone fuchsien P', et comme G est un
sous-groupe de G', on voit que le polygone P est dècomposable en n />oly-
gones congiuents il V . \a\ question de la réduction des intégrales abéliennes
est ainsi rattaciiée à celle de la décompositiim des polvgones fuchsiens en un
certain nombre de polygones congruenls.

Nous voyons que le polygone P aura autant de cycles de sommets qu'il y a
de points analogues à A,, \o, .... A^, ... ; la somme des angles des sommets

du cycle qui correspond au point A, sera ^^^. Do même, le polygone P' aura
autant de cycles de sommets qu'il v a de points de ramification A^ la somme
des angles, jiour le cycle correspondant à A', étant — •

Nous pouriions. si nous le voulions, con>lruire les polygones I' et P' de
laçon à leur donner un pbis gr.ind nombre de côtés et de cycles de sommets;
nous pourrions en elfel considérer sur la surface G' un certain nombre de points
choisis d'une façon arliilrairc et les traiter comme nous avons fait des points A',
bien que ce ne soient pas des points de ramification. La seule diflerence serait
que les nombres v, v,, v^, . . . , v,, seraient tous égaux à i, de telle sorte que pour
les cycles correspondant à un pareil point A' ou aux points A,- correspondants,
la somme des angles serait it.. Ces tainsi par exemple que le groupe fuchsien G,
(jui est engendré par un <|uadrilatérc dont les côtés opposés sont conjugués el
dont la somme des angles est t:, peut cire également engendri' par un hexagone
dont les ci'ités opposés sont conjugués, la somme des angles de rang pair étant
T. et celle des angles de rang impair étant 27:; plus généralement, un groupe
fuchsien G (|uelconque peut être engendré par une infinité de polygones fuch-
siens dilTércnts. Mais il n'y auialt là qu une coiiiplicaliun qui, la plupait du
temps, serait inutile (-aiif dans le cas ou il n'y aurait iinniu point de ramifi-
cation A').

Cela posé, soient Q et Q' les nombres des cycles de sommets de P et P':
soient 2N et 2N' lenombre de leurs côtés. On a, par la formule qui donne le
genre d'un polygone fuchsien,

i an = N -• (I -4- 1,

( -^(1 = ^'_Q'-f-,.

D'un autre côté, on trouve pour la surface de P (au point de vue de la

sua LA RÉDICTION DKS INTÉGIIALES AUlil.IENXES ET LES FONCTIONS FUCIISIKN.NES. 38 1

géomélrie non euclidienne )

'2T. -^ étant Irt somme dos angles d un seul cvcle et par conséquent ai: 7 — celle
de tous les angles. On trouve de même pour la surface de P'

.,.v-„-,.v:.

Ces formules supposent t[ue luul sommet d'un des polygones congruenls à
I" est aussi un sommet de ['. Klles ne seraient plus Niaies si un de ces sommets,
commun à plusieurs polygones congruenls à P', était à l'intéi-ieur de P.

En tenant compte de (i), ces expressions peuvent s'écrire :

-'.;:(.Q-Ha/j — 2; — -.-^-i' =- ■,-'^(^\ — ^'j^->-{ip — ■>.).

2-(Q'-t-2y-'.,-.-2 \ = '^2('~' ;) + '-^(^'/--'-),

Comme I' est décomposal)le en n polygones congiuenls à 1". la première
surface doit être égale à 11 fois la seconde, de sorte qu on a

O + ■/; - •. -2 ':; - n ((1+ ' '/ - '^ -^ J j "

Mais pour un même point A', nous avons

et pour tous les points A

11 nous reste donc la formule

(2) O -+- >.p — 2 = /( ( <J'-+- 2 (/ — 2 I.

Cette formule subsiste si, usant de la faculté dont je parlais lout à l'heure,
on cherche à construire un polygone I' d'un plus grand nombre de côtés, en
prenant un point arbitraire sur C et le traitant comme un point A'. Dans ce
cas, en effet, Q augmente de n unités et Q' d'une unité.

Si l'on réunit un polygone II de 2N côlés à un autre polygone H' de .2 N' côtés,
de façon à former un polygone II' de 2ÎS" côtés et simplement connexe, il
arrivera gi'nér, dément que 11 et H n'auront qu'un seul côté commun, qui sera

3.S( SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES AHÉLIENNES ET LES FONCTIONS l'IICUSlENNES.

leur frontièi-e commune, laquelle disparaîtra par l'annexion. On aura donc

N"= N _hN'— 1.

Si exceptionnellement, II et II' ont deux cotés communs, ces deux cr)lés devront
èlre c(iu>écutifs, sans quoi II ne serait pas simplement connexe, et alors le
sommet qui sépare ces deux côtés sera à l'intérieur de II'; on aura donc généra-
lement

IX étant le nombre des sommets communs à II el à II' qui sont à l'intérieur de II".
Plus généralement, si avec trois polygones II, II', II", de 2N, 2N', 2N" côtés
on forme un polygone II"' de 2]N"' côtés, on aura

(N'" — i) = (^ — Ti -I- ( N' — ij -1- (^" — 1 ) — ;j.,

p. étant le nombre des sommets appartenant à deux ou plusieurs des polygones
II, n', II" qui seront à l'intérieur de H". Si nous appliquons cette formule à
notre polygone P de 2N côtés formé de n polygones congruents à P' qui a
2N' côtés, il viendra :

Ci ) N — 1 — Il (\' — Ti — ;j.,

jj. étant le nombre des iommets de P', ou d'un pohgone congruent, qui sont à
l'intérieur de P. Ces sommets devront correspondre à un point A, de C qui soit
tel (jue

A de pareils points, s'ils existent, peuvent également correspondre des cycles
de sommets de P ayant des angles dont la somme est 27:.

Nous re\iendrons sur ces hypothèses à la fin du paragraphe V.

IV. — Calcul de la forme bilinéaire caractéristique.

Imaginons un p(d\gone fuchsien I*, la courbe (^ coirespondante, elle système
des intégrales abélicunes de première espèce relative à celte courbe; et cher-
chons à déterminer, pour les périodes correspondant aux côtés du polygone P,
la forme bilinéaire caractéristique dont il a été question au paragraphe 11.

Nous emploierons les notations suivantes. Soient

les sommets consécutifs du polygone P endécri\anl le périmètre de ce polygone

SIR LA REDUCTION UES INTEGRALES AUELIENNES ET LES l'ONCTIONS l'ICllSIENNES. 383

dans un ccrlain sens. Soient

lus côtés consécutifs de 1', de telle sorte que le côté /; soit le côté a,_,o-,, et que
le côté y, soit lo côté <J..y<J\.

Soit U l'iuie des intégrales abéliennes de première espèce; soit .r, cette inté-
grale prise le long du côté ■/,, et soit ;, la valeur de l'intégrale U au sommet u, ;
on aura

(I) ■ ./•,=; ;,— ;,-,

et pour (jue cette t'ornuile soit générale, nous conviendrons de poser

Si les deux sommets o-,. et 7<i appartiennent à un même cycle, ladillerence

:-'-i — ^i = -''x r-i -H 'ï - » -t- . . . ^ •'■'j
sera une période.

Si les côtés y, et ya sont conjugués, on aura

ou

IJans ce cas

Z'i-i Z^— Z'^ Z^ I - t x

est une période, car les sommets (T'i_i et 7^^, de même que les sommets crr^ et <Tx_i ,
appartiennent à un même cycle. Si l'on permute les lettres y. et j3, il vient

'■1.-' — '-'i -- ^ï— -3 1 ^ J 3-
d'où

l'i I • ,la-l-.> 'i— II-

Si l'on l'ait la somme des équations (a), on trouve qut! la somme des
2N quantités x doit être nulle

Nous avons d'autres relations entre les )•. Soient par exem|jle

^jc- '::!, '•.■■ ^'~

les sommets consécutifs d'un même cycle : les cùl<'s y, cl y^ , seront eonjugués

o84 SIK LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

et Ton aura

yx= -,3 — -a,

,.•3= z.,.— :p.

V..= Z(,— Z--,

}'ô = -J — -5:

l'i-h )---h )î =

= 0.

(5) y^-

11 j aura autanl de rflatimis (5) que de cycles de sommets, >oil Q leur
nombre; le nombre des _)• est évidemment y. N; ils se trouvent liées par N rela-
tions (3) et par Q relations (5). Ces X + Q relations ne sont pas distinctes; car
si l'on fait la somme dos relations [o) et celle des relations (5) on trouve le même
résultat, à savoir

Il restera donc entre les y, jN + Q — i relations qui celle fois seront bien
distinctes. Car chacun des v figure une fois, et une seule, dans l'ensemljle des
relations (3); et une fois, et une seule, dans l'ensemble des relations (5).

Si nous désignons par A; les premiers membres des relations (3), par B, ceux

des relations (5) et que nous cherchions si Ion peut avoir idenliquemenl

■^'ï V ^T- X '■! P> — 0
—■^t ■* ( ^ -^ .-*' ''I — *■'?

les X et les fi étant des coeflicients constant!., chacun do r tigurera dans l'un
des A et dans un seulement, et, d'autre part, dans l'un de? 13 et dans un seule-
ment; il faudra que les deux coeflicients a et |5 soient égaux et de signe con-
traire. Chacun des x correspond à l'une des relations (3) et par conséquent à
une paire de côtés conjugués; cliacun des ^ correspond à l'une des relations
(5) et par conséquent à un cycle de sommets. Chaque côté a|ipailenant à une
paire, à chaque côlé correspondra un x: iliaque ■commet appartenant à un
cycle, à chaque sommet corropoudi a un ^'i. et. d'après ce que nous venons de
dire, le coefficient x qui correspond à un côté, et le coefficient p qui correspond
soit au sommet sulxanl xdt au sommet précédent, doivent être égaux et de
signe contraire. D'où il suit que tous les a doivent être égaux à — 1 (par
exemple) et tous les ^ à — i . Il n'y a donc pas entre les A, et les B, d'autre
identité que la suivante

Il v a donc N + Q — i relations distinctes entre les j , et comme les y sont au
nombre de 2N, il y aN — Q + ' quantités _}^ distinctes. Le genre est alors

»

*
comme il couvienl.

Sin LA REDUCTION DIÎS I.NTÉGI\A1,ES Alil•;LlEN^ES ET I-ES FONCTIONS ELCHSIENNES. 385

Cela posé, considérons une seconde inlégrale uhélienne L'; désignons par
x' , y', z' lus qiianlilés relatives à culte seconde inlégrale et correspondant à
celles que nous avons appelées x, r, :, en ce qui concerne la première. 11
s'agit d'obtenir la forme bilinéaire

Pour cela, prenons l'intégrale

tout le long du périmètre de P; celle intégrale devra être nnlle. Soient -/, et y^
deux côtés conjugués, et deux éléments correspondants de ces côtés; soient U^
et U3, Uj, et U3 les valeurs de nos intégrales en deux points correspondants de
ces côtés ; on aura

Je mets le signe — jiarce que si les deux côlés sont parcourus en suivant les
points correspondants, ils seront parcourus en sens contraire. L'intégrale

IJctW prise le long de ces deux côtés se réduira donc à

/

j\v.-Vx)dl= f.

i-.'/r

le long du côté -'rj; c'est-à-direyj..rJ3 ou — yy^x^.
L'intégrale se réduiia donc à

la sommation s'étendani à toutes les paires de cèilés, en prenant un côté seule-
ment dans cliaque paire. Mais comme on a

r« = —.'■?' ■^k = — •'■■3' .>•»•*■» = r?-'"3>

cela peut s'écrire

7. -J'^ ''a-

la sommation s'étendani à tous les côlés. Nous aurons donc

(fi) 1_K ./•■=(),

ou, en vertu de (i) (appliquée à l'intégrale U'),

-r^l '-'y— -i-i) = o-

ou, à cause de (3),

H. P. — m. 49

386 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGKALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

Tenant compte de la relation

il vient

-Xx :-'i->- -.'■;} ;'j-i- - r;ij'3= o.

Mais on a '

-fx :'^ = -y fi -'';i, -.'-a/a = -,>i-l.'>

En elTel l'indice x peut prendre loiilesles valeurs passibles depuis i jus(]u'à 2N ;
et quand il prend ces valeurs, l'indice p du côté conjugué prend également ces
mêmes valeurs dans un aulre ordre. Je puis donc écrire

(7) ■-2-J»-"a + -.'■a.'a= "•

Nous devons vérifier d'abord que le premier membre de (-) est iiien de la
forme F()-, )•'), F étant une forme bilinéaire. Choisissons en efl'et, dans chaque
cycle de sommets, un sommet que nous a|)pellerons le sommet initial. ( )n aura
alors, pour un sommet quelconque o-j,

a^ étant lu sommet initial du cycle et ^ ' une combinaison linéaire des }■' ; de
sorte que le ])remier membre de (- ) devient

Il s'agit de démontrer que le coefficient de :\^ dans cette expression est nul,
de telle sorte que cette expression ne dépend ]>lus que des >' et des)-'. Eu eilel,
ce coefficient est égala

la sommation s'étendanl à tous lessommets du cycle, et cette somme est nulle
en vertu des relations (5).

Il s'agit maintenant de vérifier sur le premier membre de (7) l'identité

(8) FO, v')-i-l-0-,.r) = '>
ou, ce qui revient au même, l'identité

puisque

F (/, y ) ■+- F (y, f) = F (j- -+- y. y -+- y ) — f (j-, y) — F {y, y).

Il est clair que

FO',.)-) = ■■iSja^ï + ~yi-

Or on trouve

F(r,y) = 2S-a< -"B-i— -a)-<- -(--.3-1— -:<?

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉliRAI.IÎS ABÉLIENNES ET LES l'ONCTIONS KUCHSIENNES. 387

OU, en développant,

Or le second niciubre est évidemnienl nul puisque, quand l'indice a [irend
toutes les valeurs possildes il en est de même de lindice (3 — i, quoique dans
un autre ordre.

En résumé nous avons entre les )' et les )' une relation hilinéaire

■>.l vz'-h 1 );)•'= ().

Cela prouve que la forme caractéristique clierchée P{y,y') est égale, à un
facteur co/istanf près, à 2ij's' + 2 )j', et 11 reste à déterminer ce facteur
constant.

Pour cela supposons que U', au lieu d'être une intégrale de première espèce
soit une intégrale de troisième espèce admettant pour points logarithmiques
deux points M, et M, de la surface de Riemann C, le premier avec le résidu
+ I , le second avec le résidu — i ; dans ce cas on aura

Uo et l'i étant les valeurs de U en M,, et M, .
D'autre part, l'intégrale

a aussi pour expression 2 (7:(U„ — U, ), de sorte que

Mais le premier membre de (-) n'est autre chose que le premier memi)ie
de (6), qui a été obtenue elle-même en multipliant par — 2 l'expression

(pii représentait noire intégrale; on aura donc
ou enfin, en tenant compte de (8),

(9) ^'{.y,r') = ^=y+-,^^yy,

pu encore

388 SUR LA RÉDICTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNKS ET LES FONCTIONS FUCHSIKNNES.

V. — Mode de correspondance des côtés.

Représentons-nous le polygone P décomposé en un certain nombre n de
polygones congrueuts à P'. Les côtés du polygone P' sont conjugués deux à
deux, ils sont au nombre de aN'; le nombre total des côtés des divers polygones
congruenls à P' sera donc 2/tN'; parmi eux il y en aura 2 JN qui n'appartien-
dront qu'à un seul de ces polygones et qui feront partie du périmètre de P;
les autres appartiendront à deux des polygones congruents à P' et leur servi-
ront de frontière commune.

Nous pourrons représenter ces 2«N' côtés par une notation à double indice

l'indice a variera de i à 2N' et se rapportera aux divers côtés de P'; l'indice (3
variera de i à « et se rapportera aux divers polygones congruents à P'; ainsi
P'(J3) sera l'un des polygones congruenls à P'; -/(a) sera l'un des côtés de P' et
j/(a, (3) sera le côté de P'((3) homologue au côté y (a) de P'.

Supposons alors que les côtés y(o'.) et '/{y-') de P' soient conjugués, et consi-
dérons un côté y (a, |3) ; il existera alors toujours un côté y{y-', (3'), et un seul,
qui sera identique ou conjugué à "/(«, P).

Si les deux côtés ^(a, (3), •/(«', j3') sont identiques, ils n'appartiendront pas
au périmètre de P, mais ils feront la frontière commune de P'((3) et P'(P'). Si
les deux c('ités y{x, (3), /(a', (3') sont conjugués, ils appartiendront au périmètre
de P el ils représenteront deux r('ités conjugués de P.

Nous pouvons alors envisager la substitution S3, qui change p en P'; c'est
une substitution qui change l'ordre des ?i h'ttres p. A chaque côté de P' corres-
pond une pareille substitution et les substitutions correspondant à deux côtés
conjugués Sa et S;;, sont inverses l'une de l'autre.

Voyons maintenant comment les sommets de P se répartiront en cycles. Nous
désignerons encore par it((x) celui des sommets de P' qui est compris entre y(ot)
et y(x-{-i), el par a(a, (3) le sommet homologue de P'(,3). Considérons un des
cycles de sommets de P', et soient

ces sommets. Considérons alors le sommet (T(a,, jS,); il sera identique ou con-
jugué au sommet o-fa', — i, ^\), où (3', sera le transformé de ,3, par la substitu-

SUR LA REDUCTION DES INTEGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. SSg

lion Sji^ : j'écris

P'i = pi Sa,.

On aura d'ailleurs a', — i = «j, et je poserai pour plus de sjmélrie dans les
notations

O rjf o r;

i-'a— Pi — l-'i ^i,"
De même, le sommet

sera identique ou conjugué au sommet
où y{(x'.,) est conjugué de '/(«a) et où

1^3 = i^2 = p-2 Sa.,

et ainsi de suite : et enfin le sommet

sera identique ou conjugué au sommet
OÙ

i-'/n ^^ i^m Sa,,, = pi Sa, Sa.,. . . Sa,,,.

Ainsi, pour obtenir |3'„, en partiint de [3,, il faut appliquer aux n lettres (3 la
substitution

qui change leur ordre.
Soient alors

les transformés successifs de (3, par -, i% . . . , i? ; on finira par arriver à

O" o

i-'?— pi!

c'est-à-dire par retrouver la lettre initiale. Alors les divers sommets

a(a,.ri,), a(a,,fJ';), a(a,,fi'^), ..., ^(a,, p;^., )

appartiendront à un même cycle, lequel comprendra en outre

cr(a,, ?i Sa,), a(a.„ ,3',' Sa,), <T(a,. Si; Sa,), ....
'(«3, ,?i Sa, Sa,), 0(23, [l'I Sa, Sa,),

On sait qu'une permutation quelconque entre n lettres j)eut toujours être
décomposée en un certain nombre de permutations circulaires; ici l'une des

Sgo SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABKLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNKS.

permutalious circulaires de — est la suivante :

j| . |J| , ^Jn, . . . , i^iy-l

et porte sur q lettres.

Supposons donc que i se décompose en / semblables permutations circu-
laires; nous avons sur P' un cycle de m sommets. A ce cycle correspondront
sur P, non pas un, mais >. cycles de summels; et si une de ces permutations
circulaires porte sur g lettres, le cycle correspondant comprendra qm sommets.

Il pourra se faire que plusieurs de ces sommets appartenant à divers poly-
gones P'(,3) soient identiques; le nombre des sommets distincts de P sur ce
cycle sera alors moindre que qni] il pourra même se faire, et c est une Hypo-
thèse que nous avons déjà envisagée au paragraphe III, que tous ces sommets
soient identiques et que la somme de leurs angles soit 27:; ce sommet n'appa-
rtiendra plus alors au périmètre de P, mais ce sera un point intérieur à P appar-
tenant à la fois à plus de deux polygones P'(|S) et étant le point d'intersection
des frontières de ces polygones.

VI. — Calcul de l'invariant.

Pour calculer notre invariant, nous devons d'abord chercher les nombres que
nous avons appelés /; et m au paragraphe II. Les nombres m se rapportent aux
différents >, et par conséquent aux différents côtés. Au côté -/(a, (3) qui est iden-
tique ou conjugué au côté -/(a', j3') correspond une périodey(5c, (3), qui est
l'intégrale U prise entre les sommets u(y., p) et u{ot.' — 1, 3). Si les deux côtés
j/(a. P) et •/(«', P') sont identiques et non conjugués,. il en est de même des deux
sommets afx, p) cl 7(a' — i , ,3') et l'on a

y{-j., ;i) = o
et de même pour l'intégrale U'

(1) /(=<. ;i; = "-
On a dans tous les cas

ce qui n'est autre chose que l'équation (.'<) du paragraphe I\ .

Les y peuvent s'exprimer en fonctions linéaires des périodes Wy et l'on aura

(2) y{:,,'^) = SmU.\i,j^^<>j
et de même

les m(o(, [3, y) étant entiers.

SUK LA RÉDUCTION DES INTÉGKALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 3ç)l

Considérons maintenant la valeur z{(x, (3) de l'intégrale U au sommet (j(x, (3)
et la valeur s(3t„, |3„) de Ij au sommet initial du cycle o-(a|i. Po) lel qu'il a été
défini au paragraphe IV^, nous pourrons écrire

(3) 3(a. ;i) = ;(2„. %)-i- ::/,■(:(, >./)(•>,

et de même

les /.(a, fi, /) élanl entiers.

Remplaçons les )■ et les z par leurs valeurs dans

F(y,y') = lzy+^^rr'.

Observons que nous pouxons dans les sommes du second membre introduire
les termes correspondant à des côtés y{x, jS), qui n'.ip[iarlicnnenl pas au péri-
mètre de 1\ mais servent de frontière commune à deux des polygones P'([3)-
En ert'et, ces termes contiennent en l'acteur )'(ot, p) qui est nulle dans ce cas en
vertu de la relation (i). De plus, nos formules sont applicables comme nous
l'avons vu au paragraphe IV, bien que les y ne soient [)as des périodes dis-
tinctes. Le premier membre doit se réduire à :

FO-,.K') = i:lly<.,y.

Quant au second membre il va prendre la forme d'une expression linéaire par
rapport aux ;(oC|i, p„) et aux ojy, puistjue les seconds membres des coefficients
(a ) et ( ;3) sont de cette forme. Mais le coefiicient de :{x,,, p,,) est égal à

V(=<. H),

la >oiinnation étant étendue à tous les sommets a-(a, [5) du cycle dont crfa,,, (3,,)
est le sommet initial. Or cette somme est nulle par la relation (5) du para-
graphe 1\'. Donc les termes en :{y.„, (3„) disparaissent et le second membre
est linéaire par rapport aux 'jtj seulement. On trouve alors, en identifiant les
coeflieients de ojy,

Mais on a, par la définition des nombres //,

H,= i;/<(2, fi,y)_)'(=<- fi),
d'où

(4) /'{y.. fi,y) = /,(,:(, >,y) -H ;^ «!(=<,?,/).

39'. SUR L\ nKDl'CTION DES INTÉGRALES ABÉLIKNNES ET LES FO?sCTIONS FUCHSIENNES.

On a d'autre p;irt

_)•( ï, 'il = — _r(,2', ^j = 31 -y — I, 3') — -{ï. ^1 = z(x', p' ) — z{-j. — I. il
et par const'quent, en égiilant les coefficients de oi^.
1)1 «M 2, p I = — «î l'ï'. |î' ) = /. I ï' — I, p) — /. I ï, ^ ) = /. I a'. 3' I — A ( 2 — 1.3).

11 faudrait aliecter les /ii cl les /. d un troisième indice / qui ser.iit le uièiiie
pour tous les nombres qui )ii;urent dan.s cette formule (.')).

Comparons maintenant deux expressions telles cpie ;(a, |j) et z{x, J3').

La dérivée de U prendra la même valeur en 7[x, 3) et en (/(a. ^') ou, plus
généralement, en deux points correspondants des deux polygones P'( 3) et P'(p');
et en efl'et nous avons supjjosé que l'intégrale U était réductible, cest-à-dire
qu'elle appartenait, non seulement à la courbe C, mais encore à la courbe C.
La différence des valeurs de L en ces deux points est donc une constante, et
pai- conséquent la dillérence

Cl X. (i ) — ;( 2. Jb' )

ne dépend que des indices 3 et ,3', et ne dépend |)as de l'indice x. Il en est donc

de même de la différence

/,('2. [î, /i — /,(':<, fj'.y).

Il résulte de là que nous pouvons écrire

/. ( X, fi, j ) = / 1 x.j) ■+- /, I ,'i,y I

et considérer le nombre /'{x, 3, /) comme la somme de deux autres nombres
analogues dépendant, le premier seulement ilr l'inilice :z et le second seulement
de l'indice 3.

Cela posé, rappelons comment on forme l'invaiiant .1 : on dresse le tableau
des /// et celui des /* ; on désigne [lar D l'un quelron(|ue des déterminants
obtenus en [irenant nj colonnes dans le premier tableau; jiar D' le déterminant
obtenu en prenant les /iiriin's colonnes dans le deuxième tableau; et l'on a

J =I.DD'.

Je dis que .1 ne changera |)as quand dans le premier tableau on ajoutera la
première colonne à la seconde, en même temps qui^ dans le deuxième tableau on
retranchera la seconde colonne de la première. Désignons en ellèt par D un
déterminant tiré du tableau primitif des //; ; par D', A et A' les déterminants
correspondants tirés du tableau primitif des h. du tableau modifié des m et du

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIEiNNES KT LES FONCTIONS FlfMlSIEIVNES. 'i[)3

tableau modifié dos /i . II s'ngil de montrer que

100= SAA'.

Soient Dj, l'un quelconque des déterminants, qui ne contiennent ni la première
ni la seconde colonne; D;:i l'un quelconque des déterminants qui contiennent à
la fois ces deux colonnes; D-. l'un quelconque des déterminants qui contiennent
la première colonne sans contenir la seconde et enfin D" le déterminant obtenu
en remplaçant dans D-,. la première colonne par la seconde. On aura

r)^=A^, D'^=A^, Ds=A;i. U'^= ::^^.
A.'! = Dy-*- D!;,
d'où

A!! = Dy-*-D!;, A:,= d:,— d;,", A..= D.p A;?=D'.i';

D^ ri'j, = Aï A'j, ii'i r»'j = \i Au, IJ-. n:, -+- h» r>:;' = a- a:. -+- a". a:." ;

et par conséquent

i;DD'=i;AA'.

On pourrait évidemment opérer de même sur d'autres colonnes quelconques.

Les colonnes de nos deux tableaux pourront être rangées dans un ordre tel
que celle qui se rapporte à un côté y (a, p) soit immédiatement suivie de celle
qui se rapporte au coté conjugué y(o(.', |j'). Nous aurons alors dans les deux
tableaux, dans chaque colonne de rang impair, les nombres

in(:t/fi.j), /i(x,'fl,j)

et dans la colonne suivante les nombres

Faisons l'opération dont nous venons de démontrer la légitimité, d'abord sur
les deux premières colonnes, puis sur les deux suivantes, et ainsi de suite. Alors
dans les deux tableaux modifiés nous aurons dans chaque colonne de rang

impair les nombres

/"( s. ;i,./), /((>, ';i,J) — /i{x',y.j)

et dans la colonne suivante les nomjjres

i/i ( a, [i. / ) + i/i( 'J.\ '}' . y), h ( x', ;j', j).

Mais

t)l(-J., [j, j I -H /;( ( x'. 3', y ) = o.

Nous pouvons alors supprimer toutes les colonnes de rang pair, et en ell'et tous
les déterminants A qui contiennent une de ces colonnes sont nuls, puisque tous
les termes de ces colonnes sont nuls dans le premier tableau mudilié.

H. P. - III. 5o

394 SUR I.A RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIF.NNES ET LES FONCTIONS FLCHSIENNES.

Il nous reslera donc deux tableaux formés respectivement avec les nombres

et il s'agit de former la somme

relative à ces deux tableaux. i

On a d'abord

et

2/'( =<. 'fi, J) = /'i^ — i.y.) -t- /^o'^j) + f^(^, j) -+- /'( ^ j),

■1 h ( a', Y, j) = k{3. — I . y ) -t- A( 3, j ) -+- /, i y.' , j i -t- k{'j' . j),
d'où

■>./(( ï, 3. y I — ■>ii{i','j,j)=^ki-j-' — i.y I -t- X ( 2,y ) — /, ( ï — I. /) — /. I ï'.,/),

ce qui montre que les nombres du deuxième tableau modilié el par consé(juent
les A' ne dépendent pas de l'indice p.

Chaque colonne dépendant de deux indices a et (3, chaque déterminant
dépendra de deux séries de '.nj indices

«], ^J. ••■, '^■iq

je pourrai donc désigner l'un des déterminants A par ces indices, en l'écri-
vant

A( 2], xj, . . .. y-i,,; fit, fil, .... fi-i,,)
ou simplement ^.

Nous pourrions écrire de même A'(^,, ^,)\ mais A', comme nous venons de le
voir, ne dépendant pas des (3, nous écrirons simplement

A'(.ï, I
el nous aurons

J = 1 Al :</, [i, I A ( 2, I.

La sommation doit s'efl'ectuer, d'une part par rapport aux indices (j, et
d'autre j)art par rapport aux indices a. Nous pourrons écrire

la sommation sefiectiiant seulement par rapport aux indices p, el l'on aura
ensuite

la sommation s'elTectuant cette fois par rapport aux indices y..

Nous devons observer que les indices y. doivent être tous ditl'érents, sans quoi

SUR LA BÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. Sgâ

A'(3:,) serait nul; en revanche deux ou plusieurs des ,j peuvent être identiques;
car, si (3, = [3.j, par exemple, les nombres

«)( z,. ,Ji.,/ I, i)t{y.i. ,Ji.y )

n'en seront pas moins différents. De plus, on doit tenir compte de l'ordre des (3
et, par exemple, les deux combinaisons

et

'J 'V o 'J o

Hîi /l- /:■ ,-■■ ,'i'l

doivent êlre tenues pour différenles, puisque la première conduit aux

nombres

m ( 2| . ^Ji . y I. //( ( 3:.i. jj. y I

et la seconde à

im Ui. j,, / t. III i X.,. /\. j ).

Cela nous indi([ue comment doivent être faites les sommations.

J'écrirai

A(:.„:3,) = [/«(a,-. 3,.y)]

voulant dire par là que A ( a,, j3,) est un déterminant où l'élément delà ('"""' colonne
et la /"'""' ligne est iii{Xi, |3,, J). J'aurai alors, avec la même notation,

Or

«i(ï,, [j,y ) = ACï/ — i.y I — Âi x/.y I -I- Al y.y I — /,-( ■j,j).

ce que je puis écrire

m 1 2,. [j. y ! = /«(■ 2,. /') -H /, ( y, y i — /, i fi, y),

en posant

«î ( 3!,, j \ = ]{[ x] — I ■ y ' — I' < ^n y I-

La sommation doit sétendre aux ii valeurs de ^. Le terme /)i(y.,. J) étant indé-
pendant de ,3, on a

-un u,,j) = iiiii(ui. j K

D'autre part, quand |3 parcourt les valeurs i, '>.. .... /(, l'indice jj' parcourt

les mêmes valeurs dans un autre ordre, de sorte qu'on a

lÂi (i'.yi — iiAi y y) = o

et qu'il reste simplement

ou

H (2,-) = n-^'!\ixi),

en posant

A( 2, ) = I //((>,.y)j.

SgG SUB LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

de sorle qu'il reste

ou bien

J = rr-fi',

y étant l'invariant relatif à la courbe C et au polygone P'.

Examinons en particulier les deux exemples du jiaragraphe I. Dans le pre-
mier de ces exemples on a ry = i, et nous pouvons prendre pour périodes

■?!r.
a

et supposer ijue la courbe C est une courbe de genre i admellanl comme inté-
grale de première espèce (/,, laquelle elle-même aura pour périodes fondamen-
tales - '' et A; nous reprenons les notalions du paragraphe I, de sorle c|ue les

lettres y. et A n'uni plus du tout la même signification qu'au début du présent
paragraphe. Quoi qu'il en soit, les périodes w, et o)._> pouvant être regardées
comme des périodes normales, on aura

J = i. J = «-

et d'après le paragraphe IT

J = a-, n = a.

Mais nous pourrions également prendre d'autres périodes (de façon que toute
fonction périodique admettant les périodes '.>, el ',).. admette nécessairement les
périodes—^ et fi\, par exemple

(3 et •/ étant des entiers quelconques. Dans ce cas le tableau des nombres //(
s'écrit :

a|i o o o J (>
u {) o Y 1) o

et l'on a

J = X- [j- Y'-; •''=■. ■' = ""• " = *?T'

Mais nous nous tiendrons à la première lijj)0lhcse, c'esl-à-dire que parmi les
systèmes de périodes oi qui conduisent à la réduction, nuus choisirons toujours
le plus simple; on aura alors

Passons au deuxième exemple. Ici q=^2, les intégrales h, et u^ admettent

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES. SqJ

pour périodes

■1 1 Z (> *> <» tl b <)

■-', / -
Il ■\i- (1 () b c — 7- o.

Nous pourrions donc prendre le tableau suivant des périodes ',> :

( s I

(0| Wi (»:; (Oi

■' I -

II, • o a b,

■II-
II. o — r- b C.

Mais ces périodes ne satisfont pas à la condition que doit remplir un svs-
téiue de périodes d'intégrales abéliennes engendrées par une courbe de genre a.
Nous devons donc cliercher un autre système de périodes sous-multiple du
premier. Je dis, pour abréger le langage, f[u'un système de périodes S est sous-
inultiplc d'un autre système S', cpiand l'existence des périodes S entraîne celle
des périodes S', sans que la réciproque soit vraie.

11 est clair alors que parmi les systèmes sous-multiples de (S'), et satisfaisant
à la condition fondamentale imposée aux périodes des intégrales abéliennes, le
plus simple est le suivant :

(S')

(0| 0>i CO3 tOi

■>i- ,

Ht — TT o a b

b

et que tous les autres ne sont que des sous-multiples de (S). Nous pouvons
alors supposer que «i et «2, regardées comme intégrales abéliennes relatives à
la courbe G', admettent les périodes S'. Alors le tableau des nombies /// ne sera
plus, comme au paragraphe II :

bien

a

<}

0

<>

0

0

(t

1

0

a 3

0

0

0

0

I

0

0

0

0

0

l

(t

0

0

0

0

0

0

( t

I

0

0

z'i

0

0

0

0

0

0

?

n

K"'

(1

0

n

1)

I

0

0

0

(1

1)

I

0

0

0

0

(1

1 1

,,

0

1

0

*h

SgS SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS KUCHSIENNES.

On n'a donc [ihis. comme au paragraphe II. J :^ îî'p-, mais

D'autre part, les périodes « étant normales, ona

J = I , J = /i ■• ,

d'où

Il = x3.

Dans le premier exemple, nous avons trouvé /; ^ y, dans le deuxième nous
trouvons n =: y.fj\ la loi est évidemment générale et peut s'énoncer ainsi :

Le iitiinbrc ii îles /iii/)s,'(iiirs I' ( j) n'es/ nuire chose ijiif le iionif/re /« re/diif
Il lu lèiluclimi cl ilèfini nu paragraphe 1 ; pour\u du nmins que l'on choisisse
le système des périodes oj de la façon la plus simple possible.

VII. " Autre mode de calcul.

O.i peut arriver à ce même résultat dune manière plus simple, de sorte que
je n'aurais pas pris un chemin aussi détourné si les propositions intermédiaires
ne devaient pas nous être utiles dans la suite.

Soient U et U' deux intégrales abéliennes appartenant à la courbe C, à
laquelle se l'apporte le polygone P'; la première sera de première espèce et la
deuxième de troisième espèce; elle admettra deux points singuliers logarith-
miques M„ et M, avec les résidus + i et — i.

Prenons l'intégrale

/^

le long du périmètre P': elle sera égale à

■'ITA I „— l',),

Uii et Ui étant les valeurs de U aux points M„ et AI, ; le résultat serait encore le
même si l'on intégrait le long du périmètre d'un quelconque des polygones
appelés plus haut P'(h), et en ellet quand on passe du point M„ intérieur à 1''
au point correspondant de P'(P)i l** valeur de U,, augmente d'une période; et
quand on passe de M| au point correspondant de P'(Jj), la valeur de l'i aug-
mente de la même période, de sorte que la différence U, — U,, ne change pas.
D'autre part, cette même intégrale est égale à

<1>((0, 0)').

SUR LA nÉDUCTIOPJ DES INTÉGRALES AllÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 3l)Ç)

les '.> étant les périodes de U par- rapport à la courbe C, et les '■>' olant les
périodes correspondantes de U', tandis que "t(oj, w') est la forme bilinéaire
caractéristique relative à ces périodes. On a donc

*(to, (.)') = ■>.i-(\'„— Hi).

Prenons niainlenaut la ménic intégrale le long du périmètre «te P, ce sera comme
si on la prenait le long des divers polygones P'(|3) qui sont au nombre de /;. On

trouvera donc

:>.iiir.(V„— V,).

D'autre part l'intégrale sera égale à

les )• étant les périodes de U par rapporl à la courbe C, les )' étant les périodes
correspondantes de U', et F(,)-, ,)') étant la forme bilinéaire relative à ces
périodes. On aura donc

'■"'.r!,»'') = ^"/'^{V,,— U|),

d'où

F ( )-,.>-') = /mI>((.i, w').

Si nous prenons les périodes normales et le premier exem[)le du paragraplie I,
nous aurons : pour

les valeurs

y^' .I::- y-; ^s. Xo.

■IIK, (>, O. II. ) O

a

(0|, (•)i,

les valeurs
d'où

ri= 5(t"l, y-l= o, fj = o, 74 = Wj, J--5 = Wj, J\ = o

avec les mêmes relations entre les y' et les oj'; d'ailleurs

p{y,y") = ji /■. — j''. .'''1 -+- j'.!.''5— i-a/i -f- jsi'o— r»/:l>
'I•((o, w') = Oi to'^ t.)., lo'i ,

d'où, en remplaçant les y et les y' par leurs valeurs en fonctions des m et
des (.)',

et

Il = 71.

Passons au second exemple du paragraphe l ; nous aurons (si U = }v«,4-p.«j) :

ion SUR l,A RÉDUCTION DES INTÉGKALES AIIÉLIKNNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

pour

yi- y-i, j'3- v:, 7.-,, fr., y-, y*,
les valeurs

... , , , . -î / -a ■>, / -À
■117-./., ■ii-'x, Cl. (>. ii/.-i-b'j., 6/. -+-f'j., — A-, :

poul-
ies valeurs

d'où

(■J). (O.j. <■)■■. (■);,

xi Xj

- ) a'/. -\- 1)'!.. h'/. -\- r a ;

^)| = 2,jC0], _)-.2 = 2,'j(0^, l:| = I). _)'i = I),

avec los mêmes relations vnXve les )' ul les '7/; d'ailleurs

•^0'> J'') = .>! j':, —.'■...» '1 -^.'^^.''li— J'c/î -t-.l':;.' '7 —."'t.»':; "^ Ji .)■'» — i'».> a,

'1> ( (•). 0)' ) = (■), w'j (0-; (o'i -h (')., (O'j (Oi w'., .

d'où

F(/.j-') = 2;i«inw. (■/)

et

Les résultats du paragraphe précédent sont ainsi retrouvés et la méthode est
évidemment f;éncra!e.

VIII. Cas où v = i.

Jcme propose mainlenani d'étudier de plus près les circonstances de la réduc-
tion et je commence par rappeler et compléter les relations entre les nombres N,
N', Q, Q', etc. Nous avons trouvé au paragraphe 111 les relations suivantes :

1 •■•/' = ^-Q -H >,

\ xq = N'_0'-v 1.
( ■-', ) Q -t- ay — 2 = /( ( Q' -I- ■'. (7 — 2 ).

(3) N — 1 = «CN'— n — ;ji.

La formule (2) s'applique au ras où le nombre p. est égal à zéro, c'est-à-dire
où il n'y a pas de sommet commun à plusieurs polygones P'd^ ) qui se trouve à
l'intérieur de P. Nous adopterons cette hvpolhèse: si d'ailleurs elle n'était pas
satisfaite, et que A13('J)A représentant le ])érimètre de P, un sommet commun E
à plusieurs l''([3) fût à l'intérieur de I', nous pourrions joindre AE et prendre
pour périmèire de I' la ligne fermée EABCDAE. Dans le polygone V modifié,
E serait regardé comme un sommet, dont l'angle serait 27:, et le périmètre

(1)

SIR LA RÉDICTION- DES INTÉliRVLES ABÉLIE.NNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 4"'

comprendrai! deux fois le côté EA, parcouru une fois diiiis le sens direct, une
fois dans le sens rétrograde. Nous pouvons donc toujours supposer

y. = o.

Dans ce cas. la formule ( î) devient
{3 bis) ^—i = ,l(^'—^).

elk' est une conséquence immédiate des foinuiles ( i) et (2).
La formule (2) peut s'écrire

(4 ) /( Q' — Q = îip — I ) — 'lui q — I ».

Le premier inenihre (k- celte relation est susceptible d'une inleiprétalion par-
ticulière. Nous avons vu au paragraphe V comment se forment les Q cycles de
sommels de I'. A chacun des Q' cycles de sommets de I*' correspond une sub-
stitution

i: = Sa, s»,... Sa,,,

portant sur /i lettres. Cette subsliiution se décompose en un certain nombre de
permutations circulaires. A chacune de ces permutations circulaires correspond
un cycle de sommets de P. Il y a donc en tout Q' substitutions—, et le nombre
total des permutations circulaires dont elles se composent est de Q.

Le nombre total des lettres est /iQ'; si alors)., est le nombre des permutations
circulaires qui permutent i lettres, on aura

d'où

(5 ) -I i — 11/,,= ■:>.( fi — i) — ••>.ni q — i).

' Voyons en passant quelle est la relation de ces substitutions i avec les
nombres v, définis au paragraphe IH. Chacun des points singuliers A' du para-
graphe m correspond à un sommet de P' et par conséquent à une substitution i.
Cette substitution permute /) lettres correspondant aux n feuillets de la surlace
de Riemann C du paragraphe III ou aux /; déterminations de AI, c'est précisé-
ment la perniiitation que subissent ces // déterminations quand M' tourne autour
de A'. Les points A, correspoodent à divers sommets de P et par conséquent
aux permutations circulaires en lesquelles se décompose i. On voit ainsi que
ces permutations circulaires porteront respectivement sur

V|, V,, Vj

lettres.

II. P. — III. 31

(112 SLR LA REDUCTION DES INTEGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

Aous allons examine/- en particulier le cas où g ^ i, c'est-à-dire celui où
la courbe C est dti genre i, et où les intégrales abèliennes sont réductibles
aux intégrales elUjUitines.

La formule (n) devient alors ;

( 5 bis 1 11/ — I I /,,= ■? I /< — 1 ).

Ceci nous montre d'abord que y/ ne peul être nul, ce qui était d'ailleurs évi-
dent puisque alors C n'admettrait pas d'intégrale abélienne; si l'on supposait
/J = I , tous les nombres i devraient être égaux à i , c'est-à-dire que toutes nos
substitutions i devraient se réduire à la substitution identique; il n'y aurait
pas sur la surface de Riemann C de |)oints de ramification A', nous devrions
prendre pour le polygone fuchsien un quadrilatère, à côtés opposés conjugués,
dont la somme des angles serait 2~; ce quadrilatère se réduirait alors à un
parallélogramme rectiligne de la géométrie ordinaire; puisque la somme des
angles serait 27: et non plus petite que aTi comme dans la géométrie non eucli-
dienne; nous retomberions en définitive sur la théorie ordinaire de la transfor-
mation des fonctions elliptiques.

Examinons donc le cas de

^/ = ' y > I •

Deux hypothèses sont possibles :

i" Ou bien toutes les substitutions 1 se réduisent à une |)ernuitation entre
deux lettres. Dans ce cas chacune de ces substitutions se décompose en un cer-
tain noml)re de permutations circulaires, qui ne portent que sur une lettre, de
sorte que le terme ( / — i) correspondant est nul, excepté pour l'une d'elles (|ui
porte sur deux lettres, de sorte (|ue le terme (/ — 1) correspondant est égal à i .
Nous aurons donc dans le premier membre de (5 bis) autant de termes égaux
à I qu'il y a de substitutions—, tous les autres termes étant nuls; ce premier
membre est donc égal au nombre des substitutions i. A chacune de ces substi-
tutions i correspond un cycle de sommets de P'. Si, comme nous l'avons sup-
posé au paragraphe III, nous choisissons ce polygone P' de la façon la plus
simple possible, il n'v en aura pas d'autres. Ainsi notre premier membre est
égal au nombre de ces cycles et l'on a

(C) Q'=2/)--..

et ]>ar consétpient

(7) N'=,^_,.

SUB LA REDUCTION DES INTEGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS EUCIISIENNES. .|OJ

La somme des angles sera tc pour chacun de ces cycles (puisque le nombre v
est égal à 2). Les polygones P' ainsi définis seront dos polygones P' de la pre-
mière sorte.

2" On peut supposer, au contraire, que quelques-unes des substitulions - ne
se réduisent pas à une peruiutalion entre deux lettres; que, par exemple, l'une
d'elles se réduit à une permutation circulaire entre trois ou plusieurs leltres,
ou à deux permutations entre deux lettres. Alors le premier nieiiibre de ( J bis)
contient plusieurs termes égaux à 1 , ou un terme supérieur à i et correspondant
à cette substitution, de sorte que l'on a

Q'<2/) — a, ^'<^y? — i.

Les polygones I" ainsi définis seront des polygones I" fie la deti.rième
sorte.

Les cas les plus simples sont ceux d'un quadrilatère dont les côtés opposés
sont conjugués et dont la somme des angles est égale à tt; ou bien encore celui
d'un hexagone dont les côtés opposés sont conjugués et qui a deux cycles de

sommets, avec des sommes d'aiigh-s de r. et de ^•

Nous verrons plus loin que les polvgoiii's P' de la deuxième sorte peuvent être
regardés comme des dégénérescences de ceux de la première sorte.

Examinons surtout ceux de la |)reniière sorte. Pour déterminer un polygone
de 2N' = 4p — a côtés, il Faut 8y> — - données. Mais notre polygone est assu-
jetti à certaines condilions. D'abord les côtés conjugués doivent être égaux (au
point de vue non euclidien ), ce ([ui fait N'= zp — i conditions ; ensuite la somme
des angles de chaque cycle doit être égale à tt, ce qui fait Q' = 2y> — 2 condi-
tions. Il reste donc

(<V - 7) - (■•^y - 0 - ('^y' - ■^) = 4/' - 4

données arbitraires.

Mais ces données sont réelles., elles équivalent donc à ip — 2 données arbi-
traires complexes.

Comparons ce nombre à celui des périodes arbitraires de notre tableau. Le
tableau des périodes peut être réduit à la forme canonique comme nous l'avons
fait au paragraphe I; reportons-nous par exemple au premier exemple de ce
paragraphe où (jr = i , /? = 3 ; nous voyons que dans ce tableau figurent quaire
arbitraires A, a, b, c; le noml)re x est l'entier caractéristique de la réduction et
ne doit pas être regardé comme arbitraire; c'est noire nombie /;. En général,

4o4 Sl'R I.A RliDLCTION DKS INTK(iRALKS ABKl.IEN-NES ET LES FONCTIONS FUCHSl^NNES.

nous aurons une arbitraire correspondant à li, et - — arbitraires analogues

à a, b, c; ^n toul

Ce nombre n'est pas é<;.il à [ip — 2 et -cela ne doit pas nous étonner, puisqu'un
système quelconque de périodes ne correspond pas toujours à une courije C,
ou, pour parler le langage du paragrajihe I, à des fonctions abélicnnes spécinles.
La diderencc

i-t- '- -h 1 — ('p — i) = ^ :f

est le nombre des conditions qu'il faut imposer à un système de périodes /•e(/»c-
liblcs pour qu'il conduise à des fonctions abélicnnes spéciales.

Considérims maintenant un sjsténu' de périodes queltoiniues. m in réductibles
en général; le nombre des périodes arbitraires esl

/' (p -+- 1 )
2

Le nombre des données arbitraires dont dépend une courlie C de genre p

(modules ) est

ip — 3 .
La dillérence

/";' + '> _ j 3 ^ />-— -.y» -4- fi

représente le nombre des conditions qu'il faut imposera un système de périodes
ijuidcDiiqucs pour qu'il conduise à des fonctions abélicnnes spéciales.

On remarquera que, comme il convient, ce nombre de conditions est le
même dans les deux cas.

Si l'on avait pris un polygone de la deuxième sorte, on aurait vn Q' < 'ip — • 2
et le nombre des arbitraires (réelles) eût été

(.i> — ;i) — N — Q'=3N'— Q'— 3 = 2Q'<4/' — 1.

Voyons, en nous plaçant à un poinlde vue entièrement dillérent. àquoi corres-
pondent ces Q' points singuliers. Considérons la courbe C, qui sera de degré»/

et aura par conséquent

, \ni — 1 ) ( m — ■>. I

a = — H

"2

points doubles.

Soit W| l'inti'grale abélienne de C qui esl réductible aux intégrales elliptiques,
l^es [loiiits A correspondant aux sommets de I*' seront ceux pour lesquels la

SIB LA BÉDICTION DBS INTÉGRAI-ES ABKI.IENNRS HT I.F.S FONCTIONS KUCIISIKNNES. 4o5

dérivée de cette intécralc -j-^ j-'anniilera. Ce seront (loue les points d'iat(!rsec-

lion de C avec la courbe

dit

dx

Cette courbe, adjointe à C, et passant par les d points doubles, est de degré
m — 3. Elle coupe C (en dehors dos points doubles) en ^

m(in — 3) — id = ■!(/i — I)

points. A chacun d'eux correspond en général une valeur de m, et par consé-
quent un cvcle de sommets de P'.

En général, ces ip — 2 points d'intersection sont distincts et correspondent
à autant de valeurs distinctes de «,. Le nonibie des cycles de sommets de V est
donc

Le polygone P' est alors de la première sorte, mais il peut se faire également
que les deux courbes se touchent de façon que deux des points d'intersection se
confondent (c'est le cas où l'une des substitutions i permute circulairement
trois lettres), on bien encore que deux de ces points correspondent à une
même valeur de «, ( c'est le cas où l'une des substitutions- permute à la fois deux
lettres ,3, et Z.,. et deux autres lettres ^3, et S,). Le nombre Q' est alors plus
peiii que ip — 2 et le polygone P' est de la seconde sorte.

IX. Cas de 7 > 1.

Nous avons alors à a|)plifjuer la foimiile
(i) S(/ — 1)/.,= af/i — i) — yniq — i)

et nous ferons une première remarque: si

(2) n > S^=^,

q — l

le premier membre de (1) doit être négatif, ce qui est absurde. Il est donc
impossible de construire les polygones P et P' de façon à satisfaire à l'inéga-
lité (2), Et cependant nous pouvons construire un tableau de périodes réduc-
tibles analogue, par exemple, au tableau relatif du deuxième exeiu|)le du para-
graphe I. Dans ce tableau (y = 2, p = 4 et «:=a^. 11 est clair que nous pouvons

4o6 SUR LA RKDICTIOX DES INTÉGRALES ABKLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

choisir les entiers ^ et ^ qui sont arbitraires de telle façon que le produit a[5

soit plus grand que 3, c"est-à-dire que

Nous pouvons donc construire un tableau de périodes réductibles, tel que
l'inégalité (a) soit satisfaite, et cela non seulement pour p^/^^ g ^2 mais
quels f|ue soient p et q, le résultat étant évidemment général. A la vérité, cela
n'implique pas l'existence des courbes G et C, puisque ces périodes pourraient
engendrer des fonctions abéliennes non spéciates. Mais dans l'exemple choisi
(/^ = 4, '7 = 2) il suflit d'une condition pour que les fonctions abéliennes
engendrées soient spéciales et pour que la courbe C existe: et. en effet, pour

yr? =r 4i on a — = i . Comme il reste dans notre tableau plusieurs arbi-
traires, nous pourrons disposer de l'une d'elles de façon à satisfaire à cette
condition, et la courbe C existera. Quant à la courbe C, elle existe toujours

(7-— 57 — 6
puisque, pnur ^ = 2, on a = o.

Ainsi nous pourrons trouver un système de périodes réductibles, telles que C
et C existent et que l'inégalité (2) ait lieu. 11 suffira pour cela, quel que soit n_
que le nom])re des arbitraires

? i <?-*-■ ; ^ (/^ — ?)(/> — y -^-')

'1 2

soit plus grand que le nombre des conditions à remplir

p- — J/j -H G q- — 5 7 -H G

■'. 2

Qu'est-ce à dire? Ainsi que nous l'avons vu au paragraphe I, si l'on consi-
dère un système S' de q points de C. on peut lui faire correspondre un système
S de ij points de C, de telle façon que toute fonction rationnelle symétrique
des coordonnées des divers points de S' soit une fonction rationnelle symé-
trique des coordonnées des dis ers points de S. JNIais il ne s'ensuit pas qu'à un
point M' de C on puisse faire correspondre un point M de (V, de telle sorte
que toute fonction rationnelle des coordonnées de M soil une fonction ration-
nelle des coordonnées de M'.

Quand la seconde condition (qui cnlraine la première) sera remplie, nous
dirons que la courbe C est inuUijilc de la courbe C, et quand la première con-
dition sera remplie sans que la seconde le sait, nous dirons que la couriie C
Qsl pseudo-multiple de la courbe C.

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉ(;l\ALES ABÉLIKNNES ET LES l'ONCTIONS FUCIISIENNES. 40"

L'analyse qui précède nous montre que pour des valeurs convenables de p,
ij el II il existe certainement des courbes pseudo-multiples.
Maintenant il peut se faire que

(3) ;, = ^i:=l.

Nous pouvons alors construire les polygones P' et P; seulement le premier
membre de (i) est nul, de sorte que tous les nombres / doivent être égaux à i ,
c'est-à-dire que toutes les substitutions ^ doivent se réduire à la substitution
identique. Alors il n'y' a pas de poinl de ramification tel que A' sur C. Si
nous choisissons le polvgone P' de la façon la plus simple possible, on n'aura
qu'un seul cycle de sommets de P' et la somme des angles sera i~.\ on aura

donc :

Q'=i. N'=4 7.

Nous dirons alors que le polygone P' est de la troisième sorte. L'exemple le
plus simple est ^ z= 2, /> = 3, « = 2 ; le polygone [*' est un octogone dont les
côtés opposés sont conjugués: le polygone P est un polygone de i4 côtés formé
par la réunion de deux de ces octogones et dont les côtés opposés sont conju-
gués.

Supposons maintenant

p — I
(4) "<7^'

nous pouvons alors faire deux hypothèses :

1" Ou bien toutes les suijslilulions i se réduisent à une permutation entre
deux lettres; on a alors

S I / — I ) À,- = Q' = 1 (/> — I ) — ■> « ( f/ — I),
N' = Q' -H 2 y — I = 7 (/î — 1 1 — ■' (■ /; — i) ( (/ — I) H- r .

Le nombre des données arbitraires (réelles) qui définissent P' est

4N'— 3 — N'— Q'= in'-HCw/ — G = \(p — \\ — {^n — (i)(i/— i)

et elles équivalent à

; = o(p — i\ — {,n -3U'/ — i>

arl)itraires complexes. Nous dirons ilan> ce cas (|ue le polygone P' est de la
première sorte.

2° Ou bien toutes les substitutions i ne se réduisent pas à une permutation

io8 SUR LA RÉnilCTION DES INTÉGRALES AliÉLlENNES ET LES FONCTIONS FLCEISIENNES.

enlre deux lettres; alors

Q' : •>(/) — i) — ■'-«(</ — i). ■' < '-'A i> — i"» — ym — J,l (</ — 0.

Le polygone P' e,->t alors de la deuxième, xorte.

Nous pouvons, ainsi que nous lavons fait pour le cas de r/ ^ i . loiuparer lu
nombre des arbitraires du polygone P' avec celui des périodes arbitraires.
Nous nous bornerons au cas des polygones de la première sorte; on a alors

'I =z ■t{p — 1 ) — ( 2 « — 3 ) ( 9 — 1 '

données arbitraires complexes dans le polygone I''. Le nombre des arbili-aires
dans le tableau des périodes réductibles est

H ^ ?(?-n) , ip — l^ip — '!-*-'>

Etant donné un tableau de périodes réductibles, à combien de conditions
doivent satisfaire les périodes de ce tableau pour que l'on soit conduit à une
courbe C multiple d'une courbe C? Le noml)re cherché de ces conditions
est H — V.

Comparons-le avec le nombre

p- — ■")/> -f- (i

des conditions pour (iii'uii svslème (jnelconiiue de péiiodes conduise à des

fonctions abéliennes spéciales, c'est-à-dire pour que la courbe C existe. La

dilTérence

II _ V _ p"-— '</>-*-'>

est égale à ( i — 'J ) {/> — 7 + 2 — 2 " ) •

On voit que l'égalité a lieu jjuiir 7 = 1. ainsi (jue nous l'avons vu dans le
paragraphe précédent; en revanche elle n'a plus lieu en général pdur 1/ ~> 1.

1° Si

(Il p = q -\- ■> Il — ■).

le nombre des conditions pourqu un système de période^ /l'diK/ililes engendre
deux courbes algébri(|ues C et C telle que la |)remlère suit mulli|ile de l'autie,
est égal au nombre des conditions pour qu'un système de périodes ij ueltiiiiijiirs
engendre une courbe algébrique C.

■j." Si

( C) ) /) < q -^ ■->n — ■i ,

Stin LA RÉDUCTION DES INTKUBALES ABÉLIKNNES ET LES FONCTIONS FLCHSIENNES. f\Og

le jjiiMiiier nombre est supérieur au second; c'est-à-dire quil peut arriver ([ue
les conditions [)Our que C existe étant satisfaites, cette courbe C ne soit cepen-
dant pas multiple d'une courbe C: et cela peut s'expliquer de deux manières:

Ou bien la courbe G' n'existe pas. En ellel, si nous avons c/ intégrales abé-
liennes réductibles n'ayant chacune que 2*7 périodes distinctes, il peut se faire
(jue les périodes de ces q intégrales engendrent des fonctions abéliennes à q
variables non Sfiéciales.

Ou bien la courbe C existe, mais la courbe C est seulement pseudo-mulliple
de C. Le nombre des conditions pour que la courbe C existe est

(/'- — ;j^ -t- (i

Si donc

il peut arriver que, les conditions |)our que les courbes C et G' existent l'une
et l'autre étant satisfaites, la courlie G ne soit rependanl pas multiple de G'. Il
est certain dans ce cas que G est pseudo-multiple de G'.

li" .Si au contraire

(S) P > 'ï -^ ' " — ■-■

le premier nombre est plus petit cpie le second.

Pour nous résumer : soit a le nombre des conditions pcmr cpie G existe, les
périodes étant quelconques; soit |S le nombre des conditions pour que G existe,
les périodes étant réductibles; soit y le nombre des conditions pour que G et G'
existent, les périodes étant réductibles; et enfin ô le nombre des conditions
pour que G soit multiple de G'. On aura certainement

^ - Y - fit '\' = *•

Les égalité-s et iné;;alités (5), (6) et (8) entraînent respectivement les consé-
quences

a = 0, 2 •< 3, a > S.

Si l'on a 3( >• ô, on a certainenu'nt 0 > (3. et dans l'hypothèse (7) on a même
y >• [î ; si Inn a 5< > o, (ui a certainement :z > 3 ; mais, même dans cette hypo-
thèse, il peut 1res liiiMi se faire fine idii ^iil pur CMMnple

ce (pu rntraînerail encore l'exisliiice île cciuibes psrudo- multiples. Tcuit ce tpu'
11. P. — III. :>■>.

4lO SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGBALF.S ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES.

nous pouvons dire, c'esL que l'existeuce de ces courbes, cerlaine dans l'Iijpo-
thèse (7) et dans l'hypothèse (2), est possible, on pourrait presque dire pro-
bable, dans les autres hypothèses.

Plaçons-nous maintenant au même point de vue qu'à la fin du paragraphe
précédent. Soit d'abord q ^ 1. Soient u et v les deux intégrales réductibles.
La courbe C sera de degré m avec

d='"'-'^^;''-'^ -p

points doubles. Les courbes

dx dx

seront des courbes adjointes de degré ni — 3 qui couperont C en ay» — 2 points
en dehors des points doubles.

Supposons que la courbe C soit pseudo-multiple de C; soient j?', , y\ ; x'„, j-!,
un couple de points quelconques de C; et j?i, i,; x>, l'o le couple de points
correspondant de C. (.Te prends un système de 2 points parce que q^i.)
Appelons R' et K ces deux couples ; à un couple K correspond un seul couple K';
mais à un couple K' correspondent plusieurs couples K. Dans quelle condition
ces couples s'échangent-ils entre eux? 11 y a certains couples qu'on peut appeler
couples de ramification, parce que deux ou plusieurs couples K s'échangent,
quand le couple K' subit un cycle de variations en tournant autour d'un de ces
couples de ramification. Ce qui caractérise ces couples, c'est que le jacobien
est nul :

/J(x,, .r.j)

Soient j< , et «j, r, et iv les valeuis des intégrales u et c aux poiiils ,/■, et x-^;

soient

U = II, -t- II.,, V = c, -H ('.,.

Si nous considérons deux couples K correspondant à un même couple K' et
par conséquent susceptibles de s'échanger entre eux, les valeurs de U et de V
seront les mêmes pour ces deux couples. La condition ]n'écédente équivaut

donc à :

(^(UjV) _ du, Ui'i du-, di\ _
i){x\,x.,) dx, dx-, il.r., dx, '

ce qui signifier que les deux points j", et x-, du couple de ramification sont sur
une même courbe du faisceau

du . ilv
(9) dx-^^'Tx=''-

SIR LA RÉDUCTION DES INTEGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS PL'CHSIENNES. |II

Pour trouver les couples de ramificalion, il suffira donc de mener une courbe
quelconque de ce faisceau et de prendre deux de ses points d'intersection
avec C.

Supposons maintenant que la couriie G soil multiple de G'; alors {x\,y\)
sera une fonction unilormo de (x,,y,). Si donc M' ust un point de G'; M, et
^l-, deux des points de G qui correspondent à M'; ii,, u-, et i|, t'a les valeurs
correspondantes des intégrales u et c, on aura

Ux = Ho. l'i = c.,.

Soient alors A' un des points de ramification sur G' et A, le point corres-
pondant de G; on aura en A,

du d^ _

dx dx '

c'est-à-dire que A( devra être un des points bases du faisceau (9) en dehors
des points doubles.

Supposons que le polygone P' soit de la première sorte, il y aura

de ces points bases en dehors des points doubles, puisqu'il y a Q' points de
ramification. Il restera donc pour une courbe quelconque du faisceau

? n(q —1)

points d'interjection en dehors des points bases et des points doubles.

Supposons maintenant que l'on considère deux points M, et M^ correspon-
dant à un même point M' et qu'on fasse varier d'une manière continue M,, M,
et M'; il viendra

(/, = (I.,. Cl = f.,.

d'où

dui _ du.,
f/i'i di',

ce qui veut dire que les deux points. M, et AL. sont sur une même courbe du
faisceau. Mais à un point M', correspondent n points M qui sont tous sur une
même courbe du faisceau. Les 2/i(c/ — 1) intersections de cette courbe avec C
se répartissent donc en 2q — 2 groupes de n points; les n points de chaque
groupe correspondent à un même point M'; ainsi, à ces 211(1/ — i ) intersections
correspondent sur G seulement 2ç — 2 points M' qui, correspondant à une

même valeur de -^ > sont tous sitr une mdinc courbe adjointe à G', de degré

di' ' ' c'

ni' — 3 si G' est de degré m'.

412 SUR LA RliDUCTlON DES INTÉcnALES ABKMKNNES KT LRS FONCTIONS FÙCIISIENNKS.

Dans ce dernier cas, considérons un couple de points M, et M^ sur C, situés
sur une même courbe du faisceau, mais en deliors des points bases; considérons
le couple correspondant M', et M., sur C. Comme on a

>^(U.V) _^

on pourrait croire que

et que ce couple est de raniificalion, ainsi qu'il arri\e pour les courlies pseudo-
multiples. Mais il n'en est rien, il y a exception dans ce cas. Nous avons, en
elfel,

<){x\,x\) d(x,. .r.,) t){a-t.j:.,)

Le second membre peut s'annuler, soit quand le second fadeur du premier
membre s'annule, soit quand le premier facteur s'annule. Ici c'est ce preuiier
facteur qui s'annule, puisque M, et M„ sont sur une même courbe adjointe de
degré m' — 3.

Si le polygone P' est de la deuxième sorte, le nombre Q' est plii> petit que

■>('/> — n — ■'/((</ — i),

mais le nojniiri' des |)oints bases situés sur C est toujours le même, en tenant
compte du degré de multiplicité: soil parce que C louche toutes les courbes du
faisceau, >oit parce que deux points liases correspondent à un même point M'
et par conséquent à un même soiiimel de I'', SI enlin P' est de la lioisième
sorte, il n'y aura pas de point de ramiliealion et par consei|iieiil pas de poini
base sur (). Le noinbre lolal des inteiseclions sera

>p — ■>, = ■'.//((/ — 1 )

se réparlissanl comme plus liant en '.(j — 2 groupes de n points.

Si, dans un cas quelconque, une courbe du faisceau devient tangente à C,
c'est que deux de ces groupes se confondent, ou que deux points d'un même
groujie se c(uifondent. Dans le premier cas la courbe n'est pas simpleitwtH
laiiL^enle à C, mais ji fois taniiente il C. Dans le deuxième cas, le contact ne
peut avoir lieu (|u'en un point base, ])uisque ce n'estque là que deux des points
correspondant à M' peuvent s'éelianger; et comme alors deux des points du
groupe doiveni venir se confondre au point base, comme d'ailleurs en un point

base quelconque, on aura '^ = ^ = o, ce qui veut dire que l'un des points

SUR LA RF.nlCTION DES INTK(;RAI.ES ARÉI.IENNKS lîT LE^ FONCTIONS H IIISIKNNKS. /j 1 3

du groupe ne pi'ul vciiii' en ce pniul hase sim> qu'un autre poiul du <;ioM|)e y
vienne également; nous devons conclure :

('elle des courbes du faisceau qui louche Ci en un jioinl base l'y ren-
conlre en trois points confondus.

Le cas le plus simple est le suivant :

/' = ■). y ~ ■>. Il — •>.. m = /II' = /\.

La courbe C est du f|ualriéme degré sans point double, la courije C du qua-
trième degré avec un puinl double; V est de la troisième sorte. Les courbes
adjointes à G' sont des droites passant par le point <louble; les conrbes du fais-
ceau (9) sont des droites passant par un point (ixe B. Ce point (ixe B nesl pas
sur C puisque nous ne devons pas avoir de point base sur C. Si ('■ est multiple
de C, toute droite [tassant par B coupera C en j poinlscpii correspondront à
2 points de C situés sur une même droite passtinl par le point doiibK'. Toute
tangente menée à C par B sera une tangente double; il y en aura 6, corres-
pondant aux 6 tangentes menées à C par le point double. Donc, sur 28 tan-
gentes doubles de C, il y en a 6 qui passent par un même point.

Soit maintenant

p =^ \. 17 = 2, /( = ■>. m = j, m' = 4 ;

P' est de la ]iremière sorte, Q'=2; C est du cinquième degré avec 2 points
doubles, C du ([uatrième degré avec 1 point double. Les courbes du faisceau (9)
sont des coniques passant par les 2 |)oints doubles et par les Q'= 2 points
bases. Ces coniques coupent C en /j |)oints en dehors des points doubles et des
points bases; ces 4 points corres[)ondent aux 2 intersections de C avec une
droite passant par le point double de C.

Si C est multiple de C, il y a 6 de ces coniques qui sont doublement tan-
gentes à C; celle de ces conupics qui louche C en un des points bases est
osculatrice à C.

Terminons en supposant q^i. Si C est pseudo-multiple de C au lieu de
systèmes de 2 points, il faudra envisager des iriplels ou systèmes de 3 points, au
lii'u de 2 intégrales u et v, il eu faudra considérer 3, «, v et iv; le faisceau (9)
deviendra donc un réseau

, . du . ilv ilw

( 1) l>is\ - -f- A -- -H ;j. -r— = i>.

ilx il.i: dx

Rien à changer d'ailleurs à ce qui [)recède; |)our obtenir le>> Iriplets de ramili-

4l i SUR LA RËDICTION" DES INTÉGRALES ABKLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

cation on prendra une courbe quolconquo de ce réseau et trois des points

d'intersection de cette coiirhe avec C.

Su|)|)osons maintenant que C soii multiple de C : en un point de ramilica-

lion on aura

du i/v 'fw

dx dx (tx '

c'est-à-dire que ee point sera l'un de> jjoinis bases du réseau situé sur C.
Si ^I, et M2 correspondent à un même point AJ'. on aura

dii\ di'i {hv\

dii.^ i/ca f/ii'j

ce qui montre que toute courbe du réseau qui passe par M| passe aussi par M».

Si f/onc deux cnirhcs du réseau se coupent sur C e/> un jioint. elles ont
n points d'intersection sur C qui correspondent à un même point M'.

Un certain nombre des théorèmes précédents sont évidemment généraux;
celui d'après lequel toute courbe du réseau en dehors des points bases et
des points doubles coupe C en 2n(cj — i) points qui si^ répartissent en
2 fj — 2 groupes de /; points; celui d'aprè> lequel toule courbe du réseau qui
touche C en dehors de> points bases touche G en n |i(iints, etc.

Le cas le plus simple est

P' est de la troisième sorte, C a 5 points doubles; C n'en a pas. Le réseau est
formé de cubiques passant par ces points doubles. Si nous envisageons toutes
celles de ces cubiques fpii passent par un point R de C, elles iront toutes passer
par un autre point B, de C.

X. — Étude spéciale du cas elliptique.
Suj)posons (jr = I , d'où

0' =

•>/>-

Le cas le plus simple est [1 = 2; d'où Q'=2, N'= '), le polygone P' est un
hexagone. Nous pouvons suppos(!r d'abord que les côtés opposés sont conju-
gués, de telli' faeim que les côtés -/(i) et "/(4); "/(s) et "/(5) : "/(S) et "/(6) soient
conjugués. Les sommets se répartissent alors en deux cycles auxquels corres-

SUR LA RÉDUCTION DICS INTKCRALES AllÉLlENNES HT LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 4l3

pondent les deux suhslilulions

pour employer la notation du paragraphe V .

Mais on pourrait faire d'aulres hypothèses sur la loi de conjugaison des côtés;
ces hypothèses se ramènent à deux que j'écris :

(2) i?., 3ï, 4(i.

(3) i3, •.<■., .',i^.

Voici la signification di' cette notation; quand j'écris 13 par exemple, je veux
dire que les côtés y{i) et 7(2) sont conjugués; de sorte que r!i\ [)()lhèse des
côtés opposés conjugués s'écrit

(4) 14. 23. 36.

Dans l'hypothèse {2) les substitutions i relatives aux deux cycles s'écrivent

2 = 871, i:'= 8,8387! s^i S;

et dans l'hvpolhèse (3)

2 = 81 S., 1.'= S, .S7I S7' 87'.

.Seulement il est clair que ces deux dernières hypothèses ne sont pas distinctes
de la précédente; si, en effet, les côtés de l'hexagone P' étaient conjugués
d'après l'une des deux lois (2) ou ('^), on mènerait l'une des diagonales de cet
hexagone qui en part igerait la surl'ace on deux parties P, et P[, ; soient C un des
côtés de P' appartenant à P, et (',' s(m conjugué que je supposerai aj)partenir
à P..; soient S la substituiion du groupe fuehsien qui change C en G', et P., le
transformé de P', par cette substitution.

Nous pouvons rem[ilacer le polygone P' = P , + P.j par le polygone P'„ + P', ;
ce nouveau polygone engendrera le même groupe fuchsijen, et nous pourrons
nous arranger pour que dans ce nouveau polygone les côtés opposés soient
conjugués.

Revenons aux équations (1); les deux substitutions — et i' doivent se réduire
à des permutations entre deux lettres, puisque le polygone P'est de la première
sorte pour employer la terminologie du paragraphe précédent. Regardons ces
deux substitutions comme données et proposons-nous de déterminer les substi-
tutions S,, S._, et S;,. On trouvera successivement

c v s SI s„ S-I — v— 1 c-

S871 = S, sj' S, S71 = S, Sô' 83 Sô' 8, 87' = .S, S51 s'-i 87' s., s

i;87i = (S.,87i)-'(X'-iS7')(S.,S7').

4lG SLR LA RÉDICTION DKS INTliGRALliS ABÉLIENNES KT LES FONCTIONS l'I CHSIENNES.

La signilicalion de celte identité est que les deux subslitulions iSy' et 2'~' S, '
sont semblables et que la première est la /rans formée de la deuxième par la
substitution Sa S7' .

Nous devons donc clierciier à déterminrr S^' de telle façon que les deux
substilulions — S^' et i'^'S^' (on ce ([iii revient au nirme dans re cas |)arlicu-
lier i'Sy'. puisque' S' M' réduisaiil a une peiinnliilion cnlre deux lettro, on a
2'=i'~') soient semblables.

Dans ce cas Sy'i et Sj'i' sont èi;aleuient stinblaiiles, puisqu'il est clair
qneiS;' et S;' i = S, ' ( iS;' )S, sont semblables.

Voyons comment on peut recunnaitre que di'u\ peruuilations enlic /> Icltro

soni semblables. Supposons (jue la subslilutiou S se réduise à x |ii'i'iiiulalions

circulain'S entre

/)!■ p-i, Px lellres.

de sorte que />i +/'j + . . . +/'ï= /(. Nous dirons alors <[ui' S iM'parlit les
n lettres en a cycles comprenant respcclivenienl /i,. ji-,^ . . ., p, lettres.

La condition nécessaire et suffisante pour que deux substitutions soient sem-
blables est alors que les nombres a, /<,, p^, . . ., p^ soient les mêmes ])our les
deux substitutions et, quand cette condiiion sera remplie, il sera facile de trouvt'r
la transformation qui transforme l'une de ces substitutions dans l'autre.
• Cela posé, imaginons que S permute deux lettres a et b et que S7' admette
oc cycles de/;,, /ji, ■ . ■ . p^ lettres. Alors de deux choses l'une :

1" Ou bien a et i appartiennent à un même cycle de Sy'- Dans ce cas S7' 1
aura les mêmes cycles que Sy' ; seulement le cycle auquel ap|)artenaient a et b
se sera décomposé en deux, le premier commençant par a et le second par h.
Si donc le e\cle de S,' avait p. lettres et ipie les deux lettres a et b s'y ren-
contrent à un intervalle de q lettres, les dcLix cycles nouveaux auront respecti-
vement p, — 7 et q lettres.

2° Ou bien a et b appartiennent à deux cycles diflérent^; de Sj' ayant res-
pectivement /;, et /:)._, lettres; dans ce cas dans S7' i, ces deux cycles se fondront
en un seul qui aura /), -\- p-, lettres.

D'où la règle suivante |)our former S |^' ; supposons que i. permute les lettres f/
et b et que 1' permute les lettres c et d\ alors S, ' de\ra satislaiie à l'une des
conditions suivantes :

l" ( )u bien les quatre lettres a, b, r, d appartiendront à nn même cycle

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGIIALES AUÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCllSIENNES. 4'7

de Sj' et y occuperonl les rangs

H,„ K,„ ]{,, H,,,
de telle façon que

c'est-à-dire que les deux distances ab et ccl soient les mêmes.

2" Ou bien que ces deux couples de lettres ab et cd soient dans deux cycles
différents, que ces deux cycles aient le même nombre de lettres, et que les dis-
tances ab et cd soient les mêmes.

3" Ou bien que les quatre lettres a, 6, c, d appartiennent à quatre cycles Ca,
Ci, C,., Crf ayant respectivement N^, iNj, Ne, N,; lettres et de telle façon que

C« 5 Ci, C, > Cj,

(ouN„==Nrf, Ni=N,).

On voit de combien de manières on peut déterminer S, cl ce qu'il y reste
d'arbitraires.

Une fois S, déterminée, nous connaîtrons les deux substitutions semblables
iSy', i'Sy' et il nous sera facile de déterminer la substitution S2S7' qui les
transforme l'une dans l'autre. Nous aurons donc So et nous en déduirons
immédiatement S3.

Le problème comporte donc en général un grand nombre de solutions.
Lorsqu'on en connaîtra une, voyons comment nous pourrons consti'uire le
polygone P. Parlons de l'iiexagone P'. Le polygone P sera formé d(^ n hexa-
gones P'(i), P'(2), ..., i''(«), congruents à P'. Représentons symbolique-
ment ces II hexagones par n points A,, A2, . . ., A„. Supposons que la substi-
tution S, change A^ en Ap, nous joindrons les deux points A^ et Ap par un
trait continu; ces traits continus seront ce que j'appellerai les lignes L,. Nous
définirons de même les lignes Lo et les lignes L3, à l'aide des substitutions S-.>
et S3. Une condition à remplir, c'est qu'en suivant les lignes L,, Lo et Lj, on
puisse passer d'un quelconque des points A à un autre, c'est-à-dire que le
groupe dérivé de S|, So, Sj, que j'appellerai le groupe (S, , Si, S3), soil tran-
sitif.

Si cette condition est remplie, on pourra en général aller d'un des points A
à un autre par plusieurs chemins différents. Pratiquons alors des coupures dans
quelques-unes des lignes L,, L^, L3 jusquà ce quon ne puisse plus aller d'un
point A à un autre que d'une seule manière sans revenir sur ses pas. Nous dis-
poserons alors les hexagones P'(x) de la façon suivante : supposons que A^
H. P. — III. 53

4l8 SIR LA HÉDIT.TION DES INTÉGRALES ABKLIEN.NES ET LES FONCTIONS FIXHSIENNES.

et A^ soient reliés par une ligne L, non affectée de coupure; alors les deux
hexagones P'(«) etP'(P) seront conligus de tellf.i façon que le (î + S)'*""" côté
de P'(a) coïncide avec le f'*"'° côté de P'((3). Si la ligne L, est affectée d'une
coupure, ces deux hexagones n^ seront plus contigus, mais le {i + ^y>^""- côté
de P'(3f) et le /'""""côté de P (P) seront deux côtés conjugués du périmètre de P.
Il est possible de choisir S| de pluùeurs manières, de façon à satisfaire aux
équations (i) et de telle sorte que le groupe (S,. Sj, Sj) soit transitif. Mais il
est aisé de comprendre que toutes ces manières ne sont pas essentiellement
distinctes. iNous supposons en effet /)= 2 et nous nous donnons l'entier n de
telle façon que le tableau des périodes réduites s'écrive

n 11 T. b.

n

11 dépend donc de deux constantes a et b qui sont :irl)itraires. Ces deux cons-
tantes définissent la courjje C qui varie d'une manière continue, quand les
constantes varient elles-mêmes d'une manière continue. Les courbes C réduc-
tibles forment donc une seule série analytii/uc.

Si nous nous donnons les substitutions S,, S2, S3 et le polygone P', nous
pourrons construire le polygone P. Ce dernier polygone et par conséquent la
courbe G \ arient alors d une façon continue quand les éléments de P' varient
d'une façon continue. Les courbes C ainsi obtenues forment donc une série
analytique.

Partons maintenant d'autres sul)stilulions S,, S.,, S, : nous obtiendrons
encore une séiie analytique de courbes C; mais celte série sera identique à la
l)remière puisqu'il n'y en a qu'une.

On doit donc pouvoir |)asser des substitutions S,, Sj, S3 aux substitutions
S|, S„, S. en transformant l'hexagone P' comme nous l'avons expliqué au début
de ce paragraphe; c'est-à-dire en le coupant par une diagonale qui le divise en
deux polygones P', et P!, et remplaçant P'= P', + P„ par P., -f- P.,, P, étant l'un
des transformés de P,. H s'agit de voir ce (jue deviennent dans ces conditions
les substitutions S|, S2, S3, mais pour cela je préfère traiter le problème d'une
façon un peu plus générale. Su[)pos()ns que P' soit un polygone de 2N' côtés,
N' étant quelconque; supposons que ^(s!) et yi^) soient conjugués, et soit S«
la substitution correspondante. Soient "/(a), '/{h) deux côtés conjugués appar-
tenant l'un à l'|, l'autre à P.,, et soit S„ la substitution correspondante. Suppo-

StR LA niiDUCTlON DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES. llQ

sons que P^ soil le transformé de P, pur la transformation T„ du groupe fuch-
sien qui change "/(") en y{l>)-

Soient S^, les diverses substitutions relatives au nouveau polygone; SJ^ se
rapportera à /(a), si ce côté appartient à P., et par conséquent fait partie du
périmètre de P., + P'., ; S» se rapportera au transformé de y{<x) par T„, si y (a)
appartient à P', et que son transformé appartenant à P, fasse partie du péri-
mètre de P„ + P',. Dans ces conditions, ni y(a), ni son transformé y{b), ne
font partie du périmètre de P!, -f- P., ; nous aurons en revanche dans le nouveau
|)oljgone deux nouveaux côtés qui seront la diagonale menée dans 1", et sa
transformée par T„. Ce sera, par définition, à cette paire de côtés (|ue se r-aj)-
porlera la substitution Sj,.

Cela posé, on aura

S'„=S,„

et quand aux autres siil)stitutions Sjj, on aura

Sa = Sa si 71, 3t) et 7(,3j apparliennenl tous deux à Pj,

S'j, = S„ S^S;^' si y(<x) el "(Ji) appartiennent tous deux à Pi,

S'jj= SotS;^' si ^((01) apparlienl à V, et '({[j) à P.,,

S^= S,( Sa si y{oi.) appaiiient à \'. et 7([j) à Pi.

(5)

Si nous supposons en particulier que P' soit un hexagone à côtés' opposés
conjugués, que la diagonale joigne deux sommets opposés et que les côtés
y(a), y(0) soient adjacents à celte diagonale, on aura

(5 bis) S'i = S,, S'. = Si s.,, S'., = S, S;,.

Nous devons donc prévoir que si les équations (i) admettent deux solutions
et que pour ces deux solutions le groupe (S,, S2, Sj) soil transitif, on peut
passer de l'une de ces solutions à l'autre par une série de transformations de la
forme (5 bis) ou (5). Il serait intéressant de retrouver ce résultat par une véri-
fication directe.

Supposons maintenant p = ^; le polygone P' sera un décagone. Soit par

exemple

v.i. 38, 41,1, ;),io, ^\■y

la loi de conjugaison des côtés. On aura pour les substitutions 2

^6) S.= S„ Z,= Si', 1, -;-,' >.,>,',

Des équations (6) on déduit

iS ii-i O., .^ ; .^ , . — 3 .«1 _ ^3 ;>., 35.

420 SUR LA RÉDLCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FfCHSlENNES.

Ces équations sont de même forme que les équations ( i ), on en déduirait
donc que

sont deux substitutions semblables. 11 serait possible d'en déduire Sj et ensuite
les autres substitutions. Mais je ne ferai pas le calcul jusqu'au bout.

Ici encore, et pour la même raison, les courbes C réductibles ne forment
qu'une seule série analytique et par conséquent si les équations ((3) admettent
deux solutions (conduisant à un groupe transitif), on peut passer d'une solu-
tion à l'autre par une série de transformations de la forme (5).

Soit enfin /> = \; notre polygone P' aura i4 cotés. Nous ne pouvons plus

démontrer de la même manière que les courbes^ C réductibles ne forment

qu'une seule série analytique. Si, en effet, nous formons le tableau des périodes

réductibles

■jLir.o G o n — - o o

n

o o ■> ( n o o b de

o o o a/- o r e f

les sept constantes A, i-/, b, c, d, e, f ne sont plus arbitraires. Il faut leur
imposer une relation, si nous voulons que les fonctions abéliennes engendrées
soient spéciales et que la courbe C existe. Cette relation représente une surface
de res|)ace à sept dimensions, si nous regardons nos sept constantes comme les
coordonnées d'un point dans cet espace; et nous ne snvons ]>us si celle sui face
n'est pas (/èconipiisahle.

Il serait d'autant plus intéressant de vérifier si, lorsque les équations ana-
logues à (i) et à (6) admettent deux solutions (conduisant toutes deux à un
groupe transitif), on peut toujours passer d'une de ces solutions à l'autre par
une série de transformations de la formé (5).

XI. — Cas de dégénérescence.

Comme nous savons que, tout au moins si p = 2 ou .'), les courbes C ne
forment qu'une série analytique, nous devons prévoir que les polygones P' de
la deuxième sorte ne seront que des dégénérescences de ceux de la première
sorte, i'our nous en rendre compte, voyons ce qui arrive lorsqu'un polygone P
dégénère de telle sorte que deux de ses côtés conjugués se réduisent à zéro.

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES AHÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 4*1

Soient ■/(«) et "/(p) les deux côtés conjugués qui se réduisent à zéro;
soient ff(a), u{y. — i), ^dS), (7(j3 — i) leurs sommets; de telle sorte que o'(a)
et (t(j3 — i) d'une pari, ^(a — i)et!7(|3) d'autre part, appartiennent à un même
cycle. Deux cas sont à distinguer suivant que les quatre sommets appartiennent
ou non à un même cycle. Si ces quatre sommets n'appartiennent pas à un même
cycle, le genre q du polygone P' ne change pas par suite de la dégénérescence;
dans le cas contraire, ce genre diminue d'une unité.

Plaçons-nous dans le premiei cas, qui est le plus intéressant; avec la dégéné-
rescence les sommets qui nous intéressent font partie de deux cycles différents R
et K'; le premier de ces cycles commencerait par exemple par le sommet ff(p)
et se terminerait par le sommet <j{a — i), d'où l'on reviendrait au sommet ct(j3).
La substitution i correspondante s'écrirait

Les substitutions S)., etc. correspondante divers côtés de P' et la dernière S,.
au côté y(a ). Le cycle K' commencerait par o-((3 — i) suivi dea(a) et des autres
sommets du cycle; à ce cycle correspondrait la substitution

s'= Sa S.,... Se.

la première des substitutions S du second membre étant 5^= Sa' et correspon-
dant au coté y(p ).

Après la dégénérescence, les deux cycles se confondent en un seul où l'on
rencontre successivement c-( (5 — i ) = ct( p ), puis les divers sommets du cvcle K,
et enfin

z{y. — \) = ^{^),

puis les sommets consécutifs du cycle K'. La substitution correspondante est

-1= SxS^.. .SctSv. ..Srj= S>, S,;... .ScjSaSpS.,. . .So= 22'.

Je dis que le genre p ne pourra pas augmenter par la dégénérescence. Nous
avons en effet, comme au paragraphe \ lil,

i;(( — i) /.,= ?,(/) — ■\^ — ■?,n{i'i^\').

Il s'agit donc de montrer que — ((' — i)X, ne peut pas augmenter [lar la dégé-
nérescence, c'est-à-dire que cette somme i(/ — i)>.,, étendue aux divers cycles
de lettres de 2,, ne peut être plus grande que la même somme étendue aux
cycles de lettres de — et de — '. A chacune de nos n lettres faisons correspondre
un symbole de [3,; égalons ceux de ces symboles qui correspondent à un même

422 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIEKNES ET LES FON'CTIONS FUCHSIENNES.

cycle de lettres de la substitution 1 par exemple; soit h le nombre des équa-
tions symboliques distinctes ainsi obtenues; ce nombre li ne sera autre chose
que la somme i(i — tp-i étendue aux divers cycles de lettres de 1; puisque si
l'un de ces cycles est formé de / lettre*, cela nous fera ( / — i) équations et, s'il
y a li cycles de i lettres, cela fera en tout i(« — i)À, équations. Soient /(' et /(,
les nombres analogues relatifs à 1' et à i,; je me propose de montrer que

Les équations symboliques relatives à 1, sont des conséquences de celles qui
sont relatives à - et à i'; si en effet 1 change « en b, et que 1' change b en c,
1, changera a enc; cela nous donnera l'équalion symbolique [3a = ;3(. engendrée
par 2|, laquelle sera une conséquence de l'équation ^a^= Pb engendrée par i,
et de 3i=: pc engendrée par i'. Cela me permet d'écrire l'inégalité précédente;
je ne mets pas simplement le signe d'égalité, pour deux raisons : i" d'abord
parce que, si les équations dues à i, sont toutes des conséquences de celles qui
sont dues à i et à i', il ne s'ensuit pas que toutes ces conséquences soient elles-
mêmes des équations dues à i, ; a" parce qu'il peut se faire que les équations
dues à 2 ne soient pas toutes distinctes des équations dues à 1' .

Le cas le plus simple, eslcelui où i se réduit à une permutation entre deux
lettres et où il en est de même de 1' . En d'auires termes II et i' contiendront
chacune un cycle de deux lettres, tous les autres cycles n'ayant qu'une lettre.
Alors deux cas peuvent se présenter : i" ces deux cycles de deux lettres ont une
lettre commune; :>" ils n'ont pas de lettre commune. Dans le premier cas i,
aura un cycle de trois lettres, et dans le second cas deux cycles de deux lettres.

Considérons les courbes C et C correspondant au cas de dégénérescence et
formons le polygone P', en nous astreignant, comme nous l'avons fait, à choisir
ce polygone de In fnran lit /ilas siiuplc /inssibb' : ce sera un polygone de la
deuxième sorte, et l'on aura

Q'= o.ryj — i) — 2/i (y —') — ••

Deux des ocles de sommets qui existent dans le cas général se sernut con-
fondus en un seul. Soient : P' le polygone dans le cas général; P„ ce que
devient ce polygone par la dégénérescence; P, le polygone le /'lus sii)i/>li' qui
peut engendrer les courbes C et C dans le cas de la dégénérescence. P' possé-
dera deux cycles K et R' correspondant à i et i'; sur P„. de même que sur P, ,
ces deux cycles sont confondus en un seul K, qui correspond ai,. La somme
des angles de K est égale à r. de même que celle des angles de K'; quant à la

SUR LX RlinUCTION DES INTÉGRAt.ES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FIIC.IISIENNES. 42-*

somme des angles de R,, elle est égale à zéro sur P„, tandis que sui- P, , elle est
égale à ^ si i| a un cycle de trois lettres, el à tt si i, a deux cycles de deux

lettres.

Soit par exemple q ^= \ , /* =: 2 ; le polygone P' est un hexagone à cùlés
opposés conjugués, la somme des angles est au; dans les cas de dégénérescence,
ce polygone se réduit à la limite à un quadrilatère à côtés opposés conjugués,
et dont la somme des angles est zéro. Mais le quadrilatère P,, ainsi obtenu n'est
|)as le plus simple qui puisse engendrer les courbes C et C; ce quadrilatère le
plus simple P, est encore à côtés opposés conjugués, mais la somme des angles

est -^ ou TT.

On voit ainsi que si les courbes G forment une série analytique continue, il
n'en est pas de même des polygones P' les plus simples susceptibles de les
engendrer. Si l'on considère une série continue de courbes C, et la série des
polygones P' les plus simples correspondants, cette série présentera une discon-
tinuité au moment de la dégénérescence.

XII. — Polygones doublement réductibles.

Soient q =z i . p ^ 2; nous avons une courbe C de genre a qui est multiple
d'une courbe C de genre i, mais si la courbe C admet une intégrale abélienne
réductible aux intégrales elliptiques, elle en admet une seconde, c'est-à-dire
qu'il y a une seconde courbe C" de genre 1 dont C est multiple. Existe-t-il un
système de fonctions fuchsiennes engendrant à la fois les trois courbes? Soit (i
un groupe fuclisieu de genre a, et engendrant la couibe C, c'est-à-dire tel.
qu'entre deux des fonctions fuchsiennes attachées à ce groupe, il y ait [iréci-
sément la relation algébrique représentée par la couibe C. Peul-ou choisir ce
groupe G, de telle sorte qu'il soit contenu dans un autre groupe fuchsien G' de
genre i , et engendrant la courbe C', et qu'il soit en même temps contenu dans
un troisième groupe fuchsien G" de genre i et engendrant la courbe G"? Alors
le groupe G peut être regardé comme engendré par un polygone P décompo-
sable en /i polygones congruents entre eux et congruents au polygone P' qui
engendre la courbe G'. En même temps le groupe G peut être regardé comme
engendré par un polygone P, équivalent à P; par ce mot équivalent, je veux
dire que P el [', peuvent être décomposés en un même nombre de parties et de
telle façon que chacune des parties de Pi ne soit autre chose que la transformée
de la partie correspondante de P par une des substitutions de G. D'autre part, Pi

424 SUR L4 RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABKLIENXES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

pourra êlre décomposé en « polygones congruents entre eux et congruents au
polygone P qui engendre la courbe C".

Nous allons voir bientôt que cela n'est pas toujours possible. Reprenons les
trois surfaces de Riemann C, C, C : à un point de la deuxième correspondent
n points de la première et de même à un point de la troisième correspondent
/( points de la première. Soient : M' un point de C; IM|, Mj, . . . , M„ les points
correspondants de C. Si deux de ces points M, se confondent, le point M'est un
point de ramification de C et Ton définirait de même ceux de C . Soient A,,
A'.,, . . ., A^, ceux de C; et soient B',', B^, . . ., B'^, ceux de C". Aux points A',,
A'.,, . . . , A^ correspondront l'un des cycles de sommels de P'; mais ce n'est pas
tout. Considérons B" ; à ce point correspondront sur C, n points B, , , B^, . . . ,
B|„ dont deux au moins sont confondus. Soit B,, un de ces n points qui riese
confond avec aucun autre (s'il en existe, ce qui arrivera en général); à ce point
correspondra sur C un point B',, qui devra encore correspondre à un cycle de
sommets de P'. A ce point B',, correspondront sur C, /(points parmi lesquels B,,;
soitD, un autre de ces points auquel correspondra sur iV un point D'J ; à D"
correspondront sur G, n points dontle point D| ; soilE, un autre de ces points;
soit E'i le point correspondant de C; je dis qu'à E', correspondra encore un
cycle de sommets de P' et ainsi de suite; on poursuivrait ainsi indéliniuKînt.

Voici comment on verrait par exemple que B',, correspond à un cycle de
sommets de P'. Soient z la variable qui figure dans nos fonctions fuchsiennes;
M, M', M" les points correspondants sur C, C, C", de telle sorte que les coor-
données de ces trois points soient des fonctions fuchsiennes de ;. Supposons
que ; tourne autour d'un certain point So, en même temps que M, M' et M"
tournent respectivement autour de B,,, B',, et B','. Supposons que quand z
fait a tours, M, M' et M" en fassent respectivement [î, y. o. Comme B'J corres-
pond à un cycle de sommets de P', on devra avoir en ce |)oint

(M"

D'autre part, comme B,, ne se confond avec aucun autre |ioint B|/, et qu'en ce
point, |)ar conséquent, M est fonction uniforme de M', on aui

'dM<°-

Comme M' est fonction unifornie de M, on aura

dS\ ^

ira

SUR L\ RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES. 4^5

De ces relations

(AVI
rf.M'

f/M" ^

dM"
dz

on déduira

dM'
'dJ

ce qui veut dire que s„ est aussi un sommet, du polygone P'.

En général on serait conduit à attribuer à P' une infinité de cycles de som-
mets, ce qui veut dire que le problème que nous nous étions proposé est impos-
sible.

Cette impossibilité n'a pas lieu dans le cas de /i ^ 2 ; en effet nous n'avons

que deux points B,, et B,2 qui doivent se confondre, et il n'existi; pas de
point B,,: ne se confondant avec aucun autre; ce que nous venons de dire ne
s'applique donc pas.

H. P. — III. 54

426 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

Reporlons-nous à la figure, sur laquelle je vais d'abord donner quelques
explications. Les proportions et les courbures n'y sont pas observées, jnènic
nixissièrement. On ne doit s'attacher qu'aux positions relatives des lignes et
des points au point de vue de Y A nalysis sitiis. Toutes les lignes, droites ou
courbes, qui y sont tracées représentent des droites nuit euclidiennes, c'est-à-
dire des arcs de circonférences orthogonales au cercle fondamental. (^)uand je
parlerai de ligne droite, d'égalité ou de symétrie, j'entendrai toujours ces mots
(III sens non euclidien.

Le polygone P est décomposé en deux liexagones P' et P, ; les contours de
ces deux hexagones sont figurés en trait plein, leurs sommets sont désignés par
la lettre A. Le polygone P,, équivalent à P, est décomposé en deux hexa-
gones P" et P, ; les contours sont représentés en trait mixte , leurs

sommets sont désignés par la lettre ('..

Quand un hexagone a ses côtés opposés égaux et que la somme des angles de
rang pair est égale à la somme des angles de rang impair (ce qui arrive ici où
les côtés opposés sont conjugués et où ces deux sommes d'angles sont égales
à 7;) cet liexagone possède un centre de symétrie. Ici le polygone P', formé de>
quadrilatères 1, 11', 4\ ■]', 5', 9', et le polygone P, , formé des quadrilatères a,
lo', 3'. 8', 6', 1:'.', admettent pour centres de symétrie deux sommets C du poly-
gone I'"; le polygone P formé des quadrilatères 1, '., 3, 4, 5, 'i, a pour centre
de s^^métrie un sommet A commun à P', et à P, ; le polygone P'[, formé des qua-
drilatères -, S, 9, m, II, i>., possède un centre de s\métiie (|ue j'appelle

encore A.

Les points B et L) sont les milieux des cotés de P', P, , P , P,. Noire ligure
se trouve décomposée en '>.■>. quadrilatères numérotés de 1 à 1 -^ el de 3' à i>- .
(>es quadrilatères présentent les symétries suivantes :

y ^uiii s> métriques |)LU- i"i|i|i(irl à C 1 (soiiiiiiel 1) du Liuadrilalère 11

C>
lii
lii
A I
Dj
I ) i
A 7
). L) I

D?.

I ,

* ;

4.

9 ;

1 1 .

J

'i'.

r.v ;

■''• ;

«';

ti',

10'

I .

10';

2,

II';

3',

9'

«S

V :

G'.

7 i

1?',

4'

1 ,

(■> ;

?, .

> ;

4.

■i

( .

s ;

fJ:

7 :

'i.

'.1

1.

Kl ;

■2 .

1 1 ;

1 .

lo

7-

10 ;

8,

1 1 :

M-

X9.

* •

4,

12'

SUR LA RÉDUCTION DES INTRCRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 4^7

D'où les égalités suivantes :

; I = I o' = I o, 6 = 6' = 7 = 7',

(A) 4 = 12 = 4'=i?,'. 3 = 9 = 3'= 9',

I ■., = II = II'. 5 = 8 = 5'= 8'.

Ces égalités ont lieu de telle sorte que les sommets A, B. (1, D de deux qua-
drilatères égaux se correspondent. On aura d'autre part

1 = 6, 4 = 3, ■'. = ".,

mais de telle sorte que les sommets ABGD d'un des quadrilatères corresjjondent
aux sommets ADCB de l'autre. Il en résulte que dans le tableau des égalités (A),
les sept quadrilatères de la première ligne sont égaux entre eux, de même que
les huit de la deuxième ou les sept de la troisième.

Les quadrilatères 4 et 4', 5 et 5', etc. sont transformés l'un de l'autre par une
substitution du groupe G, et c'est pour cela que les deux polygones

P = P', -H P', i', = r"; -+- P"
sont équivalents.

11 est clair que la surface du cercle fondamental peut être décomposée en
quadrilatères tous égaux à l'un des trois quadrilatères i , 2 ou 3, de telle façon
que tout sommet de l'un des quadrilatères soit un centre de sjmétrie de la
figure. On peut les assembler 6 à 6 de façon à réaliser la décomposition du
cercle fomlamental en polygones congruents à i^'; on peut les assembler d'une
seconde manière (i à 6 de façon à réaliser la décomposition du cercle fonda-
mental en polygones congruents à P".

Considérons la courbe C: les sommets A de rang pair de l'hexagone 1*' cor-
respondront à un poini M, de cette courbe, les sommets A de rang impair à un
autre point M„ de cette coarl)e. Soient ii, et ii^ les arguments elliptiques de ces
deux poinis. Le point C, centre de symétrie de P', correspondra sur C à un

point Ma d'argument elliptique —^-^ -^ tandis que les arguments elliptiques des

milieux B et D des côtés seront encore — à une demi-période près. L'ar-
gument elliptique de tous les points C sera le iiirnie.

Considérons maintenant les arguments elliptiques sur la courbe C"; nous
trouverons encore que ceux de tous les points A sont les mêmes; que ceux des
sommets C de rang pair de P" sont les mêmes; que ceux des sommets C de rang
impair sont les mêmes; que celui d'un point A est moyenne arithmétique entre
celui d'un sommet C de rang pair et celui d'un sommet C de rang impair.

428 SUR LA nÉniCTION DES INTÉGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES.

Nous remarquerons que l'hexagone P' est quelconque, de telle sorte que le
résultat est général et nous l'énoncerons sous la forme suivante :

Supposons que la courbe C de genre i soit multiple de la courbe C de
genre i, de telle façon qu'à chaque point de C corresponde un point de C
et à chaque point de C, deux points de C : il existera une autre courbe C"
de genre i. telle quà chaque point deC corresponde un point de C" et à
chaque jioint de C" deux points de C.

// y aura sur C deux jwints M\ et M,, à chacun desquels correspondront
sur C deux points confondus en M, pour le premier, en M-^pour le second;
soient M] et M", les points de C" qui correspondent à M, et Mj.

Il y aura de même sur C" deux points INj et N~ à chacun desquels corres-
pondront sur C deux points confondus en N, pour le premier, en Nj pour le
second; soient N'| et j\![ les points de C t/ui correspondent à N, et N».

Les points N', et N', sont identiques, de même que les points M'j et M",.

Nous poucons supposer que G et C" sont deux cubiques. La tangente à C-
au point N', = N., et la droite M\ M'.^ se coupent sur C. La tangente à C" au
point M'I = M!î et la droite N'^N'^ se coupent sur C".

Un cas [)articulier intéressant e>t celui où l'hexagone P' est régulier et où
nos trois quadrilatères sont égaux. Le cercle fondamental se trouve alors sub-
divisé en une infinité de quadrilatères égaux. Ces quadrilatères engendreront
alors un groupe fuchsien T, qui est de genre zéro, el un syslème de fonctions
fuchsiennes de la classe de celles qui sont engendrées par la série hypergéomé-
Irique. Le groupe F contient comme sous-groupes G', G" et G. Considérons
une fonilion fuchsienne quelconque engendrée par F; ce sera une fonction
rationnelle à la fois des coordonnées du point M, de celles du point M' cl de
celles du point M". A une valeur de cette fonction correspondront la points M
sur la courbe C, 6 points M' sur la courbe C, et 6 points M" sui la courbe C".

SUR LA REDUCTION

DES

INTÉGRALES ARÉLIENNES

ET

. LA THEORIE DES FONCTIONS FUCIISIENNES

Seclis Vortràge iiber ausgea'àhUe Gegeimtànde aus der reinen Mathematik und
Malhematisrhen Physik, gehiiUen zii Giitlingen vom 23-2S Api'il 1909, Leipzig
und Berlin, 1910 ( Vierler-Vortrag ).

Messieurs, j'ai l'inlenlion de vous parler aujourd'hui de la réduction des
intégrales abéliennes en tant qu'elle est liée à la tliéorie des fonctions aulo-
niorphes et, en particulier, des fonctions fuchsiennes.

Un système de fonctions abéliennes de p variables et 2/1 périodes est dit
réductible c^ustad il se laisse rauieuer à un système de q variables et 2/jr périodes
avec q <^p. Il est tout d'abord ici important de distinguer deux cas :

Dans le premier cas^ le système S de fonctions abéliennes de p variables
peut être engendré par une courbe algébrique de genre p; de même, le
système S' à ^ variables a pour origine un domaine algébrique de genre q.

On sait bien que ce premier cas n'est pas le cas général, car la courbe C ne
dépend que de ip — 3 constantes essentielles, alors que les fonctions abé-
liennes de/? variables renfei ment ^--^^- ^ paramètres. C'est ce qui nous amène

à distinguer le deuxième ras, celui où l'un au moins des systèmes S, S' ne pro-
vient pas d'un domaine algébrique.

Dans la conférence d'aujourd'hui, je me restreindrai exclusivement au pre-
mier cas. Mais là encore, il me faut distinguer deux cas. Nous basons notre
élude sur la considération des deux courbes algébriques C et C ; dans le cas de
la réductibilité, il existe entre elles une correspondance algébrique. C'est cette
correspondance qui va décider de la nouvelle distinction.

43o SIR l,A RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES, ETC.

Dans le premier cas, en vertu de la correspondance, à chaque point M de C
est associé un point M' de C et un seul, pendant qu'à tout point de C cor-
respondent n points de C. Je nomme /i le nonihrr caractéristique de la corres-
pondance et dis que C est une courbe iiiiiltiple de C.

Ce premier cas n'est pas le plus général, qui est en fait le deuxième, lia cor-
respondance n'a plus lieu entre deux points M et M, mais entre deux groupes
de points Mi, ..., M,, de C avec les coordonnées ^,, )•,, ..., x.,, y\, et
M'i . . . . , M.', de C avec les coordonnées x\ , y\ , . . . , .t\, , y',, .

A chaque groupe de G, correspond lui et un seul groupe île C pendant
(ju'iin ersemcnt î> un groupe de G' sont associés, en général, plusieurs groupes
de G. Je dis alors que G est une courbe /iseuclo-multiple de C

Dans le premier cas, .r' et j' sont des fonctions r,ilionnelles de .r et )', alors
que, dans le deuxième, on peut seulement afiirmer que toute fonction symé-
trique des couples {x\, yi,, . . . , x'.,,y'.,) est une fonction rationnelle de
{x,. }•(, . . . , x~,, )v). 11 e>t facile de voir que chacjue courbe C qui est multiple
de G' est aussi courbe pseudo-multiple de G'. Mais, inversement, j'ai pu former
plusieurs exemples montrant que toute courbe pseudo-mulliple de G' n est pas
multiple de G'.

Je ne veux pas ici insister sur ce point, d'autant plus que les considéralious
qui suivent s'appliquent expressément au premier cas.

Dans le eis de la réductibilité de nos intégrales, il est possible d'amener le
tableau de leurs périodes à une certaine /o/7«e nnrmale. Les deux exemples
suivants donneront une idée de cette forme.

i" q^=i,p = '.i. Le tableau des périodes peut être réduit à la forme sui-
vante :

■I I z o (1 n o

■.'./- ,

o •?. f z 1 » — r a If
y:

t) o ■.» îr. o b c

2° (7 = 2, /( = '\. Les j)ériodes nr)rmalisées sont ici :

IIT. () <> <» tt If O

a

. 2»'-
O M- o O 6 C r- O

a [5
2f- , ,,

() () '*iT^ O O — r- a o

SUR LA RÉnUCTION IIES INTÉGRALES AHÉLIENNES, ETC. ffil

Les nombres « et |3 représentent dans les deux tableaux des nombre» en-
tiers.

Je définis maintenant un deuxième nombre caractéristique z. Il désigne
l'ordre de la fonction thêta do q variables en laquelle, dans le cas de la réduc-
libilité, est Iransfoniiée une fonction ihêladu premier ordre de /) variables.

Dans le premier exemple, ou a / = a, et dans le d('uxième / = x^. Les deux
nombres caractéristiques n cl ■/. sont toujours égaux. J'ai trouvé deux
démonstrations de celle proposition que j'exposerai maintenant dans leurs
traits essentiels.

Première démonstration. — Soient M et M' deux intégrales abélionnes de
première, seconde ou troisième espèce de la courbe C. J'imagine la surface de
Riemann correspondante découpée d'une manière canonique par 2p rétro-
sections issues d'un point et ne partageant pas la surface. Les intégrales M
et M' possèdent alors les périodes suivantes :

(i^i'j ri, i'2> ••■' r^-p-

il me faut maintenant définir une forme bilinéaire caractéristique fonda-
mentale, .le pose donc

F(.r,y)= Aln'.M'. i

où linlégrale est prise le long du contour total de la coupure. Si les ,c et les y
sont des périodes normales, F(x,y) prendra la forme

/'

y= I

Si je suppose que M soit l'une des intégrales réductible, ses 2/> périodes
pourront s'exprimer sous forme linéaire à coefficients entiers avec seulement
'iq périodes (0|, . . ., 'j.iy. J'ai donc alors

■'■■'t = ^'«v./ <-"/ (y- = 1. ■'. ''p)

où les my,j sont des nombres e'ntiers.

Si M et M' sont maintenant des intégrales de première espèce, on sait

(pi "on a

l-{.r,y) = o.

En remplaçant dans cette équation les x par leur expression eu co, on obtient

432 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES, ETC.

une équation bilinéairo entre les y et les w, qui peut s'écrire sous la forme

2'/

Hjoij

Soient alors «,, . . . , iip, p intégrales de première espèce linéairement indépen-
pendantes de la courbe C; nous pouvons poser

U = iji, (/ , -t- [jt, !/, -f- . . . -t-;ji/, Up,
ir= 10. 'i »i -(- jji'„ ((j ^. . .+ iJ-'piip-

Les coefficients, encore indéterminés, fj.' seront choisis de façon à satisfaire
aux 2q équations linéaires

Hy = o (j=i.> iq).

Si l'on observe que ces m/ équations ne sont pas linéairement distinctes,
mais qu'il existe entre elles q relations

S 11/(0/ = (), ,

on reconnaît facilement que .M' est aussi réductible et que, de même que M
appartient à un système linéaire de q intégrales réductibles, M' est aussi l'élé-
ment d'un système linéaire de {p — q) intégrales réductibles. Mais ceci est
seulement dit en passant.

Remarquons maintenant (jue H/ est une fonction linéaire des yy,, de telle
sorte fju'on peut écrire

2/»

où les h;j sont des nombres entiers. Avec le.s /u,x el les h,j, on peut former
deux talileaux ayant chacun 2q colonnes et 2p lignes et tirer de chacun d'eux
certains déterminants à ''.q lignes. Je désigne par D l'un de ces déterminants
formés avec les m el par D' le déterminant correspondant formé avec les
mêmes lignes de h. En posant J = — DD' (où le signe i s'étend à tous les
déterminants tels que D), J est, au sens (jue l'on va dire, un nombre invariant.
Il ne change pas si l'on remplace un quelconque des systèmes de périodes x
ou w par un système équivalent.

Deux systèmes de périodes sont équivalents quand chacun d'eux s'exprime
sous forme linéaire à coefficients entiers avec les éléments de l'autre. On peut
alors démontrer, d'une part, que .1 = /- et, d'autre pari, que .1 =-- n-.

On peut donc en conclure /. = n.

Slll I.A RÉDUCTION DES INTÉGRALES AliÉLlENNES, ETC. 433

C'est la piemièie démonstraliou.

Deuxième déiiujiistialioti . Elle est essenliellemeiit |ilus couiii;. Elle

repose sur la comparaison des deux formes bilinéaires F(,/'. r) et $(w, w ) qui
correspondent à C et à C.

Ou a, d'une pari.

!■ I .r. \ \ = /."l'i 10. w I.

et, d'autre part,

d OÙ l'un conclut ti ^= /..

J'en viens maintenant au lien de la théorie de la réduction a^ec la théorie
des fonctions fuchsiennes.

On sait que chaque courbe algébrique C définit un système de t'unctions
fuchsiennes. Le fait que C est une courbe multiple de C peut aussi s'exprimer
de la manière suivante : il est toujours possible, de diverses façons, d'associer
à C un groupe à cercle limite G' (Grenzkreisgruppe) et à C un tel groupe ( ■,
de telle sorte que G soit un sous-groupe de G'. .Si C est, en particulier, mul-
tiple n fois de C, G sera un sous-groupe d'indice n de G'.

On obtiendra, par suite, un domaine fondamental de G en prenant n domaines
fondamentaux de G', convenablement choisis, dérivés de l'un d'eux par des
transformations de G' et contigus. Le polygone P de G paraît donc partagé en
n polygones P'(|3), qui sont congruents au polygone P' de G' au sens de la
géométrie non euclidienne.

Je désigne par y(«) les côtés du polygone P', et par ^'{c-, (3) les côtés homo-
logues du polygone P'(ij). Ces côtés y(a,j3) sont, ou à l'intérieur, ou sur la
frontière de P.

Admettons que le côté '/{v-') se déduise de y(^) par une opératiun du
groupe G'. Si y{y-, p) se trouve sur la frontière de P, il existera un autre côté
-/(«', P') de celte frontière qui sera conjugué de y(a, (5) par une opération
de G. Mais si -^(a, 3) est intérieur à P, il n'existe pas un tel céité /(«', |3') diffé-
rent de -/(a, |j), car y(a, j3) et ^(st', |3') coïncident et forment un côté commun
à P'((3) et à P'(p'). Quoi qu'il en soit, dans les deux cas correspond à chaque
côté y{y-) de P' une permutation des n nombres 1,2, ...,«.

Une discussion tout à fait semblable peut se faire pour les sommets de P'.

De même, que les côtés s'associent par couples, les sommets se partagent en

cycles, de telle sorte que tous les sommets d'un cycle dérivent de l'un d'eux

par des opérations de G'. A chacun de ces cycles, on peut de nouveau associer

II. P. - ni.

434 SUR I.A RÉDlflTrON DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. ETC.

une peiinutilidii déleiininée des noiiil)res i, 2, ..., n qui peut, d'ailleurs,
s'olilenir avec les permutations associées aux côtés.

.Supposons que P possède 2N côtés et Q cycles de sommets; soient aN' et Q'
les nombres correspondants pour P'.

I^a permutation correspondant à un cycle de sommets do P' se laisse décom-
poser en permutations circulaires. Supposons que pour l'ensemble des cycles
de P , on obtienne ainsi À, permutations circulaires de / nombres. On aura les

relations suivantes :

:>yD = \ — (J -f-i.

iq = N— Q' + I,
Q -r- a/y — 2 = /( I, Q' -+- 2 ç' — 2 ),
«1 Q' — Q I = ■?.(p — i) — -in(q — i),

Les considérations générales que nous venons de développer nous per-
mettent de déduire une suite de propositions belles et importantes sur la
gèotnèlric non euclidienne des polygones formés d'arcs de cercle et sur la
géométrie des courbes nlgèbriijues. J'indiquerai quelques exemples de ces
propositions sans m'attaclicr à les démonlrrr en détail, les principes des
démonstrations étani cnutenus dans les résultais précédents :

(Il p = i, y = 2, n — 2, m = m' = 4-

Par les lettres m et /» , on désigne les ordres des courbes C et C. La
courbe C n'a pas de poini double, C a un point double.

Des vingt-huit tangentes doubles de C, il y en a six (jui passent jiar un
point extérieur à la courbe.

(II) p = i, 5 = 2) n = 2. w( = 1. m' = 5.

C a deux points doubles, G' un seul. .Si l'on égale à zéro la difFérenlielle de
l'intégrale réductible de première espèce, on obtient un faisceau de coniques,
dont les quatre points-base sont les deux points doul)les de C et deux autres
j)oinls de cette courbt\

Six de ces coniques louchent C deux lois. Celle de ces coniques qui touche C
en un point base y est osculatrice :

(III ) p = '■ 1 — ', /i = 2.

La courbe C est u/ie courbe multiple de deux courbes difierentes C et G".
Il existe un groupe fuchsien G auipiel on peul associer un premier polygone Pj

SUR LA RÉDUCTION DES 1^T1^UBAL^!,S AUÉLIENNES, ETC. /135

constitué par deux [lolvgones d'un groupe G', correspondant à G' et aus^i un
second polygone Po composé de deux polygones d'un groupe G" corrcspondanL
à G'.

La figure schémalique ci-dessous servira à la compréhension des ra|>porls
mutuels de ces éléments.

Les deux diuuaines tVindauientaux l', et l\, .^oiU icprésenlés par les poly-
gones avec les sommets respectifs A et G. Ghaeuu d'eux se décom]>ose en deux
iiexagones rpii sont les domaines Guulainentaux de (i' et de G". l'our faire
apparaître plus nettement l'équivalence de Pi et P^. on a lié les centres de
symétrie de ces hexagones au milieu des côtés de telle sorte ([uo tous les poly-
gones soient formés, d'une manière visible, de quadrilatères.

.le passe maintenant aux propositions de géométrie des courhes algébjiijues

436 SIR i.X nÉDlCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES, ETC.

que cet exemple illustre. Si l'on marque sur C un point .M', il lui correspond
deux points M„ et M4 sur C. A chacun de ceux-ri correspond un point de C,
soit M,,. Ml,.

On peut conclure de même, qu'en général, à chaque point de C corres-
pondent deux points de C.

La correspondance ( C, C) a, d'ailleurs, deux points de ramiticaliun Al,, M!,,
à chacun desquels ne correspond (ju'un point de C et par suite, qu'un point
de C"; soient Mj, M,i ces points.

De même, la correspondance (C", (1) possède deux points de ramification N,,
N.^ à chacun desquels ne correspond qu'un point de (- ; soient N',, IN,, ces
points.

Nous pouNous alors énoncer la ju'emière proposition en disant : N, et N],
d' une part, \\\ et ^1", d'aulre part coïncident.

La deuxième proi)osition suppose que (7 et (', ' sont des ('(Uirijes de Inusièrnc
ordre.

Menons en N', (qui est aussi N'.,) la tangente à C cl aussi la sécante
M, M.J. Ces deux droites se coupent sur C .

De même, si l'on mène en M, (([ui est aussi .M'^), la laugente à C" et si l'on
prend son point d'intersection avec la sécante N'J N'^, on obtient un point de C".

Ces quelques exemples font reconnaître suffisamment combien nombreux
sont les cas particuliers.

SUK

LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOURLES

Comptes rciifliif (k- l'Académie des Sciences, t. I0'2. p. 202-204 (iN janvier lïiSti).

11- y a le \Au> ^laïul inlérêl à tenliT de généraliser les ilicories de Caucli)
sm- k's inlégrales prises enlrc des limites imaginaires et les résidus des fonc-
lious dune variahle : c'est Tohjet des considérations snivanles.

Soient

:= ,/■ M

<leu\ variables imaginaires et

F(5, r,j = l' ii)

une fonction de ces varial>les. Posons eiiMiile. pour définir le contour |iiii
.uir/'ii'-i'\ d'intégration,

.1- ^ ^,1 II. !■ ). \ =z z.,(ii, r). ; = y:;I/', I- 1. / —- Z;i II. f),

Il et P étant deux j)araniètres arbitraires réels. Soient inainlenani |\, ^ ).
(\, /] diverses t'onctions de x, y, ;; et /; nous supposerons

[^.'>]--L''-\]- [\.v]-o.
Soit

i){j\ y) dx ily lie d y
'){ii, c i du dv </{• du

le déterminant fonclionntd de ,r et )• par rapport à u et à r. Considérons l'inté-
grale doulde

J J I ^ ' àui, c) '- '>{u, (•) '- ^à{ii, c)

'- ^i){ll,i-) '- 'c)(lH-) '- ^<l(ll.i.-^\

Quand on permutera u et r, l'intégrale changera de signe : je dirai alors qu on
change le sens de l'intégration. Considérons trois fonctions entières quel-

438 SVn LES résidus UES INTÉGUALES DOL'bLES.

conques de x, y, 5 et / et envisageons-les comme les coordonnées d'un point M
dans l'espace. Faisons varier ensuite u et r : si, quelles que soient les fonctions
entières considérées, le point M décrit une surface fermée, je dirai que le
contour d'intégration est fermé.

Les conditions d'intégraljilité, c'est-à-dire ie^ conditions pour (jue l'inté-
grale soit nulle, toutes les fois que le contour d'intégration est fermé, sont au
nomlne de (lualre. L'une d'elle est

><'[\,V] c/[V,Z] _ cljl, \| _
,/z " <l.r ,ly ^ "'

et les autres s'en déduisent par permutation des lettres r, y, ^. <: X, 'i , Z, T.
Xous poserons alors

//,.■,= ,,-.-,>//[ (p--Q,«^; ..■■■-Q^^

- (■•■•-'î''fel-(''--<3>^]''"''-

Il est aisé de voir (|ue les conditions d'intégrabilité sont remplies.

J'envisagerai le cas où la fonction !•'(;, r/) est rationnelle et je l'écrirai sous
la forme

9(^ -^i

)■(:. r, ):

.l'î,T,)0(t.T,)'

en décomposant le dénominateur en ses facteurs.

11 ne faut pas que la fonction K devienne infinie eu un point du contour
d intégration. En ex|)rimant que i|; ou 'J s'annule en un |)Oiut de ce coulour, on
()i)tieal (]uatre équations ali;él)ri(|ues à quatre inconnues. On doit s'arranger
iiour (pie ces quatre é<piations n .lii'ul aucune solution réelle.

Je ne puis exj)oser ici le mode de re|)résentation, grâce auquel on peut
s'afifrancliir de l'hypergéomélrie et reconnaître, à l'aide de la Ciéométrie ordi-
naire, si l'intégrale, pri-e le long d'un contour fermé, est réellement nulle. Je
me bornerai à indiquer quelles sont les différentes périodes de 1 intégrale
double, c'est-à-dire les valeuis qu'on obtient en prenant l'intégrale le long d'un
contour fermé. Ces pi'riodes sont de trois sortes :

1" Le> périodes de la prcmiéie soi-te sont égales à an /11, Il élanl une
période di' première espèce de l'intégrale ai)élienne

J

di,

SIR LES lllisIDlS DES INTÉGRU.ES UOl BLES. 4jy

relative à la couibe algébrique

Il en est de même pour la seconde courbe algébrique,

:->," Les périodes de la seconde sorte se liippoilcnl aux points d inlerscclion
des deux couiIjos

il?, T,)=0, 0(ï. "0 = 0.

Elles ont |iiuir valeur

• / _.. r' ;. ^ '

; Cl r, étant les coordonnées du point dinterseclion.

■V' Les périodes de la troisième soilc se lapporlenl. par exemple, aux points
doubles de la courbe

IJl ;. Y, I = n.

Elles ont pour valiiir

''-'■' y {jîurj -T7F7?v

i et r, étant les coordonnées du point double.

Ainsi se Iriune confirmé, et en même lemjjs com|)lélé et précisé, un beau
résultat obtenu dernièrement par ^L Stieltjes au sujet d'une généralisation des
formules de Caïuhy et di' Lagrange.

SUR

LKS UÉSIDUS DES INTÉGKALES DOUBLES

Acta niatliemalica, t. '.I. |i. .".ai-iiSo (1887I

C'est à Caucliy que lONienl la gloiri' d'avoir fontlé la ihéorie tic-, intégrales
prises entre des limites iniaf^inaircs; cette théorie a [loui- ainsi diie doublé la
puissance de l'Analyse mathématique et a été le point de départ de tous les tra-
vaux qui ont suivi, dans tous les pays où Ton cultive les sciences exactes, et en
particulier en Allemagne et en France.

Il semblait qu'il n'y avait plus qu'un pas à faire pour étendre cette théorie
aux Intégrales doubles et qu'on pouvait se promettre de cette extension d'aussi
belles conquêtes ipie de la considération des intégrales simples. Il v avait là de
quoi tentei' l'ambition des géomètres et cependant, au bout de quarante ans,
nous sommes à peine plus avancés qu'au premier jour.

La plupart des tenlali\es qui ont été faites n'ont l'té que de-- échecs ou des
demi-succès.

On croit pouitanl tjue .lacobi possédait à ce sujet plusieurs résultats impor-
tants; mais ces résultats n'ont pas été publiés et ont été perdus pour la Science.

M. Maximilien Marie a entrepris de résoudre la question et écrit, peu de
temps après la découverte de Cauchj, plusieurs mémoires qui ont été publiés
longtemps après dans le ii' Cahier du Jnitrnal de l'Ecole Polylcclmiiiuc . Ses
efTorts néanmoins n'ont pas été heureux. .le ne parlerai pas ici de l'insuflisance
lie certains raisonnements londés sur des considérations infinitésimales. Bien
(|U(' toutes les démonstrations soient à refaire, la (onnule à laquelle l'auteur
parvient est exacte si on linterpri-te eonvenablement, mais elle exigerait poiii'
pouvoir è! le a pplif[uée sans crainte dCi rein- une discussion délicate que M. Marie
n'a pas faite.

Pour faire coiii|iieiiilie la nécessité de cette discussion, je ne citerai qu'un

SCH LliS RKSIOUS DES INTl.GRAI.ES DOUULIiS. 44l

scLil exemple L'aïUeur donne [loc. cit., p. 58) l.i formule suivanle :

o- r r dxdy 4. , /-

Celle loriniile est iniinifeslenient laiisse; car on a dans le premier membre a-
cl dans le si'cond le fnetpur r/-'. En réalité l'inlégrale du premier membre est
nulle.

Comment l.i formule de M. Marie se Irouve-t-elle en défaut? Il est aisé de 1(^
voir ; dans cette formule enire le volumelimilé par unesurface qui, dans l'espace,
a pour équation

C'est une spliére, et l'auteur éciit cpie ce volume est -i^ 7ra ". Mais pour appliquer

correclemenl la formule, il aurait fallu regarder cette surface non comme une

sphère, mais comme un tore dégénéré dont la section méridienne aurait son

centre sur l'axe de révolution. Le volume aurait alors été nul, et l'on aurait

trouvé :

u- f /^ (l.v dy
1

'JJ ^~r

On voit quels pièges aurait à redouter l'analyste inexpérimenté qui voudi'ail
faire usage de la formule de M. Marie.

Les premières recherches de M. Picard présentent beaucoup plus, d'intérêt,
comme tout ce rpii sort de la |dume de cet auteur. Mais elles ne se rapportent
qu'indirectement à la question.

Dans deux ^Notes insérées aux Comptes rendus le 29 janvier i88.3 et le
1''' février 188G, M. Picard étudie des intéurales, définies comme il suit :

Soit F(jr,j') une fonction uniforme de x et de y; introduisons deux
variables auxiliaires u et c, imi posant :

,1e supposerai (pie les ffuictions o et J/ sont uniformes et de plus que

r( ./■. Il i\<i II . \- \

est une loiKtion uiulorme de //et dr r.

Cela pose', soient (/„, r„ et r/ , . r, deux svstémesde valeurs de u et de r. Ima-
ginons que ces deux systèmes de valeurs correspondent à un même svstème de
\alenrs de ./■ et de y.

ti. r. - Itl. :,r,

i< SLK LES llliSlDLs UES l.\Tl.l,K\LtS UUllll.ES.

L'intégrale envisagée par M. Picard est alors :

M. Picard a donné à ers intégrales le nuni de périodes : je ne saurais l'en blâmer
puisque cette dénomination lui a permis d'exprimer dans un langage plus concis
les intéres>aiits résultats auxquels il e>t parvenu. Mais je crois qu'Userait fâcheux
qu'elle s'introduisit déliiiilivement dans la Science et qu'elle serait propre à
engendrer de nombreuses confusions.
Et cela pour deux raisons :

D'abord ces intégrales ne sont |>is drs constantes, comme le fait fort bien
observer !\1. Picard.

En second lieu, il y a une infinité de systèmes de variables auxiliaires u et r
(pii satisfont aux conditions énoncées. Chacun de ces systèmes donne pour l'in-
tégrale une valeur diflérente. U en résulterait que, si l'on voulait donner à cette
intégrale le nom île période, celte j)éri()de ne dè]icndrait pas uniquement de la
f(jnetion V [JC, y) à laquelle elle appartient, mais bien de ees variables soi-disant
auxiliaires qui joueraieni ainsi un rôle prépondérant.

M. .Stieltjes a adresséà M. Hermile un travail foil remarqirable où il cherchait
à généraliser diverses formules de (^<auchy et de Lagrange. Malheureusement
quelques points restaient oi)scurs et l'auteur ne put les éclaireir de façon à se
mettre à l'i.hri de toute objection. C'est ce qui le détermina à ne pas puijlicr
son mémoiie, m lis je tiens à lui rendre ici justice. Je chercherai plus loin à
expli(pier quels sont les points qui avaient arrêté M. Stieltjes et à montrer
comment se> démonstrations peuvent être rendues parfailement rigoureuses.

Le J.:} janvier i88(i, j'eus l'honneur île communiquer à l'Académie des
Sciences une Note où j'étudiais à un piùnl de vue nouveau les périodes des
intégrales doubles, et en particulier celles qui sont analogues aux périodes
polaires des intégrales simples. Ce sont les résultats de eette Note (]ue je veux
développer dans le présent travail.

Peu de temps après. M. Picard (('oiiiptcs rendus. i5 et atS février 1886) se
plaçant au même point de vue que moi, a obtenu un grand nomlne de résultats
remarquables. Le savant géomètre emploie dans ces deux Notes le mot àe, période
avec la siguificalion que nous lui donnerons dans la suite. Les périodes qu'il
étudie n'ont donc aucun rapport avec les intégrales qu'il avait primitivement

SLR LES ItÉSlDLS DES IMliGllALCS DOIBI.ES. ^/{'i

désignées SOUS ce nom. Je crois devoir insister sur ce point afin de rendre toute
confusion impossible.

I. — Modes de représentation.

Les difficultés auxquelles les ^éonirtres se sonl heurtés si souvent dans la
théoiùe qui nous occupe n'oni rien d'essentiel et ne sont pour ainsi dire
qu'une question de langage.

Dans l'étude des intégrales simples, on emploie un mode de représentation
géométrique très commode et dont il semble qu'on pourrait difficilement se
j)asser. ( )n ne peut le transporter sans cliangement dans la théorie des inté-
grales doubles, pour une raison qu'il est aisé d'apercevoir.

Soient î et r, deux variables ('om[)lexes; si nous |)Osons

en sépar.int les parties réelle et imaginaire, nous aurons quatre variables x, y.
: et /. Nous ne pouvons les regarder comme les coordonnées d'un point dans
l'espace, à moins de nous résigner à admettre un espace à quatre dimensions.

On se tiouvu donc en présence du dilemme suivant : il faut, ou renoncer
à toute représentation ou employer V hypeniéomèlvie : mais, dans ce dernier
cas, on est exposé à rebuter la plupart des lecteurs, et de plus on ne possède que
l'avantage d'un langage comuiode, mais incapable de parler aux sens.

Comme cette langue hjpergéoméirique répugne encore à beaucoup de bons
esprits, je n'en ferai qu'un usage peu fréquent; je crois néanmoins nécessaire
de préciser ici le sens des termes que je lui emprunterai.

Un point est un système de valeurs des quatre variables ./•.)', c et t.

L'ensemble des points qui satisfont à une seule relation entre x., )', z et l est
une « multiplicilé à trois dimensions » que l'on appelle liypcrsurfacc .

L'ensemble des points qui satisfont à deux rclalions simultanées est une
« multiplicité à deux dimensions » que l'on a|)pellera suvfacf.

L'ensemble des points qui satisfont à trois rdations simultanées est une " mul-
tiplicité à une dimension » à laquelle on conservera le nom de ligne.

Deux surfaces quelconques ont au point de vue analytique un certain nombie
de points communs; mais il peut arriver quêtons ces points deviennent imagi-
naires; comme nous ne considérons que des points réels, nous dirons alors ipie
ces deux surfaces n'ont aucun point commun.

444 SU" LES RÉSIDUS DES INTÉunALES DOUltLES.

Une intégrale double doit être étendue à tous les points d'une surface. Nous
aurons donc une surface cV intégration de même qu'on a, dans la théorie des
intéi^rales simples, un chemin d'intégration.

De plus l'ensemble des points singuliers formera une sui-fare.

Supposon'- en elVel quo la fonction sous le sii;ne / / soit le (|nolieMl de deux

polynômes entiers l'(£,ri) et OiJL.r,). i'oiii- ([uc cette lonction dexienne inlinie,
il faut que

(0 Q(^•^) = o.

Mais on a, en séparant les parties réelle et imaginaire.

Q(;. vi)r=Q,(.*^ r, 5, 0 + 'Q:^('-..'\ :^. '),

de sorte que la relatimi (i ) se décompose en deux :

Qil^x, », ■:; l ) — o,
q.,(x,y, :.. /) = n.

Elle représente donc une surface.

Il faudra alors que la surface d'intégration et les surfaces singulières n'aient
aucun point commun.

Si la fonction sons le signe / / est algébrique, les surfaces singulières seront

algébriques. \ii contraire la surface d'inti'gration étant purement arbitraire ne
sera [las forcément algébrique ; elle pouna être transcendante ou se composer
de portions appartenant à diverses surfaces algébrir[ues.

Je vais maintenant exposer les artifices à l'aide desquels je couipte ui'afTran-
chirde la nécessité de considérations hjpergéométriques.

Soient À, (ji.. V trois quantités que je regarderai comme les coordonnées d'un
point dans l'espace ordinaire, et considérons une surface algébrique ou portion
de surface algébrique S sur laquelle se trouve le point /, ,u,v. Ecrivons :

où o,, cp2, cp3, o., sont des fonctions rationnelles de À, ;j., v dont le dénominateur
ne s'annule pour aucune \aleur réelle de ces variajjles. Il est clair que quand le
point ) , ij., V décrira dans l'espace ordinaire la surface ou portitin de surface S,
le point j", 1', .;, l décrira dans l'hypc^'espace une certaine surface ou portion
de surface S' ; de telle sorte cpie la surface S' est définie par la surface S et par
les quatre fonctions fondamentales <ai, V2<?:i g'

^ \ •

Sfh LES nÉSIDLS DlîS INTÉGltALES DOIIILE:?. 445

Si la surface S est t'ennée, nous tlirons aussi que la suitace S' esl fermée.

La notion des surfaces d'intégralion fermées qui va jouer un si grand r(jlr
dans ce qui va suivre se Irouvo ainsi neltenjent définie.

Le genre de la surface S (au point de vue de la géométrie de situation) sera
aussi le même que le genre de la surface S', à moins que le point .r, y, z, / ne
décrive deux ou plusieurs fois la surface S', ce que nous ne supposerons pas.

Lorsque l'on donnera à À, ,a, v toutes les valeurs réelles possibles, le point
À, [J., V décrira l'espace lout entier, et le point x, y, :■, t décrira dans l'hjper-
cspace une certaine livpersurface unicursale.

Tant donc que le point x, y, z, t restera sur cette lijpersurface, nous pour-
rons le représenter par un point de l'espace ordinaire et nous serons affranchis
de riiypergéométrie.

Dans certaines question-, nous n'envisagerons que des surfaces d'intégration
situées sur une même hypersurfaee unicursale et nous pourrons nous servir de
ce mode de représentation.

La plupart du temps nous supposerons simplement :

Alors le point x,y, s, i sera représenté par le point de l'espace ./",)-, ; et la
quatrième coordonnée t sera une fonction rationnelle de x. )', z.

La surface d'intégration sera alors définie par une surface S située dans
l'espace ordinaire {x,y, zj et par une fonction rationnelle o,. ( *n aura :

P(^-,.>-, ^)

P et Q étant deux polynômes entiers, et nous supposerons qu'on n'a en aucun

point réel de l'espace ix,y, z)

Q(.r. y, z) = o.

il est aise de démontrci' que loule surface d intégration, ou bien esl susceptible
de ce mode de leprésenlatiou, ou bien diffère très peu dune surface qui en est
susceptible, ou lîien enfin peut être décomposée en plusi(;urs autres ipii dillércni
très peu de surfaces algébriques admettant ce mode de représentation.

Ce mode de représentation est donc suffisamment général pour s'appliquer à
tous les cas; cependant il sera quelquefois plus comniodede le modifier un peu.

PLeprenons les quatre relations fondamentales

dont il a élè question plus liaul.

440 SLR LES HÉSIDLS DES INTEOIULES DOUBLES.

Nous avons supposé jusqu'iri que ces quatre fonctions élauiit rationnelles ; il
nous suffit qu'elles soient unifonucs et bien déterminées. 11 peut même suffire
que sans être uniformes dans tout Uespacc, c'est-à-dire pour toutes les valeurs
de X, m, V, elles restent uniformes dans une certaine région de l'espace ().,p-, v)
pourvu que notre surface S qui représente la surface d'intégration soit tout
entière contenue dans celte région.

II. — Conditions d'intégrabilité.
On sait ce qu'on doit entendre par une i/ih'gra/e simple :

f

\ i/.i- ■+- \ </) -h '/.</:}

prise le long d'une courbe gauche quelconque dans l'espace {x.y, z). On con-
naît également les conditions d'intégrabilité: c'est-à-dire les conditions pour
qiie l'intégrale soit indépendante du chemin d'intégration el ne dépende que
des deux points exUcines de ce clicmiii. i On suppose bien entemlu que \, \
et Z sont des fonctinns données de ,/■, y et z.) Ces conditions sont :

/\

,/\

,/\

,11.

,/\

,/■/.

/r

= ,77-'

7h ~

'- 7ty

,/:■ ~

" Viv

Ces résultats s'élendcnl iniiuédialeiuent, coinuie on le sait, au cas d'un espace
d'un nombre quelconque de dimensions.

Soient Xi, .^2. .... r„, n variables indépendantes el soient X,. Xj, . . ., \»,
/( fonctions de ces ii v.iriables: il est aisé de définir l'intégrale simple ■

U)

/ (\, '/./■, -t- \ .</./•., -t- . . .-4- \„(l.l-,).

En effet, inlruduisuns une v, niable auxiliaire el posons :

(:>) ./•| = ^i(h~). .r..— z.Jii) 3-„ = z„{ii).

Ces équations (a) définiront le eheuiin d intégration.

Nous ferons varier u depuis u^ jusqu'à «,. Nous poseions :

.'cj = 5, ('Mi") r^', = ç„C;/|V

Les deux systèmes de valeurs (.r", ,f,',', . . ., j") et (,r|, x\ a",',) définiront

les deux points extrêmes de ce chemin d'intégration.

SUIl LES RKSIDUS DES INTliGRALES DOUBLES.

t\'\l

Alors lintégrale (i) prise le loup du cliemin d'iiitégralion (ai depuis le
point (a:", ..., ,r") juMju'iiii poiiil ix\, ..., r,', ) ne sera autre ciio>e que
l'intégrale définie •

r'ï^.s

V,:

'In

"''^)''"-

Nous cherclions les conditions d'intégrabilité, c'est-à-dire lus condition^
]i(iur (pie cette intégrale soit indépendante du cliemin dinlégration. c'est-
à-dire ne dépende (jue des deux points extrêmes de ce cliemin {x", . . ., x"^)

et (.r;, ..., x],).

r, ,. . 1 ,inn — 1) ,, , . .

Les conditions sont au nombre de et elles s écrivent

dxk dxi

Passons niainlenant au cas des intégrales doiibU'S. et d'abiud dans l'espace
ordinaire. Soil une intégrale douhle

11''^ 'h '/-■ ^ Wilz.l.r ^ *.\,l.r,ly)

A, B cl C étant trois ionclioiiN de ./■, J', ;.

On sait ce qu'on doit entendre par là. La surface d'intégration peut n'être
pas fermée, mais on peut toujours conxenir de regarder l'un des côtés do la
surface comme l'extérieur et l'autre comme l'intérieur.

Soient donc (/'.) un élément de cette suiface et a. ,5. -^ les cosinus directeurs
de la normale à l'élément dirigée vei's l'extérieur.

I.'inlégrale sera alors

/ ( .V a -4- 15 > -I- Cyi-Ao

é!(!ndue à tous les éléments itf,\ de la surface.

On peut également la délinir comme il suit, ce qui revient au inéine :

Exprimons j-, )' et c en louetions de deux variables auxiliaires u et e,

Ces équations délininint la surfare d'intégration. L'intégrale ne sera alors autre
chose que l'intégrale double ordinaire

J J L <)\ii,v) (Jiii.f) d(ii,i')

lit ,/,-,

Nous désignons sui\anl la coulume par la notation '—i-^ le déterminant fonc
° ' <)( II. Il)

448 Sun LES RÉSIDUS DES IMEURALES DOUBLES.

tionnel

llJ^ d) dx dj
du dv dv du

La fondilioii d'inlégrabililé (^ c'est-à-dire la cniuliiiou jioiir (jiip rinlégrale
[irise le long d'iiiie surface fermée quelconque soil nulle) s'écrit alors

d\ r/li dC.
d.r dy dz

Tous ces points sont trop connus pour que j v in>i>[e davantage.
Passons maintenant au ca> général.

Soient ./, , s-., ..., .r„, /; variable.-' independanle>. Désignons maintenant
par la notation

dlveises fonctions données de ces n \aria!)les. l\ou^ supposerons que 1 on a

(,3) .\,,\,l..,.. (Xt, X,) =— (X;, \<.).

Nous allons envisager l'intégrale double

J = 1" f^(\,.\/.ld.nd.r/,.

où l'on fait entrer ^ous le si^ne - les combinaisons des deux indices i

et A .

Pour la définir, imaginons qu'on introduise deux variable.s aii.xiliaires ii et r
de telle sorte que
(4;i Xi=Si(^u,i} ,/ - 1, J, :i, ..., /().

Ces équations ( \) définiront la surface d'intégration. Nous donnerons à i/ et à e
ouïes les valeurs qui satisfont à une certaine inégalité

de sorte qu'en réalite la Mirface d'intégration sera coinpiélemenl tiéiinie par
les équations (4) d'une part et par l'inégalité (V) d'autre part. L'égalité

'l{ll. l') — o

définira ainsi la ligne qui servira de limite à la surface d'inlégialion.
L intégrale proposée sera alors l'intégrale double ordinaire

du cA'

d{u,f)
jui devra être étendue à toutes les valeurs de // et de v satisfaisant à l'inéga-

SIR LES RÉSIDLS DES IXTÉGRALES DOIBLES. 449

lite (.1). t^uanl an signe — . il s appliquora aux r.()nioinaison> des doux

indices i et /.".

Mais en tenant compte des relations (3), on peut écrire 1 intégrale étudiée
sous la forme

ilxi dru

J J JmJ ^^ <tll lU'

'A-,

Il est manifeste que si Ion permute les variai>les ii et r. lintégrale change
de signe, mais cette opération est tout à fait analogue à ce que serait, dans
l'élude des intégrales simples, un changement du sens de lintégration.

A part ce changement de signe, l'intégrale est indé|>endante du choix des
variahles auxiliaires ii et e.

Aolre intégrale double danl ainsi eomplélement délinie, il faut trouver les
conditions d'intégrabililé; je veux dire les conditions pour (jue l'intégrale ne
dépende pas tle la surface dinlégialion. mais seulement de la courbe qui limile
cetie surface; de même que les intégrales simples applicjuées à des difTéren-
tielles exactes ne dépendaient pas du chemin d'inlégralion. mais seulement
des extrémités de ce chemin.

Su[)posons que 1 on remplace les équations ( 4) par les suivantes :

.r = çj( Il . 1 1.

la fonction o] élanl différenle de la fon<lion -.>,. Alors on changera la Mirface
d intégration.

Mais supposons en mêmi' temps que Ion conserve l'inégalité ( ") ) sans aucun
changement, el que l'on ail

Inules les fois que l'iui a

•\fi II . (•) ^ o.

Alors la cc)iiii)e qui limite la surface d intégration ii a j)as changé.
Si dans ces conditions 1 intégrale n a pas changé, nous dirons que I expres-
sion sous le signe / / est inlégrable.
Imaginons que 1 on pose

en introduisant une troisième variable auxiliaire iv. Nous calculerons I inté-
grale proposée J en l'étendant à toutes les valeurs de ii et de i qui satisfont à
l'inégalité (5) et en regardant ir comme un jyaranièlre arbitraire.
H. P. - m.

45o srn LKS hesidus dks i.ntegralks doubles.

Je supposerai de plus que pour

■Il w/. 1- I = o

les fonctions o, soient inflépendanle> de ir. Alors la surface dintégralion
dépendra de iv, mais la courbe qui limite cette surface n en dépendra pas.

J sera une fonction du paramètre ic et nous clierchons les conditions pour
que cette fonclion sciil une constante: ce seront les conditions d'inlégrabililé.

Nous avons donc à écrire que

ce qui donne

ilw ,1 J ji^ ^ dw au lU-

./ ,/ ^^ ^mi \(1ll lUy ilv r/{- div du j

La première intégrale double du second membre peut s'écrire

/' r 'V XT" V ''l^i' -^< ' ''•'"' ''•'■* ''■''/' ( ;

jj2j22 d.rn -d7,lûr-û^.'i"i^-

i k h

Clierclions à réduire l.i seconde. Pour cela, remarquons que l'on a

dV

J"""JJ^

dudv.

l'intégrale double étant étendue à toute notre surface d'intégration et l'intégrale
simple du premier membre au contour qui limite celte surface et qui est délini

par 1 équation

■!j{u, c) = o.

l'aisons dans celle équation

1- = k\,. \< 1-7- -7— •
du (hv

Nous avons supposé que les fonctions o,-, c'est-à-dire les a-,, sont indépen-
dantes de w pour -.j/ = o. On a donc, si i|; est supposé nul,

-— - =0, V — o.
dw

SUR LES RÉSIDIS DES I.NTKOnALES UOtlILES. 45l

11 résulte de là que le premier membre de (6) est nul. On doit donc avoir

<^' //'^.'^"£ .S:.^'""— //'^">"<£ £S/"'*

-//

t/{Xi. \i) dxk dx\

dv dw du

-r^ du dv.

(Jn peut écrire une seconde équation analogue à l'équation (6 ),

dp

-f^"'-fjt'-

/>•

d où 1 on déduit, de la même laçon,

(7) / {^,-^0-j--, — —diidi-=— /i\„\,. ,_^ —

J J ih' ilu ihv J J (Itv ihi ih

/' »/( \,. \/, I il.r, d.fi.

-f.l

(/(/ (/w df

Remarquons maintenant que

du dp.

, d£i d- J-, du^ d- .r/; ,
\ dw du dv div du dv

En effel si l'on envisage l'expression suivante :

H — f X X ) /' — ^^' ''^'' -+- ^^ '^'^' \
~ ' " ' \ f/u' du dv dw du dv j

on voit qu'elle se cliangc en — II quand un permute les indices / et k .

Dans l'emploi des relations (7) et [■-/) nous pourrons donc laisser de côté le
premier terme du second memlire. Il vient donc i)onr l'expressioii de -;—

r f "Sp Sf r</^X,, Xx) d.r, d.i-i; _ d{^\,. X/.') d.i-i dr,, _ di X,. X<. 1 </./■, t/./y, 1 ^^^ ^^^
J J ^ ^ [ dw du dv dv du dw du dw dv J '

Observons maintenant que

d{\,. Xx-,i _ ^ (/(X,. \k I dru

du ^^ d.r/i ilu

h

et que l'on a deux formules analogues pour

d(\i, \k) ^^ dy\,. X,--|
dv d/ii'

Ceci nous permet de transformer 1 expression de -j- el de l'écrire
•^ ^ dw

J J ZàZuZà d.r,, {du dv dw du dv dw du dv dw \ ' ' '

452 SUR LES RKSIDl'S DES INTÉGRALES DOUBLES.

Transformons-li\ encore en laissant de côté les lernies où les indices (' et k
sont égaux entre eux, puisque nous savons que ces termes sont nuls. Réunis-
sons de plus les termes en (X„ Xa) et (X/;, X,) en remarquant que

Cela donnera

JJ 2^

f/( \,, \/ I J(.r,, .r/,.. .)■/, I

'/» (/f

ô(n. c. »■ I

Le signe i porte sur toutes les coml)inaison> (/, /. , //) si 1 on convient :

i" De laisser de côté le> combinaisons où / = /r.

2" De ne pas legarder comme diirérentes les deux combinaisons (/, /. , /;)
et (/,, /, A).

Nous pouvons écrire aussi :

7h

~v " J J 2miy dsTh d-''i "'■'■/. J Ôill. f, \V)

llll l/f.

Le signe i change alors de signifidition. Il porte sur toutes les combinai-
sons (/, /i, //) ^i l'on ne considère pas comme diflérentes deux combinaisons
(lui ne diffèrent que par l'ordre des lettres /, / , li .

Il est clair d'ailleurs qu'on peut laisser de côté les combinaisons où deux des
lettres /, /, h sont égales entre elles, parce qu'elles donneraient un résultat nul.

L'expression de V- doit être nulle (luelles que soient les fonctions o,. Gela ne

' (Al ' '

peut avoir lieu que si l'on a

,/(X,-. .\,.) , d{\/,,\/.) , d{\,,. \,) _^

(«)

(/.v/i d.ri d.ri;

Telles sont les conditions d'intégraiiilité. 11 faut prendre pour le système des
trois nombres (t, /., /() toutes les combinaisons possibles, en excluant celles où
deux des lettres seraient identiques et en ne regardant pas comme distinctes
celles qui ne iliffèrenl que par l'ordre des lettres. Les conditions d'intégrabilité

sont donc au nombre de

ni n — i) I /( — ■> )
6

Considérons en particulier le cas de « = 4 et envisageons l'intégrale double :

[u\. 'V }d.cdy + \\. ljdj:dz-\-{\. 'T ) d.r dl
(V, Z)dfdi-h(\. T ) df dt -h (1. 1)dzdl].

JJ

SIR LES RESIDUS DES INTÉGRALES DOUBLES. 453

Les conditions d'intégrabilité seront

dx dy '

d(\\ T1 rf(T, X) _

dz

d(\.

V)

dl

d{\.

Z)

dl

d{\.

Z)

dx dy

d(Z, T) djl, X)
dx dz

djZ, T) dÇÏ, \)

dl "^ dv dz

Si l'on compare les conditions d'intégrabilité relatives aux intégrales simples

./\, d\,,

(9) dj,-d7;^"

avec les conditions (8) relatives aux intégrales doubles, il est impossible de
n'être pas frappé d'un fait remarquable.

Dans les formules (9) on a alternalivenient le signe + et le signe — : dans les
formules (8) on n'a que le signe +.

Qu'arrive-t-il si l'on passe aux intégrales d'ordre supérieur ?

On trouvera des conditions tout à fait analogues aux condilions (8) et (9) et
l'on rencontrera encore le fait que je viens de signaler. Pour les conditions
relatives aux intégrales d'ordre pair, tous les termes seront précédés du signe -f- ;
pour les conditions relatives aux intégrales d'ordre impair, les termes seront
alternativement précédés des signes -f- et — .

Soit par exemple l'intégrale triple

///2

(Xj. X'-j. \.. td.r^t/x'-id./

l'intégrale étant définie comme plus haut, et les fonctions (X^, X^, X-,) étant
des fonctions analogues aux fonctions (X,-, X*) et qui changent de signe quand
on permute deux des indices x. ,3, y. Les conditions d'intégrabilité s'écriront
alors

di\^. X3, X./> _ di\H. X.,. X;) d{\.... X;. X^] _ d{\,,, X^, X3)
dx?j dx^ dx'i dx-.

avec alternance des signes -+- et — .

Soit au contraire l'intégrale quadruple

f If r^ (^'*- ^?- '^ï- ^''^> ''■'^^ ''■''" '^■^'t ''■'"''•

^54 SUR LES RÉSIDUS DKS INTEGRALES DOUBLES.

Les condilions d'intégrabilité s'écriront

di\^. X3. X,., Xô) </(X8, X-.. \z. X,) >/{\y. Xr,. \,. Xa)

■ J- — '- 1 ■ — y 1 -,

rf.rj tlr^ d.n^

rf(Xe, X,. Xa, Xp) ./(X„ Xa, X3, Xv)
H j — H ;j •■ =0

avec le signe + parloul.

III. — Théorème fondamental.

Reprenons le moile de représentation du paragraphe I. Soient donc 1, p., v
les coordonnées d'un point dans l'espace ordinaire, el une surface ou portion
de surface S. Posons ensuite

(l) x = 3i(À, a, V). y = z,(\. <x. -/), J = =:,(>., ut, v), / = ç.. ( À, ^i, v ),

les CD étant des fonctions rationnelles.

Envisageons une fonction des deux variables complexes

; = .r -t- /)•, T| = C -H il.

tjue l'appellerai

Fl;. r,)

ou bien encore

P -f- iQ,

en séparant les parties réelle et imaginaire. On aura alors

[ </P

,/p f/Q r/p _ dq

' JT' ,/z " dt

(.■'■')

( (77- ~ " ^ ' dl ~ dz'

Il s'agit maiiiteuiiiit de définir ce qu'on dnil entendre par l'inlégrale double

If'

prise le long de la surface d'inlégration définie par la surface S et par les équa-
tions fondamentales (1).

11 importe d'abord de définir le sens de l'intégration. Pour cela imaginons un
observateur O, avant les pieds sur la surface S et la tète dirigée soit vers l'exté-
rieur de celte surface, soit vers l'intérieur. C'est la position de cet observateur O
qui définira le sens d'inlégration. Nous dirons que ce sens est positif si l'obser-
vateur a la tète vers l'iixtérieur et négatif dans le cas contraire.

Si la surface S n'est pas fermée, il n'v a plus à proprement parler d'extérieur

SIR LES ItKSIDlS DRS INÏKGRAI.ES DOl BI.ES. -1 >5

et d'intérieur; mais nous pouvons toujours convenir do regarder l'un des côtés
comme l'extérieur et l'autre comme l'intérieur. (Si la surface S n'avait qu'un
seul côté, l'intégrale serait nulle.)
Envisageons maintenant l'expression

r A P -<- ''Q ■) Ulr -H / <ly '\ ( >lz -I- / ,lt ■).

Celte expression n'a absolument aucune signification par elle-même et ne
pourra avoir que celle que nous conviendrons de lui donner. EfTectuons néan-
moins le produit sous le signe / / d'après les règles ordinaires du calcul ( ' );
ce ne sera là qu'une opération purement mécanique et deslinée à nous servir de
règle mnémonique. 11 viendra

//

i ( P -+- /Q 1 J.r ,/; -I- I / P — Q •) </.r <lt h- . / 1' — Q i r/i dz — i I' h- /Q , ,/, lU ].

Imaginons maintenant qu'on puisse trouver deux variables auxiliaires u et r
telles qu'en tous les points de la surface S les trois coordonnées /., p., v soient
des fonctions holomorphes de u et de r.

Alors l'intégrale cherchée sera l'intégrale double ordinaire

//[■

,;i.r, ;-) . d(.r. t)

I Q 1 h ( ir — (Il —

Ji II. ri J{ II. !■)

j{ \ . z) . Oi y. rn

P — Q ) --^ — I P H- / O I —^ du ïA'

0{ u. r) ^ ô(u. V )J

étendue à tous les svstèmes de valeurs de u et de r qui correspondent aux diflé-
renls points de la surface S.

Si l'on ne pouvait trouver deux variables u et e satisfaisant à ces conditions,
on décomposerait la surface S en plusieurs régions et (à la condition que ces
régions soient assez petites) on pourrait toujours trouver dans chacune d'elles,
deux variables u et c telles que /,, ;j., v soient fonctions holomorphes de u et de i',
en tous les points de la région.

L'ordre des deux variables u ft r n'est jias indifl'érent. 11 estclairen effet que
l'intégrale change de signe cjuand on permute ces deux variables. ^ oici donc la
convention que nous ferons : imaginons que u et c représentent les coordonnées
d'un point dans un plan. Imaginons que le point /., ,u, v décrive sur la surface S
un contour fermé très petit C autour des pieds de l'observateur O et que cet
observateur voie ce point décrire ce contour C dans le sens contraire à celui des

Cj Sans changer l'ordre des facteurs.

456 SUR LES RKSIOUS DES INTÉGRALES POLBI-ES.

aiguilles d'une montre. Le point correspondant («, r) décrira dans son plan un
autre contour fermé C. Il faudra que ce second contour G' soit décrit comme
le premier diins le sens contraire à celui des aiguilles d'une montre (en suppo-
sant que les axes des u et des c positifs soient disposés comme le sont d'ordi-
naire les axes des x et des )• positifs).

Notre intégrale double est ainsi complètement définie et elle est analogue à
celles que nous avons étudiées dans le paragraphe précédent. On a d'ailleurs

(X, Y) = (Z, T) = o,

(\. Z) = (T, Y)= P-+-/Q,

(\. T) = (Y, Z) = ,r'_Q.

Les quatre conditions d'intégrahilité s'écrivent alors

(/((■P — Q) f/(P-t-,Q)

dx

dy

rl{P+,Q)
dj-

diiP-
dy

-Q)

tliV -+-1(1)
dl

dijP-
dz

■Q)

d{iP — Q)

d(P ^

h ' :

'Q)

dt ■ dz = °-

Elles seront donc remplies en vertu des relations (2).

U est aisé de tirer de là diverses conséquences.

Imaginons d'abord deux portions de surfines S et .S' limitées par un même
contour C et que ces deux |iorllous de surfaces soient situées toutes deux dans
l'espace (À, |jt, v). Nous supposerons d'ailleurs que les deux surfaces d'intégra-
tion sont définies lune par S, l'autre pai- S', mais toutes deux par les mêmes
équations fondamentales

(il .;• = 9, (">., |i, •/"). )• = s,j('/., ;j., V I. ; = S;, ( À, u, V ), ? = ;.,( X, u. v 1,

Si la surface S peut, par une déformation continue, arriver à se confondre
avec S', et si dans celle déformation continue il n'arrive à aucun moment que la
fonction 1*'^ 1* -;- /Q devienne infinie ou liisconliiiue en un point de la surface
d'intégration, à ces conditions, l'intégrale prise le long de S sera égale à l'inté-
grale prise le long de S'.

Considérons maintenant les surfaces sinnu/i<'res,c'esl-à-(Vivc l'ensemble des
points où la fonction F devient infinie ou discontinue. Soient

il, (.r, y, :, t) = ■io(.r, y, z, I) = o
les équations de ces surfaces.

SUR LES RESIDUS DKS INTEGRALES POIBLES. 40"

Remplaçons dans 'i, el '|j, x, _)', :;, / par o,, -vj. 93 et o,. les deux t-quallon»
des surfaces singulières se r('duir(inl à deux relalions

/, ( "/.. u. V) = /.,( À, a, V) = o.

eiilre "/., /j. el v. Ces deux équatlcjiis délinironl certaines courbes apparlenanl à
l'espace (A, /n, v) el que j'appellerai courbes singulières, parce qu'elles sont le
lieu des points qui appartiennent ii l'espace (/, y., v) et où la fonction sous le

devient inlinie ou discontinue.

.ne// ,

Nous pouvons donc énoncer le résultat précédexit de la façon -.ui\anle :

Les deux portions de surface S el S' étant limitées au même contour C divi-
seront l'espace ()., fx, v I en deux régions, lune intérieure et l'autre extérieure.
Si dans cette région intérieure, il n'y a aucun point des courl)es singulières,
l'intégrale prise le long de S sera égale à lintégrale prise le long de S'.

Si la surface S est fermée, elle divisera l'espace (À, p., v) en deux régions; si
à l'intérieur de S il n'y a aucun point des courbes singulières, l'intégrale prise
le long de S sera nulle.

Si la surface S' ajipartenant comme S à l'espace (À, ;j, v) e>t fermée comme S
et tout enlière intérieure à S. et >i dans l'espace compris entre S et S', il n'y a
aucun point des courbes singulières, l'intégrale prise le long de S est égale à
l'intégrale prise le long de S'.

-Si deux surfaces S et S', toutes deux fermées et appartenant toutes deux à
l'espace ['/., [x, v) contiennent à leur intérieur les mêmes courbes singulières et
les mêmes portions de courbes singulières, l'intégrale prise le long de S sera
égale à l'intégrale prise le long de S'.

Il faut toutefois avoir soin de |jrendreles deux intégrales dans le même sens.
Nous avons défini le sens d'intégration à l'aide de l'observateur O. Nous suppo-
serons donc que cet observateur a la même position par rapport aux deux
surfaces S et S . S'il a la tête vers l'extérieur de la surface S. il devra avoir
aussi la tête vers l'extérieur de la surface S' el inversement.

Il peut arrivei' que deux >urtaces fermées S el S' tout en n'up])artenanl pas
au même espace (/., ,a, v) contiennent néanmoins à leur intérieur une même
courbe singulière.

Soient en effet

/, (.r, r, z) = o, t = fUx, y, z)

les équations d'une courbe singulière G.

H. P. — m. 58

458 SUR LES RÉSIDIS DES INTÉGRALES DOUBLES.

Cette courbe C appartiendra à la fois à l'espace (>., p., v) défini par les équa-
tions fondamentales

■r = À, y = a. c = V, t=f,{X, IX., v),

el à l'espace (/.', [x' , v') défini par les équations

X = V, y = ;ji'. z = ■/'. t = /i(À'. iji'. v') -!-/,().', iz', v').

Il pourra se faire alors qu'une surface fermée S appartenant à l'espace (^, fi, v)
contienne à son intérieur la courbe singulièrr C el n'en contienne pas d'autre;
et qu'une autre surface fermée S' appartenant à l'espace {V , ix\ v') contienne à
son intérieur la courbe singulière C et n'en contienne pas d'autre.

L'intégrale prise le long de S e*l alors égale à l'intégrale prise le long de S'.
11 faudrait toutefois, pour s'assurer que l'intégration a bien lieu dans le même
sens, une discussion délicate que je réserverai pour le paragraphe suivant. Je
me contenterai donc pour le moment de dire que les deux intégrales sont
égales, ou égales et de signe contraire.

On peut résumer tout ce qui précède en disant (pic l'intégrale prise le long
d'une surface fer/née S 7ie dépend (jite des courbes singulières (jui sont
contenues ii l'intérieur de cette sur/are.

rV. — Résidus des fonctions rationnelles
Soit une l'onction rationnelle

Ecrivons-la en mettant en évidence le numérateur et le déiuiminateui' et en

décomposant le dénominateur en facteurs irréductibles. Supposons pour fixer

les idées que ce dénouiinateur admette drux semblables facteurs.

Soit donc

Pi;, ï,)

F(;-^) =

Q(?, T.tRlI.r.»

P, Q et 11 étant trois polynômes entiers dont les deux derniers sont irréduc-
tibles.

Considérons un espace (>., p., v) défini \>nv les quatre équations

x = s,(/,, [i, v), j = Çj(À, [i. v), ^= ï:,(/., [i, V), / = 5,.(À, |ji, v)

et dans cet espace une surface fermée S.

SIR LES llÉSIDi;S nES INTKGBALES DOUBLES. 4^9

Il s'agil de calculer l'intégrale double

//

|•(^ T,)(/tr/r,

[)iise le long de S, l'observateur O étant dirigé vers l'exlériour.

Cette intégrale dépond connue nous l'avons vu des courbes singulières qui
sont contenues à l'intérieur de la surface S.

Les courbes singulières de l'espace (À, p, v) sont de deux sortes :

Les unes onl pour équations

Q[s,(X, iji, 'i)-his.,(l, II, v), Ç;,(/., [x, v) -f- (■o.,(/., [ji. v)] = o,

les autres ont pour équations

R[9i-t-(Ç.,, OjH- (cpv] = o.

D'ailleurs, celles de ces courbes qui .--eront contenues tout enlières à l'inté-
rieur de la surface fermée S devront évidemment être des courbes fermées.

Supposons que la surface S contienne à son intérieur plusieurs courbes
singulières fermées, par exemple deux que j ap|)cllerai C et C. Nous pourrons
toujours construire dans l'espace (/, fx, v) deux surfaces fermées i et i' situées
toutes deux à l'intérieur de S et contenant à leur intérieur, la première C et C
seulement, la seconde C et C seulement; l'intégrale prise le long de S sera
alors la somme de l'intégrale prise le long de i et de l'intégrale prise le long
de i', l'observateur O qui définit le sens d'intégration demeurant toujours
dirigé vers l'extérieur.

Nous sommes ainsi ramenés au cas où la surface S ne contient à son intérieur
qu'une seule courbe singulière C.

Toutes les surfaces S renfermant la courbe C conduiront à la même inté-
grale. Il n'est pas nécessaire |>our cela que ces diverses surfaces S appartiennent
au même espace (>,, jx, y).

Construisons donc un espace Çk', p.', v') particulier contenant la courbe C et,
dans cet espace, une surface fermée i renfermant cette courbe. Nous choisirons
cet espace et celte surface de telle sorte que l'intégration soit facile et l'inté-
grale cherchée, c'est-à-dire l'intégrale prise le long de S, sera égale au signe
près à l'intégrale prise le long de i.

Nous pourrons toujours mettre les équations de la courbe C sous la forme

46n SUR LES RÉSIDUS DES TNTÉGRALKS DOUBLES.

les '\i étant des fonctions périodiques du paramètre (o, puisque cette courbe est
fermée. Nous supposerons que la période est égale à 271.

Cela posé nous introduirons deux autres |)aramètrcs p et cp et nous écrirons

).'= cosw( I -f- ; cosi). ij.'= sin(o( I -1- c coSy). ■/■=psiiiï,

j- = 'il ( f) ). j- = 'l-, (■ to ). ; = 'V|( oj) + p cos ï,

t = 'i-.i w) -I- 5 sini.

Ainsi J?,_>', ; et t sont définis en fondions de to, 0 et i- et par conséquent en
fonctions de /.', ;j.', v'. Mais il faut faire ici une remarque :

X, y, z et I sont des fonctions uniformes de <.), o et 9, mais non de )/, |j.', v'.
Toutefois si l'on convient que 0 devra toujours être compris entre o et 1, à un
système de valeurs 1\ ;jl', v', correspondra un seul système de valeurs de p,
cosw. sinoj, coso, sino et un seul système de valeurs de .r, )', ;, / ; grât;e à cette
rehlriclion x, y, z cl t deviennent donc des fonctions uniformes de "//, ,u', v'.

A un point de l'espace ("/.', /i', v') satisfaisant à la condition p <i, c'est-à-
dire situé à l'intérieur d'un certain tore, correspond donc un point et un seul
de l'hyperespace.

Dans ce mode de représentation, la courbe C est représentée par le
cercle (p = u )

À'--)- ;ji'- =1. ■/'= O.

Nous prendrons pour la suiface - le tore dont l'équ.itiun est

ç. = p„. o < p„< I.

Ce tore enveloppe m.inifeslement la courbe C. Nous allons voir que le calcul
de l'intégrale

//•

le long de celle surface i est parlicullèrement simple.

Décomposons en effet l'intégration en deux parties; intégrons d'abord par
rapport à r,, en regardant ; comme un païamètre arbitraire. Nous avons :

3 = 'i/3( (o) -+- o„ cosç. I = Z;[ m) -+- Pu sin;.

Si c, est regardé un instant comme une constante, u sera aussi une constante ;
il en est de même de po, 9 étant la seule variable. On a alors :

•r, = 'l:i-¥- /'ii-t- pdP'î,

ce qui montre que le point r, décrit dans le plan des y, un cercle de rayon po

SUR LES HBSIUUS DKS INTÉGRALES DOURLKS. 4Gl

ayant pour centre le point ^^3-}- ri/-,. L'intégrale simple

est alors égale à 21- multipliée par le résidu de la fonction F(;, ri ) (regardée
comme fonction de r, seulement) par rapport au point 'J>;, + /'];.,.

Imaginons pour fixer les idées que le long de la courbe C ce soil le premier
facteur Q(ç, ri) du dénominateur ijui s'annule, de telle sorte que

Le résida en question est alors facile à calculer et l'on trouve pour l'intégrale
simple :

OÙ

el où par conséquent

Q(;. T,) = o.

Il faut maintenant intégrer par rapport à ; en faisant varier ',> de o à 27:,
c'est-à-dire en suivant toute la courbe C. On est donc ramené à chercher l'in-
légrale simple

/Q

le long de la courbe C, n étant supposé lié à ; par la relation algébrique

Q(?, r,) = o.

Cette intégrale est donc une intégrale abélienne attachée à la courbe algé-
brique Q = o.

Il suffit d'un peu d'attention pour vérifier que si l'on veut obtenir l'intégrale
le long de 2, l'observateur O étant dirigé vers l'extérieur, il faut, en prenant
l'intégrale J, suivre la courbe C dans le sens des w croissants.

L'intégrale prise le long de S sera donc aussi égale à J ou à — .1 ; car elle est
égale au signe près à l'intégrale prise le long de i. Il reste à déterminer le
signe.

Imaginons que l'on fasse varier d'une manière continue les quatre relations
fondamentales

.r = ;i(X, 1.1. v), J- = î>.,(X. ,u. v), ; = Sn(À, H, -'): ' = ?■.(>•, [J^. '')

462 SIR LES RÉSIDL'S DES INTÉGRALliS DOLBLES.

et qu'eu même temps on fasse varier également d'une manière continue la sur-
face S, mais de telle sorte que la courbe C reste toujours dans l'espace (>., p., v)
et à l'intérieur de S.

L'intégrale ne variera pas, tant que la surface S ne contiendra pas d'autre
courbe singulière que C.

Cela posé envisageons les douze dérivées partielles de x, y. s, t par rapport
à À, p., V :

Tri.

d\

11'

dz>.

et d'autre part les quatre dérivées de T,y. :, t par rapport à w, en supposant
que le point .r, )-, z, l décrive la courbe <", :

r/j-
rh'i

dw

dv_

Envisageons ensuite le déterminant

dy

dx

dx

d.r

dv)

d'f.

Tfi.

d;

d.r

dy

dy

dy

dw

(h

d^

d;

dt

dz

dz

dz

d(D

dX

rfix

7f,

dz

dt

dt

dl

c/o)

d\

da

d;

= A.

Je dis que si A s'annule en un point ([uelconque de C. il y aura à l'intérieur
de S une autre courbe singulière que C (en négligeant certains cas exception-
nels (|u'il serait d'ailleurs inutile d'envisager ici)

Pour qu'une courbe gauche possède un point double, il suflil en général
que le calcul des cosinus directeurs de la tangente conduise à une indétermi-
nation. Cherchons donc à déterminer la tangente à C; l'éciualion des courbes
singulières

peut se résoudre par rapport à o, d'où :

d'où

B/.

A et B étant les parties réelle et imaginaire de la dérivée de/(^).

SIR LES RESIDUS DES INTEGRALES DOUBLES.

4OJ

Cela donne

(•I

( (/z = X <i.r — B dy.
I (// = Bf/.r -I- Af/i-.

Nous devons chercher la tangente à C et pour cela, il faut déterminer les
rapports des quatre différentielles dx, dy. dz, dt. Pour cela nous avons l'équa-
tion

(-0

d.r
dy
dz
dt

dx

dx

dx

dl

dix

f/v

dy
d\

dy

d\>-

dy
d->

dz

dz

dz

d\

d^j.

d;

,l(

dl

dl

<n.

dix

d;

qui jointe aux équations ( i) suffit en général pour déterminer dx., dy., dz, dt.
Mais comme d.r. dy, dz, dt sont des différentielles se rapportant à C, elles
doivent être proportionnelles à

dx dy dz

'Il

dw

de sorte qu'on a toujours :

dx

dx

dx

dx

dto

d'i.

d\x

di

dy

dt»

dv

d\

dy

dix

dy

dz

-dz

dz

dz

dM

d}.

'h

d,

dl

dl

dt

dt

do,

d'i.

d\x

d,

On a toujours d'ailleurs

dz

dl»

dl
7h»

= A 1- b — ,

r/(o (tio

ce qui montre que les différentielles

— dx — i-^, dy

,dy^

dv>

dx
dl»

dt
— dz = t -7- »
rfco

, dz

dl = 1-^-

dl.»

(où £ est une quantité infiniment petite quelconque) satisfont toujours aux
équations (i).

4(m

SIR LES RESIDLS DES INTEOUALES DOIBLES.

Si de plus on a A = o, elles salisferonl ésaleiiienl à l'équation (2). Mais
alors ces équations (i) et (2) ne suffiront plus pour déterminer les quatre diffé-
renlielles. La courbe ('.aura donc un point double.

Donc si en un point de la courbe C, A s'annule, ce point esl un poinl
double; ou bien encore nous pouvons dire que la surface S contient outre la
courbe G une autre courbe singulière qui vient couper C. Une discussion [)lus
approfondie montrerait (ju'il y a des cas d'exception, mais que ces cas ne se
présenicront pas si A s'annule en changeant de signe.

En conséquence, si li surface S ne contient pas d'autre courbe singulière
que C, lé détermiiianl A conservera le même signe loul le b'ug de G. Imaginons
maintenant que l'on fasse varier S et l'espace (À, y., v) d'une façon continue
comme nous l'avons dit plus haut. Tant que A ne changera pa> de signe, l'in-
tégrale ne variera pas.

Donc le signe de l'intégrale dépend du signe de A.

Voyons riucl est ce signe pour 1 intégrale prise le long de —.

On a alors :

A =

,fy

d.r

d.c

d.r

r/io

doi

(1?

dô

d.r

dy

dy

dy

.7w

dv,

'':-

d\

,h

dz

dz

dz

I

dO-', v-'

9)

dl

dt

dz
dl

r/w

do)

dl

d--

vient ensuite

c-os;) " I) ;

A est donc de même signe que

d.r

dy

f/o)

,/w

dy'

d.r

,L

;/,.)

dz

dl

dZ>

~ Tkli

dt

dz

do)

dii)

COSO — 0 -111 t

c'est-à-dire positif.

SUB LES RÉSIDUS DES INTEURALES DOUBLES. 465

En résumé :

L'intégrale double prise le long de S est égale à l'intégrale sini|)Ie ahélienne

/Q

prise le long de la courbe C, <^l l'un doit parcourir celte courbe dans le sens
des w croissants si A est positif et des co décroissants si A est négatif.
■ Ainsi les périodes de l' iiilègrale double

J J ~W~

sont les mêmes que celles de l' intégra le siiii/)le abéln'n/i'

•■>.ir.P,r-

relaliie ci la courbe atgébriijue Q = o el aussi i/ue celles de riiilégrale
simple abèlienne

relative îi la courbe algébri(jue 11= o.

Nous savons qu'une intégrale abèlienne possède deux sortes de périodes, les
périodes cj'cliques el les périodes polaires. Les intégrales de i)reniicre el de
deuxième espèce ne présentent que des périodes cycliques.

Eludions d'abord les périodes cycliques. Si la courbe Q = o est de genre y,
l'intégrale J admettra 2^ périodes cycliques. Si la courbe R = o est de genre /•,
l'intégrale J' admettra ac périodes cycliques. L'inlégrale double aura donc en
tout 2cy + 2 /• [iériodes cycliques.

Quelle est la condition pour que celte intégrale n'ail que des périodes
cycliques. Il faut que les intégrales J cl J' soient de première ou i\v deuxième
espèce. Pour cela il fanl et il suffit que la courbe P = o passe par tous les
points doubles des deux courbes 1\ = 0, Q = o, ainsi que par les points d'in-
tersection de ces deux courbes, à l'exception toutefois des points où ces deux
courbes se touchent.

Passons maintenant aux périodes polaires. Les pôles de l'intégrale J sonl les
II. P. — m. 59

406 8UB LES RÉSIDUS DES INTEURALES DOUBLES.

points d'intersection des deux courhes

R = o. Q = o

et les points doubles de la courbe Q = o.

Pour les premiers, le résidu est facile à calculer. On lrouv(> que la période
est égale à

' '■ (/Q (m _ dO dR

<l'i ~>l\ ~ <l\ 'H

OÙ i, r, sont remplacés par les coordonnées du point d'intersection considéré.

Si Ton considèri' ce même point d intersection comme un |)ôle de l'inlé-
grale J', on est conduit au même résultat, au signe près.

Pour les points doubles de Q =; o, on trouve :

. , P

où ç et /; sont remplacés par les coordonnées du point double.

En envisageant l'intégrale J' et les points doubles de Pv = o, on serait conduit
à tles périodes de la forme

En résumé si les deux courbes Q = o, R = o sont respectivement d'ordre m
et ri avec /i et /. points doubles, on aura :

(m — i)( m —'>.) . _ ' " — ' ' ( " — ■' ^ /.

7 =

et l'intégrale double admelira les périodes suivantes :

i" les

■),y -i- ■> ,■ = [^„i — i){in — 2) -h (Il — 1)(" — ■■'■) — ■>(/i -+- /•")

périodes cyclirpies;

:>." les nin péiiodes relatives aux inn points d'inlerseclion des deux courbes;
3° les // périodes relatives aux h points doubles de Q = o :
4" les /. jiériodes relatives aux A points doubles de 11 ;= o.

Il V aura donc en tout

m- -h ma -+- n- — 'S{in -(- « ) -t- p — h — /.
périodes.

SUR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALRS DOUBLES. 467

Si l'on considère les deux courbes Q = o, R = o comme n'en formant qu'une

seule qui a pour équation

QR = o,

elle sera de degré p ^ m -\- n et aura

(/ = //) ri -^ /i -h /l

points doubles.

l..e nombre des périodes auquel on est conduit est alors

p-— i/j -h 1 — '/.

Si l'on avait eu au dénominateur un |)olynome indécomposable Q, que ce
polynôme eût été de degré p et que la courbe

Q = o

eût eu f/ points doubles, on aurait trouvé pour le nomi)re des périodes, en
appliquant les formules précédentes,

//- — 3p -t- 3 • — d.

\ oici donc ce que nous pourrons dire en général :

Soient p le degré du dénominateur^ v le nombre de ses facteurs irréduc-
tibles^ d le nombre des points doubles, le nombre des périodes sera :

p- — ■ iji -+- -1- V — iL

Ce nombre peut se réduire dans certains cas particuliers.

Nous ne nous sommes occupés jusqu'ici que du cas où tous les facteurs du
dénominateur sont distincts. Il nous reste à examiner ceux où deux ou plu-
sieurs de ces facteurs se confondent, ce qui arrivera par exemple si le dénomi-
nateur est un carré parfait.

Il f ludrait donc étudier les périodes de l'intégrale double

r r P di de,

J J (J^U?ST

où Q, R et s sont des polynômes entiers irréductibles, et où a, (3, y sont des
exposants entiers.

Il nous suffira, pour faire comprendre la marche à suivre, de considérer le
cas particulier de l'intégrale

Les courbes singulières ont alors pour é([uations

Q=o.

'|()8 SIR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOUBLES.

Pour calculer l'intégrale, il faut employer le procédé de la diflerenlialion
sous le signe / / •

Considérons l'intégrale double [prise le long de S|

r rvd'jd-r,

Nous avons \ u qu'elle est égale à l'intégrale simple ahélienne, prise le long de C,

'-J

'V dl
dq

dr,

relative à la courbe algébrique

Q = a.

C'est une fonction de y. donl la dérivée j)ar rappori à y. est égale à

r r p d'- dr^

J J (Q-^r-'

Différentions de même l'intégrale simple J par rapport à y.; nous trouvons :

On a

d

P

d

P

dr,

ch

dq-

dr,

" ;/r,

dq

dr,

d%

p

dq

.

dY dq ^d-q

dr\ dr, dr,-

/dqy-

d

h

\

dr, ,

1

De plusr, nous csl donné en fonction de ; et de a par l'égalilé

Q = a.
En la dilTéienliant par rapport à a on trouve

Il vient donc

dq dr, _
dr. dru

dr, rh, t/V ^/j

m

I3'où l'on conclut que les périodes de Vintègrale double

Sun LES RÉSIDUS DES INTEGRALES DOUBLES. /jôg

sont les mêmes que celles de r intégrale simple abèlienne

clr, t/r, (tr,-

(dqy
VI' J

vi'lali\rs à la courbe ali.'rbiiijuf Q =r o.

Un cas particulier intéressant est celui des périodes polaires. Soit, par
exemple, à calculer celle des périodes polaires de l'intégrale double

ff'W

qui se rapporle au point d'intersection

Ç = «, r, = b
des deux courbes

R = o, Q = o.

On pourrait faire le calcul à laide de la formule précédente, mais il est plus
simple d'opérer comme il suit : ,

Considérons les périodes polaires de l'intégrale

J J R(Q — :()

et en particulier celle qui se rapporte au point d'intersection

t = a'. r, = b'
des deux courbes

R = o, (> = a.

Je suppose, bien entendu, que a' et h' se réduisent à a el b quand y. s'annule.
Cette période est égale à

■*"' \{a'.b'y

A désignant le déterminant fonctionnel de R et de Q.

Nous n'avons plus qu'à difTérentier cette expression par rapport à a.
Appelons o la fonction

Appelons D(ï, r, ) le déterminant fonctionnel

dz, 'iR_(J±dR
7à </r, ,/r, d'; '

iyO SUR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOUBLES.

Nous trouverons que la période Je l'intégrale double

J J R«^^
est égale à

__ D(a, h)
'^ A(a, b)'

On voit aisément comment on opérerait si l'exposant de Q était plus grand
que 2.

En particulier, l'intégrale double

f r y dj d-n

J J (Ç-a)«(7,-/>)

n'a qu'une seule période qui a pour expression

4:r'-P'(a, b)
{n-iy.(p-iy.
OÙ l'on a posé

(/iL + p-l 1>

/"-'fdP-'r,

De même l'intégrale

(aÇ -I- [3ti)"(1'Ç-*-ôT|)/'
a utie seule période dont l'expression est

( aS — '^■{)"+J' (n — i)\{p — i)\

Pour définir ici la fonction P'(t, ri) qui n'a plus la même signification que
plus haut, nous supposerons qu'on ail changé de variables en faisant

et nous poserons

f/n-t-/)-2p

Y. — Méthode de M. Stieltjes.

M. Stieltjes a découvert il v a quelques années une remarquable généralisa-
tion de la série de Lagrange. Considérant l'intégrale double

//^

qui a fait l'objet du paragraphe précédent, et l'intégrant le long d'une surface

StR LES RÉSIDUS DES INTKGRAI.ES DOUBLES. 47'

parliciiliéro, il découvrait Fiino de sus périodes, qui a pour expression

(it

i; et ri étant remplacées par les coordonnées d'un des. points d'inlerseetion des

deux courbes

O = o, R = o.

On n'a plus qu'à faire dans cette formule

( Q = ? -/'/(?■ r,x

(/( et / étant deux quantités très petites:/, o et F trois polynômes quelconques
en ^, ri) pour retomber sur une généralisation de la formule de Lagrange.

M. Stieltjes ne publia pas toutefois sa découverte et se borna à la commu-
niquer à quelques amis; mais de graves objections lui furent faites et le déter-
minèrent à ne pas publier ses résultats.

Etait-il certain que la fonction sous le signe / / ne devenait pas infinie en
quelques points de la surface d intégration?

Comment se faisait-il, puisque rien ne distingue Q de R, qu'on changeât le
signe de l'expression (i) en permutant Q et Pi?

La discussion du paragraphe précédent nous met aujourd'luii en mesure de
répondre' à toutes ces objections.

Commençons par introduire les quatre relations fondamentales qui défi-
nissent l'espace (À, ,u, v); nous écrirons :

5( A- — Il aXs ? ao l'io

Y — ■

k- -(- I - A- -M k- H- 1 /. - -f- I

où l'on a posé pour abréger

k- = X-+ [ji--(- V-.
Les deux équations

s =: o et T, = o

représenteront respectivement dans l'espace (X, |jl, v) le cercle
(3) À = o. |J''-t- ■'"= I

et l'axe des 'k

47'* SIR LES nÉ51DLS DES INTÉGRALES DOl'BLES.

Si h el k sont assez pelils, les deux équations

Q = o et P. = o
ou ce qui revicnl ;iu même

; ^ hf et T, = /ï

représenteront rcspectivenient dans l'espace (/., [j.. v) une courbe l'ennée très
peu différente du cercle (3), el une autre courbe fermée se rapprochant beau-
coup de l'axe des A dans Ions les points situés à dislance Unie.

Il importe de remarquer que ces deux courbes sont entrelacées l'une dans
l'autre. Je veux dire par là qu'il sérail impossible de construire une portion de
surface simplement connexe limitée à l'une des deux courbes fermées et qui ne
coupe pas l'autre courbe fermée.

La surface irintégralion considérée par M. .Stieltjes est définie comme il
suit : on tail décrire à ;, dans son plan, un cercle ayant pour centre l'origine,
pendant que r; décrit de son côté dans son plan un autre cercle ayant aussi
pour centre l'origine.

Les équations de la surface d'intégration sont donc

.Si nous revenons à notre moile de représentai ion. il faut que nous sup-
posions

La surface tl'intcgratiun sera alors représentée dans l'espace (>,, p, v) par la
surface

( /. - — 1 ■)- p 'î = 1 p5 ( fi- -- V2 ).

Celle surface esl un tore; le cercle

? = "
et par conséquent, si // est 1res petit, la courbe fermée

; = /'./■

se trouvent entièrement à l'inlérieur de ce tore.
Au contraire l'axe des À

7) =o
et par conséqueni, si k esl très petit, la courbe fermée

•r, = I:-.
se Uiiuveul enlièreinrnt a l'extérieur de ce tore.

Sl'R l.ES RÉSIDUS DES INTÉGRALES nOlRI.ES. 473

On voit toul de suite que la première objection faite à M. Stielljes est levée,
puisque le tore ne coupe en aucun point les courbes singulières.

Nous défmirons le sens d'intégration comme nous l'avons fait jusqu'ici, par
un observateur placé sur le tore ; je supposerai par exemple que cet observateur
est dirigé vers l'extérieur.

La seule courbe singulière située à l'inlériour de la surface d'intégration est

la courbe

i = l'.f-

L'intégrale cherchée se ramène donc à une intégrale abéiienne simple rela-
tive à celte courbe. Il suflil d'un peu d'attention pour reconnaître, en appli-
quant les règles du paragraplie précédent, que cette période est une période
polaire et qu'elle est égale à

4::^P

11 nous est facile de voir maintenant comment tombe d'elle-même la seconde
objection qui avait été opposée à M. Stielljes. Il n'est pas vrai que rien ne
distingue Q de R. La courbe Q = o ou ^ = /;/ est à l'intérieur du tore qui
nous sert de surface d'intégration; la courbe R = o ou r, = Acp est au contraire
à l'extérieur. Si donc nous considérons l'observateur qui déliiiit le sens de
l'intégration, nous verrons qu'il est dirigé vers l'extérieur du tore, c'est-à-dire
du même côté que la courbe R = o, et du côté opposé à la courbe Q ^ o. Ces
deux courbes jouent donc des rôles différents.

La seconde partie de l'analyse de M. Stielljes ne soulevait pas d'objection
analogue à celles que nous venons de discuter. Néanmoins comme elle n'a pas
encore été publiée et qu'elle est fort courte, je vais l'exposer ici en quelques
mots.

Si nous donnons à P, Q et R leurs valeurs (2), il est aisé de voir que notre
intégrale sera égale à

\„ et Y)„ étant les valeurs de ^ et de yî très voisines de o qui satisfont aux deux
équations

Kf-

ïj = Âtp.

D'autre part si h et /, sont assez petits pour qu'on ait en tous les points de
notre tore

H. V.

111.

Î74 SUR LES BÉSIDl'S DES INTÉGRALES DOUBLES.

rinlégrale pourra se développer en série comme il suit :

Z'-'-fr^m^-i'--//

''/

F^J'-'fPr/^.d-n

H" T^+l

'/- ,.

Ce qui donne, d'après les principes du paragraphe précédent,

/•')

(/(—!)! (/v — O! '

Dans le second membre, £ et r, sont supposés remplacés par o et o. Quant à la
notation D„,p, on a écrit pour abréger

En réduisant, il reste pour la partie entre crochets
ou bien
ou enlin en réduisant encore

On est ainsi conduit à une généralisation de la formule de Lagrange.

VI. — Seconde application.

Il n'est pas douteux qu'on ne puisse tirer des principes qui précèdent une
foule d'applications différentes. Je me bornerai à exposer ici la suivante.

Il est aisé de démontrer qu'f/«e fonction entière (F une variable, dont le
modale reste inférieur à une quantité donnée^ se réduit à une constante.

SUR LES RÉSIDVS DES INTÉGRALES DOUBLES. 475

(]e résuUal s'étend immédiatement aux fonctions de deux vaiialjles. On peut
d'ailleurs l'énoncer comme il suit :

Une fonction entière de deux variables i^ et -n qui tend vers une limite
finie et déterminée quand \ et -^ tendent vers V infini, et quelle que soil la
manière dont l et ri tendent vers Vinfini, se réduit à une constante.

La théorie actuelle nous permet de faire un pas de plus.

11 n'est pas nécessaire, pour que la fonction se réduise à une constante,
qu'elle tende vers une limite finie et déterminée quelle que soit la manière
dont I et ri tendent vers linfini.

Supposons, pour préciser davantage, que l'on pose

5 = (,a -H / [i ;> p. T| = (-.•-!- /5) p
avec la condilioa

(i) a-^ ^ 'i'- -h -f^ -^ 0- = \ .

Faisons ensuite croître p indéfiniment, a, (3, y, â restant constants.
Les théories anciennes nous permettent d'affirmer ce qui suit :

Si, quels que soient «, j3, y, ô, la fonction entière, F(ç, o) tend vers une limite
finie et déterminée, cette fonction est une constante. Il n'est d'ailleurs pas
nécessaire que cette limite 'Soit la même pour toutes les valeurs des quatre
quantités a, (3, y, ô; il suffit qu'elle soit toujours finie.

Grâce à la théorie actuelle, nous pouvons affirmer quelque chose de plus.

La fonction entière F sera une constante, non seulement pourvu qu'elle
tende vers une limite finie pour toutes les valeurs possibles de a, (3, y, ô, mais
encore pourvu qu'elle tende vers une limite finie pour toutes les valeurs de a,
j3, y, ô qui satisfont non seulement à la relation (i), mais à une autre relation
convenablement choisie.

Reprenons les quatre relations fondamentales du paragraphe précédent :

p(k- — i) 2Xp ajjip --îvp

>' = TT, ) s =. -n^ > ' = t:; )

A- -h I ) ■ A

Nous avons vu que les équations

5 = 1) et T, = O

étaient respectivement représentées dans l'espace (À, p., v) par le cercle

X = O, !•'■'' + "'" = I
et par la droite

47<J SlIR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOUBLES.

Nous avons vu en outre que l'équiition

iiiod-Ti = P5

était représentée par le tore

Ces tores sont de révolution autour de l'axe des 1 et l'on peut les définir
géométriquement en disant qu'ils sont le lieu des points M tels que le rapport
de la plus grande et de la plus petite distance de M au cercle l = o soit
constant.

Venons maintenant à l'équation

a? -h ?T, = o,

où :< et [î sont des coefficients imaginaires quelconques. Elle représentera aussi
un cercle, lie plus ce cercle devra se trouver tout entier sur le tore

Ce ne peut d'ailleurs être ni un des cercles méridiens qui ont pour équation

; corisl.

ni un des ceicles parallèles qui ont pour équalioii

I = consl.

Mais on sait (|ue si l'on coupe le tore par un plan bilangent, l'intersection se
décompose en deux cercles. Le cercle

X^ -f- [i-i] = o

sera donc l'un de ces deux cercles.

Si les axes sont placés comme ils le sont d'ordinaire, ce sera celui des deux
cercles qui e.--t situé à gauche d'un ob^ervatcur placé suivant l'axe des X et
regardant la partie des deux cercles qui est dirigée vers sa tcte.

En faisant varier les deux coefficients a et (3 on obtiendra donc une famille
de cercles que j'appellerai les cercles C.

Ces cercles seront toujours réels et leur rayon ne pourra s'annuler.

Ce qu'il importe de remarquer, c'est que deux quelconques des cercles C
sont entrelacés, dans le sens donné à ce mot au paragraphe précédent.

En effet les cercles

a^ H- 'jr, = (I, 7; + 3r, = o

SUR LES BÉSIDL'S DES INTEGRALES DOUBLES. 477

sont évidemmoiil entrelacés si

X = i, j .-= i>. V = o. o =

Faisons ensuite varier d'une manière continue les quatre coefiicienis
X, |3, y. 0 et voyons si les deux cercles peuvent cesser d'être entrelacés. Ils ne
pourraient cesser de l'être que s'ils arri\uient d'abord à se couper. Or s'ils se
coupaient, on .lurait un point d'interseclion :

- = r, = o,

ce qui est impossible, puisque l(;s formule,'. (■2) conduisent à la relation

r, - = p-.

Pour faire comj)endre l'importance de cet entrelacement, considérons l'équa-
tion plus générale

Sr. = V.

Cette équation représentera eiicurc une famille de cercles, les cercles C,
dont les cercles C ne sont que des cas particuliers.

Deux cercles C

-A — H'-, = ï-
a'; — ?'-'-| = Y

peuvent être ou n'être pas entrelacés. Ils le seront si

Ils ne le seront pas dans le cas contraire.
L'intégrale double

J J ('A -r- [iT, _ y ) (a-? -^ p'r, - -/) '

prise le long d'une surface qui enveloppe le cercle

=<; — r"^! — {
en laissant en dehors le cercle

sera égale tantôt à o, tantôt à

où £0 t't On satisfont aux équations simultanées

Ai + e'Uo = Y, 2';o — ^^'■'■,1, = ■{'■

478 SVH LES BÉSIDUS DES INTEGRALES DOUBLES.

Elle sera égale à o si les deux cercles ne sont pas entrelacés et à

s'ils sont entrelacés.

Dans le cas des cercles C, comme il v a toujours entrelacement, on aura:

!•■ (Il ,h. 4 r-

,/i^

^ ?T,)(^'^-^ ?'■')) ='>'—=''?

773-F(<>, o).

De même l'intéorale :

s

//

F di dr,

ia?+pT,)"H3c'$-i-|3'-r,)''

s"ex])rimera très simplement à l'aide dus dérivées d'ordre m -h p de F, ou
plutôt des valeurs de ces dérivées pour ç ;= r; = o. L'expression sera linéaire
et les coefficients dépendront de a, (3, y.', (i'. ( Voir la fin du paragraphe IV.)

Cela posé, voyons comment chaque point de l'espace (À, p., v) représente
une manière pour l et r; de tendre vers l'infini.

Imaginons que 1, /Jt, v conservant la même valeur, p croisse indéfiniment.
X, y, z et / croîtront indéfiniment et de façon que leurs rapports demeurent
constants. Lors donc ([ue 3", >', ;, t croissent au delà de toute limite, mais de
telle façon que leurs rapports tendent vers des limites finies et déterminées,
cette manière de tendre vers l'infini sera représentée par un [)oint de l'espace

!>■, F' ■•')•

Une surface S appartenant à cet espace représentera donc un ensemble de

manières de tendre vers l'inllni.

Imaginons cpiune surface S soit telle que le cercle

aÇ + [iT) = o
soit tout entier à son inl('neur et le cercle

tout entier à l'extérieur.

Supposons que, quand ç et r, tendent vers l'infini de l'une des manières
représentées par les divers points de cette surface S, la fonction entière F tende
vers une limite finie et déterminée.

A cette condition, F se réduira à une constante. En efï'et l'intégrale

//

F dk dri

la« + [J-f))"'fa'$-f-P'r,)/''

prise le long de S, tendra vers o quand p croîtra indéfiniment (à moins que
m =z p =^ i). Elle est donc nulle.

SUR LES RESIDLS DES INTEGRALES DOUBLES. .|79

Donc toutes les dérivées de F s annulent pour £ =:r ■/-/ =r; o.

Donc F esl une constante.

En résumé, si l'on sait démontrer que F tend vers une liniiK; finie ([uelle que
soit la manière dont ; et rj tendent vers l'infini, F est une constante ; voilà ce
(ju'on savait déjà.

Supposons maintenant qu'on sache démontrer seulement que ¥ tend vers
une limite finie quand 1 et r, tendent vers l'infini d'une certaine manière. L'espace
(X, ^, v), dont les points représentent les différentes façons de tendre vers
l'infini, sera alors partagé en diverses régions. Pour les unes, on saura démon-
trer que F tend vers une limite finie ; pour les autres on ne saura rien.

Si par exem[)le il y a une région de l'espace qui contienne l'un des cercles C
tout entier et en tous les points de laquelle la limite F soit finie, on sera certain
(jue F est une constante.

Ou bien encore supposons que l'espace se divise en trois régions Ri, R^ etRu,
de telle façon que l'on ne puisse passer de R, à R3 sans traverser R2. Imaginons
que R| contienne un des cercles C tout entier; que R3 contienne un autre
cercle G tout entier et qu'en tous les points de Ro la limite de F soit finie. Nous
serons encore certains dans ce cas que F est une constante.

VII. Périodes variables.

J'arrive à un autre ordre de considérations où l'on verra la principale diffé-
rence qui éloigne la théorie actuelle de celle des intégrales simples.

Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction sous le signe ff ne devenait
infinie en aucun des points de la surface d'intégration.

Cette hypothèse n'est pas nécessaire comme elle l'était dans le cas des inté-
grales simples. Il arrive en effet, comme nous allons le voir, que l'intégrale reste
finie bien que la fonction sous le signe /'/' devienne infinie.

Soit S la surface d'intégration appartenant à l'espace (À, p., v) et dans ce même
espace, une courbe singulière C en tous les |)olnts de laquelle la fonction F(i;, r;)
devienne infinie. Supposons (|ue cette courbe C coupe la surface S de telle
sorte que lune des portions de (! soit à l'intérieur de S et l'autre à l'extérieur.

Prenons maintenant l'intégrale :

//

Im;î. T,)f/^f/T,

48o SUR LES HÉSIDtS DES INTÉcnALES DOllILIiS.

le long de la surface S. I^a fonction F sera infinie aux points où C coupe S,
mais en général elle sera infinie de premier ordri' seuleinenl. L'intégrale
restera alors finie.

Nous savons en efiet (ju'une intégrale multiple dordre /( reste finie quand la
fonction sous les n signes / devient infinie en un point isolé, pourvu toutefois
quelle soit infinie d'ordre inférieur à /;.

Pour évaluer cette intégrale double, on peut opérer ai)solument de la même

façon que dans le paragraphe IV. Posons alors

i>, t ., .
Fi s. T,) =

'i;, -u)

<J<;- •'•,,»

Nous supposerons que P ne devient pas infini à l'intérieur de S, et que O ne
devient infini cjue le long de la courbe C. Cela suppose que S ne contient pas
d autre courbe singulière que C : mais cette hypothèse est toujours permise,
car s'il en était autrement, on remplacerait la surface S par plusieurs autres
ne contenant chacune ([u'une courbe singulière.

L'intégrale doulile sera égale alors à l'intégrale simple

't.V ,11

Celte intégrale, au lieu d être prise tout le long de C, sera prise seulement le
long d'une partie de celte courbe, puisqu'une partie seulement de celte courbe
est intérieure à S.

Si P est rationnel et si Q est un polynôme entier, cette int('grale simple est
encore une intégrale abélicnne relative à la courbe algébrique

Q(?, •r,) = o.

Mais ce n'est plus une période de celte intégrale, c'est une intégrale prise
entre deux points quelconques de la courbe Q = o.

Quant au sens dans lequel on doit suivre la courbe C, on Le déterminerait
par la règle du paragraphe IV.

Nous pouvons donner au\ intégrales ilf)ubles de celte forme le nom de
périodes, puisqu'elles sont prises le long de surfaces fermées. Mais elles différent
beaucoup des périodes que nous avons envisagées jusqu'ici.

Si, en effet, nous déformons d'une façon continue la surface d'intégration S,
l'arc de C qui sera à l'intérieur de S variera aussi d'une façon continue. Il en
sera donc de même de la période.

SliR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOURLES. 48l

Ces périodes ne sont donc pas des conslanles. Ce sont des périodes
rariables. Il importe d'ailleurs de ne pas les confondre avec les intégrales
auxquelles M. Picard avait donné ce nom dans ses Notes du 29 janvier i883 et
du i" février 1886.

Je rappelle que dans l'introduction nous sommes convenus de ne pas le leur
conserver afin d'éviter toute confusion.

VIII. Applications aux fonctions 0.

Je vais reprendre les notntions dont jai fait usage dans mon Mémoire 5(//- les
fonctions abèliennes {American Journal of Mat hématies, vol. ^'III, n" 4).

J'envisagerai une fonction ahélicnne de deux variables ; et /j et j'appellerai
les quatre périodes fondamenlak's

it , . II.,, (/;, </■,. puiir ^.
(Il -. . r

//; . A... />:,, //;, pour t,.

J'envisagerai une fonction inti'rini'tliuire <I> jouissant des propriétés sui-
\antes :

Elle est entière et de plu^ 011 a pour une quelconque des cpialre périodes

Je poserai ensuite :

\1,( = %i,ai-~ i/,/>,— oii'H— p,A«.;

M,A sera égal à un entier multiplié par 2- \ — 1 .

Si les périodes (i) sont des périodes normales, on aura :

"1 f>:t — fjl'l -r- "j (> . — Il , Il - - Cl,

Si les périodes (i) ne sont pas normales, on aura une relation analogue

où

Lus N seront des entiers dont le déterminant est égal à 1 .

En d'autres termes le premier membre de l'équation (2) est une forme bili-
néaire de discriminant 1.

On aura d'ailleurs :

M,/ = un - \ — I N,(.

ni étant 1 mdre de la iouction intermédiaire 4».

II. f. — m. 1,1

SUR LES RESIDUS DES INTEGRALES DOUBLES.

On sait que les fonctions 0 ne sont que des cas particuliers des fonctions
intermédiaires qui s'y ramènent d'ailleurs aisément.
Nous allons maintenant définir notre espace À, p., v.
Distinguons les parties réelles et imaginaires des périodes, en faisant

"/

n'i ^/— I ,

b) + /y; \ — i.

l'osons ensuite :

a? = rt I /, H- f/j fi -h «-, V,

y = II", X + a'n n -i- rt", V.

3 = è'i X -t- 62 [i-t- 6'., V.

I = h'\ À -i- 6Ô |ji + h\ V.

Nous étendrons nos intégrations à la surface totale du cube dont les six

■ o

faces ont pour équation

). ou ji ou V = o ou I.

Les courbes singulières que nous considérerons auront toutes pour équation

* = o.

A l'intérieur de notre cube, il pourra se trouver plusieurs branches de la
courbe singulière <I» = o, mais parmi ces branches, nous devrons distinguer les
branches fermées et les branches ouvertes limitées à chacune de leurs deux
extrémités par l'une des faces du cube. Les points qui doivent surtout attirer
notre attention sont les extrémités des branches ouvertes, c'est-à-dire les points
où la courbe <I» = o coupe les faces du cube.

Mais nous distinguerons ces points en deux catégories. Supposons que dans
le voisinage d'un de ces points, les équations de $ ^ o puissent se mettre sous
la forme

ainsi qu'il est dit au paragraphe W .

Nous formerons le déteiniinnnl A du paragraphe IV qui s'écrira ici :

cU

'Il

'Il

A =

//, //., h'.,

-f i^'\ i>"i lA

SUR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOUBLES. 483

Nous avons vu que si ce délerminanl est positif, il faut, dans les intégrations,
suivre la courbe it ^ o dans le sens des w croissants, et qu'il faut la suivre au
contraire dans le sens des w décroissants si A est négatif.

Comme w reste arbitraire dans une large mesure, on peut toujours choisir
cette variable de telle sorte que A soit positif el que par conséquent on ait tou-
jours à suivre Li courbe dans le sens des co croissants.

Cela posé si nous considérons un des points d'intersection P de la courbe
<I» = o avec une des faces du cube, et que dans le voisinage de ce point, on
suive cette courbe dans le sens des oo croissants, il pourra se présenter deux cas.
Ou bien on passera de l'extérieur du cube à l'intérieur, ou inversement.

INous distinguerons doue deux sortes de points P; le point P st'ra pusillf i\
l'on passe de l'extérieur du cube à l'intérieur et nèitdlif dans le cas contraire.

Pour reconnaître le signe d'un de ces points, imaginons que ce point appar-
tienne à la face \ '=■ o, et que dans le voisinage de ce point, on ait pour l'équation
de «I> = o

Il viendra alors :

f/Ç = ( 2 -t- / [i ) clri
OÙ

. r, (If dr\

di

en remplaçant di et dn par leurs valeurs el séparant les parties réelle et imagi-
naire, il vient :

{n'\ — a.b'\ + (Bè'i) dX + (al — x6ô + ,3 6V) d^x. 4- {a'\ — ai", + pè'.) r/v = o.

Ce sera en étudiant les coefficients des équations (V) qu'on reconnaîtra si le
point P est positif ou négatif.

Si l'on fait varier ces coefficients d'une manière continue, le passage des
points P positifs aux points P négatifs se fera au moment où d'k est nul, c'est-à-
dire oii

(4) (rt'o — «^2 -f- pftj) (rt", — ot^'.'i — (i//.| ) — («j — a6'| -f- [i6"| ) {a", — r3.b", — |36'^, ) = (j.

Tout dé|iend donc du signe du premier membre de l'équation (4).

Nous n'avons encore rien supposé au sujet de la fonction 4» qui égalée à o
définira la courbe singulièie ; nous choisirons plus tard pour il» une fonction
intermédiaire, mais dans ce qui a été dit juscju'ici, rien ne préjuge ce choix.

484 SIB LES RÉSIDIS DES INTÉGRALES DOUBLES.

Faisons en particulier

Alors on aura

a = 3 = o

el le premier membre de (4) se réduira à

"■i "à — "'a "•;•
C'est la partie imaginaire du produit

en désignant par ?7o la quantité imaginaire conjuguée de (/....
Prenons le cas [larticulier où

«2=1, 0:i = ('.

Alors le premier membre de (4) se réduit à i: il est par conséquent positif.
Nous pouvons supposer en même temps */, = o. Les équations (3) se réduisent
alors à

r/fJt =1 f/v =^ (>.

On en conclut que

f/.r = (/y = o,

(/z = h\ </X, (Il = //; r/À.
Le délernunanl A se réduit à

-'^ihr + br^);

il est donc négatif.

Donc quand le premier membre de (4) est positif, le poinl P est négatif et
inversement.

Nous n'avons considéré jusqu'ici que les points P situés sur la face du cube
(jui a pour équation ). = o. On raisonnerait de même pour les cinq autres faces
et l'on arri\eiait aux conclusions sui\antes:

Posons

Posons ensuite :

Ci = n i — lih,

et soit ?, la quantité imaginaire conjuguée de c,-.
Soit eniin I ( '/ ) la partie inuiginaire de u.

SIR LES ItÉSlOl'S DI.S l,NTKl.RALi;S DOLBI.KS. i^J

Les poiiils P seront positifs :

pour la

fare

À = o

<l

I( C'jCu) > o.

À = I

^1

'(c.Ca 1 <(),

IX = .,

^i

I(CaC,) > o,

Il = 1

SI

!('-';) Cl ) < ",

V = (»

si

I(CiC,)>o.

V = 1

-i

l{ctC..) < o.

Nous devons remarquer que si nous avons sur la face À = o un point P dont
les coordonnées soient (o, p., v), nous aurons sur la face opposée À =: i un
point P' dont les coordonnées seront (i, fx, v). De plus les points P et P' seront
de signe contraire.

De même à tout point P situe sur l'une de^ faces /j. = o, v = o, correspondra
un autre point l* de signe contraire situé sur la face opposée.

Considérons maintenant l'intégrale

fJ

et étendons-la à toute la surface de notre cube.

Soient N| et Nj les nombres des points P positifs et négatifs situés sur la
face À =^ o. Soient de même IN, etN.,, N'J etN^ les nombres des points P positifs
et négatifs situés sur la face f;. ^ o et sur la face v = o.

L'intégrale double se ramène alors à l'intégrale simple

/■

lit d^,

prise le long des diverses courbes «I» = o. Celle-ci est évidemment égale à

•2,;:(lt,-2?.,).

-il représente la somme des l relatifs aux divers points P positifs, —ïj la somme
des l relatifs aux divers points P négatifs.

Or à chacun des N| points P positifs de la face À == o, correspondent N,
points P négatifs appartenant à la face >. = i . La différence des i est égale à a,.

L'intégrale est donc égale à

(o) 2(;c[(N, — N,)«,-^(N',-N2)«,+ (N';-!\;)a,].

D'autre part considérons deux points correspondants des deux faces opposées

486 SIR LES BÉSIDIS DES INTÉGRALES DOUBLES.

>. = o, ). = I . Soient 'l, et -% les valeurs de ^-^ en ces deux points, on aura

de soric que l'intégrale double étendue aux deux faces /. = o, ), ^ i se ramène

à rnUéjj;rale double

étendue à la face /, = o toute seule.
Cette intégrale est alors égale à

PlCo.^è:,— (7:,6o).

On trouverait des expressions analogues pour les autres faces de telle sorte
que l'intégrale totale est égale au déterminant

p. h ?,

« l (7 2 (7,-1

6] b., 63

Ce déierminanl est donc égal à l'expression (5).
D'une façon plus générale, posons :

r^ = bjX-t-b/^li,

et envisageons alors l'équation

<t'{n,'k -i-rnix. f>,l -^ ft^.ix) = o.

On pourra satisfaire à cette équation d'un certain nombre de manières par

des valeurs de 1 et de jjl réelles et comprises entre o el i . Parmi ces solutions

qui correspondent à divers points P, distinguons celles pour lesquelles la partie

imaginaire de CiCk est positive, de celles pour lesquelles cette partie imaginaire

est négative. Soit ensuite Vu l'excès du nombre des solutions de la première

sorte sur le nombre des solutions de la deuxième sorte. D'après celle définition,

on aura :

Pu=-r'A„ P„=o,

p.,3=N,-N„ P3, = n',-n;,, p,,= n;-N2.

Reniaïquons de plus que la partie imaginaire de c/Ca peut se mettre sous une
autre forme :

SUR LES RÉSIDUS DES INTÉGRALES DOUBLES.

Elle est donc de iiiêine signe que la partie imaginaire de

487

De plus nous pouvons écrire ;

2 i-K( cii I'.23 -i- (t., P31 J- a-, l']„) =

On aurait de même par s_) niétrie :

■2i7t{a3\'u-i-niï\~-¥- «1P3,) =

P, h ?:,

(7| a-, a-,;

6, /). /*3

?. ,3:; p..

«2 n,; «i

6, 63 61

h ?■. P.

«3 «4 «I

6:, 64 ft|

et une f|ualrième équation analogue.

On peut réunir ces quatre équations en une seule, en écrivant symbolique-
ment :

Xi X-, X3 X; Xi X-, Xj Xi

[Ji p., p:, Pi . a, a-, «:, Oi

= 2 (71
"1 f'j "3 '''•. f"l Wo 0)3 Wi

61 b-, bi b\ ÎÛ] iÛ.2 S)- Ô);

(6)

Dans celte identité x,, J^j, 373, ar, sont des quantités quelconques. Quant
aux co et aux u) ce sont des quantités qui ont un sens symbolique. Nous conve-
nons de remplacer dans le développement du second membre

par

P,x-.

Comme rien ne distingue ; de 0 nous pouvons écrire de même :

(7)

Xi X-> .2*3 X/^

«1 a-, a3 a;

bi b-, b-s bi

ai «. «3 a;

Xi X-i X3 Xi

bi b., b, b,

0)1 U>2 IO3 (Uj

OJi OJ-T tôy (JJ.i

Nous écrirons plus simplement encore les équations symboliques (6) et (7)
de la façon suivante en écrivant les déterminants sous une forme abrégée :

(6')
(7')

Posons

{x'^ab) = iiTii xam 10 ),
{xnba) = îir.^x builTi).

P,«= h{i^ak—%ka,)-\- k(^Jn— '^kb,)

4S8 SLR LES RÉSIDUS DES INTKGRALES DOl'BLES.

et cherchons à délerminer h et A" par les équations (6) et (7). Il vient :

1 xaiMw ) = lt(xaoi.a) -+- k{xa'^b) = — k{.v'^al>),
(xbiovj) = I){xb3.a) -t- ki.rb ^ 6 ) = — /i ( ,f a ba),

de sorte que les équations (6) et (7) donnent:

d'c

k = ^,

Nous avons donc une solution des équations (6) et (7). Je dis (ju'il n'y en a
pas d'autres, du moins en nombres entiers.

En effet s'il y en avait deux, on pourrait trouver des nombres entiers I'), satis-
faisant aux huit équations

'U l'/,/ + <>k 1')/ -+- ai 1'//,. = o,
biV'ii.-^bky',i-^ btV;i. = o.

En d'autres termes si l'on pose symboliquement :

P',7;= to',- m].— w<-tû'(

et que l'on envisage la forme bilinéaire :

cette forme bilinéaire s'annulera identiquement quand on y fera, soit :

.)■: = «), r„=«2, y-i= a,^ }\= a-,.

soit :

.Il = ^1 . }'"- = *2> y-i = ^3, >i = ^4-

Faisons subir à .r et k y en même temps qu'à a et à 6 un même changement
linéaire de variables en faisant :

Nous choisirons ce changement de variables (où les q sont des entiers) de
façon à réduire la forme bilinéaire (xyu)''îZ') qui s'écrira alors :

Al •'■'ir'j — ■'■'■2.r\) + B(.r;,y.., — x',/^).

On devrait donc avoir identiquement :

A ( .r'i «2 — x'2 a'i ) -f- B ( j.''., a', — .f',, a'., ) = o,
.\ (.t\ b'2 — x'2 ^'1 ) + I^ (^3 ^ '1 — *■* ^3 ) = o-

Gela ne peut avoir lieu que si A et B sont nuls (mais alors la forjne bilinéaire

SI 11 LES IIÉSIDIS DES INTEGRALES DOlillLES. .1S9

est idciitiqnemeni nulle et piu- conséquent tous les P,, sont nuls) (c. q. f. n.)
ou encore si un seul des coetlicients A ol B s'annule, A par exemple, mais alors

il faut encore ([ue

«'., =^ Il -^ = 60 = 6-, = (I.

La fonction abélienne n'aurait j)lus alors que deux périodes; la seconde
hypothèse est donc inadmissible.

On doit donc conclure de celte discussion que l'unique solution des é([ualions
(6) et (7) c'est:

Dans le cas particulier où la fonction <I> se réduit à une fonction 0 d'ordre m,

et où l'on a :

ai = 11-, a.2 = ") Oi^f'-j,
61 = 0, bi=>.i-,

a, = o, a.j = (), Xj = lit, aj = o,

P, = o. p„ = o, Pa = o, [3i = m,

tous les N/A sont nuls, excepté N31 et N.,.j qui sont égaux à i .

Tous les P,A sont donc nuls excepté P^i et P42 qui sont égaux à m .
Si nous reprenons les notations N,, N.,, N', , N., etc, de telle sorte que

P,3=Ni-N,, P„ = !N',-N;,
nous aurons

et

No — N'i = m.

On pourrait trouver plus intéressant de connaître le nombre N , +N'., , c'est-
à-dire le nombre total des P, au lieu d'avoir seulement l'excès du nombre des
points P positifs sur celui du nombre des P négatifs.

Nous avons toutefois un renseignement sur ce nombre N, +N.,. 11 est plus
grand que m et de même parité que m, car il est clair que

No -t-N', >N2 — IS'i ; N'o-+-N'| = No — N'i (mod 2).

On pourrait arriver à tous les résultats qui précèdent par l'emploi des difTcren-
tielles totales, cela serait même plus simple ; mais je n'ai voulu donner ici qu'une
application de la théorie des intégrales doubles,

Paris, 24 clécuinlire 188G.

H. P. - m.

SUR

LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOIBLES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. I'25, p. gg^-rir)-; (i j décembre l'^g;).

Je considère l'intégrale double

■ P dx dv

'-f/m'

où p et F sont deux puljnomcs entiers en x el y, el où ^ est un paramétre
arbitraire.

Considérons, d'autre part, l'intégrale simple

r p d.r

{%)

Dans celle intégrale simple, je suppose que y est lié à x par la relation

algébrique

F = /,

où t est un autre paramètre arbitraire. Ainsi y' est une intégrale abélieime rela-
liv(! à la courbe algébrique F = t .

Soit 11) une des périodes dey; celle période sera une fonction de <, et l'on
sait que cette fonction di satisfait à une équation différentielle linéaire dont les
coefficients sont des polynômes entiers en /.

Soit

(■) -US^=0

cette équation: Ht est un polynôme entier en /.

L'ordre de l'équation (i) sera égal au nombre des périodes, c'est-à-dire
à 2}}, en appelant p le genre de la courbe F = ?.

Soient

tli t-i, .... /q

SUR LES PERIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. 491

les points singuliers de l'équation (i), c'est-à-dire les racines distinctes du
pohnome IIo^.

Alors les périodes Î2 de lintégrale J seront représentées par la formule

f.i dt

0 = ., r_^ii^

Il y a donc, en général, ^pq périodes Î2, puisque Ton peut [irendre pour u
l'une des 7.p périodes dey et pour t/, l'un des q points singuliers de (i).

Nous devons dire également comment cette formide devrait rtre transformée
si w devenait infini pour t = t^.

Soient alors

2. p intégrales de l'équation (i ) (|iii deviennent

Xi(',. ÀoP, Àj/, '■2»

quand t tourne autour de t^.

Soit, dans le voisinage de l'origine O,

to = z, C, -1- ïoPj-T-. . .-r- y-îpVip,

les a étant des coefficients constants.
On aura alors

o = ■> CI ''I ''I _^ ^-2 ''2 _ _ ^>p '■■!,. \ dt _ r M dl

J \i — >-i I— >.2 "■■ I — '-î/. / \ T^ir: J^TZT^'

la première intégrale étant prise le long d'un lacet partant de l'origine et y
revenant après avoir entouré le point 1^, et la seconde le long d'un lacet
partant de l'origine et y revenant après avoir entouré le point ;.

Il est clair que i2 est une fonction de ; qui va satisfaire à une équation diffé-
rentielle linéaire dont les coefficients sont des polynômes entiers en z. Soit

(2) £0, =o

«su-
cette équation; les Q^ sont des polynômes entiers en z.

L'équation (2) se déduit de l'équation (1) par une transformation bien
connue qui se rattache à la théorie des dérivées d'ordre fractionnaire.

Les points singuliers de l'équation (2) sont les mêmes que ceux de l'équa-
tion (i); mais le point sur lequel je voudrais surtout insister, c'est la manière
de déduire le groupe du l'équation (2) de celui de l'équation (i).

igî SUR LES l'ÉHlODES DES INTÉGRALES 1)01 ULES.

Pour fixer les idées je supposerai

ip = i. q= ).

L'équation (i) est alors du second ordre et l'équiilion (2) est, en général,
du sixième ordre.
Soient alors

a I,"

a

h

a'

(,•

c

d

c'

d'

les substitutions fondamentales du groupe de (1); les subtitutions correspon-
dantes du groupe de (2) seront :

— a

— h

0

0

4)

I n

1 Il

— //

1) 0

— c

— d

f>

0

()

Il 1

— '■'

i-<r

n 0

1 ■ — a

— b

I

()

0

(t ri

— a'

— />'

0 <»

— c

i-d

0

1

0

(» 0

— c

— if

4> 0

I — a

— h

<_)

(»

I

<l 0

1 — ri'

— //

I 0

— c

i — d

0

0

()

I

0 0

— (,-'

I - d'

0 I

I (I 0 11 I — a" — />"

II 1 00 — c" 1 — d"

Il II I O ] II" — ff'

(1 11 11 I — c" 1 — ■ d"

o o II II — a" — ô"

Il o o ri — c" — t/"

Le groupe de (1) a tous ses coefficients entiers; on voit (|u'il en sera de
même du groupe de (2), ainsi qu'il était aisé de le prévoir.

SUR

LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOLBLES

Journal de Afalhi'itialii/iies, 6" séiie. l. î, p. iS.Î-iSg (igoti).

Introduction.

La tlélernilnatioii du nombre des périodes cycliques d'une intégrale double
exige une grande attention, comme toutes les questions d\4nalysis situs, dès
que le nombre des dimensions dépasse j. M. Picard a abordé la question dans
son Ouvrage sur les fonctions algéijriques de deux variables, que je citerai
souvent.

Je m'en suis occupé moi-même dans un Mémoire inlilulé : Sur les cycles des
surfaces ul<;èbri<jnes, el inséré au Journal de Liouville en 1902 ( ' ). C'està ce
Mémoire que je ren\errai quand je parlerai sans autre explication du Mémoire
cité.

L'application des règles jiosées ilans ce Mémoire présente quelquefois quel-
ques difficultés; la question du nombre des cycles ne se pose pas d'une façon
aussi simple que dans le cas des courbes algébriques, puisqu'il y a plusieurs
manières d'envisager les points à l'indui et que le nombre des cycles ne reste
pas le même quelle que soit la convention adoptée. D'autre part, il peut arriver
que ce nombre ne soit pas le même pour deux surfaces, bien que l'on puisse
passer de l'une à l'autre par une transformation biralionnelle. C'est ce qu'a
montré M. l'icard.

Si l'on ne fait pas attention à ces circonstances, il peut arriver qu'on soit
conduit à d'apparentes contradictions et que le mimbre des cycles dune sur-
face, tel que le donnent les règles, ne demeure pas le même (piand on change
d'axes de coordonnées.

C'est ce qui m'a déterminé à revenir encore une fois sur la question et d'ail-

I ' ) Voir ,\yi\ Notks.

49i SIR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

leurs sans l'épuiser. J'ai iïH)difié la convention relative aux points à l'infini, de
façon que tout devienne projectif et que les résultats se présentent sous une
forme plus simple.

J'ai obtenu ainsi une formule générale et je l'ai appliquée aux surfaces du
troisième degré.

Ces surfaces présentent, au point de vue qui nous occupe, des propriétés qui
semblent paradoxales, sur lesquelles M. Picard a déjà attiré l'attention. C'est ce
qui m'a engagé à les étudier en détail.

Il faudrait, pour aller plus loin, étudier les cas où la surface présente d'autres
singularités que les singularités ordinaires qui caractérisent les surfaces aux-
quelles toutes les autres peuvent être ramenées par une transformation bira-
lionnelle; c'est-à-dire les cas où la variété à quatre dimensions correspondante
présente un point singuliei'. Mais je n'ai pas abordé ce problème. Je me suis
contenté de dire quelques mots au sujet du point conique ordiniiire, et sans
épuiser la question.

II. — Intégrales doubles relatives à une surface.
Soit

fi) F(.r. y. :■) = o

une surface algébrique quelconque, et soit

f r P (/./■ Jy r rv dy clz r r P dz <i.r

'-fr-^'fr^--f.f

'\v

une intégrale double relative à cette surface; P étant une fonction rationnelle
de x.y , ;;. Nous supposerons cette intégrale prise le long d'un domaine à deux
dimensions que j'appellerai k et qui sera généialemcnt un cycle fermé.
Soit maintenant

( 3 ) ï d; -H !>_)' -7- Y 3 = I

un plan variable quelconque, et soit C l'intersection de ce plan variable avec la
surface (i). Nous pourrons supposer que le domaine d'intégration K est engen-
dré de l.i façon suivante : le plan (3) variera d'une manière continue; en même
temps, nous envisagerons, sur la surface de Riemann correspondant à la courbe
algébrique C, un cycle fermé /r : quand le plan (3) variera d'une manière con-
tinue, ce cycle k variera égalemeni d'une manière continue, et ce sont les posi-
tions successives du cycle à une dimension k qui engendreront le cycle à deux
dimensions K. Que devient dans ces conditions notre intégrale double?

Sun LES PEIIIODES DES INTECKALES DOUBLES.

495

Posons

(4)

X

=

/F; —

•;F'n

Y

=

iKr-

«Ft,

Z

: —

^F'v-

'iFV.

l'osons encore

(/ = A .r + [ji _)' -+- '

A. p. et V étant des constantes quelconques ; supposons que les coefficients
variables a, (3, y de l'équation (3) soient des fonctions d'une certaine variable t
el prenons (/ et t pour nouvelles variables indépendantes. Il s'agit de calculer
le déterminant fonctionnel des anciennes variables .r el y par rapport aux nou-
velles u et t.

Pour cela, nous avons les éiiuations suivantes :

(5)

(h) = À elj- -h fj. c/y -^ V i/z,

>// S ./• i' =:^ dx -(- 3 (Iv ^ -. ,lz.

al - 1

,/!■ = F',. ,/./• + F;. dy -^ ¥', dz.

Si donc nous posons

nous trouverons

'j. ,3 7

f:, f;. f:

,)(u, t, F) J_

(>(■'■■ y, 2) ""

= ÀX-fjiY

D'autre part,

d'où enfin

dl

c)( II. t

diii. I, F) _ à(ii, t. F) i)(ii. I. z) _

i)(.r. y, z)~ (){ii. t. Z) à(.i\y, z) ~ '"Oijc.y)

à{x, y) _ ' ' dl

d(ii. 0 ~ E^

de sorte que notre intégrale double devient

dx

PZx -,^ du dt

dt

ou bien

(6)
avec

(7)

J = Ç{ \ d-j. + B f/,3 + C ^v ).
rVxdu „ fPvdii „ rVzdn

496 SUR LES PÉRIODKS DES INTÉGRALES DOUBLES.

On peut annuler deux des trois coefficients arbitraires l, //, v. en faisant
l'autre égal à i ; on trouve ainsi, par exemple,

( 7 f'i's )

Les intégrales (7) et {-bis) sont des intégrales abéliennes simples relatives à
la courbe algébrique C ; et si, comme nous l'avons supposé, le chemin d'inté-
gration/. est un cycle fermé, ce sont des périodes de ces intégrales abéliennes.

Nous devons nous attendre à ce que

soit une dillérentelle exacte, et c'est en effet ce qui arrive. Vérilions que

Quand nous allons parcourir le cycle /. , le point u va décrire dans son plan
une certaine couibe fermée ; nous pourrons toujours supposer que celte courbe
ne varie pas quand on donne à |3,^ar exem()le, un accroissement très petit.

En effet, par liypotlièse, notre cycle /. est fermé et varie d'une manière con-
tinue. Si donc k est la courbe fermée déciite par u dans son plan, si /," est ce
que devient cette même courbe quand ^ se (diange en (3 + f/,6, ces deux courbes
fermées /,' et /, ' différeront infiniment peu. On aura toujours pu choisir k' de
façon que celle courbe passe à distance finie de tous les points singuliers. 11 n'y
aura pas alors de point singulier entre /,' el /, ". L'intégrale le long de /, " est donc
égale à l'intégrale le long de /.': on peut remplacer la courbe /." par la courbe /,',
c'est-à-dire supposer (|ue la courbe /.' n'a |ias varié. Cela nous permet de cal-
culer -jg par dili'éri'ntialion sous Je signe / en regardanl le ciiemin d'inlégra-
lion comme invai'iable. On Irouve ainsi

en reniaïquant que

</A rd IV. r\

dT=J dr.(-u)''"'

d _ d d.r d dy d itz
<i ~ d7r Tri'' dv <i ""

en représentant par -r^ avec des à ronds la dérivée prise par rapport à (3 en tant

que celle variable figure explicitement dans -j^i mais en regardant .v, y, z
comme des constantes.

Nous observerons (jue, dans le numéraleiir !'./. la lettre jS ne ligure pas expli-

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. 497

citement, mais qu'elle figure dans D et que Ion a

Mainlenanl, pour calculer 'j^j ^ , ^. il faut dans les équations (5) faire

du^o, puisque notre chemin d'intégration est invariable; t/F = o, puisque
l'équation (i) a toujours lieu; da = dy=o^ puisque pour chercher la dérivée
partielle par rapport à |3 il faut regarder les deux autres variables c et y comme
des constantes, On trouve ainsi

(5 his)

— yd'.^ = ^'J.d.r,

t> = ZV',.dx.

Nous j adjoignons l'identité

,/Px\ fdO, dQ , dq^\^^j P'"'^'^^M

en posant

« = È-

Les équations {^bis) nous donnent d'abord

, /'/" , " dO , dO \
\U -^ dx ^ -^dy-^ -^ds) = y di
\dx dy -^ dz ) -' ■

et d autre part

X ;a V
F:,: F^. Fi

Qx QV Qi

-.y^d'{.

Si doue dans l'équation (g) nous remplaçons 2^ dx. dx et -rg par leurs
valeurs, nous trouverons

On tr<iuvt'rait de même

et l'identité des deux expressions suffit pour démontrer l'égalité (8).
Donc KdoL + ^dyi-\- Cdy est une différentielle exacte c. q. v. n.

Afin de ne pas exclure le cas où le plan (3) passe par l'origine, il convient de

H. P. — III.

03

',Ç)i< SLIl LES PÉRlOllES DES INTÉGUALES nOl'BLES.

rendre l'équatiou de ce plan honiogèoe en l'écrivant

(3 bis) ax -^- 'fly — y z = î.

Il vient alors

A|, B|, G| étant ce que deviennent A, B, G quand on v remplace a, (3, y par
-) -5 - ; dans ces condilions, le déterminant D se change en

D

Il vient ainsi

D,=

' p ,f (/(( r 1 ' .'■ '/" _

d'où

A , rf - = A rfa -

1)
A a d'.

d'où enfin

(^COis) </i = Xd-JL — M d'fi ~ ('. d-; — \i di

ou

)•; =

\ J. -^ \^ ;1 + C. Y _ / ■ p ( a ,r — [i K — y 3 ) du

~.l HT

ou en vrrtu de l'équation (3 bis) :

Considéions alors .1 comme fonction de ex, (3, y, e; nous jinrlirons de certaines
valeuis initiales do ces variables, par exemple les valeurs i, o, o, i ( c'esl-à-dirt'
le plan .r = i ), et nous les ferons varier d'une manière continue et par un che-
min (juelconque jusqu'à leurs valeurs finales a, (3, y, £ ; le cycle à une dimen-
sion /. vari(!i'a aussi d une manière continue et engendrera une variété à deux
dimensions K qui ne sera pas fermée, mais (jui aura une frontière formée du
cycle initial (c'est-à-dire du cycle k de la surface de Riemann corrcNpondant au
plan initial x^ \) el du cycle final (c'esl-à-dire du cycle /> de la surface de
Riemann correspondant au plan final ax -\- ^y-\-yz = e). C'est le long de cette
variété K que sera prise l'intégrale double .1.

L'intégrale .1 est une fonction multiforme des variables «, (3, y, c ; parce que
les cj'cles k s'échangent entre eux lorsque ces variables tournent autour d'un
point singulier, et parce que l'intégrale J jjrend deux valeurs diilerentes, quand

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. 499

les variables vonl de leurs valeurs initiales à leurs valeurs finales par deux che-
mins différents, si entre ces deux cliemins il y a un point singulier.

Quels sont ces points singuliers ; ce sont ceux qui correspondent au cas où
le plan (ibis) est tangent à la surface (i).

Considérons d'abord le cycle /, et les valeurs correspondantes des intégrales
A, B, C, E comme des fonctions des variables a, p, y, s; quand les variables
ayant tourné autour d'un point singulier reviendront à leurs valeurs initiales, le
cycle A- se transformera on un autre cycle de la même surface de Rieinann.
Soient A|, Ao, . . ., /.^/y les cycles fondamentaux de cette surface de Riemann
(que je suppose de genre/j). Après une rotation autour du point singulier, ils
se transformeront en d'autres cycles de la même surface, qui devront être eux-
mêmes des combinaisons des cycles fondamentaux A,. A 2, . . . , /.y,.

Soient alors A,, Aj, . . -, A^^ les \aleurs de l'intégrale A correspondant à ces
2p cycles; ce sont les périodes fondamentales de l'intégrale abélienueindélinie A.
Elles se transformeront en A',, A!,, . . . , A. ^ et les A, ne seront autre chose que
des combinaisons linéaires des A,, à coefficients constants et euliers.

Donc A, considéré comme fonction de l'une des variables a, [3, Y) s, satis-
fait à une équation différentielle linéaire d'ordre 2p, dont les coefficients sont
des fonctions rationnelles de x, (3, j/, s; plus généralement, entre 2/j-f- i déri-
vées partielles de A par rapport aux quatre variables (parmi lesquelles la
fonction A elle-même pourra être comprise), il y a toujours une relation dont
les coefficients seront des fonctions rationnelles de x, (3, y, e.

Il en sera de même en ce qui concerne B, C et E. Alais il v a quelque chose
de plus. Quand les variables tournent autour d'un point singulier, B, G et E
subissent ta même transformation linéaire que A. Il en résulte (pie nous aurons
encore une relation de même forme, non seulement entre 2p-\- i dérivées de A,
mais entre 2p -)- i dérivées quelconques, appartenant les unes à A, les autres
à B, C ou E, les fonctions A, B, G et E elles-mêmes n'étant pas exclues.

Mais A, B, C, E sont les dérivées du premier ordre de .1 ; et les dérivées de
ces quatre fonctions sont aussi des dérivées partielles de .T, de sorte que nous
arrivons finalement au résultat suivant :

Entre 2p-\-i dériit'e.s partielles quelconques de i {la fonction J étant
exclue) il y a toujours une relation linéaire dont les coefficients sont des
Jonctions rationnelles de x, (3, -/, £.

Prenons un nombre suffisant de semblables relations, en assez grand nombre

500 SUR LES PÉRIODES DES INTKGHALES DOUBLES

pour que toutes les autres n'en soient plus que des conséquences; nous aurons
un système de relations que j'appellerai le système (S). Il suffira, par exemple,
pour cela de prendre les quatre équations

ib[ ^ ' d-x^ di jLd ' doL' '

Q,, R-, R,-, R- sont des fonctions rationnelles de ^, p, ■/, e; dans la première
équation (S) l'indice i peut prendre les valeurs 1.2, .... 2/>. Qu'arrive-l-il
maintenant de J quand les variables tournent autour d'un point singulier?
Considérons par exemple les 2/> déterminations de A :

A,. A, A,,,

définies plus hnut et soient

■I,. -1. I.,.

les déterminations correspondantes de .1. Supposons que, quand on tourne
autour du point singulier, A/ se change en

les \ih étant des coefficients constants et entiers comme on l'a expliqué plus
haut; alors .1, se change eu

II,- étant une couslautc

Une combinaison quelconque ^>ia.T/,, où les À;, sont entiers, se changera

donc en 2_,V-kik + H où les /j.a sont des entiers et oti H est une constante. Cela

posé considérons q points singuliers -M,, Mo, . . ., My. Imaginons que, quand
on tourne autour de M,, une certaine combinaison

se change en 7 PiaJa + Il| ; et que plusgénéralemenl, quand on tourne anlonr
de M,, une certaine combinaison /^A,a.Ia se change en

V,|J^<* ■'<■-+- H,-.
Les X,/i et les /jijt sont des coefficients entiers, les II, sont des constantes.

SI n i.RS PÉRionES drs intégrales doubles. Soi

Soil (laillt'uis K, un contour à deux dimensions défini de la façon suivante :

Soit C, un contour à une dimension: pour les valeurs initiales (1,0,0, 1)
des quatre variables, il est choisi dans le plan (x = i ) de façon que la période

correspondanle de l'intégrale A soit ^X,;tA/;. Supposons ensuite que les

variables x, (3, y, s tournent autour du point singulier M, en partant des valeurs
initiales (1,0, o, i ) pour revenir aux mêmes valeurs finales, et que le cycle C,
varie avec elles d'une manière, continue ; il engendrera le cycle à deux dimen-
sions K,.

Nous pouvons supposer que J,, J^. .... Jo,, (qui ne sont définies jusqu'ici
qu'à une constante près) s annulent pour les valeurs initiales. Alors H, sera
l'intégrale double prise le long du contour K,.

Soient maintenant

q coefficients entiers, choisis de telle sorte que

(") \ ''/f À,, — 1^,1,1 =^''it '-i^— [J.,,) =. . . = V v,( À,-,;,— ,a,-2^) = o.

Alors, l'expression

repi'ésentera une des périodes de l' intégrale double; ce sera la valeur de celle
intégrale double, prise le long du cyclo fermé à deux dimensions

Je dis, en efl'el, que ce cycle est fermé. En effel le cycle K, n'esl pas fermé,
mais il admet pour frontière, d'une part, le cvcle C, dans sa position initiale,
c'est-à-dire

d'autre part, ce même cycle dans sa position finale, c'est-à-dire
de sorte que sa frontière complète sera

Soi SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

Donc la frontière complète du cycle N v,K, sera

et elle se réduira à rien en vertu des relations (i i).

Supposons, d'aulre piirt, que nous changions l'origine, je veux dire quau
lieu de faire varier a, (3, y, s depuis les valeurs initiales ( i, o, o, i ) jusqu'aux
mêmes valeurs finales nous fassions varier a, (3, y, e depuis d'autres valeurs
initiales («(,, |3o, y^, So) auxquelles nous les ferons finalement revenir. La défi-
nition des cycles K, se trouvera modifiée; nous n'aurons plus le droit dé consi-
dérer Jic comme nul à l'origine et l'intégrale double prise le long du cycle K, ne
sera plus H,, mais

Elle dépendra donc du choix de l'origine (a,, (3o, y^, £o)- Considérons, au
contraire, l'intégrale double prise le long du cycle ^v,K,; elle sera

22 '''''^'''~ ''"'■''' ''^2 "'' "'■'

expression qui se réduira à N v,H, en vertu des relations (i i). Elle sera donc
indéjjendante du choix du l'origine.

III. Lacets rectilignes.

M. Picard a démontré que, par une Iransfurmatiun birationnelle convenable,
une surface quelconque peut être ramenée à une sui'face nitrinale, c'est-à-dire
à une surface n'ayant d'autres singularités que des courbes formées par l'inter-
section de deux najipes sans point singulier, ou des points triples formés par
l'intersection de trois nappes sans point singulier. Néanmoins la courbe double
pourra présenter des pincli-points ('), c'est-à-dire des points où les deux nappes
se touchent, de telle façon que l'intersection de la surface par un plan quel-
conque passant par ce point présente non plus un point double à tangentes
séparées, mais un point de rebroussement ordinaire.

r ' ) [ou points-pinces. ]

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOIBLES. ''o3

Dans ce qui v.i suivre, nous supposerons donc en tjéaéral que la surface

est normale; cependant, dans certains cas, nous serons amenés à considérer des
si^rfaces qui, outre les sinoularilés des surfaces normales, présentent des points
coniques isolés; nous supposerons qu'en ces points coniques le cône des tan-
gentes est un cône du deuxième degré ne se décomposant pas en deux plans.

Nous avons envisagé dans le paragraphe précédent les quatre variables homo-
gènes a, (3, y, e et nous avons considéré en particulier le cas où ces variables
prenaient des valeurs correspondant à un point singulier; et nous entendions
par là des valeurs telles que le genre de la section de la surface (i ) avec le plan

que ce genre, dis-je, s'abaisse d'une ou plusieurs unités.
C'est ce qui arrivera :

i" Si le plan (3 6t.v^ est tangent à la surface( I ) ;

2° Si la surface (1) admet des points coniques, et si le plan ( 3 bis) passe par
un de ces points coniques.

Je ne reviendrai pas sur la discussion par laquelle M. l'icard a démontré que
ces deux cas sont les seuls. Pour une surface normale, on n'a à considérer que
le premier, et alors les points singuliers seront définis par l'équation

(2) <I>(a, 8, V, s) = o

qui est l'équation de la surface (i) en coordonnées langentielles homogènes ou.
si l'on aime mieux, l'équation de la dualistique de la surface (i).

On est ainsi amené à se préoccuper des singularités langentielles de la sur-
face ( 1). Mais, par un raisonnement tout à fait pareil à celui de M. Picard, on
verrait que l'on peut toujours supposer que la surface (2), dualistique de(i),
est une surface normale.

Nous su])poserons donc en général dans ce qui va suivre que les deux sur-
faces sont toutes deux normales, de sorte que les seules singularités tangen-
tielles de la surface (i ) seront :

1° Des plans tangents doubles en nombre simplement infini;

2" Des plans tangents triples en nombre fini;

3" Des plans lingents dUn/fexion correspondant aux points-pinces.

5o4 Sl'R LES PBRIODRS DES INTÉGRALES DOUBLES.

Considérons d'abord un point singulier M, correspondant à un plan tangent
simple ordinaire. Soient A,, /..,, ..., /,%,, les 2/> cycles fondamentaux de la
courbe algébrique, intersection do (i) et de (ibis): supposons que le point
analytique (a, (3, y, £) parte d'une position initiale quelconque que j'appellerai
O, et qui correspondra par exemple à (o, 1,0,0), c'est-à-dire au planj- = o,
que ce point analytique tourne autour du point singulier M; et revienne en O;
que seront devenus les 2j> cycles fondamentaux?

11 résulte d'un raisonnement de M. Picard ( Théorie des /onctions algé-

briqiies, t. I, p. y6 ) que, si l'on a ciioisi convenablement les 2/7 c\cles fonda-

mentairx

/.-,. /.,. Â-, /•.,,„

ils se changeront en

Il va sans dire que le choix des cycles fondainenlaux qui permet d'énoncer
le résultat sous cette forme simple n'est pas le même pour les différents points
singuliers M,.

Lorsque le point analytique (a, (3, y, s) vient en M,, le plan (3 bis) devient
tangent à la surface (i), coupe cette surface suivant une courbe qui n'est plus
que de genre p — i et qui par conséquent n'a plus que :>./) — 2 cycles fondamen-
taux; ces cycles sont

/,. k; /,/,.

Considérons alors le c\cle

/.■ = À , A-, -^ À.; /-,, ^ . . . + À.,,, /..,, .

les A étant des cueflicients entiers; quand le point analytique (a,|3, y, s), partant
de O, reviendra en O après avoir tourné autour de M,, en décrivant le chemin
lermé C, le cycle à une dimension A engendrera un cycle à deux diuiensions K;
reprenons l'intégrale J du |)aragia|)he précédant et prenons cette intégrale
double le long de K. Le clieuiin C peut être remplacé par un lacet, c'est-à-dire
par un chemin allant d'abord de O en N,, point infiniment voisin de M, le long
de la ligne L/, allant ensuite de N/ en N, en décrivant autour de M, le contour
infiniment petit C^ et revenant enfin de N, en O par la ligne L,.

Je remarque d'abord que l'intégrale .1 correspondant au contour infiniment
petit C] est infiniment petite. En effet, cette intégrale peuts'écrire, comme nous
l'avons vu au paragraphe précédent,

-f.r-^-fj"^'-ff

SUR LES PKRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. 5o5

Les trois dénominateurs F^., F^., FI ne sont pas nuls à la ("ois, >i le point singu-
lier n'est pas un point conique; de sorte que nous pouvons toujours supposer
que la fonction sous le signe / / reste iinie; et le contour dintégration est infi-
niment petit.

Nous excluons ainsi le cas où le point singulier serait un point conique et
aussi celui où P deviendrait prccisément in finiau point singulier M,-.

Mais le premier cas ne se présentera pas si la surface (i) est normale, et si
l'autre se présentait, c'est-à-dire si le plan langent aj" -t- ^y -h ys =î corres-
pondant au point ^1, touchait la surface (i) en un point où P serait infini, il
suffirait de remplacer ce plan par un plan tangent infiniment voisin pour c|ue la
difficulté ne se présentât plu-.

Il reste donc

(3;

'-J'I-fL

la première intégrale étant prise en parcourant la ligne L, dans le sens direct.

et la seconde en j)arcourant celle même ligne dans le sens inverse, mais après

que le cycle k., se serait changé dans le cycle Ao-I-Ai, et le cycle A' dans le

cycle k',

k' = k-k- X2 ^1 .
On a donc simplement

'—"If ■

l'intégrale étant prise depuis O jusqu'à M, en suixant la ligne L, et en rempla-
çant le cycle à une dimension /, par le cycle A,. Nous aurons donc

(/,) S = — '/.., j(\.i}.

où

.M

l'intégrale étant prise le long de la ligne L, ; les intégrales A, B, C, E ont le
même sens que dans le paragraphe précédent; elles sont supposées prises le
long du cycle A, ; le cycle A-, est choisi parce que c'est celui qui s'évanouit au
point singulier Af, ; c'est, pour prendre le langage du Mémoire cité [Journal de
Liouville, 5' série, t. \ III, 1902, p. 191), le cycle É-Vanow?ss(««M-elatif à M,.
Les périodes de l'intégrale double J sont donc des combinaisons linéaires à
coefficients entiers des intégrales / (L,). D'autre part, quand la ligne L, allant
H. P. — III. 64

5o6 SUR LES PÉniODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

de O en M, se déforme d'une manière continue un même temps que se déplace
le point M, et de telle f.içon qu'elle ne passe jamais par aucun point singulier,
son extrémité M,- exceptée; dans ces conditions, dis-je, rexpressiony(L,) est
une constante.

Si le point M, correspond à un plan tangent double ou triple, il y aura deux
ou trois cycles évanouissants correspondant aux deux ou trois points de con-
tact de ce plan avec la surface; l'inlégraley' (L,) sera donc susceptible de deux
ou trois valeurs entre lesquelles il faudra distingue!-. Il en sera de même si le
point M, correspond à un plan tangent d'inllexion: seulement les deux cycles
évanouissants correspondront alors à un uK-me point de contact. A part cela,
aucune différence avec ce qui se passe pour un plan tangent ordinaire.

Supposons maintenant que Ion prenne it = y = o, p =^ i , de telle sorte que
le plan (3 bis) se réduise au plan y = e ; on étudie ainsi les sections successiyes
de la surface par des plans parallèles à r = o; c'est le procédé qu'a employé
M. Picard dan* son Ouvrage et j'ai suivi son exemple dans le Mémoire cité.

Marquons dans le plan des j- l'origine O correspondant au plan initial j-- ;= o,
et les points singuliers M,, Mo, ..., M^ correspondant aux plans _)-=_i|,
y = J'a, • ■ • , J>' =.}'ï «lui touchent la surface (i). Joignons 0M| , OM.2, . . . , OM^
par des droites. .Te considère une ligne L, dont tousles points satisfont aux con-
ditions a=Y = o, [j = I ; dans ce cas s est seul variable et, comme notre
plan (3 bis) a précisément pour équation y^=^s, nous pouvons représenter la
ligne L, sur le plan des y. Je dis que l'intégrale /(L,) sera une combinaison
linéaire à coefficients entiers des intégrales

y(OM,). ,/\0M,) ./<'">M-,)

correspondant aux droites OM,.

En effet, prolongeons les droites OM,,OMj, . . ., OM,, jusqu'à l'infini ; nous
poui'rons considérer les prolongements M,oo des droites OM,, comme de^ cou-
pures.

Cela posé, la ligne L,, tracée dans le plan des )•, ira du point O au ])oint M,
en traversant un certain nombre de coupures; supposons pour fixer les idées
qu'elle traverse successivement les coupures M, 00 et M, 00; il faut en outre pré-
ciser le sens dans lequel elle les traverse; je su[)poserai, par exemple, que ce
soit dans le sens direct, c'est-à-dire dans le même sens qu'un mobile qui décri-
rait un cercle de rayon très grand dans le sens opposé à celui des aiguilles d'une
montre. Alors un mobile qui décrirait le lacet tout entier, c'est-à-dire L,, puis

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOLHLES. Soy

le contour infiniment petit C, , puis de nouveau L, en sens contraire, coupera
successivement les coupures M, oo, IVLao, M,oo dans le sens direct, puis Mjoo et
M|Oodans le sens rétrograde. Le lacet primitif pourra donc être remplacé par
cinq laiels rectilignes consécutifs, enveloppant respectivement les points sin-
guliers M,, M.,, M,, Mo, M, et décrits les trois premiers dans le sens direct, les
deux autres dans le sens rétrograde, f^es intégrales correspondant à ces cinq
lacets seront respectivement égales à

/(OM,), j\(m,), yXO.M,), jmh). y(:oM,)

multipliées par des coefficients entiers convenables. La détermination de ces
coefficients, dont quelques-uns d'ailleurs peuvent être nuls, dépend de la façon
dont se transforment les cycles fondamentaux A,, A.i, . . . , A,^, quand on tourne
autour des points singuliers.

Nous verrons plus loin comment on peut faire une réduction analogue, dans
le cas où la ligne L, n'est pas tellf que tous ses points satisfassent aux condi-
tions a = y = o, (5 = I. Mais, pour le moment, nous remarquerons que, dans
le Mémoire cité du Journal de Liouville, j'ai démontré au paragraphe 3 que,
sous certaines hypothèses, toutes les périodes de l'intégrale double J sont des
combinaisons linéaires à coefficients entiers des expressions y(OM,); les
points Mi correspondent un eflel aux points A, du Mémoire cité et les chemins
rectilignes UM, aux coupures OAy.

Les combinaisons linéaires qui correspondent aux périodes de l'intégrale
double sont les suivantes. Soit A, le cycle évanouissant, correspondant à UM, ;
toute combinaison

où les V, sont des entiers tels que

correspondra à une période

Dans ce même Mémoire, à la fin du même paragraphe, j'ai montré que
quelques-unes de ces combinaisons sont nulles; ce sont celles qui sont engen-
drées de la façon suivante : je suppose qu'on décrive successivement les dilTé-

rents lacets

OM,, OM,, .... OMy

dans le sens direct et dans l'ordre où ces diflférents segments rectilignes se suc-
cèdent autour de O; de telle façon qui- le contour total se compose d'une ligne

5o8 SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOl BLES.

termée qui enveloppe tous les points singuliers jNI, sans couper aucun des seg-
ments OM,. On part d'ailleurs du point initial avec un cycle à une dimension
quelconque k, et l'on revient, par conséquent, au point final avec ce même
cjcle. La comhinaison correspondant à ce chemin sera nulle.

Mais il est nécessaire de revenir sur ce point; car, dans le Mémoire cité, j'ai
supposé, entre autres hvpothèses, qu'aucun des points singuliers A, n'est rejeté à
l'infini. Or, si l'on considère une surface

(l) V{X. Y, Z) = Il

qui soit la plus générale de son degré; puis la section de <elle surface par le
plan (3 bis) y = £ qui est la courbe plane C,

Y{x. t. z^ = n.

On peut dire que pour s = oo celle courbe présente des singularités, et l'on
pourrait, par conséquent, se demander si les résultats ne s'en trouvent pas
modifiés.

Or le contour que nous venons de définir |'eul être remplacé par le suivant :
la variable y déciit dans son plan un cercle de rayon très grand ; en même temps
la surface de Hiemann correspondant à la courbe plane C se déforme d'une
manière continue; nous avons sur cette surface un cycle fermé qui varie égale-
ment d'une manière continue et r,:;vient à sa position initiale en même temps
que la variable j>-; les variables r et ^ sont assujetties à rester sur ce cycle.

Supposons d'abord que l'soit un polynôme i-'iilicr de degré m — 'i en x, y, z.
de telle façon que l'inlégrale simple

(6) /'^

soit une intégrale abélienne de premièi'e espèce.

Posons

X — uy. z = i>y.

Nous voyons que I' deviendra un polynôme d'ordre m — 3 etF'. un polynôme
d'ordre m — i en j, de lelle sorte que pr- pourra se développer suivant les puis-
sances décroissantes de j)- et que le premier terme sera un terme en — • Le coef-
ficient de ce terme sera d'ailleurs

Po(«, I, e)

en désignant par f„{x,y, z), F» (x, j', z), V'„^.{x.y, z) les termes du degré

SDR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOimLES. Sog

le plus élève en )• de P{x,y,z), F{x,y, z), F.(x, y, s). J'écrirai simplement

P

~ en suppriiiiaut l'indice i'.

'' 0

Nous avons d'autre part

fl.r tly = y du dy.

d'où

Le premier terme est seul sensible: ii reste donc

r rdy v„d,( ri\,d„

'i\du

/■

(I

est une intégrale abélienne relative à la courbe algébrique

(8) F„(h, I. f) = o.

Ainsi, notre période, qui est égale à l'expression (7), n'est pas nulle dans le
cas qui nous occupe, niiiis elle a le caractère d'une période polaire et non d'une
période cyclique.

Il en sera encore de même si P est de la forme — ^^- , Q étant un polvmime

X — a ^ ' •

d'ordre ?n — 2, c'esl-à-dire si l'intégrale (6) a la forme d'une intégrale abé-
lienne de troisième espèce ayant tousses infinis à distance finie. Nous laisserons
de côté, pour le moment, les cas où celte intégrale abélienne (6) aurait des
infinis à distance infinie.

IV. Théorie générale

J'ai cité plusieurs fois le travail que j'ai fait insérer dans le Journal de Liou-
{■ille, comme 4° Complément à V Analyses situs; je crois devoir non seulement
en rappeler ici les résultats, mais les présenter sous une forme nouvelle, les
différences portant non seulement sur le mode d'exposition, mais sur une con-
vention fondamentale que je crois préférable de modifier. Quand on s'occupe
des propriétés d'une surface algébrique au point de vue de V Analysis situs, on
s'aperçoit promplement que la question peut avoir un sens très différent selon
la convention que l'on adoptera au sujet des |)oiuts à l'infini. A l'égard d'une
surface F[x,y, 3j=:o, nous pouvons envisager plusieurs sortes de points à
l'infini; nous avons d'abord ceux où x, v et ; sont infinis à la fois, et ceux où
deux seulement de ces trois coordonnées sont infinies. Je néglige ceux où deux

5lO SLR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

coordonnées sont finies et une infinie; ils n'existeraient en eft'el que, si la sur-
face étant de degré m, par exemple, le polynôme F ne contenait pas de terme
en :;'", et ce cas. évidemment, ne se présentera pas en général.

On peut ne pas considérer comme distincts deux points x,,!', , s, et jCo, i-j, ;■>
toutes les fois que les sis coordonnées de ces deux points sont infinies, et alors

même que l'on n'aurait pas — ='— = ^ ; on regarderait, au contraire, ces deux

points comme distincts si, par exem|)le, rnJKi) -I'ï, l'a étaient infinis, c, et ;j
finis et 5| diflerent de z-,. C'est le premier point de vue.

Au second point de vue, on reg.irdera deux points à l'inlini comme distincts
toutes les fois que l'on n'aura pas

:£l = t^ = -ii.

Si, au contraire, z^ et ;j sont finis, le rapport '-^ sera égal au rapport —

puisqu'on l'obtiendra en égalant à zéro l'ensemble des termes de F qui sont de

degré m en x et y; d'autre part, les rapports — et — seront égaux entre eux et

égaux à zéro, et les deux points devront être regardés comme mm distincts,
contrairement au premier point do vue, alors même que z^ ne serait pas égal
à z...

Dans le Mémoire cité, je m'étais placé au premier point de vue, et c'est éga-
lement ce que M. Picard avait fait le plus souvent. Ce premier point de vue peut
être le plus avantageux dans certains cas, mais il a l'inconvénient de n'être pas
projectif, ce qui m'empêcherait d'appli([ucr les principes des deuxparagraphes
précédents et j'adopterai le second.

Si nous considérons r comme une constante, l'écjuation

F(a.-, y, Z) = (I

définira nue courbe algéi)ri(iiie et par con^équenl une surface de Riemann que
j'apjJcUe S(k). J'observe d'abord que deux surfaces de Riemann S(>'| ) etSCva)
ont un certain nombre de points communs.

Soit, en elfet, F„j(.r, o, ;) l'enseuible des termes de F qui sont d'ordre m
en j; et en ;; l'équation F„, (.c, o, ;) = o définira m valeurs du rapport '-) qui
correspondront aux directions asjmptoliques de la courbe algébrique

F(,r, .r,, 3) = (.,

directions qui seront d'ailleurs les mêmes que celles de la courbe

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGFULES DOUBLES. 5ll

F (pc, )'■!, :;) =:o; à ces m direclions asymptoliques correspondronl m poinls à
l'infini sur la surface S (r, ) et de mcnie m [joints à linlini sur la surface S (jKs).
D'après la conveniion que nous venons de faire, les mpoints à l' infini deS {yC)
ne différeront pas de. ceux de S {y^ ).

Pour Y = X), nous avons la surface de Riemann S f oo) dont les dilTérents
points correspondent aux différents systèmes de valeurs des rapports de x, y

et ; satisfaisant à l'équation

F,„ (.•/■. /, s) = 0,

où V„i est l'ensemble des termes de F du degré m en .r, )' et ;; ou, en d'autres
termes, aux dilléreuts points à l'inlini de la surface F = o. Parmi les points de
la surface S (m), nous distinguerons ceux qui sont donnés par

F,„(.r. o, z) = o,

et qui lui sont communs avec les autres surfaces S(vi ), S(i':;), ....

Pour certaines valeurs de )•, le genre de la surface S(j-) s'abaisse, ce sont
celles qui correspondent à un plan )'=const. tangent à la surface F = o.
Soient

ces valeurs singulières de )•.

il faut maintenant c|ue je définisse ce que j'appelle lAprojection d'une sur-
fice S(>'i) sur une autre surface S(>'2) quand je suppose que )\ et y^ ont
niém.' iirgumunl. A ciiaque point de S (r,) je ferai correspondre un point do
S(Kj) et inversement, et cela d'une fayon biunivoque, et je dirai que l'un de
ces points est la projection de l'autre. Je m'arrangerai de façon que deux points
inlîniment voisins aient pour projections deux points infiniment voisins et, par
conséquent, qu'une courbe continue se projette suivant une courbe continue et
une courbe fermée suivant une courbe fermée. De plus, je m'arrangerai de
façon que les m points à l'infini ([ui sont communs aux deux surfaces soient
leur propre projection. Il est clair que toutes ces conditions peuvent être
remplies.

Imposons-nous maintenant une condition de plus. Soient yi, j'j. >ii v.,
quatre valeurs de )•; )'i et Kj d'une part, v^', e\. y\, d'autre part ont même argu-
ment; d'ailleurs r, diffère très peu dey, ^^y^i ^^y-i- Je considérerai alors deux
points M, et M, des deux surfaces S ()i ) et S (j>'', ) et leurs projections Mo et
M, sur S ()'.j) et S(y,), et /e supposerai que, si M, et "M, sont infiniment
voisins, il en est de même de M-, et M',.

Celle condition ne peut pas fou/ours être remplie. Traçons dans le plan

5l>. SIR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

des )■ le quadrilatère rectiligne ViV, )'.,,)'j5 doni doux côtés Xiy\ et r„yo sont
infiniment petits. Si à rintérieur de ce quadrilatère se trouve l'un des points
singuliers £|, So) • • •• £ai la condition ne pourra être remplie. Nous joindrons
donc dans le plan des y l'origine O aux diderents points singuliers £,-; les
droites ainsi tracées partageront le plan en secteurs et la condition devra
être remplie à l'intérieur de chacun des secteurs. Si maintenant y, et )■, , el,
par conséquent, y^j et y'., n'appartiennent pas à un même secteur, la condition
pourra ne pas être remplie; elle le sera si | y, | el \y-, | (el par conséquent \y\ \
et \y'., I) sont tous deux plus grands ou tous deux plus petits que , £, j (giétanl le
point singulier qui se trouve entre les deux ravons infiniment voisins Oy-i ii et
Oy'.,i:, ); elle ne le sera pas dans le cas contraire.

Cela posé, envisageons un cvcle fermé à deux dimensions quelconques de la
variété V à quatre dimensions dont les différents points réels correspondent aux
différents points réels et imaginaires, regardt's coinnu' distiiiits, de la surface
F = o. (Pour expliquer ce qu'on entend par regardés comme distincts, je rap-
pellerai la convention que nous venons de faire au sujet des points à l'infini el,
d'autre part, que si la surface a une courbe double, aux deux nappes qui se
coupent en un point de cette courbe, doivent correspondre deux points distincts
de \ .) Soit K ce cycle fermé à deux ilimensions.

Considérons un |)oint de ce cycle, et marquons sur le plan des )■ bi vabiii-
corresjiondante de y; à chaque point de K corresponcha donc ainsi un point
du |)lan des )', et inversement à certains points de ce plan pourront corres-
pondre un ou plusieurs points du plan de K. Nous sommes ainsi conduits à par-
tager le plan des )- en régions diverses, les régions R,, aux points desquelles ne
correspond aucun ])oinl k, les régions R, aux points desquelles correspond un
seul |)(iint y. les régions li-, aux poiiU> desquelles correspondent deux
points y, etc.

Cela suppose loulefois que le cjcle K ne passe par aucun des m points à
l'infini communs à toutes les surfaces ^{y), sans quoi la valeur coriespondante
de y serait indéterminée. S'il en était autrement, on déformerait légèrement le'
cycle K <le façon qu'il cesse de passer par ces points.

Ce n'est pas tout, ce cycle K est tel que, dans le voisinage de chacun de ces
points, les parties réelles et imaginaires de .i-, y, :■ peuvent s'exprimer en fon'c-
lions holomorphes de deux paramètres u et c; si nous considérons donc deux
domaines à deux dimensions faisant partie de ce cycle, et de telle façon que dans
le premier tout s'exprime en fonction de u et c, et dans le second en fonction

Sin LES PÉRIODES DEj; I.NTÉGRALES UOIBLES. 'l3

de deux aulres paramélres (/' et r ; si ces deux domaines ont une partie com-
tiiuue, le signe du déterininani fonctionne] de n et c par rapport à // et i' sera
constant dans toute celte partie commune.

Si nous supposons, comme il convient, (jue le cycle K est bilatèrr. nous
pourrons supposer sans restreindre la généralité que ces paramètres u, i\ «', ('
ont été choisis dans chaque domaine de telle façon que ce déterminant fonc-
tionnel soit toujours positif.

Soit alors A le déterminant fouctioanel de «et r par rapport à y, et )^, en
désignant pour un instant par j-, et j-j les parties réelle et imaginaire de r. Le
signe de ce déterminant ne changera pas. d'après la convention que nous
venons de faire, quand on passera de u et r à deux autres paramètres «' et c'.
Soit alors un point de l'une des régions 15„ dont nous venons de parler: à ce
point coi-respondront n points du cycle Iv; je suppose qu'il y en ail p \>in\v
lesquels A soit positif et n — /> pour lesquels A soil négatif. Eh bien.
l'excès '.p — /( si'ia constant pour tous les points du jilan des y et pour
toutes les régions R,,, I>|

D'iiù Ton peut conclure que le nombre n lelalif aux diverses régions l'>„ est
constamment de même parité. S'il y a des régions Imi. l'excès Ap - u est
constamment nul.

Nous examinerons d aijord le cas ou le point )■ = o el le point y ^ y: appat-
lienni^nt luii et l'autre à une région Kp. Coupons noire c\cle K par la variété

arg_^ = con^t.

Celte variété sera représentée sur le plan des )• par une demi-droite allant de
l'origine à l'infini. Nous remarquerons que cette demi-droite, partant de l'inté-
rieur d'une région Ro, traverse des régions R„ (« ]> o) et aboutit linalement à
l'intérieur d'une région 1!,,. Si donc nous envisageons les points qui ajipar-
tiennent :'i la fois à cette \ariété et au cycle K. le moilule de f varicrn |)our ces
|ioinls entre nn certain iniiiiiiiuni ci un icrtMin niaxiiiiuiii. 7/ r/i résulte i/uc
l intci'section de celle variété et de Iv sera un rycle fermé n une
dimension que j'appelle ( K. to). '.i étant l'argument constant de )•.

Tous les points de (K, oi ) ap|)arliennent à une surface de Riemann S ( )), où
y:=oe"'' a un argument constant m; nous pouvons donc les projeter sur l'une
quelconque d'entre elles .S(po<;"") et. par exemple, sur .S(o): j'appellerai
(K, 0), o) la projection du cycle (K. oi ) sur .S(o). Comparons niainlenant
( K. '.). o) à (K, (,^' , o); si m diffère très peu de '•>' . il résulte de> convention^
II. p. — m. (j.5

âla SUR LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES.

faites plus liaiil que (K, ',>, o) différera très peu de ( K, ',y' , o). à moins que
Vargumeiit de l'un des points singuliers £/, nesoil compris entre w el o)'. Si
nous adoptinis la notion de Y homologie. nous aurons donc, sur la surlace S( o),

rhomologie

I K. M. o I ^ ^ K, (')'. <A

et elle subsistera quand même co et 'J différeront d'une quantité linio ( puisque
cette homologie signilie précisément que l'on peut passer d'un cycle à l'autre
par déformation continue); elle subsistera, dis-je, à moins que l'argument de
l'un des points singuliers £;; ne soit compris entre u et ùj' : ou, en d'autres termes,
toutes les lois que les demi-droiles correspondant aux arguments co et u' appar-
tiennent à un même secteur (^si l'on suppose le pi in divisé en secteurs parles
droites Oc/tel leurs prolongements).

Comparons maintenant les cycles (K, w, o), (K, co', o) en admettant qu'il j
ait un point ii, dont l'argument soil compris entre to et '^^ . Projetons les deux
cycles (K, (.)) el (K, ',>' ) non plus sur S (o). mais sur les deux surfaces de Rie-
nianu S (&„<?"") et S(po<?""') qui différent très |)eu l'une de l'autre; soient II
et l] ces deux projections; ce sont deux cycles appartenant respectivement aux
deux surfaces S(pi,e"") et S(poe'"'). Soil fl", un cycle de la première surface
qui diffère infiniment peu du cycle H' lequel appartient à la deuxième surface,
infiniment peu différente de la première. Quand po décroîtra d'une manière
continue de x à o, II' et II' el par conséquent II ' el n — Il ' varieront d'une
manière continue. Pour p,, = o, nous aurons

I k. (•). o I ~ I K. (o'. o I II — II".

i-aisons niaiiilenanlp„ ^ ,'-k '■ je dis que pour celle valeur de pu les cycles H,
ir et II différeront inlinimenl peu l'un de l'autre. En effet, dans le cycle (K. o ),
nous dislingui'rons deux parties, que nous a|ipellerons II et II| ; la première
comprendra les points tels que j- < £< , el la seconde les points tels que
ij'l > je*!- De même dans le cycle (L, oj) nous distinguerons deux parties H'
et H'|. Alors H différera infiniment peu de H' et H, de M,. Projetons H et H'
sur les surfaces S(poe''''), S(poe""'), où p,, = | ca | — ô, ô étant infiniment petit
el positif; les projections seront infiniment peu différentes. Si nous considérons
en effel deu.v points très peu différents de H et H' pour lesquels j' a respeelive-
ment pour valeur poC"", p(,e""', (p < j £a ) cl leurs projections pour lesquelles y
a pour module ,i^ . — 'j, le quadrilatère recliligne formé par ces quatre \aleui's
de )• ne coulienl pas ■/, à son intérieur.

SUR LES PÉBIODES DES INTÉGBALES DOUBLES. 5l5

Donc les projeclions de ces deux points dlIFéreronl très peu d'après les con-
ventions faites plus liant; les projections de H et de H' sur les surfaces
p(i=:J£v,| — ô et par conséquent sur les surfaces infiniment voisines po =[ Sa |
dilTéreront donc très pou. ( )ii le (léninnlreiail de même pour les projections
de H, et de II,.

Donc, pour p,, = j £/i|, II el H' diffèrent très peu; le cycle II — II" est infini-
ment petit, c'est un cycle évanouissant relatif au point singulier e^.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

Si oj et u' /l'appartiennent pas à un même secteur, mais à deux secteurs
contigus séparés par la droite Oêa, ies cycles

ne sont plus homologues en général, mais leur différence est homologue à
un cycle éianoitissant n-lalif au point singulier e/,.

Pour aller plus loin, pi-écisons davantage la noùon t\c projection. Nous joi-
gnons l'origine O par des segments de droite (>£/, aux différents points singu-
liers £/ cl nous regardons ces segments comnu! des coupures. Tant que y ne
franchira pas ces coupures, la surface S()') restera homéomorphe à (iUe-même;
nous pouvons donc établir entre les points des deux surfaces S(ti)) ^{y'>)
quelconques une correspondance biunivoque telle que, lorsqu'un point M
variera d'une manière continue sur une suiface S( )'i) el qu'en même temps j'
variera d'une façon continue mais sans franchir les couj)ures. le point M' de
S()) qui correspond à M variera d'une façon continue. Seulement, si l'on a
deux points ) i et y^ infiniment voisins l'un de l'autre, mais de |)arl el d'autre
d'une coupure, et deux points :M| et NL se correspondant sur &(>•,) et 8(72),
ces deux points ne seront pas, en général, inlininienl voisins. C'est cette cor-
lespondance qui servira à définir la. projection en se restreignant alors aux cas
où )-, et y-, ont même argument.

Considérons maintenant une coupure Uca et le point singulier correspon-
dant cA- Soient j-| elfi, y\ et )•., deux couples de points; je suppose que j)'4 et
)■■) soient infiniment voisins et de part et d'autre de la coupure et qu'il en soit
de même pour le second couple. Soient M, un point de S(ji) et M-j un point
de S( >-2), infiniment voisin de M. D'après ce que nous venons de voir, M, elM2
ne ])euv('nt être correspondants. Soit uiaintenant M, le point de Sir,) corres-
pondant (le M|, el M, le poiul de S() ., ) correspondant de jM^. Les deux [loints

■)lO '^IR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

Mi L'I -M., seruiil intiiiimenl voisins, il est Imijouis [jussiblu de le supposer. Eu
revanche il y a une chose que nous ne pf)niTi()n&su|)poser sans nous lancer dans
de grosses diflicultés. Soit r, un poiiil de la coupure: considérons la surface de
Riemauu correspondante, nous rappellerons S ( r, ) si )• a atteint r, par l'une des
lèvres de la coupure, et S (t,' ) si )■ a atteint r, pai- l'aulre lèvre. Les deux sur-
faces S (y, ) et S (■/)') sont ideïitiques; mais le point de cette surface qui corres-
pond à un point donné dune autre surface S( i) ne sera pas le même selon ([u"ii
sera regardé comme appartenant à S (y, ) nu à S ( r,' ). Il en résulte (ju'il \ a une
correspondance entie les puints de S (r, ) et ceux do .S ( r! ) ; un peut se demander
si cette corres|)oudance est réciproque: mais ou \oil Itienlôl qu'il uesi pas
permis en général de supposer cette réciprocité.

Diflerents cas sont à distinguer suivant la uatuie du point singuliei' i/, ; le
jjlus simple est celui oii le plan )• =; ;< est tangent à la surface I-" = o et la coupe
suivant une courbe présentant un point diuible ordinaire à tangentes séparées.
<)ue pouvons-nous dire alors de la c(irre>|)on(lancê entre les points de S ( r, ) et

de S (r/); soit /; le genre de la surface S(r,): soient 12,, 12.j 12-.>,, un système

de cjcies fondamentaux de S(r, ); soient ii, , 12^,, .... iï.,^. les cycles corres-
|iondant^ de S(r,'i: on veiiait qu'on |ienl rlioisii- les cycles fondanienlaux de
telle lacon ijui' 1 on ait

o'i := £2, — V... tJ..= lî'.,. il. ^ U'|. ....

Alor> 12j est un cyclu ri anouissant relalil au [loinl singulier i/,.

Pour nous lendre compte de la correspondance entre les points de Si y, i et
de S( r/), nous pouvons supposer que dans un espace E à six dimensions, par
exemple, on construise la variété \ à quatre dimensicms. et qu'on se soit
arrangé pour que celte variété n'ait jjas de point double et que tous ses points
soient à distance finie. Les points de \ qui correspondent à une valeur donnée
de ) formeront alors une surface fer/nrc à deux dimensions de l'espace E (|iii
n'aura en général aucun point siiiguliei- et (pu sera notre Si)'). Cepeuihint la
surface S(c/i) admettra un point conique 1'. .Si r, est très voisin de ;/.. la sur-
face S(r;), identique à S(y/), présentera donc un clianglenieiit dans le voisi-
nage du p(Mnt P. Nous pourrons tracer sur S(yj) une petite ligne fermée qui
embrasse la partie la plus étroite de cet étranglement (tel le cercle de gorge sur
un hyperboloïde de révolution à une nappe). Ce sera notre cycle évanouis-
sant iii : nous pourrons tracer dans h? voisinage du point P une série de cycles
fermés analogues sur S(ry i tels que seraient les différents parallèles Mir un
livperboloïde de révolution: nous pouvons ensuite définii- un jioMit ipielionque

SIR LUS l'KIlIOKES DES INTKGHALKS DOIUI-ES. ■j\'i

de S(r;), au moins dans la //ai lie ètranglce roisinr ilu point 1^, |)ar deux
coordonnées p et oj, choisies de telle sorte que p soit constant tout le long de
ilianin de ces cycles fermés, et que w augmente de 27: quand on faille tour
il un de ces cvrles. Nous [loiirnms alors ii(lmi'llir la loi de correspondance sui-
vante : dans la partie non voisine du point P. nu toutes les fois que 0 ne sera
[)as iiimpris entre o,, el p,, riiaquc point de Si/, 1 sria son propre correspon-
danl. Si p L'"-! eoiii|iris entre po il pi. nous ferons correspondre au point 0. oj
de S(r, I le point p. '.i-f-o('p) de Si/,'); et v(?) *'^''^' ""'^ lonclion continue de o
constamment croissante. (■i;alt' à o pcjur p = p,, et à y.- pour p ;= p,. En d'autres
termes nous ferons subir à la partie étranglée ciunprise entre les ccljes p = &„
et p=:pi une torsion progressivenienl croissante d'un cvcle à l'autre, de telle
façon que cette torsion, nulle pourp =po) atteigne un toureomplet pouro = o,,
ce qui permet le raccordement avec la partie non élranglée, supposée non
déformée.

\ mesure que 0 s'éloignera de ;/,, relranglcmenl sera de moins en moins pro-
noncé el nous serons conduits à étendre la déformation à une partie de plu-- en
plus étendue de la surface; celle loi de coii-espondance restera nénnmiiin> arlii-
Irairc dans une très large mesure.

C(.'s c<invenlions laites, projetons niainlenanl le cvile ( l\. '.> 1 sur la sur-
face S(t,) en supposani (pie 01 soit l'argument de ;/, ; muis ohtiendrons deux
projections différentes, selon que l'on supposera que cet aigumenl '.1 a i;té
atteint par l'une ou par l'autre lèvre de la coupure, c'est-à-dire selon (lue l'on
projettera sur S(r;) ou sur S(r/). Soient ( K, oj, r,). 1 K, ',., r,') ces deux projec-
tions. Soit M un point de (K, 10 ) : >{ sa projection sur S(r;), N' sa projection
sur S(/;'). N et N' seront identiques si Vy du point !M est plus petit en valeur
absolue que ;/,. Dans le cas contraire, ces deux points seront corrcsponr/a/i/s

nformémeiil à la loi de correspondance adoptée plus liant. I-i ilillérence des
leux cycles ( K, o). r,) — (K, ',t, r,' ) sera alors un c\cle de S 1 r, 1 homologue à
zéro, au C3'cle évanouissant il^. ou à un de ses multiples.

L'ensemble des cycles (K, w,r;) — (K,'j),r/') f|uand on fait varier r, depuis
zéro jusqu'à £t engendrera une variété A(£/,) à deux dimensions. Le cycle
( K, oj, r,) — (Iv, Gj, r,') est toujours homologue à un multiple île iij : suiiposons,
par exem|)le. à IL: il se réduit au point I' pour/, ^^ £/, ; mais, pour/, = 0, il ne
se ic'duil pas a un point, mais a un exile ilc l,i ^nrfiice S(ii) qui est encore
lii mu i!oi;Mi' à lij cl i|iii- iioiis poiiiruns appelrr

co
(

3)8 SUR LES PRRIOPES DES INTÉGRALES DOUBLB^,

La variété 4(£a)i ^"6 nous pourons appeler un doigt fî cause de sa forme,
n'est donc pas fermée, mais a pour frontière le cycle

(^K, 10, o) — (K, <o, o' ).

^lais, jusqu'ici, nous avons supjjosé cpie il,, n'est pas homologue à zéro, c'est-
à-dire que le cycle infiniment petit que l'on peut tracer sur S(r, ) quand r, est
très voisin de ea ne partage pas cette surface en deux régions distinctes. Alais le
cas contraire peut aussi se |)résenter; il arrive alors que la surface S(ca) se
décompose en deux surfaces distinctes, c'est-à-dire que la couibe intersection
de F = 0 et de y = îa est déconiposable.

Dans ce cas, le cjcle (K, m, r,) — (K, '.3, r/) décomposera la surface S(r,) en
deux réglons que nous appellerons S,ro) et S_.(r,). Considérons la variété à
trois dimensions engendrée par S| (o) quand r, varie de zéro à i^'. elle sera
limitée d'une part par le doigt A(£y(), par S|(o) qui est une partie de S(o') et
par .S, (ea); de sorte que

Mais .Si (sa) n\'st autre chose que hi surface de Rietnann relatice à Vune
des composantes de la courbe d'intersection de V ^=. o et y ^ %k', ce cjui nous
fait comprendre la signification du doigt A(£a) dans ce cas particulier.

Revenons ai| cas général et reportons-nous à un paragraphe précédent, nous
verrons que nous y avons défini une intégrale

,/,l.,i:

eli hienl cette intégrales n'est autre chose que l'intégrale prise le long du doigl
A(c/, ) lorsipie la ligne L, parcourue par le point a, |3, •/, s est telle que y. et y
soient constaminenl nuls, {3 égal à i, et que £ varie avec un argument constant
de zéro à £a.

[.n antre cas est celui où le point singulier ca correspond à un |)oint conique
ordinaire de la surface K = o. Il arrive alors que 1^8 cycles

iJ,. 1^ 0..,,,

se (diangent en

o,J-i'Uj, Uo U.i,

et non plus en li| -H iij, iij, .... flo^,. Ce que nous avons dil de la loi de cor-
respondance subsiste; seulement la fonction 0(9)) 4"' croît constamment
depuis p = po jusqu'à p =pi, au lieu de croître de zéro à ■>.-. croîtra de zéro
à f\T.. La définition du doigt A(£a) restera la même.

Il peut arriver ensuite que le planj' = e/, soit tangent à !•' =: o en deux points

Stll LES l'EllIUULS I>KS IM'ËGHALliS DOlBLIiS. rjH)

(liHerenls. Alors la surfine S(r; ) irès voisine de S(-/, i présenlu deux élrangle-
ments au lieu d'un, il v a deux cycles rvaiwuissanlx au lieu d'nu, d'où rc^ulle
la rirconstance suivante :

Appelons doigt simple et désignons par A(£/i, il) la variété cnj^endrée par
un cycle de S(r, ) (jui reste homologue à 12 quand on tait varier r, de zéro à ii,.
Notre doigt défini plus haut et que nous continuerons à appeler simplement

A(c/) serail dans cette notation

A[3/... (K, (■). Ti ) — I K. (.). r,' 1 1.

Dans les cas examinés plus liant, d u'\ a\ail i[ii un cnçIc cvanouissant 12^, le
cycle (K, '■), r,) — ( K, w, r,') était loujonis lionioliii;nc à un multiple de 12^,
suit à nii.., de sorte qu'on avait tDMJdurs

a(o) désignant une |)arlie de S(<)).

Ici, au contraire, nous aurons deux cycles évanouissant- 12o, 12., el deux
doigts simples At'cj, I23 ), A(£/v, 12!,) et l'on aura, (|uel que soit le cycle / .

/( el n'étant entiers, de sorte que AUa) s'exprimera linéairement en lonclimi
non plus dun. mais de deux iloigts simples.

Il peut arriver cpie l'un des cycles 12^ el 12!, qui correspondent aux deux
étr.inglemcnts soit lioniologue à zéro sur sa siirlace; soil. par exemple, 12.j ;
dans ce cas la surface S(£/i ) se décompose et le doigt simple A(£„, lia ) est alm-s
homologue à l'une des composanlosi de cette surface de Riemann. plus nne
région de S(o). C'est ce que nous avons vu plus haut.

Nous examinerons un dernier cas, c'est celui où le plan y = £/, coupe F = o
suivant une courbe |)résentant un point de reliroussement. Il arrive alors que
les cycles

-■-r>-

se changent en

I) o., Oj o ,

de sorte qu'il y a deux cycles évanouissants

(!t par conséquent deux doigts simples A(£t, 12,). A(£x, 12^) dont le doigt ^Uh)
sera une combinaison linéaire à coefficients entiers.

SUR LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES.

Formation des cycles.

Cela posé, reprenons le cycle K, menons les projetantes de ses différents
points et prolongeons-los jusqu'à la surface S(o). Ces projetantes engendreront
une variété W à trois dimensions. (^)uelles sont les frontières de cette variété?
Ce sera d'ahord le cycle K dont chaque point est l'extriMnitci de l'une des pro-
jetantes; ce sera ensuite une portion So(o) de la surface S(o); car l'autre
extrémité de chaque projetante se trouve sur celte surface. Mais ce n'est pas
tout; deux projetantes issues de deux |joints infiniment voisins pourront ne pas
rester infiniment voisines; si, par exemple, oj et w' sont deux arguments infini-
ment voisins, l'un plus grand, l'autre plus petit que celui de £/,, les projetantes
issues des deux cycles à une dimension (K, ',> ) et ( K, ',}' ) se sépareront et s'éta-
leront sur le doigi 1{ i^ i, di; sorte que ces doigts Ai £/, ) complélenl la frontière
de \A . .le ]iuis i|i>nr éerii'e

K ^ S.ioi y Al :/, 1.

A( :/, ) a pour fi'iiuliére ( K. - ) i K . m, o') ; S.j ( o) aura |)n\n l'ri)iitiéres

7 [l K. '■), o i — I K. fl. n' 1 I

de telle taçiui que la variété totale Sj( n ) -t-^Aù^") soit, comme il convient, une

variété feruiée.

Soil .1 l'inlégrale

/ ■ / ^ 1 ' i/.v fl \

.' J FT^

étendue à l\ . l'.lle sera éi;ale à l'iuli'giaie étendue à Sj(u) - >^A(-i). Étendue
à Sailli elle l'vi nulle. piii-i|iie. le long de cette surfiiee, r est eoiislant et que

,/.,-,/< «.

L'intégrale étendue à A(ca) sera une combinaison linéaire des intégrales
étendues aux diffiTcuts doii;ts simples corrcspoudants. intégrales r| ne nous avons
appelées^ (L, ).

L'intégrale .J e>t donc une coiiiliinaisou linéaire des intégrales y'i L, ), la
ligne L, étant telle que x^^y:=n. S^i. C est ce ihh' mous avions annoncé
dans un ijaragraphe antérieur.

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. 521

J'ai dit que la surface 82(0^ a pour frontière

^[(K, 0), o) — ( K, w. o'j],
de sorte i|ue

^ [1 K. M. o) — C K. '•). f>' 1] ~ n

sur la surface S(u). Supposons que les doigts sim|)les correspondant à ^(s/,)
soient ATea, î2iV A('£A,i2..) et soient î^ij et i^ les cvcjes correspondants de S(n).
Soit

on aura sur S(o )

doù

sur S(o).

linsi pour un cycle K de l'espèce considérée, mais quelconcfuc, on aura
toujours

(1) K ~ ?.,( o'i -f-^ 7?,- Al £/. Q; ).

S2(o) étant une partie de S(c> 1. //, mi entier et 12, un des cycles ét-a/iouis-
sanls relalijs à i/,; d'ailleurs les entiers «, et les cycles 12, ne devront /)as
être quelconques . car on devra avoir sur S(ii)

(2) V«,q;'~ii.

il" étant le cycle de S(()) qui correspond à ii/.

Mais nou> nous sommes jusqu'ici restreints au cas oiï le point jc^^o, de
même que le point )• = ce, correspondait à une région R,, par rapport à K,
c'est-à-dire où, pour aucun point du cycle C, on n'a ni )- = o, ni ^=^00. Les
cycles qui satisfont à celte condition pourront s'appeler de]n première sorte et
l'on voit que tout cycle de la première sorte peut être ramené à la forme (1).

Passons aux cycles de la seconde sorte, ce seront ceux où l'excès 2p — n
dont il a éti- question au paragraphe l^ du nombre des points pour lesquels
le déterminant A est positif sur celui des points où ce déterminant est
négatif, où cet excès, dis-je (constant pour tout le plan des }■ d'après ce c|ue
nous avons vu), est constamment nul. Je dis que tout cycle de 1;» seconde sorte
peut être ramené à la première.

il. P. - m. CG

!i>-i SIH LES l'KniOUËSi UliS INTEUHALtSi DOlBUtiS.

Supposons en effet qu'un cjcle K admelle a/i points pour lesquels^' =: o, et
que h de ces points soient tels que A> o et /( tels que A < o. Arcouplons ces
points deux à deux de telle façon qu'à un point tel que A ^ o soit associé un
point tel que A <] o. Soient M) et Mj un pareil couple de points. Entourons M,
sur le cycle K d'un (-ontonr infiniuienl petit C| ; soit D, 1m portion très petite
de R limitée par ce contnur. Définissonv de même autour tie Mo le contour C2
et le domaine D,; nous pourrons supposer que les valeurs de y correspon-
dant aux diff'érenls points de C, soient les niènies (jue celles qui corres-
pondent aux différents points de Co. Ces valeurs formeront alors dans le plan
des •)• un contour fermé très petit F entourant le point r = <i; je puis alors
imaginer un contour mobde C à une dimension el un douiame mobile 0 à
deux dimensions satisfaisant aux conditions suivantes ; 1° le contour C sera In
frontière de D; a" C el D vai'ieront d'une manière continue; ri" initialement C
et D se confondront avec C, et D,. et (inalenient avec C^ et D^; 4" les valeurs
lie j' correspondant au contour C seront sur le contour fermé très petit T.

Dans ces conditions. C engendrera une vari('té à deux diuiensions L , el I)
une \ariélé à trois dimensions W . La frontière compléle de ^^ se composera
de U, D, et Do. Car W est assimilable à un cylindre dont U serait 1a surface
latérale el Di «l |),j les deux lia>es: on aura donc

L ~ |l| 4- \),.

i\ où

K ^ K — I),— h, t .

Aussi nous |iouvons iciiiplacer K par K — D, — 0^4- L : ce c\cle a perdu
ainsi les deux points M , et M., el n'a gagné aucun autre point pour lequel )' = o,
car sur l la variable )• reste constamment sur le coiilour T. cpii ne passe pas
par i'r=o. En opérant de mèuie sur tous les auties couples de poinis, nous
ferons disparaître tous les points pour lesquels _)' = o. On ferait disparaître de
même tous les points pour lesquels y =^ x. de sorte que le cvcle se trouverait
ramené à la première sorte.

Restent enfin les cycles pour lesquels l'excès a/> — n n'est )ias nul. Le pre-
mier d'entre eux nous est fourni par la surface de Riemaiiii

où jCu est une constante quelconque.

Pour celle surface, en eiVet, l'excès en question est égal au degré de la sur-
face F = o, (pie j'appellerai id ; car à un point )■ = ,)o du plan des k çorrespon-

suit LES PÉniOPES DES INTÉGHALISS DOUIU.K». SaS

dront m points de In surface dont le ; sera donné par l'équalion

I'(-''o:.rO: =) = O.

(Dans cerlains cas parlicidiers, le degré de celle équalion en ; est plus petit
que celui de la suif'ace F = o; c"e>l alors le degré de l'équalioii en ; que nous
appellerons m.)

Pour ces III jiniuls le délerminani A esl positif; l'excès 2p — /; est bien
égal à ni.

Soit doni- K un cycle pour lequel cet excès soil égal à // et II le cycle ,/■ = x,,-

Alors le cycle niK — (j\l aura pour excès zéro; d sera donc de la deuxième
sorte elpouria êlrc ramené à la première.

Donc le cycle /» 1\ sera homologue ù (/ fois le cycle x = t„ |)1us un cycle de
la forme (i ).

Ici nous apercevons une des difTérences les plus importantes entre les résul-
tais ([ui ressortent de la. convention adoptée ici et de celle cjui était adoplée
dans le Mémoire cité. Considérons l'interseclion de la surface F =: o a\ec le
plan

el l'interseclion de la même surface avec le plan

I', = 2o.r -^ 'j-,y -:- Y-, - — Oj = o.

A ces deux courbes correspondronl deux surfaces de Riemann et, par consé-

cpieul. deux cycles à deux dimensions que j'appellerai Iv, cl Kj. .le dis qu'on

aura

h,~K,.

En ellet, considérons les intersections de F == o avec P,-|-/,P2=o, où 1 esl
réel et positif, mais varie d'ailleurs de o à co: les points de ces différentes inlei-
sections engendreront une variété ^\ à trois dimensions. Quelle' est la frontière
de W? Elle se compose des deux cycles K, et Ko, de sorte que

K,^ k,.

Il ne pourrait y a\oii' de doute (pi'en <'e qui coueern<' les points à l'iulini des

courbes

I- = l',-->,P, = (..

ce sonl des points de la surface de Riemann S(oo); à clia(jiu' valeur de t. cur-
respondent un nombre lini de ces points, de MUte (pie, qiiami "/ variera de o

S'il Sun i.KS l'ERioriES des integiialks dolulks.

à loo. ces points décriront une ligne à une dimension seulement ([ui ne sauiiiil
constituer une frontière pour W qui en a trois.

Ainsi le cycle K,, le cycle Ko sont homologues entre eux, homologués par
conséquent aussi au cycle S(o), ou au cycle S()) quel que soit _r, ou au
cycle .r = Xq.

Il n'en sérail pas île même avec la convenlinii du Mi'innire ciie, car pnur

P,=:^, par exemple, on pourrai! faire tendre :r ei i vei» I inlini el

en même temps '/ \ers zéro, de telle sorte que l*.^ tend vers l'infini el

— '/. p., = [', = ; tende vers une limite (iuie quelconque ; or avec celte convention

les points t ^ )• = oo, z- ^ z, el T = Y = 00, ;• = -lo seraient regardés comme

distincts et engendreraient une variété à deu.v dimensions que j"aj)pellerai Z

quand z, et Zj prendraient toute> le> valeurs possibles. Alors la Ironlnre de \\

se composerait non seulement de K, el de K-.. mais encore de /,.

On a donc alor-.

Jv,, ~ l\, /,.

Soient de même \ la variété à deux dimensions formée pai' lc>s |)iiinls nù ./■
est fini. ) et ; infinis, et ^ eelli' qui est luriiiee |iar les puiiils cm i csi Uni,
X el ; infinis: on aura alors

el

K2~\ ! ^ /..

el eetle lioinologie sera vraie |ioiir Ions les cycles K^ engendrés |)ar le^ points
satisfaisant à réquation Zj,/ -}- |J.j )• -|- '/l' ^ — o.j=u. à moins tjuf ileux drs
coefficients y.<. '}■.. /■• tir soient nuls à la fois, auquel cas le second menilire
devrait être remplacé par V 4- ^ si j:^=z!32=o, par \ -^ Z si :z_,= y^=:o,
par Y -f- Z si jSj = y., = o.

.le n'entrerai pas dans plus tie détails il ne rechercherai pas s'il y a une
liumiilogie entre \, ^ , Z, me contenlaiil di; laire remarfiiier que le evcle x = J'o
n'est pas homologue à S(o ).

Au contraire, avec la convention nouvelle, tous les cycles engendrés par le.s
points satisfaisant à une équalion de la forme

3.x -7- [iy ■—•;: = t

sont homologues entre eux et, en particulier, il en est ainsi de 8(0") et dti
cycle X = x„.

Nous devons loulefois faire observer que. pour certaines valeurs des eoeffi-
iiPllIs y.. 3. y. ;, le rxele y.X -|3l' + y;^=; peut se déeoin |io-it el ipie, en

SLR LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 0:'. J

particulier, la .siirlacc do Riemann S( )) peut se décomposer pour certiniies
valeurs de y.

Supposons donc (|ue la Mirt'ace .S(^ ))■, indécomposable pour la \aleur la plus
générale de )•, se décompose en S, (£/,) et So(£a) pour y = •/,. Il est clair qu'on
aura alors

S(J')^ S,(':/,)^- 82(5/,),

niai>< cpi'il un aui'a eu ^éui'i'al aucune lioniologle onire S,[i/,) et .S.j(£i); nous
avons vu d ailleurs qui! arrive alors ipie S,(£^) est homologue au doigt A(;/.)î
plus une portion de S(o).

VI. Homologies entre les cycles.

Vinsi tous iio> e\ eles peuvent >e ramener à S( 11) ou à unc_)cle de la lorme(^i).
Tous les cycles (pic 1 on peut loinier ainsi sont-ils distincts? Poule coud)inaison
de S((i) el de cycles de la lorme ( i) est elle-même une combinaison de la
forme (i) et, par conséquent, en tous ses points )■ est nul ou ajqiartlent à 1 une
des coupures. Est-il possible qu'une pareille combinaison soil homologue à
zéro? C'esl-à-dire existe-t-il une \ariété à Irois dimensions W doTil une pareille
combinaison forme la frontière complèlc?

Soit \\ une paredle xaricli'. soil ) „ une xaleur île r n ap|)artenanl pas à
l'une des cou|)iires: soit \\ (_)„) 1 ensemble des points de ^^ pour lesquels
)- = '>oi alors \\ ( )■()) formera une ligne ou variété à une dimension. Celle
ligne W ()o) peut-elle aboutir à un point d'arrêt? Non, car ce point darrèl
appartiendrait à la frontière de VV, ce qui est impossible, puisque, pour tous
les points de celle fronlière. )' est nul ou se trouve sur l'une des coupures et
ne |ieut, par eonséquenl, (Hre éi;al à )(,• A moins que ce point darrèl ne soit
1 un des /// |iiiints eommnus à loutes les siirlace> de Riemann S( )) el (iiil vont
donnés, cuniine nous l'axons \u plus liaul. par l'écpialion

l'',„( ./■. n. Z) = o.

St)lenl (^i, (^j. . . . , ()„, ces /» points.

iin.si. W ( )|| ) st' (oiiiposera de cycles fernics et de li^'/ies allant de l'un
des points () i( lin autre.

La llgnj' W ( 1(1 ) apparlieni à la surface S( y,, ): considérons sur la surface
S(i"|) les points qui eorrespomlenl à ceux de W(i|)) en veilu de la lui de cor-

Ô2& SUn LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

respondance adoptée plus Iiaut; soil W()-(|, j/-,) l'ensemble de ces points. Je
dis que lu ligne \^ (,>o..;)'i) l'estera toujours homologue à elle-même sur la sur-
face S( )-,) quand r, restant constant on fera varier Vo- Si en ellel )o varie
d'une façon continue, W(>'o) et par conséquent W( )o, ,^'^) varieront d'une
façon continue, sans quoi le W(j'o) pour lequel une discontinuité se produi-
rait devrait ap|)arienir à la frontière de W.

11 résulte de là par exemple que, s'il y avait des valeurs de y pour lesquelles
W n'admette aucun point, W(ro) y^) devrait être constamment homologue
à zéro sur S(j)i) et que, par conséquent, il en sera de même de ^^ ( To ) sur

S(jo).

De quoi va alors se composer la frontière de W? Lorsque i,, approchera
d'un point r, de l'une des coupures, la ligne W(_}o, .)i), toujours homologue à
elle-même sur S()-,), tendra vers W(r,, i,) et W( )„) tendra vers W(r/), de
telle façon que W (r,. _Vi) soit le lieu des points de •S( )•,) qui correspondent
aux diffiTcnls points de \^ (r,) sur S(r/). Quand maintenante^» approchera du
même poini p;ir raulre lèvre de la coupure, la ligne W()'o, J'i) tendra vers
W(-/','. )-,) et la ligne \\ ( Iq ) tendra \i'rs ^V(r,'). En général. \V(r,) ne sera
pas homologue à W(r/), car les poinis de W (r/, )',"> sont les points de S( )',)
qui corres|)ondent à ceux de W(yî) considérés comme appartenant à S(r,);
les points de W(r/, y,) sont les points de S(j'i) ([ui correspondent à ceux de
AV(r/) considérés comme appartenant à S(r/). Alors, bien que ^^"(v), _)-,)
soit liomologLic à ^^ (r/, )■, ) sur S(y,), il n'en résulte pas que \V'(r)) soit
homologue à W (r/) sur S(ri).

I-a frontière de \\ sera alois engendrée par les cvcics

\\ ( r, I — W l'ï,' I

quand DU lait décrire successivement à // toutes les coupures. Quand ou fera
vaiier r, depuis d jusc|uà Z/, le long de la coupure Osa, le cycle W (r)) — W(r)'),
(|ui devra s'évanouir pour/, = :/,, engendrera un doigt A(£a). La frontière de W
esl donc bien un lAclc de la forme (r).

Combien pouvons-nous obtenir, de cette façon, d'homologies entre les cycles
de la forme (i)?

Tout dépond de l'hypothèse faite au sujet de la ligne W [y^. y,). Il esl clair
<(ue, si l'on remplace cette ligne par une autre (|ui lui soit homologue sur S( ),),
les deux honudogies cpie l'on obtiendra ainsi ne seront [)as distinctes.

La ligne W ()•„. )|) pourra se composer de l'un des i/i c\ clés de la surface

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES UOl DLES. 5^7

de Riemami S( >i), un (l'une ligne allant sur celle surface de i), à lun des
//( — I autres points Qj. (^3, . . ., Q,„, ou d'une combinaison de ces lignes:
aucune autre livpollièse n'est possible. D'ailleurs, si l'on envisage deux lignes
allant de Qi à Qj, il suffira de considérer la première, car la réunion de ces
deux lignes formerail un cvcle. Cela nous fait donc en tout 2/'+ m — • 1 liomo-
logies.

Ces homologies sont-elles toutes distinctes? Si le c\cle

W(-0-W(-r,')

est homologue à zéro sur S(r,) et cela sur toutes les coupures, il est clair
que l'homologie correspondant à ^^ se réduit à une identité. En effet, dans
ce cas, les doigts A(£^) qui figurent dans le premier membre de l'homologie
S((^o)-(- 7 Ai£a)^^o sont iiomologues à zéro, plus une portion de S(<i); il
reste donc S|(o)'^ o, S| (o) étant une portion de S(o); mais, comme une variété
ne peut èlro iiomologue à zéro sans être fermée, cette homologie doit se réduire
soit à une identité, soit à S(o)r^(j. Cette dernière liv|)ollu'se doit être rejetée
puisque S(u) n'est pas homologue ù zéro. Si l'on peut former ainsi q homo-
logies se réduisant à des identités, il n'\ aura plus que

■>.p -4- m — q — 1
homologies distinctes.

Si W(j-||) est un cvcle. il faut que \\ (v/)'^ \N ro ), c'est-à-dire (jue le cycle
ne soit pas altéré quand )' tourne autour du point singulier cyj et qu'il en soit
de même pour tous les autres points singuliers. Il faut, en d'autres termes, rpie
\\ ( Ko) soit ce que nous avons appelé, dans le Mémoire cité, un cycle inva-
rniiil', nous aurons donc d'abnril autant il iidumlo^^ie-. identiques que de c\cles
invariants, c est-à-dire. li'après le Méinoire cité, autant que de cxcles à trois
dimensions, ou encore autant que de c\cles à une dimension.

^ en a-t-il d'autres? Supposons que la ligne W(j'|,) aboutisse à un point Q,,
considérons la portion d(> la variété à quatre dimensions V voisine de Q, ;
soit M un [Hiint de \ inliniment voisin de (J,; soit H le plan tangent à la
variété V au point Q, ; ce sera une variété plane à quatre dimensions apparte-
nant à l'espace plan à plus de quatre dimensions, dans lequel nous supposons \
tracée; la droite MQi, si les deux points M et Q, sont infiniment voisins, sera
dans le plan II. Portons alors sur la droite MQ, une longueur égale à i à partir
de Qi et soit IKAIi le point ainsi obtenu; les points HfM) appartiendront à
l'hypersphère de rayon 1 et de centre (^|, (ui |iliilôl à rinleisect Ion de celle

028 SUR LES PKKIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

h}pers[jlière et du plan H, iiilersection que j'appelle J et qui est une Miriélé
hvperspliérique II à trois dimensions. Si deux points M et M' sont de part et
d'autre de Qi, de telle façon que les deux droites MQ, et Q, M' soient dans le
])rolongenienl l'une de l'autre, les deux points H(M)el H(M') seront diamétra-
lement opposés sui- J.

Considérons maintenant les points M de \\ (|ui sont 1res voisins de Q,;
ic^ 11(^1) Correspondants engendrei-ont une vaiiété à deux dimensions H(W)
située sur J; considérons de même les points M très voisins de Qi et lels
que )■ = )ol les 11(^1) correspondants engendreront une variété à une dimen-
sion Il(ro) située sur J. Enfin les |)oints de ^^ ( )'o) donneront des ll(M) en
nondjre fini el dont l'ensemble pourra s'appeler ll(\\ ,1,,). !^i alors un point
appartient à H( )„), il en sera de même du point diaméiralement opposé.

Au contraire, si un poinl appai-lient à II ( W . )i, i, il n'en sera pas de même
du point diamétralement oppost', puis(jue par lixpolhése la ligne \\ ( (i, )
s arrête au poinl Q) et ne se prolonge pas au delà. Donc, si un point appartient
à H(W), il n'en sera pas de même du point diamétralement opposé, sans quoi
nous aurions deux |)()ints diamélialemenl opposés sur un même ll(\\ , ) „ 1-

Si la ligne Wf),,) doil mius conduiic à une honiologie >e réduisani à une
identité, nous venons de voir(|ue\\ (r/i doit être homologue à \\ (^r,' ) sur S(r,).
.le puis sans restreindre la généralité supposer que \\ (r,) est non seulement
liomologue, mais identique à \A (r/). Si, en effet, il en était aulremenl. soit
C(r/) la portion de S(ï)) limitée par le evcle W (r,) — \\ (r; ) homologue à zéro.
Soit P(îa) la variété à trois dimensions engendrée par C(rj ) quand r, varie de
zéro à £a en sui\anl la coupure: elle est limitée p>ir l'ensemble des cveles

W(-o)-W,-r,')

(pii la séparent de W , r[ par Ci O. J/, ). en désignant par C( O, £/,) la limite vers
huiui'lle tend (j(y, ) ipiand /, Icnd xers /éro rn suivant la coupure Oc/,. Il est
clair (jue C(0, ca) esl une |kii tion de .S( o ).

Envisageons alors la variété à trois dimensions

où la sommation indiquée |)ar le signe ^ est étendue aux dillérenles coupures.
La variété W a\ait |)our Irontiére l'ensendjle des cveles

W I r, I— \\ I r/)

SUB LES PÉRIODES DES INTÉGHALES DOUBLES. Sag

plus une partie de S(o), la variété VP(ea) avait pour frontière l'ensemble des
cycles W(yj)— W(r/) plus VC(0, et) qui est une partie de S(o). Quand

nous annexons les deux variétés l'unu à l'autre, la partie commune do la fron-
tière disparait, de sorte que la frontière complète fait partie de S(o). Comme
cette frontière complète doit être une variété fermée à deux dimensions, ou

bien elle se réduira à zéro, de sorte que W + 'Vp(£;,) est une variété fermée,

ou bien elle sera la surface S(o) tout entière, ce qui est très possible puisque
cette surface n'est pas homologue à zéro.

Ainsi, \V+^P(£a) est une variété /ermée à trois dimensions: il est vrai

qu'elle présente une circonstance toute particulière, puisque pour certaines
valeurs dey, à savoir les valeurs )• = n, les points de celte variété pour lesquels
)/- = r, forment non plus une ligne, mais une variété à deux dimensions C(rj).
Mais il suffit de déformer infiniment peu notre variété pour faire cesser cette
circonstance gênante. Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité, sup-
poser que W est une variété fermée et, par conséquent, que W(r;) est iden-
tique à W(r/).

Alors H(W) est une variété fermée; supposons d'abord que Q, soit l'extré-
mité d'une des branches de la ligne W(yo) et n'appartient à aucune autre
branche de cette ligne; il suffit évidemment que cela ait lieu pour une valeur
de yo pour que cela ait lieu pour toutes. Dans ce cas H(\V ) a un seul point
commun a\ec H( )•„); ce sont deux variétés fermées l'une à deux, l'autre à une
dimension tracées sur l'hypersphère H. Si elles n'ont qu'un point commun,
c'est (ju'elles ne sont ni Tune ni l'autre homologues à zéro sur II; or cela esl
absurde puisque H esl simplement connexe.

Prenons un cas plus général; chacune des branches de W(j-q) peut être
parcourue dans deux sens opposés; nous distinguerons donc un sens positif et
un sens' négatif. D'autre part nous attribuerons un signe à l'intersection de
H(W) et de H(j'o) [d'après le signe d'un certain déterminant ainsi qu'il a été
expliqué dans VAnalysis sitiis (Journal de l'Ecole Polytechnique, a'" série,
I''' Cahier, p. 33 et suiv.)]. Supposons donc que p branches de W {yo) abou-
tissent à Q, de façon que Q, soit à \n fin de la branche quand on décrit cette
branche dans le sens positif, et n branches quand on décrit la branche dans
le sens négatif.

Alors H(W) et H(j-„) admettront j) intersections positives et n négatives.
H. p. — III. G7

53o SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

Ou bien alors l'excès p ■ — /; ne sera pas nul, ce qui est impossible parce qu'on
pourrait avoir H( W) ^^ o sur H et que H est simplement connexe; ou bien cet
excès sera nul et alors la ligne W( Jq) pourra être remplacée par une autre ne
passant pas par Q,.

Il est donc impossible qu'il existe une variété \V satisfaisant aux condilions
énoncées; il n'y a donc pas d'autre homologie identique que celles que l'on
déduit des cycles invariants.

En résumé, soit N le nombre des points singuliers £|, £2, •••) en tenant
compte du degré de multiplicité, un de ces points pouvant être doidde par
exemple s'il correspond à deux cycles évanouissants.

Soit 2p le nombre des cycles de la surface de lliemann .S( )■).

Soit m le nouijjre des points tels que Q,, Q^, ....

Soit g le nombre des cycles invariants de S( j), ou, ce qui revient au même,
le nombre des cycles à une ou à trois dimensions de F(o).

Nous aurons N doigts, tous nos cycles seront des combinaisons de la foruie ( 1 ),
c'est-à-dire des combinaisons de ces N doigts et de S(o); mais toutes les com-
binaisons de ces N -|- i variétés ne conviennent pas; elles doivent satisfaire à la
condition (2); celte condition, puisque S(o) admet 2/1 cycles, équivaut à 2p
conditions simples. 11 reste ainsi N -)- i — 2/1 cycles.

Mais ces cycles sont liés par des honiologies, engendrées par les dillérentes
lignes W(>'o) possibles; il y en a 2/) provenant des 2/> cycles fermés qu'on
peut tracer sur S()'o); '1 J eu a /;( — i provenant des m — 1 lignes qui vont
d'un point Q à un autre point Q. .Si ce» 2p -+- m — 1 honiologies sont distinctes,
ce qui arrive en général, il reste

-M +2 — fip — m

cycles à deux dimensions distincts. Mais il y a r/ liomologies identiques, il y a
donc finalement

( 3 ) N + 1/ H- -i — ;1 /' — //'

CAcles à deux dimensions.

VII. — Application aux surfaces du troisième degré.

Appliquons ces principes à la surface du troisième degré. Daus les para-
graphes précédents, un rôle essentiel était joué par les surfaces de Riemann
S(i') correspondant aux inlcrseclionsde la surface F = o avec le |i]au )'=eonsl.

SVR LIÎS PliniODES IIF.S INTK(;nALES 1)01 «LES. 53 1

Si nous prenons les coordonnées lioniogènes

X, y, s, f,

ces plans )■ = con^t. passenl |)iir une droilc fixe située à l'infini et c|iii a pour
équations )• = < = o. On ponirail ré|)i'ti;r la même analyse en taisant jouer le
rôle de cotte droite )- ^ < ;= o à une droite (quelconque D, et le rôle des sur-
faces S(jk) aux surfaces de Riemann corresjiondant aux intersections de F= o
avec les plans passant par D.

Cela revient à faire un changement de coordonnées télraédriques en prenant
cette droite D pour l'une des arêtes du tétraèdre de référence. Tout étant pro-
jeclif, il est clair que le résultai doit rester le même quelle que soit la droite IJ,
el l'on en comprendra d'ailleurs mieux les raisons en se reporlant à ('e (pu a été
dit aux paragraphes 'i et 3.

L'application de la formule (3) doit conduire au même nondjre de cycles à
deux dimensions, de quelque façon que soil choisie la droite D.

Mais, si ce résultat est certain a priori, il conduit à quelques paradoxes
apparents el il est inléiessant de voir par quel mécanisme se tait la compen-
sation. M. Picird, en éludianl une surface du troisième degré parliculière, sur
laquelle nous reviendrons, avait déjà mis en évidence certaines propositions
paradoxales, dont il avait donné l'explication.

Dans la formule (3), le nombre q représente le nondjre des cycles linéaires.
Ce nombre est évidemment indépendant de la droite D. Il est d'ailleurs nid,
comme l'a montré M. Picard, pour \n surface du troisième degré.

Le nombre N est le nombre des plans tangents que l'on peut mener à la sur-
face par la droite D. Ce nombre est égal à 12 dans le cas le plus général.

Le nombre p est le genre de la courbe, interseclion de F = o par un |)lan
passant par la droite D; il est égal à i .

Les points Q,, Q.,, . . . sont les intersections de la surface F = o el de la
droite D; le nombre m est le nombre dv ces intersections. Il est égal à '.i dans
le cas général. On a donc, dans le cas général,

rj = o, N = ri, /; = I, /)! = i

et, pour le nombre de cvclcs,

N -h (/ -^ ■>. — \}i — m = 7.

Supposons maintenant (pie la surface !<" = o, restant toujours la plus géné-
rale, la droite D prenne des |posil ions particulières.

532 Sun LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

Supposons d'abord que la droite D devienne tangente à la surface; deux des
plans tangents menés par D se confondront et N se réduira à 1 1, mais deux des
points d'intersection de D se confondront et m se réduira à 2. Le nombre

N -h ^ -i- 2 — I /< — III
ne changera pas.

Supposons maintenant cpie Tun des plans tangents menés par D coupe la
surface suivant une courbe préseninnt un point de rebroussement; ici encore
deux plans tangents se confondront, mais il faut tenir compte du degré de mul-
tiplicité. Or nous avons vu que, dans le cas d'un rebroussement, il y a deux
cycles évanouissants et que, par conséquent, le plan langent doit être regardé
comme double; le nombre N reste donc égal à 12.

La surface F = o contient vingt-sept droites que nous appellerons les

'f

pt aroites que nous appc

droites A. Supposons que D renconlre l'une des droites A. Le plan de D et
de A coupe la surface suivant la droite A et une conique; c'est donc un jdan
tangent double avec deux points de contact distincts.

Le nombre des plans tangents distincts se réduit donc à 1 1 , mais ce plan DA
doit être regardé comme double; il n'y a, il est vrai, qu'un seul cycle évanouis-
sant, mais la ccuirbe se décompose; cela fait donc deux doigis simples, l'un
engendré par le cycle évanouissant, l'autre homologue à l'une des composantes
de la surface de Riemann, donc I\ reste égal à 12.

Les divers plans menés par A coupent la surface suivant des coniques;
deux de ces coniques touchent la droite A. Soient P, et Pj les plans de ces
deux coniques et supposons que A soit dans le plan P,. Alors trois de nos
douze plans tangents se confondent, les deux points de contact du plan lan-
gent DA, qui étaient distincts et équivalents à deux points doubles à tangentes
séparées, se confondent en un seul, équivalent à un point de rebroussement.
Nous avons cette fois deux cycles évanouissants, cela nous fait trois doigis
simples dont deux correspondent à ces deux cycles et un est homologue à l'une
des composantes de la surface de Riemann (composante relative à la droite, ou
bien à la conique); donc le plan tangent P, doit être regardé comme triple et
N reste égal à 12.

Ainsi voilà trois cas où le plan tangent correspond à deux, deux ou tmis
plans tangents confondus : ce sont ceux où ce plan coupe la surface suivant
une cubique à rebroussement, suivant une droite A et une conique qui la
coupe, suivant une droite A et une conique qui la touche; nous venons de voir
que ce plan doit être alors regardé comme double, double ou triple. Mais il

SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. 533

peut arriver que, dans l'un de ces trois cas, la droite D passe par le point de
contact, c'est ce qui arrive respectivement si D touche la surface en un point où
l'indicatrice est parabolique, si D coupe A en un point où cette droite ren-
contre la conique intersection du plan DA et de la surface F = o, si 1^ coupe A
au point où cette droite touche la conique intersection de D A et de la surface.
Lo plan tangent correspond alors à trois, trois ou quatre plans tangents con-
fondus, et il reste double, double ou triple; le nombre N se réduit donc à 1 1,
mais, comme D touChe la surface, le nombre m se réduit à 2, de sorte que la
différence N — m et le nombre des cycles

N -- y — ■?. — f\p — m
ne changent pas.

Si la droite D est une asymplole de Tindicalrice en un point de la surface, le
plan tangent correspondant équivaut à trois plans tangents confondus; donc
N se réduit à 10, mais, d'autre part, D coupe la surface en trois points con-
fondus, de sorte que m se réduit à i et que la différence N — m ne change pas.

[1 peut se faire que, parmi les plans tangents menés par D, il y en ait deux
ou plusieurs qui présentent séparément l'une des singularités que nous venons
d'étudier; rien n'est à changer alors à ce qui précède. 11 peut arriver enfin que
par la droite D on puisse mener un plan qui coupe la surface suivant trois
droites A, qui soit par conséquent triplement tangent à la surface. Ce plan cor-
respondra à trois plans tangents confondus. Quel est son degré de multiplicité,
c'est-à-dire le nombre de doigts simples auxquels il correspond? 11 n'y a qu'un
cycle évanouissant, mais la surface de Riemann S(ca) se décompose en trois
parties S,(si), 'S^i'^k)-, ^i{^k) correspondant aux trois droites. Nous aurons donc
trois doigts simples, le premier engendré parle cycle évanouissant, le deuxième
homologue à S|(£/;) plus une partie de S(o), le troisième homologue à 82(6^)
plus une partie de S(o). Le cycle qui serait homologue à 'ii{tk) plus une partie
de S(o) n'est pas distinct des précédents, car, toutes les surfaces 'S( j) étant
homologues entre elles, comme nous l'avons vu, on a

Si(s/.) + S,(c/,) + S3(a/,)~S(o),

de sorte tpi'une combinaison de nos trois doigts nous ramène au cycle S(r)).
En résumé, ce plan triplement tangent, qui équivaut à trois plans tangents
confondus, a pour degré de multiplicité .3, de sorte que N reste égal à la.

Il nous reste à examiner le cas où D est l'une des droites A. Alors D ren-
contre dix autres droites A, que j'appellerai A, et B,, Ao et Bo, A, et B3,
A4 et B4, As et Bj.

534 SUR I-ES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

Les droites A, et B, se rencontrent quel que soit i et il n'y a pas d'aiilrc ren-
contre entre les droites A et B. Par D on peut mener cinq plans tangents qui
sont les cinq plans DA,B/; que sont devenus les sept autres plans tangents?
Soit D' une droite très voisine de D; par D' nous pouvons mener douze plans
tangents, dont cinq tendront vers les cinq plans 1)A,B,; vers quelles limites
tendront les sept autres et les points de contact correspondants? Parmi les
plans menés par D, il y en a deux P, et P^, qui coupent la surface suivant la
droite D et une conique qui la touche. Eh hien, deux plans tangents tendront
vers P, et deux vers P.j.

Il reste à voir ce que deviennent les trois plans tangents restants. Soient M, ,
M„, M!j les trois points d'intersection de D' avec la surface; quand D' tendra
vers D, ces trois points tendront vers trois |)oints M,. INIj, M^ de i); eh hien,
les points de contact des Iriiis plans tangents restants tendront vers M,, M._,, M3.

Quant aux cycles à deux dimensions correspondants, voici ce qu'ils
deviennent. Considérons d'abord un plan tangent qui, à la limite, se réduit au
plan A,B,D; la surface de Iliemann correspondant à l'intersection de ce plan
et de la surface se décompose à la limite en trois parties correspondant aux
trois droites A,, B,, D; le doigl correspondant est à la limite iiomologue à
l'une de ces trois parties, par exemple à la surface de Riem.inn corresjiondant
à la droite A, et que j'appellerai S(A/). ^'oilà donc déjà cinq de nos sept cycles
correspondant aux cinq surfaces de Riemann S(A|), S(Ao), . . ., S( A:,). Les
sept doigts correspondant aux sept autres plans tangents nous fourniront à la
limite, pai- leur> combinaisons entre eux et av(^c S(o). un seul cycle nouveau
(pii sera la surface de Riemann .S(l)); celle notation S(A,), S(D) ne peut
engendrer aucune confusion avec S( j), puisque A, et D sont des droites et y
une quantitt'. Il nous reste un dernier cycle qui est S(o), mais

S(<))~ S(D)-+-S(A,)-t-S(li/),

puisque S(o) est homologue à la surface de Riemann correspondant à l'inter-
section de la surface avec un plan (pielconque, et que, quand ce plan -est le
plan l)A,B,, cette surface de Riemann se décompose en S(l)), S(A,), .S(B,).
lui conséqueuee, tons les cycles à deux dimensions de F := o sont homo-
logues à des combinaisons des sept cycles suivants :

S(n), S(A,), S(A,), S(A;,), S(AO, S(A5), S(B,),

qui ne sont antre chose que des surfaces de Riemann correspondant à sept des
vingt-sept droites A.

suit LES PÉRIODES DES INTEGRALES DOUBLES. 535

Quelques mots mainlenani sur les interseclions muluelles de ces eycles ;
quel est rexcès du nombre des interseclions positives sur celui des intersec-
tions négatives, en ad<)|)tant le point de vue du paragraphe !J de V .■tii(tl]sis
silus (Journal de l' Ecolr Pulytecluiique^ 2' série, I" Cahier, p. 33)? Si nous
considérons deux surfaces de Riemann S()'| ) et ^{y-^), cet excès sera évidem-
ment 3; si nous considérons deux surfaces de Piiemann S(A, ) et SfAn) corres-
ponilanl à deux droites A, cet excès sera 1 ou zéro, siii\an[ que ces deux droites
se rencontreront ou non. Si nous considérons deux cycles K, el K-.. , nous
représenterons cet excès par \(K|, K^); si alors

i\,~K,, k,~k:,.

on aura également

\( K,. K,) = rS(K'|. Ko).
Si maintenant

K.. ~ n„ S( l> I + 1/1, S( -V, ) -+- //,■, S( I5| ).
il viendra

N(K,. k,) = «„ÎV[K,, S(D)1- i:«,N(k,. S( A, )] ^ »,; !\'[ K,. S(B,)],
d'où cette conséquence que la connaissance des sept excès

i\[K,. S(,D,)|. N[l\,. ^( A,!]. >[l\|. S(I5,)]

suflit pour déterminer N(K|. Ko), K2 étant un cycle quelconque.

Soit, en particulier, K| = S(A,), K.j=.S(A2)5 -^1 et A^ étant deux quel-
conques des vingt-sept droites A; nous voyons que la connaissance du nombre
des points d'intersection de A, avec D, les A; et B| suffit pour déterminer le
nombre des interseclions de A| avec une droite quelconque Aj, c'est-à-dire
j)our déterminer complètement la droite A,.

C'est, en effet, ce qu'il est aisé de vérifier; une des vingt-sept droites sera
complètement déterminée quand on saura si elle rencontre une autre des vingt-
sept droites choisie au hasard D, et aussi si elle rencontre cintj autres des vingt-
sept droites qui rencontrent D sans se rencontrer entre elles.

On sait que les surfaces du troisième degré sont unicursales. Si en effet on
'prend deux des vingl-sept droites A qui ne se rencontrent pas, soient D et D';
quDn |)renne un point M sur D et un point M' sur D' ayant pour abscisse, par
exemple, le premier «, le second r, la droite MM' rencontrera la surface en un
troisième point M, dont les coordonnées sont des fonctions rationnelles de u et
de V. De cette circonstance découlent des conséquences paradoxales sur les-
quelles M. Picard a déjà appelé l'attention.

Si les valeurs de (/ et r correspondent à l'une des droites A,, Ao, A.i, A.,, A-,

536 SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

qui rencontrent à la fois D et D', la droite MM' est toul entière sur la surface et
les coordonnées du point M, deviennent indéterminées.

Si maintenant nous prenons un point M| sur la surface, les deux plans M, I)
et M| D' se couperont suivant une droite déterminée MM', les points M et M'
seront donc déterminés et, par conséquent, a et c seront fonctions rationnelles
des coordonnées de M|. Si cependant le point M, était sur la droite D, le
plan M| D ne serait alors autre chose que le plan tangent en M, et ce (jui pré-
cède subsisterait.

Le lieu des points ;< = oo est une conique C qui coupe D' en deux points et
le lieu des points i = ao est une conicpie C qui coupe D en deux points.

Reprenons maintenant la variété V à quatre dimensions engendrée par la
surface F = o; et sur cette variété un cycle K fermé à deux dimensions et non
homologue à zéro. Soit W l'espace plan à quatre dimensions engendré par les
deux variables complexes u, r; on pourrait d'abord être tenté de dire que, la
surface étant unicursale, \ et W doivent être homéomor|)hes, qu'à tout cycle
fermé K de V correspondra un cycle fermé K' de W; que, tous les cycles
fermés de W étant homologues à zéro, il doit en être de même de tons les
cycles fermés de V; ce qui serait contraire aux conclusions ([iii précèdent. Les
découvertes de M. Picard nous ont d'ailleurs depuis longtemps mis en garde
contre un pareil raisonnement.

Le c^'cle K, en efTet, peut rencontrer l'une des droites A, ou l'une des
coniques C ou C. S'il rencontre C, par exemjjle, le cycle correspondant K' ne
sera plus fermé, mais présentera un pointement à l'infini, ainsi que l'a signalé
M. Picard.

Supposons maintenant que le cycle K' soit fermé et, par consé(juenl, homo-
logue à zéro dans l'espace W. S'ensuivra-t-il que le cycle fermé correspon-
dant K soit iiomologue à zéro sur \ ? Pas du tout. 11 y a dans l'espace W
cinq points auxquels correspondent une infinité de points de la variété ^ ; ce
sont les points « = «,, i' = i', qui correspondent aux cinq droites A,; nous
avons vu en effet que, pour ces valeurs de u et r, les coordonnées de M, sont
indéterminées. Supposons alors que le cycle K' passe par l'un de ces points h,,
c,; étant homologue à zéro sur W, il limitera un domaine à trois dimensions
de cet espace. Mais considérons un point N de R et supposons que ce point se
rapproche indéfiniment de «,', c, qui est sur la frontière de R. Soit M le point
de V qui est le correspondant de N; quand N tendra vers Uj, c,, le point M
tendra vers un point de la droite A, et ce point pourra occuper une position

SI R I.ES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. 537

quelconque sur celle droite, suivant la façon dont N tendra vers «,, f,. Soit R'
un domaine à trois dimensions de V correspondant a R; sa frontière complète
se composera non seulemeni de K. cvcle de V correspondant à K', mais de la
surface de Riemann S (A,); car, quand N se rapproche de la frontière de R, le
point correspondant M se rapproche, soit de K si N tend vers un point de K'
autre que Ui, c,, soit d'un point quelconque de S (A,) si N tend vers «,-, Vj.
Donc K. n'est pas homologue à zéro.

Dans la variété W, on doit considérer comme distincts les points h =: oo,
f = c, et iiz^oo, (-'=('._,, de même que les points u^u,, c = » et u=Uj,
1^ = 00, puisque à ces points correspondent des droites AIM' distinctes. On doit
donc adopter, au sujet des points à l'infini, non la convention du Mémoire
actuel, mais celle du Mémoire cité. Il en résulte que les deux surfaces de Rie-
mann u = const. et c = const. ne sont pas homologues entre elles. D'où cette
conclusion : les cycles K' de W qui sont tout entiers à distance finie sont
homologues à zéro; mais si l'on tient compte de ceux r[ui s'étendent à l'infini,
il y en a deux qui non seulement ne sont pas homologues à zéro, mais sont
indépendants; ce sont justement ces deux surfaces de Riemann a = const. et
f = const.

De plus, parmi les c^'cles K' homologues à zéro, il y en a qui ne corres-
pondent pas à des cycles K homologues à zéro : ce sont ceux qui passent par
l'un des points m,, r, et cinq de ces cycles doivent être considérés comme dis-
tincts, puisqu'il y a cinq points m,, r,. Nous retrouverons donc bien nos sept
cycles distincts et la conciliation est complète avec ce qui précède.

Un mol encore sur une circonstance qui peut se présenter pour certaines
surfaces du troisième degré particulières; il peut arriver que trois des droites \
que j'appellerai A,, Aj, A3, soient dans un même plan tangent P et passent par
un même point M. C'est ce qui arrive en particulier pour la surface de

M. Picard

x-'-^y' — z-= I.

Si alors la droite D par laquelle doivent être menés les plans tangents se
trouve sur le plan P, quatre des plans tangents menés par D se confondront
avec I*, de sorte que nous n'aurons plus que neuf plans tangents distincts au
lieu de douze.

W faut voir à combien de doigts distincts ce plan correspond. Pour nous en
rendre compte, prenons la surface de Picard et coupons par exemple par les
plans z = const. ; la droite D étant alors la droite à l'infini qui est l'intersection
H. P. - III. 68

53S St'B LES PERIODES DES INTÉGRALES DOUBLES.

comniuiii.' de tous ces plans ; ^ consl. La courbe d'interseclion esl

x'^-h y^ = I — 3'',

où ; esl regardé comme un paramètre. Les deux cycles sont des combinaisons
de lacets tracés dans le plan des x et enveloppant les trois ])oints singuliers

3/ — 3 . 3 .,

X = y/\ — 3-, .r = 3 \ I — ;•. .r = e- ( I — s-,

£ étant une racine cubique de l'unité. Pour ; :^ i, ces trois points singuliers se
confondent avec O, les lacets se réduisent à un point et il en est de même des
cycles, les deux cycles sont donc évanouissants.

De plus, pour :^i, la courbe se décompose en trois droites A,, Aj, A.^ ;
donc, entre les deux doigts provenant des deux cycles évanouissants, nous en
aurons deux autres homologues à S(Ai) et 8(^2); je ne parle pas de ^(Aa) qui
n'est pas distinct des précédents puisque

S(A,;^ S(A, l + S(A;,)~ S(o).

Ainsi ce plan tangent quadruple donne naissance à quatre doigts distincts. Le
nombre N n'est donc pas altéré.

Supposons enfui que la surface présente un point conique II; dans ce cas,
six des droites A, comptant chacune pour deux, passent en H; je les appellerai
A|, A2, . . . , Ao ; il y a quinze autres droites qui sont dans les quinze plans
déterminés par les six premières. Le nombre des cycles Iv se réduit alors à 6;
(m peut le voir de trois nuuiières :

1" Nos sept cycles ^(D), S(A,), S(0) du cas général se réduisent ici
à S(A,)(/^ ',2, . . . , 6) et S(o), parce que, si l'on piend pour la droite I) la
droite A,, les droites A, ne sont autres que les ciu(| autres droites A, : or, les
droites A, forment l'intersection de la surface avec le cône langent au point H
qui est du second degré. La surface de Riemann correspondant à l'intersection
de la surface avec une quadrique quelconque est homologue à 28(0), on a donc

l'homologie

£S(A,)~2S(o),

de sorte qu'il ne reste que six cycles distincts.

2° Si la droite D esl (|uelconijue, deux des plans langeais menés par D se
confondent avec le plan UH, de sorte que les nombres N, p et m deviennent

égaux à I 1 , 1 , 3 et que

1\ + 2 — \p — «( = (j.

SUR LES PÉRIODES FJES INTÉGRALES DOl'llLES. ÔSg

3" Si la dioiie I) |)abse par H, un plan ([uelconque mené par I) coupera la
surface suivant une conique, et celle conique se décomposera en deux droites,
quand ce plan passera par l'une des six droites A, ; on a donc N = (i, la conique
étant unicursale p =ro, et D coupant la surface en deux points distincts in=:2;

on a donc

N + 2 ^ 4/* — "' = ^•

l*lus généralement, quand une surface acquerra un point conique, le nomlire
des cycles à deux dimensions diminuera d'une uniti'. Soit, en ellel, I' le point
conif[uc, et supposons d'aijord que la droite I) ne passe ])as par ce point, le
plan PD devra être regardé comme un plan tangent, qui comptera pour deux
plans tangents confondus, mais pour un seulement au point de vue de l'évalua-
tion du nombre N. Le nombre N se changera donc en N — i et les autres
nombres ne changeront pas.

Supposons maintenant qu'on fasse passer la droite D par P; les points de
contact de la surface avec les plans tangents menés par D sont les intersec-
tions de celte surface avec une certaine courbe gauche, et cette courbe coupe
la surface au [)oint P, non plus en deux, mais en six points confondus; de plus,
ce point P ne comptera plus dans l'éxaluation du nomln-e N puisqu'il n'v a plus
de plan PI). Dune N se changera, non plus en A — i, mais en N — 6.

D'aulrr part, le genre /> d'une se<'tion faite par un plan quelcoutpie mené
par I) se change en p — i puis<[ue toutes ces sections admettent un |)i>int
double. I^e nombre /n des intersections distinctes de D avec la surface se change
en m — i puisque deux de ces intersections sont confondues en P.

I>e nombre 1\ +2 — \ /) — ni se change donc en N + i — 4 P — '«•

Nous n'avons pas à nous inciuiétcr des plans tangents menés par I) au ccuie
tangent a la siiifaee au point P. En ellél, pour les sections faites par ces plans,
le point double devient un point de rebroussemenl, ce qui n'allére pas le
genre.

REMARQUES

L'ÉQUATION DE FREDHOLM

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 147, p. 13117-1371 (21 cloccinbrc ignS).

On sait que Fredholm résout l'équation

par la formule

ç(x-) -T- ''-J/i-r, s) z{s)c/s = ■^(..r)

(2) -Ax) = 'h{j:)-J —^^.h(y)dy,

où V), fi . ) et D, , sont deux fonctions entières de \. Le développement de D, f
commence par le terme i , et le terme général est

— , 1 f\ ' -'■■■' "1 dxi d.c« . . . dx„.
Le terme général du développement de D,/-/ ' j est

La notation /( '' '' "j représente le déleriiiiiiant à n lignes et

n colonnes, où l'élément de la t""'"' ligne et de la A"'""' colonne est/(x,, jx).

Si/(a?, )') devient infini pour x =: y les formules précédentes deviennent
illusoires, puisque certains éléments de nos déterminants sont infinis. On sait
comment Fredholm s'est tiré de cette difficulté. Soient /'2, /j, ... ce que l'on
appelle les noyaux réitérés; sif{x,y) devient infini comme {x — .))""* et que
l'exposant « soit suffisamment petit, il arrivera que tous ces noyaux réitérés
seront finis à partir de l'un d'entre eux. Supposons donc que/,, soit fini, ainsi
que tous les noyaux réitérés d'indice plus grand. Fredholm ramène l'équation (1)

REMARQUES SUR l'ÉQUATION r)E FREDHOLM. 5/(1

à une autre équation de même forme, mais où )> est remplacé par — ( — 1)"
et /par/,,.

Dans l'équation (2), la fonction méromorphe en 1

iv(;:

"à/

se trouve remplacée par une autre fonction méromorphe en À, •I»„(^), dont le

dénominateur est

D„=D_j_-,),/„.

Si/est fini, /'„ l'est également, et les deux formules sont applicables; les
deux fonctions méromorphes «I» et tp„ sont donc égales, eu qui veut dire que
l'on peut revenir de la nouvelle formule à l'ancienne en divisant le numérateur
et le dénominateur par un même facteur commun. 11 est aisé en effet de vérifier

que, si l'on pose

Dà/=F(à)

et si X est une racine /i"'""' de l'unité, on aura

D„= F(/.)F(2/.)F(z2).)...F(ï"À).

Qu'arrive-t-il maintenant quand / devient infini el que, par exemple, /a est
fini? Ici encore, nous devons prévoir que le numérateur et le dénominateur
de <l>2 auront un facteur commun, et que D2 = D_),,;, qui est une fonction
entière de 1-, sera le produit de deux fonctions entières G(X) et G( — ^), le
second facteur G( — 1) divisant également le numérateur.

C'est en effet ce qui arrive; on peut alors se proposer, puisque la fonction
méromorphe <1> se présente sous une forme illusoire et que la fonction méro-
morphe <I>2 n'est pas irréductible, de former une fonction méromorphe irré-
ductible égale à «l».,. Dans ce cas, la solution se présente sous une forme très
simple.

Nous aurons

N et D étant deux fonctions entières de >. qui se formeront de la même manière
que l)x/( ' ) el D,y ; la seule diflerence, c'est que les déterminants

■' \u; ,Xi, .... .r„ / ' •' \y,Xi, .r,, ..., x„ )

54?. REMARQUES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.

seront remplacés par d'autres, formés lout à fait de la même manière, sauf que
les élémonls J\xi, X;) qui deviennenl infinis seront remplacés par zéro.

Les considérations suivantes permettront de mieux comprendre la significa-
tion de ce résultat. Supposons que la fonction /(j:, j') non seulement soit finie,
mais admette des déri\ées premières finies. Dans ce cas, d'après un résultat de
M. Fredliolm sur la loi de décroissance des coefficients, la fonction entière Dy^
sera de genre zéro. Supposons, au contraire, que /{x, )■) devienne infinie

pour ,r = }- romme (x — >')-=' et que a soil plus petit que -• Supposons même.

pour éviter loule conipiicalion dans l'énonce', (|ue l'on ait

la fonction (j/ restant holf)morphe dans le domaine considéré. On aura alors

\f-ii-f', j' )—fi^ ■'■. .y) i < -^ I ■'"'— ■'■ r~-*,

(■t, d'après le théorème de M. Fredholm, le coefficient de >.-" dans le dévelop-

pement de D_>!/., décroîtra comme (n") -; de sorte que, si a<^-, celte

i

fonction D^),^^ sera une fonction enlière de genre zéro de A-. Nous savons
qu'une fonction entière de genre zéro de À- peut toujours être regardée comme
le produit de deux fondions entières de "k,

G(À)G(-).),

qui sont de genre i . Nous devons donc nous al tendre à ce qu'en appelant D(/. )
le dénominal eur de la formule (3), on ait

D_>,y>= D(X)D(— À),
de sorle que

G(),) = e'>-D(À),

où k est une constante quelconque. C'est en ellét ce qui arrive. Ce qui caractérise
la fonction D(),) et la distingue de toutes les autres fonctions G();), c'est que
le coefficient de 1 est nul. Quand la fonction /{x, y) reste finie de telle façon
que Djf existe, D, / sera aussi une fonction G(X) et l'on aura

E),/= (!■*'■ D(),),

k étant le coefficient de À dans le développement de D>y. Dès que la fonction
f{x, y) devient infinie, cette formule devient illusoire, parce que le coefficient
k devieni Infini.

Proposons-nous, d'autre part, de développer log D,/ suivant les puissances

REMAHQUES SLR LÉplATION DE FREDHOLM. 543

(Je ). ; nous trouverons
en posant

r,, = (—1)"-^' I /tu-,,x. )/|.ro, J- :;!.../( r„_i,J-„j/l^„,.'-| )</■!■, '/.'■■. . . . i/.r„.

Un peut tirer de là une conclubion. Reprenons la formule

L'a./
Miiliiplions haut et bas par

/,?, '/.' I, _ 'l' yy

e ~~ •' '■■ /' .
Nous obtiendrons ainsi la formule
(3 />«) <I>(X)=^',

où N/, et 1)/, sont des fonctions entières de >,. Ces fonctions se formeront de la
même manière que D>,y (■* j et D;,^, avec celte différence qu'après avoir déve-
loppé les déterminants

/x,,.r.,. ...,.r„\ /.r,ji,,x.., ...,3r„\

il faudra supprimer dans le développement tous les termes qui contiennent en
facteur un |iroduil de la forme

yï,ri,.ri), fUu->^i)f{-'^i,^l), /(•^l,.^î)/(''-J--^:i)/(-^:i, ■'■■)

jusqu'à

f{,Xt,x,)f(x.,,.r.)...f{r,,^t,x,,)f{Xi„3-^).

Mais il arrivera ceci; supposons quey(^, )) ne reste plus Uni, mais |ireunela
forme

J'-^^y)= -r— T7TÏ'

i|/ étant fini. Alors les séries D,,, \\fi''^\ ne seront plus convergentes,
les si'ries N,, et D,, resteront convergentes^ pourvu que

/'-i
de sorte (|ue la formule (.5 bis] resleia applicable.

544 BKMARQUES SUH L'ÉQUATION DE FREDHOLM.

Si l'on suppose /{x, y) fini et pourvu d'une dérivée, les quatre séries D)y,
D>/Y'ji ]N/j et D/, sont toutes convergentes; mais les deux premières conver-
gent plus rapidement, puisqu'elles représentent des fonctions entières de genre
zéro, tandis que les deux dernières représentent des fonctions entières de
genre p.

Remarquons encore qu'on peut obtenir la dérivée logarithmique de D,j de
la tacon suivante :

Soit 0{x, Ç) la solution de l'équation

0(^, Ç) + lJfi.T, s) 0(.v, T) '/s =f(-r, K);

^logD)./ = Ç^(.r..c),l.r.

on aura

SUR QUELQUES APPLICATIONS

DE

LA MÉTHODE DE FREDHOLM

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. U.S, p. i2.j-h<J (iS jarnier igun)

La méthode de Fredholni permet de résoudre presque immédiatement cer-
taines questions relatives au développement des fonctions en séries ou à leur
représentation par des intégrales délinies.

Par exemple, on peut résoudre l'équation intégrale de première espèce

f ^(y)[ e' '••' -^/( ■'■■ y ) ] <y = ■i' ( •'■ )-

*- — x

où o{y) est la fonction inconnue, s\f{x,y) n'u, quel que soit x, ([u'un
nombre limité de maxima et de minima, si elle tend uniformément vers zéro pour

1' = zfc 00. si 4^ est limité et satisfait aux mêmes conditions.

dj-

Dans le même ordre d'idées, une fonction satisfaisant aux conditions de
Dirichlet sera, pnur toutes les valeurs de x comprises entre o et 2z. dévclop-
pable en série procédant suivant les fonctions

gim.r_^ 0,„(.i-) (m entier),

pourvu que la série 2|9,„(^)| converge absolument et uniformément. Cette
condition est suffisante; il serait facile de trouver les conditions nécessaires et
suffisantes, que je n'énonce pas.

Par exemple, on [jourra développer suivant les fonctions

pourvu (jue la série

converge absolument.

cosuL,,,./'. siniji,,,^'.

y (u,„— /»)

H. i^ — ni. 69

■)46 SUR QUELQUES APPLICATIONS DE LA MKTHODE DE FREDHOLM.

Proposons-nous encore de résoudre l'équation intégrale de première espèce

/

o(z)[ei~-^-^f(.i:,z)](/z='h(x).

Nous nous proposons de déterminer la fonction cp(;) pour les valeurs de s
comprises entre o et 27:; je ne dirai pas en se donnant arbitrairement la fonc-
tion 'i(>r), cela serait impossible, mais en se donnant les valeurs de ii(x) pour
toutes les valeurs entières de x positives ou négatives.

Pour que cela soit possible, il suffit que la série

2 '^^'"^

et que riiitégrale

r\x, z)d.r

f

convergent absohinient et uniformément.

Je profite de l'occasion pour réparer un oubli involontaire qui m'a été signalé
par M. Picard.

Dans une Note récente, j'ai signalé une série de résultats relatils respective-
ment aux cas où le noyau de l'équation de Fiedlioliu devient iiilini ilOrdre

<C-) <C^' <7'-"-; 'û premier de ces résultais avait déjà été obtenu par une

autre voie par M. Hilbert.

SUR

LES ÉOUATIONS DE FREDTIOLM

Sechs Vortriige iiber ausgewdltlle ijcgenslnnde aus der reinen M'ithriiiatil,
un'i Malhematischen P/iyiik. F.i'ipzi^; uml Bi-rliii. loi.i ( l-:isti-r Xorlrn;;). p. i-m.

L'équalion intégrale
est, comme l'on sait, résolue par l'expression inlégiale de même espèce

(l„) z(.r) = 'li(.r)-'r~l j- 'U])Gi.r.])>h-,

où

N(^,.r; >.|/).

G (./•.)•)

i;»(À:/) '

N et D sont, d'après la théorie de Fredholm, deux transcendantes entières en À.
Alin de pouvoir écrire explicitement leur développement, nous désignons avec

Fredholm par /■( '' " ") le déterminant à 7i lignes dont léiémenl général

^ "^ \fu 7'., ■ ■•■.>•/;/ ° °

est f{Xi, y/:).

Si l'on pose alors

'Il •- n •- Il

on a

Nous transformerons cette équation en introduisant les no vaux déduits de
f{jc, y) par itération.
Si nous posons

548 SUR LES ÉOL'ATIONS DE FRKDUni M.

il est clair que /'( ' '' " ) a la formel ± ïl/(Xx, ■ ■ ■ , J",j.), ainsi qu'il résulte

du développement du déterniinanl. Soit alors

OÙ A' désigne le nombre des variables d'intégration x^^, . . ., J?a, nous pouvons
aussi écrire

r''

bk= / /i(-'-, ■'■)'/.>■,
^ ,1
en regardant

r'' r''

fk'.-r, y)= j ... I J {■r,.i-:i)J {.r^.T'i) . . .f{.r^,r)il.r^. .. ilxa

comme le /,''""' noyau itéré.

En raison de celte relation, nous avons donc

«„ = Vrtii6/..

Si nous observons que certains des b^ figurant ilans un produit II 6/ peuvent
être égaux, que de plus certains des produits Wbi peu\ent eux-nicnics être
égauï, ceux qui se déduisent lun de l'aulie par une permutation des a:,, l'ana-
lyse combinatoire de a,, conduira à une expression

2 .<-:^^Y.-.."L6!c!...'^-""'^-l"l^-')'"'^3in(-0-"'fcr1----.

d'où l'on conclut

c'est-à-dire

L a\ùlr\... \
II. ''.

d'où l'on tire

.^h.

loglX/. ) =— > --^,
D'(À)

Le numrrateur N(.r, y; À) de la fonction G(x, y\ 1) peut être défini de même
par l'équation

(3) N(.r, .k; ■a) = D(À). V ),/'/>,_,., (j-, y).

SIB I.F.S É(,)1;AT10NS DK l'nEDMOI.iM. 54'J

Ces équations, (|ui se trouvent d'ailleurs déjà dans Fredliolm, sont utiles
comme point de départ à dv nombreuses considérations, comme on va le voir
sur quelques exemples.

La méthode de Fredliolm n'est immédiatement applicable que pour des
noyaux f(x,y) qui restent finis. Si le nojau devient intini on certains points,
il arrive parfois que l'un des noyaux itérés, y,, (a?, y) par exemple, ilemeuro
fini. L'équation intégiale relative au noyau itéré se laisse alors traiter par la
méthode de Fredholm et Fredliolm montre que l'équation initiale (i) se laisse
ramener à celle-ci.

La solution en est encore donnée |)ar une foiniule telle que (i„), mais on a

^= D„(X) '
où

r)„i-A) = IX À" !/„)
et

N,(,r, J-; X) = D„( 5, ). V )/'//,+,( ,/■, / ).

Les fonctions N, et D„ de 1 sont encore des transcendantes entières; on peut
cependant montrer qu'elles possèdent un diviseur commun.

Nous allons voir comment cela résulte de nos formules (2) et (3) et comment
on |)arvienl à une expression fiactionnaire pour la fonction méromorphc G,
dont les deux termes sont sans diviseur commun.

De notre hypothèse sur les noyaux itérés, il suit que les coefficients b,,,
6„^i, . . . sont finis. Formons alors, eu égard à l'équation (2^). la suite

l'osons maintenant

li-
nons avons là lexpression cherchée. Pour l'établir, il nous faut montrer que e"^
et e'^ . i )/y'/, ^ I sont des fonctions entières.

t'ornions dans ce but -p- j on oi)tient aisément

«A

dx

'-J! ^' ■'■' -'ï' --'- X"/ ^^v» w)- *.

55o SUR I.ES ÉQIATIONS DE KBEUHOLM.

On en conclut d'abord que -p- est môroniorplie en }., car elle possède au plus

des pôles aux zéros de D„(_>.), c'est-à-dire aux points À = aÀ, où y. est une
racine /!''""■ de l'unité, et \i une valeur propre du noyau /'„. On peut alors

montrer qu'en ces points de discontinuité possible le résidu de Cauchj de -jr

est I ou o suivant que l'on a :z =: i ou a ^3^ i . Nous ne ferons pas le calcul ici;

on utilise pour cela le fait que le résidu de - ' ' — pour ), = >,< est égal

à o/(^). 't>a(j') où cp<, é/i sont respectivement les fondions propres correspon-
dant à }. = }.<, solutions des deux équations

i
r<''i')//.i.r,-^ )'/•'■ = K.''r/.-(r),

I,

Il juit de là que c^ ' est une l'onction entière fjui ne s'annule qu'aux points

A = \i.

Si l'on envisage de même le numérateur de G, on voit d'abord que c'est une
fonction méromorphe de A qui ne peut devenir infinie qu'aux points ). = «>./.
La considération des résidus montre alors que cela n'a pas lieu et par suite que
le numérateur e^^V'f/,^, est aussi une fonction entière en ),. La réduction
annoncée pour la fonction de Fredholm est donc obtenue.

Nous obtiendrons les développements en série des deux termes de la fraction
de Fredholm sous cette forme réduite, en revenaiil à la formation de K().); si
nous posons, pour le dénominateur.

E

- Cil
n !

nous aurons

à condition de poser
et

Z>3c = o pour a < «

■y.= j /ïl-'-,

pour y. ç. n.

Le numérateur est formé de manière analogue. On doit donc développer les
déterminants selon l'usage courant, puis rejeter les termes de ce développement
qui contiennent un facteury'(.r,, x», . . ., Xp) avec moins de n variables.

SIR LES ÉQIATI0,\S DE FtlEDHOLM. 55 1

Nos formules (2). (2^), (o) sonl êgalemenl utiles lorsque, avec le novau
y"(.r, y), tous les noyaux itérés deviennent infinis, cas où la méthode de
Fredholm échoue certainement.

Supposons, par exemple, les nombres b,, />_., .... h„^[ infinis et 6„,
.6„ + i, . . . finis. On peut former la série K-(X), chercher si elle est convergente
et si e*^ '■' est encore une fonction entière. Dans l'Iivpothcse où /'(j-, y) est un
noyau symétrique, c'est-à-dire où /{.r, y) =f(y, x), j'ai pu l'établir. J'utilise
dans ce but les relations

qui doivent avoir lieu pour n ^ 2, car le genre de la fonction D("/. ), d'après un
théorème d'Hadamard, est inférieur à 2.

Le temps me manque pour indiquer ici ma démonstration. Je n'ai pas traité
la question pour le numérateur de la fraction de Fredholm.

Quelques mois encore sur l'équation intégrale de première espèce.

On peut appliquer directement à certaines de ces équations, quand on les
ramène d'abord à des équations intégrales de seconde espèce, la méthode de
Fredholm.

Soit, par exemple, l'équation

(I) / 9(^)-)i e'X> — /./(a;, y)]f/r ^'1 '— v: / -zi,

dans laquelle '^(x) est donné et o{x) inconnu, alors que la partie f(x, y) du
noyau est une fonction donnée (|!ii est assujettie à certaines conditions restric-
tives indiquées plus loin.

Faisons, pour la fonction cherchée v(jl'), 1 hypothèse

■••^''=/,

<1>1 ; }i—':} i/\

de laquelle, en vertu d'un théorème de Fourier sur les intégrales, on tire,
lorsque <t(a;) satisfait aux conditions de sa valabilité,

■> - <l<i ./■ I = / fiy)e'-^y '/y.

L'équation ( 1 ) se transforme alors en

! ::'I'( ,/■ I — À / / <I>i ; 1 /< .r, y)e-'-} dz dy = U'("*),

->^2 SLR LES ÉQl'ATIOMS DE FREDIIOLM.

OU encore

■i7:(]){j-) — '>• j 'l'( - ) K( .r, z)dz = 1'( J-),
quand on pose

' -' Ki.r,:)= / f{.r,y)é-i'ydy\

nous sommes ainsi parvenus à une équalion intégrale de seconde espèce.

Le nojau (a) permet l'application de la méthode de Fredholm quand, par

exemple, f{x, y) el • , tendent uniformément en x vers zéro lorsque

y devient dr oo el qu'on a l'inégalilé

,r-f IVI

')V- I +Y-

où M est une constante indéjicndante de x et de y.

Pour »r(.r), il suffit d'admettre que dans l'intervalle ( — oo, +00) elle n'a
(|u'uii nombre limité de maxima et de minima et qu'elle est absolument inté-
grable.

On peut appli(|iier la mèuie méthode à une série

l'iJ-) =^ A, „[«'■"'■'• -^ ÀO,„(j-)|;

le problème est ici aussi, quand ^V{x) et les 'i,„{x) sont donnés, de calculer les
coefficients A,„ de telle sorte que le développement soil valable. De même que
tout à l'heure il s'agissait d'une extension du théorème intégral de Fourier.
nous avons adairc ici à une extension de la série de Fourier.
Si nous posons

y( =j = >, A,„e'"':; 2-A„,= / z( z\c-i"'- riz,

nous aurons

= ^A,„e'"':; ■i-\,„=f z(z-\

m "

•l'f .;• j = 9 (a- ) -f- ^ / Y ( = ) y] e->"'--tt,„(j: ) c/z.

m

Nous devons supposer c|ue la série qui joue le rôle de noyau est absolument et
uniformément convergente, c'est-à-dire nous devons admettre que

converge uniformément.

SIR LES ÉOIATIONS DE FREDHOLM. 553

Posons, par exemple,

À = 1 , 0,„ ( j- ) = e'V-m-i' — c'"'-'',

nous obtieni]r(in> un développemenl de la forme

[m,

La condition {?>) est remplie quand on suppose la convergence absolue
<ie'^{lj.„,~- m).

(m)

Considérons encore, enfin, l'équalion

■i ( J- ) I — K < .>•

qui se dislingue do (i) en ce que l'intégrale est à prendre dans un intervalle
fini et non entre — oo et +00.

Dans ce cas, '\i{x) ne peut être pris arbitrairement : elle doit, si f{x, y) est
holomorphe, être une fonction entière pour que l'équation ( "l ) admette une
solution. Mais les valeurs '|(/'i) de cette fonction ]/ pour tous les entiers m
peuvent être choisies arbitrairement.

Si l'on pose en effet

?(3.) =^-^™e-""- où ■.ir,X,„=l 9(j

9( r)e'"'yr/}-.

(ml

l'équation (4) se transforme, pour x = m, en

1/'!

Nous obtenons ainsi un système d'une infinité d'équations linéaires avec une
infinité d'inconnues, tel que ceux étudiés par Hill, H. v. Koch, Hill)ert entre
autres. La résolution de ce système, au cas où nous supposons la série

(5) V / (.-</'.> f{ III. r) (/y

(//, ni)

absolument et uniformément convergente, est tout à fait analogue à la résolu-
tion par Fredholm de l'équation intégrale et conduit aussi à une fonction
méromorphe du paramètre )..

La convergence absolue et uniforme de (5) est d'ailleurs, comme une inté-
II. r. — III. -0

554 SIB LES ÉQUATIONS DE FREDHOLM.

gration par pdrties le montre, assurée au cas où la somme ^y"(;H, :■) ou l'inlé-

grale / /'{^^ r) c/,r, est absolument el uniformémenl convergenle.

Oa voit nettement l'analogie et la dillérence entre les deux cas(i) et(^);
suivant que les limites de l'intégrale sont infinies ou finies, ou aussi suivant
que le noyau présente aux limites (Finlégration une allure régulière ou une
singularité suffisamment élevée, on jieut choisir la fonction donnée d'une
manière essentiellement arbitraire ou seulement fixer une suite infinie mais
discrète des valeurs qu'elle doit prendre. Il ne serait prohablement pas sans
intérêt d'approfondir cette distinction |)ar l'emploi des noyaux itérés.

REMAHQUES DIVERSES

SUR

L'ÉQUATION DE FREDHOLM

I')

AcCa inatheinatica, t. 33, 1901, p. 07-86.

I. Formules fondamentales.

Nous écrirons l'équation de Fredliolm sous la forme suivante :

9(.r) est la fonction inconnue, 'l'(.r) une fonclion donnée, /'(ar,)) le novau
(les limites de l'intégrale étant deux constantes). La solution du problème
nous est donnée par la formule de Fredholm

N(>.;.^-,/)

:/)•,

OÙ D(>.) est le D_x^ de Fredliolm, tandis que N(?.; x,y) s'écrit d'après les
notations de Fredholm

Nous aurons donc

D. À, = V I^^J: /;/■(■'•'• ■•-^- '■" Va,-, .r.r, . . . ,l.r„ = .- ;. ffLr,. .r,uU,^.. . .

.Je n'écris qu'un signe / [)Our une intégration multiple.
Nous aurons de même

^Là n\ J ■' \r, .1-1, ./•.,, ..., ./•„/

('j IiTiiuinn'' le vi seplemlu'e 1901J.

550 REMARQUES DIVERSES SUR LÉQUATLON DE FREDHOLM.

Nous sommes ainsi conduits à examiner la formation du déterminant

/./Ji. ■'■■_., r,, \

Un des termes de son développement s«ra de la forme

=z n/i j-,. Xi).

n f{xi, Tf,) représentant le produit d'un certain nombre de facteurs de la
forme y(j",, .r/,). Ces facteurs doivent satisfaire à la condition suivante : chacune
des lettres x,, j^, . . . , Xn devra figurer une fois et une seule comme Xi, c'est-à-
dire comme premier argument de la fonction /(x,i-) dans l'un des facteurs du
produit. Elle devra figurer une fois et une seule comme x^, c'est-à-dire comme
second argument de la fonction f(x, y) dans l'un des facteurs du produit.
A chacun des termes du déterminant correspondra ainsi une permutation des
lettres X| . 'a) • • • 1 J-'n '. à savoir celle qui change chacune des lettres x, en la
lettre J?/, correspondante. Il y aura autant de termes dans le déterminant qu'il
y a de semblables permutations, c'est-à-dire « ! ; et le produit H devra être du
signe -f- si la permutation appartient au giou|)i' alterné et du signe — dans le
cas contraire.

On peut répartir les lettres j-,, x-., . . . . x„ en un certain nombre de cycles
de telle façon que la permutation S envisagée permute circulaircment entre
elles les lettres d'un même cycle. Si nous désignons par T(S) celui des
termes ztn/'(a7,, Xk) de notre déterminant qui correspond à la permutation S,
et si nous posons, pour abréger,

nous pourrons écrire

T( S I = ± Il /'( .(•,. JU ) =r = ||/( Jy.. ./Jj, . . . , ./•). ./y I.

Le dernier membre représente un produit de facteurs de la forme

/(•^x, •'■,3, •••. ^'X, •'>)•

Cliai un de ces facteurs correspond à un des cycles de la permutiition S et les

lettres

■*•», -r^, n. .r^

sont les lettres de ce cycle, qui sont j)ermutées circulaircment par S.

Quant au signe, on l'obtient en faisant le produit de dillerents facteurs ± i
correspondant aux difl'érents {àcleurs f{x^, Xi, ...,Xi^), ces facteurs étant

REMARQUES l)lVERi-ES SIR u'ÉOlATION DE FREDHOl-M. 55^

égaux à + I pour les cycles d'un nombre impair de lettres el à — i pour les
cycles d'un nombre pair de lellres.

Nous

s poserons

po

Ci)

/ji = I f'- ■'■«, -'''{i, ■ ■ ■! -n, ■'>,) "'■''ï '/■'■[', ■ ■ ■ '/■'■), '/■'>.•

Dans celle dernière égalité, l'indice /. de b/t représente le nombre des lettres

du cycle x^, J'i '"/■, 'u.; l'intégrale ne dépend évidemment que de ce

nombre, puistpie, quelles que soient les lettres .Co., . . . , j^ envisagées, on les
fera toujours varier entre les mêmes limites.

Cela posé l'intégrale c'(S) va se décomposer en un produit d'intégrales ù^,
puisque chacun des facteurs de T(S) ne contient qu'un certain nombre de
lettres .r^, . . ., .Cj qui ne figurent pas dans les autres facteurs; nous pourrons

écrire

a(S)=±nb/,

ou jiour préciser le signe

(A) r/(S) = n|(— l)^+i/>/, i.

Si par exemple « = i- et (jue S comprenne i cycle de 4 letties, 2 de .'> lettres,
3 de :>. lettres et 2 d'une lettre, nous aurons

,7( S ) =( — />, \{h;,)-{—h, r(6| )^= h.hlh'il)'].

Il faut maintenant calculer

a„ = -rt(S j.

la somm iliiin étant étendue aux ditlérentes permutations .S tie u Ictlres. ?\ou>
devons donc rechercher combien il a a de permulalions comprenant a cvcles
de y. lettres, b cycles de (3 lettres, c cycles de y lettres, d cycles de 0 lettres, etc.
En d'autres termes, de combien de manières peut-on répartir /( lettres en
a groupes de 7. lettres, b de 3, c de y, d de 0 lettres, etc.? On rangera les
letlres dans les différents ordres possibles qui sont au nombre de /; ! ; on prendra
ensuite les a premières lettres qui nous donneront le premier groupe, puis les
a. suivantes qui nous donneront le second, et ainsi de suite jusciu'à ce qu'on
ait les a groupes de y. letlres; on prendra ensuite les [3 letti-es suivantes pour
former le premier groupe de (3 lettres, et ainsi de suite. On obtiendrait ainsi
/( ! solutions, mais elles ne sont pas distinctes; on obtient la même répartition
en perniiitant cirriilffirernrnl les lettres d'un même groupe, ce (pii nous oblige

330 REMARQlIliS DIVERSES SUR I, EQUATION DE FREDHOLM.

à diviser par a"|3*y' ô'. . . ; on obtient la même répartition en permutant d'une
manière quelconque les dis'ers groupes qui sont formés d'un même nombre de
lettres, ce ijiii nous oblige à diviser par alblcldl . . . ; le nombre cherché est
donc

■j."^''-," i'' ...a'.0\ c\d\...
On aura donc

^2<'P*Y"o''...«! 6! c\ iV. .. .

Xf(— l)»+i6al"['' — I 13+163 l''|(—I)T^-'^y ]'■[(— 1)5+' 65 I''. ..

Les entiers y., 3, y^ 0, . . . , a, h, c, d, . . . sont assujettis à la condition

2 a -=- [j 6 — 7 c — 0(/ -'...=: n.
On a donc

'h, _ t-ii" (-''A"/-hY(- '": Vf- ''■' \ ■'

n\ a\l>\c\,l\ ...\ -j. ) \ 3 I \ V / \ o / '
Il vient ensuite

( -j I I ) ( /. I = >

^ Il :

Zj(r'./>\c\,r....\ 2 / \ .3 J\ ■; )\ 0 j
de sorte que L)^^/.) se présente sous la forme d'un produit

-Mais la sonimatinn est immédiate el Ton trouve

9a=P * ; log?a = ^>

a

d'cjll

I () 1 IogD(/, )— — >

et en prenant la dérivée logarithmique de 1)(/)

rj'( >.)

;.^-'/>,.

Ces formules ne sont pas nouvelles, elles ont été énoncées par Fredholm
qui les a découvertes par une vole dillerenle {Acta mathematica, t. 27,

p. :5S1).

REMVRQIRS tlIVIînSES SUR I.'kQL'ATION DK FREDHOI-M. îSg

Appliquons la iiiènie nnalvse au calcul de N(/. ) et du dclerminanl

/x, .r,, .X., /-«N

■ \y, 3-,, œ.,, '•„/

Clia([ue terme se présentera sous la lornie

±n/(.ra, .r;i, .... .r|j.').

sauf que lun des facteurs sera remplacé par

(8) /(.r, r ; .r^i. X'i, rx) =./"(.r, .ra).A(-«'a- ■'•'^') • ■■/(■n, V)

Si nous posons

/( .r, y ; j-^, .r^ ri) (U,. d.rrj, . . . i/.ri = //,+, ( .r. y),

P

cette intégrale ne dépendra que du nombre /. des variables x^,, x^, . . ., x;. par
rapport auxquelles on intègre; c'est ce nombre qui figure dans l'indice /, + i •
Cette fonclion fk+,{-f, r) n'est autre chose que ce qu'on appelle le noyau itéré
d'ordre A" + i . ( )n aura d'ailleurs

=/.

fiA ■''. ■>■ ) il.r.

Si alors, par analogie avec les notations adoptées plus haut, nous désignons
par T'(S) un quelconque des termes de notre nouveau déterminant et |iar
a'(S) l'intégrale de T'(S), nous trouverons comme plus haut

avec la condition

h )LI. = n.

Le fadeur yy,^i (./■, )) provient de l'inlégrallon du facteur ( S) et les divers
facteurs bi, de l'intégration des autres fadeurs de la forme /( .Ta, '(i, • . ., '),).

.le puis encore écrire

ii'i <,)-{ — -[ )i'l'i,_^^,n S' I.

OÙ S' est la substitution qui permute enlie elles les lettres qui figurent dans les
facteurs autres que le facteur ( K ) et de la façon indiquée par l'ordre de ces
lettres dans ces divers facteurs. Si alors nous désignons par r/^, l'intégrale de
notre déterminant lui-même, il viendra en remarcpiaut qu'on obtient aut;int de

fois le même terme qu'il y a de manières de choisir les h lettres X:^, .rvj, ',

qui figurent dans le facteur (S): c'est-à-dire aulant de fois qu'il y a d arrange-

56o REMARQUES DIVERSES SUR L ÉQUATION DE FREUHOLM.

« !

menls dv /i lellres h à h : c'est-à-dire -7-, ■>

' n — /i ■

" 1!
ou

«;, =^< — 1 V'./'/,+, «„-/, ^^ _"^^

don enfin

Celte formule s'obtiendrait immédiatement en chercliant à développer suivant
les puissances de /. la solution de l'équation ( i ).

Bien que les séries (6 ), ( - ) et ( () ) ne convergent que pour les petites valeurs
de À, leur considération peut abréger le calcul des termes des séries D(À)
et X(/.), qui, elles, convergent toujours. Mais ce n'est pas là l'usage que je
veux en faire.

II. Cas où le noyau devient infini.
La fonction

se présente sous la forme dune fonction méromorphe de X; mais elle peut être
mise d'une infinité de manières sous la forme du quotient de deux fonctions
entières. En eflel. on pourrait écrire

N ( À ) ^ iN(À)C.(À)
D(X) D(X)G(X)'

G(/.) élaul une fonction entière quelconque de À; et si l'on \eut que la h action
du second membre reste iriéduclihie, il stiflit de pi-endre

Il(>. ) étant une fonction entière. En particulier nous pouvons prendre

X= I

Alors le dénoniin.ileur D("/.)G(A) reste une fonction entière, et le développe-
ment de son logarillime est le même que celui de iogD('/. ) en supprimant les
n premiers termes.

REMARQUAS DIVERSES SUR LKQIATION DE FREDHOLM. 56l

Ces considérations prennenl surtout de l'intérêt dans les cas où la méthode
de Fredholm ne s'applique pas immédiatement, et où il faut recourir à la géné-
ralisation exposée par Fredholm pages 384 et siiiv. , par le moven des noyaux
itérés.

f-ia méthode de Fredholm s'applique immédiatement quand le noyau _/ reste
partout fini; supposons maintenant que les premiers noyaux itérés

./; u ■■■• /-.

deviennent infinis, mais que/,, et les noyaux suivants /'„+, . . . . restent partout
finis. Nous supposerons de plus que les intégrales

i fii^- y)'^(y)''ly (/ = !.■>, ...,adinf.)

restent finies. Toutes ces conditions sont remplies dans l'hypothèse faites par
Fredholm dans son paragraphe 0, c'est-à-dire si le noyau f{x, y) ne devient

infini que pour x ^ j^ et comme {x — y y- où y. <

L'équation (i) du paragraphe 1 peut alors être remplacée par la suivante :

( I hix I

z{:c) = A" / /„(■'•. y) 'fiy)i/j--}-e{.-K),

ou

Bi.r) = ■!/( ./-i — / .!>(■ |.';[À/-j- X2/2 + . . .-^ /,«-•/„-,] //y

est une fonction connue. La méthode de Frediiolm est alois immédiatement
applicable à l'équation (i bis) que l'on peut résoudre par une formule ana-
logue à la formule (2) du paragraphe 1, où l'on remplace seuU'uienl >. par/.",
f par /'„, et 'j/ par 0. Si nous convenons d'écrire N(/,, / ) etD("/., /') au lieu de
l\(À) et L)(},) pour mettre en éviden<c la fonction /', la nouvelle formule
pourra s'écrire

( a '■"■'■■ ) 9 ( X ) = e ( .,■ ) + /, " I H ( r j j))y''n f{ ''y

ou bien encore

( -7. trv) z , ,,■ , = ^h{,r) ^ if'h(y) 177X^77) 'O--'

Pcjur définir N,(/.), nous poserons

et nous aurons alors

^ I ('■/.) = FC/-, ri n ()."/■„! -À" \( )."./■„ ) -^ )."-^i / "^t '•", /'«; ■'■, z)¥{z. y }>/:-.
II. 1'. — III. -1

562 REMARQUES DIVERSES SIR L ÉQUATION DE FREDIIOLM.

La fonction

D{A",/„)

se présente sous la forme d'une fonction mi'ronior|jlie : et nous sommes certains
que le numérateur et le dénominateur sont des séries entières toujours con\er-
nenles. Mais il n'est pas certain que celte fraction soit irréductible; il est
même aisé de se rendre compte qu'elle ne l'est pas en général. En efiel la for-
mule subsiste quand le nojau/est toujours fini ; mais dans ce cas, la formule (2)
est vraie également, de sorte qu'on a

Ni (À) _ N ( •/■ )
D(À",/„) ^ D(>,./i'

le dénominateur de la première fraction admet tous les zéros

À>, >.., ...
du dénominateur de la deuxième; mais il admet en outre tous les zéros

3tÀi , aX.,

OÙ y. est une racine /z''™' de l'unité. Cela numlrc que la première fraction n'est
|)as irréductible.

Le problème que je me propose maintenant, c'est dans le cas où les premiers
novaux itérés ne sont pas pailout [\n\s, de trouver une forinale aiuiloi;ue à
la formule (2 fe/'), mais où figure une fraclion irrédticliùle.

Je vais établir que le résultat est le suivant, il suffira de remplacer dans la
formule (2) N(À) et D(>.) par

où 1I(>,) est l'ensemble des /; — i premiers termrs de logD(>,). Reprenons le
développement de ce logarithme

logDi/.)=— 2^-^,

h,, b-2, . . ., bn-i peuvent être infinis, mai> h„, />„+t, ■ ■ ■ ^on\ finis. Formons
alors la série

K(À)=-

I n -h i) ( « H- 2 )

Nous montrerons que la série K(/,) est convergente pour les petites valeurs
de '/. ; ipie e"'' est une fonction entière; (pie

REMARQUES DIVERSES SL'R l'ÉQUATION DE FREDHOLM. 563

est égalemenl une fonction enlièrc, sauf pour jf:=j' auquel cas quelques-uns
de ses coefficients deviennent infinis.

Revenons un inslaut iiu cas où /' reste fini et reprenons l:i f(jiniule (ij) du
paragraphe 1

Si nous revenons au cas ou J„ est le premier nojau itéré (pu reste fini, et si
nous cliangeons À en À" ety' en /'„, cette formule deviendra

h--

ou en mettant en évidence les variables ./■ al y

d'où en supprimant pour abréger les indications "/" ety„ devenues inutiles
(4) / j^ r/./-=2^/."''A„/,+„

et

(5) j ^—^^.fkiy- ■r)d.r,lr=.^\"i' f /„,,+„( .r, r )/,.( y, .r),lr,l_y

n-i-/.--

= Và"''/.„/,+,h

Reprenons notre fonction K.(/.), nous aurons

<'K , , . , , ,

le second membre peut s'écrire

>,"-! •LK"''b„„+„ + À" SA"'' A„ /,+„+, -;-...

ou bien

(0) -...^^ f'^^.r-^''^ Xn^'^^^J'^J^f,,,y..rurr,ly.

Comme D = D(/,",/„) et N(x, j) = N(À'', /„;./,)- ) sont des fonctions

7x

entières de >., on voit que l'expression (6) et par conséquent ~ est une fonction

méi-omorpiie de "k et que les infinis de cette fonction méroinorpbe ne soul autre
chose que les zéros de D(X". f,,).

564 REMARQUES DIVERSES SUR L'ÉOUATIO.N DE FREUIIOI.M.

Or, d'après Fredholni, si l'on a

i>iÀK,./;,) = o

et si Âjl est un zéro simple, ce que je supposerai, il exisleia une fonction Wg^{-f)
el nne seule telle que

(7) <?K(-r) = ÂK j rui y )/„(■'<•■ y) '()'.

En convenant de poser

/ ?'.'■'.//'' ■'■■ .'''('■= S/'ç;( .r ),

d'où

S/'[S'/if(.r)J.= S/'+'/ç(.r),

celte relation peut s'écrire

(y /lis) =">(•'• ,1 = ÀkS"çki'.''),

on en déduit

SçkC.'- I = >.kS"+iSK(.r; = >.(|S"[S<fK(;.r)|,

de sorte que So,i(./) sera aussi une solution de l'équation (7) ou (j l'is); comme
celle équation ne comporte qu'une solution, on devra avoir

Sçk(-'") = 3c:K(-i'),

V étaul un coeflicienl constant.
On en tire

S"ïk('',) = "" rlvl ■''>■

d'où en comparant a\ec (- bis)

I

2" = — 1

ce qui revient à diie que c. est éyal à ^1 à une racine /;''""' près dt; l'unité. N'ous

pourrons toujours choisir A^ de lelle façon (|ue celte racine /("""■ soit égale à 1
cl que l'on ait

?k(-'»") = ?.KSsK(.r).

On obtiendrait un résultai analogue dans le cas d'une racine uuilliple; je ne
reproduis pas ici l'analyse complète qui a déjà été faile l)ien des fois. Cela |)Osé

reprenons noire lonclion meromorpne -yr et proposons-nous tie (ieterniiiier le

résidu de cette ft)nclion méroniorplie pour le pôle À ^ "/.,, el poui- les pôles
correspondants a = x'/.^^, y. étant une racine /)''""' de l'unité.

REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQIATION 1)K I'RKOHOLM. 6(i5

r'.licrclilins d'abord ce résidu pour

Celte expression iiVst autre chose que

f/iogD ("/,",/„ I
77)7'

Son résidu est donc — i , si l'on considère )/' comme la variable indépen-
dante, c'esl-à-dire que le terme infini st'ra de la forme

el le résidu correspondant, si Ton reprend 7. comme variable, est

n/.K

c'esl-à-dire, /.^ " pour le pôle Àk et (^''k)' " P'Hir le pôle z/|^. Pour

le premier terme de l'expression (6), le résidu est donc - tant pour le pôle X^

que pour le pôle a/,^. Considérons maintenaul le ternie général de l'expres-
sion (6), c'est-à-dire

T - • J J i^ (^'. K ) - ■ // ■ 1 . 1 -, 1

Le résidu de _ ' pour /," = /,,, en considérant de nouveau A" comme la

variable indépendante, sera une l'onction de .r et de j- de la lorme Vk(' ) '-['kO')'
en vertu d'un théorème connu, d'après ce qui précède : le résidu par rapport
à "a" de

fB:^,, -

devra être

— 1 = 1 ^Ki-ej'lK^J- ) dx
et celui de

sera

\ ?K ( .«•• j 'Ik ( J ) /■/, (J-, j: ) dx dy.

Mais on a, d'après l'équation (8),

/ ?k(-i-)/(7, ■e)</-i- = S9u(j') = ^ çk(/)

566 REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DIÎ FREDHOLM.

el plus généralement

j 9 K<.i- ),//,(.>•, -t-J'/j- = S/'9ii(7) = ~ rhiy).

Le résidu chcrclié sera donc

et par rapport à 1

- i ).lr"-''=^'-"

nXjjÀ"-! n

pour le pôle 1 = a};n. Pour le terme correspondant de l'expression (fi), qui est
afTecté du facteur )i"+/'~' , il faudra multiplier par

de sorte cpi on trouvera

I
n

Nous avions trouvé pour le premier terme de l'expression ((i)

I _ I
/i n '

de sorte (pie le résidu lolal de l'expression (6) est

- 1. 1 "■

Cela fait — i pour le pôle /. = /|^, <"esl-à-dire |)Our a =: i , et n pour le pôle
1 = a>n quand a est une racine ji"'""' de l'unité, dillérente de i .

Ainsi, l'expression

'/l\ , , , ,

-^ = — '■'-'(>„ — /." b„+t~-...

est une fonction méromorphe de 7 dont tous les résidus sont égaux à i. Donc
l'expression

sera une fonction entière de ).. c. q. v. n.

Il resterait à établir que

(9) ^l"J),^,r'^'"

est éiialeinent une fonction entière de )..

REMARQUKS DIVKnSES SUR 1,'ÉQUATION DE FREDIIOl.M. 667

En ellct, niiiis avons ilaprcs la formule (2 1er)

re qui ni>ii> prouve i[ul' l'exprt'ssion (9) est une fonction mcromorplie de À, qui ne
pourrait devenir inlinie que pour D(/,",y'„)^o, c'est-à-dire pour ). = l^ et
pour A = :z/,|^. Comme e^'" s'annule pour >i =>.,;, nous voyons que l'expression (<)),
c'est-à-dire

1) '

où j'ai écrit D au lieu de D(/." , /„), reste finie pour À =- Âi, : il nie reste à montrer
que N| ( >. ) s'annule pour 'l. = s:).,^ ; ou que le résidu correspondant de j^ est nul.
Nous avons donc à évaluer le résitiu de

(.0) ^=F-.X«%>:)-.X-/%i2K./3.

Le ])remier terme du second membre de (10) ne devient pas infini; le second
a pour résidu

n/.K
et le troisième

-T^,l^ ■■'■''■il"' / rK'-'' ''^ki -"•l*"'^-"- y)'/^= -tÎt^ y,2''>-K*'' / vm.riiki --i/"/,i, 3.r.i"'--

Nous sommes donc amenés à calculer

Nous démontrerons ijientôt que l'on a

(11) / 'Ihi z )/,,( z, y) riz ~ X'i~'''l\i{y),

de sorte qu'il viendra pour notre résidu

n — \
«Ali -^J

/' = !

et pour le résidu total de l'expression (10)

Il —I
. „^| /.iî -!»'■'" I 'i'Ki'v'i / 3t'', c'est-à-dire zéro.

568 REMAROIES DIVEKSES SUR L EQUATION IIE FREDHOLM.

Donc l'expression (9) ne devenant infinie ai pour '/='/. f^ ni pour/ = 3</^ est
une fonction entière. c. q. f. d.

Il nous reste à démontrer l'égalité ( 1 1). A cot effet, remarquons que ^(y, -f)
et fpiy, x) sont à f(y, .v), ce que N{.r,y) et //,('•,)) sont à /(j, j). Le

résidu de j; N(a-, )•) élanl <f^{.f)'\i^{y) et par conséqueni celui de jTN(y, x)

étant o^{y)'\iyi^{x), nous voyons que '-J'kC') est à/{y,.i) ce que Oi^{u-) est
à f{',y). Alors de même que l'on a

ni\ 9Ki'.r) = >.K / rK( V)/»(J-. .1- w/r

et que Ok('^') 6st la seule solution de celte équation; de même on aura

(12 ôis) ■'■;'ii(-i-) = >-R / ■i'w(yKf"^y- •'■)"'/

et ■\('-) sera la seule solution de cette équation. De l'équalicm (i:>) nous avons
déduit

(ï3) rh.(->^) = '^■fLjrK(y)/{J-; y) 'ly,

P étant une racine «'"""' de l'unité, de même de (12 bis) nous déduirons

(i3ùis) .iK(^) = ,3'ÀK f'\'K(y)f(y, ^)<ly,

(3' étant une racine «'"'"'' de lunité; et il reste à l'aire voir que (3 = (3'= i . Pour
cela remarquons quey',,^, étant toujours Uni conimey,,, nous pouvons raisonner
sur l'un de ces noyaux comme sur l'autre. Il existera donc des fonctions <f'^{x)
et 'J'k(x) satisfaisant aux équations

'•4) rk'-i^) = '(''-K I ^'s.(j')/(-v. y)'f_y,

(if, ôisj ■'i'K{-r) = y'àk j ■^^(fj/iy, ^-j'/y,

y et y' étant deux racines (« + 1)"""* de l'unité, il est aise de vdir que y,, est
égal à 'Jk) et 'j'K à tj^u; sans quoi on aurait

<f'K.(.i:) = T">-K j 9Kiy)A(j; y) ''y,
'}k(-i-; = ï'"Âiî fVn'y)f"^y, •^)'^y,

et nous devrions conclure que D{l",f„) admet outre la racine '/.'^ les racines
y"V^ et y'"V^, c'est-à-dire plusieurs racines (deux au moins, ou une racine

REMARQUES DIVERSES SUR L ÉQUATION IIE KREDHOLM. ^69

double) de même module que V^. Cela n'arrivera pas en général (et il est aisé
de voir comment on drvrait raisonntsr dans les cas d'exco|ition).
11 faut donc que

ylv=?K. 'i'ii='^K, ï = P- T'=Î^':

v'i = 'i'i ~ I , y'" = '('" = l", T" = Y""^' = 'i ï'" = T'""*" ' = ' 1

d'où enfin

L'équation (lo 6/5) sécrit alors

(d il est ais6 d'en déduire

ce qui n'est autre chose que l'équation (11) qu'il fallait démontrer.

III. — Formation de la fonction méromorphe.

On peut tirer de là une façon de calculer les divers termes du développement
du numérateur et du dénominateur de notre fonction méromorphe. Nous avons
trouvé plus haut

(,) logD(/,)=-2^'

formule que nous avons déduite de la suivante :

Comment pourrons-nous passer de ces développements à ceux de notre nouveau
dénominateur e** " et de son logaritiime K(X). Pour passer du développement (i)
à celui de K()v), il suffit de supprimer les n — i premiers termes, c'est-à-dire
de remplacer h,, 6j, . . . , b,t_ , par o: on obtiendra de même le développement
de e" en partant du développement (2) et en y remplaçant b,, bn, . . ., bn-i
par zéro. Soit donc

(26») gK,,V.^^(-^p».

H. 1'. - III. 73

57" REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE l'nEDHOLM.

Nous avons Iromé plus haut

a,.= Za{S) = -L ± ly^h'!^b''^l4 . . . .

Pour obtenir «', , il suffira dans le troisième nipmhre de cette double égalité de
remplacer /?,, . . . , h„_^ par zéro. Mais a(S) provient de l'intégration d'un des
termes T(S) du déterminant

/■/^■i, -i--', '

et />„ de celle de la l'onction /(.ti, a-,, . . . , Ja). D'où la règle suivante :

Ouanrl ic noyau deviendra infini pour x^y de la même façon que
{x — yY où a ■< , on pourra former le dèminiinatciir de notre fonc-
tion méromorphe en appliquant la règle générale de Frcdliolm : et par
conséquent en partant des déterminants

ff Xi, x-i, . . . , .r,i \

seulement il faudra supprimer tous ceux des termes de ces déterminants
qui contiennent an facteur de la forme

f{Xa., x<(„ Xy, XX, j,-[j,) =/( ,Ca. xtfi)f(x<^, x.,) . . ./(.fv, J-|j. )/(•'>. J'a)

les lettres Xy,, x^, x-^ . . ., .?>, x.^^ formant un cycle de moins de n lettres.

La même régie s'applique à la formation du numiralcur.

Dans le cas de n = 2, il suffira donc de supprimer les facteurs de la forme
/'(.f,, ./•,), c'est-à-dire de remplacer dans nos délerniinants tous les ternies de la
diagonale principale par zéro. Celte règle, dans ce cas particulier, axait déjà
été trouvée par une autre voie par Hilbert dans le dernier paragraphe de son
premier Mémoire {(lOttinger Nachrichicn, i()ii4)-

IV. — La question du genre.

Fredholm a démontré que les coefficients de la fonction entière^ D().)
i
décroissent comme (n") - ; et que la décroissance est plus rapide encore quand

le noyau f{x, y) satisfait à certaines conditions de continuité. Si par exemple

RR.MVRQIKS DIVERSES SUR L EQUATION DE FREDHOLM. 571

on a

J l/(-'-, y) -/(■^, r') l< A I.)- -y 1=^,

A el y. ('iHiil des constantes, les coeflîcienls a,, flécroilroni comme («") '.

D'un .iiilrc côlé Hadamard a démontré que si le /(''""' coefficient d'une fonc-
tion entière est do l'ordre de (n") ', le genre de cette fonction entière sera E,
en désignant par E -|- i l'entier inimédiatemeut supérieur à À. Si /T est entier, il
peut y avoir doute et le genre peut être égal à /. ou à À — i .

Donc le genre de la fonction D(/, ) dépendra de l'exposant y. qui figure dans

les inégalités (i); il sera zéro pour a > -, il sera au [dus égal à i pour x > o,
«<-; et enfin au plus égal à 2 pour st ^ o. Si donc le noyau a des dérivées

premières finies de sorte (]ue a =: 1 , le genre de D().) sera certainement nul.
Nous pouvons nous demander ce que devient l'exposant y. quand on passe
du noyau y'(a:, }') aux noyaux itérés successifs. Supposons quL' f(x. j)) soit
de la forme

4'(x. )•) étant holomorphe. On peut alors étaljlir l'inégalité

iM-e', y) -Ua; y) i< A 1 x -,i-' ['--^
A. étant une constante. La fonction

sera donc nue fonction entière de genre zéro par rapport à /.- pourvu que l'expo-
sant (1 — 'iy.) soit plus grand que -> cest-à-dire pourvu que

I
1

Si alors le noyau f{j'. y) n'est pas partout fini, la fonction D(À,y') n'existe
|ias en général, mais nous pouvons, comme dans le paragraphe II, former les
deux fonctions entières

on a d'aiileur!.

D(X-2, /.) = e^i'ig'»'-''.

La fonction e^ ' sera en général dans ce cas de genre i, de sorte que e'* '

5^2 REMABQIES DIVERSES SUR L EQUATION DE KREDIIOLM.

sera le produit d'un certain nombre de facteurs primaires de la forme

e?'.(i-TÀ)-

Le facteur primaire corresjiondanl de e*^"~" sera alors

e-P>'(i + YX)
et celui de D (>.'-', /"..) sera

ce qui explique que la fonction D().^. /■,) soit de genre zéro.

Les résultats des trois premiers paragraphes s'appliquent sans changement
lorsque les intégrales et les fonctions connues ou inconnues qui figurent dans
IVquation do Fredholm sont des intégrales doul)Ies ou triples, et des fonctions
de deux et de trois variables, au lieu dêtre des intégrales simples, et des fonctions
d'une seule variable. Mais il n'en est pas de mèmi' des résultats relatifs au
genre, que nous venons d'exposer. Le genre ne s'abaisse plus quand les inéga-
lités (i) sont satisfaites, ou plutôt il s'abaisse moins i-apidcinent. Un résultat
subsiste toutefois, et c'est le seul qui nous iniporte, le genre de D(/) reste
toujours au plus égal à 2.

Comme d'ailleurs nous avons

D(X) - -'■ ""
et que l'on peut écrire en décomposant D(>.) en facteurs primaires

D(/.) = ll(i-£)eï-.,

À, étant les valeurs propres de l'équation de Fredholm, c'est-à-dire les racines
de D(>.) = o et P, étant un polynôme du second degré au plus; on en déduit

D(/.) -Zj /.-).('" ZdZài'r' ■ "'"

il'oii en identifiant les deux développements de -^ ^^ remarquant que IP, ne
peut rionner que des termes de degré o et 1 :

égalité qui est exacte pour n > 2.

REMARQUES DIVERSES SUR l'kQI'ATION DE FREDHOI.M. 5yi

V. — Tentative de généralisation.

Au paragrajilie TI. nous avons donné une règle pour former noire fonction
méromorphe de À quand le novauy'(j;, y) peut devenir infini, tandis que lun
des noyaux itérés successifs/",, (a?, y) reste partout fini.

On est naturellement amené à penser que la uiêini; rrgle restera applicable
dans des las be;iucoup plu^ généraux, à savoir :

i" Si les intégrales

/

f''i->-,y)'Hr)<r

sont tinies. sauf pour des \ aleurs exceptionnelles de x.

■a" Si en même temps à partir d'un certain rarCg, les nombres que nous
avons appelés b,, sont (inis.

Il est clair que cela peut arriver dans des cas où tous les noyaux _/'„(. r, j)
présentent encore des infinis, et l'on peut se demander si les régies des para-
graphes II et III peuvent néanmoins être appliquées.

Je me bornerai au cas où toutes les valeurs propres'l.i sont réelles et posi-
tives. Les théorèmes de Hdbert nous permettent de reconnaître dans quel cas
cela a certainement lieu. Ainsi, si le noyau e^\. symétrique^ les /.,■ sont certaine-
ment réels; ils seront positifs quand la forme quadratique qui correspond ;'i ce
noyau sera définie; et par e-xemple, si f\x^ y) est un noyau symétrique, les
valeurs propres relatives au noyau redoublé /..(j;, y) seront réelles et positives.

Cela posé, nous supposons que notre noyau f{.r.y) symétrique devient
infini pour certaines valeurs de x et de )•; par exemple en certains points
singuliers ou sur certaines lignes singulières du plan des jcy. Nous emploierons
le même artifice que M. Hilbert à la lin de son premier Mémoire. Nous subdivi-
serons la pjirlie du plan des xy à laquelle s'étend l'intégration (c'est-à-dire par
exemple le carré o < .r ■< ■ , o<]j'<i, si les limites d'intégration de l'inté-
grale de Fredholm sont o et i). Ce carré sera ainsi divisé en deux aires A et A'
que nous assujettirons aux conditions suivantes : i" Tous les points et lignes
singulières devront se trouver dans A'. 2" Chacune des deux aires A et A'
devrait être symétrique par rapport à la droite x^y. Nous définirons ensuite
un noyau symétrique /'(iC, y) de la façon suivante :

/■(■'■.,)■■)=./'(.'■. .)! (dans A 1. 7' . ./•, 1 ) ^ o ûlans A;.

574 REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.

Nous désignerons par li el b„ les valeiii-s de ces quantités qui correspondent à
f{x, )■) et par A, et 6„ les valeurs des quantités correspondantes pour_/''(.r, y).
Nous ferons ensuite tendre l'aire A' vers zéro, de telle sorte que )., tende
vers li et b) vers O,,. Le nojaa f (x, y) étant symétrique, les >,', seront tous
réels, et nous pouvons nous arranger de façon qu'ils soient tous positifs.
Comme le noyau /"(.r,)' ) est partout lini, les résultats du paragra[)lie IN seront
applicables et nous aurons

Nous supposerons les À, rangés par ordre de grandeur croissante. Nous aurons

ensuite

/;„ = lim li'i,.

,1e dis d'abord que \ //„ tend vers une limite ]ir>ur /; = x. En effet, les A, étant
réels positifs, les quantités yT*,, sont positives; de plus on a

d'où

i 1—1 I

et enlin

'• I ^ "il • "ii+ I -^ "n •

Les (juantités y///„ vont donc en décroissant quand n croît: il en résulte

qu'à la limite les quantités '\/bn iront en décroissant quand n croît (ou du moins

ne pourront croître) et comme ces (|uantil('S sont positives, elle> tendront vers

une limite pour « = oo; cette limite, je l'appelle Ay' .

Je dis maintenant que Ion a

À| = liiii À'i .

Observons d'abord que, an moins si u es/ /mil , //, va en décroissant quand
n étant constant, l'aire A' diminue; ou a en effet

'''-•/,= /./;,(•'•■ ,r,i/;,i.i , .'■ )'/.'■ </r.
Mais le noyau étant symétrique, cela peut s'écrire ,

'''2n=J /;:-{■'■• r )''■'■ '(y

el d'après sa définition f,;(x, y) ne peut (pie croître (piaud Taire A' diminue; on

aura donc si n est pair

f''„ < /'„ ■

REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQIATION DE FREDIIOI.M. 575

Dé plus pour ti >/>, (lapri's notre hypothèse, les quanlllés b„ sont (inies;
nous aurons donc si p est un nombre pair suffisamment grand

b',,= r>:r"<i>,,.

Les quantités

l>'n

vont en croissant quand n croîi : il en est donc de même des limites vers
lesquelles tendent ces quantités cjuand l'aire A' tend vers zéro, c'est-à-dire de

I',.

Les quantités "r' et -^ tendent pour /( = oc, vers les mêmes limites que
On (>„ ' •

les quantités v/i»,,, \/bn, c'est-à-dire vers ï.'~' et Xy' ; mais elles tendent vers ces
limites en croissant, tandis que y//,,, \/6'„ tendent vers ces limites en décrois-
sant. Un aura donc

d'où

On tire de là

", '-" ^ /.' ^ /)' ) 7'-" ,'' /, ) 7'-"
A I <^ "/i ^ "/.A i' -^ O/, A i' ,

A I ^, "n ^ ''/( A I

Nous ne savons pas encore si X', tend vers une limite quand l'aiie A' tend
vers zéro: mais nous pouvons parler de la limite supérieure et de la limite
inférieure de 'A| ; je veux dire (pie À, oscillera entre deux limites, dont l'une
tendra vers limsupX, et l'autre vers liminfX| quand A' tendra vers zéro; à la
limite les inégalités (2) deviendront donc puisque (linii„= />„) :

(3) nmsupr. ^^^^.,7^.

liiii int A 1 , — ; , ~;,

Mais comme nous pouNons prendre /( assez grand pour (|ue les seconds
membres de l'inégalité (3) soient aussi voisins de i que nous voudrons, nous

pouvons écrire

liin sup À'i , lim inf À', ^
;— ' S 1 ; 1^ > I .

Al - A, -

c'est-à-dire

c. y. r. II.

',-6 REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.

On verrait comme plus haut que les quantités

( '>'„ - >■',-" )" = 0- -r" -^ '■ :r" +•■•)''

vont en décroissant quand n croît indéfiniment, et que l'aire A' demeure
constante. D'autre part on a

limC//,,— >,■,-") = />„— Xy"

quand n restant constant, A tend vers zéro. On voit qu'i'i la limite

décroît quand n croît. Cette expression pour « = oo tend donc vers une
limite que j'appelle /.^' .

On verrait ensuite que les expressions

"il '• 1

et par ctmséquont

A,, — /.,"
\ont en croissant avec n et l'on en déduirait les inégalités

À2"< /'«— AT" < (/'/'- '■T'')>-r" < 'v'-r".

et en raisonnant ensuite sur b„ — A^", Z)„ — À'"", /., et Àj comme nous l'avons
t'ait sur /(„, A^,, À, cl À,, ncius verrions que

lini '/.'., — À...
Et ainsi de suite.

Je dis maintenant que si nous considérons la fonction

|V(_A) = '- '- . . ..

c'est le logarithme d'une fonction entière de 7. .Soit en ell'et

'=*
K,(;.;=K(>,)-Vlog(,-A) = -2T^'-

Nou^ aurons pour q ^ p

r,,= />„-Aj'/-\7,'/-...-lJ,'' •

et par conséquent

lim v^Cy= À/;?,.

La fonction K,(/.j est donc liolonior|)lie pour |À|<|).^|| ] et il en est de

REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM. iyj

même de e"*' ou de

Mais nous pouvons prendre h assez grand pour que }./,+\ soit aussi grand
que l'on veut. On a en effet '

l>p > ).T'' ^Xt/' + ...+ l-^i' > h X-f,'i , ,
d'où

Donc e^ reste holomorphe pour un module de ). aussi grand que l'on veut.
C'est donc une fonction entière. c. q. f. d.

Il faudrait, pour compléter le résultat, démontrer le même théorème en ce
qui concerne le numérateur de la fonction méromorphe; je me propose de
revenir ultérieurement sur cette question.

VI. — Équations intégrales de première espèce.

Il y a des cas où la méthode de Fredholm permet presque immédiatement
l'intégration des équations intégrales de première espèce, c'est-à-dire de la
forme

/ ./■(•^i7)?(/)<>' = 4'(-'^)>

où 'ji(x) est donnée et 'f(jK) inconnue, les limites de l'intégrale étant des
constantes.

Soit par exemple

(i) / <p(7)[e'^^'+'>/(^./)]«(r = 4'(-^)-

Dans le cas de \ = o, elle se réduit tout simplement à l'équation de Fourier

d'où l'on tirerait

^ — »
Posons alors

?(/)= / <^{z)e-i'-y dz,
H. P. — III. 7*

578 BEMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.

d'où

l'équalion (i) deviendra

^+»

(2) iK^(x)^A ^{z)f{x,j)e-i~ydz.dy = 'i^{x)

J — se

et prend ainsi la forme d'une équation de Fredholm, où $(;r) est la fonction
inconnue et où le noyau est

K{x,z)=J f{x,y)e-i-ydy.

Quelle est la condition pour que la niélhode de Fredholm soit applicable à
Téquation (2) qui peut s'écrire

•27c*(.r)H-X Ç <i{:.)K(x,z)dz = 'l(x).

*- — »

L'intégrale étant prise entre des limites infinies, il faut chercher d'abord à la

ramener à des limites finies; c'est ce qui est possible si K.(a?, z) s'annule pour

; ^ rh 00, et pour j :; | très grand est de l'ordre de j 5 |~'^, où /i > 1 . Si nous

posons en effet

.r = tangf, ; = tangÇ,

l'écjuation prend la forme

•l>(lanf,'î) k(lang|, langÇ)-^7 = l-Cang?
71 cos-i:

ou mieux encore si nous posons

X = tanj^'Ç, 3 = tang*Ç,

A' étant un nombre suffisamment grand pour que

ce qui est toujours possible si /i > i , notre équation deviendra

/ dt

k'\>{ tang-î- ■Ç)K( lang* |, tang^' t ) tang*- 1 Ç - — ■— = J> ( tang* f )
— ' OS" ».

Nous voyons que le nouveau noyau

/.■K(tang'(?, tang*r) lang*-'î

cos-Ç

REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLH.

se comporte pour Ç = zh-^ comme

579

tanj;-<''Ç taii^''-'?

c'est-à-dire comme

cos-Ç

(cdsÇ)*''"''-'
et par conséquent reste fini puisque

/.A— A— 1> o.

Pour préciser davantage nous supposerons que

|K(:i-, =)1<A;-'',

A étant une constante indépendante de x et de z, et Tinégalilé subsistant pour
toutes les valeurs de a? et de ; depuis — 00 jusqu'à -\- ce.

A quelles conditions cela correspond-il pour /'(a?, y). 11 faut d'abord que l;i
méthode de Fouriur puisse être appliquée à/(j7,j'), c'est-à-dire :

1" Que/(j:, )■) considérée comme fonction de )■ n'admette ([u'un nombre
fini de maxima et de miuima (quelle que soit la valeur constante attribuée à x);

2" Quey"(a;,j^) tende uniformément vers zéro, qu;ind j' tend vers l'inlini,
et cela quel que soit a;.

Si nous supposons de plus ([nef(x, y ) admet des dérivées des deux pn-miers
ordres; que -j- tend uniformément vers zéro, quand _)■ tend vers l'infini et que

, ., 1 < M :

et qu'enfin -~ n'ait comme /'qu'un nimibre Uni de maxima et de minima, on
aura en intégrant par parties :

I fe-'->dy— - ft—'-) -r- ~T- ~ e-'~y / -r^ e-'-i dy

ou en prenant pour limites j' = ± qo

|K(.-,.):<|-L|m r"'^^ = iLl.

d'où

Et comme d'ailleurs j K(x, s) | reste fini même pour c = o, on voit que les
conditions sont remplies pour que la méthode de Fredholm soit applicable.

58o • REMARQUES DIVERSES SUR l'ÉQUATION DE FREDHOLM.

11 est à peine nécessaire d'ajouter qu'elle le serait dans des cas beaucoup
plus généraux et qu'il serait aisé de déterminer.

Cherchons à appliquer le même principe à des séries analogues à celles de
P^ourier et écrivons

O) •H-r) = i:A„,fe''"^-(-/,e,„(a-)].

Partons de la formule de Fourier, en posant

■ir.A„,= l ziz) €-••>'■- dz\ ç(3) = i:A,„e''"'--.

notre équation de\ iendra

(4) i,{x)= a(x)— — f z(ztl.e-"":Q,„{.v):/:.

Dans l'équation (3), il s'agissait de déterminer les coefficients A,,,, connais-
sant les fonctions '4'(.'f) et ô,„{x), c'est-à-dire de développer la fonction donnée
'\'(x) en série procédant suivant les fonctions e""' + â9„, (a") . Dans l'équation
transformée (4), il s'agit de déterminer la fonction inconnue 's{x) connaissant
la fonction 4'(^)- Les deux problèmes sont manifestement équivalents, mais le
second se ramène à une équation intégrale, et la méthode de Fredholm y sera
applicable pourvu que le noyau

soit toujours liai.

C'est ce qui arrivera évidemment si la série

est absolument et unlformémeut convergente.

Soit par exemple à développer 4'(.3;) pour les valeurs de x comprises entre

o et 2 7r, suivant les exponentielles

e'V-,,.'-,

Nous pourrons ramener ces exponentielles à la forme

,■''"■ >,«,„
en posant

Or on a

I 6m I < I }J-,„— 'Il \x

puisque

-/

e",/l

m V

REMARQUES DIVERSES SUR LÉQUATION DE FREDHOLM. 58l

et que | e" j = i . Comme j: varie de o à 2 r, on aura

I flm l< 2 7: I ,U,„— /Il \.

Il suffit donc que la série

- I Km— '" 1

soit absolument et uniformément convergente. C'est ce qui arrivera, par

exemple, si l'on a

I

fi,„ = m ^ -•

III-

Ici encore, il serait aisé d'étendre le résultat à des cas beaucoup plus étendus.
Soit maintenant l'équation

(5)

•^0

qui diflere de (i) parce que les limites ne sont plus infinies. Nous ne pouvons
pas nous proposer de déterminer la fonction inconnue cp, connaissant la fonc-
tion ■]/; el cette fonction étant quelconque; le problème serait en général im-
possible. 11 suffit pour s'en convaincre tle faire )i = o; on voit alors que, quelle
que soit la fonction 9(_)), la fonction '^ sera une fonction entière qui tend vers
zéro quand x tend vers l'infini, avec un argument compris entre oetTï; et telle
que '^e~-''^-'' tende vers zéro quand jc tend vers l'infini avec un argument compris
entre r. et 271. La fonction i^ ne peut donc pas être choisie arbitrairement.

Ce que nous nous donnerons, ce sont les saleiirs '!/(/») (|ue prend la fonction
ij/ quand x prend une valeur entière positive ou négative. Il est aisé d'ailleurs
de se rendre compte que ces vnleurs 4'('") suffisent pour déterminer une fonc-
tion entière satisfaisant aux conditions que nous venons d'énoncer.

Posons encore

o(s)= 2 A, „<■-'■'"=, i.T.K,„= f <f{z)ei"'-dz.

L'équation (5) devient alors
(6) 2;tA,„+X f Z\,,e'''/'yfim,j)dy = '\,{iii).

Celte équation doit permettre de déterminer les coefficients A et par consé-
quent la fonction inconnue 9, quand on connaît les quantités ^{in).

Cette équation n'a plus la forme d'une équation intégrale, mais celle d'un
système d'une infinité d'équations à une infinité d'inconnues, tel que ceux qui

582 REMARQUES DIVERSES SUR L ÉQUATION DE FREDHOLM.

ont fait l'objet des éludes de M. ^onKocll. L'analogie des deux théories est
d'ailleurs évidente.

Pour que la mélhode soit applicable, il faut et il suffit que le déterminant
infini converge: il suffit donc qu'il soit normal au sens de ÎM. vonKocli, c'est-
à-dire (jue la série double en m et p

converge absolument. Si/(m,v) e^l une fonction périodique de y avec une
dérivée seconde, nos intégrales peuvent se transformer par une intégration par
parties et la série (7) devient

Vr'~ p-'/'x

Les teruies en sont plus petits que ceux de la série

Il suffit donc que la série

!/■(/». 3)

converge absolument et uniformément, ou encore que l'intégrale

J f{.r,z),lz

converge absolument et uniformément.

On voit par cet exemple quelles différences il y a, en ce qui concerne les
équations intégrales de première espèce, entre le cas où les limites sont finies
et celui dû elles sont infinies, cas auquel se rattacherait d'ailleurs celui où le
noyau présenterait des singularités entre les limites d'intégration. Je me réserve
de revenir sur cette question par des méthodes fondées sur l'itération des noyaux
et qui mettront en évidence d'une autre manière les mêmes particularités.

NOTES ET ERRATA.

1. Pages 6 et if\. Sur les rr/uations a points critiques Ji-res :

I. L'extension des recherches de Fuchs el de Poincaré a donné lieu à des travaux
imporlanls. maintenant classiques, dus essentiellement à MM. Emile Picard et
Paul Painlevé (') et à leurs élèves. Nous en donnons ici une bibliographie som-
maire, les questions soulevées étant loin d'être épuisées. M. P. Painlevé a d'abord
observé que les raisonnements de Fuchs et de Poincaré doivent être complétés :
ils sous-entendent des propriétés des solutions de l'équation du premier ordre, non
encore établies, qui ne sont plus vraies pour les ordres supérieurs.

Fuchs exprime que toute solution de léquation F(j'', y, x) =: o qui prend, pour
un point arbitraire jr=^u:„, une valeur délerininée y„, est uniforme dans le
domaine de j:„. Painlevé démontre (Thèse; Sur les lignes singulières des fonc-
tions analytiques, Paris, 1887, p. 38, et Annales de la Faculté de Toulouse, 1888,
p. 38-07) que toute solution y(-r) d'une équation V(y', y, a;)z=o, où F est un
polynôme en y' , y à coefficients analytiques en x, ne peut admettre comme points
singuliers non algébriques que certains points y?j;e,ç, x^Ç, mis en évidence sur
l'équation. Si les coefficients sont algébriques en x. ces points sont en nombre
limité. Il n'y a donc pas pour une solution y{x) de point variable x„ pour
lequel j'(x) ne tendrait vers aucune valeur déterminée quand x tend vers x^.

Au contraire, dès le second ordre, les solutions y{x) peuvent présenter des
points transcendants ou essentiels mobiles, o'est-à-dire variant avec les constantes
d'intégration. Il suffit, par exemple, de remplacer dans l'équation précédente x par
X -t- c et d'éliminer c entre l'équation et sa dérivée pour obtenir une équation du
second ordre en )', indépendante de x. dont les solutions possèdent les points trans-
cendants x = ^ — c, variables avec c.

La méthode de Poincaré s'appuie sur l'existence d'une correspondance bira-
tionnellc entre les valeurs y{x), y' {x) et les valeurs initiales y„, >''„, mais il
démontre seulement que cette correspondance est biuni forme. S'il était prouvé
que la correspondance n'admet que des points singuliers isolés, on en conclurait
aisément qu'elle est birationnelle, mais a. priori elle peut admettre des singu-
larités plus compliquées; cela arrive pour les ordres supérieurs. Si dans la rela-

(') Les pa{;es qui suivent étaient écrites au moment île la moi-t de l'illustre yéomètrc: elles
peuvent tout juste faire pressentir l'importanee île son œuvre dans la théorie des équations
diflérenlielles.

584 NOTES ET ERRATA.

tion 1 =cp(j:, )„. j?„) on regarde jc et jc„ comme fixe?. Painlevé montre que si
leurs valeurs diflfèrent des valeurs ;. pour une équation à points critiques fixes
la fonction ^ de la seule variable )„ ne présente dans le plan complexe, même à
rinfioi, que des singularités algébriques. Il suit fie là, sans restriction, que la
correspondance entre v, i ' et i,,, ^'i, est biralionnelle.

Ces propositions ont permis à Painlevé d'étudiei' les équations du premier
ordre F(v, y', j:^) = o, où F est un polvnonu> en i ', r à coefficients analytiques
en .r, dont ta solution i^vnérale y(x) n\icquierl fjuc n déterminations quand .r
tourne autour des points critiques mobiles (nécessairement algébriques). [La
variable jt ne tourne donc pas autour des points transcendants ;. c'esl-à-dire que
la variation de l'argument de .r — 1. pour tous les points ;. est nulle pour tous
les contours fermés envisagés. ] >-

'Le résultat est simple : ces équations se ramènent algébriquement à des
équations à points critiques fixes. (Cf. Leçons sur la Théorie analytique des
équations différentielles, professées à Stockholm en iSgS, Paris. t897. p. 28-60
et \!\i-!\&2, eV Comptes rendus Acad. Sciences, Paris. 28 et .3o juillet, .5 novembre
1888.)

La recherche des équations Vtj'.y, .i) = o, algébriques en i. >' à coefficients
uniformes en .r dont la solution générale 1 (.r) est uniforme, ou à un nombre
fini de branches, est un problème beaucoup plus difficile lorsque ./ ligure dans
Péqualion. Le cas simple de Téqualion de Hii-rali n'est pas encore traité.
(Cf. 1^. Painlevé. Leçons de Stoc/diolm. p. 3i<)-238 et une Aote étendue dans
l'ouvrage de Pierre Boutroux : Leçons sur les fonctions définies par les équations
différentielles du premier ordre. Paris.)

La question a été reprise, avec les méthodes de I'. Houlroux. par J. .Malmquist
(Acta mathematica. 36. 1910, p. 297-343) pour les équations où y' est rationnel
en X et r. Cf. aussi les résultats curieux obtenus ]iar M. IVtrovitch (Comptes
rendus Acad. .Sciences. 118. iSg^, p. 1190. et Thèse. Paris. iS9.5: aussi E. PicABD,
Traité d' .inalyse. 111. 3' édition, p. 37S).

II. Les mêmes questions se posent pour les é(|uations du second oidre. algébri-
ques en )•". )•'. )•, analytiques en x. Quelles sont les équations à points critiques
fi. ces? Parmi celles-là. quelles sont celles dont la solution i;énérale v(.r) est une
fonction uniforme ou à un nombre fini de branches? Peut-on les intégrera l'aide
de fonctions unifoimes déjà définies ou déterminent-elles des transcendantes nou-
\ elles'.'

M. E. Picard a consacré à ces questions entre 1880 et iSgà plusieurs Mémoires et
de nombreuses Notes (cf. Comptes rendus Acad. Sciences, Paris, 91, 1880, p. 724;
103. 1886. p. 549; lO'f. 1887, p. 41; 11'*, 189-'- P- '3io; 116, 1898, p. .365; 117.
1898. p. 472 et6o3; 1-20. 1895, p. 402). Citons en particulier: Sur une propriété
des fondions uniformes d'une variable liées par une équation algé' rique et sur
une classe d'équations différentielles (Bulletin Se. math., k, 1880. p. 4i6-432);
Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables {Journal de Liou ville.
5. 1889, p. 228-249 et 268-819); Remarques sur les équations différentielles
(Acta mathematica, 17, 1898, p. 296-800); Sur une classe de transcendantes
nouvelles. 18, 1894, p. i88-i54; 23. 1900, p. 838-887; Sur l'inversion des inté-

NOTES ET ERBATA.

585

grales à multiplicateurs {American Journal. 16. iSg'i. p. 111-123), el Traité
(T Analyse, t. III, 3'' pdition. 1937, p. 67-81.

M. Picard s'occupe d'abord des équations algébriques de la forme F(j", ))=:o.
puis de >■"= 1 '- A( )■) et détermine tous les cas où la solution générale y est uni-
forme en x: on n'a pas ainsi de fonctions nouvelles.

Passant au\ équations )•"= R()', )•), oii H est rationnel en v' et )•, M. Picard a
donné des conditions i«//«a/i<e5 pour que j(x) n'ait ni points critiques algébriques,
ni points transcendants d'une certaine espèce; la solution y{x) est à apparence
uniforme, elle n'est pas toujours uniforme. (Cf. les applications particulières de
Forsyth. Theorr of diJJ'erential équations, III, p. 276-806; Wallenbebg, Journal
de Crelle, 119. 1898, p. 87-118; 120. 1899, p. ii3-i3i.)

Lorsque x figure dans l'équalion et qu'elle a la forme

y" = y'[aix)y -^- h(x)]-¥- A(,r )y^-i- B( x)y--^- Cl x)y -^ D(j-).

M, E. Picard a donné deux conditions pour que ) (x) présente des pôles mobiles;
Painlevé (Acta mathematica, 25, 1902, § 30) a montré que ces conditions, non
nécessaires, sont suffisantes et qu'on peut former toutes les équations qui y satis-
font. Dans le cas oii les coefficients «. .... \. ... sont constants, Mittag-Lœftler
{Acta mathematica. 18, 1894, p- 233-245) etPi-ansén ont prouvé que les conditions
de M. Picard entraînent lintégrabilité de l'équation par les fonctions uniformes
élémentaires.

La grande difficulté de l'étude des équations du second ordre à points critiques
fixes, reconnue par M. E. Picard, est dans l'existence de points transcendants ou
essentiels mobiles. La solution de l'équalion

V(x.y,y)

■^ <->'■'•, y, y)' .

définie par les valeurs initiales ; )„, l'o pour j =j"„ présente en général un point
transcendant quand ces valeurs initiales annulent à la fois P et Q.
Pour l'équation

.„ • '- K — I )

y = y —^ r

( ' -+- y ) ■

dont la solution générale est

y = tang[ log A( .r — ai,

lorsque X tend vers a dans une direction quelconque, v est indéterminé : ce
point est essentiel et critique.

L'équation, rencontrée par M, E. Picard, retrouvée et étudiée plus tard par
Painlevé,

\f = yi 1 y [ -2 l<\y^- _( i -+-/,= ,] -h ^ ^ Â | ,

oii A:=(i— _y-)(i — A",}') et }. est une constante, est telle que 1 (.;) n'a comme

point singulier algébrique que des pôles; toute solution j- qui tend vers une valeur

déterminée, finie ou non, quand x tend vers x„ est holomorphe on méromorphe

H. r. - ni. 74

586 NOTES ET EHR4TA.

pourx = oro. Cependant, comme

y — î/i<-,[ X logA(,/- — a )J,

le point ^ = (7 661 un point d'indétermination complète pour >; sur un chemin
donné tendant vers (7, quel qu'il soit, r ne tend vers aucune limite et une infinité
de déterminations de r se permutent autour de ce point, à moins que nitû. ne soit
une période ou fraction de période de sn^-. l'ourque »■ soit à points critiques fixes
(ici uniforme), il faut et suffit que celle condition soit remplie : 2«7iÀ est période
de snk-.; on ne sait pas le reconnaître, >, el A étant donnés, par un nombre limité de
calculs.

M. E, Picard a obtenu enfin {Acta niathematica, 18, iSg'i. p- i33). en partant
de fonctions uniformes définies directement, des é(iuations difi'érentielles à solution
générale unifoinie, mais il a reconnu que celte solution dépend algébriquement
des constantes. Ces équations sont alors réductibles aux quadratures ou aux équa-
tions linéaires (cf. Fainlevé, Leçons de Stockholm, p. 35i-394).

La méthode par laquelle P. Fainlevé a obtenu de nouvelles conditions néces-
saires à la fixité des points critiques est très simple en principe : elle consiste à
introduire dans les coefficients, supposés holomorphes, du système dillerentiel
étudié, par une transformation des éléments (variable el fonctions) qui conserve
cette holomorphie, un paramètre variable c, tel (pie les coefficients soienl aussi
holomorphes en c/.. Si le système a ses points critiques fixes pour a ([uelconque, non
nul. il en sera de même pour at = o el le développement des solutions suivant les
puissances de a aura pour coefficients des fonctions de la variable à points critiques
fixes.

Un choix convenable de la transformation amène pour<z=oà des équations
simplifiées pour lesquelles on sait exprimer la fixité des points crilii[ues ou l'uni-
formilé de la solution.

Cette méthode est susceptible d'applications variées (cf. I'ainlbvé, Acla mathe-
niatica, 23, igoîî, p. 82-85). Les équations difierenlielles qui peuvent être à points
critiques fixes, ou à solution i^énérale uniforuie, étant, par la méthode précédente,
réduites à un petit nombre de types, il s'agit, pour celles que Voanepeul intégrer
à Caide de fonctions uniformes définies par des équations du premier ordre ou
lies équations linéaires, de décider si les points critiques sont réellement fixes, ou
si la solution est uniforme. La méthode, imaginée par M. Painlevé pour le second
ordre, s'étend au troisième el aux ordres supérieurs, mais la difficulté de son
application croît avec Tordre de l'équation.

Les résultats essentiels de Painlevé sont résumés dans un Mémoire étendu :
Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'in-
tégrale générale est uniforme (Acta mathematica, 25, igoa, p. i-86); la déter-
mination explicite de toutes les équations à points critiques fixes, du type

y" = a(.r)y-(- b{x)y--\- c(.r )y -h rH x),

et la démonstration des propriétés fondamentales de l'éipiation

(I) y=fi/=-H.r,

NOTES ET EllRATA. 5Bj

qui est la plus simple de celles qui délinissenl des fondions uniformes (méro-
morphes) nouvelles, sont données en détail au Mémoire sur les équations di/fé-
rentiflles dont l'intégrale générale est uniforme {Bulletin de la Soc. math, de
France, 28, 1900, p. iot-sôi).

Une omission dans les tableaux publiés aux Acta matliematica a conduit
M. Gambier à reprendre l'application de la méthode de l'ainlevé (Comiiles
rendus Acad. Sciences, Paris, 143, 1906, p. -,'| 1 , et Acta matliematica. 33, 1910,
p. 1-55); c'est ainsi qu'a été trouvée léquation

I \ 1 1 y = - { - -; 1 1 ! — )/-— ( - H !— -H - — ! — ) y'

'i \y y — i r — .rl" \ j- ./■ — 1 r~ xj-

if 'yr -ix — w ,j(.r — 1)1
\ J.-^ — -t- h o

[ y- ( >• — 11= ( v — ./■ I- J

yi y — \M y — ./• 1

y , >-i )• -(- 1)

— -I- <j- — = 1

c ( i-- — 1 ,1

.r-[x — I)-

(y., (3, y, (î constantes). Painlevé montre alors (Comptes rendus Arad. Sciences,
Paris, 143, 1906, p. iiii) que cette équation (\lj donne par dégénérescence les
cinq équations :

\>.y y — \}-' X X'- \ - y)

i, •. V' i .. , . '!'
( I \ I >' = ^ 1 — y-^ I xy- -\- ■ii.x- — '^ij'H )

(III) y = ^ ^ -h -^ -+- VJ'-f- - ,

^ ' -^ y X X y

1") y" = -'-y'-^-'y-^^,

(1) y == ti_K--l- -r.

Ces six équations sont les tyi'es auxquels se ramènent, algébriquement, toutes
les équations

y" = R I y', y, x ),

où R est rationnel en y', algébrique en i , analytique en jc dont les points critiques
sont fixes et qui ne s'intègrent pas à l'aide de fonctions uniformes classiques
(données par des équations du premier ordre ou par des équations linéaires).

La solution générale de (NI) est méromorphe, ifi»// a«j; trois points homologues
(x:^o, I, 30) qui sont des singularités transcendantes. M. R. Garnier a étudié
)(x) au voisinage de ces singularités par l'emploi des approximations successives
de M. E. Picard (Ann. Éc. A'orm., 34. 1917, p. 239-253).

La solution générale de (1) esl partout méromorphe; les égalités

y=,ol,x,x^,,y^,,y„), y = J^'

qui la déterminent, expriment entre )•, r' et leurs valeurs initiales une correspon-
dance biuniforme. On peut écrire

Y't Y V"

588 NOTES ET ERRATA.

OÙ Ç(j) est une fonction entière définie par le système

h 2 r, ' -I- j- T| — T, = o.

F. Boiilroux a étudié en détail l'allure des solutions )(j") quand j: croit indéfini-
ment; une transformation simple le conduit à les regarder comme asymptotes aux
fonctions doublement périodiques (.J««. Èc. /Vor/»!., 30. igiS, p. gôô-SyS, et 31.

'9''!' P- 99-139).

La solution générale de (II) est encore méromorphe et s'exprime comme quo-
tient de deux fonctions entières qui satisfont à une équation du troisième ordre.

Quand on passe à (IIIj, )' a un point transcendant pour x = o, mais si l'on
pose j = e", Y est méromorphe en u et F. Fainlevé a montré qu'on pouvait aussi
l'obtenir comme quotient de deux fonctions entières qui satisfont à un système
du troisième ordre.

Les fonctions méromorphes (ou entières) définies ainsi ont été nommées fonc-
tions de Pninleré. La raison profonde de leur nom-eaiité doit être cherchée dans la
théorie du groupe de rationalité (au sens de M. Drach) de l'équation aux dérivées
partielles correspondante :

^•' r)x ày^ i)y •'

Four toutes les équations de Fainlevé, ce groupe est le groupe infini, primitif,
simple, de transformations, défini par l'équation

9, '^i sont deux intégrales de \(/) = o, formant un système fondamental et satisfai-
sant à une relation

•Hr,y'^

M,

où M est un dernier multiplicateur de Jacobi, rationnel en .r, v, v'. On parvient
facilement à l'expression de M, pour f VI). en remarquant que cette équation peut
être obtenue en annulant la variation de l'intégrale simple

oii l'on a posé

„ .r( X ■

y<y — i){y — x)
on peut prendre alors

y-

jV{x,y,y')(lx,

> I 'yr ( ./■ — i) . .'1 .(• — ni

- ■ \ ^V — Y ° ~i >

' -i- — 1 • L y LK — I ) (y — -i)i

r7-F ïjf.l— I)

Four ( I ) et ( Il ). on a simplement

M = I .

Toutes les fonctions uniformes définies antérieurement à l'aide d'équations diflé-
entielles correspondaient à des groupes de rationalité finis ( projectifs ou

NOTES ET ERRATA. 580

linéaires); il y a donc lieu de regarder les transcendantes uniformes de Painlevé
comme de nature essentiellement nouvelle (cf. P. I'aislevé, Comptes rendus Acad.
Sciences. Paris, 135, 27 octobre 1902 et 1902-t!)()3. possini; .1. Drach, Bulletin
Se. math., 39, igiS, p. i^g)-

Une autre « correspondance » allait accroître leur intérêt. Alors que M. Gambier
trouvait l'équation (VI), M. Richard Fuchs poursuivant les recherches de son père
]j. Fuchs et de M. Schlesinger sur les groupes des équations linéaires, la rencon-
trait aussi (cf. Comptes rendus Acad. Sciences, Paris, 141, igoS, p. 555, el Math.
Ann., 63, 1906, p. 3oi). Si l'on considère l'équation difFérentielle linéaire (E,) à
coefficients rationnels, réguliers, possédant les quatre points singuliers o, i, x, oo
et un point ^'iw^aW^v apparent y,

(E,)

I d-^z a
= dt^ =-- l^-^

'J -

a

■i

1 ? — 1 1- ( ; —
a

■ ■'■ )

- ' ^1/ — Il ' i
b

i(<-

-y)-

f{ I ~ i)i t — .V) t{t — \\{l—r)

et si l'on cherche à déterminer )• el les coefficients en fonction de .r. de manière
que le groupe de monodromie de(E,) soit indépendant du païamètre x, on trouve
que )■ doit vérifier l'équation (VI), a. (3, y, i5 ayant les mêmes valeurs, constantes,
et que a el h s'expriment rationnellement à l'aide de v', y, x.

L'équation ( VI ) est ainsi mise en relation avec le problème de Riemann qui
consiste à déterminer les arbitraires d'une équation didërentielle linéaire, où les
points singuliers sont fixés, de manière qu'elle admette un groupe donné.

On déduit de là une interprétation des intégrales premières de (VI) au moyen des
transformations linéaires que subissent les solutions fondamentales de (F,) quand
t tourne autour des points singuliers (cf. R. Garnier, Comptes rendus Acad.
Sciences, Paris. 159, 1914, P- 396)-

Tout ceci s'étend à un ordre quelconque, c'est-à-dire qu'en partant d'une équation
ditTérentielle linéaire, ou mieux d'un système linéaire el homogène à n inconnues
dont les coefficients n'ont que des pôles simples, comme le fait F. Schlesinger,
l'étude du problème de Riemann conduit à des systèmes difierentiels qui définissent
des transcendantes dont les points critiques sont fixes, les pôles seuls étant mobiles
(cf. L. Schlesinger. Journal fiir die reine Math., 123, 1901, p. i38, el Vorlesun-
gen liber lineare Differenlialgleicliungen, Leipzig iind Berlin, 1908, p. 7).

Pour le développement des recherches de Painlevé sur les équations du second
ordre, on doit citer encore J. Malmqiiist {Archiv for Math.. 17, 22, et Comptes
rendus du. h" Congrès des Math. Scandinaves, 1922, p. 233-253) et F. Tricomi
{Atti délia r. Ace. dei Lincei, \ . 32, 1923) qui étudie les équations du second
degré en y" .

L'élude des équations du troisième ordre à points critiques fixes, commencée par
M. Painlevé {Acta. mathematica, 25, 1902, p. 67), a été continuée par MM. J. Chazy
el R. Garnier. M. ,1. Chazy {Comptes rendus Acad. Sciences, Paris, 14.5, 1907,
p. 3o5, et Acta mathematica, 34, 1910, p. 3i6-386) a étudié en détail la simplifiée
correspondante

y" = (1 ) '—r -t- 6( )•) r' v" ^ ci V) v"-\

DgO .NOTES ET ERRATA.

OÙ b(y) et f( )') sont rationnels et où n est un entier positif ou négatif, ou infini
mais diflTérent de — i et de zéro, dont la solution générale est uniforme.

Pour n^ — 2. b( »)^o, on trouve les fonctions fuchsiennes ou kleinéennes de
Poincaré. Lorsque n jzi — 2. M. Painlevé avait annoncé que b(y) et c{ ) ) étaient
de genre zéro ou un, sauf si les points singuliers de j'(jr) forment un ensemble
parfait, et <]ue j' s'obtenait avec les fonctions uniformes classiques.

M. R. Garnier reprenant le cas b{y). c{v) rationnels a traité en outre (Comptes
rendus Acad. Sciences. Paris. Wà, 1907. p. 3o8, et 147, 1908, p. 9i5) le cas oii
ces fonctions sont de genre un.

M. Chazy a formé une équation à points critiques fixes qui donne par dégéné-
rescence les six équations du second ordre de M. Painle\é. mais son étude n'est pas
terminée. Il a également étudié quelques équations du quatrième ordre.

M. E. Borel avait observé (Comptes rendus Acad. Sciences, Paris, 138, igoq,
p. 3.57) que l'ensemble des termes de poids le plus élevé par rapport aux indices de
dérivation, dans certaines équations dont la solution générale est entière, est iden-
tique à un imariant d'une forme binaire

«*"'-(- n\ H"'-i'-i-. ..-+-/(/."-'((' -H X" (/.

Par exemple, les trois invariants

uu" — «'-, UH'^ — 4 " " -•- 3//'-, H«" — f)H'«'-t- ij»"f(" — io;("'-

donnent des éijuations dont les solutions respectives sont les fonctions entières :

e'iT^h^ gn.r^h 5( ^ ^_ c^ o^ ({-^^ gn.,+l, a { X -^- C \ O, C ) H X -I- d ; o, — e),

on la dernière ne dépend que de cinq constantes. iM. Cliazy a développé ces
remarques, sans aboutir à des conclusions définitives ; toutefois léquation obtenue en
annulant l'invariant de la suite qui correspond à « > 6 a des points critiques trans-
cendants.

Un autre travail de M. Chazy (Ado malliematiia, h\ , 192(1, p. 1-69) est essen-
tiellement consacré à la limitation des degrés dans la fonction rationnelle R. pour
que l'équation d^ordre n

r"'=R<>""-". •••■/, -r)

ait ses points i'rilii)ues fixes.

M. R. Garnier. dan< sa Thèse (Ann. lie. Norm. sup.. 3'' série, 29, 1913,
p. 3'|-i6o). a généralisé ré(]uation (F,) qui conduit à ( \ I ) en portant à (n -+- 3) le
nombre des points essentiellement singuliers; dans l'équation, régulière au sens de
Fuchs,

l_ d-y _ r,,,-i c„^« c„+?.

Y de- X- (x — I)- x{x — I)

(E„)

i— I

-if-^— - — ^ — ^1'

NOTES ET ERRATA. Sgl

qui possède a\ec les points singuliers /,, les points apparents '/./, simples et en
même nombre /(, il s'agit île déterminer les À/ et a, (et par suite les c,. ^/ qui en

résultent) en fonction des /i variables /, /„ de manièie que les coefficients des

transformations du groupe de monodromie G, soient indépendantes de /,. ..., /„.

M. R. tiaiiiier obtient pour' les)., urr système ( /'„. F„) comprenant é((uations

du preiirier or-dre (/„) et // é(piations dir second ordre (F;,), complètement inté-
grable, qui donne par dégénérescence un systènre liyperellipti([ue jacobien de
genr-e n.

Il montre ([ue les fonctions symétriques des ),,, considéi-ées comme fonctions de
Fun des ar-gumenls /,. ont leurs points critiques fixes (ti=ztj, o, i , oo) et sont méro-
morphes en dehors de ces points.

Dans la suite {Ann. Éc. Norm. sup., 3'' série. 4-3, 1926), M. R. Garnier a
étendu ses recherches au pr'oblème de Riemaun généi'al, en étudiant autour de
leurs singularités essentielles [comme il l'avait fait pour (VI)] les solutions du
système (A) par lequel L. Schlesinger définit les i-ésidus des pôles simples des
coefficients de son système linéaire (S) au moyen des affixes de ces pôles (piand on
fixe le groupe G de monodr-omie de (S). Ce système {K) est d'ordre (/j « -1-8). il pos-
sède (■iirt-i-y) intégrales premières algébriques, dont («-1-3) quadi-atiques ; M. R.
Garnier a réussi à le r-emplacer par un système plus simple d'ordr-e 2«, auquel il
applique la méliiodc des approximations successives de M. E. Picard.

2. Pages 95 et 101. Sur rintégration algébrique des équations différentielles
linéaires :

Cette question a été l'objet de nombreux travaux à la fin du siècle dernier.
II. Valentiner (Mémoires de V Académie de Copen/iague, 6'" série. V, r889), recher-
chant à nouveau les gi-oupes d'ordre fini contenus dans le groupe linéaire homogène
à trois variables d'ordre 36o, a découvert un nouveau groupe, ijui avait échappé
à C. Jordan.

E. Goursal ( /!««. de VÉcole Norm., 3° série. II, i885) relie l'étude des inté-
gr-ales algébriques de l'équation du second ordre à la transformation de cette équa-
tion, par changement de variable et de fonction, en une équation hypergéométii([ue
(de Gauss) dont l'intégrale est algébrique.

Le passage aux équations du troisième ordre, et aux systèmes vérifiés par derrx
fonctions de deux variables dont toutes les déterminations se déduisent de l'une
d'elles par un nombre fini de transformations projectives. a été fait par E. Goursat
{Comptes rendus, lO'i., r6 mai 1887) et I'. Paiiilevé {Comptes rendus, 104, 3i mai
1887), qui ont formé des invariants différentiels I et J analogues à celui de Cayley-
Schwarz pour le groupe projectif à une variable. Pour' l'application particulière
au troisième el au quatrième ordre, on peut consulter P. Painlevé {Comptes ren-
dus, 104-, 27 juin 1887; 10i>, '4 juillet 1887) dont les indications ont été développées
par A. Boir langer {Thèse, Paris, juin 1897) avec une application au groupe de Hesse
d'ordre 21 G.

La voie nouvelle ouverte par M. Emile Picard {Comptes rendus, 96, i883;
Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1, 1887), qiri l'a condirit à la
notion du groupe de rationalité pour une équation dillér-entielle linéaire dorrt les

Sg/ NOTES ET ERRATA.

coefficients appailiennenl à un ceriii'wi do/naiiie de rationalité [R], amène à recher-
cher, dans un domaine de rationalité donné [R], les équations dont le groupe de
rationalité est formé d'un nombre limité de transformations linéaires. La définition
précise de [R] pose alors chaque fois un problème spécial. (Cf. Emile Picard,
Comptes rendus, 119, 1894: 121, 189.5. et Traité cf Analyse, III, Z^ édition,
Chap. XVII, Paris. 1927. et aussi E. Vessiot, Ann. de VEcole Norm. sup.,
IX, 1892, et L. ScHLESixGER. Handhuch der Théorie der linearen Differenlial-
gleichungen, II. Leipzig, 1897.)

Il faut encore citer Wallenberg {Journal J'iir die reine Math., 113, 1898,
p. i-4i) qui s'est occupé des équations d'ordre n dont les solutions satisfont à
(;( — 2) relations homogènes de degré supérieur au premier, et l'exposé d'ensemble,
avec historique, de G. Fano (Math. Annalen, .'iS, 1899, p. 493590). où l'on aborde,
en particulier, l'étude des équations du 5'' et du 6'" ordre dont les solutions sont liées
entre elles par des relations algébriques,

., . . d¥

3. Page 98, Sous le radical, deuxième lij;ne, lire -^j barre omise.

II. r^ • ■ 1- 1 11- ,. d-t . d'I .

*. rage gq. Deuxième li"ne, dans le delernun;int, lire —, — - ) -7-^ •
^^ ■ djc- dx^

3, Page 106. Neuvième lli;ne, lire i>om(irplie sans s.

■^77
G, l'ase ii'2, Litiiie ij, lire ■ barre omise,

7. Page i-n. Ligne 22, au dénomiiKileui' du lioisième terme, lire 2!

8. Page i~!\. .\jouler ù au début de la deiiiièie ligne.

9. Page 177, Ligne 10, lire -y-^> accent omis,

10, Page 189, Ligne 4 e» parlant du bas, lire \,< f). i i>mis.

11. Page 225. Ces formules [leuveiil s'obtenir direclemenl. Une rotation con-
tinue de grandeur 1. autour de l'axe de cosinus a,, ^i.\\. produit dans le temps dt.
la même \ariation des coordouiiées ,c, )■, ; d'un point fixe du trièdre (|ue la rotation
infinimenl petite

On a dune pour le déplacement d'entraînement

àx = t..: — t^y, ày = l-^x — /, s, Sa = t^y — t«x.

Si l'on applique ceci au point

j- = (j. = a sinft, )=v = [isin6, 3 = p = YsinO,

représentatif de la rotalion finie, eu ubser\anl que si '1 vaiie a\ec /, ce point varie
dans le tiièdre, on aura

Ofi = 02 sinfl -H I cusU 20, ...,

les seconds termes donnant le déplaeemenl relatif. Donc, en tenant compte du

NOTES ET KRRATA. ÔgS

déplacement deiitraînemenl èx, ô|3, oy.

SfJi = /«p — /3V -H Xa S9,
Sv =/3[JL — <ip -(-5.|3o6,
Sp = /, V — /., <j. -4- /,•; 39 .

On déduit de là dl par l'identité

À SX H- iji 3[ji -(- V Sv -I- p Sp = o,

d'où

SX = — ( [j.a 56 -+- v3 36 -+- p-; 39 ) = — sin6 36.

Ces formules, plus générales que celles de H. Poiucaré. donnent la variation des
quantités 1. f-i. v. p pour une rotation inliniment petite quelcom/ue. Elles redon-
nent celles du texte, si l'on suppose

z 39 -I- ï| 3/ = o, p 39 -1- |î| 3/ = û, 7 39 -H Yi 3/ = o,
c'est-à-dire, en particulier.

a, = a, r^i = [i, Yi = T avec 3/ = — 39.

La théorie analytique des groupes continus finis, dans la voie adoptée par
H. Poincaré. ne semble pas avoir été poursuivie. L'étude de ces groupes, plus par-
ticulièrement celle des groupes sim/>/es ou semi-simples de M. E. Cartan, a donné
lieu à de nombreux travaux. (3n doit citer particulièrement : H. Weyl {Mal/i.
Zeitschrift, 23, 1925, p. 271-809; 1k, 1926, p. 828-895); de très nombreux
Mémoires de E. Cartan (Bulletin Se. math., 1' série, 49, 1926; Journal de Math,
pures et appl., 6, 1927; 8, 192.9; Annali di Mat., 4" série, 5, 1928, etc.) rappelés
au fascicule 42 du Mémorial des Sciences mathématiques : E. Cartan. La Théorie
des groupes finis et continus et /'Analysis situs, 1980; enfin O. Sclireier [Abh.
math. Seminar Hamburg, 4, 1926; 5, 1927). Cf. aussi l'exposé d'ensemble du fas-
cicule 33 du Mémorial des Sciences mathématiques : A. BuHL, Aperçus modernes
sur la théorie des groupes continus et finis, 1928, où l'on trouvera une bibliogra-
phie étendue.

12. Page 484-492. Réduction des intégrales abéliennes. Intégrales doubles:

La réduction des intégrales abéliennes, l'étude des résidus et des périodes des
intégrales doubles, celle des intégrales dillérentielles totales algébri(|ues par rap-
port à deux variables complexes j-, ) , et les questions connexes, oui. comme le fait
remarquer H. Poincaré, occupé M. Emile Picard pendant plus de dix ans. On ne
peut aborder ce domaine sans étudier à. la fois les travaux des deux savants. Nous
ne pouvons ici que grouper quehjues indications bibliographi([ues pour aider à
cette étude.

Sur la réduction des intégrales abéliennes, voirE. Picard, Comptes rendus, 93,
1881,, p. 696 et 112G; 9k, 1882, p. 1704; 95, 1882, p. 898; Bulletin Soc. math,
de France, 11, 1882, p. 25-53; 12, i884, p. i53-i55.

Sur les résidus et les périodes des intégrales doubles de fonctions rationnelles
ou de fonctions algébriques, voir E. Picard, Comptes rendus, 102, 1886, p. 849

594 NOTES ET EHBATA.

et^io; 124., 1897, P- 433; 125,1897, p. 1068; 126, 1898, p. 11 16; 129, 1899, p. 589;
132, 1901, p. 18 el 929; 133, 1901, p. 795; 134, 1902, p. 69; 137, igoS, p. Sg^ ;
140, 1905. p. 9i5; Annales Éc. ISorm. sitp., 3" série. 19, 1902, p. 66-87; 20, 1908,
p. 53i-584; 22, igoS, p. 69-100; Journal de Math, pures et appl., 5« série. 5,
1899, p. 5-59; Bull. Sciences math., 2'' série, 26, 1902. Un cerlain nombre des
résultats sont exposés dans le Traité cTAnalyse de M. Emile Picard, II, igaS,
Chap. IX; pour d'autres, particulièrement pour ceux relatifs aux Intégrales de
différentielles totales, algébriques par rapport à deux variables x, y, dont la
considération est due à M. E. Picard, on trouvera un exposé d'ensemble dans
l'ouvrage de E. Picard et G. Simart, Théorie des fonctions algébriques de deux
variables indépendantes, Paris, I, 1897; II, 1900.

Le Tome II contient également un résumé des résultats obtenus par voie géomé-
trique en Italie, et qui n'avaient pas trouvé place dans l'Ouvrage, par MM. G. Cas-
telnuovo et F. Enriques, avec une bibliogiapliie étendue où l'on doit relever les
noms de G. Castelnuovo. F. Enriques et F. Severi. Cf. aussi F. Sbveri, fiom. Ace.
L. Rend.. 13. igol. p. 253-238, etc.

13. Page '193. Le Mémoire Sur les cycles des surfaces algébriques est attribué à
un autre \olume des (JEui'res; la pensée de 11. Poincaré présente une complexité
— et, dirons-nous, une « connexion » — telle qu'il n'est pas possible (jue clia(pie
travail ne se rapporte qu'aux publications déjà faites. Gela ne serait \râi <iue si l'on
adoptait l'ordre chronologique, ce qui est impossible.

14. Page 553, litre, lire la date 1910 au lieu île lyoï.
13. Page 571, ligue 6. L'exposant de /;" est — : •

16. Page 5l'|0-578. Sur 1rs équations de Fredliolni :

l..a théorie des équations intégrales de Fredholm a donné lieu à de nombreux
travaux, avant el après igog, époque où II. Poincaré s'en est occupé. On rappellera
seulement ici les recherches fondamentales de D. IIilburt. Gôllinger Nachr., igo/^-
lyio; E. ScuMiDT, Math. Ann., 63, 1907, p. .'|33-.'i76, et 64, 1907, p. 161-174;
E. GouRSAT, Annales de la Faculté de Toulouse, 2" série, 10, igo8, p. 5-y8;
H. Lebescuk. Annales de la Faculté de Toulouse, 1, igio, p, 26-128, el Bulletin
Sor. mil h. France, 36, igo8, p. 3-iy.

Pour les travaux récents sur les équations intégrales à noyau singulier. Cf.
E. Picard, Ann. Ec. l\orm. sup., igii, p. 3i3; F. Wkyl. Math. Annalen, 66,
igog, et T. Carleman, Ann. Inst. 11. Poincaré, 1, 1981, p. 'toi-^3o, où l'on trou-
vera une bibliographie plus complète. Cf. aussi V. Voltkrra, Leçons sur les équa-
tions intégrales et les équations intégro-différentielles, Paris. igiS.

Jules Dracb.

FIN DU TOME III.

TABLE DES MATIÈRES

DU TOME m.

PREMIERE SECTION. — Analyse pure.
Phemière Partie. — Équations différentielles (suite).

Pages.

Sur un théorème de M. Fuchs i , 4

Sur l'intégration algébrique des équations difterenlielles 32

Sur rintégralion algébrique des équations différentielles du premier ordre et du

premier degré 35

Sur les équations différentielles linéaires à intégrales algébriques go

Sur l'intégration des équations linéaires par le moyen des fonctions abéliennes. . . . 98

Sur l'intégration algébrique des équations linéaires, etc loi

Groupes continus 167

Sur les groupes continus 169

Quelques remarques sur les groupes continus ii'i

Nouvelles remarques sur les groupes continus 261

Deuxièuk Partie. — Théorie des fondions.
Intégrales simples et multiples.

Analyse de ses travaux sur les intégrales, faite par H. Poincaré, 325

Bibliographie de la deuxième Partie 33l

Sur la réduction des intégrales abéliennes 333

Sur les intégrales de différentielles totales 355

Sur une généralisation du théorème d'Abel 357

Sur la réduction des intégrales abéliennes 36o

Sur la réduction des intégrales abéliennes et la théorie des fonctions fuchsiennes. . .|2g

596 TABLE DES MATIÈRES.

Sur les résidus des iatégrales doubles 493

Remarques sur l'équation de Fredholm 540

Sur quelques applications de la méthode de Fredholm 545

Sur les équations de Fredholm 54y

Remarques diverses sur réquation de Fredholm 555

Notes bt errata 583

FIN DE LA TABLE DES MATIERES DU TOME III.

84505 Paris. — Imp. Gauthier-Villars, quai des Grands-Augustins, 55.

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